Giáo trình Hình học Afin và Hình học Ơclít: Phần 2

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:89

Thêm vào BST

Báo xấu

386
lượt xem 56
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 2 giáo trình "Hình học Afin và Hình học Ơclít" trình bày nội dung chương 4 - Không gian Ơclít. Sau mỗi chương đều có phần bài tập, nhưng không có lời giải hoặc đáp số. Giáo trình dành cho sinh viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm và là tài liệu tham khảo cho những ai quan tâm đến vấn đề trên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Hình học Afin và Hình học Ơclít: Phần 2

CHƯƠNG IV KHÔNG GIAN OCLIT §12. KHÔNG GIAN ƠCLIT Ì - Định nghĩa: Không gian Ociit là không gian afin lif'n kết với không gian véctơ Oclit hữu hạn chiếu. Không gian Oclit sẽ gọi là n chiếu nếu không gian véctơ Oclit liên kết v ớ i n ó có c h i ế u bằng n. Không gian Oclit thường được kí hiêu là E. không gian véctơ Oclit liên kết v ớ i n ó đ ư ợ c kí h i ệ u là E. 3 Vỉ' du: à) Không gian Oclit thông thường E hoe ờ phổ thõng. bi Mỗi không gian véctơ Oclit hữu hạn chiếu với cáu trúc afin chính tác là m ộ t k h ô n g gian Oclit, chảng hạn như RA c! Các không gian afin thực n chiều đểu có thể trở thành không gian Oclit n chiểu bằng cách trang bị m ộ t tích vô h ư ớ n g cho không gian véctơ liên kết với k h ô n g gian afin đã cho. d) Nếu E là không gian Oclit liên kết với E thi mỗi phảng a c a nó c ng là không gian Oclii liên kết v ớ i C? ( t r o n g ã* x é t tích vô hướng cảm sinh từ tích vô hướng c a E). 78
2. Mục t i ê u trực chuẩn. Múc tiêu afin {ẽị, e->, • • • ì e) n của không gian Oclit n n chiểu E gói là múc tiêu trúc chuẩn (hay hệ tọa đô Đè các cuông góc) nếu cơ sờ £ = { ej, é-,, ĩ' } n của E n là cơ sờ trúc chuẩn, t ứ c là ẽ* ej =
Từ các tỉnh chất của chuẩn cùa véc tơ trong không n gian véctơ Oclit E suy ra dễ d à n g của tính chất sau: a) d(M,N) = d(N,M) b) d(M,N) ặ 0 và d(M,N) = 0
giao kí hiệu a _L /3 nế u hai k h ô n g gian véctơ a v à / 3 trực giao (tức mọi véctơ của ã*.trực giao với mọi véctơ của /3ỹ. Hai phảng a và ộ gọi là bù trục giao n ế u ã* và /3 hù n trưc giao trong E . 2. Đ ị n h lý: Hai phàng trực giao có không qua một điểm chung. Hai phảng bù trực giao có một điềm chung duy nhát. Chứng minh. Giả sử hai phảng a và />' trực giao. Nế u có hai điểm M,N G a n Ịi thì M N e ã* n ^ suy ra MN.MN = 0. Theo tính chất xác định của tích vô hướng ta có M = N . Nếu « và /3 bù trực giao thì E n = ã* © ịi\ do đó nế u a n /3 = 0 thì dim(a + (ỉ) = đima + dim/3 - dim (ã* n ,51+1. suv ra đim(a -ì- Ị3) - n+1 (vô lý). Vậv t í và /3 có điểm chung duy nhất. Hê quả: Nế u a v à /í) bù trực giao trong E n thi tống của n chúng l à E . 3- Đ ị n h l i : Nêu a trực giao ươi ịi va V bù true giao VÓI Ị3 thi a và V là hai các phang song song. Chứng minh. G ọ i ó t ậ v à 7*1 ấn lượt l à phương của các phảng a, 8 và 7. Vì í * t r ú c giao với /3' và 7*là phấn bù trực n giao của Ịị trong E nên ca suy ra ã* c v f vậy ù' song song với /. Hê quả 1: Hai phang cùng bù trực giao ươi phảng thứ ba thi nong song vói nhau (và có cùng số chiêu). Hẻ quả 2: Qua một điềm dã cho có duy nhát mót phàng bù trực giao ươi một phảng dã cho. 81
§14. KHOÁNG CÁCH GIỮA HAI PHĂNG Ì - Định nghĩa. Khoảng cách giữa h;ú phảng a và ịi n trong không gian Oclit E , kí h i ệ u địa, ị j ) là số: d(a, li) = inf d(M,N) Meo NE/? Rõ ràng là nếu a n /5 í 0 thỉ d(a, /3) = 0. 2. Dinh nghĩa. Đường thẳng A gọi là dường vuông góc chung cua hai phang a và (ỉ n ế u A trực giao với cả a v à /)' và A cat cà a và Ịi. 3. Định lý: iVẽu A Zà đường vuông góc chung của hai cái nháng a và [i, và J'::o điểm của A vói a Li: •> là. ì va J liu (/'•/. ,;)'; = d'ĩ. -ỉ) Gì'lúi: 2 .ninh: Với mọi ':ẩ s N s p' t a có. MN = MI - ĨJ + ÌN. Từ đó 3UV ra 2 _ •] M N i! = li M I + ĨJ + JN li - = ÌIMI + -ÌNH - + !|ĨJ||= + 2ĨJ(MÍ + -IN) Vì ĩĩf . M I = 0, LJ . J N = 0, nên 2 2 2 lí M N li = li M I + ÌNH + li L Ĩ li hay li l ĩ k li - ỉ* il LJII Vậy d(M,N) :ĩ d(I,J), tức đìa, li) = d a , J)
4. Định lý. Nếu hai phảng a và. ộ không có điềm chung thi chúng có đường vuông góc chung, và dường vuông góc chung dó Là duy nhất khi uà chi khi õ T l / f = {õT. Chứng minh: xét tổng ã* + p*và gọi ỹ*là k h ô n g gian con bù trực giao với tống ã* + ff nghĩa là n ỹ*± Cã*+ f i và E = (õ*+ f ) Q ỹ* Lấv p e a, Q E /3, thì véctơ PQ p h â n tích m ộ t cách duv nhất dưới dạng PQ = u + V , với u £ ã* + ộ, v e ỹT Bây giờ giả sử ũ* = x* + _ £ X * e õf y G /3. L ấ y các đ i ể m ì v à J sao cho PI = X và JQ = y thì I £ a và J £ ộ. vì ĨJ = ĨP .+ PQ + QJ = -T+ PQ - ỹ * h a y P Q = T+ y + ĨJ. Vậy IJ = v*e nghĩa là IJ X õf IJ _L Ịì, vì a và /3 k h ô n g có đ i ể m chung n ê n ì không t r ù n g với J, như vậy đường thịng A đi qua ì và J là đường vuông góc chung của hai c á i phảng a và fi. Nếu ngoài A còn cổ đường vuông góc chung của a và Ị3 l à A' cát a, Ịỉ l ấ n lượt tại r và J' thi LĨ = r ĩ ' + (ĩ? + J*J) lí u n 2 = llfj'll- + ill? + Kill 2 Theo định lý 3 thì d(a. /ỉ) = li IJII v à cũng b à n g li r ĩ ' l i ; do đó ĩ? + Ki = õT tức LĨ = ì ? ' suy ra ĩ? 7 = JJ'. Vây i r = JJ' E ã* n /T Từ đó suy ra A t r ù n g với À' khi v à chi khi ã* n Ịi = {ôi. Dinh lí được hoàn t o à n chứng minh. Theo chứng minh đinh lí 4 thì IJ = p - , ( P Q ) ( p 2 là phép chiếu lên t h à n h phấn thứ hai của khai t r i ể n E = (ã* + Ẹĩ © -Ã* Vậy ta có công thức: 83
d ( a , (i) = llp PQ|Ị, 2 p e a, Q s Từ định lí 4 ta suy ra các hệ quà sau: Hê quả 1: Nếu điềm ì không thuộc phảng a thi qua ì có dường duy nhất vuông góc và cất a; giao điếm J cùa dường tháng dó oái phảng a gọi là kinh chiểu vuông góc cùa ỉ trẽn a. Khi dó da. a) = d(I, J). Hệ quả 2. Nếu ohẳng a song song nới phang ịì và ohưang ã* của phảng a là không gian uécta con của phương ỊTcùa phảng Ẹ> thi ươi ì thuộc a, dường thảng di qua ì và trúc giao với (ỉ, sẽ dường vuông góc chung cùa a và ậ. Vậy díu, ịij = d(Ị, Ị3J ươi bát ki I G ã* n 5. Định thức Gram. Trong không gian vectơ Oclit E cho in véctơ U, u . m Kí hiêu. U-vU, Ui.Un u-,.u n 1 ri- u, và gọi là dinh thác Gram cùa hệ uécta (u,, ÚT, li }. Bố dề. Dinh th c Gram của hệ in uécta luôn luôn không lim, L ' à bàng không khi oà chi khi kẽ vécto dó phu lliuóc tuyên tinh. Ch ng minh: Gói V là không gian véctơ Oclit con m n chiếu cua E chứa (u., u , 2 u j m và gọi € ỉ|, e, 2 e } là một cơ sờ trực chuẩn của V. Giả sù véctơ Uj c ó tọa độ (a l p a-,;, a m i ) đối với cơ sờ £ và A là ma trân l ak i ' ' k. i = Ì, 2, ...,m. Khi đó 64
x ID - Gr íũ^, ũ^, ũ^) = đét (ũ* up = đ é t a k r a k j ) = 1 2 = det(A'.A) = (detA ) . (detA) = (detA) Vây định thức Gram Gr ( U Ị , U , 2 u ) m luôn luôn không âm. Hệ véctơ {Uj, u , 2 u } m phụ thuộc tuyến tính khi và 2 chi detA = 0, hay (detA) = 0, tức Gr(ũ^, ũb, ũ^,) = 0. Bố đ ế đ ã được chứng minh. Từ bổ đẽ trên dễ dàng suy ra: hệ véctơ { U ] , u-,, u m } dóc lập tuyến tính k h i v à chỉ k h i Gr ( U j , I U . u ) m > 0. 6. K h o ả n g cách t ừ một đ i ể m đ ế n một m-phẳng. Cho một đ i ể m ì và m-phảng a qua đ i ể m s và có phương ã* = ( U j , u , 7 u ) . Gọi J là hình chiếu vuông góc m của í xuông a thì d(I, a) = d(I,J). Xét G r i u j , U n , .... u , SI); do SI = SJ + J I và SJ là một tố hợp tuyến tinh của íũỊ,ũ^,..., ũ^} (vì SJ e ã) nên: GrtũỊ, ũ^, ũ^, SI) = G n u , , ũ^, u . SJ + J ì) = m 2 = Gr(ũ^, ũ* , 2 ũ ^ , J ĩ) = | | J Í | | G r ( ũ ^ ũt, ũ^) (vi J I trấc giao với các véctơ U j , ù? u ) . Vậy m Gr(a[, ũ £ , ... ảHl,a) = ^ r u Gr(Uj, u , 2 Ví dụ 1. a là đường t h ả n g tức m = 1. Lấy véctơ e & 0 thuộc Ịi thì 85
Nếu trong mục tiêu trực chuẩn cho a có phương, trinh x b x b x b 1 ~ l _ : ~ 2 _ _ n ~ n a a a l 2 n và cho đ i ế m ì có t ọ a đ ộ (xỹ, x^, xịp t h ì t a co' t h ế l ấ y Sib], b->, b ) v à e = ( a j , a-1, n a ) n n ê n có c ô n g thức: n n n 2 ỵ at. ỵ (xp - bj)2 - (Sa^'-bi)) -, 1=1 1=1 1 = 1 CHI. a) = — 2 af i = i ị Ì h(xf-b,) v -aYxp-b,) > J F I J , ' T , . _ Xi ị d-a, a) = i _ • 1=1 Với n = 2 hay n — 3, ta có t r ờ v ê c á c c ô n g Lhức tinh khoáng cách từ một điểm đến một đường thảng đ ã học ờ phổ r.hông t r u n g học. Vi du 2. a là 2-phảng, tức ni = 2. Láy m ó t cơ sà G r ( U j , U n , SI) 2 (ù,, 1 U ^ Ị c a : ã* t h i d ( I , a) = „ — » — — Gr(Uj, u ) 2 Theo c h ứ n g minh bổ đ ề ở t r ê n thì Gr(Uj, u-,, SI) = 'dety (ũ^, ũt, S I ) ) " (trong một cơ sở trực chuẩn £ = (ẽ^, ẽT, ẽ^) 3 3 c a E và E c h ứ a các véc t ơ U ị , u-,, S I ) . V à y 86
4etj.(ũ^ũt, SI))' 2 d (I,a) = uf.uj - ( u , . u ỵ : Do đ ó khi., n = 3 ta trờ vẽ công thức í inh khoảng cách từ một đ i ế m đến một mật phang đã học ở phổ thông trung học. 7. K h o ả n g c á c h giữa hai phảng. Cho hai điếm R, s theo thứ tự thuộc hai các phang ũ- và fi t r o ng k h ô ng g ian n Ocìít E , gọi ỵ là phảng đi qua s với ỹ* = ã* + /ì và gọi T là hình chiếu vuông Í T / góc của R lên phảng 7 thì RT trực giao v ớ i ỹ* = ã* + / T và RS = RT + TS mà fs G ỹ* n ê n đìa, li) = RTI Từ đó nếu Uị, llìt.h (ì u m là m ộ t cơ cở của ỹ*= ã* fi t h ì Gri.ũỊ", ú t , . . . , u , m RS) = : GriũT, I U , .... ũ * , RS + TS) Gr lu,, UY, u m > RT) = n RTB 2 Gr(u„ u , 2 .... u ) m Vây Gr(ũ^, .... u , R S ) m 2 d (a, P) Gr(ũ^, Ũ ^ . . . , Ũ Ị J Vi du 2. Nếu a v à /í là hai đường thẳng song s o n g thì ã* = ịi v à m = Ì, ta trờ l ạ i ví d u Ì ở phãr, 6, 87
ví du 2. Nếu a và Ị3 là hai đường thảng không song song- lấy các véctơ chỉ phương Uj c ủ a a và IU của P thì Gr(^, SR) G r ( U i , uó) Khi n = 3. a, /3 là hai đường thẳng chéo nhau. ta trờ vé công thức tính khoảng cách giữa hai đường thảng chéo nhau ở phổ thông trung học. 8. Khoáng cách từ một điểm đến một siêu phảng: Giả sử đối với mục tiêu trực chuẩn siêu phảng a có phương trình: + a x + a = ajX, + a-,x 2 n n o 0 Ta xét véctơ n = Ui, a , 2 .... a ).n Ta thấy rằng n trực ơiao với ã* Thát vây, giả sư u G õf khi đó tốn tại hai điểm M ( x j , X-,, x ),n N(yj, y , 2 ...,y ) n sao cho MN = ũ* Do đó ta có: n n a + a 0 ; ỵ a j X j + a 0 = 0 và 2 iY, o = 1= 1 1 = 1. n nên y aj(y, - Xj) - 0, tức là M N -L n. hay n X u với mọi 1=1 ũ* £ ã* Vậy Ti ± ã* (rí thường gọi là véctơ pháp tuyến của siêu phảng a). Bây giờ cho điểm KxỴ, xí,', xị}). G ọ i J là hình chiếu của ì trên siêu phảng a. Khi đó khoảng cách từ ì đến a bàng độ, dài véctơ IJ. Do IJ _L c f , n ê n u = tri (t e R); vậy J = I.XỴ + ajt, + a t, 2 xo + a t ) . n vỉ J G X nên n 2(x? +a t)a +ai i 0 = 0 1 =1 hay 88
2 a f +a jX 0 + (2 af ) t = '0 1=1 1=1 Suy ra n ỵ ajXp + a 0 i= l t = • ; n 2 a? i=l Từ I J = t n , ta suy r a n (Ea i X ?+a )2 0 LJ2 = t 2ĩ? hay ĨJ2 = t 2 ^ af = — ỉ"? 1=1 Vây •n I Sa i X P+a | 0 1 = 1 d(I, a) = Ị T - ^ a Ì ị' ' i=l vi du. Khi n = 2 hoặc n = 3, d ễ t h ấ y ta trở l ạ i các công thức tính khoảng cách từ một điếm đến một đường t h ả n g (hoặc t ừ m ộ t đ i ể m đ ế n m ộ t m ặ t phảng, đ ã học ờ p h ổ thông t r u n g học. 89
n §15. GÓC T R O N G E n Ì - Góc giữa hai véctơ u, V khác 0 trong E , đó là số tì m à 0 $ ớ í K v à cosớ = - V -^r II u i . | | v | | Rõ r à n g là: - Nếu l i . V phụ thuộc tuyến tính thì ( 9 = 0 hoặc tì = , T . Thật vậy t ừ V = Au ta suy ra c o s ỡ = = ± 1 ÌÃÌW - N ế u ũ* _L v * t h ì ỡ = 2 - Đ ố i v ớ i ba điểm A, B, c bất kì t a có c ô n g thức. 2 2 2 BC = AB + AC - 2AB. ACcosA trong đó ta dùĩìỆ kí h i ê u MN để chì d ( M , N ' ) , góc A là góc giữa hai véctơ AB v à AC. 2 2 2 Thật vậy. BC = (ÁC - ÃB)2 = Ãc + AB - 2ÃB.ÃC = 2 = AC- + A B - 2AB . ACcosA. 2. Góc giữa hai đường thẳng: Cho hai đường thảng a và b trong E n với phương lần lượt là và Góc giữa hai đường đ ó là số 0 mà 0 < e * ị v à cos* = -Jf^ v T Dễ thấy rằng định nghĩa đó không phu thuộc vào việc chọn các véctơ đại diện của các phương của hai đường t h ả n g a,b, và - Nếu a song song v ớ i b t h ì ớ = 0 90
Tí - Nếu a Ì b thì ớ = ^ 3. G ó c giữa hai s i ê u phảng: Cho hai siêu phảng a và ịi, lấy hai đường thẳng a, b l ẩ n lượt trực giao với a và ộ. Khi đó góc giữa hai siêu phảng a và p được định nghĩa là góc giữa hai đường t h ả n g a và b. Rõ r à n g định nghĩa t r ê n k h ô n g phụ thuộc vào việc chọn hai đường thảng a và b l ầ n lượt trực giao với a và Ịì. 4. Góc giữa đ ư ờ n g t h ẳ n g và siêu phảng. Cho đường thẳng a và siêu phảng ịi. Nếu a trực giao với siêu phảng /3 thi ta nói góc giữa a và ịi là góc vuông. Nêu a không trực giao với /3, thì ta lấy đường thẳng a' trực giao với 'ộ và xác định được góc ớ' giữa hai đường thẳng a và a'. K h i đó góc giữa a và Ị3 được xác định là góc tì mà tì > 0 và ớ = ^ - ớ' Nếu trong mục tiêu trực chuẩn cho p h ư ơ n g của a là (u) và véctơ pháp tuyến của ịì là n thì: •X ,\ , ĩu.ĩĩĩ sin# = sin (77 - ớ = cosớ = -s> :p=g ••2 / liu l i . li nil Ị - (u.nỵ cosớ = \| n §16. THẾ TÍCH TRONG E 1. T h ể tích c ủ a h ộ p . Xét m-hộp H xác định bời m + Ì đ i ể m độc lập P , 0 P(, p . Ta đật p j , = ^ , i = Ì, 2, m m 91
Thể tích của m-hộp H được kỉ hiệu V(H) và được định nghía V(H) = {Õĩ^ĩ, ũ£ ...Xm) Khi m = Ì, hộp H là đ o ạ n thẳng P Pi, 0 khi đó V(H) = Ịl^ll = d(P O I Vậy trong trường hợp này thế tích chính l à độ d à i đoạn thảng. Khi m = 2, t h ể tích 2-hộp còn g ọ i -là diện tích của nó. Trong m-hộp (P , 0 Pj, P ), m xét (m - l)-hộp H' xác định bởi (P , () Pị, P _i), m gọi là đáy của hộp H. Khoảng cách từ đinh P m tới (m - l)-phẳng chứa H' gọi là chiều cao cùa hộp ứng với đáy H' Định lý: Thề tích hộp bằng tích của thề tích hóp dày uà chiểu cao tuông ứng. Chứng minh: Gọi ì là hình chiếu của P m tr ẽ n (m-l)-phẳng ' chua H' thì ũ! = p~p_ = p ì + IP Váy Grtu[, Ũ^I = = Gr ^ , n, 2 .... u* , ĩ y m + ĨP ) m = = Gr ( ^ , ^, ^ ị , ĨP ) m (vi p j x u * , Vi = 1,2,....m-l) = Gr ( ^ , u, 2 .... í^.n* Từ đó suy ra V(H) = V(H'). d(I, p ) m 92
2. T h ể t í c h c ủ a d ơ n hình. Cho m-đơn hình s với các đinh P OI P, t P . m Gọi H là m - h ô p xác định bởi P , 0 Pj, P m T h ể tích của m-đơn hình s, kí hiệu V(S) và được định nghĩa là: V(S) = -^V(H) m! Khi n = 2 hay n = 3, ta trở vé các công thức tính diện tích, thể tích ở phổ thông t r u n g học. §17. Á N H X Ạ ĐẤNG C Ự CỦA CÁC KHÔNG GIAN ƠCLIT Ì - Đ ị n h nghĩ a: Ánh xạ f: E -» E' của các không gian ơclit E và E ' gọi là ánh xạ đảng cư nếu f là một á n h xa afin mà ánh xạ tuyến tính liên kết f: E —» E ' là một ánh xạ tuyến tính trực giao của E và E'. Từ đinh nghĩ a đó dễ d à n g suy ra đối với mọi cặp đ i ể m M . N thuộc E và ảnh của chúng M ' = f ( M ) , N ' = f(N) ta có d(M,N) = d(M', N'). Nói cách khác phép đảng cự bảo tốn khoảng cách giữa hai đ i ế m bất kì. Ngươc l ạ i : 2- Định lý: Mọi ánh xạ f: E —» E' giữa các không gian ơclit bào tòn khoảng cách giũa hai diêm bát ki là một ánh xa đấng cự. Chứng minh: Lấy ì £ E và r = f ( I ) . Xét ánh xạ f: E -» E' xác định như sau: 93
Nếu u £ E, ta lấy M £ E sao cho [M = u, và đát ffu) = I ' M ' , với M ' = f ( M ) . Ta chứng minh r k h ô n g thaỵ đổi tích vô hướng của hai véctơ. Giả sử có thêm V * E E, lấy N s E sao cho I M = ^*và f ( v T = Ỹĩí' với N ' = f(N'). Vì f bảo tổn khoảng cách giữa hai điểm nên d(M, N) = 2 2 d(M'.N'). Suy ra MIP = IVTN- « . ( I N - I M ) = d ' N ' - I ' N ' ) « . ĨN2 + IM2 - 2IN . I M = F N 1 2 2 + I ' M ' - 21'N" . I ' M ' => IN . I M = F N ' . I'M' tức là ũ*. v * = f f u ) . rtvỹ. Vì T h ả o tổn tích vô hướng nên f là á n h xạ tuyến tí nh trực giao và rõ ràng f là liên kết của f. Vậy f là phép đảng cư. Hê quả: Ánh xạ dằng cự bào tòn sỏ chiêu của các nhằng, tinh trúc giao của các phảng, khoảng cách giữa các phàng, thề tích của hộp của dan hình rà góc giữa các phàng. 3 - Biên d ổ i dẳng cự. Nếu f: E - * E là á n h xạ đẳng cự từ không gian ơclit vào chính nó thì vì f là đơn á n h nên nó là một sóng ánh (do E hữu han chiếu). K h i đó ta gọi nó là mót biến dổi dằng cư của không gian ơclit E. Ánh xạ r*liên kết với nó là một biến đ ố i tuyến tinh trực giao của E. Rõ ràng tập hơp các phép biến đối đ ầ n £ cự của E làm n n thành một nhóm con của n h ó m A f ( E ) , nó được kí hiệu là n Isora ( E ) . Các phép tịnh tiến h i ế n nhiên là phép đẳng cự, chúng n làm thành nhóm T ( E ) là n h ó m con của nhóm IsomiE"). 4. P h é p dời h ì n h và p h é p phản chiếu. Cho phép biến đối a f i n f: E n —» E có biếu thức tọa độ n đối với một múc tiêu trực chuẩn { 0 ; e,, e , ẽ*}. : x' = Ax + b 94
Khi đó A củng là ma t r ậ n của phép đẳng cáu tuyến Lính ĩ^đối với cơ sở trực chuấn {ép e , í' }. 2 n Bởi vây biến đối aim f là biến đổi đẳng cư khi và chỉ l khi A là ma t r ậ n trực giao tức A A = I . vỉ A là ma t r ậ n n trực giao nên đét A = ± 1 . Nếu A là ma t r ậ n trực giao và detA = Ì thì f gọi là một phép dài hình (hoặc phép dời). Nếu A là ma t r ậ n trực giao và đét A = - Ì thỉ f gọi là một phép phàn chiếu (hay phản. dời hinhj. n Rõ ràng táp hợp các phép dời của không gian ơclit E + n làm thành một nhóm, kí hiệu I s o m ( E ) . ó. P h é p đối xứng qua m - phảng Ta nhác l ạ i : moi phép biến đ ổ i afin f: E -» E nếu có n n tính j h á t đối hợp (tức ỉ 2 - Idp) thì hoặc f là phép đổng nhất hoặc f là phép đ ố i xứng xiên qua m-phảng a theo n phương T[ã*@ Ẹ* = E ) Bây giờ nếu phép f như t h ế là phép hiến đối đẳng cư thỉ í"là biến đổi tuyến tính trực giao. do đó nếu lấv : 5 õT và V * s (ỉ thì ffuT = ũ? f ( v j = - V nên do tính t r ú c giao của f ca có: ũ* V*- f fu T f f v ) = -ũ*. v*=> ũ*. v*= 0 ũ* X vT \'áy ã* L /3 Phép biến đ ố i đẳng cự f như t h ế gọi là phép dối xứng qua oliẩns a. Vây ta có: Moi phép biến dổi dằng cư dối hóp của E" nếu không nhài là. ohép dỏng nhát thì là một phép dối xứng qua in-nhằng. Dề tháy rằng phép đ ổ i xứng qua m-phẳng (.0 5 m í n - 1 1 của E là phép dời hình nếu n - m chần và là phép n phàn chiếu nếu n - m l ẻ . Đác biệt phép đổi xứng qua siêu phảng của E là phép phản chiếu. n 95
vi dụ 1. Mọi biến đổi đẳng cự f của E n giữ bất động moi điểm của một siêu phảng a phải là biên đổi đống nhất hay là phép đối xứng qua siêu phang a. Thật vậy khi • đó hiến đổi tuyến tính trực giao f: E n —* E n giữ bất động mọi »'éctơ cùa a nên nổ giữ bất động tí-, tức là f = Id-e (±id£t). n vi dụ 2: Mọi phản dời hình f của E giữ bất động mọi điểm của một t.n-2)-phầng fỉ (n 5= 2 ) phải là một phép đối xứng qua mót siêu phảng a D /3. Thật vùv, khi dó f giữ bất đông ]T nên nó giữ bất động. Ị5 X mà đ é t (ĩị^Ị - đét í Id = Ì > 0, do đó detfl 0; mặt khác dinựJ =2 ĩ í) ?1 nen phải có hai không gian riêng mót chiếu ứng với 151 giá tri riêng Ì và - 1 ; vậy có siêu phảng a chứa (i mà mọi điếm đêu bất động đối với f và f là phản dời hình nên f là một phép đối xứng qua siêu phảng a. 6. P h é p quay quanh ( n - 2 ) -phảng. n n Một phép dời f: E —» E gọi là phép quay quanh n-2)-phẩng P nếu í' b i ế n các điếm của ịi thành chính nó. Ta lấv điểm p Ệ ;i và P' L!Ì qua ,3 và p. a 2 là siêu phang trung trúc của đoan thảng PP' (tức đi qua trung điếm của PP' và vuông góc với đường thằng PP'). Với mọi điểm M G Ịi ta có f(M) = M suy ra MP = MP', do đó CL-, c h ứ a (n-2) -phảng /3 v à như vậy: a t n à, = (ì. 96
Gọi gị, g 2 lần lượt là các phép đối xứng qua a ị và «1 thì gọogị biến mọi điếm của fi " t h à n h chính nó và biến p thành P' Gọi 7 là 2-phẳng qua p và trục giao với ịi thì ỹ*= p*- và f, g " g i 2 đểu giữ 7 bất biến và chúng hoàn toàn được xác định bởi fI „ và (g2»gi)l - 7 Nhưng rõ ràng detf|_^ > 0, det(g ~J,|_J 2 > 0 và fjjIP) = g ^ l ^ I P ) = IP (ỏ đ â y ì = 0 T ừ đ ổ s u r a f = /j n y) n ê n f[_» = ấ2 ểi 1 ^ y g2°ểi- Tóm lại mọi phép quay quanh (n-2) phảng ộ đểu có thể xem là tích của hai phép đối xứng qua hai siêu phảng (có thế chọn hai siêu phảng đố bằng nhiều cách khác nhau). Ngược lai, tích của hai phép đối xứng qua hai siêu phảng cát nhau theo (n-2)- phang p là m ộ t phép quay q u a n h Ịỉ. 7. Điểm bất dộng và véctơ bất động của phép biên đổi đẳng cự. n n Cho f: E —»• E Điểm M gọi là điểm bất động của f nếu f(M) = M . Véctơ ũ*gọi là véctơ bất đ ộ n g của r*nếu Tĩu) = ù" Ta ki hiệu: n Invơ) = {M G E | f(M) = M} ỉnvT= {u*e E n I ffu) = ũ] = Ker ị}"*- I đ ^ n ] Định lí: Cho f: E" —» E" là mót biến dổi dàng cư cùa không gian OcLit É". Khi dó ì) Nếu ỉnu(f) 0 thi nó Là cái phảng có phương là Invĩ. li) Nếu Inuf*= { õ) thi f có điềm bát dòng duy nhát. úi) Nếu Inv(ĩ) có số chiều bàng q thi. f là phé p dài hình hay phản chiếu tùy theo n-q Là chẵn hay lẻ. 97