Giáo trình Trường điện từ - Electromagnetic field theory

Chia sẻ: Hoang Linh | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:92

Thêm vào BST

Báo xấu

347
lượt xem 53
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo Giáo trình Trường điện từ - Electromagnetic field theory gồm các chương sau: Một số công thức toán học, Các định luật và nguyên lí cơ bản của trường điện từ, Tích phân các phương trình Maxwell, Sóng điện từ phẳng, Nhiễu xạ sóng điện từ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Trường điện từ - Electromagnetic field theory

TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY Số tiết: 45 Tài liệu tham khảo 1. Kiều Khắc Lâu, LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, GD, 2006 2. Ngô Nhật Ảnh, TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, ĐHBK TPHCM, 1995 3. Nguyễn Hoàng Phương, GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT TRƯỜNG, GD, 1978 Chương 0 MỘT SỐ CÔNG THỨC TOÁN HỌC 1. Vector • • • • Phương: Chiều: theo qui tắc vặn nút chai Độ lớn: • 2. Toán tử nabla 3. Gradient 4. Divergence
5. Rotary Số phức Hàm mũ Hàm mũ là một hàm tuần hoàn có chu kì là 2πi. Thực vậy, ta có Suy ra Công thức Euler eiy = cosy +isiny ϕ Khi đó số phức z = r ei = r(cosϕ +isinϕ) Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa biết và các đạo hàm của nó: (1) Trong đó: a1, a2 và f(x) là các hàm của biến độc lập x f(x) = 0 ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất f(x) ≠ 0 ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất a1, a2 ≡ const ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính có hệ số không đổi Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng: (2) a1, a2 là các hàm của biến x Định lí 1. Nếu y1 = y1(x) và y2 = y2(x) là 2 nghiệm của (2) thì y = C 1y1 + C2y2 (trong đó C1, C2 là 2 hằng số tuỳ ý) cũng là nghiệm của phương trình ấy. Hai hàm y1(x) và y2(x) là độc lập tuyến tính khi , ngược lại là phụ thuộc tuyến tính
Định lí 2. Nếu y1(x) và y2(x) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất (2) thì y = C 1y1 + C2y2 (trong đó C1, C2 là 2 hằng số tuỳ ý) là nghiệm tổng quát của phương trình ấy. Định lí 3. Nếu đã biết một nghiệm riêng y1(x) của phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất (2) thì có thể tìm được một nghiệm riêng y 2(x) của phương trình đó, độc lập tuyến tính với y1(x) bằng cách đặt y2(x) = y1(x).u(x) Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nh ất đ ối với hàm chưa biết và các đạo hàm của nó: (3) Trong đó: a1 và a2 là các hàm của biến độc lập x; f(x) ≠ 0 Định lí 1. Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (3) bằng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2) tương ứng và một nghi ệm riêng nào đó của phương trình không thuần nhất (3). Định lí 2. Cho phương trình không thuần nhất (4) Nếu y1(x) là nghiệm riêng của phương trình (5) và y2(x) là nghiệm riêng của phương trình (6) thì y(x) = y1(x) + y2(x) cũng là nghiệm riêng của phương trình (4) Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng: (7) p, q là các hằng số Giả sử nghiệm riêng của (7) có dạng (8) Trong đó: k là hằng số sẽ được xác định Suy ra , (9) Thay (8) và (9) vào (7) ta có
(10) Vì e ≠ 0 nên kx (11) Nếu k thoả mãn (11) thì y = e là một nghiệm riêng của phương trình vi kx phân (7). Phương trình (11) gọi là phương trình đặc trưng của phương trình vi phân (7) Nhận xét: Phương trình đặc trưng (7) là phương trình bậc 2 có 2 nghiệm k1 và k2 như sau - k1 và k2 là 2 số thực khác nhau , khi đó 2 nghiệm riêng của phương trình vi phân (7) là , (12) Hai nghiệm riêng (12) là độc lập từ trường vì (13) Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là (14) - k1 và k2 là 2 số thực trùng nhau: k1 = k2 Hai nghiệm riêng độc lập từ trường: , Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là (15) - k1 và k2 là 2 số phức liên hợp: k1 = α + iβ và k2 = α - iβ Hai nghiệm riêng của phương trình vi phân (7) là (16) Theo công thức Euler ta có (17) Suy ra (18) Nếu và là 2 nghiệm của phương trình vi phân (7) thì các hàm (19) cũng là nghiệm của phương trình vi phân (7) và độc lập từ trường vì (20) Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là (21)
Chương 1 CÁC ĐỊNH LUẬT VÀ NGUYÊN LÍ CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ 1.1. Các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ 1.1.1. Vector cường độ điện trường • Điện trường được đặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đ ặt trong đi ện trường (1.1) Hay: (1.2) • Cđđt tại một điểm bất kì trong điện trường là đại lượng vector có trị số bằng lực tác dụng lên một đơn vị điện tích điểm dương đặt tại điểm đó • Lực tác dụng giữa 2 đt điểm Q và q (1.3) - - hằng số điện - ε - độ điện thẩm tương đối - - vector đơn vị chỉ phương • Hệ đt điểm (1.4) - các vector đơn vị chỉ phương • Trong thực tế hệ thường là dây mảnh, mặt phẳng hay khối hình học, do đó: (1.5) (1.6) (1.7) 1.1.2. Vector điện cảm • Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử dụng vector điện cảm (1.8) 1.1.3. Vector từ cảm
• Từ trường được đặc trưng bởi tác dụng lực của từ trường lên điện tích chuyển động hay dòng điện theo định luật Lorentz (1.9) • Từ trường do phần tử dòng điện tạo ra được xác định bởi định luật thực nghiệm BVL (1.10) - - hằng số từ - µ - độ từ thẩm tương đối • Từ trường của dây dẫn có chiều dài l (1.11) 1.1.4. Vector cường độ từ trường • Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử dụng vector cường độ từ trường (1.12) 1.2. Định luật Ohm và định luật bảo toàn điện tích 1.2.1. Định luật Ohm dạng vi phân • Cường độ dòng điện I chạy qua mặt S đặt vuông góc với nó bằng lượng điện tích q chuyển qua mặt S trong một đơn vị thời gian (1.13) Dấu trừ chỉ dòng điện I được xem là dương khi q giảm • Để mô tả đầy đủ sự chuyển động của các hạt mang điện trong môi trường dẫn điện, người ta đưa ra khái niệm mật độ dòng điện (1.14) dạng vi phân của định luật Ohm - n0 - mật độ hạt điện có điện tích e - ρ - mật độ điện khối - - vận tốc dịch chuyển của các hạt điện - σ - điện dẫn suất • Dòng điện qua mặt S được tính theo (1.15)
• Một vật dẫn dạng khối lập phương cạnh L, 2 mặt đối diện nối với nguồn áp U, ta có (lưu ý: áp dụng c/t S = L2 và ) (1.16) dạng thông thường của định luật Ohm Vì và cùng chiều, đặt (1.17) σ - điện dẫn suất có đơn vị là 1/Ωm 1.2.2. Định luật bảo toàn điện tích • Điện tích có thể phân bố liên tục hay gián đoạn, không tự sinh ra và cũng không tự mất đi, dịch chuyển từ vùng này sang vùng khác và t ạo nên dòng điện. • Lượng điện tích đi ra khỏi mặt kín S bao quanh thể tích V bằng l ượng điện tích giảm đi từ thể tích V đó. • Giả sử trong thể tích V được bao quanh bởi mặt S, ta có (1.18) sau thời gian dt lượng điện tích trong V giảm đi dQ (1.19) Mặt khác (1.20) Suy ra (1.21) Theo định lý OG (1.22) Suy ra (1.23) Đây là dạng vi phân của định luật bảo toàn điện tích hay phương trình liên tục. 1.3. Các đặc trưng cơ bản của môi trường • Các đặc trưng cơ bản của môi trường: ε, µ, σ • Các phương trình: (1.24) (1.25)
gọi là các phương trình vật chất • ε, µ, σ ∉ cường độ trường : môi trường tuyến tính • ε, µ, σ ≡ const : môi trường đồng nhất và đẳng hướng • ε, µ, σ theo các hướng khác nhau có giá trị không đổi khác nhau: môi trường không đẳng hướng. Khi đó ε, µ biểu diễn bằng các tensor có dạng như bảng số. Chẳng hạn ferrite bị từ hoá hoặc plasma b ị t ừ hoá là các môi trường không đẳng hướng khi truyền sóng điện từ • ε, µ, σ ∈ vị trí : môi trường không đồng nhất Trong tự nhiên đa số các chất có ε > 1 và là môi trường tuyến tính. Xecnhec có ε >> 1 : môi trường phi tuyến µ > 1 : chất thuận từ : các kim loại kiềm, Al, NO, Ph ương trình, O, N, không khí, ebonic, các nguyên tố đất hiếm µ < 1 : chất nghịch từ : các khí hiếm, các ion như Na +, Cl- có các lớp electron giống như khí hiếm, và các chất khác nh ư Pb, Zn, Si, Ge, S, CO 2, H2O, thuỷ tinh, đa số các hợp chất hữu cơ µ >> 1 : chất sắt từ : môi trường phi tuy ến : Fe, Ni, Co, Gd, h ợp kim các nguyên tố sắt từ hoặc không sắt từ Fe-Ni, Fe-Ni-Al. Độ từ hoá của ch ất s ắt từ lớn hơn độ từ hoá của chất nghịch từ và thuận từ hàng trăm triệu lần. • Căn cứ vào độ dẫn điện riêng σ: chất dẫn điện, chất bán dẫn và chất cách điện hay điện môi Chất dẫn điện: σ > 104 1/Ωm, σ = ∞ : chất dẫn điện lý tưởng Chất bán dẫn: 10-10 < σ < 104 Chất cách điện: σ < 10-10, σ = 0 : điện môi lý tưởng Không khí là điện môi lý tưởng: ε = µ = 1, σ = 0 1.4. Định lí Ostrogradski-Gauss đối với điện trường • Được tìm ra bằng thực nghiệm, là cơ sở của các phương trình Maxwell
• Thông lượng của vector điện cảm qua mặt S là đại lượng vô hướng được xác định bởi tích phân (1.26) : vi phân diện tích theo hướng pháp tuyến ngoài dS.cos(,) : hình chiếu của S lên phương • Xét một mặt kín S bao quanh điện tích điểm q, tính thông l ượng c ủa do q tạo ra qua mặt kín S, ta có (1.27) dΩ là vi phân góc khối từ điện tích q nhìn toàn bộ diện tích dS Thông lượng của qua toàn mặt kín S là (1.28) • Xét trường hợp điện tích điểm q nằm ngoài mặt kín S. Từ đi ện tích q nhìn toàn mặt S dưới một góc khối nào đó. Mặt S có th ể chia thành 2 n ửa S và S' (có giao tuyến là AB). Pháp tuyến ngoài của S và S' s ẽ có chi ều ng ược nhau. Do đó tích phân trên S và S' có cùng giá trị nh ưng trái d ấu. Khi đó thông lượng của qua toàn mặt kín S bằng 0. • Xét hệ điện tích điểm q1, q2, ..., qn đặt trong mặt kín S, ta có (1.29) Thông lượng của do hệ q1, q2, ..., qn gây ra qua toàn mặt kín S (1.30) Vậy: Thông lượng của vector điện cảm qua mặt kín S bất kỳ b ằng t ổng đại số các điện tích nằm trong thể tích V được bao quanh bởi S Lưu ý: Vì Q là tổng đại số các điện tích q 1, q2, ..., qn, do đó Φ có thể âm hoặc dương • Nếu trong thể tích V được bao quanh bởi S có mật độ điện khối ρ thì Φ được tính theo (1.31)
Các công thức (1.30) và (1.31) là dạng toán học c ủa đ ịnh lí Ostrogradski- Gauss đối với điện trường. Nguyên lý liên tục của từ thông • Thực nghiệm đã chứng tỏ đường sức từ là khép kín dù nguồn tạo ra nó là dòng điện hay nam châm. Tìm biểu thức toán học biểu diễn cho tính chất này • Giả sử có mặt kín S tuỳ ý nằm trong từ trường với vector từ c ảm . Thông lượng của qua mặt kín S bằng tổng số các đường sức từ đi qua mặt S này. Do đường sức từ khép kín nên số đường sức từ đi vào th ể tích V b ằng s ố đường sức từ đi ra khỏi thể tích V đó. Vì vậy thông lượng của đ ược tính theo (1.32) Công thức (1.32) gọi là nguyên lý liên tục của từ thông. Đây là một phương trình cơ bản của trường điện từ 1.5. Luận điểm thứ nhất - Phương trình Maxwell-Faraday Khi đặt vòng dây kín trong một từ trường biến thiên thì trong vòng dây này xh dòng điện cảm ứng. Chứng tỏ trong vòng dây có một điện trường có chiều là chiều của dòng điện cảm ứng đó. Thí nghiệm với các vòng dây làm bằng các chất khác nhau, trong đi ều kiện nhiệt độ khác nhau đều có kết quả tương tự. Chứng tỏ vòng dây dẫn không phải là nguyên nhân gây ra điện trường mà chỉ là ph ương ti ện giúp ch ỉ ra sự có mặt của điện trường đó. Điện trường này cũng không phải là điện trường tĩnh vì đường sức của điện trường tĩnh là đường cong h ở. Đi ện trường tĩnh không làm cho hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng điện được (vì hoá ra trong điện trường tĩnh không cần tốn công mà vẫn sinh ra năng lượng điện !). Muốn cho các hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng điện thì công phải khác 0, có nghĩa là (1.33)
và đ.sức của điện trường này phải là các đ.cong kín và g ọi là đi ện tr ường xoáy. Phát biểu luận điểm I: Bất kì một từ trường nào bi ến đổi theo th ời gian cũng tạo ra một điện trường xoáy. Thiết lập phương trình Maxwell-Faraday: Theo định luật cảm ứng điện từ của Faraday, sức điện động cảm ứng xh trong một vòng dây kim loại kín về trị số bằng tốc độ biến thiên c ủa t ừ thông đi qua diện tích của vòng dây (1.34) Dấu (-) phản ảnh sức điện động cảm ứng trong vòng dây tạo ra dòng điện cảm ứng có chiều sao cho chống lại sự biến thiên của từ thông Φ (1.35) là thông lượng của vector từ cảm qua S được bao bởi vòng dây. Suy ra (1.36) Hoặc biểu diễn sức điện động cảm ứng e c theo lưu số của vector cường độ điện trường (1.37) Chiều của vòng dây kín l lấy ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn nó từ ngọn của Vì vòng dây kín l đứng yên nên theo các công th ức (1.35), (1.36), (1.37) ta có (1.38) Đây là phương trình Maxwell-Faraday dưới dạng tích phân, cũng là một phương trình cơ bản của trường điện từ. Vậy: Lưu số của vector cường độ điện trường xoáy dọc theo một đường cong kín bất kì bằng về giá trị tuyệt đối nh ưng trái d ấu v ới t ốc đ ộ bi ến thiên theo thời gian của từ thông gửi qua diện tích giới hạn bởi đường cong kín đó. Theo giải tích vector (công thức Green-Stock) (1.39) Theo các phương trình (1.38) và (1.39) (1.40)
Đây là phương trình Maxwell-Faraday dưới dạng vi phân, có thể áp dụng đối với từng điểm một trong không gian có từ trường biến thiên. 1.6. Luận điểm thứ hai - Phương trình Maxwell-Ampere Theo luận điểm I, từ trường biến thiên theo th ời gian sinh ra đi ện tr ường xoáy. Vậy ngược lại điện trường biến thiên có sinh ra từ trường không ? Đ ể đảm bảo tính đối xứng trong mối liện hệ giữa điện trường và từ trường, Maxwell đưa ra luận điểm II: Bất kì một điện trường nào biến thiên theo thời gian cũng t ạo ra một t ừ trường. (Đã chứng minh bằng thực nghiệm) Lưu ý: điện trường nói chung có thể không p.bố đồng đều trong không gian, có nghĩa là thay đổi từ điểm này sang điểm khác, nh ưng theo lu ận đi ểm II sự biến thiên của điện trường theo không gian không t ạo ra t ừ tr ường, chỉ có sự biến thiên của điện trường theo thời gian mới tạo ra từ trường. Thiết lập phương trình Maxwell-Ampere: Theo nguyên lí tác dụng từ của dòng điện và định lu ật Biot-Savart- Laplace, Ampere phát biểu định luật dòng điện toàn phần: Lưu số của vector cường độ từ trường dọc theo một đường cong kín bất kì bằng tổng đại số các dòng điện đi qua diện tích bao bởi đường cong này (1.41) Dòng điện I đi qua diện tích S có thể phân bố liên tục hoặc gián đoạn. Nếu dòng điện qua mặt S có phân bố liên tục với mật độ dòng điện thì (1.42) Định luật dòng điện toàn phần cũng là một phương trình cơ bản của trường điện từ Khái niệm về dòng điện dịch
Căn cứ vào định luật cảm ứng điện từ của Faraday và định luật dòng điện toàn phần của Ampere, Maxwell bằng lý thuy ết đã ch ỉ ra sự tác d ụng tương hỗ giữa đt và từ trường cùng với việc đưa ra khái niệm mới về dòng điện dịch. Dòng điện dịch có mật độ được tính theo công thức (1.43) Trong đó: - mật độ dòng điện p.cực trong điện môi do sự xê dịch của các điện tích - điện trường biến thiên trong chân không và gọi là mật độ dòng điện dịch Để chứng minh sự tồn tại của dòng điện dịch, xét thí dụ sau: có một mặt kín S bao quanh 1 trong 2 bản của tụ điện. Do có đi ện áp xoay chi ều đ ặt vào tụ điện nên giữa 2 bản tụ có điện trường biến thiên và dòng đi ện bi ến thiên chạy qua tụ. Dòng điện này chính là dòng điện dịch trong chân không vì giữa 2 bản tụ không tồn tại điện tích chuyển động và có giá trị: (1.44) Theo định luật Gauss (1.45) vì điện trường chỉ tồn tại giữa 2 bản tụ Đối với môi trường chân không, ta có: ε = 1 Dòng điện dẫn chạy trong dây dẫn nối với tụ có giá trị bằng (1.46) Suy ra I = Id0 (1.47) Vậy: dòng điện dịch chạy giữa 2 bản tụ bằng dòng điện dẫn chạy ở mạch ngoài tụ điện. Bằng cách bổ sung dòng điện dịch vào vế phải của phương trình (1.42), ta có (bổ sung được vì về khía cạnh tạo ra từ trường dòng điện dịch tương đương dòng điện dẫn) (1.48)
Hay (1.49) Đây là phương trình Maxwell-Ampere dưới dạng tích phân Theo giải tích vector (công thức Green-Stock) (1.50) Suy ra (1.51) Đây là phương trình Maxwell-Ampere dưới dạng vi phân, cũng là một phương trình cơ bản của trường điện từ Nếu môi trường có điện dẫn suất σ = 0 (điện môi lí tưởng và chân không) thì do , ta có: (1.52) Vậy: dòng điện dịch hay điện trường biến thiên theo thời gian cũng tạo ra từ trường như dòng điện dẫn. 1.7. Trường điện từ và hệ phương trình Maxwell Theo các luận điểm của Maxwell, từ trường biến thiên theo th ời gian t ạo ra điện trường xoáy, và ngược lại điện trường biến thiên theo thời gian tạo ra từ trường. Vậy trong không gian điện trường và từ trường có thể đồng thời tồn tại và có liên hệ chặt chẽ với nhau Điện trường và từ trường đồng thời tồn tại trong không gian tạo thành một trường thống nhất gọi là trường điện từ. Trường điện từ là một dạng vật chất đặc trưng cho sự tương tác giữa các hạt mang điện. - Phương trình Maxwell-Faraday Dạng tích phân (1.53) Dạng vi phân (1.54) Diễn tả luận điểm thứ nhất của Maxwell về mối liên hệ giữa t ừ trường biến thiên và điện trường xoáy. - Phương trình Maxwell-Ampere
Dạng tích phân (1.55) Dạng vi phân (1.56) Diễn tả luận điểm thứ hai của Maxwell: điện trường biến thiên cũng sinh ra từ trường như dòng điện dẫn. - Định lí OG đối với điện trường Dạng tích phân (1.57) Theo giải tích vector: và , ta có Dạng vi phân (1.58) Diễn tả tính không khép kín của các đường sức điện trường tĩnh luôn t ừ các điện tích dương đi ra và đi vào các điện tích âm: trường có nguồn - Định lí OG đối với từ trường Dạng tích phân (1.59) Dạng vi phân (1.60) Diễn tả tính khép kín của các đường sức từ trường: trường không có nguồn Các phương trình (1.54), (1.56), (1.58), (1.60) gọi là h ệ phương trình Maxwell (1.61) - Hệ phương trình Maxwell với nguồn ngoài Trong lí thuyết anten bức xạ điện từ phát ra từ nguồn và đi vào không gian. Dòng điện trong anten là nguồn bức xạ điện từ. Nguồn dòng điện này độc lập với môi trường và không chịu ảnh hưởng của trường do nó tạo ra, gọi là nguồn ngoài. Các nguồn ngoài có bản chất điện hoặc không điện. Để đặc trưng cho nguồn ngoài của trường điện từ ta có khái niệm mật độ dòng điện ngoài . Đ.luật Ohm dạng vi phân:
(1.62) Nhận xét: hệ phương trình Maxwell (1.61) chỉ mô tả trường điện từ tại những điểm trong không gian không tồn tại nguồn ngoài của trường hay trường điện từ tự do. Khi có nguồn ngoài hệ phương trình Maxwell được viết lại (1.63) Trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng có ε, µ và σ, tức là môi trường điện môi: môi trường dẫn điện: môi trường từ hoá: , ta có (1.64) - Nguyên lí đổi lẫn của hệ phương trình Maxwell • Xét trường hợp môi trường đồng nhất và đẳng hướng, không dòng điện dẫn, không điện tích tự do và nguồn ngoài (1.65) Nhận xét: và đối xứng và có thể đổi lẫn cho nhau • Để hệ phương trình Maxwell trong trường hợp có nguồn ngoài vẫn đối xứng, cần phải đưa thêm 2 đại lượng hình thức - mật độ dòng từ ngoài ρM - mật độ từ khối Trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, không dòng điện dẫn, không điện tích tự do, với nguồn điện và từ ngoài , JE  JO (1.66)
Ứng dụng: nếu kết quả bài toán cho một nguồn điện (nguồn từ) đã bi ết, thì sử dụng nguyên lý đổi lẫn để xác định kết quả bài toán cho m ột ngu ồn t ừ (nguồn điện), mà không cần phải giải cả hai. - Hệ phương trình Maxwell đối với trường điện từ điều hoà Trường điện từ và nguồn biến thiên điều hoà với tần số góc ω nên có thể biểu diễn dưới dạng phức, ta có (1.67) Với: ; ; ; (1.68) Trong đó: gọi là biên độ phức của ; ϕx, ϕy, ϕz là các pha ban đầu Khi đó (1.69) 1.8. Điều kiện biên đối với các vector của trường điện từ Xét hai môi trường 1 và 2 có mặt phân cách S, xét tính liên t ục ho ặc gián đoạn của các vector của trường điện từ và đã xác định được - đối với thành phần pháp tuyến của điện trường D1n - D2n = S (1.70) S mật độ điện mặt Khi S = 0 ta có: D1n = D2n hay - đối với thành phần tiếp tuyến của điện trường E1 = E2, (1.71) - đối với thành phần pháp tuyến của từ trường B1n = B2n, (1.72) - đối với thành phần tiếp tuyến của từ trường
H1 - H2 = IS (1.73) IS dòng điện mặt Khi IS = 0 ta có: H1 = H2 hay - Trường hợp đặc biệt môi trường 1 là điện môi và môi trường 2 là vật dẫn lí tưởng có σ2 = ∞. Trong vật dẫn lí tưởng trường điện từ không tồn tại, có nghĩa là . Thực vậy, nếu vật dẫn lí tưởng tồn tại trường điện từ thì dưới tác dụng của trường các điện tích tự do sẽ phân bố lại điện tích trên bề mặt của nó cho đến khi trường phụ do chúng tạo ra triệt tiêu với trường ban đầu và kết quả trường tổng hợp trong vật dẫn lý tưởng bằng 0. Trên bề mặt S của vật dẫn lí tưởng có dòng điện mặt và điện tích mặt tồn tại trong một lớp mỏng vô hạn. Khi đó ta được E1n = (1.74) E1 = 0 H1n = 0 H1 = IS Vậy: trường điện từ trong điện môi sát mặt vật dẫn lí tưởng chỉ có thành phần pháp tuyến của và thành phần tiếp tuyến của 1.9. Năng lượng trường điện từ - Định lí Umov Poynting - Năng lượng của trường điện từ W = W E + WM = = - Định lí Umov Poynting Đã chứng minh được (1.75) Trong đó (W/m2) vector Poynting
Phương trình = công suất tiêu hao nhiệt do dòng điện dẫn gây ra trong V PO = công suất của nguồn ngoài trong thể tích V (1.75) gọi là định lí Umov Poynting mô tả sự cân bằng của trường điện từ trong thể tích V Phát biểu: Tổng các độ biến đổi năng lượng trường điện từ, công suất tổn hao nhiệt và công suất nguồn ngoài trong thể tích V bằng thông lượng của vector Poynting qua mặt kín S bao thể tích V đó. Vector Poynting biểu thị sự dịch chuyển năng lượng của trường điện từ. 1.10. Định lí nghiệm duy nhất Hệ phương trình Maxwell có nghiệm duy nhất khi trường điện từ thoả mãn các điều kiện sau 1. Biết các vector cđ điện trường và từ trường tại th ời điểm t 0 = 0 ở tại bất kì điểm nào trong vùng không gian khảo sát hay còn gọi là đi ều ki ện ban đầu, tức là khi t = 0 (1.76) 2. Biết thành phần tiếp tuyến của và thành phần tiếp tuyến của tại mặt giới hạn S bao miền không gian khảo sát trong khoảng th ời gian 0 < t < ∞ hay còn gọi là điều kiện biên E = E|S hoặc H = H|S với 0 < t <  (1.77)
Nhận xét: Định lí nghiệm duy nhất có ý nghĩa quan trọng vì b ằng cách nào đó ta nhận được nghiệm của hệ phương trình Maxwell và nếu nó thoả mãn các điều kiện trên thì nghiệm nhận được là duy nhất. 1.11. Nguyên lí tương hỗ Nguyên lí tương hỗ phản ảnh mối quan hệ tương hỗ giữa trường điện từ và các nguồn tạo ra nó tại hai điểm khác nhau trong không gian. 1. Bổ đề Lorentz Dạng vi phân (1.78) Dạng tích phân (1.79) V → ∞, ta có (1.80) 2. Nguyên lí tương hỗ Giả sử trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, nguồn điện và từ 1 phân bố trong V1, nguồn điện và từ 2 phân bố trong V 2 và 2 thể tích này không có miền chung. Do đó vế trái của phương trình (1.80) tích phân trong mi ền V → ∞ chia thành 3 miền V1, V2 và miền còn lại. Tuy nhiên tích phân trong miền còn lại bằng 0 vì miền này không tồn tại nguồn cho nên phương trình (1.80) được viết lại (1.81)