intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Giáo trình hình thành ứng dụng nguyên lý của hàm phức giải tích dạng vi phân p3

Chia sẻ: Dsadf Fasfas | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST
Báo xấu
76
lượt xem 6
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'giáo trình hình thành ứng dụng nguyên lý của hàm phức giải tích dạng vi phân p3', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình hình thành ứng dụng nguyên lý của hàm phức giải tích dạng vi phân p3

  1. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ∫ g(z)dz ∃ M > 0 : ∀ z ∈ Γρ , | g(z) | < M ≤ Mπρ ρ→0 → 0  ⇒ (2) Γρ Tham sè ho¸ cung Γρ : z = b + ρeit víi t ∈ [π, 0]. TÝnh trùc tiÕp c −1 ∫ z − b dz = - πiResf(b) (3) Γρ Thay (2) v (3) v o (1) suy ra c«ng thøc (4.9.1) +∞ x −1 ∫ (x VÝ dô TÝnh tÝch ph©n I = dx + 1) 2 2 −∞ z −1 Ph©n thøc f(z) = cã cùc ®iÓm kÐp a = i thuéc nöa mÆt ph¼ng trªn (z + 1) 22 ′  z −1   1 2(z − 1)  1  ( z + i ) 2 − (z + i ) 3  = 4 i Resf(i) = lim = z →i  ( z + i ) 2      z =i π I = 2πiResf(i) = - Suy ra 2 HÖ qu¶ 2 Cho f(z) l ph©n thøc h÷u sao cho bËc cña mÉu sè lín h¬n bËc tö sè Ýt nhÊt l mét ®¬n vÞ, cã c¸c cùc ®iÓm ak víi k = 1...p n»m trong nöa mÆt ph¼ng trªn v cã c¸c cùc ®iÓm ®¬n bj víi j = 1...q n»m trªn trôc thùc. KÝ hiÖu g(z) = f(z)eiαz ta cã +∞ p q dx = 2πi ∑ Re sg(a k ) + πi ∑ Re sg(b j ) iαx ∫ f (x)e (4.9.4) k =1 j=1 −∞ Chøng minh LËp luËn t−¬ng tù nh− chøng minh hÖ qu¶ 1. +∞ +∞ e ix sin x 1 VÝ dô TÝnh tÝch ph©n I = ∫ dx = Im ∫ dx x 2 −∞ x 0 1 cã cùc ®iÓm ®¬n b = 0 thuéc trôc thùc v Resg(0) = lim eiz = 1 Ph©n thøc f(z) = z z →0 π 1 I = Im(πi) = Suy ra 2 2 HÖ qu¶ 3 Cho ®−êng cong ΓR = { | z | = R, Rez ≤ α } v h m f gi¶i tÝch trong nöa mÆt ph¼ng D = { Rez < α } ngo¹i trõ h÷u h¹n ®iÓm bÊt th−êng v lim f(z) = 0. z →∞ λz ∫ f (z)e ∀ λ > 0, lim dz = 0 (4.9.5) R → +∞ ΓR . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 75
  2. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Chøng minh Suy ra tõ ®Þnh lý b»ng c¸ch quay mÆt ph¼ng mét gãc π/2. HÖ qu¶ 4 Víi c¸c gi¶ thiÕt nh− hÖ qu¶ 3, kÝ hiÖu g(z) = eλzf(z) α + i∞ 1 ∑ Re sg(a λz ∫i∞e f (z)dz = ∀ λ > 0, I(λ) = ) (4.9.6) 2πi α − k Re a k < α Chøng minh KÝ hiÖu Γ = ΓR ∪ [α - iβ, α + iβ] víi R ®ñ lín ®Ó bao hÕt c¸c cùc ®iÓm cña h m f(z) Theo c«ng thøc (4.7.6) α + iβ 1 1 1 ∑ Re sg(a λz ∫ e f (z)dz = 2πi λz ∫e λz ∫ f (z)e dz + 2πi ) f (z )dz = k 2 πi Γ Re a k < α ΓR α − iβ Suy ra α + iβ 1 ∑ Re sg(a λz ∫ f (z)e iλz ∫iβe f (z)dz = )- dz k 2 πi α − Re a k < α ΓR Cho β → +∞ v sö dông hÖ qu¶ 3 chóng ta nhËn ®−îc c«ng thøc (4.9.6) B i tËp ch−¬ng 4 1. T×m miÒn héi tô v tæng cña c¸c chuçi sau ®©y. +∞ −2 +∞ ni n 2 n 1 ∑ ( z + i ) n +1 ∑ (n + 1)i ∑ (z − 2) n n +2 (z − i ) n a. c. b. n =1 n = −∞ n =0 2. T×m miÒn héi tô cña chuçi Marlaurin cña c¸c h m sau ®©y. 3z + 1 z 2 − 2 z + 19 z a. b. c. (z − 3) 2 (2 z + 5) 4 + z2 ( z − 2) 3 d. (1 - z)e-2z e. sin3z f. ln(1 + z2) 3. T×m miÒn héi tô cña chuçi Taylor t¹i ®iÓm a cña c¸c h m sau ®©y. 1 1 1 a. ,a=1 b. 2 ,a=3 c. , a = 3i z−2 1− z z − 6z + 5 1 2 f. e z − 4 z +1 , a = 2 d. sin(z2 + 4z), a = -2 e. 2 , a = 2 z .Trang 76 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  3. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k 4. X¸c ®Þnh cÊp kh«ng ®iÓm cña c¸c h m sè sau ®©y. sin 3 z a. (z2 + 9)(z2 + 4)5 b. (1 - ez)(z2 - 4)3 c. z 5. T×m h m f gi¶i tÝch t¹i z = 0 v tho¶ m n n2 + 1 πn 1 1 1 1 , n ∈ ∠* b. f(± , n ∈ ∠* c. f( ) = sin , n ∈ ∠* a. f( )= )= 3n + 1 4 n n n 2 n 6. T×m miÒn héi tô cña chuçi Laurent t¹i ®iÓm a cña c¸c h m sau ®©y. 1 1 ,a=0v a=∞ , a = 0, a = 1 v a = ∞ a. b. z−2 z(1 − z) 1 z 2 − 4z c. z2 e z , a = 0 v a = ∞ d. cos ,a=2 ( z − 2) 2 7. T×m chuçi Laurent trong cña h m f trong c¸c miÒn D sau ®©y. z 2 − 2z + 5 1+ z , 1
  4. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k e z dz zdz ∫ z2 + 4 , Γ : | z | = 3 ∫ (z − 1)(z − 2) , Γ : | z - 2 | = 2 a. b. Γ Γ dz dz ∫z ∫ (z − 1) , Γ : x2 + y2 = 2x + 2y - 1 , Γ : x 2 + y2 = 2x c. d. +1 (z + 1) 4 2 2 Γ Γ dz dz ∫ (z − 3)(z ∫z ,Γ:|z|=2 , Γ: |z|=2 e. f. + 1) +1 5 10 Γ Γ n  1 dz ∫  sin z  ∫z dz , Γ : | z | = 1 , Γ : 4x 2 + 2y2 = 3 g. h. +1 3   Γ Γ 11. TÝnh c¸c tÝch ph©n x¸c ®Þnh sau ®©y π 2π π dϕ dϕ dϕ ∫ 13 + 12 sin ϕ a. ∫ b. ∫ c. 1 + cos ϕ 0 (1 + cos ϕ) 2 −π 0 12. T×m sè nghiÖm cña c¸c ®a thøc trong miÒn D sau ®©y. z5 + 2z2 + 8z + 1, | z | < 1 v 1 ≤ | z | 0 c. 2z4 - 3z3 + 3z2 - z + 1, Rez > 0 v Imz > 0 d. 13. TÝnh c¸c tÝch ph©n suy réng sau ®©y. +∞ +∞ +∞ x2 + 1 dx dx a. ∫ 2 b. ∫ 4 ∫ (x dx c. − ∞ ( x + 9) −∞ x + 1 + 1)(x 2 + 4) 2 2 0 +∞ +∞ +∞ dx x cos dx x sin x ∫ (x ∫ (x ∫x d. e. f. dx + 1) n + 4) 2 − 2x + 10 2 2 2 −∞ −∞ 0 +∞ 2 +∞ +∞ 2 x 2 ln x  sin x  ln x g. ∫  h. ∫ i. ∫  dx dx dx 0 1+ x 0 (1 + x ) 2 22 x − ∞ x(1 − x ) 1 1 dx ∫ ∫ j. k. dx x +1 (1 − x)(1 + x) 2 3 −1 0 . Trang 78 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  5. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Ch−¬ng 5 BiÕn ®æi fourier v BiÕn ®æi laplace §1. TÝch ph©n suy réng • Trong ch−¬ng n y chóng ta kÝ hiÖu F(3, ∀) = { f : 3 → ∀} l ®¹i sè c¸c h m biÕn thùc, trÞ phøc +∞ ∫ | f (t) | dt l || f ||∞ = SupR| f(t) | v || f ||1 = c¸c chuÈn trªn F(3, ∀) −∞ L∞ = { f ∈ F(3, ∀) : || f ||∞ ≤ +∞ } l ®¹i sè c¸c h m cã module bÞ chÆn C0 = { f ∈ C(3, ∀) : lim f(t) = 0 } l ®¹i sè c¸c h m liªn tôc, dÇn vÒ kh«ng t¹i ∞ t →∞ L = { f ∈ F(3, ∀) : || f ||1 ≤ +∞ } l ®¹i sè c¸c h m kh¶ tÝch tuyÖt ®èi trªn 3 1 Chóng ta ® biÕt r»ng h m kh¶ tÝch tuyÖt ®èi l liªn tôc tõng khóc, dÇn vÒ kh«ng t¹i v« cïng v bÞ chÆn trªn to n 3. Tøc l L1 ⊂ CM0 ⊂ L∞ • Cho kho¶ng I ⊂ 3 v h m F : I × 3 → ∀, (x, t) α F(x, t) kh¶ tÝch trªn 3 víi mçi x ∈ I cè ®Þnh. TÝch ph©n suy réng +∞ ∫ F(x, t )dt víi x ∈ I f(f) = (5.1.1) −∞ gäi l bÞ chÆn ®Òu trªn kho¶ng I nÕu cã h m ϕ ∈ L1 sao cho ∀ (x, t) ∈ I × 3,  F(x, t)  ≤ | ϕ(t) | §Þnh lý TÝch ph©n suy réng bÞ chÆn ®Òu cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y 1. NÕu h m F(x, t) liªn tôc trªn miÒn I × 3 th× h m f(x) liªn tôc trªn kho¶ng I +∞ ∂F ∂F ∫ ∂x (x, t )dt liªn tôc trªn miÒn I × 3 v tÝch ph©n 2. NÕu c¸c h m F(x, t), còng bÞ ∂x −∞ chÆn ®Òu trªn kho¶ng I th× h m f(x) cã ®¹o h m trªn kho¶ng I +∞ +∞ ∂F d dx −∫ ∫ ∂x (x, t )dt ∀ x ∈ I, F(x, t )dt = ∞ −∞ 3. NÕu h m F(x, t) liªn tôc trªn I × 3 th× h m f(x) kh¶ tÝch ®Þa ph−¬ng trªn kho¶ng I +∞ b   b ∫  ∫ F(x, t )dx dt ∫ f (x)dx = ∀ [a, b] ⊂ I,     −∞ a a • KÝ hiÖu . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 79
  6. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k t ≥ 0 gäi l h m nh¶y ®¬n vÞ η(t) = 1 0 t
  7. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k 1. Do h m g kh¶ tÝch tuyÖt ®èi nªn bÞ chÆn trªn 3 ∀ (t, τ) ∈ 32, | f(τ)g(t - τ) | ≤ || g ||∞ | f(τ) | Do f kh¶ tÝch tuyÖt ®èi nªn tÝch ph©n suy réng (f∗g)(t) héi tô tuyÖt ®èi v bÞ chÆn ®Òu +∞ +∞ +∞  +∞  || f ∗ g ||1 = ∫ ∫ f (τ)g(t − τ)dτ dt ≤ ∫ | f (τ) |  ∫ | g(t − τ) | dt dτ = || f ||1 || g ||1    −∞  −∞ −∞ −∞ +∞ +∞ ∫ f (τ)g(t − τ)dτ = ∫ f (t − θ)g(θ)dθ = (g∗f)(t) ∀ t ∈ 3, (f∗g)(t) = 2. −∞ −∞ +∞ h 1 ∫ f (t − τ) lim δ(τ, h)dτ = lim h∫ ∀ t ∈ 3, (f∗δ)(t) = f (t − τ)dτ = f(t) 3. h →0 h →0 −∞ 0 4. Suy ra tõ tÝnh tuyÕn tÝnh cña tÝch ph©n §2. C¸c bæ ®Ò Fourier Bæ ®Ò 1 Cho h m f ∈ L1. Víi mçi f ∈ 3 cè ®Þnh kÝ hiÖu fx(t) = f(t - x) víi mäi t ∈ 3 Khi ®ã ¸nh x¹ Φ : 3 → L1, f → fx l liªn tôc theo chuÈn. Chøng minh Ta chøng minh r»ng ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : ∀ x, y ∈ 3, | x - y | < δ ⇒ || Φ(x) - Φ(y) ||1 < ε ThËt vËy Do h m f kh¶ tÝch tuyÖt ®èi nªn 1 ∀ ε > 0, ∃ N > 0 : ∫ | f (t ) | dt < ε 4 | t |≥ N Trong kho¶ng [-N, N] h m f cã h÷u h¹n ®iÓm gi¸n ®o¹n lo¹i mét a1 = - N < a2 < ... < am = N víi ∆ = Max{| ak - ak-1 | : k = 1...m} v trªn mçi kho¶ng con [ak-1, ak] h m cã thÓ th¸c triÓn th nh h m liªn tôc ®Òu ε ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : | x - y | < δ ⇒ | f(x) - f(y) | < 2 m∆ Tõ ®ã suy ra −íc l−îng +∞ ∫ f (t − x) − f (t − y) dt || Φ(x) - Φ(y) ||1 = −∞ ak m ∑ ∫ f (t − x) − f (t − y) dt ∫ f (t − x) − f (t − y) dt + ≤
  8. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k +∞ 1 ∫∞H(λt )e dt ixt H(t) = e-|t| v hλ(x) = (5.2.1) 2π − Bæ ®Ò 2 C¸c h m H(t) v hλ(x) cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y ∀ t ∈ 3, 0 < H(t) ≤ 1 lim H(λt) = 1 lim H(λt) = 0 1. λ →0 λ → +∞ +∞ 1λ ∫h ∀ (λ, x) ∈ 3 × 3* 2. hλ(x) = (x)dx = 1 + λ π λ2 + x 2 −∞ +∞ +∞ 1  ∫∞ −∫∞f (s)e ds H(λt )e dt ∀ f ∈ L1 (f ∗ hλ)(x) = ist ixt 3. 2π −     ∀ g ∈ L∞ liªn tôc t¹i x ∈ 3 lim (g ∗ hλ)(f) = g(x) 4. λ →0 ∀f∈L lim || f ∗ hλ - f ||1 = 0 1 5. λ →0 Chøng minh 1. Suy ra tõ ®Þnh nghÜa h m H(t) 2. TÝnh trùc tiÕp tÝch ph©n (5.2.1) +∞ 1  ( λ + ix ) t  11λ 0 1 1  ∫e dt + ∫ e ( − λ + ix ) t dt  =  2 π  λ + ix − − λ + ix  = π λ2 + x 2 hλ(x) =  2π  −∞    0 3. Theo ®Þnh nghÜa tÝch chËp v h m hλ +∞ +∞ +∞ 1   ∫ f (x − y)e i ( x − y ) t dy H(λt )e ixt dt (f ∗ hλ)(x) = ∫ f (x − y)h λ (y)dy = 2 π −∫  −∞  ∞  −∞ §æi biÕn s = x - y ë tÝch ph©n bªn trong nhËn ®−îc kÕt qu¶. 4. Theo ®Þnh nghÜa tÝch chËp v h m hλ +∞ +∞ ∫ g(x − y)h λ (y)dy = ∫ g(x − λs)h (s)ds víi y = λs (g ∗ hλ)(x) = 1 −∞ −∞ ¦íc l−îng trùc tiÕp ∀ (x, s) ∈ 32, | g(x - λs)h1(s) | ≤ || g ||∞ | h1(s) | Suy ra tÝch ph©n trªn bÞ chÆn ®Òu. Do h m g liªn tôc nªn cã thÓ chuyÓn giíi h¹n qua dÊu tÝch ph©n. +∞ ∫ g( x ) h (g ∗ hλ)(x) λ → 0 (s)ds = g(x) → 1 −∞ 5. KÝ hiÖu +∞ ∫ | f (x − y) − f (x) | dx ≤ 2|| f || ∀ y ∈ 3, g(y) = || fy - f ||1 = 1 −∞ Theo bæ ®Ò 1. h m g liªn tôc t¹i y = 0 víi g(0) = 0 v bÞ chÆn trªn to n 3 Tõ ®Þnh nghÜa chuÈn, tÝch chËp v h m hλ . Trang 82 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  9. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k +∞ +∞ +∞ ∫ | (f ∗h ∫ ∫ (f (x − y) − f (x))h || f∗hλ - f ||1 = )(x) − f (x) | dx = (y)dy dx λ λ −∞ −∞ −∞ +∞ +∞   ∫  ∫ | f (x − y) − f (x) | dx h ≤ (y)dy = (g∗hλ)(0) λ→ g(0) = 0 0   λ →   −∞ − ∞ Suy ra tõ tÝnh chÊt 4. cña bæ ®Ò 2. §3. BiÕn ®æi Fourier • Cho c¸c h m f, F ∈ L1 kÝ hiÖu ) +∞ − i ωt ∫ f (t )e ∀ ω ∈ 3, f (ω) = dt (5.3.1) −∞ ( +∞ 1 itω ∫∞F(ω)e dω ∀ t ∈ 3, F (t) = (5.3.2) 2π − Ngo i ra h m f v h m g gäi l b»ng nhau hÇu kh¾p n¬i trªn 3 nÕu ∫ | f (x) − g(x) | dx = 0 R §Þnh lý Víi c¸c kÝ hiÖu nh− trªn ) ) ∀ f ∈ L1 f ∈ C0 ∩ L1 v || f ||∞ ≤ || f ||1 1. ( ( ∀ F ∈ L1 F ∈ C0 ∩ L1 v || F ||∞ ≤ || f ||1 2. ) ( h. k .n NÕu f = F th× F = f 3. Chøng minh 1. Theo gi¶ thiÕt h m f kh¶ tÝch tuyÖt ®èi v ta cã ∀ (ω, t) ∈ 32, | f(t)e-iωt | = | f(t) | ) Suy ra tÝch ph©n (5.3.1) bÞ chÆn ®Òu. Do h m f(t)e-iωt liªn tôc nªn h m f (ω) liªn tôc. BiÕn ®æi tÝch ph©n ) π +∞ +∞ π − i ω( t + ) dt = - ∫ f (t − )e − iωt dt f (ω) = ∫ f (t )e ω ω −∞ −∞ Céng hai vÕ víi c«ng thøc (5.3.1) suy ra ) +∞ π 2| f (ω) | ≤ ∫ | f (t ) − f (t − ) || e −iωt | dt = || f - f π ||1 ω→→ 0 +∞ ω −∞ ω Do ¸nh x¹ Φ liªn tôc theo chuÈn theo bæ ®Ò 1. Ngo i ra, ta cã . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 83
  10. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ) ) +∞ || f ||∞ = supR| f (ω) | ≤ supR ∫ | f (t ) || e − iωt | dt = || f ||1 −∞ 2. KÝ hiÖu F-(t) = F(- t) víi t ∈ 3. BiÕn ®æi c«ng thøc (5.3.2) 1) ( +∞ 1 F(-σ)e − itσ dσ = 2 π −∫ F- (t ) víi σ = -ω F(t ) = 2π ∞ Do h m F ∈ L1 nªn h m F- ∈ L1 v kÕt qu¶ ®−îc suy ra tõ tÝnh chÊt 1. cña ®Þnh lý. 3. Theo tÝnh chÊt 3. cña bæ ®Ò 2 v tÝnh chÊt cña tÝch ph©n bÞ chÆn ®Òu 1) ( +∞ +∞ 1 f (ω)H(λω)e itω dω = itω ∫∞ ∫∞F(ω)H(λω)e dω λ0→ F(t ) (f ∗ hλ)(t) =  → 2π − 2π − MÆt kh¸c theo tÝnh chÊt 5. cña theo bæ ®Ò 2 || f∗hλ - f ||1 λ→ 0 0 → Do tÝnh chÊt cña sù héi tô theo chuÈn h. k . n ∀ t ∈ 3, (f∗hλ)(t) λ→ f(t) 0 → Do tÝnh duy nhÊt cña giíi h¹n suy ra ( h. k .n F =f • CÆp ¸nh x¹ ) ( F : L1 → C0 , f α f v F-1 : L1 → C0 , F α F (5.3.3) x¸c ®Þnh theo cÆp c«ng thøc (5.3.1) v (5.3.2) gäi l cÆp biÕn ®æi Fourier thuËn nghÞch. ) ( Do tÝnh chÊt 3. cña ®Þnh lý sau n y chóng ta lÊy F = f v ®ång nhÊt f ≡ F . H m f gäi l h m gèc, h m F gäi l h m ¶nh v kÝ hiÖu l f ↔ F. VÝ dô ) +∞ 1 1. f(t) = e η(t) ↔ f (ω) = ∫ η(t )e −(a +iω) t dt = -at víi Re a > 0 a + iω −∞ ) +∞ 2λ 0 1 1 -λ|t| ( λ − iω) t dt + ∫ e −( λ + iω) t dt = (λ > 0) ↔ f (ω) = ∫ e f(t) = e + =2 λ − iω λ + iω λ + ω 2 −∞ 0 +∞ +∞ − iωt itω ∫ δ(t)e ∫ δ(ω)e 2. δ(t) ↔ u(ω) = dω = 1 ↔ F(ω) = 2πδ(ω) dt = 1 v u(t) = −∞ −∞ ) sin Tω T 1 | t |≤ T 3. f(t) =  − iωt ∫e 0 | t | > T ↔ f (ω) = dt = 2 ω  −T ( +∞ sin ωT sin ωT iωt 1 ∫∞2 ω e dω ≡ f(t) ngo¹i trõ c¸c ®iÓm t = ± T F(ω) = 2 ↔ F (t) = ω 2π − 1) ( T 1 | ω|≤ T 1 sin Tt F(ω) =  e itω dω = 2 π −∫ ↔ F (t) = ≡ f (t) 0 | ω | > T πt 2π  T . Trang 84 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2