Giáo trình Lý thuyết đàn hồi - Phần 1

Chia sẻ: Lê Thị Hạnh Tuyết | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:31

Thêm vào BST

Báo xấu

340
lượt xem 59
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các sinh viên và giảng viên có thêm tư liệu để quá trình học tập và giảng dạy được thuận lợi. Dưới đây là giáo trình Lý thuyết đàn hồi phần 1 gồm 4 chương đầu trình bày về khái niệm lý thuyết đàn hồi, nội dung - đối tượng - giả thiết lý thuyết đàn hồi, mục đích nghiên cứu lý thuyết đàn hồi, lý thuyết trạng thái ứng suất, lý thuyết trạng thái chuyên vị và biến dạng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Lý thuyết đàn hồi - Phần 1

CHƯƠNG 1 : KHÁI NIỆM CHUNG §1.1. LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI - MỘT NHÁNH CỦA CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG: Cơ học vật rắn biến dạng là một ngành học lớn, nghiên cứu sự làm việc của vật rắn về mặt cơ học như trạng thái ứng suất, trạng thái chuyển vị và biến dạng…dưới các tác dụng bên ngoài (tải trọng, sự thay đổi nhiệt độ, sự chuyển vị cưỡng bức… Do các đối tượng nghiên cứu, đều kiện làm việc và mức độ yêu cầu nghiên cứu khác nhau nên trong quá trình phát triển, ngành học lớn này chia thành nhiều môn học riêng như sau: 1.Sức bền vật liệu và cơ học kết cấu: (đàn hồi ứng dụng trong kỹ thuật): Chủ yếu nghiên cứu thanh và hệ thanh. Trong quá trình tính toán đã đưa ra các giả thiết để đơn giản việc nghiên cứu từ đó có những kết quả tiện lợi trong vấn đề tính toán. 2. Lý thuyết đàn hồi : Nghiên cứu các vật rắn đàn hồi có hình dạng bất kỳ. 3. Các lý thuyết khác : - Lý thuyết dẻo: Nghiên cứu sự làm việc của vật liệu ở giai đoạn biến dạng dẻo, sự hình thành biến dạng dẻo và các ứng suất tương ứng. - Lý thuyết từ biến: Nghiên cứu sự biến đổi theo thời gian của ứng suất và biến dạng của kết cấu dưới tác dụng của ngoại lực ban đầu (kể cả trường hợp ngoại lực không thay đổi theo thời gian). - Lý thuyết lưu biến (Nghiên cứu về sự chảy của vật chất): Nghiên cứu những định luật chung về sự phát sinh và phát triển của biến dạng theo thời gian của vật chất do những nguyên nhân khác nhau trong những điều kiện nhiệt động và hóa lý khác nhau. Nhìn chung các môn học này đều có đối tượng và phương pháp nghiên cứu khác nhau nhưng mang tính tương đối. Trong thực tế ranh giới giữa các môn học này nhiều khi bị xóa bỏ và xâm nhập lẫn nhau. §1.2. NỘI DUNG, ĐỐI TƯỢNG VÀ CÁC GIẢ THIẾT CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI 1. Nội dung: Nghiên cứu trạng thái ứng suất, biến dạng, chuyển vị của vật thể đàn hồi dưới các tác dụng bên ngoài (tải trọng, sự thay đổi nhiệt độ, sự chuyển vị cưỡng bức…) 2. Đối tượng: Các vật rắn thực tuân theo các giả thiết cơ bản sau: 3. Các giả thiết cơ bản: a. Vật liệu liên tục, đồng nhất và đẳng hướng: là vật liệu ở tại mọi điểm và theo mọi phương tính chất cơ lý của nó đều như nhau. b. Vật liệu có tính đàn hồi tuyệt đối: theo giả thiết này quá trình tăng tải và giảm tải hoàn toàn thuận nghịch, trong quá trình chịu tải năng lượng hoàn toàn được bảo toàn. c. Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là bậc nhất tức là vật liệu làm việc tuân theo định luật Hooke. 1
d. Vật liệu ở trạng thái tự nhiên trước khi chịu lực: Ở trạng thái ban đầu, khi vật thể chưa biến dạng thì trong vật thể không phát sinh ứng suất, nghĩa là bên trong vật thể không có ứng suất trước. e. Giả thiết biến dạng bé: theo giả thiết này biến dạng tương đối rất nhỏ so với 1 do đó tích các biến dạng có thể bỏ qua so với biến dạng và so với 1. * Giả thiết biến dạng bé cùng giả thiết quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là bậc nhất cho phép ta áp dụng nguyên lý cộng tác dụng khi giải các bài toán. §1.3. NỘI LỰC - ỨNG SUẤT - HỆ THỐNG CÁC KÝ HIỆU 1. Khái niệm nội lực : Trong vật lý, giữa các phần tử vật chất của vật thể luôn luôn tồn tại các lực tương tác. Khi vật thể chịu tác dụng của ngoại lực như tải trọng, sự thay đổi nhiệt độ, sự chuyển vị cưỡng bức.... các lực tương tác này cũng sẽ thay đổi. Lượng thay đổi của các lực tương tác giữa các phần tử của vật thể được gọi là nội lực. 2. Phương pháp mặt cắt, ứng suất và hệ thống các ký hiệu : - Phương pháp mặt cắt (Đã nghiên cứu trong SBVL và CHKC): là phương pháp làm xuất hiện và để tính các nội lực. S S dP n n B M M dF A A  Nếu ký hiệu n là pháp tuyến ngoài của mặt cắt tại điểm M thì cường độ phân  bố nội lực tại điểm M được ký hiệu là Pn và gọi là ứng suất toàn phần.  Định nghĩa: Ứng suất toàn phần Pn là nội lực trên một đơn vị diện tích dF có  pháp tuyến n lấy tại điểm M(x, y, z) đang xét.   dP Biểu thức định nghĩa : Pn  dF  dP : Tổng nội lực trên diện tích vô cùng bé dF chứa điểm M thuộc mặt cắt    S nên ứng suất toàn phần là một hàm chứa các biến là M và n : Pn (M , n ) * Các cách ký hiệu của ứng suất toàn phần:     a. Trong hệ tọa độ Descartes : Pn  Pnx . e1  Pny . e2  Pnz . e3 . 2
y t Pn Pny n n t Pn n M(x,y) n Pnx dF x M Pnz z    b. Trong Sức bền vật liệu: Pn   n   nt Trong đó:   n là ứng suất pháp, có một chỉ số chỉ phương pháp tuyến của mặt cắt.   nt là ứng suất tiếp, có 2 chỉ số, chỉ số thứ nhất chỉ phương pháp tuyến của mặt cắt, chỉ số thứ hai chỉ phương song song với ứng suất tiếp hoặc chứa ứng suất tiếp. c. Trường hợp đặc biệt khi mặt cắt qua điểm M(x, y, z) đang xét lần lượt  vuông góc với các trục tọa độ, các pháp tuyến n tương ứng trùng với phương của các trục tọa độ: y y y xz y zy M yx M x M zx yz xz z x x x z z z * Trên mặt cắt vuông góc với trục x : - Ưng suất pháp có phương theo trục x ký hiệu : x. - Ứng suất tiếp nằm trong mặt phẳng này chia thành hai thành phần theo hai phương y, z: ký hiệu : xy , xz . Tương tự : y *Trên mặt cắt vuông góc trục y : y , yz , yx . xy>0 *Trên mặt cắt vuông góc trục z : z , zx , zy. *xy> *Quy ước về dấu của các thành phần ứng suất : x>0 0 *  x>0 x z - Nếu pháp tuyến của mặt cắt hướng theo chiều dương của các trục tọa độ tương ứng, chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều dương của các trục tọa độ tương ứng thì ứng suất là dương. 3
- Nếu pháp tuyến của mặt cắt hướng theo chiều âm của các trục tọa độ tương ứng, chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều âm của các trục tọa độ tương ứng thì ứng suất là dương. - Các trường hợp khác với những điều nêu trên thì ứng suất là âm. §1.4. CHUYỂN VỊ - BIẾN DẠNG - HỆ THỐNG CÁC KÝ HIỆU 1. Chuyển vị : a. Khái niệm: Chuyển vị là sự thay đổi vị trí của các phần tử vật chất trong vật thể khi vật thể bị biến dạng. b. Các thành phần chuyển vị và ký hiệu : y P N m M1(x1,y1,z1) P N n M(x,y,z) x Hình 1.1 z Xét điểm M(x,y,z) trong vật thể V Sau khi vật thể biến dạng M(x,y,z) chuyển thành M1(x1, y1, z1) Vectơ MM 1 là vectơ chuyển vị. Véc tơ chuyển vị có các hình chiếu lên ba trục tọa độ x, y, z là u, v, w. Các điểm M(x,y,z) khác nhau sẽ có các chuyển vị khác nhau nên u, v, w là hàm của điểm M hay là hàm của 3 biến x, y, z . u = u(x,y,z) v = v(x,y,z) w = w(x,y,z) Các chuyển vị bé tức là giá trị của nó nhỏ hơn rất nhiều so với kích thước của vật thể. 2. Biến dạng : a. Khái niệm: Biến dạng là sự thay đổi hình dáng, kích thước của vật thể hoặc của các yếu tố hình học trong vật thể. b. Các thành phần biến dạng và ký hiệu : Để định lượng biến dạng của vật thể, ta xét những thay đổi của các yếu tố hình học như chiều dài, góc, thể tích của vật thể .  Biến dạng dài tương đối :  Xét một phân tố chiều dài MN = ds theo phương n Sau biến dạng MN = ds trở thành M1N1 = ds1 ds1  ds Định nghĩa: Biến dạng dài tương đối, ký hiệu n, là tỷ số  n  ds Ý nghĩa: Biến dạng dài tương đối là biến dạng của một đơn vị chiều dài, có một chỉ số chỉ phương của biến dạng. 4
Do đó biến dạng dài tương đối theo các phương x, y, z trong hệ tọa độ Descartes là : x, x, z.  Biến dạng góc : Xét góc vuông PMN Sau biến dạng PMN trở thành P1M1N1 Định nghĩa: Biến dạng góc, ký hiệu mn là hiệu số mn = PMN - P1M1N1  = - P1M1N1 2 =  Ý nghĩa: Biến dạng góc là lượng thay đổi của một góc vuông trong mặt phẳng đang xét, có 2 chỉ số chỉ mặt phẳng xét biến dạng góc. => Biến dạng góc trong các mặt phẳng xoy, yoz, zox là : xy, yz, zx.  Biến dạng thể tích tương đối : Xét phân tố có thể tích dV sau biến dạng trở thành dV1. Định nghĩa: Biến dạng thể tích tương đối, ký hiệu , là tỷ số : dV1  dV = dV Ý nghĩa: Biến dạng thể tích tương đối là lượng thay đổi thể tích của một đơn vị thể tích. *Các hàm , ,  là hàm của các biến x,y,z:  = (x,y,z)  = (x,y,z) = (x,y,z) Theo giả thiết biến dạng bé ta có: //
CHƯƠNG 2 : LÝ THUYẾT TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT §2.1. ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG 2.1.1. Đặt vấn đề : Trong hệ tọa độ Decartes cho 1 vật thể chịu tác dụng của ngoại lực, bao gồm: * Lực thể tích: Là lực phân bố trong không gian của vật thể, được đặc trưng bởi cường độ f và là lực trong một đơn vị thể tích, có hình chiếu lên 3 trục tọa độ x, y, z là: fx , fy , fz . * Lực diện tích (lực bề mặt): Là lực tác dụng trên một phần hay trên toàn bộ bề mặt giới hạn của vật thể, được đặc trưng bởi cường độ f* và là lực trên một đơn vị diện tích, có hình chiếu lên ba trục tọa độ x, y, z là f *x , f *y , f *z . Dưới những tác dụng này, vật thể nằm ở trạng thái cân bằng tĩnh hoặc động nên những phần tử vật chất của vật thể cũng nằm ở trạng thái cân bằng tương ứng. Tưởng tượng dùng họ những mặt phẳng vuông góc với các trục toạ độ và cách nhau những đoạn vi phân dx, dy, dz cắt qua vật thể (hình vẽ 2.1) ta sẽ nhận được : a y b a Phần tử loại 1 dy b Phần tử loại 2 dy dx dx x M(x,y,z) z (Hình 2.1) * Những phần tử hình hộp có sáu mặt cắt ở bên trong vật thể gọi là phần tử loại 1. * Những phần tử có ít nhất một mặt là bề mặt ngoài của vật thể gọi là phần tử loại 2, trong trường hợp tổng quát, phần tử loại 2 là một khối tứ diện. Điều kiện cân bằng của vật thể được đảm bảo thông qua điều kiện cân bằng của tất cả các phần tử loại 1 và loại 2. 2.1.2. Phương trình vi phân cân bằng : Trước tiên ta khảo sát sự cân bằng của các phần tử loại 1 lấy tại điểm M(x,y,z) 6
1. Lực tác dụng lên phần tử : - Ngoại lực là lực thể tích f có hình chiếu lên các trục toạ độ : fx , fy , fz - Nội lực là các ứng suất trên các mặt của phần tử, các ứng suất này là các hàm số liên tục của tọa độ điểm M(x,y,z). y  xy xy  xy  dx x dz P(x,y+dy,z)  x x x  dx x dy N(x+dx,y,z) xz   xz  xz  dx Q(x,y,z+dz) x dx x z (Hình 2.2)  Hai mặt vuông góc với trục x: + Mặt đi qua điểm M(x,y,z) có các thành phần ứng suất : x , xy , xz + Mặt đi qua điểm N(x+dx,y,z): khai triển theo Taylor và bỏ qua các số hạng vô cùng bé bậc cao có các thành phần ứng suất :    xy   x dx ;   x dx;   xy dx xz xz x x x Tương tự:  Hai mặt vuông góc với trục y: + Mặt đi qua điểm M(x,y,z) có ứng suất : y , yx , yz + Mặt đi qua điểm P(x,y+dy,z) có các ứng suất :  y   y  dy ;  yx  yx dy;  yz  yz dy y y y  Hai mặt vuông góc với trục z: + Mặt đi qua điểm M(x,y,z) có các ứng suất z , zx , zy + Mặt đi qua điểm Q(x,y,z+dz) có các ứng suất :  z   z  dz ;  zx  zx dz; zy  zy dz z z z 2. Phương trình cân bằng: Dưới tác dụng của ngoại lực, giả sử phần tử đang xét nằm ở trạng thái cân bằng, 7
các phương trình cân bằng được thỏa mãn :  x  X  0  ( x   x  dx )dydz  (  yx   yx  yx dy)dxdz  x y   (  zx   zx  zx dz)dxdy  f x dxdydz  0 z Sau khi rút gọn và cũng thực hiện tương tự cho các phương trình ∑Y = 0 ; ∑Z=0, ta sẽ nhận được 3 phương trình vi phân cân bằng như sau :  x  yx  zx 2u    f x  0; ( 2 ) ; x y z t  xy  y  zy 2v    f y  0; ( 2 ) ; (2.1) x y z t  xz  yz  z  2w    f z  0. ( 2 ) . x y z t Với  : mật độ khối lượng của vật thể. + Trong trường hợp cân bằng tĩnh: vế phải của hệ (2.1) sẽ bằng 0. + Trong trường hợp cân bằng động: vế phải của hệ (2.1) sẽ bằng các lượng trong dấu ngoặc; u, v, w là các thành phần chuyển vị của phần tử vật chất tại điểm M theo 3 phương x,y,z. Lượng trong dấu ngoặc nếu đổi dấu thì chính là các lực quán tính của một đơn vị thể tích chiếu lên ba phương của các trục tọa độ. Hệ phương trình (2.1) được gọi là phương trình cân bằng tĩnh học NAVIER- CAUCHY. 2.1.3. Định luật đối ứng của ứng suất tiếp : * Từ phương trình cân bằng môment của phân tử đối với các trục tọa độ ta sẽ được định luật đối ứng của các ứng suất tiếp. y   yx  yx dy y Zo  xy xy  xy  dx M x Zo yx (Hình.2.3) x z Xét phương trình cân bằng ∑Mz = 0 Để đơn giản ta đặt tọa độ ban đầu ở tâm hình lập phương. Tìm moment tại tâm phần tử đối với trục zozo, ta có: 8
 xy dx  dy M z z  ( xy   xy  dx )dydz  ( yx   yx  yx dy)dxdz  0 0 0 x 2 y 2  xy dx  dy Bỏ qua các vô cùng bé bậc 5 dxdydz và yx dydxdz so x 2 y 2 với các vô cùng bé bậc 3, rút gọn và chia 2 vế của phương trình cho dxdydz, ta có :  xy   yx ;   Chứng minh tương tự ta có: M x  0   yz   zy ; (2.2) M y  0   xz   zx ;  Phát biểu định luật: Ứng suất tiếp trên 2 mặt vuông góc về trị số bằng nhau nhưng ngược chiều . a a a a (Hình.2.4) 2.1.4. Phương trình điều kiện biên theo ứng suất : Đây chính là điều kiện cân bằng của các phân tử loại 2.Trong trường hợp tổng quát, phân tử này là khối tứ diện, có ba mặt vuông góc với các trục tọa độ và nằm ở bên trong vật thể, có diện tích lần lượt là dSx, dSy, dSz. Mặt còn lại là  mặt ngoài của vật thể có diện tích dS có pháp tuyến n với cosin chỉ phương l,m,n. y xz z zx x f* y zy f* z f* x xy yz x y (Hình 2.5) yx z 9
  dSx l = cos ( n, x ) = dS    dSy Véc to n có m = cos ( n, y ) = (a) dS   dSz n = cos ( n, z ) = dS a. Lực tác dụng lên phân tử: - Ngoại lực : + Lực thể tích f(fx, fy,fz) của thể tích dV. + Lực bề mặt f*(f*x, f*y,f*z) trên diện tích dS - Nội lực : + Mặt vuông góc trục x, ký hiệu dSx có các ứng suất : x , xy , xz. + Mặt vuông góc trục y, ký hiệu dSy có các ứng suất : y , yx , yz. + Mặt vuông góc trục z, ký hiệu dSz có các ứng suất : z , zx , zy. b. Phương trình cân bằng : Phương trình tổng hình chiếu của các lực theo phương X là: X  0    x dSx   yx dS y   zx dSz  f x* dS  f x dV  0 ( b) Bỏ qua vô cùng bé bậc ba fx.dV so với các vô cùng bé bậc hai và chia (b) cho dS dSx dS dS ta có:  x   yx y   zx z  f x*  0 (c ) dS dS dS Thay (a) vào (c) ta có:  x l   yx m   zx n  f x* Tương tự: Y  0   xy l   y m   zy n  f y* (2.3) Z  0   xz l   yz m   z n  f z* Hệ phương trình (2.3) là điều kiện cân bằng của phần tử loại hai, được gọi là hệ phương trình điều kiện biên theo ứng suất. 2.1.5. Kết luận: 1. Về mặt cơ học: Hệ phương trình (2.1) và (2.3) biểu diễn mối quan hệ giữa nội lực và ngoại lực là điều kiện cân bằng của toàn bộ vật thể. 2. Về mặt toán học: Hệ phương trình (2.1) là hệ phương trình vi phân đối với các ẩn số ứng suất, khi tích phân sẽ có các hằng số tích phân. Còn hệ phương trình (2.3) là điều kiện để xác định các hằng số tích phân ấy. 10
§2.2. ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGHIÊNG – TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT - TENXƠ ỨNG SUẤT 2.2.1. Đặt vấn đề : Giả sử đã biết các ứng suất trên 3 mặt vuông góc với hệ trục tọa độ đi qua  M(x,y,z), tính ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ có pháp tuyến n với các cosin chỉ phương là (l, m, n) đi qua điểm M(x,y,z) đó. 2.2.2. Ứng suất toàn phần :  Để tìm ứng suất tại điểm M(x,y,z) trên mặt cắt nghiêng có pháp tuyến n với các côsin chỉ phương l,m,n. Ta xét cân bằng của phần tử tứ diện lấy tại điểm M(x,y,z), phần tử có ba mặt vuông góc với các trục tọa độ, trên đó có các ứng suất  , (như H.2.6). Mặt thứ tư của phân tử là mặt nghiêng có ứng suất toàn phần P n , các hình chiếu của nó lên 3 trục tọa độ x,y,z là Pnx, Pny, Pnz. y xz z zx x f*ny zy P f* f* z xy yz x y yx Hình 2.6 z * * * Ba hình chiếu này giữ vai trò tương tự như lực bề mặt f x , f y , f z khi viết điều kiện biên (2.3), nên có thể có kết quả tương tự như sau: Pnx   x l   yx m   zx n Pny   xy l   y m   zy n Pnz   xz l   yz m   z n  Pnx   x  yx  zx  l       Pny    xy  y  zy  x m  (2.4)   Pnz      n     xz yz z    Giá trị của ứng suất toàn phần Pn được tính theo công thức sau : 11
2 2 2 Pn  Pnx  Pny  Pnz (2.5) 2.2.3. Ứng suất pháp và ứng suất tiếp : Ứng suất toàn phần P n có thể biểu diễn qua ứng suất pháp và ứng suất tiếp. 1.Ứng suất pháp: là hình chiếu của ứng suất toàn phần P n trên pháp tuyến  n , được ký hiệu  n .     Pn  Pnx . e1  Pny . e 2  Pnz . e 3     n  ch n P n  ch n ( Pnx . e1  Pny . e 2  Pnz . e 3 )  n  Pnx .l  Pny .m  Pnz .n (2.6) Thay (2.4) vào (2.6) ta có:  n   x .l 2   y .m 2   z .n 2  2( xy .lm   yz .mn   zx .nl) (2.7) 2. Ứng suất tiếp : Trị số ứng suất tiếp Tnt trên mặt cắt nghiêng được tính theo công thức :  nt  Pn2   2  Pnx 2  Pny 2  Pnz 2   2 n n (2.8) 2.2.4. Trạng thái ứng suất - Tenxơ ứng suất : * Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp các ứng suất trên mọi mặt cắt có thể đi qua điểm đó. * Nếu ứng suất thành phần là khái niệm phụ thuộc điểm và pháp tuyến của   mặt cắt [ Pn (M , n ) ] thì trạng thái ứng suất là khái niệm rộng hơn, chỉ phụ thuộc vào điểm. Điều đó cho phép ta phân biệt, so sánh được trạng thái nội lực tại các điểm khác nhau trong vật thể. Các biểu thức (2.7) và (2.8) cho phép xác định ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt nghiêng bất kỳ đi qua điểm đang xét, điều đó chứng tỏ rằng chín thành phần ứng suất trên các mặt cắt vuông góc với các trục tọa độ là đủ để xác định trạng thái ứng suất tại điểm đó. Kết luận: Trạng thái ứng suất tại một điểm đặc trưng bởi chín thành phần ứng suất trên các mặt cắt vuông góc với các trục tọa đô đi qua điểm đó. Chín thành phần này lập thành một đại lượng gọi là tenxơ ứng suất. Ký hiệu : T Và được biểu diễn:  x  yx  zx    T   xy  y  xz       zx yz z  Tenxơ ứng suất là một tenxơ hạng 2 đối xứng vì theo định luật đối ứng 12
của ứng suất tiếp ta có  xy   yx ;  yz   zy ;  xz   zx , vậy tenxơ ứng suất có 6 thành phần độc lập. 2.2.5. Tenxơ lệch ứng suất và Tenxơ cầu ứng suất : Tenxơ ứng suất có thể chia thành Tenxơ lệnh ứng suất D và Tenxơ cầu ứng suất To  x  yx  zx  ( x   tb )  yx  zx   tb 0 0          xy  y  xz     xy ( y   tb )  xz   a 0  tb 0         yz ( z   tb ) 0  yz  tb   zx yz z   zx    T  D  To 1 Với  tb  ( x   y   z ) : Ứng suất pháp trung bình. 3 D: Tenxơ lệch ứng suất, gây ra biến dạng hình dạng của phân tử. To : Tenxơ cầu ứng suất, gây ra biến dạng thể tích của phân tử. §2.3. MẶT CHÍNH - PHƯƠNG CHÍNH - ỨNG SUẤT CHÍNH 2.3.1.Khái niệm: * Mặt chính là mặt trên đó có ứng suất tiếp bằng không; * Phương chính là phương pháp tuyến của mặt chính. * Ứng suất chính là ứng suất pháp trên mặt chính . Ký hiệu  n .  Giả sử có phương chính n với l = cos (n, x) m = cos (n , y) n = cos (n , z) Trên mặt chính ứng suất toàn phần Pn sẽ có phương vuông góc với mặt chính và có giá trị Pn   n . Do đó hình chiếu Pnx, Pny, Pnz của Pn lên các trục x, y, z là : Pnx = n.l Pny = n.m (2.9) Pnz = n.n Thay (2.4) và (2.9) ta có hệ phương trình: ( x   n ) l   yx m   zx n  0    xy l  ( y   tb ) m   xz n  0  (2.10)  zx l   yz m  ( z   tb )n  0  Hệ (2.10) có nghiệm tầm thường của là l = m = n =0 không thỏa mãn điều kiện l2 + m2 + n2 = 1 (2.11). 13
Để hệ (2.10) có nghiệm không tầm thường thì định thức của các hệ số phải bằng không: ( x   n )  yx  zx    Det   xy ( y   n )  xz   0 (2.12)    yz ( z   n )  zx  Khai triển (2.12) ta được phương trình bậc 3 đối với ứng suất chính  n : 3  I12  I 2n  I3  0 n n (2.13) I1   x   y   z   Trong đó: I 2   x  y   y  z   z  x  (  xy   yz   zx )  (2.14) I 3   x  y  z  2 xy  yz  zx  ( x  2   y 2   z  2 ) yz zx xy  Các hệ số I1, I2 , I3 trong phương trình tìm ứng suất chính là những giá trị không đổi khi ta xoay trục. Chúng được gọi lần lượt là bất biến thứ nhất, bất biến thứ hai và bất biến thứ ba của trạng thái ứng suất tại một điểm. - Giải phương trình bậc 3 (2.13) ta nhận được ba giá trị ứng suất chính, các giá trị này đều là thực, kí hiệu lần lượt là  1 ; 2 ; 3 và theo qui ước  1   2   3 . - Phương chính : sau khi đã có các ứng suất chính  1 ; 2 ; 3 ứng với mỗi  i sử dụng hệ phương trình (2.10) và phương trình (2.11) để tìm cosin chỉ phương li, mi, ni của ứng suất chính  i đó. Kết quả ta có ba phương chính tương ứng với ba ứng suất chính  1 ; 2 ; 3 . Ba phương này trực giao với nhau và lập thành một hệ trục tọa độ, ký hiệu các trục là 1,2,3. Tenxơ ứng suất này được viết là :  1 0 0  T  0  2 0    0 0  3    Các bất biến của trạng thái ứng suất chính : I 1  1   2   3   I 2  1 2   2  3   3 1  I 3  1  2  3   Tùy theo giá trị của các ứng suất chính, ta phân loại trạng thái ứng suất thành trạng thái ứng suất đơn; trạng thái ứng suất phẳng và trạng thái ứng suất khối. 14
CHƯƠNG 3 LÝ THUYẾT TRẠNG THÁI CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG §3.1. PHƯƠNG TRÌNH QUAN HỆ GIỮA CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG Xét biến dạng của phần tử vật chất lấy tại điểm M(x,y,z). Với các biến dạng là bé, ta có thể quan sát biến dạng của phần tử qua biến dạng các hình chiếu của nó trên các mặt phẳng tọa độ. y P Q M N x z (Hình 3.1) + Xét biến dạng trong mặt phẳng xoy (H.3.2). Phân tố chữ nhật MNQP với các cạnh ban đầu dx, dy sau biến dạng trở thành phân tố M1N1Q1P1. u y u  y dy P1 v v  dy y P ( x ,y + d y )  N1  dy M1 v N2 v  dx V M (x ,y ) N ( x + d x ,y ) x U u u  dx dx x O x (Hình 3.2) - Điểm M(x,y) có chuyển vị theo phương x,y là : u; v. - Điểm N(x+dx,y) có các chuyển vị theo phương x,y, khai triển Taylor bỏ qua u v các vô cùng bé bậc cao là : u + .dx ; v+ .dx x x 15
u v - Điểm P(x,y+dy) có các chuyển vị theo phương x,y là : u + .dy ; v+ .dy y y - Biến dạng dài tương đối của các cạnh theo phương x,y là x , y. - Biến dạng góc trong mặt phẳng đang xét xoy là xy = α+β. Theo giả thiết biến dạng bé, ta có : /x /
u v u Tương tự β= => xy = α+β= + (c) y x y Các kết quả (b) và (c) cho trong mặt phẳng xoy được sử dụng cho hai mặt phẳng còn lại yoz và zox. Bằng cách hoá vị vòng các chỏ số theo thứ tự của tam diện thuận x,y,z ta nhận được quan hệ chuyển vị và các biến dạng như sau : x(u) y(v) z(w)  u v u  x  ;  xy   x x y   v w v  y  ;  yz   (3.1)  y y z  w u w  z  ;  zx    z z x Công thức (3.1) thiết lập mối quan hệ tuyến tính giữa các thành phần biến dạng và các chuyển vị xét ở thời điểm t, được gọi là phương trình quan hệ hình học CAUCHY Từ (3.1) có thể kết luận các biến dạng là bé khi đạo hàm bậc nhất các chuyển vị theo phương toạ độ là bé. §3.2 TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG - TENXƠ BIẾN DẠNG 3.2.1.Biến dạng dài tương đối theo phương bất kỳ : Hệ (3.1) cho phép ta tính biến dạng dài tương đối theo các phương x,y,z. Đặt vấn đề làm sao tính biến dạng dài tương đối theo phương bất kỳ ? y dy K1 M1 y K M n x dx x z dz z (Hình 3.3) 17
Trong hệ trục toạ độ Descartes.Xét vi phân chiều dài MK= ds theo phương n với các cosin chỉ phương là l,m,n. Hình chiếu của ds lên các trục x,y,z là dx, dy, dz.   dx l = cos ( n , x ) = ds    dy Véc to n có m = cos ( n , y ) = (a) ds   dz n = cos ( n , z ) = ds +Ở trạng thái ban đầu, toạ độ điểm đầu và điểm cuối của vi phân MK là M(x,y,z) và K(x+dx, y+dy, z+dz) +Điểm M(x,y,z) chuyển vị theo ba phương x,y,z là u,v, w. +Điểm K(x+dx, y+dy, z+dz) chuyển vị theo ba phương là : u+du; v+dv; w+dw. Với du, dv, dw là các vi phân toàn phần của thành phần chuyển vị u,v,w. u du = .dx + u .dy + u .dz x y z dv = v .dx + v .dy + v .dz x y z dw = w .dx + w .dy + w .dz x y z + Sau biến dạng MK trở thành M1K1 = ds1 trong đó : M(x,y,z) trở thành M1( x+u, y+v, z+w). K(x+dx, y+dy, z+dz) trở thành K1(x+dx+u+du, y+dy+v+dv, z+dz+w+dw). + Chiều dài vi phân trước biến dạng: ds2 = dx2 + dy2 + dz2 (b) + Chiều dài vi phân ds1 sau biến dạng: ds12 = (dx+du)2 + (dy+dv)2 + (dz+dw)2 (c) Biến dạng dài tương đối theo phương n của ds. Ký hiệu n là : ds 1  ds ds1 n = = -1 ds ds 2 2 ds1  (n + 1) = 2 ds 2 2 2 ds1 ds 1  ds 2  1+2n + n = 2  n = (d) ds 2ds 2 (Với giả thiết biến dạng bé có thể bỏ qua n2 so với n) u u u Tính ds12 = [dx + ( .dx + .dy + .dz)]2 + x y z 18
v v v + [dy + ( .dx + .dy + .dz)]2 + x y z w w w + [dz + ( .dx + .dy + .dz)]2. (e) x y z Khai triển (e) và bỏ qua các thành phần vô cùng bé bậc cao u u u v v v w w w ( .dx+ .dy+ .dz)2;( .dx+ .dy+ .dz)2;( .dx+ .dy+ .dz)2 so với x y z x y z x y z u v w u v w ; ; ...(vì theo giả thiết biến dạng bé ; ; ...  .  . 2  . 2  x ds 2 y ds z ds w dxdz w dydz w dz 2  .  .  . . x ds 2 y ds 2 z ds 2 dx dy dz Thay l  ;m  ;n  và biểu thức (3.1) vào n : ds ds ds  n = x.l2 + y.m2 + z.n2 + xy.lm + yz.mn + zx.nl (3.4).  xy n = x.l2 + y.m2 + z.n2 + 2   lm  yz mn  zx nl      2 2 2  19
Đặt xy xy ; yz yz ; zx  zx ta có : 2 2 2 n = x.l + y.m + z.n + 2( xy .lm + yz .mn + zx .nl) 2 2 2 (3.5) Có thể viết dưới dạng toàn phương : x yx zx  l    n = l m n   xy y zy  m  (3.6)     n   xz yz z    + Sau khi nhận được (3.5) ta thấy (3.5) hoàn toàn tương tự với (2.7) : n = x.l2 + y.m2+z.n2 + 2(Txy.ml + Tyz.mn + Txz.nl) (2.7) Nên có thể kết luận : Trạng thái biến dạng tại 1 điểm được đặc trưng bởi 9 thành phần biến dạng trên các mặt cắt vuông góc với hệ trục toạ độ. Chín thành phần này cũng thành lập 1 tenxơ hạng 2 đối xứng gọi là tenxơ biến dạng bé. Ký hiệu : T x yx zx    Và được biểu diễn : T =  xy x zy    xz yz z   II. Tenxơ lệch biến dạng và Tenxơ cầu biến dạng : Tenxơ biến dạng T có thể phân tích thành tổng của hai tenxơ hạng 2 là tenxơ lệch biến dạng D và Tenxơ cầu biến dạng T0. x xy xz  x  tb xy xz  tb 0 0        yx y yz  =  yx y  tb yz  + 0 tb 0    zx zy z   zx  0 0 tb  zy z  tb      T = D + T0. 1 Với tb = 3     x  y  z : Biến dạng dài trung bình. D: đặc trưng cho biến dạng hình dạng của phần tử T0: đặc trưng cho biến dạng thể tích của phần tử §3.3. BIẾN DẠNG CHÍNH VÀ PHƯƠNG BIẾN DẠNG CHÍNH Trạng thái biến dạng tại điểm M(x,y,z) được đặc trưng bởi tenxơ biến dạng bé. Tại điểm M(x,y,z) ấy ta có thể tìm được ba phương vuông góc với nhau 20