Giáo trình kỹ thuật thủy khí - Chương 7

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

96
lượt xem 26
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lực tác dụng lên vật ngập trong chất lỏng chuyển động Trong ch-ơng n y giới thiệu tổng quát về lực cản v công thức tính lực cản của chất lỏng chuyển động tác dụng lên vật ngập trong nó, lý thuyết v ph-ơng pháp lớp biên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình kỹ thuật thủy khí - Chương 7

Ch−¬ng 7 Lùc t¸c dông lªn vËt ngËp trong chÊt láng chuyÓn ®éng Trong ch−¬ng n y giíi thiÖu tæng qu¸t vÒ lùc c¶n v c«ng thøc tÝnh lùc c¶n cña chÊt láng chuyÓn ®éng t¸c dông lªn vËt ngËp trong nã, lý thuyÕt v ph−¬ng ph¸p líp biªn. 7.1. Lùc n©ng 7.1.1. C«ng thøc tæng qu¸t Ta cã dßng chÊt láng chuyÓn ®éng víi vËn tèc U∞ bao quanh vËt r¾n cè ®Þnh (hay coi gÇn ®óng l vËt r¾n chuyÓn ®éng víi vËn tèc U∞ trong chÊt láng tÜnh). Gi¶ sö U∞ kh«ng ®æi vÒ trÞ sè v h−íng. ChÊt láng chuyÓn ®éng t¸c dông lªn vËt c¶n, g©y ra lùc ph¸p tuyÕn v tiÕp tuyÕn (h×nh 7-1). Tæng hîp c¸c lùc ®ã sÏ ®−îc mét hîp lùc P v mét ngÉu lùc M. Hîp lùc P gåm 2 th nh phÇn. ρρρ Pn P = Pn + P τ ρ Pn vu«ng gãc víi ph−¬ng cña vËn Pτ ρ tèc ë v« cïng U∞ gäi l lùc n©ng; P τ cïng ph−¬ng víi U∞ nh−ng ng−îc chiÒu, U∞ gäi l lùc c¶n. VÒ trÞ sè, c¸c lùc ®ã cã biÓu thøc sau: 2 ρU ∞ Pr = C x S 2 2 ρU ∞ Pn = C y S H×nh 7-1. Lùc t¸c dông lªn vËt c¶n 2 trong ®ã: Cx- hÖ sè lùc c¶n, kh«ng thø nguyªn; Cy- hÖ sè lùc n©ng, kh«ng thø nguyªn; ρ - Khèi l−îng riªng cña chÊt láng; S - TiÕt diÖn c¶n chÝnh (h×nh chiÕu cña vËt c¶n lªn mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi U∞) Trong lùc c¶n, th«ng th−êng cã hai th nh phÇn: mét do ma s¸t trong líp biªn g©y nªn Pτms m ta sÏ xÐt trong phÇn sau; mét do ph©n bè cña ¸p suÊt trªn bÒ mÆt vËt c¶n g©y nªn Pτap Trong dßng ph¼ng ta cã: Pτ = Pτms+ Pτap Khi vËt r¾n n»m trong dßng ch¶y nã sÏ g©y ra c¸c kÝch ®éng. Do ®ã trong líp biªn c¸c th«ng sè cña dßng ch¶y sÏ thay ®æi. Ph©n bè ¸p suÊt v lùc ma s¸t trªn bÒ mÆt vËt phô thuéc v o h×nh d¹ng, v o vÞ trÝ cña nã ë trong dßng ch¶y v v o vËn tèc ë v« cïng (dßng ch−a bÞ kÝch ®éng). Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình K thu t Thu khí …………………………………….146 http://www.ebook.edu.vn
Ph©n bè ¸p suÊt v lùc ma s¸t trªn bÒ mÆt vËt ®−îc ®Æc tr−ng b»ng c¸c hÖ sè lùc c¶n ¸p suÊt v ma s¸t Cxap, Cxms Cx = Cxap + Cxms Víi vËn tèc dßng ch¶y nhá, khi ®ã tÝnh nÐn ®−îc cña chÊt láng thùc tÕ kh«ng cã t¸c dông, th× ¶nh h−ëng chÝnh ®Õn hÖ sè lùc c¶n l h×nh d¹ng vËt c¶n, gãc tíi v sè R©yn«n. C¸c lùc Pτms v Pτap lín hay nhá chñ yÕu phô thuéc v o h×nh d¸ng cña vËt c¶n. VËt cã h×nh d¹ng khÝ ®éng xÊu nghÜa l vËt khi dßng bao quanh nã cã ®iÓm rêi, kh«ng bao kÝn (nh− h×nh trô trßn, thuyÒn thóng …) th× Pτap lín h¬n Pτms. Víi c¸c vËt nh− c¸nh m¸y bay, c¸ch tua bin, tÊm ph¼ng … lùc c¶n cã thÓ tÝnh theo c«ng thøc: Pτ = Pτrms (1+k) Víi k = 0,1 ÷ 0,25 7.1.2. Lùc n©ng - ®Þnh lý Giucèpxki - Kutta Khi nghiªn cøu dßng thÕ cña chÊt láng lý t−ëng bao quanh trô trßn, nghÜa l dßng bao quanh trô trßn kh«ng cã l−u sè vËn tèc (Γ=0) ng−êi ta thÊy kh«ng cã bÊt kú mét lùc n o t¸c dông lªn nã. Trong c¬ häc chÊt láng, kÕt luËn n y ®−îc gäi l nghÞch lý ¬ le - §a l¨m be. §iÒu n y cßn ®óng c¶ ®èi víi nh÷ng vËt cã h×nh d¸ng bÊt kú. Cßn khi dßng bao quanh trô trßn cã l−u sè vËn tèc th× vÐc t¬ chÝnh cña ¸p lùc chØ cã mét th nh phÇn h−íng vu«ng gãc víi vËn tèc ë v« cïng U∞ v cã trÞ sè b»ng ρU∞Γ. §©y l tr−êng hîp riªng cña ®Þnh lý Giu-cèp-xki vÒ lùc n©ng. Trong thùc tÕ, khi c¸c vËt h×nh trô hay trßn quay trong chÊt láng thùc chuyÓn ®éng ta cã thÓ xem nh− dßng bao quanh chóng cã l−u sè vËn tèc v do ®ã xuÊt hiÖn lùc ngang vu«ng gãc víi vËn tèc cña chÊt láng t¸c dông lªn c¸c vËt ®ã. §Êy l néi dung cña hiÖu øng mang tªn M¾c nót. Dùa v o hiÖu øng n y ta cã thÓ gi¶i thÝch mét sè hiÖn t−¬ng nh− viÖc sinh ra c¸c “phÔu” xo¸y n−íc khi th¸o n−íc tõ bÓ chøa ra, ®¹n ®¹o bÞ lÖch ngang, chuyÓn ®éng bÞ uèn cong, qu¶ bãng xo¸y … §Þnh lý Giucèpxki-Kutta Néi dung cña ®Þnh lý nãi vÒ lùc n©ng cña dßng chÊt láng lý t−ëng t¸c dông lªn c¸nh ®¬n nh− c¸nh m¸y bay. §Þnh lý: NÕu dßng ch¶y cã vËn tèc ë v« cïng U∞ bao quanh pr«fin c¸nh v l−u sè vËn tèc däc theo pr«fin c¸nh l Γ, th× hîp lùc cña ¸p lùc chÊt láng t¸c dông lªn pr«fin c¸nh sÏ cã trÞ sè ρU∞Γ, cßn ph−¬ng chiÒu ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c¸ch quay vÐct¬ U∞ mét gãc 900 ng−îc chiÒu Γ. Cã thÓ chøng minh ®Þnh lý b»ng c¸ch ¸p dông ®Þnh lý biÕn thiªn ®éng l−îng cho khèi chÊt láng n»m gi÷a vßng trßn kh¸ lín v pr«fin c¸nh, hay nhê lý thuyÕt h m biÕn phøc nh− Trapl−ghin [17]. VÒ mÆt vËt lý: søc n©ng mét chiÕc c¸nh bÊt ®éng l do sù chuyÓn ®éng trßn (xo¸y) cña dßng chÊt láng xung quanh c¸nh ®ã (l−u sè vËn tèc). Do ¶nh h−ëng chuyÓn ®éng cña dßng chÊt láng Êy, vËn tèc trªn l−ng c¸nh lín h¬n vËn tèc ë d−íi bông c¸nh. Tõ ®ã sinh ra sù chªnh lÖch vÒ ¸p suÊt, t¹o th nh mét lùc ®Èy tõ d−íi lªn. Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình K thu t Thu khí …………………………………….147 http://www.ebook.edu.vn
7.2. Líp biªn Nh− võa nªu ë trªn, muèn tÝnh lùc c¶n ph¶i biÕt ph©n bè lùc ma s¸t (øng suÊt tiÕp) däc bÒ mÆt cña vËt bÞ chÊt láng bao quanh, nghÜa l ph¶i nghiªn cøu líp chÊt láng s¸t vËt - líp biªn. 7.2.1. §Þnh nghÜa Khi chÊt láng thùc bao quanh mét vËt ®øng yªn, do tÝnh nhít nªn h×nh nh− nã dÝnh v o bÒ mÆt vËt. V× v©y, vËn tèc cña dßng ch¶y trªn mÆt vËt b»ng kh«ng. Khi ra xa vËt theo ph−¬ng ph¸p tuyÕn víi bÒ mÆt, vËn tèc sÏ t¨ng dÇn v t¹i kho¶ng c¸ch n o ®ã kÝ hiÖu l δ nã sÏ gÇn b»ng vËn tèc cña dßng bªn ngo i U∞ (= 0,99U∞) Líp chÊt láng cã chiÒu d y l δ ®ã gäi l líp biªn. Trong líp biªn tËp trung hÇu hÕt ¶nh h−ëng cña tÝnh nhít, cã nghÜa chÊt láng l chÊt láng thùc. MiÒn cßn l¹i ¶nh h−ëng cña tÝnh nhít kh«ng ®¸ng kÓ v cã thÓ xem nã nh− l miÒn chÊt láng lý t−ëng. §¹i l−îng δ phô thuéc v o viÖc chän ë ®©u ®iÓm quy −íc chØ râ biªn giíi cña líp biªn. Do ®ã trong khi tÝnh to¸n ng−êi ta ®−a v o nh÷ng chiÒu d y ®Æc tr−ng kh¸c cña líp biªn: chiÒu d y bÞ Ðp δ*, chiÒu d y tæn thÊt xung lùc δ** v chiÒu d y tæn thÊt n¨ng l−îng δ***. 7.2.2. ChiÒu d y bÞ Ðp §èi víi chÊt láng lý t−ëng: c¸c ®−êng y dßng gÇn t−êng kh«ng thay ®æi ph−¬ng B' thùc A' nh− khi ë xa t−êng. Cßn ®èi víi chÊt láng thùc: c¸c ®−êng dßng gÇn t−êng sÏ bÞ uèn cong v× u < U∞ - t¹o th nh líp biªn. Nh− vËy, ë ®©y xÐt ¶nh h−ëng ®éng häc cña B' lÝ t−ëng tÝnh nhít lªn vÞ trÝ cña ®−êng dßng, nghÜa l tÝnh ∆ b»ng bao nhiªu (H×nh 7-2). A U X¸c ®Þnh kho¶ng c¸ch dÞch chuyÓn ∆ cña ®−êng dßng do ¶nh h−ëng cña tÝnh nhít dùa trªn tÝnh chÊt: ®−êng dßng l ®−êng l−u l−îng b»ng nhau. TÝnh l−u l−îng Qt chÊt láng thùc qua mÆt c¾t gi÷a bÒ mÆt vËt v ®−êng dßng c¸ch th nh mét kho¶ng y. H×nh 7-2. S¬ ®å x¸c ®Þnh chiÒu d y bÞ Ðp y Qt = ∫ udy 0 §−êng dßng t−¬ng øng cña chÊt láng lý t−ëng sÏ gÇn bÒ mÆt vËt h¬n mét ®o¹n ∆ v ®−îc tÝnh tõ ®iÒu kiÖn c©n b»ng l−u l−îng: y Ql = U ∞ ( y − ∆ ) = U ∞ ∫ dy − U ∞ ∆ 0 Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình K thu t Thu khí …………………………………….148 http://www.ebook.edu.vn
y Qt = Ql → U ∞ ∆ = ∫ ( u∞ − u )dy 0 y u ∆ = ∫(1− hay )dy u∞ 0 δ u khi y → δ , th× ∆ = ∆max = δ * = ∫ ( 1 − )dy u∞ 0 hay viÕt d−íi d¹ng kh«ng thø nguyªn: 1 u y δ * = δ ∫ ( 1 − ϕ )dη , , víi ϕ = ;η = δ u∞ 0 δ0 ρu §èi víi chÊt láng nÐn ®−îc: δ = ∫ ( 1 − * )dy ρu∞ 0 * Nh− vËy, δ ®Æc tr−ng cho sù dÞch chuyÓn ®−êng dßng cña dßng ngo i khái ph−¬ng cña ®−êng dßng trong chuyÓn ®éng cña chÊt láng lý t−ëng. L−îng chÊt láng ®i qua chiÒu d y δ * b»ng l−îng chÊt láng ®i qua ( δ - δ *). Sù gi¶m l−u l−îng ®ã g©y ra do líp biªn “Ðp” chÊt láng, nªn δ * mang tªn chiÒu d y bÞ Ðp. §èi víi tÊm ph¼ng: δ * = 0,375 δ . 7.2.3. ChiÒu d y tæn thÊt xung lùc XÐt ¶nh h−ëng ®éng lùc cña tÝnh nhít lªn dßng ch¶y bao quanh vËt. TÝnh lùc c¶n X theo ®Þnh lý biÕn thiªn ®éng l−îng (§Þnh lý ¬ le 1) cho khèi chÊt láng chøa trong ABA’B’ (H×nh 7-3). 2 §éng l−îng chÊt láng ch¶y v o qua AB: q1 = 2 ρhu∞ V× l−îng chÊt láng v o qua AB gÇn b»ng l−îng ch¶y ra qua A’B’ nªn: +h 2 ρhu∞ = 2 ρ ∫ ρudy −h +h q1 = u∞ ρ ∫ udy suy ra: −h Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình K thu t Thu khí …………………………………….149 http://www.ebook.edu.vn
U∞ A' h h U∞ x b h h B δ H×nh 7-3. +h §éng l−îng chÊt láng ch¶y qua A’B’: q2 = ρ ∫ u 2 dy −h Theo ®Þnh lý biÕn thiªn ®éng l−îng +h +h X = u∞ ρ ∫ udy − ρ ∫ u 2 dy + q' −h −h Trong ®ã q’- ®éng l−îng chÊt láng ch¶y qua AA’, BB’. Khi h → ∞ th× q’ → 0 nªn: +∞ u X = u∞ ρ ∫ ( 1 − )dy u∞ −∞ T×m hÖ sè lùc c¶n: 2 +∞ u 2δ ** X u =∫ )dy = ∞ Cx = (1− 2 1 pu∞ b b −∞ u∞ u∞ b 2 +∞ u u ∫ δ ∞* = * Trong ®ã (1− )dy u∞ u∞ −∞ 1 Hay l viÕt d−íi d¹ng kh«ng thø nguyªn: δ ** = δ ∫ ϕ ( 1 − ϕ )dη 0 Nh− vËy, chiÒu d y tæn thÊt xung lùc l chiÒu d y m trong ®ã ®éng l−îng cña chÊt láng lý t−ëng (t−¬ng øng víi U∞) b»ng ®éng l−îng tiªu hao trong líp biªn: δ ρ ∞δ ** u∞ = ∫ ρu( u∞ − u )dy 0 TÝnh cho tÊm ph¼ng: δ ** = 0 ,146δ Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình K thu t Thu khí …………………………………….150 http://www.ebook.edu.vn
δ ρu u §èi víi chÊt láng nÐn ®−îc: δ ** = ∫ (1− )dy ρ ∞ u∞ u∞ 0 Trong mét sè tÝnh to¸n, ng−êi ta cßn ding tØ sè c¸c chiÒu d y: δ* δ* δ ** H= ; H* = ; H ** = δ ** δ δ 7.2.4. Ph−¬ng ph¸p líp biªn a) Gi¶i chÝnh x¸c: V× líp biªn ®−îc h×nh th nh chØ khi sè Reynolds lín, nªn ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng trong líp biªn cã thÓ nhËn ®−îc tõ ph−¬ng tr×nh Navier-Stokes viÕt d−íi d¹ng tæng qu¸t kh«ng thø nguyªn, sau ®ã ®¸nh gi¸ bËc c¸c th nh phÇn trong ph−¬ng tr×nh Êy dùa trªn ®iÒu kiÖn c¬ b¶n: chiÒu d y líp biªn nhá h¬n nhiÒu so víi chiÒu d i cña vËt ( δ
Sè h¹ng thø nhÊt trong vÕ tr¸i cña ph−¬ng tr×nh (7-2) biÓu diÔn øng suÊt ma s¸t víi chuyÓn ®éng cña chÊt láng nÐn ®−îc. §èi víi chÊt láng kh«ng nÐn ®−îc ( ρ ∞ = const ) ta cã ph−¬ng tr×nh. dδ ** 1 du∞ τ ( 2δ ** + δ * ) = w 2 (7-3) + ρ ∞ u∞ dx u∞ dx Khi u∞ = const, sè h¹ng thø hai b»ng 0. Ph−¬ng tr×nh (7-2), (7-3) gäi l hÖ thøc tÝch ph©n Karman v× nã chøa c¸c tÝch ph©n δ , δ . Tõ hÖ thøc tÝch ph©n ®ã ta sÏ x¸c ®Þnh ®−îc τ w , δ*, δ**. Khi cho biÕt d¹ng pr«fin * ** vËn tèc trong líp biªn, ch¼ng h¹n nh− P«nhauden cho pr«fin vËn tèc kh«ng thø nguyªn: u = A0 + A2η 2 + A3η 3 ; du∞ ≠ 0 ϕ= u∞ dx B»ng ph−¬ng ph¸p n y ng−êi ta ® gi¶i cho líp biªn ch¶y tÇng trªn tÊm ph¼ng v 1,444 t×m ra ®−îc hÖ sè c¶n to n bé: C x = Re τw 0 ,722 HÖ sè c¶n côc bé: C f = = 2 1 ρu∞ Rex 2 0 ,664 Trong khi ®ã lêi gi¶i chÝnh x¸c cho: C f = Rex y p+dp b P δ a τw u δ∗ x c d dx H×nh 7- 4. Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình K thu t Thu khí …………………………………….152 http://www.ebook.edu.vn
7.3. M T S BÀI TOÁN L P BIÊN Ta áp d ng h th c tích phân Karman (7-3) ñ gi i m t s trư ng h p c th . 7.3.1. L p biên ch y t ng trên t m ph ng dp du = 0, ∞ = 0 . Do ñó phương Trong trư ng h p này áp su t p, u∞ không ñ i: dx dx dδ ** τ = w2 trình (7-3) s có d ng r t ñơn gi n: (7-4) ρu ∞ dx ð gi i phương trình ñó ta cho d ng prôfin v n t c: u = A0 + A1η + A2η 2 + ... + Anη n ϕ= u∞ Các h s Ao, A1,…, An ñư c xác ñ nh t các ñi u ki n biên: m i h s ng v i m t ñi u ki n biên. Gi s có 3 ñi u ki n biên: η = 0 (y = 0); ϕ = 0 (u = 0) η = 1 (y = δ); ϕ = 1 (u = u∞) và  ∂u  ∂ϕ = 0  ∂y = 0   ∂η   thì prôfin v n t c có d ng: ϕ = Ao + A1η + A2η2 T các ñi u ki n biên ta xác ñ nh ñư c: Ao = 0; A1 = 2; A2 = -1 V y d ng prôfin v n t c s là: ϕ = 2η - η2 Thay ϕ vào các bi u th c c a δ*, δ**, τw 1 1 δ * = δ ∫ (1 − 2η + η 2 )dη = δ 3 0 1 2 δ ** = δ ∫ (2η − η 2 )(1 − 2η − η 2 )dη = δ 1.5 0 u∞ τ w = 2µ δ Thay các giá tr c a δ** và τw vào phương trình (7.4) ta tìm ñư c: νx δ = 30 u∞ hay là: Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình K thu t Thu khí …………………………………….153 http://www.ebook.edu.vn
δ 5,48 = x Re x nghĩa là δ t l v i x : δ ≈ x . Bi t δ s tính ñư c τw và t ñó tính ñư c h s l c c n. H s l cc nc cb : τw 0 ,722 Cf = = 12 Re x ρu∞ 2 H s l c c n toàn b : x 1,444 Cx = = 12 Re ρu∞ S 2 Trong ñó: S = 2bl- di n tích hai phía c a t m ph ng; b- chi u r ng; l- chi u dài. L c ma sát trên toàn t m ph ng: l 4b x = 2b ∫ τ w dx = 3 µρlu ∞ 3 0 7.3.2. L p biên ch y r i trên t m ph ng V i nh ng ñi u ki n nh t ñ nh, l p biên ch y t ng s m t n ñ nh và chuy n sang ch y r i. Tương t như vi c kh o sát hai tr ng thái ch y trong ng, tiêu chu n ñ xác ñ nh gi i h n s m t n ñ nh c a tr ng thái ch y t ng là s Râynôn t i h n. ð i v i t m ph ng, n u s Re > 3.105 ta s có l p biên ch y r i. Như ta ñã bi t, n u l p biên ch y t ng trên t m ph ng, thì chi u dày l p biên t l v i x , x là kho ng cách t ñ u mũi t m ph ng. Quá ñ t l p biên ch y t ng sang ch y r i ñư c r t nhi u ngư i nghiên c u và th y r ng mi n g n mũi t m ph ng l p biên luôn luôn ch y t ng, nhưng ti p theo d c dòng ch y v i nh ng ñi u ki n nh t ñ nh, l p biên tr thành r i. Khi dòng không khí bao quanh t m ph ng có ñ u mũi nh n, l p biên chuy n sang kho ng cách x ñư c xác ñ nh t bi u th c sau: ri u∞ = 3,15.10 5 ÷ 5.10 5 Re x* = ν T ñó suy ra, khi v n t c c a dòng ch y u∞ tăng thì ñi m quá ñ d ch d n lên phía ñ u mũi t m ph ng. Ngoài s Râynôn t i h n Rex*, còn có nh ng y u t khác nh hư ng tr c ti p ñ n tr ng thái quá ñ , như gradien áp su t, ñ nhám, ñ cong c a b m t v t v.v… Kh o sát l p biên ch y r i trên t m ph ng. Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình K thu t Thu khí …………………………………….154 http://www.ebook.edu.vn
Ta ñã bi t trong chuy n ñ ng r i, ngư i ta ñưa khái ni m giá tr trung bình th i gian và ñã xét gi thuy t Prandtl ñ i v i ng su t ti p: 2  du  τ w = ρl 2      dy  Trong ñó: l- chi u dài ñư ng r i (chi u dài xáo tr n). ð i v i t m ph ng ta cũng có phương trình: dδ ** τ = w2 ρu ∞ dx Nhưng v i chú ý là các giá tr δ, δ*, δ** và τw s khác trư c. Cơ s lý thuy t bán th c nghi m c a l p biên r i là s tương t gi a chuy n ñ ng r i trong ng và trong l p biên. ð i v i l p biên ch y t ng và chuy n ñ ng trong ng ta ñã có s liên h gi a các thông s sau ñây: bán kính c a ng và v n t c trên tr c ng tương ng v i chi u dày l p biên δ và v n t c t i y = δ. Nh ng ñi u này cũng có th áp d ng cho chuy n ñ ng r i. Khi ñó prôfin v n t c trong l p biên r i có th tìm dư i d ng hàm mũ hay làm lôgarít. Ta tìm dư i d ng hàm s mũ: n u  y hay là ϕ = ηn =  u∞  δ  Thay giá tr ϕ vào bi u th c c a δ*, δ**: 1 n δ * = δ ∫ (1 − ϕ )dη = δ n −1 0 1 n δ ** = δ ∫ ϕ (1 − ϕ )dη = δ (n + 1)(2n + 1) 0 N u l y n = 1/7 - g i là prôfin v n t c 1/7 ta s tính ñư c: 1 7 δ * = δ ; δ ** = δ 8 72 ð tính ng su t ti p trên t m ph ng τw, ta áp d ng công th c c a chuy n ñ ng r i trong ng: −1 / 4  u max r0    2 τ w = 0 ,0225 ρu max ν  khi thay umax = u∞; ro = δ, ta có: −1 / 4 u δ  τ w = 0 ,0225 ρu  ∞  2 ∞ ν  thay τw và δ** vào phương trình (7.4) ta s ñư c: Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình K thu t Thu khí …………………………………….155 http://www.ebook.edu.vn
−1 / 5  u∞ x  δ = 0 ,037 x  ν  δ − = 0 ,37 Re x 1 / 5 hay là: x suy ra, δr i t l v i x4/5: δr i ∼ x4/5, trong khi ñó δt ∼ x1/2 nghĩa là l p biên r i tăng theo x ng nhanh hơn l p biên ch y t ng. Bi t δ s tìm ñư c τw và suy ra l c c n l x = 2b ∫τ w dx = 0 ,072ρu ∞ bl Re −1 / 5 2 0 H s l cc nc cb : τw − = 0 ,0576 Rex 1 / 5 Cf = 12 ρu ∞ 2 H s l c c n toàn ph n: x = 0 ,072 Re −1 / 5 Cx = 12 ρu∞ S 2 So sánh v i th c nghi m, ngư i ta l y 0,074. 7.3.3. L p biên trên m t cong Ta ñã kh o sát xong hai bài toán l p biên trên t m ph ng tương ñ i ñơn gi n. Nhưng trong các máy có cánh (tuabin, máy nén khí, qu t v.v…) thư ng g p nh ng v t có hình d ng cong như các dãy cánh. Khi dòng ch y bao quanh m t cong thư ng x y ra m t hi n tư ng khá quan tr ng: xu t hi n ñi m r i c a l p biên. Ta s gi i thích hi n tư ng này ∂p =0 d a trên ñi u ñã ch ng minh trong ph n h phương trình l p biên ∂y Ta kh o sát dòng bao quanh m t cong AB (Hình 7-5). Gi s áp su t c a dòng ngoài d c AB lúc ñ u gi m, ñ t giá tr c c ti u M và sau ∂p < 0 g i là mi n thu h p d n. ñó s tăng. Mi n dòng ngoài mà t i ñó grañien áp su t âm ∂y ∂p > 0 g i là mi n m r ng d n. Mi n chuy n ñ ng sau ñi m M có grañien áp su t dương ∂y T i mi n thu h p d n dòng ngoài s tăng t c, còn mi n m r ng d n dòng s b hãm. Vì ∂p = 0 , nên có th k t lu n là phân b áp su t cũng s tương t như th trong l p biên ∂y trong b t kỳ kho ng cách y < δ trong l p biên trên ño n AB. Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình K thu t Thu khí …………………………………….156 http://www.ebook.edu.vn
 ∂p   >0  ∂x   ∂u   ∂p    =0  
Còn δ*, δ** và τw η   δ 1 u δ = ∫ 1 − dy = δ ** ∫ 1 − ϕ (η 1 , f )dη 1 = δ ∗* H ( f ) * u  0  ∞ 0  ∂ϕ   ∂u  u ∞ µu ∞ = ** ϕ' (0 , f ) τ w = µ  = µ  ∂η   ∂y   **  1 η =0 δ δ   y =0 1 τ wδ ** N u ký hi u ϕ′(0,f) = ζ(f) = , thì phương trình (7-3) s có d ng; µu∞ dδ ** u∞ ** ′ τ ν + δ [2 + H ( f )] = w2 = ζ( f ) ρu∞ u∞δ ** dx u∞ δ ** Nhân phương trình ñó v i , ta s ñư c: ν 1 d  δ ** 2  u∞δ ** 2 ′ ζ( f )  ν  + u ν [2 + H ( f )] = u ⋅  2 dx   ∞ ∞ hay là, v i chú ý: u∞δ ** 2 ′ f = u∞ν u∞ và ký hi u: 2[ζ(f) – (2 – H)f] = F(f) phương trình xung lư ng s có d ng: d  δ ** 2  d  f  F ( f ) =  =  dx  ν  dx  u∞   ′ u∞   d  f  1 df u′′  =  u′  u′ ⋅ dx − f u′2 dx  ∞  ∞ ∞ nên phương trình trên có d ng cu i cùng: ′′ u′ df u∞ f + ∞ F( f ) = (7-6) ′ dx u∞ u∞ Khi bi t F(f) và cho u∞(x) có th gi i ñư c phương trình ñó và s tìm ñư c f(x), t ñó suy ra δ** và τw(x). T các l i gi i chính xác ñã ñư c th c nghi m ch ng minh, ta có th bi u di n F(f) dư i d ng hàm tuy n tính: F(f) = a – bf Trên hình 7-6. bi u di n các ñư ng cong H(f), ζ(f) và F(f) ng v i l i gi i chính xác c a bài toán l p biên ch y t ng khi v n t c u∞ = cxn và a = 0,45, b = 5,35. Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình K thu t Thu khí …………………………………….158
Sau khi thay giá tr c a F(f) vào phương trình (7-6), ta s ñư c phương trình xung lư ng dư i d ng: u′  u′′ u′  df = a ∞ + ∞ −b ∞ f  u′ u∞  dx u∞  ∞  ðó là phương trình vi phân thư ng H F tuy n tính b c nh t và nghi m c a nó s là: ′x u′ au∞ b−1 b∫ u (ζ )dζ + C ∞ f= (7-7) b u∞ o u∞ 6 0,6 H ng s tích phân C ñư c xác ñ nh 5 0,5 F t các ñi u ki n biên: x = 0; u = 0 và f h u h n, nên C = 0. 4 0,4 Bi u di n δ** qua thông s hình H dáng f theo công th c (7-5) ta ñư c: 3 0,3 x fν νa b −1 u∞ ∫ δ** = = u ∞ (ζ )dζ (7-8) b u′ 2 0,2 ∞ o Bi t f(x) và δ**, theo ñ th trên 1 0,1 hình 7-6. có th tìm ñư c H(f) và ζ(f), t ñó suy ra δ*= δ**H. f -0,08 -0,04 0,04 0,08 0 u∞ ( x ) τ w( x ) = µ ζ( f ) Hình 7-6. δ ** ( x ) T a ñ c a ñi m r i ñư c xác ñ nh t ñi u ki n τw = 0. Nó ng v i ζ(f) = 0. T hình 7-6 ta th y ζ(f) = 0 khi fs = - 0,0681. D u âm ch ng t ñi m r i x y ra trong vùng m r ng d n. Các k t qu tính toán tên hoàn toàn phù h p v i k t qu th c nghi m khi f > 0, còn mi n g n f = fs, k t qu hơi khác nhau. 7.4. L P BIÊN NHI T ð Trên cơ s nh ng k t qu v a thu ñư c, ta kh o sát m t lo i l p biên khác g i là l p biên nhi t ñ , mà thư ng g p trên các v t hay trong các máy có cánh chuy n ñ ng v i v n t c l n. 7.4.1. ð nh nghĩa Tương t l p biên ñã xét trên - còn g i là l p biên ñ ng h c hay l p biên v n t c – ta có l p biên nhi t ñ . N u nhi t ñ c a v t b bao quanh và nhi t ñ c a dòng ch y khác nhau, thì chi u dày c a mi n mà t i ñó x y ra s bi n thiên t nhi t ñ c a v t ñ n nhi t ñ c a dòng ch y s ph thu c vào m t ñ i lư ng không th nguyên. ð i lư ng ñó, tương t như s Râynôn trong l p biên ñ ng h c, g i là s Râynôn nhi t ñ : Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình K thu t Thu khí …………………………………….159
ul ReT = a λ a= trong ñó: - h s d n nhi t ñ ; ρC p λ - h s d n nhi t; Cp- nhi t dung ñ ng áp. Kí hi u chi u dày ñó là δT, còn chi u dày không th nguyên: δT δT = l Khi ReT nh thì δ T >> 1 ; còn khi ReT l n thì δ T
hay bi n ñ i T∞ − T = ( T∞ − Tw ) − ( T − Tw ) ≡ θ − θ Ta s ñư c h th c tích phân c a l p biên nhi t ñ : dδ T* * a ∂θ = ⋅ (7-9) θu∞ ∂y dx y =0 Trong ñó: δT ux  θ  ∫u 1 − dy δ T* = * θ  ∞  o 7.4.3. L p biên nhi t ñ trên t m ph ng Ta gi i c th m t bài toán l p biên nhi t ñ : dòng ch t l ng ch y t ng v i v n t c không ñ i u∞ bao quanh t m ph ng có nhi t ñ c ñ nh Tw. ð s d ng h th c tích phân (7-9) ph i bi t prôfin v n t c và prôfin nhi t ñ trong l p biên. Ta cho d ng prôfin nhi t ñ: T(y) = bo + b1y + b2y2 +…+ bnyn (7-10) S lư ng các s h ng và giá tr các h s bo, b1, b2…bn có th xác ñ nh theo các ñi u ki n biên cho trư c. ñây, ta có các ñi u ki n biên: ∂ 2T Khi y = 0 ( trên m t v t): T = Tw ; =0 ∂y 2 ∂T y = δ T : T = T∞ ; =0 ∂y Thay các ñi u ki n trên vào (7-10) ta s ñư c m t h phương trình v i 4 n: bo, b1, b2, b3: Tw = bo ; T1 = bo + b1δ T + b2δ T2 + b3δ T3 2b2 = 0 ; b1 + 2b2δ T + 3b3δ T3 = 0 Gi i h phương trình ñó, s tìm ñư c: 3 T∞ − Tw bo = Tw ; b1 = ⋅ δT 2 1 T −T b2 = 0 ; b3 = − ⋅ 1 3 w 2 δT 3 y  3 y1 T = Tw + ( T∞ − Tw ) − ( T∞ − Tw )  Do ñó: δ  δT 2 2 T  Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình K thu t Thu khí …………………………………….161
3 θ T − Tw 3 y 1  y  =⋅ −  = hay là: (7-11) θ T∞ − Tw 2 δ T 2  δ T    Prôfin v n t c ta cũng ch n dư i d ng: ux ≡ u = ao + a1y + a2y2 + a3y3 V i các ñi u ki n biên: ∂ 2u y = 0 : u = 0; =0 ∂y 2 ∂u y = δ : u = u∞ ; =0 ∂y S tìm ñư c: 3 u∞ ao = 0 ; a1 = ⋅ : a2 = 0 ; 2δ 1 u∞ a3 = ⋅ 2 δ3 Suy ra, prôfin v n t c có d ng: 3 u 3 y 1 y =⋅− (7-12) u∞ 2 δ 2  δ  Thay các giá tr (7-11), (7-12) vào phương trình (7-9) và v i gi thi t δT ≤ δ sau vài phép bi n ñ i ta s ñư c phương trình: 3 δ  d T  3  δT  4 δ  = 1  + x (7-13) δ  3 dx Pr Trong ñó: ν Pr = - s Prandtl a Nghi m riêng c a phương trình ñó là: δT δ 1 = 1 / 3 hay là δ T = 1 / 3 δ Pr Pr Trong ph n 7.3 ñã tính ñư c: νx δ = 4 ,64 u∞ suy ra: νx 1 δ T = 4 ,64 ⋅ (7-14) 1/ 3 Pr u∞ Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình K thu t Thu khí …………………………………….162
Như v y, chi u dày l p biên nhi t ñ trên t m ph ng t l v i x cũng gi ng như chi u dày l p biên v n t c. Tương t như tính h s l c c n trong l p biên v n t c, ñây ta tính h s trao ñ i nhi t c c b α(x). Nó ñư c xác ñ nh như sau:  ∂T  λ ∂θ qw 1 = −λ   ∂y  × T − T = θ ⋅ ∂y α( x ) =  Tw − T∞   y =0 ∞ w y =0 T (7-11) ta có: ∂θ 3θ = ⋅ 2 δT ∂y y =0 Và v i chú ý (7-14) ta ñư c: u∞ α ( x ) = 0 ,323λ 3 Pr νx Có th tính h s trao ñ i nhi t trung bình: x 1 u α tb = ∫ α ( x )dx =0 ,646 λ 3 Pr ∞ = 2α νx xo Thông thư ng trong trao ñ i nhi t ngư i ta dùng tiêu chu n tương t Nuxen: αl Nu = λ S Nuxen c c b s là: αx = 0 ,3233 Pr Re Nu x λ S Nuxen toàn ph n : α tbl = 0 ,646 3 Pr Re Nu = λ Lư ng nhi t truy n t m t ñơn v chi u r ng c a m t m t t m ph ng trong m t ñơn v th i gian: αl Q = α (Tw − T∞ )l .1 = λ (T − T ) = λ (Tw − T∞ )Nu λw∞ V cách bi n ñ i ñ có ñư c phương trình (7-13): Sau khi bi t prôfin nhi t ñ (7-11) và prôfin v n t c (7-12), ta có th vi t h th c tích phân (7-9) dư i d ng: d T  3 y 1  y   3 y 1  y   2 δ 2 3a ∫ 1 − 2 ⋅ δT + 2  δT   ×  2 ⋅ δ ⋅ 2  δ   dy = 2 u∞δT (7-15)    dx o        Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình K thu t Thu khí …………………………………….163
D dàng tính ñư c tích phân trên n u gi thi t δT ≤ δ. Trong trư ng h p này, tích phân trong kho ng (δ − δT ) luôn luôn b ng không vì θ = θ , suy ra giá tr c a hàm dư i d u tích phân trong bi u th c c a δ T* trong kho ng (δ − δT ) luôn luôn b ng không. * δT , nghĩa là δT = hδ thì tích phân trong phương trình (7-15) s N u ta ñ t h = δ b ng: δT 3 3h 4  3 2  θ u 1 2 ∫ 1 − θ  dy = δ  h 2 − =  20 δh  1 − 14 h   u  20   o ∞ 280   S h ng th hai nh hơn s h ng th nh t vì ta gi thi t δT ≤ δ nghĩa là h ≤ 1. B qua s h ng th hai, cu i cùng ta s có phương trình vi phân: 3d23a 3 a ⋅ δh = ⋅ =⋅ 2 u∞δ T 2 u∞ hδ 20 dx dδ dh a h 3δ + 2 h 2δ 2 = 10 hay là: (7-16) dx dx u∞ dδ và δ2 t l p biên v n t c: Thay các giá tr δ dx dδ 140 ν 2 νx và δ 2 = (4 ,64 ) δ = ⋅ dx 3 u∞ u∞ Phương trình (7-16) có d ng : 14 ν  3 dh  ⋅  h + 4 xh 2  = 1 13 a  dx  ν 14 ~ − 1 và = Pr ta ñư c: coi: 13 a 4 dh 3 1 h3 + = x (7-17) 3 dx Pr 7.3. vÝ dô vµ bµi tËp VÝ dô 7-1: Tính chi u dày m t tăng v t nén th ng d a vào phương trình truy n nhi t: λ ∂ 2T ∂T = ⋅ u∞ ∂x C p ρ ∂x 2 Trong ñó có th xem các ñ i lư ng Cp, ρ, λ là không ñ i, (theo lý thuy t ñ ng h c ch t khí ta có công th c g n ñúng λ = ρCpαl; trong ñó l - chi u dài ch y t do trung bình c a phân t , a - v n t c âm). Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình K thu t Thu khí …………………………………….164
Gi i: T phương trình truy n nhi t: ∂ 2T λ ∂T = ⋅2 ∂x C p ρu∞ ∂x v i các ñi u ki n biên: khi x = - ∞ : T = T∞ khi x = 0 : T = T2∞ T2∞ - nhi t ñ sau m t tăng v t nén. Suy ra:  x T = T∞ + (T2 ∞ − T∞ )exp C p ρu∞   λ Chi u dày m t tăng v t nén d ñư c xác ñ nh d a vào gradien nhi t ñ t i x = 0 t bi u th c sau: λ T2 ∞ − T∞ l d= = =  ∂T  C p ρu∞ M    ∂x  x=0 u M= -s M c a VÝ dô 7-2: D a vào ñ th trên hình v hãy tính h s l c c n c a t m ph ng trong l p biên ch y t ng khi s Re = 3.105 và s M = 2,13. Gi i : C x Re Trên ñ mũ c a th , n là s bi u th c : n µ T  =  µ1  T1   trong ñó: µ - h s nh t; T - nhi t ñ . C 3 trư ng h p ng v i s Pr = 1. M∞ D a trên ñ th , ta s tìm ñư c h s l c c n Cx. 1,3 Cx = = 0 ,0024 Re (ñ i v i không khí, l y n = 0,8). Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình K thu t Thu khí …………………………………….165