Giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Phần 1

Chia sẻ: ảnh ảo | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:95

Thêm vào BST

Báo xấu

99
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình "Lý thuyết xác suất và thống kê toán" có cấu trúc gồm 8 chương được sắp xếp theo thứ tự chặt chẽ giúp giúp học sinh hiểu rõ hơn các khái niệm, các công thức cơ bản và các phương pháp xác xuất để nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên. Phần 1 cuốn giáo trình trình bày các nội dung của 4 chương đầu tiên bao gồm: Lý thuyết của biến cố và công thức tính xác suất, đại lượng ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất, một số quy luật phân phối xác suất thông dụng, đại lượng ngẫu nhiên hai chiều. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Phần 1

H O À N G N G Ọ C N H Ậ M GIÁO TRÌNH É
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
H O À N < £ N j G Ọ C N H Ậ M N H À X U Ấ T BẦN< T H Ố N Q K Ế ^ a < m Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
L ờ i n ó i đ ầ u Lý thuyết xác suất n g h i ê n cứu quy luật của các h i ệ n tượng ngẫu nhiên. Dựa trên những t h à n h tựu của lý thuyết xác suất, thống k ê loàn là khoa học ra quyết định trên cơ sở những thông tin thu thập từ thực t ế . Hơn 300 n ă m phát t r i ể n , đ ế n nay nội dung và phương p h á p của xác suất t h ố n " kê rất phong phủ và được á p dụng rộng rãi trong rãi nhiều lĩnh vực. Vì vậy việc học tập, n g h i ê n cứu m ô n x á c suất ihống kê hở thành nhu c ầ u khôn!* t h ể thiếu đ ố i với sinh viên của nhiều trường đ ạ i học. Đe đáp ứng yêu cầu nân" cao chát lượn" đào lạo, đáp ứng những đòi h ỏ i của nền kinh l ố thị trương và tạo đ i ề u k i ệ n thuận l ợ i đ ể sinh viên của trường học m ô n x á c suất thống k ê . C h ú n g tôi b i ê n soạn cuốn "Lý thuyết xác suất và thống kê toán". Qua cuốn s á c h nhỏ n à y c h ú n g tôi hy vạn? sẽ g i ú p c á c bạn -sinh viên đ ạ t k ế t quả cao khi học tập, n g h i ê n cứu m ô n học và ứng dụng được c á c phương p h á p của x á c suất thống k ê trong c ô n g v i ệ c của mình sau n à y . Cuốn sách gồm 3 phần được chia làm 8 chương được sắp xếp theo một thứ l ự chặt chẽ n h ằ m ° i ú p cho sinh v i ê n h i ể u rõ c á c k h á i n i ệ m , c á c c ô n s thức cơ bản và c á c phướng p h á p của x á c suất đ ể n g h i ê n cứu các h i ệ n tượng ngẫu nhiên Những h i ệ n tượng n h ư vậy r ấ t thường gặp trong kinh t ế , đặc b i ệ t là kinh t ế thị trường. Trang bị những phương p h á p cơ bản nhất của thống k ê toán như: Phương p h á p mẫu đ ổ thu thập và xử lý thông tin, phương p h á p ước lượng, p h ư ơ n g p h á p k i ể m định giả thiết thống kê.... C á c phương p h á p n à y n g à y nay được coi là công cụ k h ô n g t h ể thiếu ư ơ n g "hộp đồ n g h ề " của c á c nhà kinh tế. Niĩoài ra cuốn sách n à y còn g i ú p n â n g cao n ă n g lực tư duy, khả n ă n g độc l ậ p n g h i ê n cứu của sinh v i ê n . 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
Đ ố i v ớ i c á c nhà kinh t ế và c á c nhà quản trị doanh nghiệp, biết thu thập và n ắ m vững c á c phương p h á p x ử lý thông tin kinh t ế xã h ộ i là y ê u cầu k h ô n g t h ể thiếu được. T o á n học n ó i chung, x á c suất thống k ê nói riêng là c ô n g cụ n g h i ê n cứu kinh t ế r ấ t hữu h i ệ u . Đ ố i v ớ i sinh v i ê n , mục tiêu cuối c ù n g của v i ệ c học toán là sử dụng được c ô n g cụ n à y v à o ư o n g c ô n g v i ệ c của mình trong tương lai. Do đó cuốn sách được v i ế t theo quan đ i ể m thực h à n h , chú trọng v i ệ c á p dụng x á c suất thống k ê toán v à o thực t ế hơn là v i ệ c trình b à y c á c vấn đ ề có tính chất thuần túy lý thuyết. Ngoài đối tượng bạn đọc là sinh viên trường Đại học Kinh tế cuốn sách cũng g i ú p ích cho tất cả những ai trong c ô n s v i ệ c , tron" n g h i ê n cứu phải xử lý m ộ t số lượng lớn thông ùn, số l i ệ u . Cuốn sách đã được chỉnh lý, sửa đổi một số phần cho phù hợp với y ê u cầu và trình độ t i ế p thu của sinh v i ê n . Đ ồ n g thời cuốn s á c h cũng được c á c c á n bộ giảng dạy của bộ m ô n T o á n Kinh t ế Khoa T o á n - Thống k ê trường đ ạ i học kinh t ế thành p h ố H ồ Chí M i n h g ó p ý song k h ô n g t h ể tránh k h ỏ i những sai sót. C h ú n g tôi rất mong bạn đọc vần xa g ó p ý, b ổ sung đ ể cuốn sách ngày c à n g có chất lượng cao đ á p ứng n g à y c à n g tốt hơn nhu cầu n g h i ê n cứu, học tập của sinh v i ê n . Nhân dịp này chúng tôi xin chân thành cảm ơn tất cả những ai đã đ ó n g g ó p v à o nôi dung và tổ chức cho cuốn sách được ra mắt ban đọc. Thành phố Hồ Chí Minh ỉ/2003 T* 'É. • 9 ì ác giả Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
Ọliươtiti 1: c&tír i Ị ít ít cùa biến eổ oà cúc cô/lự thức tinh xáe ỊUất PHẦN I LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Chương 1 XÁC SUẤT CỦA BIẾN cố VÀ CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT ì- Phép thử và các loại biến cố Tron? toán học có những khái n i ệ m không có định nghĩa mà chỉ có t h ể mô tả chúng bằng những hình ảnh hoặc tư duy trực giác. Chẳng hạn. tron? hình học, c á c khái n i ệ m đ i ể m , đường thẳng, mặt phang là những khái n i ệ m không có định nghĩa. Trong xác suất, khái n i ệ m p h é p thử là khái n i ệ m cơ bản không có định nghĩa, ta h i ể u p h é p thử là m ộ i thí nghiệm hay quan sát n à o đ ó . P h é p thử được g ọ i là ngẫu nhiên nếu la không t h ể biết trước k ế t quả n à o sẽ xảy ra. Thường trong một phép thử (thí nghiệm) có nhiều kết quả có thể xảy ra. C ó kết quả đơn g i ả n , và cũng có những k ế t quả phức hợp. Chẳng hạn, khi quay xổ số, nếu ta chí quan lâm tới hai số c u ố i . thì m ỗ i sự x u ấ i hiện một trong c á c số l ừ 00. OI 98, 99 là những k ế t quả đơn giản nhất; ư ơ n g khi đ ó . sự xuất hiên c á c số chẵn. l ẻ . đ ầ u 5, đuôi 2 . . . là những k ế t quả phức hợp (gồm nhiều k ế t quá đơn giản nhai hợp thành). Kết quả đơn giản nhất được gọi là biến cố sơ cấp (nó giống như khái n i ệ m đ i ể m trong hình học, nó không có định nghĩa chính x á c ) . T ậ p hợp tai cá các b i ế n c ố sơ cấp được g ọ i là không gian các b i ế n c ố ĩ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
íỊiáo trình li) tlim/ết .nít' mất DÙ Hiốnq Uè toán sơ cấp. M ỗ i tập con của không gian c á c h i ế n c ố sư cấp được g ọ i là b i ế n cố. Ta Ihườnsĩ dùng: (0 đổ ký hiệu b i ế n cô sơ c á p ; íì đ ể ký hiệu k h ô n " gian các b i ế n c ố sơ c á p ; A. B. c, . . . A | . A 2 A„. . . . đ ể ký h i ệ u h i ế n cố Để minh họa, la XÓI phép thử có số kết quả đơn giản nhất là hữu hạn hoặc vô hạn đ ế m được: (Oi, 0) . . . . Theo trên, m ỗ i co được g ọ i là 2 u một hiên cô sơ cấp, còn lập hợp Q = leo,. CO:, . . . } là không dan các Hiôli cô sơ cáp. Thí dụ: Ì- Gieo m ộ i con xúc xắc là thực hiện một p h é p l l i ử . K h ô n g aian c á c biên cô sơ c á p đôi với p h é p thử này là: Q = í (Oi. (Õ2. OÌỊ, 0)4, (0ỹ, 0) j (l tron" đó: Củi (i = ì, 2. . , 6) chí kết quả xúc xắc xuất hiện mại i chấm. 2. Gieo hai con xúc xắc. Khôns eian các biên cố sơ cấp đối với p h é p thử này là: Q = {con, to,:. . ... ,,0)fõ, Oif.fi} trong đó: 0)jj (i. j = 1,2 6) chỉ kết quả xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt i chấm và xúc xắc thứ hai xuất h i ệ n mặt j chấm ( p h é p thử này có 36 b i ế n c ố SƯ cấp). Trong không gian các biến cố sơ cấp, ta sẽ iĩọi mỗi lập con A c Í2 là m ộ i biên cô. 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
VhttơntỊ 1: (ÀMÍC iittĩt tim biến cố va etíe eòinỊ thứ* titth ,rtíe suất Như vậy, mội biến cố du LO Me xay ra khi mội phép thử gắn liền với nó được thực h i ệ n . TroiiiỊ thực t ế có thô x ả y ra c á c loai b i ế n c ố sau đ â y : + Hiến cố chắc chắn: lù biến c ố nhất đinh sẽ xảy ra khi thực h i ệ n p h é p thử. B i ế n c ố chắc chán được ký hiệu là Q. Thi dụ: Tung một con xức xấc. biến c ố " xuất h i ệ n m ã i cớ số chấm nhỏ hơn 7" là b i ế n c ố chắc chắn. + Biếu cố không thể có: là b i ế n c ố nhất định k h ô n g x ả y ra khi thực h i ệ n p h é p thử. B i ế n c ố không thê dược ký h i ệ u là 0 . Thi dụ: M Ộ I k i ệ n hùng có l o sản phẩm (trong đó có 7 sản phẩm l o ạ i í và 3 sản phẩm l o ạ i l i ) . Chọn ngẫu nhiên k h ô n g h o à n l ạ i l ừ k i ệ n ra 5 sản phẩm. B i ế n cố: " có một sản phẩm loại ì trong 5 sản p h ẩ m l ấ y ra từ k i ệ n " là b i ế n c ố không i h ể có. + Biến cố ngẫu nhiên: là b i ế n c ố có t h ể xảy ra hoặc k h ô n g x ả y ra khi thực h i ệ n p h é p thử. người ta thường d ù n g các chữ in hoa đ ể ký h i ệ u c á c b i ế n c ố nsẫu n h i ê n , chẳng hạn: A , B, c, . . . ; hoặc A i , À 2 , . . . , A n : hoặc B i , B i , . . . , B,J, Thí dụ: Tung một con x ú c xắc, g ọ i A2 là b i ế n cố: "xuất h i ệ n mặt 2 c h ấ m " thì A2 là b i ế n c ố ngẫu nhiên. li- Mối quan hệ giữa các biến cố K h i g i ả i c á c bài toán của lý thuyết x á c suất ta thường phải d i ễ n tả một b i ế n c ố phức hợp theo c á c h i ế n c ố đơn gián hơn. Đ e l à m được đ i ề u đ ó ta cần n g h i ê n cứu m ố i quan hộ giữa c á c biến c ố t h ể h i ệ n qua c á c định n s h í a dưới đ â y : Định nghĩa ì: B i ế n c ố A và B được g ọ i là hai biển cố tương đương (ký h i ệ u là A = B ) n ế u A xảy ra thì B cũng xay ra và ngược l ạ i . 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
Qiủa trình / ý thuyết xức mất DÙ t/tơnạ kè toán Thí dụ. Tung một con xúc xắc, h i ế n cố " x ú c xắc ra m ặ t chẩn** và b i ế n cố "xúc XÍU r;i một trong 3 mặt: 2, 4, 6" là hai b i ế n c ố tương đương. Định nghĩa 2: B i ế n c ố c được g ọ i là tổng của 2 b i ế n c ố A và B (ký h i ệ u là c = A ù B hoặc c = A + B). N ế u c x ả y ra khi và chỉ khi có ít nhất môi trong hai biến c ố A hoặc B x ả y ra. Thí dụ: Xét phép thử quan sát hai xạ thủ cùng bắn vào một bia. Gọi A là b i ế n c ố "xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia", B là b i ế n c ố "xạ thủ thứ hai bắn trúng bia", c là b i ế n c ố "bia trúng đ ạ n " . R õ r à n g c xả> ra khi và chi khi có ít nhất m ộ i trong hai b i ế n c ố A , B xảy ra Vậy: c = AuB I Định nghĩa 3: B i ế n cố A được g ọ i là lổng của n b i ế n cố: A j , A , . . . 2 A n nếu A xảy ra khi và chí khi có ít nhất một trong n b i ế n c ố đó x ả ) ra. Ký h i ệ u là: li • A = A i u A i ụ . . . u An h o ặ c A = M A j h o ặ c A = 2^ i A i=i i=i Định nghĩa 4: Biến cố c được gọi là hiệu của 2 biến cố A và B (ký h i ệ u là c = A - B). N ế u c x ả y ra khi và chỉ khi A xảy ra nhưng B k h ô n g x ả y ra. Thí dụ: Một lớp có 50 học sinh, trong đó có 15 người giỏi toán, 10 ngươi g i ỏ i văn và 4 người g i ỏ i cả hai m ô n này. Gặp ngẫu nhiên một học sinh của lớp. G ọ i A là b i ế n cố gặp được người g i ỏ i loàn; B là b i ế n c ố gặp được người g i ỏ i văn; c là b i ế n c ố gặp được người chi g i ỏ i toán, thì c = A - B Định nghĩa 5: Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nhau nếu c h ú n g k h ô n g thể đồng thời xảy ra trons một p h é p thử. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
VttiMiHỊ Ị: .X)ùi' suất cún biếu eìỉ vù các cò lít/ thửe tính jeúe suất f Trong thực l í với sô p h é p thử đủ lớn ta có thổ lấy lần suất làm giá trị iiân li ú liỈ: của xác suấL Tức la có PíA) * RA) khi n khá lớn. * Chủ ý: Khái niệm hội lạ theo xác suấi của lần suất cú iBrhĩa là với m ọ i Í: ihíóiiu bé tùy ý ta luôn có: Lim vịt' - pị < e) = Ì n—>oc Đốn chưtiiii! 5 la sẽ chứng minh cứ S("í lý thuyết của sự hội lu đó Nhờ những thành quả của loàn học và kỹ ihuậl lính toán hiện đại, định nghĩa t h ố n " k ê của x á c suất có l ầ m quan trọng đặc b i ệ t trong ứng dụng. 4- Nguyên lý xác suất nhỏ và xác suất lổn Trong nhiều bài toán thực l ố , ta thườn" irặp c á c biến c ố c ó x á c suất r á i n h ò , tức gần b à n g 0. Qua nhiều lần quan sái, người ta thấy rà n ạ : c á c h i ế n c ố có x á c suất nhỏ. gần như khôiiỉĩ x ả y ra khi ihực h i ệ n p h é p thử. T r ê n d í sở đ ó có t h ể đưa ra " N g u y ê n lý ihực l ố k h ô n g t h ể c ó của c á c b i ế n c ố LÓ x á c suất nhỏ" sau đ â y : Nếu mội biến cố có xác suất rất nhỏ thì thực lố có thể cho rằng trong m ộ i p h é p ihử, biến cô đó sẽ khòm: xảy ra. Việc qui định một mức xác suất được coi là "rất nhỏ" tùy thuộc v à o từng bài loàn cụ t h ể . C h ẩ n " hạn: N ế u x á c suối đ ể một loại dù k h ô n g mà khi nhảy dù là 0,0ỉ thì xác suất đó chưa thổ coi là nhỏ và la khôns: n ê n sử đ ụ n " l o ạ i dù đ ó . Soím nếu x á c suất đ ổ m ộ i chuyến xe lửa đốn ỈM chậm l o phin là 0.01 thì ta có t h ể coi mức x á c suất đ ó là nhỏ lức có thổ cho rằm? xe lửa đốn ga đúnsi iiiìí. MỘI mức xác suất nhỏ mà với nó ta có lliể chi) rằn ÍT: biên cố đang XÓI k h ô n g xay ra trung m ộ i p h é p thử được Sĩọi là mức ý nsrhĩa. T ù y 23 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
Lịìáo trình Ịlị thuyết xát Mất oà thống kẻ toài* theo từng bài toán cụ thể, mức ý nghĩa thường được lấy ưong khoảng từ 0,01 đ ế n 0,05. Tương tự như vậy ta có thể nêu ra" nguyên lý thực tế chắt chắn xảy ra của các b i ế n c ố có x á c suất l ớ n " n h ư sau: , N ê u một biến c ố có x á c suất gần bằng Ì thì thực te V > 'hổ cho rằng b i ế n c ố đó sẽ xảy ra trong m ộ i p h é p thử. Cũng như ưên, việc qui định mức xác suất dượt L»»I là "lớn" tùy thuộc v à o bài toán cụ t h ể . T h ô n g thường n g ư ờ i la l ấ y trong khoảng từ 0,95 đ ế n 0,99. IV- Công thức cộng xác suất a- NếuẢ và B là hai biến cố xung khắc thì: P ( A u B ) = P(A) + P(B) Chứng minh: Ta chứng minh cho trường hợp p h é p t h ử có t h ể phân tích thành n trường hợp đ ố i xứng, trong đ ó c ó m i trường hợp thuận lợi cho A và m 2 trường hợp thuận l ợ i cho B . K h i đ ó s ố trường hợp thuận l ợ i cho b i ế n c ố ( A u B) sẽ là: mi+nv> (vì A , B là hai b i ế n c ố xung khắc). Ta có thể minh họa số trường hợp thuận lợi như sau: Theo định nghĩa cổ điển ta có: 24 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
QtuMng ì: Ợũảê mất en ạ biết! tế vù tám tồng, títứe. tinh xáe tuất Trường hợp tổng quát, công Ihức trên được phát biểu như sau: Nếu Aj, A ,..., A là n biến cố xung khắc từng đôi, thì: 2 n P(Aj u A u... u A ) = P(A,) + P(A ) +... + P(A ) 2 n 2 n Bạn đọc có thể chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp. Thí dụ 1: Một hộp có 10 sản phẩm (trong đó có 2 phế phẩm). Lấy ngẫu n h i ê n ( k h ô n g h o à n l ạ i ) từ hộp ra 6 sản phẩm. T i m x á c suất đ ể có k h ô n g q u á Ì p h ế p h ẩ m trong 6 sản phẩm l ấ y ra. Giải: Gọi A là biến cố "không có phế phẩm nào trong 6 sản phẩm l ấ y ra"; B là b i ế n c ố " c ó Ì p h ế phẩm trong 6 sản phẩm l ấ y r a " và c là b i ế n c ố " c ó k h ô n g q u á Ì p h ế p h ẩ m trong 6 sản phẩm l ấ y ra". Ta thấy: c =A u B • M à A , B là hai b i ế n c ố xung khắc (vì nó k h ô n g t h ể đồng thời xảy ra trong p h é p thử l â y ngẫu n h i ê n ra 6 sản phẩm từ hộp). . V ỉ.. P(C) = P(A u B ) = P(A) + P(BÌ - 4 =± L . p ( B ) = £ i £ i = ^ c 'lo i 105 c^10 „ 105 Vậy: P C) = i i ( + ^ = 2 i = ỉ 105 105 105 3 Từ công thức trên ta có thể suy ra một số hệ quả sau: Hệ quả 1: Nếu Ai, A An là hệ biến cố đầy đủ và xung khắc 2 từng đ ô i thì: li £P(Ai) = l 1=1 25 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
íịiúo Ị'tìnít ílị thuyết -rác suất vù iltổiiq kè toán Hệ quả 2: N ế u A và A là hai b i ế n c ố đ ố i l ậ p với nhau thì: P ( A ) = Ì - P( A ) Bạn đọc có thể dễ d ì m " chứng minh c á c hệ quả trên. b- N ế u A và B là hai b i ế n c ố k h ô n g xung k h ắ c t h ì : P(A u l i ) = P(A) + PHỈ) - P(A.B) Chứng minh: Giả sử p h é p thử có n trường hợp đ ố i xứnc. tron" đó có mi trường hợp thuận lợi cho A, 1112 inrìíriỉĩ hợp thuận l ợ i cho B. Vì A. B không xung khắc nên nói chung sẽ cớ k irườnu hợp thuận l ợ i cho cả A và B. Khi đó số trường hợp thuận l ợ i cho b i ế n c ố ( A u B) sẽ là Ì mi + m-> - k. Ta có t h ể minh họa trường hợp này như sau: Theo mô l ả ở hình trên m ỗ i nốt chấm đ e n là một trường hợp ihuận lợi thì: rai = 12; m = 15; 2 k= 5 Theo định nghĩa cổ đ i ể n của xác suất, ta có: n,A D> m,+m,-k m, m, k P(AuB) = - i — ^ = :^i + líỉ2__± =P(A) + P(B)-P(AB) n n n ũ B . = P ( A ) ; ^ L = P(B); ằ = P(AB) n n n Thí dụ: M ộ t lớp có 50 sinh viên.trong đó có 20 sinh viên học giỏi T o á n ; 30 sinh viên học giỏi Anh v ă n ; l o sinh viên học eiòi cà hai 26 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
Phương í: (Xiáe li lất cùa biến cố vù các còng tinh' tính xác mất m ô n T o á n và A n h văn. Chọn ntrẫu n h i ê n một sinh viên của lớp. T i m x á c suất đ ể chọn được sinh v i ê n học giỏi ít nhất m ộ t m ô n trong hai m ô n T o á n và Anh văn. Giai: Gọi A là biến cố chọn được sinh viên học giỏi môn Toán; B là b i ế n c ố chọn được sinh viên học giỏi m ô n Anh văn; c là b i ế n c ố chọn được sinh viên học giỏi ít nhất một trong hai môn T o á n và A n h văn. Ta thấy c = A w B mà hai b i ế n c ố A và B là hai b i ế n c ố k h ô n g xung khắc (vì A và B có t h ể x ả y ra đồntĩ Ihời trong cùng một p h é p thử. Đ ó chính là trường hợp chọn được một sinh viên học giỏi cả hai m ô n T o á n và Anh văn). Do đ ó : P(C) = P(A) + P(B) - P(AB) = — + — - — = — =0,8 50 50 50 50 Trường hợp tổng quát công thức trên được phát biểu như sau: Nếu Ai, A2,.... An là n biến cố khôn" xun*: khắc thì: li P(AjU A U . . . u A ) = ỊTP(Ai) - X P ( A 2 n i A ) ) + £p ( A l AjA ) k i=l " Ki i
(ịlủo trinh /lị tỉtui/ểt xác mất Hít thấm/ kê toan c- N ế u A j , A „ . . . , A n là n b i ế n c ố k h ô n g xung k h ắ c v à độc l ậ p t o à n p h ầ n thì: ỸịầịU A U ... uA ) = Ì - P(Ã ).P(Ã ) 2 n 1 2 P(Ã ) n V- Công thức nhân xác suất Ì- Xác suất có điều kiện a- Định nghĩa: X á c suất của b i ế n c ố A được tính v ớ i đ i ề u k i ệ n biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất có đ i ề u k i ệ n của A. Ký hiệu là P(A/B) b- Thí dụ: t r o n g bình có 5 quả cầu (trong đ ó có 2 quả ưắng). Lấy ngẫu nhiên lần lượt ra hai quả (lấy k h ô n g h o à n l ạ i ) . T i m x á c suất đ ể lần thứ hai lấy được quả trắng biết l ầ n thứ nhất l ấ y được cầu trắng ? Giải: Gọi A là biến cố "lần thứ hai lấy được cầu trắng"; B là biến cố " l ầ n thứ nhất lấy được cầu trắng". Ta cần tìm P(A/B). Ta thấy lần thứ nhất đã lấy được cầu t r ấ n " (tức B đã xảy ra) nên trong bình còn l ạ i 4 quả, trong đó có Ì quả cầu trắng. Nên: P(A/B) = - 4 c- công thức tính: P(AB) P(A/B) = P(B) Ta có thể dùng khái n i ệ m xác suất có đ i ề u k i ệ n đ ể định nghĩa cách khác các biến cố độc lập như sau: Nếu: P(A/B) = P(A) và P(B/A) = P(B) thì A, B độc lập. 2- Nếu A, B là hai biến cố bất kỳ, thì: P(AB) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B) 28 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
@/utưnạ 1: Qbáe. mất của biển eấ oà các eôuạ thức Hu ít xòe tuất Chứng minh: Giả sử p h é p thử có n trường hợp đ ố i xứng, trong đ ó có m i trường hợp thuận l ợ i cho A ; IĨ12 trường hợp thuận l ợ i cho B. Vì A , B k h ô n g xung khắc n ê n nói chung sẽ có k trường hợp thuận l ợ i cho cả A và B. Theo định nghĩa cổ đ i ể n của x á c suất ta c ó : le m P(AB) = - ; P(A) = ^ ị n n Ta tính P(B/A). Với điều kiện A đã xảy ra nên số trường hợp đối xứng của biến cố B khi đó sẽ là m i ; số trường hợp thuận l ợ i cho B là k. Do vậy: P(B/A) = — m, Ta c ó : le m lí P(AB) =- = ĩ^-. — = P(A)P(B/A) u n mị Vì vai trò của 2 biến cố À. và B như nhau, chứng minh tương tự ta được: P ( A B ) = P(B)P(B/A) Ta xét một thí dụ để minh hoa cho phần chứng minh nêu trên: M ộ t lớp có 50 sinh v i ê n , trong đó có 20 nữ và 30 nam. Trong kỳ thi m ô n T o á n có 10 sinh viên đ ạ i đ i ể m g i ỏ i (trong đó có 6 nam và 4 nữ). G ọ i tên ngẫu nhiên một sinh viên trong danh sách lớp. T i m x á c suất g ọ i được sinh viên đạt đ i ể m g i ỏ i m ô n T o á n b i ế t rằng sinh viên đ ó là nữ? Trong thí dụ này, phép thử là gọi ngẫu nhiên tên mội sinh viên của lớp, n ê n số trường hợp đ ố i xứng có t h ể x ả y ra trong p h é p thử (n) là 50 ỉ G ọ i A là b i ế n c ố g ọ i được sinh viên nữ thì số trườn? hợp thuận lợi cho A ( m i ) là 20; G ọ i B là b i ế n c ố g ọ i được sinh viên đạt đ i ể m giỏi m ô n T o á n thì số trường hợp thuận l ợ i cho B (ni2) là 10; số Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
Phương Ị: ẦHÌe suất rùa biến cố oà fúf còng tltửe tinh xác f mất Vì c á c b i ế n c ố lích xung khắc lừng đôi và c á c b i ế n c ố trong m ỗ i tích đ ó độc lập toàn phần, do đ ó : P(A) ) = P(A| ).p(Ã2 )p(Ã J ) + p(Ã Ì )P(À , ).p(Ă Ị+ p(Ă Ì )P(Ã2 )p(A3) 3 = Ọ. Ì .0.8.0.85 + 0.9.0.2.0,85 + 0.9.0.8.0,15 = 0,329 VI- Công thức Bernoulli Trong nhiều bài toán thực l ố , ta thườn" sập trườn" hợp cùng m ộ t p h é p thử dược lập đi lặp l ạ i nhiều lần. Trong m ỗ i p h é p i h ử có t h ể xảy ra hay khôntĩ xảy ra một biến c ố A nào đó và la quan t â m đ ố n lổng số lần xảy ra biến c ố A trong d ã y p h é p thử. Chẳng hạn, n ế u t i ế n h à n h sản xuất h à n g loại m ộ i loại chi tiết n à o đó ta thường quan t â m đ ế n tổng số chi t i ế i đạt tiêu chuẩn của cả quá trình sản xuất. B à i toán này có the giải quyết khá d ễ d à n g nếu c á c p h é p thử độc l ậ p v ớ i nhau. Các phép thử được gọi là độc lập với nhau nếu xác suất để xảy ra một biến c ố n à o đó trong từng p h é p thử sẽ không phụ thuộc v á p v i ệ c b i ế n c ố dó có xảy ra ở p h é p thử khác hay không. Chẳng hạn: tung nhiều lần một đồng xu hoặc lấy ngẫu nhiên có hoàn l ạ i n sản phẩm l ừ một lô h à n " sẽ l ạ o nên c á c p h é p thử độc lập. Giả sử tiến hành n phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử chỉ có t h ể xảy ra một trong hai trường hợp: Hoặc biến c ố A x ả y ra hoặc b i ế n c ố A không xảy ra. X á c suất xảy ra b i ế n c ố A trong m ỗ i p h é p thử đ ề u bằng p và x á c suất A không x ả y ra bằng Ì - p = q. K h i dó x á c suất đ ể trong n p h é p thử độc lập nói trên biến c ố A x ả y ra đ ú n g k lần ký hiệu là Pk(A)đƯỢc tính theo công thức Bernoulli sau đ â y : P (A)=C p q (k = 0,1,2 ,n) k n k k n-k Chứng minh: Gọi Ai là biến cố "ở phép thử thứ i, A xảy ra" (i = Ì, 2, . . ., n). Suy ra A i sẽ là b i ế n c ố "ở p h é p thử thứ i , A không x ả y ra". 31 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
íỊiảo- trĩnh tụ títuụếi xòe mất oà thống kê toán Gọi B là biến cố "trong n phép thử, A xảy ra đúng k lần". B có thể xảy ra theo nhiều cách khác nhau. Chẳng hạn, k p h é p thử đ ầ u , A xảy ra, còn n-k p h é p thử sau A k h ô n g x ả y ra. Trường hợp n à y ta có thể b i ể u d i ễ n bằng b i ế n c ố tích: A | . A . . . . A .Ak+I Ak+2 2 k An Hoặc n-k p h é p thử đầu A k h ô n g xảy ra, còn n-k p h é p thử cuối A xảy ra. Trường hợp này ta có t h ể b i ể u d i ễ n bằng b i ế n c ố tích có dạng: A1Ã2 A„-k.A,,-k i n-k 2 A„ + A + Tổng số c á c tích như vậy chính là số c á c h chọn k p h é p thử đ ể biến c ố A xảy ra, tức bằng c\ và b i ế n c ố B chính là tổng của những biến c ố tích ấy. Đ ố i v ớ i m ỗ i tích, ta thấy b i ế n c ố A x ả y ra đ ú n g k l ầ n , còn A xảy ra đ ú n g (n-k) lần. Do đó x á c suất của m ỗ i tích đ ề u bằng k n—k p q . V ì các b i ế n cố tích là c á c b i ế n c ố xung khắc từng đôi, nên ta có: P (A) = P(B)= c„y - k q n k Thí dụ: Một lô hàng có tỷ lệ phế phẩm là 5%. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó ra 5 sản phẩm đ ể k i ể m tra ( l ấ y có hoàn l ạ i ) . T i m xác suất đổ có 2 p h ế phẩm trong 5 sản phẩm lấy ra k i ể m tra? Giải: Ta coi việc kiểm tra một sản phẩm là thực hiện một phép thử. Vì k i ể m tra 5 sản phẩm n ê n ta coi như thực h i ệ n 5 p h é p thử độc lập. G ọ i A là b i ế n c ố "sản phẩm lấy ra k i ể m tra la p h ế phẩm". Ta thấy trong m ỗ i p h é p thử chỉ có t h ể xảy ra một trong hai trường hợp: Hoặc sản phẩm k i ể m tra là phố phẩm (tứcA xảy ra), hoặc s ả n phẩm k i ể m tra là sản phẩm tốt (tức A không xảy ra). X á c suất đ ể A xảy ra trong m ỗ i p h é p thử đ ề u hằng 0,05. V à y c á c đ i ề u k i ệ n đ ể á p dụng công thức Bernoulli đ ề u thoa m ã n . V I vậy, xác suất đ ể có 2 p h ế phẩm trong 5 sản phẩm lấy ra k i ể m tra là: 32 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn