GIÁO TRÌNH SÓNG GIÓ ( VŨ THANH CA ) - CHƯƠNG 2

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

89
lượt xem 14
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các phương trình cơ bản của cơ học chất lỏng 2.1 Các phương pháp mô tả dòng chảy của chất lỏng Có hai phương pháp mô tả dòng chảy của chất lỏng. Phương pháp thứ nhất là phương pháp Lagrange. Phương pháp này khảo sát chuyển động của từng hạt lỏng trong không gian và theo thời gian. Phương pháp thứ hai là phương pháp Euler, khảo sát biến trình thời gian của các tính chất vật lý của chất lỏng tại những điểm cố định trong không gian. Trong bài giảng này, chỉ trừ khi nói rõ ràng, ta mặc...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: GIÁO TRÌNH SÓNG GIÓ ( VŨ THANH CA ) - CHƯƠNG 2

Ch−¬ng 2 c¸c ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n cña c¬ häc chÊt láng 2.1 C¸c ph−¬ng ph¸p m« t¶ dßng ch¶y cña chÊt láng Cã hai ph−¬ng ph¸p m« t¶ dßng ch¶y cña chÊt láng. Ph−¬ng ph¸p thø nhÊt lµ ph−¬ng ph¸p Lagrange. Ph−¬ng ph¸p nµy kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña tõng h¹t láng trong kh«ng gian vµ theo thêi gian. Ph−¬ng ph¸p thø hai lµ ph−¬ng ph¸p Euler, kh¶o s¸t biÕn tr×nh thêi gian cña c¸c tÝnh chÊt vËt lý cña chÊt láng t¹i nh÷ng ®iÓm cè ®Þnh trong kh«ng gian. Trong bµi gi¶ng nµy, chØ trõ khi nãi râ rµng, ta mÆc nhiªn thõa nhËn lµ ph−¬ng ph¸p Euler sÏ ®−îc dïng ®Ó m« t¶ chuyÓn ®éng cña chÊt láng do tÝnh thuËn tiÖn cña nã. Trong ph−¬ng ph¸p nµy, mét hÖ täa ®é cÇn ®−îc thiÕt lËp vµ chuyÓn ®éng cña chÊt láng ®èi víi hÖ täa ®é ®ã sÏ ®−îc xem xÐt. HÖ täa ®é nµy cã thÓ lµ hÖ täa ®é ®−îc vÏ trªn h×nh 1.4 hoÆc trªn h×nh 2.1. 2.2 §¹o hµm thêi gian Gi¶ thiÕt r»ng ta dïng ph−¬ng ph¸p Lagrange ®Ó m« t¶ chuyÓn ®éng cña chÊt láng vµ kh¶o s¸t sù thay ®æi cña mét tÝnh chÊt vËt lý s cña mét h¹t láng chuyÓn ®éng cïng víi chÊt láng. Tèc ®é thay ®æi toµn bé cña tÝnh chÊt vËt lý nµy cã thÓ ®−îc chia thµnh hai phÇn: mét phÇn biÓu thÞ thay ®æi theo thêi gian cña tÝnh chÊt vËt lý t¹i vÞ trÝ cho tr−íc vµ mét phÇn biÓu thÞ sù thay ®æi cña tÝnh chÊt vËt lý g©y ra do sù thay ®æi vÞ trÝ cña h¹t láng. Nh− vËy, cã thÓ viÕt ph−¬ng tr×nh sau: ds ∂s ∂s = + ui (2.1) dt ∂t ∂xi ë ®©y, quy ®Þnh Eistein vÒ viÖc tæng ®−îc lÊy theo chØ sè lÆp l¹i trong mét sè h¹ng ®¬n ®· ®−îc ¸p dông. Trong ph−¬ng tr×nh (2.1), ký hiÖu d / dt biÓu thÞ tèc ®é thay ®æi toµn phÇncña tÝnh chÊt vËt lý s cña h¹t láng vµ ®−îc coi lµ ®¹o hµm toµn phÇn hoÆc lµ ®¹o hµm Lagrange. Ký hiÖu ∂ / ∂t biÓu thÞ tèc ®é thay ®æi theo thêi gian cña tÝnh chÊt vËt lý t¹i mét ®iÓm cè ®Þnh vµ ®−îc gäi lµ tèc ®é thay ®æi ®Þa ph−¬ng theo thêi gian cña tÝnh chÊt vËt lý ®ã. 2.3 Ph−¬ng tr×nh thÓ tÝch kiÓm tra H×nh 2.1 chØ ra mét thÓ tÝch kiÓm tra cè ®Þnh trong kh«ng gian trong mét hÖ täa ®é cho tr−íc. T¹i mét thêi gian cho tr−íc t nµo ®ã, mét khèi chÊt láng lÊp ®Çy thÓ tÝch kiÓm tra nµy. Mét l¸t sau, t¹i thêi ®iÓm t + Δt, mét phÇn cña khèi chÊt láng nµy ®· ch¶y ra khái thÓ tÝch kiÓm tra vµ chÊt láng tõ ngoµi thÓ tÝch kiÓm tra sÏ ch¶y vµo trong ®Ó thay thÕ. 7
z ThÓ tÝch kiÓm tra y x O H×nh 2.1 ThÓ tÝch kiÓm tra vµ khèi chÊt láng t¹i c¸c thêi ®iÓm t vµ t + Δt. Gi¶ thiÕt lµ B biÓu thÞ tæng l−îng cña mét tÝnh chÊt nµo ®ã cña chÊt láng (nh− khèi l−îng, ®éng l−îng hay nhiÖt l−îng v.v.) chøa trong thÓ tÝch kiÓm tra V. Ký hiÖu b lµ l−îng cña B trªn mét ®¬n vÞ khèi l−îng (mËt ®é cña B) sao cho B = ∫ ρbdV (2.2) V §Þnh luËt b¶o toµn cña tÝnh chÊt vËt lý yªu cÇu r»ng tèc ®é thay ®æi tæng céng cña tÝnh chÊt vËt lý bªn trong thÓ tÝch kiÓm tra b»ng tèc ®é thay ®æi ®Þa ph−¬ng cña tÝnh chÊt vËt lý céng víi tèc ®é cña tÝnh chÊt vËt lý ra khái thÓ tÝch kiÓm tra trõ ®i tèc ®é cña tÝnh chÊt vËt lý ®i vµo trong thÓ tÝch kiÓm tra. §iÒu nµy khi thÓ hiÖn b»ng ph−¬ng tr×nh th× cã thÓ ®−îc viÕt nh− sau: B − Bin ∂ dB =∫ ρbdV + lim out (2.3) dt CV ∂t Δt Δt →0 ë ®©y Bout vµ Bin lÇn l−ît lµ l−îng cña tÝnh chÊt vËt lý ra khái vµ ®i vµo thÓ tÝch kiÓm tra trong kho¶ng thêi gian Δt . H×nh 2.2 Mét diÖn tÝch v« cïng bÐ trªn bÒ mÆt cña thÓ tÝch kiÓm tra Bëi v× tÝnh chÊt B chuyÓn ®éng cïng víi chÊt láng, tèc ®é ch¶y ra cña B tõ thÓ tÝch 8
kiÓm tra chØ cã thÓ lµ hµm sè cña vËn tèc dßng ch¶y trªn bÒ mÆt thÓ tÝch kiÓm tra. Nh− chØ ra trªn h×nh 2.2, khèi l−îng chÊt láng ch¶y ra khái thÓ tÝch kiÓm tra trong kho¶ng thêi gian rr r Δt qua mét diÖn tÝch rÊt nhá trªn bÒ mÆt thÓ tÝch kiÓm tra lµ ρ (u ⋅ n )ΔAΔt víi n lµ vector rr ®¬n vÞ vu«ng gãc víi phÇn tö bÒ mÆt ΔA vµ h−íng ra ngßai. (u ⋅ n ) ký hiÖu tÝch v« h−íng cña hai vector. §¹i l−îng B ch¶y ra khái phÇn tö bÒ mÆt trong kho¶ng thêi gian v« cïng bÐ rr nµy sÏ lµ ρb(u ⋅ n )ΔAΔt . TÝch ph©n trªn toµn bé bÒ mÆt cho ta: Bout − Bin rr = ∫ ρb(u ⋅ n )dA lim (2.4) Δt Δt → 0 S Nh− vËy, ph−¬ng tr×nh (2.3) cã thÓ ®−îc viÕt lµ: ∂ dB rr = ∫ ρbdV + ∫ ρb(u ⋅ n )dA (2.5) dt CV ∂t S víi S lµ diÖn tÝch cña bÒ mÆt thÓ tÝch kiÓm tra. NÕu nh− kh«ng cã ®iÓm nguån hoÆc ®iÓm hót cña tÝnh chÊt vËt lý ë bªn trong thÓ tÝch kiÓm tra th× ta sÏ cã ph−¬ng tr×nh sau: ∂ dB rr = ∫ ρbdV + ∫ ρb(u ⋅ n )dA = 0 (2.6) dt CV ∂t S T¹i ®iÓm nµy, ta cã ®−îc ph−¬ng tr×nh b¶o toµn cho thÓ tÝch kiÓm tra. Tuy nhiªn, rÊt khã ®¸nh gi¸ tõng sè h¹ng trong ph−¬ng tr×nh (2.6). §Ó cã thÓ lµm ®−îc ®iÒu nµy, nh− ®· chØ ra trªn h×nh 2.3, thÓ tÝch kiÓm tra ®−îc chia nhá thµnh mét sè v« h¹n c¸c thÓ tÝch kiÓm tra v« cïng bÐ. Sau ®ã, thay v× kh¶o s¸t tèc ®é ch¶y cña tÝnh chÊt vËt lý ra khái thÓ tÝch kiÓm tra, ta kh¶o s¸t tèc ®é ch¶y cña tÝnh chÊt vËt lý ra khái mçi thÓ tÝch kiÓm tra v« cïng bÐ. Tèc ®é ch¶y ra khái mét thÓ tÝch nh− thÕ nµy trõ ®i tèc ®é ch¶y vµo thÓ tÝch nµy lµ ∂u y ⎛ ⎞ ∂u ∂u ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ u x + x Δx ⎟ΔyΔz + ⎜ u y + Δy ⎟ΔxΔz + ⎜ u z + z Δz ⎟ΔyΔx ⎜ ⎟ ∂x ∂y ∂z ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2.7) ∂u y ∂u z ⎞ ⎛ ∂u ( ) rr − (u x ΔyΔz + u y ΔxΔz + u z ΔxΔy ) = ⎜ x + ⎟ΔxΔyΔz = ∇ ⋅ u ΔV + ⎜ ∂x ∂z ⎟ ∂y ⎝ ⎠ r r rr rr r ë ®©y ∇ = i ∂ / ∂x + j ∂ / ∂y + k ∂ / ∂z víi i , j vµ k lÇn l−ît lµ c¸c vector ®¬n vÞ theo c¸c h−íng x, y vµ z. LÊy tæng cña tÊt c¶ tèc ®é ch¶y ra tõ mçi thÓ tÝch kiÓm tra víi giíi h¹n lµ thÓ tÝch cña 9
mçi phÇn tö tiÕn tíi zero sÏ cho ta tèc ®é ch¶y ra tõ thÓ tÝch kiÓm tra. Sau ®ã, dïng ®Þnh lý ph©n kú ®Ó liªn hÖ gi÷a c¸c tÝch ph©n thÓ tÝch vµ bÒ mÆt, ta cã: r rr r ∫ ρb(u ⋅ n )dA = ∫ ∇ ⋅ (ρbu )dV (2.8) S CV Nh− vËy, tõ c¸c ph−¬ng tr×nh (2.5), (2.6) vµ (2.8), ta cã thÓ rót ra ph−¬ng tr×nh sau: r ⎡∂ r⎤ ∫ ⎢ ∂t (ρb) + ∇ ⋅ (ρbu )⎥dV = 0 (2.9) ⎣ ⎦ CV H×nh 2.3 C¸c thÓ tÝch v« cïng bÐ bªn trong thÓ tÝch kiÓm tra Bëi vµ thÓ tÝch kiÓm tra CV lµ tuú ý chän, râ rµng lµ nÕu cã mét ®iÓm trong kh«ng gian mµ t¹i ®ã ®¹i l−îng trong ngoÆc vu«ng bªn vÕ tr¸i cña ph−¬ng tr×nh (2.9) kh¸c zero, ta cã thÓ ®iÒu chØnh thÓ tÝch kiÓm tra sao cho nã chØ chøa ®iÓm nµy. §iÒu nµy cã nghÜa lµ tÝch ph©n bªn vÕ tr¸i cña ph−¬ng tr×nh (2.9) kh¸c zero vµ ph−¬ng tr×nh nµy kh«ng ®−îc tháa m·n ®èi víi thÓ tÝch kiÓm tra nµy. Nh− vËy, ®Ó ®¶m b¶o lµ ph−¬ng tr×nh (2.9) ®−îc tháa m·n cho toµn bé miÒn tÝnh, ®¹i l−îng trong ngoÆc vu«ng ë vÕ tr¸i cña ph−¬ng tr×nh (2.9) ph¶i lµ zero t¹i tÊt c¶ mäi ®iÓm trong miÒn nghiªn cøu. Hay nãi c¸ch kh¸c r ∂ r (ρb ) + ∇ ⋅ (ρbu ) = 0 (2.10) ∂t 2.4 §Þnh luËt b¶o toµn vËt chÊt vµ ph−¬ng tr×nh liªn tôc NÕu nh− ®¹i l−îng vËt lý nãi ë trªn ®−îc lÊy lµ khèi l−îng chÊt láng th× b trong ph−¬ng tr×nh (2.10) b»ng 1, vµ ph−¬ng tr×nh b¶o toµn vËt chÊt trë thµnh ∂ρ ∂ρ r ∂ r (ρu i ) = 0 + ∇ ⋅ ( ρu ) = 0 or + (2.11) ∂t ∂xi ∂t Ph−¬ng tr×nh (2.11) th−êng ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh liªn tôc cña dßng ch¶y láng. 10
2.5 §Þnh luËt b¶o toµn ®éng l−îng vµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng 2.5.1 Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña Cauchy Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng ®−îc rót ra b»ng c¸ch liªn hÖ B víi ®éng l−îng cña toµn hÖ thèng. §éng l−îng lµ mét ®¹i l−îng vector, lµ tÝch cña khèi l−îng vµ vËn tèc. Nh− vËy, b lµ r vector vËn tèc u . Tõ ®Þnh luËt chuyÓn ®éng cña Newton, tèc ®é thay ®æi cña ®éng l−îng trong mét hÖ víi khèi l−îng bÊt biÕn b»ng lùc t¸c dông: r dB r =F (2.12) dt r ë ®©y F lµ lùc t¸c dông lªn hÖ. Nh− vËy b»ng c¸ch sö dông ph−¬ng tr×nh (2.12), ph−¬ng tr×nh (2.5) trë thµnh: r ∂ r rr r ∫ ∂t (ρu )dV + ∫ ρu (u ⋅ n )dA F= (2.13) CV S r Trong ®ã F lµ tæng cña tÊt c¶ c¸c lùc t¸c dông lªn chÊt láng trong thÓ tÝch kiÓm tra. r Ký hiÖu lùc t¸c ®éng lªn mét ®¬n vÞ khèi l−îng láng (mËt ®é lùc) lµ f , ta cã: r r ∫ F= fdV (2.14) CV Dïng ®Þnh lý ph©n kú vµ ph−¬ng tr×nh (2.14), cã thÓ viÕt ph−¬ng tr×nh (2.13) cho mçi thµnh phÇn trªn mçi h−íng nh− sau: ⎡ ⎤ ∂ (ρui ) − ∂ (ρu i u j )⎥ dV = 0 ∫ ⎢f − (2.15) i ∂t ∂x j ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ CV Bëi v× thÓ tÝch kiÓm tra lµ tuú ý, tõ ph−¬ng tr×nh (2.15) ta cã thÓ rót ra ph−¬ng tr×nh sau: ∂ (ρu i ) + ∂ (ρui u j ) = f i (2.16) ∂t ∂x j Dïng ph−¬ng tr×nh liªn tôc (Eq. 2.11), ta cã thÓ viÕt l¹i ph−¬ng tr×nh (2.16) nh− sau: 11
∂u i ∂u ρ + ρu j i = f i (2.17) ∂t ∂x j H×nh 2.4 Lùc ¸p suÊt theo h−íng x Ph−¬ng tr×nh (2.17) lµ ph−¬ng tr×nh Cauchy cña chuyÓn ®éng cña chÊt láng. Sè h¹ng ®Çu tiªn trong vÕ tr¸i cña ph−¬ng r×nh biÓu thÞ tèc ®é thay ®æi ®Þa ph−¬ng cña ®éng l−îng t¹i mét ®iÓm trong khi sè h¹ng thø hai biÓu thÞ tèc ®é thay ®æi cña ®éng l−îng t¹i ®iÓm ®ã g©y ra do dßng ch¶y (¶nh h−ëng cña hiÖn t−îng b×nh l−u). §èi víi bµi to¸n sãng träng lùc bÒ mÆt, chØ cã ¸p suÊt, øng suÊt c¾t vµ träng lùc lµ cÇn ®−îc xem xÐt. ¸p suÊt d− t¸c ®éng lªn mét ®¬n vÞ thÓ tÝch cña chÊt láng cã thÓ t×m ®−îc dÔ dµng b»ng c¸ch xem xÐt h×nh lËp ph−¬ng v« cïng bÐ nh− chØ ra trªn h×nh 2.4. Trong h×nh, chØ cã lùc ¸p suÊt t¸c ®éng lªn c¸c bÒ mÆt vu«ng gãc víi trôc x lµ ®−îc vÏ. Lùc ¸p suÊt d− t¸c ®éng theo h−íng x lªn mét ®¬n vÞ thÓ tÝch lµ: ⎡ ⎤ ∂p ⎞ ∂p ⎛ 1 ⎢ pΔyΔz − ⎜ p + ∂x Δx ⎟ΔyΔz ⎥ = − ∂x (2.18) ΔV ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ øng suÊt c¾t t¸c ®éng theo h−íng x lªn mét thÓ tÝch v« cïng bÐ ®−îc chØ ra trªn h×nh 2.5. Trong h×nh, chØ sè thø nhÊt cña τ chØ trôc täa ®é vu«ng gãc víi bÒ mÆt cña h×nh lËp ph−¬ng vµ chØ sè thø hai chØ ra h−íng cña thµnh phÇn cña øng suÊt. Thµnh phÇn cña øng suÊt t¸c ®éng theo h−íng vu«ng gãc víi bÒ mÆt ®−îc bao hµm trong ¸p suÊt vµ nh− vËy kh«ng ®−îc tÝnh ®Õn. Nh− ®· chØ ra trong h×nh, lùc d− trªn mét ®¬n vÞ thÓ tÝch do øng suÊt nhít g©y ra theo h−íng i lµ: ∂τ yi ∂τ zi ⎞ ∂τ ⎛ ∂τ ( f i )τ = −⎜ xi + ⎟ = − ji + (2.19) ⎜ ∂x ∂z ⎟ ∂y ∂x j ⎝ ⎠ Träng lùc theo h−íng i lµ tÝch cña träng l−îng cña phÇn tö ®−îc xem xÐt nh©n víi cosine cña gãc gi÷a ph−¬ng th¼ng ®øng vµ h−íng i. 12
∂h ( f i )g = − ρg (2.20) ∂xi ë ®©y, chiÒu d−¬ng cña h h−íng lªn phÝa trªn. TiÕp theo, dïng c¸c ph−¬ng tr×nh tõ (2.18) tíi (2.20), ph−¬ng tr×nh (2.17) trë thµnh ∂h ∂τ ji ∂u i ∂u ∂p ρ + ρu j i = − − ρg − (2.21) ∂t ∂x j ∂xi ∂xi ∂x j H×nh 2.5 øng suÊt c¾t theo h−íng x trªn thÓ tÝch v« cïng bÐ Ph−¬ng tr×nh (2.21) chøa tensor øng suÊt c¾t τ . §Ó cã thÓ viÕt ®−îc ph−¬ng tr×nh nµy d−íi d¹ng ¸p dông ®−îc, tensor nµy nhÊt ®Þnh ph¶i ®−îc biÓu thÞ d−íi d¹ng nh÷ng ®¹i l−îng c¬ b¶n nh− vËn tèc vµ nh÷ng ®¹o hµm cña nã. §Ó cã thÓ lµm ®−îc viÖc nµy, ta ph¶i kh¶o s¸t kü c¸c ®Æc tÝnh cña chÊt láng chuyÓn ®éng. 2.5.2 ChuyÓn dÞch, quay vµ vËn tèc biÕn d¹ng r H·y xem xÐt mét ®iÓm xi0 trong mét chÊt láng mµ t¹i ®ã vËn tèc lµ u 0 (xem h×nh r r r 2.6). T¹i mét ®iÓm l©n cËn víi täa ®é lµ xi0 + Δx , vËn tèc lµ u 0 + Δu . Gi¶ thiÕt r»ng u lµ mét hµm liªn tôc cña c¸c biÕn kh«ng gian th× ta cã thÓ khai triÓn Taylor hµm nµy t¹i l©n cËn ®iÓm xi0 nh− sau: r r ∂ 2 u (Δxi ) 2 ∂u r rr u 0 + Δu = u 0 + Δxi + 2 + ...... (2.22) ∂xi ∂xi 2! Bá qua c¸c sè h¹ng bËc hai vµ nhá h¬n, tõ ph−¬ng tr×nh (2.22) ta cã thÓ rót ra ph−¬ng tr×nh sau: 13
∂u i Δu i = Δx j (2.23) ∂x j Hay, b»ng c¸ch céng vµo vµ trõ ®i nh÷ng sè h¹ng gièng nhau vµo vÕ ph¶i cña ph−¬ng tr×nh (2.23), ta cã: 1 ⎛ ∂ui ∂u j ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⎟Δx j + 1 ⎜ ∂ui − j ⎟Δx j ⎜ Δui = + (2.24) 2 ⎜ ∂x j ∂xi ⎟ 2 ⎜ ∂x j ∂xi ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Nh− vËy tensor ∂u i / ∂x j ®· ®−îc chia thµnh mét tensor bÊt ®èi xøng ω ij vµ mét tensor ®èi xøng d ij lÇn l−ît ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau: 1 ⎛ ∂u ∂u j ⎞ ω ij = ⎜ i − ⎟ (2.25) 2 ⎜ ∂x j ∂xi ⎟ ⎝ ⎠ 1 ⎛ ∂u i ∂u j ⎞ ⎜ ⎟ d ij = + (2.26) 2 ⎜ ∂x j ∂xi ⎟ ⎝ ⎠ H×nh 2.6 ChuyÓn ®éng cña nh÷ng ®iÓm l©n cËn H×nh 2.7 Mét phÇn tö láng ë vÞ trÝ ban ®Çu 14
Thêi ®iÓm t+Δt H×nh 2.8 ChuyÓn ®éng cña phÇn tö láng H·y xem xÐt mét phÇn tö láng h×nh ch÷ nhËt víi mét gãc n»m t¹i gèc täa ®é, nh− trªn h×nh 2.7. ChÊt láng chuyÓn ®éng víi vËn tèc biÕn ®æi trong kh«ng gian vµ vËn tèc chuyÓn r r r r ®éng cña chÊt láng t¹i gèc täa ®é lµ u 0 , vËn tèc t¹i ®iÓm a lµ u a = u 0 + (∂u / ∂y )Δy , vµ r r r vËn tèc t¹i ®iÓm c lµ u c = u 0 + (∂u / ∂x )Δx . H·y xem xÐt h¹t láng nµy sau mét kho¶ng thêi r gian Δt, nh− thÊy trªn h×nh 2.8. §iÓm o chuyÓn ®éng ®−îc mét qu·ng ®−êng u 0 Δt , ®iÓm a r chuyÓn ®éng ®−îc mét qu·ng ®−êng u a Δt , v.v. Bëi v× vËn tèc chuyÓn ®éng t¹i c¸c ®iÓm kh¸c nhau nãi chung lµ kh¸c nhau mét chót, phÇn tö láng ®· bÞ biÕn d¹ng vµ kh«ng cßn lµ h×nh ch÷ nhËt n÷a. §Ó cã thÓ thÊy râ tÝnh chÊt cña sù biÕn d¹ng nµy, tr−íc hÕt ta h·y xem xÐt tr−êng hîp ∂u y ∂u x ∂u y ∂u x =− = =0 vµ (2.27) ∂y ∂x ∂x ∂y Bëi v× kh«ng cã sù biÕn ®æi vËn tèc chuyÓn ®éng theo h−íng x däc theo trôc x, c¸c c¹nh a-b vµ o-c kh«ng dµi ra vµ còng kh«ng ng¾n ®i; t−¬ng tù, c¸c c¹nh o-a vµ b-c còng gi÷ nguyªn chiÒu dµi. Sau mét kho¶ng thêi gian Δt, h¹t láng trë thµnh h×nh d¹ng nh− trªn h×nh 2.9. §iÓm a ®· chuyÓn ®éng ®−îc mét qu·ng ®−êng dµi h¬n mét kho¶ng lµ ∂u x / ∂yΔyΔt theo h−íng x so víi ®iÓm o, vµ ®iÓm c ®· chuyÓn ®éng ®−îc mét qu·ng ®−êng dµi h¬n mét kho¶ng lµ ∂u y / ∂xΔxΔt theo h−íng y so víi ®iÓm o. Gãc gi÷a c¹nh o-a vµ ph−¬ng th¼ng ®øng lµ ∂u x / ∂yΔt ; gãc gi÷a c¹nh o-c vµ ph−¬ng n»m ngang lµ ∂u y / ∂xΔt . Nh− vËy, víi nh÷ng gi¶ thiÕt nh− trªn, phÇn tö láng ®· tr¶i qua mét qu¸ tr×nh dÞch chuyÓn vÞ trÝ vµ quay. Më réng lý luËn cho ba chiÒu, ta thÊy r»ng ®iÒu kiÖn cho chuyÓn ®éng nh− thÕ nµy lµ ω ij ≠ 0 vµ d ij = 0 . Xem xÐt tiÕp tensor ω ij ta thÊy r»ng nã m« t¶ chuyÓn ®éng quay cña phÇn tö láng. §Ó ®Þnh l−îng sù biÕn d¹ng cña phÇn tö láng, mét vector xo¸y ®−îc ®Þnh nghÜa nh− 15
sau: 1r r r ω = ∇×u (2.28) 2 Víi ký hiÖu × biÓu thÞ tÝch vector cña hai vector. Thêi ®iÓm t+Δt H×nh 2.9 Sù quay cña phÇn tö láng Bëi v× ω ij ®· ®−îc x¸c ®Þnh lµ vËn tèc quay cña phÇn tö láng, d ij cã thÓ ®−îc xem lµ vËn tèc biÕn d¹ng cña phÇn tö láng. Cã nghÜa lµ ω ij biÓu thÞ sù quay cña phÇn tö láng nh− lµ mét vËt r¾n trong khi ®ã d ij biÓu thÞ sù chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi cña c¸c ®iÓm kh¸c nhau trªn phÇn tö láng. Nh− vËy, chuyÓn ®éng cña mét chÊt láng bao gåm: 1. mét sù di chuyÓn cña chÊt láng nh− víi vËt r¾n céng víi 2. mét sù quay cña chÊt láng nh− víi vËt r¾n (tensor bÊt ®èi xøng) céng víi 3. mét sù biÕn d¹ng (tensor ®èi xøng). C¸c hiÖu øng trªn ®−îc diÔn t¶ b»ng mét chuyÓn ®éng ®¬n gi¶n víi vËn tèc biÕn ®æi nh− thÊy trªn h×nh 2.10. Mét phÇn tö láng gÇn gèc täa ®é bÞ biÕn d¹ng vµ quay nh− trªn h×nh vÏ ®Ó t¹o ra mét dßng ch¶y nh− thÕ nµy. H×nh 2.10 Dßng ch¶y víi vËn tèc biÕn ®æi t¹o ra chuyÓn ®éng quay vµ 16
chuyÓn ®éng biÕn d¹ng thuÇn tóy 2.5.3 Mèi liªn hÖ gi÷a vËn tèc biÕn d¹ng vµ øng suÊt – Ph−¬ng tr×nh Navier-Stokes Trong ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña chÊt láng, tensor øng suÊt c¾t nhÊt ®Þnh ph¶i ®−îc liªn hÖ víi nh÷ng tÝnh chÊt vËt lý cña dßng ch¶y. C¬ së cho mèi liªn hÖ nµy lµ ®Þnh luËt Newton vÒ tÝnh nhít. NÕu nh− cã mét chÊt láng víi vËn tèc ch¶y theo h−íng trôc x chØ biÕn ®æi theo h−íng trôc y th× øng suÊt c¾t t¸c ®éng lªn mét ®¬n vÞ diÖn tÝch bÒ mÆt vu«ng gãc víi trôc y chØ cã mét thµnh phÇn theo h−íng x vµ ®−îc biÓu thÞ nh− sau: du x τ yx = − μ (2.29) dy Trong ®ã μ lµ hÖ sè tû lÖ gi÷a øng suÊt nhít vµ gradient vËn tèc vµ ®−îc gäi lµ ®é nhít (hay ®é nhít ®éng lùc) cña chÊt láng. §é nhít lµ mét tÝnh chÊt cña chÊt láng vµ lµ mét h»ng sè c¬ b¶n theo quan ®iÓm c¬ häc chÊt láng. Mét chÊt láng tu©n theo ®Þnh luËt Newton ®−îc gäi lµ chÊt láng Newton. C¸c chÊt láng kh«ng tu©n theo ®Þnh luËt nµy ®−îc gäi lµ c¸c chÊt láng phi Newton. May m¾n lµ n−íc vµ kh«ng khÝ trong nh÷ng ®iÒu kiÖn th«ng th−êng nhÊt lµ c¸c chÊt láng Newton. DÊu ©m trong ph−¬ng tr×nh (2.29) cã nghÜa lµ ®éng l−îng ®−îc vËn chuyÓn tõ n¬i cao (víi vËn tèc lín) tíi n¬i thÊp (víi vËn tèc nhá). Dïng ®Þnh luËt Newton vÒ tÝnh nhít, ta cã thÓ rót ra ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng c¬ b¶n cña chÊt láng, ph−¬ng tr×nh Navier-Stokes nh− sau ⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂p ∂ 2u dui = ρ⎜ i + u j i ⎟ = − ρ + μ 2i + ρg i (2.30) ⎜ ∂t ∂x j ⎟ ∂xi ∂xi dt ⎝ ⎠ víi g i lµ thµnh phÇn gia tèc träng tr−êng theo ph−¬ng i. Ph−¬ng tr×nh Navier-Stokes cã thÓ viÕt d−íi d¹ng vector nh− sau: r ⎛ ∂u r r r ⎞ r r ρ ⎜ + u ⋅ ∇u ⎟ = −∇p + μΔu + ρ g (2.31) ⎝ ∂t ⎠ ë ®©y Δ = ∂ 2 / ∂x 2 + ∂ 2 / ∂y 2 + ∂ 2 / ∂z 2 lµ ký hiÖu cña to¸n tö Laplace, vµ g vector gia tèc träng tr−êng. Ph−¬ng tr×nh Navier-Stokes (2.31) biÓu thÞ sù b¶o toµn ®éng l−îng cña chÊt láng. Sè h¹ng ®Çu tiªn trong ngoÆc ®¬n ë vÕ tr¸i cña ph−¬ng tr×nh nµy biÓu thÞ tèc ®é biÕn ®æi ®Þa ph−¬ng cña ®éng l−îng, sè h¹ng thø hai biÓu thÞ tèc ®é biÕn ®æi cña ®éng l−îng g©y ra do 17
b×nh l−u (hay ®èi l−u); sè h¹ng thø nhÊt ë vÕ ph¶i biÓu thÞ sù biÕn ®æi cña ®éng l−îng g©y ra bëi ¸p suÊt, sè h¹ng thø hai biÓu thÞ sù khuyÕch t¸n ®éng l−îng g©y ra bëi ®é nhít, vµ sè h¹ng cuèi cïng biÓu thÞ sù thay ®æi cña ®éng l−îng g©y ra bëi träng lùc. C¸c ph−¬ng tr×nh Navier-Stokes cho c¸c thµnh phÇn vËn tèc dßng ch¶y theo c¸c h−íng (2.30) cïng víi ph−¬ng tr×nh liªn tôc (2.11) t¹o nªn mét hÖ bèn ph−¬ng tr×nh cho bèn Èn dïng ®Ó m« t¶ dßng ch¶y: ba thµnh phÇn vËn tèc dßng ch¶y theo ba h−íng vµ ¸p suÊt. §èi víi c¸c bµi to¸n c¬ häc chÊt láng nãi chung, mËt ®é cña chÊt láng còng lµ nh÷ng ®¹i l−îng ch−a biÕt vµ cÇn ph¶i ®−îc x¸c ®Þnh dùa trªn ph−¬ng tr×nh tr¹ng th¸i. Tuy nhiªn, trong c¸c bµi to¸n vÒ sãng giã, mËt ®é n−íc cã thÓ xem lµ kh«ng ®æi. 2.5.4 ChÊt láng lý t−ëng Mét chÊt láng cã ®é nhít b»ng kh«ng ®−îc gäi lµ chÊt láng lý t−ëng. §èi víi lo¹i chÊt láng nµy, ph−¬ng tr×nh liªn tôc vµ ph−¬ng tr×nh ®éng l−îng cã thÓ ®−îc viÕt nh− sau: ∂ρ ∂ (ρu i ) = 0 + (2.32) ∂t ∂xi ⎛ ∂u i ⎞ ∂u i ⎟ = − ∂p + ρg i ρ⎜ +uj (2.33) ⎜ ⎟ ⎝ ∂t ∂x j ∂xi ⎠ Ph−¬ng tr×nh (2.33) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh Euler cña dßng ch¶y. Trong c¸c bµi to¸n vÒ sãng, lo¹i trõ sãng vì gÇn bê, sãng gÇn c«ng tr×nh vµ sãng trong n−íc rÊt n«ng, ¶nh h−ëng cña ®é nhít lµ cã thÓ bá qua vµ n−íc ®−îc coi lµ chÊt láng lý t−ëng. §èi víi nh÷ng vÊn ®Ò thuéc ®éng lùc sãng, n−íc cã thÓ ®−îc coi lµ kh«ng nÐn ®−îc vµ nh− vËy c¸c ph−¬ng tr×nh (2.32) vµ (2.33) trë thµnh: ∂u i =0 (2.34) ∂xi ∂u i ∂u 1 ∂p +uj i = − + gi (2.35) ρ ∂xi ∂t ∂x j ChuyÓn ®éng cña chÊt láng lý t−ëng cã thÓ coi lµ kh«ng xo¸y mÆc dï trong thùc tÕ nã cã thÓ quay víi mét tèc ®é quay kh«ng ®æi. Trong tr−êng hîp nµy, nÕu ta xem xÐt mét h¹t láng h×nh cÇu, ta thÊy r»ng tÊt c¶ c¸c lùc lµ g©y ra bëi ¸p suÊt vµ träng lùc mµ kh«ng cã lùc g©y ra do biÕn d¹ng c¾t. Nh− vËy, tÊt c¶ c¸c lùc ph¶i t¸c dông theo h−íng vµo t©m cña h¹t láng vµ kh«ng cã lùc nµo g©y ra (hay buéc dõng l¹i) chuyÓn ®éng quay. §iÒu kiÖn kh«ng cã chuyÓn ®éng quay ®−îc biÓu thÞ nh− sau: ∂u i ∂u j − =0 (2.36) ∂x j ∂xi 18
Khi mét chuyÓn ®éng lµ kh«ng xo¸y, cã thÓ biÓu thÞ dßng ch¶y b»ng thÕ vËn tèc Φ , ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau: ∂Φ ui = (2.37) ∂xi Thay thÕ ph−¬ng tr×nh (2.37) vµo (2.36) cho thÊy r»ng ®iÒu kiÖn kh«ng xo¸y ®−îc tù ®éng tháa m·n. Ng−îc l¹i, thÕ vËn tèc tån t¹i chØ khi nµo dßng ch¶y lµ kh«ng xo¸y. TiÕp tôc, ta gi¶ thiÕt r»ng ngoµi tÝnh kh«ng nhít, chÊt láng lµ kh«ng nÐn ®−îc. Khi ®ã ph−¬ng tr×nh liªn tôc biÓu thÞ ph©n kú b»ng kh«ng: ∂ui =0 (2.38) ∂xi ThÕ (2.37) vµo (2.38) cho ta: ∂ 2Φ = ΔΦ = 0 (2.39) ∂xi2 Ph−¬ng tr×nh nµy ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh Laplace's. Bµi to¸n dßng ch¶y kh«ng nhít ®· trë thµnh bµi to¸n víi mét ph−¬ng tr×nh cho mét Èn lµ thÕ vËn tèc Φ . H¬n n÷a, ph−¬ng tr×nh nµy lµ tuyÕn tÝnh trong khi hÖ ph−¬ng tr×nh ban ®Çu lµ phi tuyÕn. Nh− vËy, c¸c gi¶ thiÕt (hay phÐp xÊp xØ) vÒ tÝnh kh«ng xo¸y vµ tÝnh kh«ng nÐn ®−îc ®· cho ta nh÷ng ®¬n gi¶n hãa v« cïng lín. Mét khi ®· biÕt thÕ vËn tèc b»ng c¸ch gi¶i ph−¬ng tr×nh (2.39), ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cho phÐp ta tÝnh ®−îc ¸p suÊt. ThÕ ®Þnh nghÜa cña thÕ vËn tèc, ph−¬ng tr×nh (2.37) vµo ph−¬ng tr×nh (2.35) cho ta: ∂ ∂Φ ∂Φ ∂ 2 Φ 1 ∂p + =− + gi (2.40) ρ ∂xi ∂t ∂xi ∂x j ∂xi ∂x j Sè h¹ng thø hai cña ph−¬ng tr×nh (2.40) cã thÓ ®−îc biÓu thÞ lµ: ∂ ⎛ 1 ∂Φ ∂Φ ⎞ uu ∂Φ ∂ 2 Φ ⎟= ∂ j j ⎜ = (2.41) ∂x j ∂xi ∂x j ∂xi ⎜ 2 ∂x j ∂x j ⎟ ∂xi 2 ⎝ ⎠ Chó ý r»ng u j u j = u12 + u 2 + u 3 = u 2 vµ gia tèc träng tr−êng chØ cã mét thµnh phÇn 2 2 theo ph−¬ng th¼ng ®øng, sau khi ®· thay ®æi thø tù ®¹o hµm, ph−¬ng tr×nh (2.40) cã thÓ ®−îc viÕt l¹i d−íi d¹ng: ⎛ ∂Φ 1 2 p ⎞ ∂ ⎜ ⎜ ∂t + 2 u + ρ + gz ⎟ = 0 (2.42) ⎟ ∂xi ⎝ ⎠ Ph−¬ng tr×nh (2.42) chØ ra r»ng ®¹i l−îng trong ngoÆc ®¬n lµ kh«ng thay ®æi theo c¸c 19
täa ®é kh«ng gian. Nh− vËy, nÕu nh− cã biÕn ®æi, nã chØ cã thÓ lµ hµm cña thêi gian ∂Φ 1 2 p + u + + gz = f (t ) (2.43) ρ ∂t 2 NÕu chuyÓn ®éng lµ dõng, vÕ ph¶i cña ph−¬ng tr×nh nµy trë thµnh h»ng sè. Ta cã thÓ lÊy h»ng sè ®ã b»ng kh«ng vµ rót ra ®−îc ph−¬ng tr×nh sau: 12 p u + + gz = 0 (2.44) ρ 2 Ph−¬ng tr×nh nµy ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh Bernoulli, ®−îc rót ra víi c¸c gi¶ thiÕt (1) chÊt láng kh«ng nÐn ®−îc, (2) dßng ch¶y kh«ng xo¸y, vµ (3) dßng ch¶y dõng. Víi hÇu hÕt c¸c dßng ch¶y, ®iÒu kiÖn kh«ng xo¸y cã nghÜa lµ kh«ng cã øng suÊt c¾t vµ nh− vËy kh«ng cÇn ®iÒu kiÖn lµ dßng ch¶y kh«ng cã ma s¸t. Víi nh÷ng giíi h¹n nµy, ph−¬ng tr×nh (2.44) lµ mét ph−¬ng tr×nh cho mét ®iÓm (ng−îc víi ph−¬ng tr×nh d¹ng tÝch ph©n ¸p dông cho mét thÓ tÝch), bëi v× nã ®−îc rót ra tõ mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n vµ ®−îc ¸p dông cho tÊt c¶ c¸c ®iÓm trong tr−êng dßng ch¶y. 20