Giáo trình Hình học sơ cấp: Phần 2

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:113

Thêm vào BST

Báo xấu

698
lượt xem 143
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Hình học sơ cấp cung cấp cho sinh viên các phương pháp khác nhau giải toán hình học: Phương pháp tổng hợp, phương pháp véctơ, sử dụng các phép biến hình để giải toán. Giáo trình gồm 2 phần, sau đây là phần 2. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Hình học sơ cấp: Phần 2

PHẨN THỨ H A I HÌNH ĐA D I Ệ N . HÌNH L ồ i . BIÊN HÌNH. DỰNG HÌNH Các nội dung chủ yêu của hình học sơ cấp được t r ì n h bày ở phần này nhằm giúp học viên cao học có cơ sở nghiên cứu sâu sắc hơn các v ấ n đề tương ứng được xét trong giáo t r ì n h toán học ở trường phô thông. Ngoài mửc đích nói t r ê n vấn đề h ì n h đa diện, h ì n h lồi, biến hình, dựng hình n ê u trong phần thử hai này còn là những vấn để cơ sở soi sáng các giáo trình tự chọn cho học sinh ờ trường phô thông trung học p h â n ban thuộc khoa học tự nhiên. K h i t r ì n h bày các nội dung nói t r ê n c h ú n g tôi đã chú trọng phướng p h á p định hướng tìm tòi lời giải các bài toán, chú trọng khắc phửc những khó k h ă n về mặt phương p h á p giải các bài t o á n dựng hình, các bài toán giải được bằng phương p h á p biên h ì n h và t r ì n h bày các tính chất của các phép biên hình nhờ sử dửng công cử véctơ, tạo môi liên k ế t trong giữa các chương mửc k h á c nhau của giáo t r ì n h toán học ở trường phổ thông. CHƯƠNG H I HÌNH ĐA D I Ệ N VÀ HÌNH L ồ i §1. Góc n h ị d i ê n và góc tam d i ệ n 1. Đinh nghĩa góc nhị diên và góc tam d i ệ n Giả sử (P) và (Q) là hai mặt phảng cắt nhau theo giao tuyến a. Dường thẳng a phân chia mỗi mặt phang (P), (Q) thành hai nửa mặt phang. Kí hiệu a và (3 là hai nửa mặt phang tương ứng thuộc (P) và (Q) (H. 25 ). Hình tạo bởi hai nửa mặt phang a và p được gọi 81
là góc nhị diện; các nửa mặt phang a, p gọi là mặt của góc nhị diện; đường thẳng a gọi là cạnh của góc nhị diện. Một mặt phang (R) vuông góc vối a cắt a và p theo các nửa đường thắng p, q tạo t h à n h góc phang nhị diện. ọ p Vì các góc có cạnh tương ứng song song và cùng chiều thì bằng nhau nên t ấ t cả các góc phang của a \L góc nhị diện bằng nhau. Số đo của góc phang nhị diện ọ gọi là số đo của (H.25) góc nhị diện. Vì vởy, cp nhởn giá trị n h ư sô đo góc giữa hai tia trong mặt phang, nghĩa là: ũ < ọ < 7T . C h ú ý: Cần p h â n biệt góc giữa hai m ặ t phang (P ), (Q) và góc nhị diện tạo bởi hai nửa m ặ t phang a và p . Hai m ặ t phang (P), (Q) cắt nhau tạo t h à n h bốn góc nhị diện có số đo (pi thoa m ã n : 0 < (Pi < 71. Vì tổng bốn góc bằng 2 71 n ê n ắ t phải có một góc c h ă n g hạn: 0 < (pj < —. Lúc đó, (p, là số đo góc giữa (P) và (Q). , „ „. .. TI Vây: (p = (p, n ê u 0 < (p < — ọ + ọ, = n n ê u — < (p Giả sử a, b, c là ba nửa đường t h ắ n g k h ô n g cùng n ằ m trong một mặt phang, xuất p h á t từ một điểm s. Các nửa đường thang a, b, c tạo t h à n h ba góc (a,b); (b,c); (c,a) ( h ì n h 26). Hình tạo bơi ba góc (a,b); (b,c); (c,a) được gọi ìầgóc tam diện, các nửa đường thẳng a, b, c gọi là các cạnh của góc tam diện, các 82
góc phang (a,b); (b,c) ; (c,a) gọi là mặt (góc phang) của góc tam diện. Các m ặ t phảng của các góc (a,b) và a (a,c) cắt nhau theo đường thang chứa a. \ Các nửa m ặ t phang của hai m ặ t \ A. c phang trên tương ứng chứa b và c tạo t h à n h một góc nhị diện. Góc nhị diện này được gọi là góc nhị diện của góc a c tam diện, có canh a (g"óc nhị diện đôi diện với góc phang (b.c)). bi \ 2. Đ ị n h lý h à m s ô c ô s i n v à đ i n h (H.26) lý h à m s ô s i n đ ô i với g ó c t a m d i ê n Đ ị n h l ý 1: Nếu ạ, p, ỵ là các góc phang của một góc tam diện và c là góc nhị diện đôi diện với góc phang a thi: cosa = cos/ỉ COSỴ+ sin/3 sinỵcosC. Chứng minh: Không l à m m ấ t tổng q u á t đ ặ t a = (a,b); p = (b,c) ; y = (c,a) „ , 71 = = ÍT (hình 26). G i ả sử 0 < a, p, Y < y . Trong trường hợp p y 2 định lí được k i Ỵ m tra trực t i ế p . Nêu một trong hai góc p , y tù, chẳng h ạ n Ỵ > — t h ì xét tia đôi a' của a qua s và xét góc tam diện tạo bởi ả, b, c. Mặt phang (R) vuông góc với c t ạ i c cắt a, b tương ứng t ạ i các điỴm A,R. Giả sử se = Ì , khi đó: 83
BC = tgp; AC = toy: SB = , SA=—— cosP cosy Áp dụng định lý h à m sốcôsin đối với các tam giác ABC và SAB ta có: 2 A B = t ^ p + tg*y - 2tg ptgycosC (1) Ì Ì 2 Và: AB = — — + —— cosa (2) COS'P cospcosy COS ý Từ c á c đẳng thức (1) và (2) suy ra: Ì Ì 2 „ n ^ 2cosa ——• - tg p + —4- - tg Y + 2tgptgycosC = ' cos p COS y cospcosy cosa o Ì + tgptgycosC = cos|3cosv cosPcosy + sin Ị3sinycosC = cosa Đ ị n h lý 2: (Định lý h à m sô sin). Nếu a, p, y là các góc phang của góc tam diện; A, B, c tương ứng là các góc nhị diện đôi diện với chúng thỉ: since sinp siny sinA sinB sinC Chứng minh: Đặt t r ê n cạnh c của góc tam diện điểm M sao cho SM = 1. Gọi H là hình chiếu vuông gáo của M trên mặt phang chứa các canh a, b. Dựng HA Ì a và H B Ì b (H.27). K h i đó, Ả = MAU; ố = MBH . Từ tam giác vuông MSB suy ra: M B = sina. Từ tam giác vuông M B H nh n được M H = MB.smB = sina.sinB. 84
M ặ t k h á c , t ừ các tam giác vuông MSA và M H A , suy ra M H = sinp sin A. So s á n h các đẳng thức t r ê n ta có: sincc.smB = sinp.sinA since sinp s L hay —— = — - sinA sinB Tương tự ta chứng minh được: sinP siny sinB sinC Vậy: sina sinp siny sinA sinB sinC 3. Góc tam d i ê n đôi cực: Giả sử a, b, c là các cạnh của góc tam diện đỉnh s. M ặ t c phang của góc (b, c) p h â n chia không gian t h à n h hai nửa k h ô n g gian. Vẽ qua s nửa đường t h ắ n g a' vuông góc với mặt phang (b, c) và thu c nửa không gian k h ô n g chứa nửa đường thang a. Tương tự, dựng các nửa đương thang b', c' v u ô n g góc vối các mặt ã phang chứa các góc (a,c); (a,b) tương ứng. (H.28)
Góc tam diện có các cạnh ai, b', c' được gọi là góc tam diện đôi cực của góc tam diện (a. b, c) (hình 28). Dễ d à n g k i ể m tra tính đôi cực của góc tam diện là đối xứng, nghĩa là nêu góc tam diện (à", b', c') là đối cực của góc tam diện (a, b, c) thì góc tam diện (a, b, c) là góc tam diện đối cực của góc tam diện (a', b', c'). Từ các tính chất của đương thẳng và mặt phang vuông góc suy ra: các góc phang và góc tam diện đôi cực tường ứng bù với các góc nhử diện cùa góc tam diện đã cho. Ví dụ: góc phang (ly, é") bù với nhử diện cạnh a của góc tam diện (a, b, c). Đ ị n h lý 3: Nếu A, B, c là các góc nhị diện của góc tam diện, ỵ là góc phăng đôi diện với góc nhi diện c thì: cosC = - cosAcosB + sinAsinBcosỵ. Đửnh lý này là hệ quả của đửnh lý 2, và sử dụng tính chất của góc tam diện đôi cực. 4. Các bất đ ắ n g thức đôi với g ó c tam d i ê n Đ ị n h lý 4: Trong một góc tam diện, mỗi góc phang bé hơn tông của hai góc phang khác. Chứng minh: Giả sử oe, p, 7 là các góc phang của góc tam diện. Theo đửnh lý 2 ta có: cosy = cos a.cosp + sina.sinp.cosC. Vì cosC > - Ì và sin p, sin a > 0 nên cosy > cosa.cosp - sina.sinp, hay cosy > cos(a + p). Do h à m số côsin nghửch biến trong khoảng (0, 7c) suy ra Y < a + p . Định lý 5: Tông các góc phang trong một góc tam diện bé hơn 2ĩT. (Để nghử bạn đọc tự chứng minh). 86
Đ ị n h lý 6: Tống các góc nhị diện của một góc tam diện lớn lì ơn JT. Chứng minh: G i ả sử oe, p , 7 t ư ơ n g ứ n g là độ l ớ n c á c góc n h ị d i ệ n c ạ n h a, b, c của góc t a m d i ệ n Sabc. T ổ n g độ l ố n c á c góc p h a n g của góc tam d i ệ n đ ố i cực Sa'b'c' của góc t a m d i ệ n Sa be t h ỏ a m ã n : b'Sc' + c'Sa' + a'Sb' < 271 ( đ ị n h lý 5). Theo t í n h c h ấ t góc tam d i ệ n đôi cực ta có: (71 - a ) + (ri - p, 4 (71 - y) < 271 h a y 7t < a + p + y. N g ư ờ i ta x á c đ ị n h đ ộ l ớ n của góc t a m d i ệ n S A B C đ ỉ n h s là: ọ + Ố + C - TI. T r o n g đó, A . B . C t ư ơ n g ứ n g là độ l ớ n góc n h ị d i ệ n c ạ n h SA, SB, SC. Đ i n h lý 7: Độ lớn của một góc tam diện là sô dương và nếu một góc tam diện được phân chia thành hai góc tam diện băng mặt phang đi qua một cạnh thi độ lớn góc tam diện đã cho băng tông độ lớn của hai góc tam diện được phẫn chia. Chứng minh: Theo đ ị n h lý 6, t ô n g c á c góc n h ị d i ệ n của m ộ t góc t a m diện l ớ n h ơ n TI, suy ra: A + B+ c -71 > 0. G i ả sử m ặ t p h a n g ( S A M ) c h i a góc t a m d i ệ n S A B C t h à n h hai góc t a m d i ệ n S A M B v à S A M C . G ọ i t ô n g đ ộ lớn các góc n h ị diện của góc t h ứ n h ấ t l à à + (3 + ý', của góc t h ứ h a i là a" + y + 7 ", t r o n g đó a", a" c h u n g c ạ n h SA; ý', y" c h u n g c ạ n h S M . K h i đó, độ l ố n của góc t a m d i ệ n t ư ơ n g ứ n g l à : a'+p+y'-7t v à
(góc nhị diện cạnh SA), Ý + ý" = ít. Từ đó, tông trên bằng a + p + + Y - 71, là độ lớn góc tam diện SABC. §2. G ó c đ a d i ệ n Giả sử ai, a,,..., a n là các nửa đường thẳng, trong đó không có ba nửa đường thẳng nào c ù n g thuộc một mặt phang và t ấ t cả các nửa đường thẳng trên cùng xuất &4 phát từ điểm s. a Hình tạo bởi các góc / phảng (a„ a ), (a , a ),..., 2 2 3 (a a,) được gồi là góc đa nl diện ( hình 29 ). Điểm s gồi là đỉnh của góc đ a (H.29) diện, các nửa đường thẳng a,, a ,..., a„ gồi là 2 các cạnh của góc đa diện. Các góc nhị diện tạo bởi hai m ặ t kê nhau gồi là góc nhị diện của hình đa diện. Góc đa diện được gồi là góc đa diện lồi n ê u nó được sắp xếp về một phía m ặ t phang của bất kì góc phang n à o của nó. Góc đa diện l ồ i được gồi là đểu n ê u các góc phang bằng nhau và các góc nhị diện bằng nhau. Đ ị n h lý 1: Tông các góc phang của một góc đa diện lồi bé hơn 2n. 88
Chứng minh: G i ả sử a u a ,... a„ là c á c c ạ n h của m ộ t góc đ a d i ệ n l ồ i đ ỉ n h s. 2 Đ ặ t t r ê n các c ạ n h a , a t 2 c á c đ i ế m A j , Aọ. L ấ y đ i ế m A t r ê n c ạ n h 3 a 3 đ ủ g ầ n v ớ i đ i ế m s sao cho m ặ t p h a n g (a) qua ba đ i ể m Ai, A,, A 3 c ắ t t ấ t cả c á c c ạ n h a,, a ... a 2> n ( h ì n h 29). G i ả sử A ] , A , , ... , A„ l à giao của m ặ t p h a n g (a) v ớ i c á c c ạ n h của góc đ a d i ệ n s. Do góc đ a d i ệ n s l ồ i suy r a đ a giác p v ớ i c á c đ ỉ n h A , , A , 2 A lồi. n X é t góc đ a d i ệ n s v à c á c góc t a m d i ệ n v ớ i c á c đ ỉ n h A j , Ao, .... A . T ỗ n g t ấ t c ả c á c góc p h a n g t ạ o t h à n h t ừ c á c góc c ủ a đ a g i á c p n là roi - 2n. T ỗ n g c á c góc c ủ a c á c t a m g i á c A Ị A Ọ S , A A S , . . . , A A j S 2 3 n bằng n i . Từ đó tỗng t ấ t cả các góc phang bằng 2n7i - 271. T r o n g m ỗ i góc t a m d i ệ n đ ỉ n h A , góc p h a n g t h u ộ c đ a g i á c p k b é h ơ n t ô n g c ủ a h a i góc k h á c . Vì t h ê t ô n g t ấ t cả c á c góc p h a n g t ì m được ở t r ê n l ố n h ơ n ( n u - 2n ).2 + d ( d l à t ỗ n g c á c góc p h a n g ở đ ỉ n h s ) , n g h ĩ a l à ( me - 271 ).2 + d < 2n7t - 271. T ừ đ ó d < 2%. N g ư ờ i t a g ọ i độ lớn c ủ a m ộ t góc đ a d i ệ n S A i A . . . A „ l à h i ệ u 2 c ủ a t ô n g đ ộ l ớ n t ấ t cả c á c góc n h ị d i ệ n c ủ a n ó v à t ô n g đ ộ lớn t ấ t cả c á c góc t r o n g c ủ a đ a g i á c A j A 2 ...An n h ậ n được t ừ giao đ i ể m c ủ a m ộ t m ặ t p h a n g (oe) v ớ i t ấ t cả các c ạ n h c ủ a góc đ a d i ệ n . Đinh l ý 2: Độ lớn của một góc đa diện luôn dương và nêu một góc đa diện là hợp hai góc đa diện chung mặt và không có điểm chung trong thỉ độ lớn của nó băng tổng độ lớn của các góc đa diện thành phần. C h ứ n g minh: Tính cộng được c ủ a độ l ớ n góc đ a d i ệ n dễ dàng chứng m i n h , chỉ c ầ n chia góc đ a diện t h à n h c á c góc t a m d i ệ n (xem 89
định lý 7, §.1). Từ sự p h â n chia t h à n h các góc tam d i ệ n suy ra độ lớn bất kì góc đa diện n à o cũng dương. Đ i n h lý 3: Tong độ lớn các góc đa diện có đỉnh chung, không có điểm chung trong và hợp của chúng là toàn bộ không gian bằng ẩn. Chứng minh: Dễ d à n g kiêm tra, độ lớn của một góc tam diện vuông (ba góc phang đều vuông bằng — . Ba mặt phang đôi một vuông góc p h â n hoạch k h ô n g gian t h à n h t á m góc tam diện vuông. Tổng độ lớn của c h ú n g bằng 8— = 471. Từ trên và t í n h cộng dược suy ra tổng độ lớn của góc đa diện bất kì bằng 47t. §3. H ì n h đ a d i ệ n 1. T h ể h ì n h h ọ c Giả sồ G là một h ì n h t r ê n mặt phang. Điểm X của hình G được gọi là điểm trong n ê u t ồ n t ạ i s > 0 sao cho t ấ t cả các điểm M thuộc mặt phang mà khoảng cách d(X, M) < 8 , đều thuộc G. H ì n h G dược gọi là miền nếu mỗi đ i ể m của nó đều là điểm trong và có t h ê nối hai điểm bất kì của nó bằng một đường gấp k h ú c cũng thuộc hình G. Ví dụ: Hình tròn k h ô n g kể đường tròn biên là một miền. Giả sồ G là một miền trên mặt phang. Điểm X thuộc mặt phàng được gọi là điếm biên đôi với miền G, nêu V e > 0 tìm được 90
các điểm M sao cho d(X, M) < e , M e G và tìm được các điểm N ỉ G sao cho d(X, N) < E . Các điếm biên tạo t h à n h biên của miền G. Hợp của miền G và biên của nó là miền đóng. Ví dụ: Đa giác l ồ i và các điểm trong của nó tạo t h à n h một miền đóng. Hoàn toàn tương tự n h ư trong mặt phang, c h ú n g ta có t h ê định nghĩa các điếm trong của hình không gian, k h á i n i ệ m miền không gian và biên của m i ề n đó. Một m i ề n k h ô n g gian đóng được gọi là thê hình học. 2. H ì n h đa d i ê n a. Đ ị n h nghĩa: Hình đa diện là t h ê mà biên của nó gồm một số hữu hạn h ì n h đa giác. Các đa giác gọi là các mặt của hình đa diện, các đỉnh của đa giác gọi là các đỉnh của h ì n h đa diện. Các góc đa diện t ạ i mỗi đỉnh gọi là góc đa diện của hình đa diện. Hình đa diện được gọi là lồi nếu t ấ t cứ các điểm của nó nằm vê một phía mặt phang của mỗi một mặt của nó. Ví dụ: Hình l ă n g t r ụ , hình hộp, hình chóp được nghiên cứu ở trường phổ thông đ ề u là những hình đa diện l ồ i . b. Một s ố t í n h c h á t c ủ a h ì n h đa d i ệ n Sau đây, chúng ta chỉ xét một sô tính chất của hình đa diện lồi. Giứ sử m là số m ặ t của hình đa diện, c là sô cạnh, d là số đỉnh, m là sô m ặ t k - giác, d là sô đỉnh của h ì n h đa diện t ạ i đó k k xuất p h á t k cạnh. T í n h c h ấ t 1: 2c = 3 m + 4m + ... + k m + . . . 3 4 k 91
Thật vậy, do mỗi cạnh chỉ thuộc hai mặt và mặt n à o cũn? tính cạnh suy ra 2c = 3m + 4m + ... + k m + ... 3 4 k T í n h chất 2: 2c = 3d, + 4d, + 5d + ... 5 Thật vậy, do có hai đỉnh cùng thuộc một cạnh, vế p h ả i của đắng thức chứng tỏ rằng mỗi cạnh được t í n h hai l ầ n . T í n h c h ấ t 3: Tông độ lớn t ấ t cả các góc phang của h ì n h đa diữn bằng 2n (c-m). Thật vậy, đ á n h số t ấ t cả các m ặ t của hình đa diữn theo chỉ số i =1,2,...m. Ký hiữu Cj là số cạnh của mặt thứ i . Khi đó, tổng t ấ t cả các góc phang được tính theo công thức: m m s~y-x.(c -2) = 7t^Cj -2.7i.rn 1=1 1=1 m c Nhưng: X , = 2c . Suy ra s = 27i(c-m). i=i Dưới đây chúng ta xét mối quan hữ giữa sô đỉnh, số mặt và số cạnh của một hình đa diữn l ồ i . Đ i n h lý 1: (Định lý ơle) Trong một hình đa diện lồi, sô đỉnh cộng ươi số mặt trừ sô cạnh băng 2: d + m -c = 2. Chứng minh: Giả sử s là điểm trong của hình đa diữn lồi nào đó. Chúng ta xét các góc đa diữn đỉnh s tựa trên các mặt của hình đa diữn (cạnh của một góc đa diữn đi qua các đỉnh của một mặt nào đó). Hợp của t ấ t cả các góc đa diữn chung đỉnh s là toàn bộ không gian. Theo định lý 3, §2, tông độ lớn các góc đa diữn xét t r ê n bằng 471. Tống n à y nhận được bằng cách lấy tồng của t ấ t cả các góc nhị diữn t r ừ di tông t ấ t cả các góc trong của t ấ t cả các m ặ t của 92
h ì n h đa diện. Vì tống các góc nhị diện chung cạnh xuất p h á t từ s và đi qua đỉnh của một mặt nào đó bằng 27ĩd, vì số đỉnh bằng d nên tổng t ấ t cả các góc nhị diện bằng 271 (c - m) (tính chất 3) nên 2iud- 2rc (c - m ) = 471. Từ đó suy ra: m + d - c = 271. Định lý được chứng minh. 3. H ì n h đ a d i ệ n đ ể u M ộ t h ì n h đa diện l ồ i được gắi là đều n ê u các m ặ t của nó là tam giác đều có c ù n g một và chỉ một số cạnh và t ạ i mỗi đỉnh của da diện dó xuất p h á t số cạnh bang nhau. Đ i n h lý 2: Các mật của hình đa diện đều chỉ có thê là tam giác đều hoặc hình vuông, hoặc là ngủ giác đều. Chứng minh: Thật vậy, bắt đ ầ u từ các đa giác đều với số cạnh lớn hơn J , 2K hoặc b ă n g 6, các góc trong cua chúng k h ô n g bé hơn — . K h i đó, 3 bởi vì t ạ i mỗi đỉnh của hình đa diện xuất p h á t không ít hơn 3 cạnh, suy ra góc đa diện ở đỉnh của h ì n h đa diện đều có tông các góc phang k h ô n g bé hơn 3.— = 2n. Điêu đó m â u t h u ẫ n vối 3 định lý Ì, §2. Nêu các m ặ t của h ì n h đa diện đêu là các tam giác đều thì số cạnh xuất p h á t từ một đỉnh của h ì n h đa diện không t h ể lớn hơn 5. T h ậ t vậy, n ê u ngược l ạ i , tổng các góc phang của h ì n h đa diện sẽ k h ô n g bé hơn 271. Điểu đó k h ô n g t h ể xảy ra. N h ư vậy, các hình đa diện đêu với các mặt tam giác, số cạnh xuất p h á t t ừ một đỉnh chỉ có t h ể bằng ba, bốn hoặc n ă m . Các hình đa diện đều nói t r ê n t ồ n t ạ i . Đó là hình tứ diện đểu, b á t diện đều và h ì n h hai mươi m ặ t đều (hình 30). 93
(H.30) Trong hình tứ diện đề u t ạ i mỗi đỉnh xuất p h á t đúng 3 cạnh. ơ hình bát diện đêu t ạ i mỗi đỉnh xuất phát đúng bốn cạnh. Trong hình 20 mặt đề u - đúng n ă m cạnh. Nêu h ì n h đa diện đề u các mặt là / ' V. hình vuông, thì sô cạnh xuất p h á t t ạ i z' / \ V mỗi đinh của hình đa diện k h ô n g lớn Ị < V- hơn ba, do vậy đ ú n g bằng 3. H ì n h đa I / x diện tương ứng là hình lập phướng. / / N ế u hình da diên có các m ặ t là ngũ \ / \ / giác đề u thì t ạ i mỗi đỉnh của nó cũng chỉ ~~ xuất p h á t ba cạnh. Hình đa diện tương (H 31) ứng là h ì n h 12 mặt đề u (hình 31). Định lý 3: Trong một hình đa diện đều. Tất cả các góc nhị diện bằng nhau. Thật vậy, trong trường hợp t ạ i mỗi đỉnh của hình đa diện xuất p h á t đ ú n g ba cạnh thì các góc nhị diện của góc tam diện được xác định đớn trị qua các góc phang nhờ định lý h à m số côsin trong góc tam diện (định lý Ì, §1). Các trường hợp còn l ạ i dựa vào sự p h â n chia các góc đa diện t h à n h các góc tam diện, hoặc s dụng phép dời hình trong k h ô n g gian. Bạn đọc tự chứng minh chi t i ế t . 94
§4. H ì n h l ồ i 1. Khái n i ệ m h ì n h l ồ i Hình lồi trên m ặ t phang là giao của một số hữu hạn hay vô hạn các nửa mặt phang . Ví dụ: H ì n h tròn (C) là hình l ồ i , vì h ì n h tròn (C) là giao của tập hợp vô h ạ n các nửa mặt phang chứa (C) tương ứng có bờ là các đường t h ẳ n g t i ế p tuyến của (C) (hình 32). Từ định nghĩa t r ê n , nếu chỉ hạn chê các h ì n h nhận được là giao của một sô hữu hạn các nửa mặt phang, c h ú n g ta có một lớp các h ì n h đa giác l ồ i (hình 33). (H.32) (H.33) Hình H trong k h ô n g gian được gọi là lồi n ê u H là giao của tập hợp hữu hạn hay vô hạn các nửa không gian. Nếu H là giao của tập hữu hạn các nửa k h ô n g gian thì H là hình đa diện l ồ i . Trong lý thuyết h ì n h l ồ i , người ta đã nêu định nghĩa sau, không p h â n biệt trong mặt phang hay k h ô n g gian: 95
H ì n h H được gọi là lồi n ê u m ọ i cặp đ i ể m A , B t h u ộ c H t h ì đ o ạ n t h ẳ n g A B c ũ n g t h u ộ c h ì n h H ( H ì n h 32, 33). L ý t h u y ế t h ì n h l ồ i l à m ộ t l ĩ n h vực t o á n học p h á t t r i ể n m ạ n h m ẽ v à o n ử a c u ố i của t h ế k ỉ X X . S ự p h á t t r i ể n h ư ớ n g h ì n h học n à y đ ã g ó p p h ầ n n g h i ê n c ứ u s â u sởc c á c t í n h c h ấ t c ủ a c á c h ì n h đa giác l ồ i và đa d i ệ n l ồ i . Bởi vì, n h i ề u k ế t q u ả liên q u a n đ ế n h ì n h l ồ i là ở chỗ có t h ể t h a y t h ế m ỗ i h ì n h p h a n g l ồ i hay m ộ t t h ể l ồ i t r o n g k h ô n g g i a n t ư ơ n g ứ n g b ở i da giác l ồ i hay đ a d i ệ n l ồ i g ầ n c h ú n g bao n h i ê u t u y ý. Có t h ể s á n g t ỏ đ i ề u đó b ằ n g ý nghĩa h ì n h học sau: " K h o ả n g c á c h " giữa m ộ t h ì n h l ồ i t r ê n m ặ t p h a n g v à m ộ t đ a g i á c l ồ i n ộ i t i ế p t r o n g n ó có t h ế l à m bé h ơ n m ộ t số d ư ơ n g b ấ t k ỳ cho t r ư ớ c b ằ n g c á c h l ấ y s ố c ạ n h của h ì n h đ a g i á c đ ủ l ớ n . C h í n h vì n h ữ n g lí do n ó i t r ê n t r o n g mục n à y c h ú n g tôi chi x é t m ộ t s ố t í n h c h ấ t , đặc b i ệ t là m ộ t số ứ n g d ụ n g t h u ộ c p h ạ m v i của h ì n h học t ô hợp. 2. T í n h c h ấ t c ủ a h ì n h l ồ i v à ứ n g d ụ n g của n ó a. Giao của một tập hợp các hình lồi là một hỉnh lồi T h ậ t v ậ y , g i ả sử H i l à các h ì n h l ồ i . H = H , n H 2 n... n H n n... G i ả sử A, B là h a i đ i ể m thuộc H . K h i đó, A E H i v à B € H i , V i . D o H i l à h ì n h l ồ i , suy r a đ o ạ n A B thuộc H j với m ọ i i . T ừ đó A B c H . b. Bao lồi của hệ n điểm M ộ t t r o n g n h ữ n g ứ n g d ụ n g của h ì n h l ồ i là s ử d ụ n g k h á i n i ệ m bao l ồ i của h ệ n đ i ể m đ ể g i ả i c á c b à i t o á n t r o n g m ặ t p h a n g v à k h ô n g gian. 96
Bao lồi c ủ a h ệ n đ i ể m t r o n g m ặ t p h a n g l à m ộ t đ á g i á c l ồ i sao cho c á c đ ỉ n h của n ó t h u ộ c h ệ n đ i ế m đ ã cho, c á c đ i ế m c ò n l ạ i c ủ a h ệ h o ặ c t h u ộ c c ạ n h hoặc l à đ i ể m t r o n g c ủ a đ a g i á c đó. C á c h x â y d ự n g bao l ồ i c ủ a h ệ n đ i ể m n h ư sau: G i ả s ử cho h ệ n đ i ể m A j , A , . . . , A . X é t đ ư ờ n g t h ẳ n g A sao 2 n cho ri đ i ể m đ ã cho t h u ộ c n ử a m ặ t p h a n g t ạ o bởi bờ A. K h ô n g l à m mất t ổ n g q u á t xem A là đ ư ờ n g t h ẳ n g đọng. T ĩ n h tiên đường t h ẳ n g A đ ế n v ị t r í Ai c h ọ a đ i ể m A j . Q u a y A i q u a n h A i đ ế n vị t r í A 2 sac cho A 2 đi qua đ i ể m t h ọ h a i của h ệ , v à ta k ý h i ệ u là đ i ể m A . N ế u có n h i ê u đ i ể m t h ẳ n g h à n g t h u ộ c Ao t h ì A 2 2 được c h ọ n l à điểm có k h o ả n g c á c h t ớ i À ; l ớ n n h ấ t . X é t p h é p quay đường thẳng A 2 quanh điểm A 2 c ù n g c h i ề u v ớ i p h é p q u a y t r ê n đ ế n vị t r í A 3 c h ọ a đ i ể m của h ệ v à t a k ý h i ệ u l à A 3 . . . Sau m ộ t sô h ữ u h ạ n c á c p h é p quay c ù n g chiểu, chang h ạ n đ ế n p h é p q u a y t h ọ k ( k < n ) q u a n h A , đ ư ờ n g t h ẳ n g A đ ế n vị k k trí chọa đ i ể m A j . C h ú n g ta A 2 t h u được m ộ t h ì n h đ a g i á c l ồ i k c ạ n h (giao c ủ a k nửa mặt A 2 A3 p h ả n g c h ọ a h ệ đ i ể m đ ã cho). ^ Như vậy, rõ ràng các •A \A4 7 đỉnh của đa g i á c theo cách A> d ự n g bao l ồ i l à c á c đ i ể m c ủ a VÍA hệ. Các điểm còn l ạ i hoặc t h u ộ c c ạ n h c ủ a đ a g i á c , hoặc nằm trong đa giác. Trên hình 34, mô tả cách xây d ự n g bao l ồ i của h ệ gồm 7 đ i ể m A i , A , . . . , A . Bao l ồ i đ ó 2 7 (H.34) 97
là ngũ giác lồi A,A.,A ,A.|A A,;. : 5 Dưới đây chúng ta h ã y xét một số ví dụ ứng dụng: Ví d ụ 1: Trên mặt phang cho n điềm, không phải là các đình của n-giác đều. Chứng minh r ằ n g có t h ể chọn được ba điểm là ba đỉnh của 7 1 . - l i - . . một tam giác có một góc k h ô n g vượt quaí — . n Chứng minh: Giả sử p = là tập hợp 2 n điếm đã cho. G i ả sử M r M , . M , . . . , M„ được đ á n h 2 số sao cho M M j M là góc n 2 của m - g i á c l ồ i T (bao lồi) m < n (hình 35). Trên biên hoặc bên (H.35) trong của bao lồi T các điểm của P được s p xếp theo t h ứ tự đ á n h sô sao cho các tia n M , M , M,M„ M,M„ 2 M,M„ theo t h ứ tự ngược chiều k i m đồng hồ. N h ư vậy, các tia đi qua các điểm t r ê n biên hoặc điểm trong sẽ t r ù n g với canh của góc, hoặc một số tia t r ù n g nhau. K h i đó, TI = M , M M 2 n + M M , . \ Ị + M \1.\L = : = M . M M , + \1 .\Ị,.\1. ị M M M : • M M M , + ... + \ L M , : Vì vậy, nêu min M , \ Ị M , = a ( i , J , k = Ì , 2, n) thì M,MvM n + MỈAJA 2 + .\Ị,\IM + M , M , M , + ... + M _ M M n 1 1 n > na hay 71 > n a o a < — (*) n 98
Nếu n điểm của p„ t r ù n g với n đỉnh của bao l ồ i thì k h ô n g có góc nào trong các góc M j M j M k bé hơn —. Đ ể biêu thức (*) có n , _ 71 " dấu ' = " xay ra n g h í a là khi maxmin a. = — ( a : = M ; M ị M ) , k Pn J n cần p h ả i thoa m ã n hai điều k i ệ n đ ô i V Ớ I mỗi đỉnh của bao l ồ i T. 1) . M i M , M = M ; . \ Ị , M = - (các cạnh kề nhau của bao l ồ i T n :: n bằng nhau) 2) . M " M , M = M M , M 2 n + ' M,M,M. 2 V .: " f - M ^ M . M , , 3 l = a(n-2) , \ = (n-2) a (các góc của T b ă n g nhau). n Ví d ụ 2: a. T r ê n mặt phang cho 4 điểm. Chứng minh r ằ n g có t h ể chọn được ba điểm là ba đỉnh của một tam giác vuông hay tù. Chứng tỏ r ằ n g có t h ể sắp xếp các điểm sao cho k h ô n g có ba đỉnh nào là ba đỉnh của tam giác tù. b. Trên mặt phang cho 5 điểm. Chứng minh rằng có t h ể chọn được ba điểm là ba đỉnh của một tam giác với góc lòn nhất không 371 V , , bé hơn — . Chứng tỏ r ằ n g có t h ê sắp xếp 5 điếm sao cho không 5 có góc nào của các tam giác tao t h à n h từ 3 điểm lớn hơn — . 5 c. T r ê n m ặ t phảng cho 6 điểm. Chứng minh rằng có t h ể chọn được 3 điểm là ba đỉnh của một tam giác có góc lớn nhất 99
2TT không bé hơn —— . Tuy nhiên có t h ê chon được sáu điểm sao cho 3 271 không có bộ ba nào tạo t h à n h tam giác có góc lớn hơn — . 3 Chứng minh: Xét bao lồi T của các điểm đã cho. Nếu bao lồi T ia tam giác ABC và điểm D nằm trong bao lồi T, lúc đó từ ADB + BDC + CDA = 271, suy ra mót trong các góc ADB, BDC, CDA lớn hớn hoặc băng — . 3 Từ đó suy ra lớn hơn — và — . Nghĩa là ba trường hớp của bài 2 5 toán đểu đúng. Nêu E thuộc bao l ồ i là m - g i á c T (m > 4). K h i đó, p h â n chia T t h à n h các tam giác bằng các đường chéo và điểm E thuộc một trong các tam giác. Chuyển bài toán về trường hơp ban đầu. Nếu các đỉnh đã cho là các đỉnh của một đa giác l ồ i , khi đó tổng các góc của n-giác lồi, với n = 4, 5, 6 tương ứng là 2n, 371, 4n. Từ đó, có ít nhất một góc của tứ giác lồi k h ô n g bé hờn — = —, ít 4 2 nhất một góc của ngũ giác l ồ i không bé hơn — và ít nhất mót • 5 , , 2rt góc của l c giác l ố i không bé hơn — . 3 Từ lời giải các trường hợp trên suy ra không có ba điểm n à o Ị 71 trong các diêm đã cho tạo t h à n h tam giác góc lớn hơn —, tương 2 100