intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Giáo trình hình thành ứng dụng phát triển mã nguồn nguyên lý sử dụng toán tử divergence p2

Chia sẻ: Dfsaf Fasrew | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST
Báo xấu
65
lượt xem 5
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'giáo trình hình thành ứng dụng phát triển mã nguồn nguyên lý sử dụng toán tử divergence p2', công nghệ thông tin, kỹ thuật lập trình phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình hình thành ứng dụng phát triển mã nguồn nguyên lý sử dụng toán tử divergence p2

  1. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k b(x, y) ∫ a(x, y) dx + C y(x) = §æi biÕn b(x, y) ∫ a(x, y) dx v ξ=y- η = η(x, y) sao cho J(x, y) ≠ 0 §−a vÒ d¹ng chÝnh t¾c cña ph−¬ng tr×nh parabole ∂2u ∂u ∂u = F2(ξ, η, u, , ) (7.1.6) ∂ξ ∂η ∂η 2 3. NÕu ∆(x, y) = b2(x, y) - a(x, y)c(x, y) th× ph−¬ng tr×nh (7.1.4) cã nghiÖm phøc b(x, y) ± i − ∆(x, y) ∫ dx + C = α(x, y) ± iβ(x, y) + C y(x) = a(x, y) §æi biÕn − ∆(x, y) b(x, y) ∫ a(x, y) dx v η = ∫ ξ=y- dx a(x, y) §−a vÒ d¹ng chÝnh t¾c cña ph−¬ng tr×nh ellipse ∂2u ∂2u ∂u ∂u = F2(ξ, η, u, + , ) (7.1.7) ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η 2 2 VÝ dô §−a vÒ chÝnh t¾c ph−¬ng tr×nh sau ®©y ∂2u ∂2u ∂2u ∂u ∂u 2 +3 + +3 -3 - 9u = 0 ∂x∂y ∂x ∂y ∂x ∂y 2 2 Gi¶i ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng 1 2 y ′ 2 − 3y ′ + 1 = 0 , y = x + C, y = x +C 2 §æi biÕn 1 3 1 ξ+η=y- x, ξ - η = y - x Suy ra ξ = y - x, η = x 2 4 4 3 ∂ξ ∂ξ ∂η 1 ∂η ∂u 3 ∂u 1 ∂u ∂u ∂u =− , =− = 1, =, = 0, + , = 4 ∂y ∂x ∂x 4 ∂y ∂x 4 ∂ξ 4 ∂η ∂x ∂ξ 9 ∂2u 3 ∂ 2u 1 ∂2u ∂ 2 u 3 ∂2u 1 ∂ 2u ∂ 2 u ∂2u ∂2u − + =− + = , , = 16 ∂ξ2 8 ∂ξ∂η 16 ∂η2 ∂x∂y 4 ∂ξ2 4 ∂ξ∂η ∂y 2 ∂x 2 ∂ξ 2 D¹ng chÝnh t¾c cña ph−¬ng tr×nh l ∂2u ∂2u ∂u ∂u − 2 =2 +2 - 8u ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η 2 . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 115
  2. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k §2. Ph−¬ng tr×nh vËt lý - to¸n Ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng • Cho sîi d©y rÊt m¶nh, cã ®é d i l, hai mót cè ®Þnh, dao ®éng bÐ trong mÆt ph¼ng Oxu theo P3 u(x, t) ph−¬ng trôc Ou. Lóc kh«ng dao ®éng d©y n»m T trªn ®o¹n [0, l] v ®é d i cña d©y kh«ng thay ®æi P P M2 M1 1 2 trong suèt qu¸ tr×nh dao ®éng. B i to¸n ®ßi hái x1 x x2 x¸c ®Þnh ®é lÖch u(x, t) t¹i ®iÓm ho nh ®é x v o 0 l thêi ®iÓm t. • Gi¶ sö d©y rÊt dÎo, ® n håi víi lùc c¨ng T(x, t) h−íng theo ph−¬ng tiÕp tuyÕn cña sîi d©y v do ®ã cã hÖ sè gãc l u ′ . Do ®é d i cña sîi d©y kh«ng thay ®æi trong lóc dao x ®éng nªn lùc c¨ng T(x, t) kh«ng phô thuéc v o thêi gian. Gäi P1 l h×nh chiÕu cña lùc c¨ng trªn cung M1M2 lªn trôc Ou x2 ∂2u P1 = ∫ T (x) 2 dx ∂x x1 Gäi F(x, t) l mËt ®é cña ngo¹i lùc t¸c ®éng v P2 l h×nh chiÕu cña ngo¹i lùc trªn cung M1M2 lªn trôc Ou x2 ∫ F(x, t )dx P2 = x1 Gäi ρ(x) l mËt ®é vËt chÊt cña sîi d©y, u ′t′t l gia tèc cña chuyÓn ®éng v P3 l h×nh chiÕu cña lùc qu¸n tÝnh trªn cung M1M2 lªn trôc Ou x2 ∂2u P3 = - ∫ ρ(x) dx ∂t 2 x1 Theo nguyªn lý c©n b»ng lùc P1 + P2 + P3 = 0 suy ra x2 ∂2u ∂2u   ∫  T(x) ∂x 2 + F(x, t ) − ρ(x) ∂t 2 dx = 0   x1   Do x1, x2 l tuú ý nªn ∀ (x, t) ∈ [0, l] × [0, +∞) ta cã ∂2u ∂2u ρ(x) = T(x) 2 + F(x, t) ∂t 2 ∂x NÕu sîi d©y ®ång chÊt th× ρ(x) v T(x) l c¸c h»ng sè. §Æt a2 = T / ρ > 0 gäi l vËn tèc truyÒn sãng v f(x, t) = F(x, t)/ρ l ngo¹i lùc t¸c ®éng. Khi ®ã ®é lÖch u(x, t) l nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ∂2u ∂2u = a2 2 + f(x, t) (7.2.1) ∂t 2 ∂x gäi l ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng trong kh«ng gian mét chiÒu. Trong tr−êng hîp dao ®éng tù do kh«ng cã ngo¹i lùc t¸c ®éng : f(x, t) = 0, ph−¬ng tr×nh . Trang 116 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  3. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k (7.2.1) l ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt. Tr−êng hîp dao ®éng c−ìng bøc : f(x, t) ≠ 0, ph−¬ng tr×nh (7.2.1) l ph−¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt. Ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt • XÐt ph©n bè nhiÖt trªn vËt r¾n, thÓ tÝch D, truyÒn nhiÖt S F ®¼ng h−íng trong kh«ng gian Oxyz. B i to¸n ®ßi hái x¸c ρ ®Þnh nhiÖt ®é u(M, t) t¹i ®iÓm M(x, y, z) v o thêi ®iÓm t. M n ρ • Gäi k(M) l hÖ sè truyÒn nhiÖt, n l h−íng truyÒn nhiÖt v D Q1 nhiÖt l−îng ®i qua mÆt kÝn S = ∂D tõ thêi ®iÓm t1 ®Õn t2 t2 t2 ∂u Q1 = ∫ dt ∫ k (M ) ρ dS = ∫ dt ∫ div( kgradu)dV ∂n t1 S t1 D Gäi Q2 l nhiÖt l−îng sinh bëi nguån nhiÖt trong cã mËt ®é F(M, t) tõ thêi ®iÓm t1 ®Õn t2 t2 ∫ dt ∫ F(M, t )dV Q2 = t1 D Gäi ρ(M) l mËt ®é vËt chÊt, c(M) l nhiÖt dung v Q3 l nhiÖt l−îng cÇn ®Ó vËt r¾n D thay ®æi tõ nhiÖt ®é u(M, t1) ®Õn u(M, t2) t2 ∂u ∫ c(M)ρ(M)(u(M, t ) − u(M, t 2 ))dV = ∫ dt ∫ c(M)ρ(M) ∂t dV Q3 = 2 D t1 D Theo nguyªn lý c©n b»ng nhiÖt Q1 + Q2 - Q3 = 0 suy ra t2 ∂u   ∫ dt ∫  div (kgradu) + F(M, t ) − c(M)ρ(M) ∂t dV = 0   t1 D Do t1, t2 tuú ý nªn ∀ (M, t) ∈ D × [0, +∞) chóng ta cã ∂u c(M)ρ(M) = div(k(M)gradu) + F(M, t) ∂t NÕu vËt r¾n l ®ång chÊt th× c(M), ρ(M) v k(M) l c¸c h»ng sè. §Æt a2 = k / cρ > 0 gäi l vËn tèc truyÒn nhiÖt v f(M, t) = F(M, t) / cρ l nguån nhiÖt trong. Khi ®ã nhiÖt ®é u(M, t) l nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ∂2u ∂2u ∂u ∂2u = a2( 2 + + ) + f(x, y, z, t) (7.2.2) ∂t ∂x ∂z 2 ∂y 2 gäi l ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt trong kh«ng gian ba chiÒu. Trong tr−êng hîp kh«ng cã nguån nhiÖt trong : f(M, t) = 0, ph−¬ng tr×nh (7.2.2) l ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt. Tr−êng hîp cã nguån nhiÖt trong : f(M, t) ≠ 0, ph−¬ng tr×nh (7.2.2) l ph−¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt. Ph−¬ng tr×nh Laplace • XÐt ph©n bè nhiÖt trªn vËt r¾n truyÒn nhiÖt ®¼ng h−íng, nhiÖt ®é u(x, y, z, t) t¹i ®iÓm M(x, y, z) v o thêi ®iÓm t tho¶ m n ph−¬ng tr×nh (7.2.2). NÕu ph©n bè nhiÖt kh«ng phô . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 117
  4. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k thuéc thêi gian th× u ′t = 0 v khi ®ã ph−¬ng tr×nh (7.2.2) trë th nh ∂2u ∂2u ∂2u + + = g(x, y, z, t) (7.2.3) ∂z 2 ∂x 2 ∂y 2 gäi l ph−¬ng tr×nh Laplace. Trong tr−êng hîp kh«ng cã nguån nhiÖt trong : g(x, y, z, t) = 0, ph−¬ng tr×nh (7.2.3) l ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt. Tr−êng hîp cã nguån nhiÖt trong : g(x, y, z, t) ≠ 0 ph−¬ng tr×nh (7.2.3) l ph−¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt cßn gäi l ph−¬ng tr×nh Poisson. §3. C¸c b i to¸n c¬ b¶n B i to¸n tæng qu¸t • Cho c¸c miÒn D ⊂ 3n, H = D × 3+ v c¸c h m u ∈ C2(H, 3), f ∈ C(H, 3). KÝ hiÖu ∂2u n ∑ ∂x 2 ∆u = i =1 i gäi l to¸n tö Laplace. C¸c b i to¸n VËt lý - Kü thuËt th−êng dÉn ®Õn viÖc gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh ®¹o h m riªng tuyÕn tÝnh cÊp 2 cã d¹ng tæng qu¸t nh− sau. ∂2u = a2∆u + f(x, t) (x, t) ∈ H0 (7.3.1) ∂t 2 ∂u = a2∆u + f(x, t) (x, t) ∈ H0 (7.3.2) ∂t ∆u = f(x) x ∈ D0 (7.3.3) V× vËy c¸c ph−¬ng tr×nh trªn ®−îc gäi l c¸c ph−¬ng tr×nh VËt lý - To¸n. Ph−¬ng tr×nh Hyperbole (7.3.1) xuÊt hiÖn trong c¸c b i to¸n dao ®éng, truyÒn sãng gäi l ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng. Ph−¬ng tr×nh Parabole (7.3.2) xuÊt hiÖn trong c¸c b i to¸n truyÒn nhiÖt, ph©n bè nhiÖt gäi l ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt. Ph−¬ng tr×nh Ellipse (7.3.3) xuÊt hiÖn trong c¸c b i to¸n vÒ qu¸ tr×nh dõng gäi l ph−¬ng tr×nh Laplace. C¸c ph−¬ng tr×nh VËt lý - To¸n th−êng cã v« sè nghiÖm, ®Ó x¸c ®Þnh ®óng nghiÖm cÇn t×m cÇn ph¶i cã thªm c¸c ®iÒu kiÖn phô. - §iÒu kiÖn ban ®Çu cho biÕt tr¹ng th¸i cña hÖ thèng v o thêi ®iÓm t = 0. ∂u ut=0 = g, t=0 = h (7.3.4) ∂t - §iÒu kiÖn biªn cho biÕt tr¹ng th¸i cña hÖ thèng trªn biªn ∂D. ∂u ∂u + λu)∂D = q u∂D = h, ∂D = p, ( (7.3.5) ∂n ∂n Trong thùc tiÔn c¸c ®iÒu kiÖn phô ®−îc x¸c ®Þnh b»ng thùc nghiÖm v do ®ã cã sai sè. V× vËy khi thiÕt lËp c¸c b i to¸n vÒ ph−¬ng tr×nh VËt lý - To¸n chóng ta yªu cÇu . Trang 118 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  5. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k - B i to¸n cã nghiÖm duy nhÊt : Ph−¬ng tr×nh cã ®óng mét nghiÖm tho¶ m n c¸c ®iÒu kiÖn phô cho tr−íc. - B i to¸n cã nghiÖm æn ®Þnh : Sai sè nhá cña c¸c ®iÒu kiÖn phô dÉn ®Õn sai sè nhá cña nghiÖm. B i to¸n tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh VËt lý - To¸n ph¸t biÓu nh− sau : T×m nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh VËt lý - To¸n tho¶ m n c¸c ®iÒu kiÖn phô cho tr−íc. • Trong gi¸o tr×nh n y chóng ta xem xÐt c¸c b i to¸n sau ®©y - B i to¸n Cauchy : T×m nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng (truyÒn nhiÖt) tho¶ m n c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu - B i to¸n hçn hîp : T×m nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng (truyÒn nhiÖt) tho¶ m n c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu v ®iÒu kiÖn biªn - B i to¸n Diriclet : T×m nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh Laplace tho¶ m n ®iÒu kiÖn biªn u∂D = g - B i to¸n Neuman : T×m nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh Laplace tho¶ ∂u m n ®iÒu kiÖn biªn u∂D = g v ∂D = h ∂n C¸c b i to¸n víi ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt gäi t¾t l b i to¸n thuÇn nhÊt, víi ph−¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt gäi l b i to¸n kh«ng thuÇn nhÊt. §Ó ®¬n gi¶n trong gi¸o tr×nh n y chóng ta chØ giíi h¹n c¸c b i to¸n trong ph¹m vi kh«ng gian mét hoÆc hai chiÒu. Tuy nhiªn c¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i v c«ng thøc nghiÖm cã thÓ më réng tù nhiªn cho tr−êng hîp kh«ng gian n chiÒu. Cô thÓ chóng ta sÏ lÇn l−ît nghiªn cøu c¸c b i to¸n sau ®©y. B i to¸n Cauchy (CH) B i to¸n hçn hîp (HH) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng ∂2u 2∂ u ∂2u 2∂ u 2 2 =a + f(x, t) =a + f(x, t) ∂x 2 ∂x 2 ∂t 2 ∂t 2 v ®iÒu kiÖn ban ®Çu v c¸c ®iÒu kiÖn phô ∂u ∂u ut=0 = g(x), t=0 = h(x) ut=0 = g(x), t=0 = h(x), u∂D = p(t) ∂t ∂t B i to¸n Cauchy (CP) B i to¸n hçn hîp (HP) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂u 2∂ u ∂u 2∂ u 2 2 =a + f(x, t) =a + f(x, t) ∂t ∂t ∂x 2 ∂x 2 v ®iÒu kiÖn ban ®Çu v c¸c ®iÒu kiÖn phô ∂u + λu)∂D = h(t) ut=0 = g(x) ut=0 = g(x), ( ∂n .Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 119
  6. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k B i to¸n Diriclet (DE) B i to¸n Neumann (NE) T×m h m u ∈ C(D, 3) tho¶ m n T×m h m u ∈ C(D, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh Laplace ph−¬ng tr×nh Laplace ∂2u ∂2u ∂2u ∂2u + = f(x, y) + = f(x, y) ∂x 2 ∂y 2 ∂x 2 ∂y 2 v ®iÒu kiÖn biªn v c¸c ®iÒu kiÖn biªn ∂u ρ ∂D = h(x, y) u∂D = g(x, y) u∂D = g(x, y), ∂n §4. B i to¸n Cauchy thuÇn nhÊt B i to¸n CH1a Cho c¸c miÒn D = 3, H = D × 3+ v h m h ∈ C(D, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng ∂2u ∂2u = a2 2 víi (x, t) ∈ H0 (7.4.1) ∂t 2 ∂x v ®iÒu kiÖn ban ®Çu ∂u u(x, 0) = 0, (x, 0) = h(x) (7.4.2) ∂t • §æi biÕn ξ = x + at, η = x - at TÝnh c¸c ®¹o h m riªng b»ng c«ng thøc ®¹o h m h m hîp ∂u ∂u ∂u ∂u  ∂u ∂u  = + = a −  ,  ∂ξ ∂η  ∂x ∂ξ ∂η ∂t   ∂2u ∂2u ∂2u  ∂2u ∂2u ∂2u  ∂2u ∂2u + 2 , 2 = a2 2 −2 + = 2 +2   ∂ξ ∂ξ∂η ∂η 2  ∂ξ∂η ∂η ∂t ∂x 2 ∂ξ   ThÕ v o ph−¬ng tr×nh (7.4.1), nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh ∂2u =0 ∂ξ∂η TÝch ph©n hai lÇn u(ξ, η) = ϕ(ξ) + ψ(η) Trë vÒ biÕn cò u(x, t) = ϕ(x + at) + ψ(x - at) ThÕ v o ®iÒu kiÖn ban ®Çu (7.4.2) u(x, 0) = ϕ(x) + ψ(x) = g(x) v u ′t (x, 0) = a[ϕ’(x) - ψ’(x)] = h(x) . Trang 120 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  7. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k TÝch ph©n ph−¬ng tr×nh thø hai, ®−a vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh x 1 a∫ ϕ(x) + ψ(x) = 0, ϕ(x) - ψ(x) = h(ξ)dξ 0 Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh trªn t×m ϕ(x) v ψ(x) v suy ra nghiÖm cña b i to¸n x + at 1 ∫ h(ξ)dξ u(x, t) = (7.4.3) 2a x − at §Þnh lý Cho h m h ∈ C1(D, 3). B i to¸n CH1a cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (7.4.3) Chøng minh • Do h m h ∈ C1(D, 3) nªn h m u ∈ C2(H, 3). KiÓm tra trùc tiÕp ∂u 1 ∀ (x, t) ∈ H, = a[h(x + at) + h(x - at)] ∂t 2 2∂ u ∂2u 2 1 = a[h’(x + at) + h’(x - at)] = a ∂t 2 ∂x 2 2 ∂u ∀ x ∈ D, u(x, 0) = 0, (x, 0) = h(x) ∂t ∂2u ∂2u ∂u • NÕu ui l nghiÖm cña b i to¸n = a2 2 , u(x, 0) = 0, (x, 0) = hi ∂t ∂t ∂x 2 2∂ u ∂2u ∂u 2 th× u = u1 - u2 l nghiÖm cña b i to¸n =a , u(x, 0) = 0, (x, 0) = h1 - h2 = h ∂t ∂t ∂x 2 2 Víi mçi T > 0 cè ®Þnh, kÝ hiÖu B = [x - aT, x + aT] v HT = B × [0, T]. Tõ c«ng thøc (7.4.3) chóng ta cã −íc l−îng sau ®©y ∀ (x, t) ∈ HT , | u(x, t) | ≤ T supB | h(ξ) | Tõ ®ã suy ra h = h1 - h2 = 0 ⇒ u = u1 - u2 = 0. || h || = || h 1 - h 2 || < δ ⇒ | | u || = || u 1 - u 2 || < ε = T δ VËy b i to¸n cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh trªn HT víi mçi T cè ®Þnh. Do tÝnh liªn tôc cña nghiÖm suy ra b i to¸n cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh trªn H. B i to¸n CH1b Cho c¸c miÒn D = 3, H = D × 3+ v h m g ∈ C(D, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng ∂2u ∂2u = a2 2 víi (x, t) ∈ H0 ∂t 2 ∂x v ®iÒu kiÖn ban ®Çu ∂u u(x, 0) = g(x), (x, 0) = 0 ∂t . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 121
  8. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ∂v §Þnh lý Cho g ∈ C2(D, 3) v v(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n CH1a víi (x, 0) = g(x) ∂t B i to¸n CH1b cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau ®©y x + at ∂v 1∂ ∫ g(ξ)dξ u(x, t) = (x, t) = (7.4.4) ∂t 2a ∂t x − at Chøng minh • Do h m g ∈ C2(D, 3) nªn h m v ∈ C3(H, 3) suy ra h m u ∈ C2(H, 3). KiÓm tra trùc tiÕp ∂ 2 ∂v ∂ ∂2v ∂ 2 ∂v ∂2u ∀ (x, t) ∈ H, = a2 = a2 2 =2 ∂t ∂t ∂t ∂x 2 ∂x ∂t ∂t 2 ∂2v ∂v ∂u ∀ x ∈ D, u(x, 0) = (x, 0) = a2 2 (x, 0) (x, 0) = g(x), ∂t ∂t ∂x • TÝnh duy nhÊt v æn ®Þnh cña nghiÖm suy ra tõ b i to¸n CH1a. §5. B i to¸n Cauchy kh«ng thuÇn nhÊt B i to¸n CH1c Cho c¸c miÒn D = 3, H = D × 3+ v h m f ∈ C(H, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng ∂2u ∂2u = a2 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 ∂t 2 ∂x v ®iÒu kiÖn ban ®Çu ∂u u(x, 0) = 0, (x, 0) = 0 ∂t §inh lý Cho h m f ∈ C(H, 3) v v(x, τ, t) l nghiÖm cña b i to¸n CH1a trªn H × 3+ víi ∂v v(x, τ, 0) = 0 v (x, τ, 0) = f(x, τ) ∂t B i to¸n CH1c cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau ®©y. t ∫ v(x, τ, t − τ)dτ u(x, t) = (7.5.1) 0 Chøng minh • Do h m f ∈ C(H, 3) nªn h m v ∈ C1(H × 3+, 3) suy ra h m u ∈ C2(H, 3) KiÓm tra trùc tiÕp . Trang 122 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  9. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ∂v ∂v ∂u t t ∫ ∂t (x, τ, t − τ)dτ = ∫ ∂t (x, τ, t − τ)dτ ∀ (x, t) ∈ H, = v(x, t, 0) + ∂t 0 0 ∂v ∂v ∂u ∂v t t 2 2 2 ∫ ∂t (x, τ, t − τ)dτ = a2 ∫ (x, τ, t − τ)dτ + f(x, t) = (x, t, 0) + ∂t ∂x 2 ∂t 2 2 0 0 ∂u ∀ x ∈ D, u(x, 0) = 0, (x, 0) = 0 ∂t • TÝnh duy nhÊt v æn ®Þnh cña nghiÖm suy ra tõ b i to¸n CH1a. B i to¸n CH1 Cho c¸c miÒn D = 3, H = D × 3+, c¸c h m f ∈ C(H, 3) v g, h ∈ C(D, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng 2∂ u ∂2u 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 =a ∂t 2 ∂x 2 v ®iÒu kiÖn ban ®Çu ∂u u(x, 0) = g(x), (x, 0) = h(x) ∂t • T×m nghiÖm cña b i to¸n CH1 d−íi d¹ng u(x, t) = ua(x, t) + ub(x, t) + uc(x, t) víi uα(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n CH1α. KÕt hîp c¸c c«ng thøc (7.4.3), (7.4.4) v (7.5.1) suy ra c«ng thøc sau ®©y. x + at x + at x + aτ 1 ∂  t  f (ξ, t − τ)dξ  ∫ g(ξ)dξ + ∫ h(ξ)dξ + ∫ dτ ∫ u(x, t) = (7.5.2) 2a  ∂t    x − at x − at x − aτ 0 §Þnh lý Cho c¸c h m f ∈ C(H, 3), g ∈ C2(D, 3) v h ∈ C1(D, 3). B i to¸n CH1 cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (7.5.2). ∂2u ∂2u = a2 2 + 2xe-t víi (x, t) ∈ 3 × 3+ VÝ dô Gi¶i b i to¸n ∂t 2 ∂x ∂u u(x, 0) = cosx, (x, 0) = 2x ∂t Theo c«ng thøc (7.5.2) chóng ta cã x + at x + at t x + aτ 1 ∂   cos ξdξ + ∫ 2ξdξ + ∫ ∫ 2ξe τ − t dξdτ  ∫at u(x, t) = 2a  ∂t x −    x − at 0 x − aτ = cosxcosat + 2xt(2t - 1 + e-t) NhËn xÐt B»ng c¸ch kÐo d i liªn tôc c¸c h m liªn tôc tõng khóc, c«ng thøc (7.5.2) vÉn sö dông ®−îc trong tr−êng hîp c¸c h m f, g v h cã ®¹o h m liªn tôc tõng khóc. . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 123
  10. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k §6. B i to¸n gi¶ Cauchy B i to¸n SH1a Cho c¸c miÒn D = 3+ , H = D × 3+ , c¸c h m f ∈ C(H, 3) v g, h ∈ C(D, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng ∂2u ∂2u = a2 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 ∂t 2 ∂x ®iÒu kiÖn ban ®Çu ∂u u(x, 0) = g(x), (x, 0) = h(x) ∂t v ®iÒu kiÖn biªn u(0, t) = 0 • T− t−ëng chung ®Ó gi¶i b i to¸n SH l t×m c¸ch chuyÓn vÒ b i to¸n CH t−¬ng ®−¬ng. Gäi f1, g1 v h1 t−¬ng øng l kÐo d i cña c¸c h m f, g v h lªn to n 3, cßn v(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n Cauchy sau ®©y. ∂2v ∂2v ∂v (x, 0) = h1(x) víi (x, t) ∈ 3 × 3+ = a2 2 + f(x, t), v(x, 0) = g1(x), ∂t ∂t ∂x 2 Theo c«ng thøc (7.5.2) chóng ta cã x + aτ x + at t 1 1 1 ∫ath 1 (ξ)dξ + 2a ∫ dτx −∫aτf1 (ξ, t − τ)dξ v(x, t) = [g1(x + at) + g1(x - at)] + 2 2a x − 0 ThÕ v o ®iÒu kiÖn biªn aτ t at 1 1 1 ∫ath 1 (ξ)dξ + 2a ∫ dτ−∫aτf1(ξ, t − τ)dξ = 0 v(0, t) = [g1(at) + g1(-at)] + 2 2a − 0 Suy ra c¸c h m f1, g1 v h1 ph¶i l c¸c h m lÎ. Tøc l  g( x ) x ≥ 0 f(x, t) x ≥ 0  h(x) x ≥ 0 f1(x, t) =  - f(-x, t) x < 0 , g1(x) = - g(-x) x < 0 v h1(x) = - h(-x) x < 0    §Þnh lý Cho h m f ∈ C(H, 3), h m g ∈ C2(D, 3) v h m h ∈ C1(D, 3) tho¶ m n f(0, t) = 0, g(0) = 0 v h(0) = 0 B i to¸n SH1a cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc x + at x + at x + aτ 1 ∂  t    ∂t ∫ g 1 (ξ)dξ + ∫ h 1 (ξ)dξ + ∫ dτ ∫ f 1(ξ, t − τ)dξ  (7.6.1) u(x, t) = 2a  x − at  x − at x − aτ 0 víi f1, g1 v h1 t−¬ng øng l kÐo d i lÎ cña c¸c h m f, g v h lªn to n 3. . Trang 124 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2