zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Giáo trình hướng dẫn phân tích các tính chất của hàm điều hòa dạng vi phân p8

Chia sẻ: Fgsdga Erytrh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

56
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'giáo trình hướng dẫn phân tích các tính chất của hàm điều hòa dạng vi phân p8', khoa học tự nhiên, vật lý phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình hướng dẫn phân tích các tính chất của hàm điều hòa dạng vi phân p8

h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k N M ∑a Y(ω) = ∑ b j (iω) ( j) X(ω) k (iω) (k) k =0 j= 0 Gi¶i ra ®−îc ∑ b (iω) j Y(ω) = j X(ω) = H(ω)X(ω) ↔ y(t) = h(t)∗x(t) (5.5.8) ∑ a (iω) k k VÝ dô Gi¶i ph−¬ng tr×nh y”(t) + 4y’(t) + 3y(t) = x’(t) + 2x(t) ChuyÓn qua ¶nh [(iω)2 + 4(iω) + 3] Y(ω) = [(iω) + 2] X(ω) Gi¶i ra ®−îc 2 + iω 1 1 1 1 H(ω) = ) ↔ h(t) = (e-t + e-3t)η(t) =( + (1 + iω)(3 + iω) 2 1 + iω 3 + iω 2 Theo c«ng thøc (5.5.8) t ∫ h(τ)dτ x(t) = δ(t) ⇒ y(t) = h(t) v x(t) = η(t) ⇒ y(t) = −α Cho x(t) b»ng mét h m cô thÓ 1 x(t) = e-tη(t) ↔ X(ω) = 1 + iω Gi¶i ra ®−îc nghiÖm t−¬ng øng 1 1 2 1 1 Y(ω) = ( ) ↔ y(t) = (e-t + 2te-t - e-3)η(t) + - 4 1 + iω (1 + iω) 3 + iω 2 4 B¶ng gèc ¶nh Fourier F(ω) F(ω) Tt f(t) Tt f(t) 1 δ(t) 1 7 +∞ +∞ e ikαt , α = 2π ∑a 2 π∑ a k δ(ω − kα ) k T −∞ −∞ 2 η(t) 2 π +∞ 8 +∞ 1 ∑ δ(t − kT ) ∑ δ(ω − kα) + πδ(ω) iω T −∞ −∞ iαω 3 δ(t - α) cosαt π[δ(ω - α) + δ(ω + α)] 9 e 2πδ(ω) 10 sinαt -πi[δ(ω - α) - δ(ω + α)] 41 sin Tω 1 | t | < T 5 11 t n −1 1 e-atη(t) 0 | t | > T 2 , Rea > 0  ω (a + iω) n (n − 1)! sin kαT1 1 | ω | < W 12 1 | t | < T1 6 +∞ sin Wt 2∑ δ(ω − kα) 0 | ω | > W 0 T < | t | ≤ T/2  πt  k −∞ 1 f(t + T) = f(t) . Trang 90 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k §6. BiÕn ®æi Laplace • H m f ∈ F(3, ∀) gäi l h m gèc nÕu cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y f(t) liªn tôc tõng khóc trªn 3 1. ∀ t < 0, f(t) = 0 2. ∃ M > 0, ∃ s > 0 sao cho ∀ t > 0, | f(t) | < Mest 3. Sè s0 bÐ nhÊt tho¶ m n ®iÒu kiÖn 3. gäi l chØ sè t¨ng cña h m gèc. KÝ hiÖu G l tËp hîp c¸c h m gèc v P+(s0) = { z ∈ ∀ : Rez > s0 } l nöa mÆt ph¼ng ph¶i. NÕu f(t) l h m gèc chØ sè t¨ng s0 ta sÏ viÕt f ∈ G(s0). §Þnh lý Cho f ∈ G(s0). Khi ®ã h m biÕn phøc +∞ − zt ∫ f (t )e dt víi z ∈ P+(s0) F(z) = (5.6.1) 0 gi¶i tÝch trªn nöa mÆt ph¼ng P+(s0) v F(z) Re z →→ 0 ®Òu theo Argz.  +∞ Chøng minh Theo gi¶ thiÕt ta cã −íc l−îng ∀ σ = Rez > s0, ∀ t ∈ 3, | f(t)e-zt | ≤ M e − ( σ−s0 ) t σ→→ 0 +∞ Suy ra tÝch ph©n (5.6.1) héi tô ®Òu trªn P+(s0) v dÇn ®Òu vÒ kh«ng khi σ dÇn ra +∞. Do h m mò g(z) = e-zt l h m gi¶i tÝch nªn h m F(z) gi¶i tÝch trªn P+(s0). Ngo i ra ®¹o h m qua dÊu tÝch ph©n chóng ta nhËn ®−îc c«ng thøc +∞ ∀ z ∈ P+(s0), F’(z) = − ∫ tf (t )e − zt dt 0 • ¸nh x¹ L : G(s0) → H(P+(s0)), f(t) α F(z) (5.6.2) x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (5.6.1) gäi l phÐp biÕn ®æi Laplace. H m f(t) gäi l h m gèc, h m F(z) gäi l h m ¶nh cña biÕn ®æi Laplace v kÝ hiÖu l f(t) ↔ F(z). VÝ dô +∞ 1. δ(t) = + ∞ t = 0 ↔ u(z) = − zt ∫ δ(t )e dt ≡ 1 0 t≠0  0 +∞ t < 0 ↔ F(z) = 1 2. η(t) = 0 − zt ∫ η(t )e dt = víi Rez > 0 1 t≥0  z 0 +∞ 1 3. f(t) = eatη(t) ↔ F(z) = ∫ e ( a − z ) t dt = víi Rez > Rea z−a 0 . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 91
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Chó ý 1. BiÕn ®æi Laplace kh«ng ph¶i l song ¸nh v nöa mÆt ph¼ng P+(s0) thay ®æi theo tõng +∞ h m gèc f(t). Tøc l ∃ f(t) ∉ G(s0) v F(z) = ∫ f (t )e − zt dt l h m gi¶i tÝch trªn P+(s0). 0 2. H m gèc ®Þnh nghÜa nh− trªn gäi l gèc ph¶i. T−¬ng tù cã thÓ ®Þnh nghÜa h m gèc tr¸i, h m gèc hai bªn. Do vËy cã thÓ nãi ®Õn phÐp biÕn ®æi Laplace tr¸i, ph¶i v hai bªn. Trong gi¸o tr×nh n y chóng ta chØ xÐt ®Õn biÕn ®æi Laplace ph¶i. 3. NÕu f(t) l h m trÞ phøc tho¶ m n c¸c ®iÒu kiÖn 1. v 3. cña ®Þnh nghÜa h m gèc th× f(t)η(t) còng l h m gèc. Sau nay chóng ta sÏ viÕt f(t) thay cho f(t)η(t). §7. BiÕn ®æi Laplace ng−îc • H m F ∈ F(∀, ∀) gäi l h m ¶nh nÕu cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y 1. F(z) gi¶i tÝch trªn nöa mÆt ph¼ng Rez > s F(z) Re z →→ 0 ®Òu theo Argz  2. +∞ σ + i∞ ∫ F(z)dz héi tô tuyÖt ®èi ∀ σ = Re z > s, tÝch ph©n 3. σ − i∞ Sè s0 bÐ nhÊt tho¶ m n ®iÒu kiÖn 1. v 3. gäi l chØ sè cña h m F(z). KÝ hiÖu A l tËp hîp c¸c h m ¶nh. NÕu F(z) l h m ¶nh chØ sè s0 ta sÏ viÕt F ∈ A(s0). §Þnh lý Cho F(z) ∈ A(s0). Khi ®ã h m trÞ phøc σ + i∞ 1 ∫ F(z)e ∀ t ∈ 3, f(t) = zt dz (5.7.1) 2 πi σ − i∞ l h m gèc chØ sè s0 v f(t) ↔ F(z). Chøng minh Theo gi¶ thiÕt 3. víi mçi σ > s0 cè ®Þnh h m F(σ + iω) kh¶ tÝch tuyÖt ®èi. KÝ hiÖu +∞ 1 F(σ + iω)e iωt dω 2 π −∫ ∀ t ∈ 3, gσ(t) = ∞ σ + i∞ +∞ 1 1 σt σ + iωt ∫∞F(σ + iω)e dω = 2πi σ−∫i∞F(z)e dz ∀ σ > s0, f(t) = gσ(t)e = zt 2π − Theo ®Þnh lý vÒ biÕn ®æi Fourier ng−îc h m gσ ∈ C0 suy ra h m f ∈ CM. Ngo i ra do gi¶ thiÕt 1., 2. v c«ng thøc tÝnh tÝch ph©n suy réng (4.9.6) − σ + i∞ 1 ∑ Re s[F(-z)e zτ zτ ∫iF(-z)e dz = ∀ t = - τ < 0, f(t) = ,ak ] = 0 2πi −σ− ∞ Re a k > s 0 . Trang 92 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ¦íc l−îng tÝch ph©n ∀ σ > s0, | f(t) | = | gσ(t) | eσt < Meσt víi M = sup{ | gσ(t) |, σ > s0 } Tõ ®ã suy ra h m f(t) l h m gèc v ta cã +∞ +∞ +∞ − iωt −( σ + iω ) t dt = ∫ f (t )e − zt dt ∫g ∫ f (t )e ∀ σ > s0 , F(z) = (t )e dt = σ −∞ −∞ 0 HÖ qu¶ 1 Cho h m F(z) ∈ A(s0) v cã c¸c cùc ®iÓm ak víi k = 1...n n ∑ Re s[ f (z)e F(z) ↔ f(t) = zt (5.7.2) ,a k ] k =1 Chøng minh Suy ra tõ c«ng thøc (5.7.1) v c«ng thøc tÝnh tÝch ph©n suy réng (4.9.6) A( z ) HÖ qu¶ 2 Cho h m F(z) = l ph©n thøc h÷u tû thùc sù, cã c¸c cùc ®iÓm ®¬n thùc B( z ) ak víi k = 1..n v c¸c cùc ®iÓm ®¬n phøc bj = αj ± βj víi j = 1..m. Khi ®ã e + 2 ∑ e j (M j cos β j t − N j sin β j t ) n m A(a k ) a k t f(t) = ∑ αt (5.7.3) k =1 B ′(a k ) j =1 A( b j ) A( b j ) trong ®ã Mj = Re v Nj = Im víi j = 1..m B ′(b j ) B ′(b j ) Chøng minh Suy ra tõ c«ng thøc (5.7.2) v c«ng thøc tÝnh thÆng d− t¹i cùc ®iÓm ®¬n. 3z 2 + 3z + 2 cã c¸c cùc ®iÓm ®¬n a = 2 v b = -2 ± 2i VÝ du H m F(z) = (z − 2)(z 2 + 4 z + 8) A ( −2 + 2 i ) A (2 ) = 1 + 1 i ⇒ M = 1, N = 1 = 1, Ta cã B ′(−2 + 2i ) 4 4 B (2 ) f(t) = e2t + 2e-2t(cos2t - 1 sin2t) Suy ra 4 HÖ qu¶ 3 Cho F(z) ∈ A(s0) v cã khai triÓn Laurent trªn miÒn | z | > R. Khi ®ã +∞ +∞ a an F(z) = ∑ n ↔ f(t) = ∑ t n −1 (5.7.4) (n − 1)! n z n =1 n =1 Chøng minh Víi Rez > R, chuçi ë vÕ tr¸i (5.7.4) héi tô ®Òu. TÝch ph©n tõng tõ σ + i∞ σ + i∞ t n −1 1 +∞ e zt e zt e zt 1 ∑∫ ∫ dz víi dz = Re z[ n ,0] = f(t) = 2πi n =1 σ−i∞ z n 2πi σ−i∞ z n (n − 1)! z . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 93
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k §8. TÝnh chÊt cña BiÕn ®æi Laplace • Gi¶ sö c¸c h m m chóng ta nãi ®Õn l h m gèc hoÆc l h m ¶nh v do ®ã lu«n cã ¶nh v nghÞch ¶nh Laplace. KÝ hiÖu f ↔ F víi f(t) l h m gèc v F(z) l h m ¶nh t−¬ng øng. 1. TuyÕn tÝnh NÕu h m f v h m g l c¸c h m gèc th× víi mäi sè phøc λ h m λf + g còng l h m gèc. ∀ λ ∈ ∀, λf(t) + g(t) ↔ λF(z) + G(z) (5.8.1) Chøng minh +∞ ∫ [λf (t ) + g(t )]dt = λF(z) + G(z) λf(t) + g(t) ↔ 0 2. DÞch chuyÓn gèc NÕu h m f l h m gèc th× víi mäi sè d−¬ng α h m f(t - α) còng l h m gèc. ∀ α ∈ 3 * , f(t - α) ↔ e-αz F(z) (5.8.2) + Chøng minh +∞ f(t - α) ↔ e-αz ∫ f (t − α)e − z ( t −α ) d(t − α) §æi biÕn τ = t - α 0 3. §ång d¹ng NÕu h m f l h m gèc th× víi mäi sè d−¬ng α h m f(αt) còng l h m gèc. 1 z ∀ α ∈ 3 * , f(αt) ↔ F  (5.8.3) + α α Chøng minh +∞ z 1 − αt ∫ f (α t )e f(αt) ↔ d( α t ) §æi biÕn τ = αt α α 0 4. H m tuÇn ho n NÕu h m f l T - tuÇn ho n sao cho ∀ t ∈ [0, T], f(t) = g(t) víi g l h m gèc th× h m f còng l h m gèc. G( z ) f(t) ↔ F(z) = víi g(t) ↔ G(z) (5.8.4) 1 − e − Tz Chøng minh nT T +∞  +∞  g(t )e − zt dt =  ∑ e −( n −1) Tz  ∫ g(τ)e − zτ dτ ∑∫ F(z) =    n =1 0 n =1 ( n −1) T α 1 1 1 VÝ dô Ta cã sinαt = 1 (eiαt - e-iαt) ↔ −  = 2 víi Rez > 0 2 i  z − iα z + iα  z + α 2 2i T−¬ng tù t×m ¶nh cña cosαt, shαt, cos2αt, ... . Trang 94 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.