Giáo trình Toán cao cấp A3: Phần 1 - TS. Đỗ Văn Nhơn (biên soạn)

Chia sẻ: Hoa La Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:67

Thêm vào BST

Báo xấu

454
lượt xem 94
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Toán cao cấp A3 của TS. Đỗ Văn Nhơn (biên soạn) gồm 6 chương, được chia thành 2 phần. Phần 1 giới thiệu đến bạn đọc nội dung từ chương 1 đến chương 3 về các vấn đề như: Số phức, ma trận và hệ phương trình tuyến tính, định thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Toán cao cấp A3: Phần 1 - TS. Đỗ Văn Nhơn (biên soạn)

Chương 1 SỐ PHỨC I. ĐỊNH NGHĨA TẬP HỢP SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN: Tập hợp các số phức , được ký hiệu là C, được định nghĩa bởi tập hợp. với 2 phép toán cộng (+) và nhân (.) như sau: Phép cộng (+) : (a,b) + (c,d)= (a+c,b+d) Phép nhân (.): (a,b) . (c,d) = (ac-bd, ad+bc) Như vậy mỗi số phức Z theo định nghĩa là một cặp gồm 2 số thực a và b : Z = (a,b) a được gọi là phần thực của số phức Z, ký hiệu là Re(z); b được gọi là phần ảo của Z, kí hiệu là Im(z). Ví dụ: số phức z = (-2,3) có Re(z) = -2 và Im(z) = 3 Các phép toán cộng (+) và nhân (.) các số phức được định nghĩa ở trên có các tính chất sau đây:
(tính giao hoán của phép cộng số phức) (tính kết hợp của phép cộng) (iii) Đặt O=(0,0). Ta có: (iv) Với z = (a,b), đặt –z = (-a,-b) . Ta có: z + (-z) = 09; (Tính giao hoán cuả phép nhân) (Tính kết hợp của phép nhân) (viii) tồn tại số phức nghịch đảo, ký hiệu là: z-1 , sao cho z.z-1 = (1,0). Nếu z = (a,b) thì (Tính phân phối của phép nhân đối với phép cộng)
Lưu ý :Về mặt cấu trúc đại số , tập số phức C với các phép toán (+) và nhân (.) được định nghĩa ở trên được gọi là "trường số phức" Với u = (a,b) và v = (c,d ) ≠ 0, ta định nghĩa phép chia số phức như sau: II. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC : Xét các số phức có dạng (a , 0) với ta nhận thấy: (a , 0) + (b , 0) = (a + b , 0) (a , 0) . (b , 0) = (a . b , 0) Như vậy, những số phức có dạng (a , 0) được cộng và nhân giống như những số thực tương ứng đối với phần thực của số phức. Do đó ta có thể đồng nhất số phức (a,0) với số thực a, và nói riêng (0,0) được đồng nhất với 0 , (1,0) được đồng nhất với 1. Sự đồng nhất này cho phép ta xem tập hợp các số thực R bao hàm trong C : Đặt: i = (0 , 1), ta có: i2= (0 , 1) . (0 , 1) = (-1 , 0) = -1 Vậy i là một nghiệm của phương trình z2 + 1= 0. Với , ta có: z = (a,b) = (a ,0) + (b ,0) . (0 ,1) = a + b . i
Định lý: Mỗi số phức z = (a,b) được viết một cách duy nhất dưới dạng z = a+b.i với a,b  R. Cách viết z = (a ,b) dưới dạng z = a + b.i được gọi là dạng đại số của số phức z, và số phức được gọi là số phức liên hợp của z. Ngoài ra, kí hiệu : được gọi là môđun của số phức z. Dễ thấy rằng và . Hơn nữa, ta có: Mệnh đề: với mọi ta có: (vi) v ≠ 0 thì (Bất đẳng thức tam giác)
III. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC: Mỗi số phức z = (a,b) có thể được biểu diễn hình học bởi một điểm trong mặt phẳng Oxy có tọa độ (a,b). Gọi r là khoảng cách từ điểm Z(a,b) đến gốc O và  là góc hợp bởi Ox và , ta có: Vậy với mọi số phức z = (a,b) ≠ 0 đều có thể viết dưới dạng: Với r > 0. Cách viết này được gọi là dạng lượng giác của số phức z, góc θ được ký hiệu là arg(z). Lưu ý rằng θ có thể lấy nhiều giá trị khác nhau và các giá trị này sai khác nhau một số nguyên lần .Nếu θ là một giá trị trong các giá trị này thì ta viết: Ví dụ: 2) Tìm dạng lượng giác của số phức
Ta có: . Tính arg(z) từ hệ phương trình với ẩn Được . Vậy: IV. LŨY THỪA SỐ PHỨC, CÔNG THỨC MOIVRE: Xét 2 số phức ≠ 0 ở dạng lượng giác: Ta có: Tức là:
Từ đó suy ra công thức: Công thức này được gọi là công thức Moivre Ví dụ: Tính (1 + i )2001 V. CĂN CỦA SỐ PHỨC: Định nghĩa : Cho số phức u và n là số nguyên dương. Căn bậc n của u là tập hợp tất cả các số phức z thỏa phương trình: zn = u Nhận thấy rằng căn bậc n của 0 là {0}.Ta chỉ cần tính căn bậc n của n với u ≠ 0. Viết u dưới dạng lượng giác:
Ta sẽ tìm số phức z ở dạng lượng giác Thỏa: Vậy căn bặc n của là: Có thể thấy rằng tập hợp này gồm n số phức khác nhau đôi một ứng với k = 0,1,……, n-1 Theo tính toán ở trên, với thì phương trình zn = u có n nghiệm phức phân biệt. Tổng quát hơn, ta có định lý sau đây: Định lý: (Định lý căn bản của đại số) Mọi đa thức bậc lớn hơn hoặc bằng 1 với hệ số phức đều có nghiệm phức.
BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Bài 1. Thực hiện các phép toán số phức a) b) c) Bài 2. Tìm các số thực x , y thỏa : (3 + 2.i).x + (1 + 3.i).y = 4 – 3.y Bài 3. Tính: a) b) b) d) Bài 4. Giải phương trình trên C : (ẩn z) a)z2 – 5.z + 4 + 10.i = 0 b)z2 + (2.i - 7).z + 13 – i = 0 Bài 5. Tính căn bậc 3 cuả số phức:
a) 1 + i b) 2 – 2.i c)
Chương 2 MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I. MA TRẬN CÁC PHÉP TOÁN: Trong phần này ta ký hiệu K là Q , R hoặc C 1. Khái niệm: Định nghĩa: Một ma trận cấp m x n trên K là một bảng gồm m x n phần tử trong K được viết thành m dòng và n cột như sau: Trong đó là phần tử ở vị trí dòng i, cột j của ma trận A (còn gọi là vị trí (i,j)). Đôi khi ma trận A được viết ngắn gọn là A=(ai j). Tập hợp tất cả các ma trận cấp m x n trên K được ký hiệu là Mm x n(K), hay vắn tắt là Mm x n . Ví dụ Với Nếu m = n thì ma trận A có cấp m x n được gọi là ma trận vuông cấp n .Khi đó đường chứa các phần tử a11, a22, . . ,ann được gọi là đường chéo chính (hay đường chéo) cuả ma trận A. Tập hợp tất cả
các ma trận vuông cấp n trên K được ký hiệu là Mn(K) hay vắn tắt là Mn. Ma trận cấp mxn mà tất cả các phần tử đều bằng 0 được gọi là ma trận zero, ký hiệu là Omxn (hay vắn tắt là O). Định nghĩa: (Các ma trận vuông đặc biệt ) Cho A= (aij) là một ma trận vuông cấp n. (i) Ta nói A là ma trận chéo khi aij = 0 i ≠ j ,nghiã là tất cả các phần tử ở bên ngoài đường chéo cuả A đều bằng 0. (ii) Nếu aij = 0 i >j (nghĩa là mọi phần tử ở phía dưới đường chéo đều là 0) thì A được gọi là ma trận tam giác trên. Nếu aij = 0,  i
2. Các phép toán ma trận: Trong mục này sẽ định nghĩa các phép toán ma trận và phát biểu (không chứng minh) các tính chất của phép toán. Sự bằng nhau: Hai ma trận A = (aij) và B = (bij) có cấp được nói là bằng nhau khi aij = bij,  i,j. Khi đó ta viết: A=B. Phép cộng ma trận: Cho A, B Mm x n (K), với A = (aij) và B= (bij). Tổng của hai ma trận A và B được định nghĩa bởi: A + B = (aij + bij) Ví dụ: Tính chất: Với mọi (i) A + B = B + A (ii) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (iii) A + 0 = A (iv) Nếu A = (aij) và đặt –A = (-aij) thì ta có: A + (-A) = (-A) +A = 0 Tổng A + (-B) được viết bởi A - B
Phép nhân một số với ma trận: Cho A = (aij) và   K. Phép nhân  với A được định nghĩa bởi:  . A = ( . aij) Ví dụ: Tính chất: Cho  ,  K và A,B  Mm x n(K). Ta có: (i) ( .  ) . A =  . ( . A) (ii) ( +  ) . A =  . A +  . A (iii)  . (A + B) =  . A +  . B Phép nhân 2 ma trận: Cho A = (aij)  Mm x n(K) và B Mn x p(K). Tích của hai ma trận A và B, ký hiệu A . B, là một ma trận C = (cij)  Mm x p(K) được xác định bởi : Lưu ý: Phần tử cij của ma trận tích được tính từ các phần tử ở dòng i của A và các phần tử cột j của B. Ta thường nói cij bằng dòng i của A nhân với cột j của B. Phép nhân ma trận không có tính giao hoán.
Ví dụ: Tính chất: Với A, B, C, tùy ý (sao cho phép toán có nghĩa) ta có: (i) A .( B . C ) = (A . B) .C (ii) A . 0 = 0 , 0 . B = 0 (iii) A . I = A , I . B = B. (iv) A . ( B  C ) = A . B  A . C (v) ( B  C ) . A = B . A  C . A (vi)  . ( A . B ) = (  . A ).B = A.(  . B ),   k Luỹ thừa ma trận. Cho A là một ma trận vuông cấp n và m  N. Ta gọi luỹ thừa m cuả A là ma trận cấp n, ký hiệu Am , được định nghĩa như sau: A0 = I , A1 = A , A2 = A.A , … , Am = Am-1.A Ví dụ :
thì và . Ta có và Tính chất: (i) 0m = 0,  m  1 (ii) Im = I ,  m  N (iii) Am . Ak = Am+k (iv) (Am)k = Am.k Mệnh đề: Giả sử A và B là các ma trận vuông giao hoán với nhau, nghĩa là A.B = B.A. Khi đó : (i) (A.B)m = Am.Bm (ii) Am - Bm = (A – B) (Am-1 + Am-2 . B + …+ Bm-1)
(iii) (A + B)m= Trong đó Phép chuyển vị ma trận: Cho A = (aij)  Mm x n(K). Chuyển vị của ma trận A là một ma trận (bij) Mm x n(K) sao cho: bij = aij ,  i,j Ký hiệu ma trận chuyển vị trí của A là At Ví dụ: thì Tính chất: (i) (At)t = A (ii) At = Bt  A = B (iii) (A + B)t = At + Bt (iv) (AB)t = Bt . At 3. Các phép biến đổi sơ cấp:
Trong mục này đề cập đến các biến đổi trên ma trận được gọi là các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Ta cũng nêu lên một số dạng ma trận đặc biệt và định nghĩa khái niệm hạng của ma trận. Định nghĩa: (Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng) Cho ma trận A  Mm x n(K). Một phép biến đổi e trên ma trận A để được ma trận A’, ký hiệu , được gọi là một phép biến đổi sơ cấp trên dòng nếu phép biến đổi e thuộc 3 loại sau đây: Loại 1: Hoán vị 2 dòng r và s. Ta viết: Loại 2: Nhân dòng r với một số . Ta viết: Loại 3: Thay dòng r bởi (dòng r + c . dòng s) với .Ta thường nói là lấy dòng r cộng c lần dòng s, và viết: Ví dụ:
Lưu ý: Nếu e là một phép biến đổi sơ cấp trên dòng thì có phép biến đổi sơ cấp trên dòng e’cùng loại với e sao cho:  Định nghĩa: (Sự tương đương dòng) Ta nói ma trận A là tương đương dòng với ma trận B khi B có được từ A bằng một số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng: Kí hiệu: A  B. Mệnh đề:Quan hệ tương đương dòng có các tính chất sau đây: (i) A  A (tính phản xạ) (ii) Nếu A  B thì B  A (tính đối xứng) (iii) Nếu A ~ B và B  C thì A  C (tính bắc cầu) Chú ý: Ta cũng có định nghĩa các phép biến đổi sơ cấp trên cột tương tự như định nghĩa các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Ví dụ: