Giáo trình Toán cao cấp: Phần 1 - Trường ĐH Kinh tế Nghệ An

Chia sẻ: Minh Quan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:92

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Toán cao cấp: Phần 1 cung cấp cho người học những kiến thức như: Tập hợp và quan hệ; Hàm số và giới hạn; Đạo hàm và vi phân; Phép toán tích phân. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Toán cao cấp: Phần 1 - Trường ĐH Kinh tế Nghệ An

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH NGHỆ AN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP LƯU HÀNH NỘI BỘ - 1 -
ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH NGHỆ AN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN Th.S Trần Hà Lan GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP LƯU HÀNH NỘI BỘ - 2 -
LỜI NÓI ĐẦU Toán học được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống, xã hội. Các bài toán trong kinh tế, kế toán, các bài toán trong khoa học kỹ thuật, đã được giải nhằm phục vụ lợi ích con người. Toán học đóng vai trò quan trọng trong việc diễn tả các quy luật kinh tế. Trên thế giới toán học được ứng dụng trong nghiên cứu kinh tế ngày càng nhiều. Một ngành học được hình thành dựa trên sự kết hợp của hai ngành toán học và kinh tế học: Ngành kinh tế toán. Chính vì lý do đó, sinh viên các trường kinh tế đòi hỏi phải biết các kiến thức toán ngày càng một nhiều hơn và phải biết sử dụng các kiến thức đó để phân tích kinh tế, phân tích tình huống và nghiên cứu kinh tế. Để kịp thời phục vụ việc học tập của sinh viên, Khoa cơ sở - Trường Đại học Kinh tế Nghệ An đã tổ chức biên soạn cuốn giáo trình Toán cao cấp. Đây là giáo trình dùng chung cho hệ Cao đẳng và hệ Đại học, dựa vào chương trình giảng dạy bộ môn Khoa học tự nhiên – Khoa cơ sở có thể lựa chọn nội dung giảng dạy phù hợp với trình độ của mỗi hệ đào tạo. Trong giáo trình này, chúng tôi cố gắng trình bày kiến thức toán thật đơn giản nhưng không phá vỡ tính liên tục, tính hệ thống của chúng. Những khái niệm Toán học cơ bản, những phương pháp cơ bản, những kết quả cơ bản của các chương đều được trình bày đầy đủ. Một số định lý không được chứng minh, nhưng ý nghĩa của những định lý quan trọng được giải thích rõ ràng, nhiều ví dụ minh họa được đưa ra. Giáo trình gồm 9 chương: Chương 1: Tập hợp và quan hệ Chương 2: Hàm số và giới hạn Chương 3: Đạo hàm và vi phân Chương 4: Phép toán tích phân Chương 5: Hàm số nhiều biến số Chương 6: Phương trình vi phân - 3 -
Chương 7: Không gian vectơ Chương 8: Ma trận và định thức Chương 9: Hệ phương trình tuyến tính Chương 1 trình bày tóm tắt những nội dung bao quát, thuộc nền tảng toán học nói chung: tập hợp, các khái niệm cơ bản về phép toán hai ngôi trong tập hợp, khái niệm ánh xạ. Chương 2 trình bày những khái niệm cơ bản về hàm số và giới hạn, trong đó có nói đến việc sử dụng quan hệ hàm số để biểu diễn quan hệ giữa các biến số kinh tế. Chương 3, chương 4 có một số kiến thức đã được đề cập ở bậc phổ thông, những kiến thức này chúng tôi trình bày một cách chính xác và có mở rộng. Những kiến thức mới được trình bày gọn nhưng kỹ, nhằm giúp sinh viên dễ dàng lĩnh hội. Một vài ví dụ thực tế cũng được giới thiệu, qua đó sinh viên thấy được việc cần thiết phải nắm được những kiến thức cơ bản nhất của chương nhằm phục vụ cho việc học tập và nghiên cứu các môn học chuyên ngành. Chương 5 gồm những kiến thức mới chưa được học ở bậc phổ thông. Tên chương là “ Hàm số nhiều biến số ” nhưng nội dung chính trong chương cơ bản đề cập đến hàm số hai biến số. Chương 6 chủ yếu đề cập đến phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 và cấp 2. Mỗi dạng phương trình được nêu đều có các ví dụ minh họa để sinh viên biết cách giải khi nhận được dạng của phương trình. Chương 7 trình bày một số khái niệm cơ bản của không gian vectơ Chương 8, chương 9 trình bày những kiến thức cơ bản nhất về các khái niệm được nêu trong tên của chương. Các chương này gồm những kiến thức chưa được học ở bậc phổ thông nên được trình bày khá kỹ, sau mỗi mục đều có ví dụ minh họa nhằm giúp sinh viên nắm được kiến thức và tạo lập kỹ năng vận dụng kiến thức để làm bài tập. Cuốn giáo trình này được biên soạn trong thời gian ngắn, chắc chắn còn nhiều sai sót. Rất mong được sự góp ý của bạn đọc để cuốn sách ngày càng được hoàn thiện. Tác giả - 4 -
CHƯƠNG 1. TẬP HỢP VÀ QUAN HỆ 1.1. Tập hợp 1.1.1. Các khái niệm cơ bản 1.1.1.1. Tập hợp và phần tử Thuật ngữ “Tập hợp” được dùng rộng rãi trong toán học. Chúng ta thường nói về tập hợp các số nguyên, tập hợp các điểm trong mặt phẳng, tập hợp các nghiệm của phương trình, tập hợp các học sinh trong lớp học ... Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, nó được dùng làm cơ sở cho các khái niệm khác nhưng bản thân nó không được định nghĩa qua các khái niệm đơn giản hơn. Khi nói về tập hợp ta chỉ ra các đối tượng có tính chất nào đó. Chẳng hạn khi nói về tập hợp các số tự nhiên, các đối tượng của tập hợp là các số tự nhiên; khi nói về tập hợp các học sinh của một lớp học, các đối tượng của tập hợp là học sinh trong lớp học đó. Các đối tượng của tập hợp đã cho được gọi là các phần tử của tập hợp đó. Để phân biệt, ta gọi tên tập hợp bằng các chữ in hoa A, B, C  và ký hiệu các phần tử bằng các chữ in thường a, b, c  Để nói rằng a là một phần tử của tập hợp A ta dùng ký hiệu: a  A (đọc là: “ a thuộc A ”). Ngược lại nếu a không phải là phần tử của tập hợp A thì viết: a  A (đọc là “ a không thuộc A ”). Ví dụ 1.1: Ở trong chương trình phổ thông ta đã biết các tập hợp sau: Tập hợp  các số tự nhiên; Tập hợp  các số nguyên; Tập hợp  các số hữu tỉ; Tập hợp  các số thực. Cho tập hợp A nghĩa là xác định tất cả các phần tử của nó. Có hai cách cho tập hợp: Cách 1: Cho tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp. Ví dụ 1.2: +) Nếu A là tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 6 thì ta viết: A = {1; 2; 3; 4; 5}. +) Có thể liệt kê các phần tử của tập hợp  các số tự nhiên và tập  các số nguyên như sau:  = { 0; 1; 2; 3  }. - 5 -
 = { 0; 1; 2; 3  }. Cách 2: Cho tập hợp bằng cách chỉ ra tính chất của các phần tử của nó. Nếu P(x) là mệnh đề chỉ tính chất của x và A là tập hợp các phần tử x có tính chất P(x) thì ta viết: A   x p ( x) . Ví dụ 1.3: +) Nếu A là tập hợp tất cả các số nguyên chẵn thì ta viết: A   n  Z n ch½n . +) Có thể mô tả tập hợp  các số hữu tỉ như sau: p     p, q  Z ; q  0  . q  Nếu A là tập hợp hữu hạn, tức là có thể liệt kê tất cả các phần tử của nó thì ta ký hiệu A là số phần tử của tập hợp A. 1.1.1.2. Tập rỗng Tập A được gọi là tập rỗng nếu nó không chứa phần tử nào. Có duy nhất một tập rỗng và được ký hiệu là . Như vậy || = 0. Viết A   (đọc là A không rỗng) nghĩa là A chứa ít nhất một phần tử. 1.1.1.3. Tập con và đẳng thức tập hợp +) Giả sử cho hai tập hợp A và B. Nếu mỗi phần tử của A cũng là phần tử của B thì ta nói A là tập con của B, ký hiệu A  B (đọc là A con B) hoặc B  A (đọc là B chứa A). +) Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau nếu A B và B  A, ký hiệu A = B. +) Nếu tập hợp A không bằng tập hợp B thì ta viết A  B. +) Tập A được gọi là tập con thật sự của tập hợp B nếu A  B nhưng A  B Quy ước: Tập hợp  là tập con của mọi tập hợp. 1.1.1.4. Biểu đồ Venn Để dễ hình dung về tập hợp và mối liên hệ giữa các tập hợp, người ta dùng các tập hợp điểm của mặt phẳng để minh họa. Thông thường ta xét các tập hợp phần tử của một tập hợp bao trùm, gọi là không gian hay vũ trụ. Tập không gia được mô tả bằng tập hợp các điểm của hình chữ nhật. Mỗi tập hợp trong không gian được minh họa bằng một tập hợp điểm giới hạn bằng một đường - 6 -
khép kín bên trong hình chữ nhật. Cách minh họa ước lệ như vậy được gọi là Biếu đồ Venn. Ví dụ, biểu đồ Venn ở hình dưới mô tả hai tập hợp A, B, trong đó A là tập con của B A B 1.1.2. Các phép toán trên tập hợp 1.1.2.1. Phép hợp và phép giao - Phép hợp Hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp mà mỗi phần tử của nó là phần tử của ít nhất một trong các tập hợp đó, ký hiệu A B. Như vậy: A  B ={x  A hoặc x  B}. Ví dụ 1.4: Cho hai tập hợp số A = {0; 1; 2; 3; 4}; B = {0; 1; 3; 5; 7}. Khi đó: A  B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 7}. - Phép giao Giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp mà mỗi phần tử của nó là phần tử của đồng thời thuộc cả hai tập hợp A và B, ký hiệu A  B. Như vậy: A  B ={x  A và x  B}. Ví dụ 1.5: Cho hai tập hợp số A = {0; 1; 2; 3; 4}; B = { 0; 1; 3; 5; 7}. Khi đó: A  B = {0; 1; 3}. - Các tính chất cơ bản của phép hợp và phép giao tập hợp +) Tính giao hoán A  B = B  A; A  B = B  A. - 7 -
+) Tính chất kết hợp A  (B  C) = (A  B)  C; A  (B  C) = (A  B)  C. +) Tính chất phân phối A  (B  C) = (A  B) (A  C); A (B  C) = (A  B)  (A  C). 1.1.2.2. Phép trừ tập hợp và phần bù của tập hợp - Hiệu của hai tập hợp Hiệu của tập hợp A và tập hợp B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc tập hợp A nhưng không thuộc tập hợp B, ký hiệu A\ B. Vậy: A\ B = { x  A và x  B }. Ví dụ 1.6: Cho A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}; B = {0; 2; 4; 6; 8}. Ta có: A\ B = { 1; 3; 5}. B \ A = { 6; 8}. - Phần bù của tập hợp Cho tập hợp E và A là tập con của E, nghĩa là A E. Lúc đó E\ A được gọi là phần bù của A trong E, ký hiệu A . Nhận xét: A  E; A = E \ A = A. Ví dụ 1.7: Trong tập hợp tất cả các số thực  , tập hợp các số vô tỉ là phần bù của tập hợp tất cả các số hữu tỉ. Định lý 1. (Định lý De Mocgan hay Nguyên lý đối ngẫu) Với mọi A  E; B  E, ta có A  B  A  B; A  B  A  B . Nghĩa là: - Phần bù của hợp của các tập hợp là giao của các phần bù của chúng. - Phần bù của giao của các tập hợp là hợp của các phần bù của chúng. Chứng minh: Ta chứng minh đẳng thức đầu còn đẳng thức sau tương tự Xét x  E, ta có: x  A  B  x  A  B  ( x  A và x  B )  ( x  A và x  B )  x  A  B; x  A  B  ( x  A và x  B )  ( x  Avà x  B )  x  A  B  x  A  B; Vậy: - 8 -
A B  A B. 1.2. Quan hệ 1.2.1. Tích Descartes - Tích Descartes của 2 tập hợp. Tích Descartes của hai tập hợp X và Y là tập hợp tất cả các cặp có thứ tự (x; y) trong đó x là một phần tử của tập X và y là một phần tử của tập Y. Tích Descartes của X và Y được gọi tắt là tích của X và Y. Ký hiệu tích của hai tập hợp X và Y là X  Y : X  Y   ( x; y ) x  X ; y  Y  Chú ý: Ký hiệu (x; y) chỉ một cặp có thứ tự : x là phần tử đứng trước, y là phần tử đứng sau. Với x và y là hai phần tử khác nhau thì (x; y) và (y; x) là hai cặp có thứ tự khác nhau. Từ hai tập hợp X và Y ta có hai tập tích X  Y và Y  X Ví dụ 1.8: Cho X = {1; 2}; Y = {3; x}. X  Y = {(1;3); (1;x); (2;3); (2;x)}; Y  X  (3;1);(3;2);( x;1);( x;2) X  X = {(1;1); (1;2); (2;1); (2;2)}. - Tích Descartes của n tập hợp. Tích Descartes của n tập hợp X1; X2; ; Xn là tập tất cả các bộ n phần tử có thứ tự (x1; x2; ; xn) trong đó xk là phần tử của tập hợp Xk ( k = 1; 2; …; n), ký hiệu là X 1  X 2    X n . X 1  X 2  X n  ( x1 ; x2 ; ; xn ) xk  X k ; k  1; n  . Tích đề các X  X    X (n lần) viết gọn là Xn. X  X  X  X n  ( x1 ; x2 ;; xn ) xk  X ; k  1; n . 1.2.2. Quan hệ. 1.2.2.1. Khái niệm quan hệ. Theo nghĩa thông thường, quan hệ trong một tập hợp là một tính chất đặc trưng hay một quy ước liên kết các phần tử của tập hợp đó. Quan hệ hai ngôi liên kết các phần tử theo từng cặp. Chẳng hạn, quan hệ hôn nhân trong cộng đồng người liên kết hai người có đăng ký kết hôn; quan hệ chia hết liên kết các số nguyên theo từng cặp ( p; q), trong đó p là số chia hết cho q. Một cách khái quát, một quan hệ hai ngôi trong tập hợp X là một quy tắc xác định những cặp phần tử ( x; y) có quan hệ với nhau theo quy tắc đó. Nếu xem mỗi cặp phần tử (x; y) của tập hợp X là một phần tử của tập tích X2 thì mỗi quan hệ xác định một - 9 -
tập hợp   X2. Ta có thể đồng nhất mỗi quan hệ trong tập hợp X với một tập con  của tập tích X2. Định nghĩa 1. Quan hệ hai ngôi trong tập hợp X là một tập con của tập hợp X2. Ví dụ 1.9: Trong tập hợp số thực  , quan hệ “không lớn hơn” là tập hợp: ( x; y ) : x  , y  , x  y   2 1.2.2.2. Quan hệ tương đương Cho   X2 là một quan hệ trong tập hợp X. Nếu ( x; y)  thì ta nói phần tử x có quan hệ  với phần tử y và viết xy. Định nghĩa 2. Một quan hệ  trong tập hợp X được gọi là quan hệ tương đương nếu nó có các tính chất sau: - Tính phản xạ: xx, xX ( mọi phần tử x của tập hợp X có quan hệ  với chính nó) - Tính đối xứng : xy thì yx ( nếu x có quan hệ  với y thì y cũng có quan hệ  với x ) - Tính bắc cầu: Nếu xy và yz thì xz (nếu x có quan hệ  với y và y có quan hệ  với z thì x có quan hệ  với z ) Ví dụ 1.10: Quan hệ “ x đồng dạng với y ” là một quan hệ tương đương trong tập hợp tất cả các tam giác. Quan hệ “ x là bạn của y ” trong tập hợp các sinh viên của một trường đại học không phải là quan hệ tương đươngvì quan hệ này không có tính bắc cầu. 1.2.2.3. Quan hệ thứ tự: Định nghĩa 3. Một quan hệ  trong tập hợp X được gọi là quan hệ thứ tự nếu nó có các tính chất sau: - Tính phản xạ: xx, xX ( mọi phần tử x của tập hợp X có quan hệ  với chính nó) - Tính bắc cầu: Nếu xy và yz thì xz (nếu x có quan hệ  với y và y có quan hệ  với z thì x có quan hệ  với z ) - Tính đối xứng: Nếu xy và yx thì x = y (phần tử x trùng với phần tử y) Ví dụ 1.11: +) Quan hệ “ x  y ” là một quan hệ thứ tự trong tập hợp tất cả các số thực - 10 -
+) Quan hệ “ p chia hết cho q ” là một quan hệ thứ tự trong tập hợp tất cả các số tự nhiên 1.2.3. Ánh xạ 1.2.3.1. Khái niệm ánh xạ Cho X và Y là các tập hợp khác rỗng bất kỳ Định nghĩa 4. Một ánh xạ f từ tập X vào tập hợp Y là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử x của tập X với một và chỉ một phần tử y thuộc tập Y. Để nói rằng f là một ánh xạ từ tập hợp X vào tập hợp Y, ta dùng ký hiệu: f : X Y . Phần tử yY tương ứng với phần tử x X qua ánh xạ f được gọi là ảnh của phần tử x. Để nói rằng y là ảnh của phần tử x qua ánh xạ f thì ta viết: y = f(x). Khi đó f: X  Y x  y = f(x) Tập hợp X được gọi là nguồn hoặc gọi là miền xác định của f và Y gọi là đích hay miền lấy giá trị của f. Ví dụ 1.12: +) Phép đặt tương ứng mỗi điểm M của một mặt phẳng P với hình chiếu vuông góc N của nó trên một đường thẳng   P là một ánh xạ từ P vào . M N Ánh xạ này được gọi là phép chiếu vuông góc. Điểm N là ảnh của điểm M qua phép chiếu đó. n +) f :    xác định bởi: f (n)  , n   là một ánh xạ xác định n 1 trên tập số tự nhiên  nhận giá trị trên tập các số hữu tỷ  1.2.3.2. Ảnh và nghịch ảnh của một tập hợp Cho ánh xạ f: X  Y. Định nghĩa 5. Ảnh của một tập hợp A  X qua ánh xạ f là tập hợp ảnh của tất cả các phần tử xA. Ảnh của tập hợp A được ký hiệu f(A): f(A) = {y  Y  tồn tại xA sao cho y = f(x)} - 11 -
Ví dụ 1.13 : Cho f :   [0; ) x  f(x) = x2 Khi đó f ([1; 3]) = [0; 9]; f([1; 2]) = [1; 4]; f ([2; 1 ]) = [1; 4]. Định nghĩa 6. Nghịch ảnh của một tập hợp B  Y qua ánh xạ f là tập hợp tất cả các phần tử của X có ảnh thuộc tập B. Nghịch ảnh của tập B được ký hiệu là f 1(B): f1(B) = {xX f(x)B}. Nghịch ảnh của tập hợp một phần tử BY được gọi là nghịch ảnh của phần tử b và được ký hiệu là f 1(b): f 1(b) = {x X  f(x) = b}. Ví dụ 1.14: Với f là ánh xạ cho ở ví dụ trên, ta có: f  1(1) ={1; 1 } ; f  1([1; 4]) =  2; 1  1; 2 . Sau đây là một số tính chất cơ bản của ảnh và nghịch ảnh. Định lý 2. Với mọi ánh xạ f: X  Y ta luôn có: ) f ( A1  A2 )  f ( A1 )  f ( A2 ); A1; A2  X ; ) f 1 ( B1  B2 )  f 1 ( B1 )  f 1 ( B2 ); B1; B2  Y ; ) f 1 ( B1  B2 )  f 1 ( B1 )  f 1 ( B2 ); B1; B2  Y . 1.2.3.3. Đơn ánh, toàn ánh và song ánh - Ánh xạ đơn ánh Ánh xạ f : X  Y được gọi là đơn ánh, nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ của tập X luôn có ảnh khác nhau, nghĩa là: x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 );  x1 ; x 2  X . Nói cách khác, f là đơn ánh khi và chỉ khi nghịch ảnh của mọi phần tử y  Y hoăc là tập trống, hoặc chỉ có một phần tử duy nhất. ( f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2 ;  x1 , x2  X ) . Ví dụ 1.15: Ánh xạ f :[0; π]   là một đơn ánh. x  y  cos x - Ánh xạ toàn ánh Ánh xạ f : X  Y được gọi là toàn ánh, nếu ảnh của tập hợp X là toàn bộ tập hợp Y: f ( X )  Y . Nói cách khác, f là toàn ánh khi và chỉ khi nghịch ảnh của mọi phần tử y  Y đều không rỗng: - 12 -
y  Y , x  X : f ( x)  y . Ví dụ 1.16: Ánh xạ f :   [  1;1] là toàn ánh (nhưng không phải là đơn ánh). x  y  cos x - Ánh xạ song ánh Ánh xạ f : X  Y được gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh. Ví dụ 1.17: Ánh xạ f : [0;1]  [  1;1] là một song ánh. x  y  cos x 1.2.4. Ánh xạ ngược Định nghĩa 7. Giả sử ánh xạ f : X  Y là một song ánh. Khi đó mỗi phần tử y  Y đều có nghịch ảnh không rỗng (do f là toàn ánh) và nghịch ảnh của nó là một phần tử duy nhất x  X (do f là đơn ánh) trong trường hợp này ta có ánh xạ f 1 : Y  X đặt tương ứng mỗi phần tử y  Y với phần tử x  f 1 ( y ) ánh xạ f 1 được gọi là ánh xạ ngược của song ánh f . Ví dụ 1.18: Gọi X là tập hợp sinh vên của một lớp học và Y là danh sách gọi tên đầy đủ (gồm họ, tên đệm, tên) của các sinh viên đó. Giả sử lớp học không có hai sinh viên nào trùng tên. Khi đó, ánh xạ X  Y đặt tương ứng mỗi sinh viên với tên gọi của sinh viên đó trong danh sách là một song ánh. Ánh xạ ngược của song ánh f là ánh xạ f 1 đặt tương ứng mỗi tên trong danh sách với sinh viên có tên đó. - 13 -
CHƯƠNG 2. HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN 2.1. Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số 2.1.1 Biến số 2.1.1.1 Khái niệm biến số Định nghĩa 1. Biến số là một ký hiệu mà ta có thể gán cho nó một số bất kỳ thuộc một tập số X   cho trước ( X   ). Tập hợp X được gọi là miền biến thiên ( MBT ) và mỗi số thực x 0  X được gọi là một giá trị của biến số đó. Từ biến số nhiều khi được gọi tắt là biến. Các biến số thường được ký hiệu bằng các chữ cái: x, y, z…. Thông thường, người ta chỉ xét các biến số mà MBT của nó có ít nhất hai số. Một biến số chỉ nhận một giá trị duy nhất được gọi là hằng số. Trong giải tích toán học, ta thường xét các biến số thay đổi giá trị một cách liên tục, với MBT là một khoảng số. Các khoảng số được ký hiệu như sau: Khoảng đóng ( đoạn ): [a; b] {x : a  x  b} Khoảng mở: (a; b)  {x : a  x  b} Các khoảng nửa mở: [a; b)  {x : a  x  b} (a; b] {x : a  x  b} Các khoảng vô hạn: (; b]  {x : x  b} (; b)  {x : x  b} [a; )  {x : x  a} (a; )  {x : x  a} (; )   2.1.1.2. Các biến số kinh tế Trong lĩnh vực kinh tế, người ta thường quan tâm đến các đại lượng như: giá cả, lượng cung, lượng cầu, doanh thu, chi phí, thu nhập quốc dân, tỷ lệ lạm phát, tỷ lệ thất nghiệp…. Khi phân tích xu hướng thay đổi trị số của các đại lượng đó theo không gian, thời gian và theo các điều kiện khác nhau, các nhà kinh tế xem chúng như các biến số. Các biến số đó được gọi là các biến số kinh tế. Trong các tài liệu kinh tế, người ta thường ký hiệu các biến số kinh tế bằng các chữ cái đầu các từ tiếng Anh liên quan đến ý nghĩa của các biến số đó. Sau đây là một số ký hiệu thường gặp: p: Giá hàng hóa ( price ); - 14 -
Qs: Lượng cung (Quantity Supplied); Qd: Lượng cầu (Quantity Demanded); U: Lợi ích (Utility ); TC: Tổng chi phí (Total Cost); TR: Tổng doanh thu (Total Revenue); Y: Thu nhập quốc dân (National Income); C: Tiêu dùng (Consumption); S: Tiết kiệm (Saving); I: Đầu tư (Investment). 2.1.2. Quan hệ hàm số 2.1.2.1. Khái niệm hàm số Khái niệm hàm số được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, để biểu diễn quan hệ chi phối lẫn nhau giữa các biến số. Định nghĩa khái niệm hàm số bằng ngôn ngữ hình thức toán học có nội dung như sau: Định nghĩa 2. Cho hai tập hợp X , Y   . Ánh xạ f : X Y x  y  f ( x) được gọi là một hàm số biến số thực. Tập hợp X được gọi là miền xác định ( MXĐ ) của hàm số f. Số y tương ứng với số x, theo quy tắc f, được gọi là giá trị của hàm số f tại điểm x, ký hiệu f(x). Khi nói đến các hàm số khác nhau, ta sử dụng các ký hiệu khác nhau: f, g, … Định nghĩa 3. Miền giá trị ( MGT ) của một hàm số f là tập hợp tất cả các số thực là giá trị của hàm số đó tại ít nhất một điểm thuộc miền xác định của nó. Miền giá trị của hàm số f xác định trên miền X được ký hiệu là f(X): f ( X )  { y   :x  X sao cho f ( x)  y} 2.1.2.2. Hàm số dạng biểu thức Ở bậc học phổ thông, học sinh đã được làm quen với các biểu thức chứ biến số, từ những biểu thức có một phép toán đến những biểu thức có nhiều phép toán phối hợp, chẳng hạn như: x n , n x , a x ,log a x,sin x, cos x, tan x,cot x,... ax 2  bx  c 5 x ax  bx  c, 2 ,log 2 ,... px  q 3 x 1 - 15 -
Ta gọi miền xác định tự nhiên của một biểu thức f(x) là tập hợp tất cả các số thực mà khi gán cho x thì biểu thức đó có nghĩa (tất cả các phép toán trong biểu thức đó đều thực hiện được). Mỗi biểu thức f(x) là một hàm số xác định trên tập con X bất kỳ của MXĐ tự nhiên của nó: mỗi số thực x0  X đặt tương ứng với giá trị tính toán của biểu thức đó khi gán x  x0 5 x Ví dụ 2.1: Biểu thức f ( x)  log 2 là một hàm số với MXĐ tự nhiên là 3 x 1 tập hợp tất cả các số thực x thỏa mãn điều kiện: 5 x 1 0   x 5 3 x 1 3 Theo biểu thức đó, ta dễ dàng tính giá trị của hàm số tại một điểm bất kỳ thuộc MXĐ, chẳng hạn: 5 1 f (1)  log 2  log 2 2  1 3.11 53 1 f (3)  log 2  log 2  2 3.3 1 4 Phương pháp xác định hàm số bằng biểu thức là một phương pháp phổ biến trong toán học cũng như trong các lĩnh vực ứng dụng toán học. Khi xem xét các hàm số cho bằng biểu thức, ta cần lưu ý những điểm sau: - Về nguyên tắc, MXĐ của một hàm số là một tập số thực cho trước, còn biểu thức giữ vai trò quy tắc tương ứng f trong định nghĩa hàm số. Do đó, khi một hàm số xác định trên tập X   được cho bằng một biểu thức f(x), tập X có thể chỉ là một tập con nào đó của MXĐ tự nhiên của biểu thức đó. Tuy nhiên, trong toán học nhiều khi người ta cho trước một biểu thức f(x) và xét biểu thức đó như một hàm số. Trong trường hợp này, ta đồng nhất MXĐ của hàm số với MXĐ tự nhiên của biểu thức f(x). - Một hàm số có thể được cho dưới dạng phân rã MXĐ thành các tập con rời nhau và trên mỗi tập con đó, quy tắc xác định giá trị tương ứng của hàm số tại mỗi điểm được biểu diễn bằng một biểu thức riêng. Ví dụ 2.2: 1 2 x khi x  0 f ( x)   2  x  3 khi x  0 - 16 -
là một hàm số xác định trên  : giá trị của hàm số tại mỗi điểm x được tính theo công thức f ( x )  x 2  3 khi x thuộc khoảng [0; ) , và theo công thức f ( x)  1 2 x khi x thuộc khoảng (;0) . 2.1.2.3. Quan hệ hàm số giữa các biến số. Trong lĩnh vực khoa học, người ta phân tích quy luật thay đổi giá trị của các đại lượng đo được bằng số dưới dạng các biến số có quan hệ với nhau: sự thay đổi giá trị của biến số này kéo theo sự thay đổi giá trị của biến số kia theo một quy luật nhất định. Chẳng hạn, trong kinh tế, chúng ta thấy khi giá trị hàng hóa thay đổi thì lượng hàng hóa mà người sản xuất muốn bán ra thị trường và lượng hàng hóa mà người mua bằng lòng mua cũng thay đổi theo; khi thu nhập của các hộ gia đình thay dổi thì lượng tiêu dùng của họ cũng thay đổi…. Sự phụ thuộc của một biến số này vào một biến số khác thường được biểu diễn dưới dạng hàm số. Cho hai biến số x và y với miền biến thiên là tập hợp các số thực X và Y, trong đó biến x có thể nhận giá trị tùy ý trong miền biến thiên X của nó. Ta nói x là biến độc lập hay đối số. Định nghĩa 4. Ta nói biến số y phụ thuộc hàm số vào biến số x, hay biến số y là hàm số của biến số x, khi và chỉ khi tồn tại một quy tắc hoặc quy luật f sao cho mỗi giá trị của biến số x trong miền biến thiên X của nó được đặt tương ứng với một và chỉ một giá trị của biến số y. Theo định nghĩa thì quy tắc f chính là một hàm số xác định trên miền biến thiên X của biến x và giá trị của hàm số f tại điểm x chính là giá trị tương ứng của biến số y: x  y  f ( x) Để nói một cách khái quát rằng y là hàm số của x (y phụ thuộc hàm số vào x) ta có thể viết : y = y(x). Chú ý. Hai định nghĩa hàm số trên là tương đương với nhau. Khi cho một hàm số f với MXĐ là tập hợp X, các cách diễn đạt sau đây có nghĩa như nhau: - Cho hàm số f xác định trên tập X (X là một tập số cho trước); - Cho hàm số f(x), x  X ; - Cho hàm số y = f(x), x  X . Chú ý rằng, khi viết hàm số dưới dạng y = f(x), các ký hiệu x và y chỉ mang ý nghĩa hình thức, dùng để gọi tên các biến số. Một hàm số được xác định bởi hai yếu tố : miến xác định X ( miền biến thiên của biến độc lập x ) và quy tắc f cho - 17 -
phép ta xác định được giá trị của hàm số tại mỗi điểm x  X . Chẳng hạn, dưới góc độ toán học, ta không phân biệt các hàm số y  x 2 và v  u 2 khi miền biến thiên của x và miền biến thiên của u trùng nhau. 2.1.3. Đồ thị của hàm số Quan hệ hàm số y = f(x) liên kết các cặp số thực ( x0 ; y0 ) , trong đó x0 là một số bất kỳ thuộc MXĐ X của hàm số và y0  f ( x0 ) . Mỗi cặp số thực như vậy là một điểm của mặt phẳng tọa độ. Định nghĩa 5. Đồ thị của hàm số f là tập hợp tất cả các điểm M(x ; y) của mặt phẳng tọa độ có hoành độ x là một số thực bất kỳ lấy từ MXĐ của hàm số và tung độ y là giá trị tương ứng của hàm số tại điểm x. Việc lập đồ thị của hàm số f với MXĐ là một khoảng số thực thường được thực hiện theo trình tự như sau : - Lấy các số x1 , x2 ,..., xn từ MXĐ của hàm số (càng gần nhau càng tốt) - Tính các giá trị tương ứng của hàm số tại các điểm đó : y1  f ( x1 ), y2  f ( x2 ),..., yn  f ( xn ) . - Định vị các điểm M 1 ( x1; y1 ); M 2 ( x2 ; y2 );...; M n ( xn ; yn ) . - Nối các điểm M 1; M 2 ;...; M n ta được hình ảnh đồ thị của hàm số y y = f(x) yn Mn y2 M2 y1 M1 O x1 x2 xn x Phương pháp đồ thị không phải là phương pháp định lượng. Tuy nhiên, người ta thường sử dụng đồ thị để minh họa bằng hình ảnh các đặc trưng cơ bản của sự phụ thuộc hàm số giữa các biến số. Nhìn vào đồ thị ta dễ dàng quan sát xu hướng biến thiên của hàm số khi biến độc lập thay đổi giá trị. 2.1.4. Khái niệm hàm ngược. - 18 -
Xét một hàm số y = f(x) với MXĐ X và MGT Y = f(X). Nếu với mỗi giá trị y0  Y chỉ tồn tại duy nhất một giá trị x0  X sao cho f ( x0 )  y0 , tức là phương trình f ( x)  y0 có một nghiệm duy nhất x 0 trong miền X, thì y  f ( x )  x  f 1 ( y ) ( x  X , y  Y ) trong đó, ký hiệu x0  f 1 ( y0 ) chỉ nghiệm duy nhất của phương trình f ( x)  y0 như đã nói ở trên Như vậy, trong trường hợp này, quan hệ hàm số y = f(x) biểu diễn sự phụ thuộc của y vào x có thể đảo ngược để biểu diễn sự phụ thuộc của x vào y thông qua hàm số x  f 1 ( y ) . Định nghĩa 6. Với giả thiết và quy ước về ký hiệu như trên, ta gọi hàm số x  f 1 ( y ) là hàm ngược của hàm số y = f(x). Nói cách khác, hàm số f 1 ( xác định trên miền Y = f(X) là hàm ngược của hàm số f ( xác định trên miền X ) Ví dụ 2.3: - Hàm số y  x3 với MXĐ X   có hàm ngược là hàm số x  3 y : y  x3  x  3 y ( x  , y   ) - Hàm ngược của hàm số mũ y  a x là hàm số logarit x  log a y : y  a x  x  log a y ( x  , y  0)    - Hàm số y  sin x với MXĐ X =  ;  có hàm ngược là hàm số  2 2  x  arcsin y ( 1  y  1), trong đó ký hiệu arcsin y0 để chỉ nghiệm duy   nhất của phương trình sin x  y0 trong đoạn  x . 2 2 - Hàm số y = cosx với MXĐ X = 0; có hàm ngược là hàm số x  arccos y ( 1  y  1), trong đó ký hiệu arccos y0 để chỉ nghiệm duy nhất của phương trình cos x  y0 trong đoạn 0  x   .    - Hàm số y = tanx với MXĐ X =  ;  có hàm ngược là hàm số x =  2 2  arctany ( y   ), trong đó ký hiệu arctan y0 để chỉ nghiệm duy nhất của   phương trình tan x  y0 trong khoảng  < x < . 2 2 - 19 -
- Hàm số y = cotx với MXĐ X = 0; có hàm ngược là hàm số x  arc cot y ( y   ), trong đó ký hiệu arc cot y0 để chỉ nghiệm duy nhất của phương trình cot x  y0 trong khoảng 0  x   . Chú ý. Hàm số y = f(x) và hàm ngược x  f 1 ( y ) có cùng một đồ thị, bởi vì y = f(x) và x  f 1 ( y ) là các phương trình tương đương. Tuy nhiên, trong toán học, người ta thường dùng ký hiệu x để chỉ biến độc lập và ký hiệu y để chỉ biến phụ thuộc, do đó thay cho cách viết hàm ngược dưới dạng x  f 1 ( y ) người ta có thể tráo ký hiệu biến số và viết hàm ngược của hàm số y = f(x) dưới dạng y  f 1 ( x) . Chẳng hạn, ta có thể nói : hàm số y  log a x là hàm ngược của hàm số y  a x . Do tráo khái niệm biến số, nên điểm M(x ; y) thuộc đồ thị của hàm số y  f 1 ( x) khi và chỉ khi điểm M ' ( y; x ) thuộc đồ thị của hàm số y = f(x). Trên mặt phẳng tọa độ, hai điểm M(x ; y) và M ' ( y; x ) đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. Như vậy, nếu biểu diễn hai đồ thị của hai hàm số y = f(x) và y  f 1 ( x) trên cùng một hệ trục tọa độ trực chuẩn thì chúng đối xứng nhau qua đường thẳng y = x ( đường phân giác của góc phần tư thứ nhất ) . Chẳng hạn, đồ thị của hàm số y  x và hàm số y  x 2 , x  0 có dạng : 2.1.5. Một số đặc trưng hàm số 2.1.5.1. Hàm số đơn điệu. Định nghĩa 7. Hàm số y = f(x) được gọi là đơn điệu tăng (đơn điệu giảm) trên một miền X   nếu với mọi cặp điểm khác nhau x1 , x2 thuộc X, hiệu số f ( x2 )  f ( x1 ) luôn cùng dấu ( trái dấu ) với x2  x1 . Nói cách khác : - Hàm số y = f(x) là hàm đơn điệu tăng trên miền X nếu : - 20 -