Giáo trình Toán cao cấp - Giải tích: Phần 2

Chương VI :<br /> TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH<br /> <br /> I. Nguvẽn hàm - Tích phân bất đỉnh :<br /> 1. Đính nghĩa : Cho các hàm sô" / , F xác định trên [a,b].<br /> F được gọi là một nguyên hàm của / trong (a,b) nếu<br /> Ff(x)<br /> <br /> = f(x )<br /> <br /> , Vx<br /> <br /> E<br /> <br /> (a,b)<br /> <br /> F gọi là nguyên hàm của f trên [a,b] nếu :<br /> F'{x) = f ( x ) , Vx G (a,b)<br /> và<br /> <br /> F'(a+) = f(a),F'(b-) = f(b)<br /> <br /> Ví du :<br /> • cosx là nguyên hàm của sinx vì (—cosxỴ = sỉnx .<br /> —cos X + 7 cũng là nguyên hàm của sin X .<br /> • —<br /> 3<br /> <br /> ----5 ,^ ----- c là<br /> 3<br /> 3<br /> X<br /> <br /> /<br /> 3><br /> <br /> những<br /> <br /> nguyên hàm của<br /> <br /> /<br /> <br /> (<br /> <br /> X2<br /> <br /> vì :<br /> <br /> 3<br /> <br /> = - - C<br /> —- - 5<br /> 3J<br /> 3<br /> J<br /> >3<br /> ,<br /> <br /> 2. Đinh lv :<br /> <br /> Nếu hàm số / liên tục trên [a, b] thì / có<br /> <br /> nguyên hàm trên [a, b].<br /> 3. Đinh Iv : Giả sử F là nguyên hàm của / trong (a,b). Khi<br /> đó ta có :<br /> i) F + c (C là hằng số) cũng là một nguyên hàm của / trong<br /> (a,b)<br /> <br /> 119<br /> <br /> ii) Nếu G cũng là một nguyên hàm của / trong (a,b) thì tồn<br /> tại hằng số c sao cho<br /> G(x) = F(x) + c<br /> <br /> Vx G (a,b)<br /> <br /> Chứng minh :<br /> i) (F(x) + C)’ = F(x) = f(x), Vx e (a, b)<br /> => F + c là một nguyên hàm của / trong (a,b)<br /> ii) [G(x) - F(x)]’ = G’(x) - F’(x) = f(x) - f(x) = 0, Vx e (a,b)<br /> =>3CeM:<br /> <br /> G(x) - F(x) = c, Vx<br /> <br /> G<br /> <br /> (a,b)<br /> <br /> => G(x) = F(x) + c, Vx e (a,b)<br /> Ghi chú :<br /> • Định lý trên vẫn đúng nếu thay (a,b) bằng [a,b]<br /> • Nếu / có một nguyên hàm thì / có vô số nguyên hàm và<br /> hai nguyên hàm bất kỳ của cùng một hàm thì sai khác nhau<br /> một hằng sô".<br /> 4. Đinh nghĩa : Tập hợp tất cả những nguyên hàm của / trên<br /> [a,b] được gọi là tích phân bất định của Ị trên [a, b], ký hiệu<br /> : J f(x)dx<br /> Nếu F là một nguyên hàm của / thì J* f(x)dx =F(z) + c<br /> II.Tính chất cửa tích phân bất đinh :<br /> Cho / , g là các hàm số có nguyên hàm trong (a,b). Khi đó :<br /> i)<br /> <br /> A / /(x)dx = ( / /(x)dx)<br /> <br /> ii)<br /> <br /> d j* f(x)dx =f(x)á x<br /> <br /> 120<br /> <br /> = f( x )<br /> <br /> iii) J (f(x) ± g(x)) dx = J f(x)dx ± J g(x)dx<br /> iv) J*kf(x)dx = k J f ( x ) d x , k e l<br /> <br /> Hệ quả : j ị ^ k tft(x)dx = ¿ f c , J ^(a;)ác<br /> Í=1<br /> Í=1<br /> v) Nếu F’(x) = f(x) thì<br /> f F'(x)dx = J d F ( x ) = F ( x ) + c = J f(x)dx<br /> và Ị f ( y ) d y = F( y ) + c , / / ( í ) á í = F( t ) + C , ...<br /> <br /> Chứng minh: Dành cho độc giả (suy ra từ tính chất đạo hàm).<br /> III. Các công thức tích phản bất đinh cơ bần :<br /> 1.<br /> <br /> Ịo d x =<br /> <br /> 2.<br /> <br /> J adx = ax + c<br /> <br /> c<br /> <br /> n+1<br /> <br /> a;<br /> <br /> 4.<br /> <br /> + c (n * -1)<br /> <br /> f — = lnlrcl 4- c<br /> <br /> J X<br /> <br /> (vì (ln 1^1 + c y<br /> <br /> (ln a;/<br /> <br /> (a: > 0 )<br /> <br /> ln(—a;)/<br /> <br /> (x < 0)<br /> (x > 0 )<br /> <br /> _ 1 _ _ 1_<br /> —X<br /> <br /> 5.<br /> <br /> = -, x*0 )<br /> (x < 0 )<br /> <br /> X<br /> <br /> f exdx = e x + c<br /> <br /> 121<br /> <br /> X<br /> <br /> f a'dx = —<br /> <br /> 6.<br /> <br /> J<br /> <br /> + c (v ii— ] = a x)<br /> <br /> In a<br /> <br /> 7. J* sin xdx = —cos X +<br /> <br /> c<br /> <br /> 8.<br /> <br /> J^cosxdx = sinz + c<br /> <br /> 9.<br /> <br /> f —^ =- Jf<br /> COS2 re<br /> X J<br /> J cos<br /> <br /> 10. f<br /> <br /> J<br /> .. f<br /> 11<br /> 12<br /> <br /> dx<br /> <br /> •^ 2<br /> sin<br /> re<br /> X<br /> <br /> = f<br /> J «J<br /> <br /> dx<br /> l + x2<br /> <br /> •J<br /> <br /> (1<br /> <br /> (1<br /> <br /> una,<br /> <br /> + tg 2:r)cfo: =<br /> <br /> tgx 4 - c<br /> <br /> + cotg 2a;)d:r = —cotgrc + c<br /> .<br /> <br /> . «<br /> <br /> dx<br /> <br /> -n + 1<br /> <br /> 13.<br /> <br /> J Í<br /> <br /> JI -- —=<br /> <br /> J 2>/x<br /> <br /> —71+<br /> <br /> /■<br /> <br /> +c=<br /> 1<br /> <br /> — + C(n*l)<br /> <br /> (n —1 )2;<br /> <br /> y/x + c<br /> <br /> ,. T’ ,<br /> f sinx C-d(cosx)<br /> , ,<br /> 14. I tgxdx - I ——— ax = I — 1------- = —In Icos x\ -f u<br /> J<br /> J cosa;<br /> J<br /> cosx<br /> 15.<br /> <br /> f cotgardrr = f CQS—¿ừ = f ^(sm£l —ln|sin:c| + c<br /> J sin x<br /> <br /> J<br /> <br /> 16 I æ-2<br /> <br /> J<br /> <br /> = arcsin — -f c<br /> X2<br /> <br /> \a\<br /> <br /> 122<br /> <br /> sin x<br /> <br /> 18<br /> <br /> 1 9 .<br /> <br /> J<br /> <br /> yjx2 4 - b<br /> <br /> r<br /> <br /> rf*<br /> <br /> J<br /> <br /> dx<br /> <br /> X<br /> <br /> -<br /> <br /> — In X -ị- y j x ¿<br /> <br /> a<br /> <br /> .L in<br /> <br /> X —a<br /> <br /> 2a<br /> <br /> X<br /> <br /> +<br /> <br /> a<br /> <br /> b 4" c<br /> <br /> + c (a * 0 )<br /> <br /> 1<br /> <br /> 20<br /> <br /> '• J\ t( xt- -az) (x<br /> <br /> X -b<br /> <br /> — b)<br /> <br /> b — a<br /> <br /> 21. f y/a2 —<br /> J<br /> <br /> x 2d x —<br /> <br /> —yja2 —<br /> <br /> 22 .<br /> <br /> x 2d x<br /> <br /> AJ a 2 +<br /> <br /> X<br /> <br /> X2<br /> <br /> 2<br /> <br /> —a<br /> <br /> + c (a * b)<br /> <br /> -f —arcsin— 4- c (a * 0)<br /> 2<br /> \a\<br /> <br /> = — a/ « 2 + Æ2 + —<br /> <br /> In<br /> <br /> a; +<br /> <br /> y[aF+~x:<br /> <br /> IV. Vài ví du :<br /> X4<br /> <br /> — 5æ:* — X 2<br /> <br /> X2 +<br /> <br /> + 3x + 7<br /> <br /> K<br /> <br /> = I IX2 —5x —2 4*•><br /> 3<br /> <br /> dx<br /> <br /> 1<br /> <br /> 5x2<br /> <br /> Sx + 9'<br /> z2+ l j<br /> <br /> dx<br /> <br /> if<br /> <br /> &<br /> <br /> ÎÏ& + 9 L<br /> J U 2+lJ<br /> <br /> 2<br /> <br /> X3 5x 2<br /> f 4.2xdx<br /> f dx<br /> = - - ~ ---- 2 a: +<br /> "T ~.~ r + 9<br /> 2 7 3<br /> 2<br /> J Æ -f 1<br /> J Æ -ị- 1<br /> ——<br /> 3<br /> 2<br /> a;3<br /> ~3<br /> <br /> 5x2<br /> 2~<br /> <br /> —2z + 4 f i í í ĩ l ì l ì _|_ g arctg X<br /> J X2 + 1<br /> 2# -f- 4 ln(x 2 4-1) + 9arctgÆ -f c<br /> <br /> ____<br /> <br /> b.<br /> <br /> J*(x2 -f x)yjx-jxdx<br /> <br /> 1 1<br /> <br /> =<br /> <br /> J*(x2 + x)x2x Adx<br /> 123<br /> <br />