Giới hạn dưới, giới hạn trên của mảng các biến ngẫu nhiên và ứng dụng

TAÏP CHÍ KHOA HOÏC ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 22 (47) - Thaùng 11/2016<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Giới hạn dưới, giới hạn trên của mảng<br /> các biến ngẫu nhiên và ứng dụng<br /> <br /> Lower limit and upper limit of array of random variables and their applications<br /> <br /> TS. Dương Xuân Giáp, Trường Đại học Vinh<br /> ThS. Ngô Hà Châu Loan<br /> ThS. Bùi Đình Thắng<br /> Trường Đại học Kinh tế Nghệ An<br /> Tôn Nữ Minh Ngọc, Sinh viên Trường Đại học Vinh<br /> <br /> Duong Xuan Giap, Ph.D., Vinh University<br /> Ngo Ha Chau Loan, M.Sc.<br /> Bui Dinh Thang, M.Sc.<br /> Nghe An College of Economics<br /> Ton Nu Minh Ngoc, Student of Vinh University<br /> <br /> <br /> <br /> Tóm tắt<br /> Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra khái niệm giới hạn dưới và giới hạn trên của mảng các biến ngẫu<br /> nhiên cho hai trường hợp: max hoặc min các tọa độ tiến tới vô cùng. Từ đó, chúng tôi nghiên cứu và<br /> mở rộng các tính chất về giới hạn dưới và giới hạn trên từ trường hợp dãy sang trường hợp mảng. Cuối<br /> cùng, chúng tôi thu được một số ứng dụng của chúng trong việc thiết lập định lý ergodic cho nhiều phép<br /> biến đổi, trong chứng minh luật số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên 2-hoán đổi được và trong<br /> chứng minh chiều “ limsup ” của hội tụ Mosco.<br /> <br /> Từ khóa: giới hạn dưới, giới hạn trên, biến ngẫu nhiên, bổ đề Fatou, định lý hội tụ bị chặn Lebesgue,<br /> định lý ergodic Birkhoff, luật số lớn.<br /> Abstract<br /> In this paper, we introduce the concepts of lower limit and upper limit of array of random variables for<br /> two cases: max of indicators tends to infinity, and min of indicators tends to infinity. Thereby, we study<br /> and extend some properties of lower limit and upper limit to the multidimensional array case. Finally,<br /> we obtain some of their applications in proving multidimensional Birkhoff’s ergodic theorem, in<br /> proving strong law of large numbers for array of - exchangeable random elements, and in proving<br /> “ limsup ” part of Mosco convergence.<br /> <br /> Keywords: lower limit, upper limit, random variable, Fatou’s lemma, Lebesgue’s<br /> bounded convergence theorem, Birkhoff’s ergodic theorem, the law of large numbers.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 73<br />  1. Phần mở đầu Bổ đề 2.2. (xem [10]) Họ các biến<br /> Giới hạn dưới và giới hạn trên của dãy ngẫu nhiên là khả tích đều khi<br /> các số thực là một khái niệm có vai trò và chỉ khi hai điều kiện sau thỏa mãn:<br /> quan trọng trong lý thuyết xác suất, đặc ,<br /> biệt là trong các định lý giới hạn. Dựa vào<br /> các khái niệm này, ta có Bổ đề Fatou và với mọi , tồn tại sao<br /> ứng dụng để chứng minh định lý hội tụ bị cho với mọi , thì<br /> chặn Lebesgue, định lý hội tụ đơn điệu, các<br /> tính chất khả tích đều, định lý ergodic<br /> Birkhoff, luật số lớn và chiều “ limsup ” Định nghĩa 2.3. Họ các phần tử ngẫu<br /> của hội tụ Mosco trong xác suất đa trị, ... nhiên được gọi là khả tích đều<br /> Khi nghiên cứu các định lý giới hạn nếu họ các biến ngẫu nhiên<br /> trong lý thuyết xác suất cho cấu trúc nhiều là khả tích đều.<br /> chỉ số, việc xây dựng khái niệm và nghiên Bổ đề 2.4. (Định lý hội tụ đơn điệu,<br /> cứu tính chất của giới hạn dưới, giới hạn xem [1]) Nếu dãy các biến ngẫu nhiên<br /> trên đối với mảng các biến ngẫu nhiên không âm thỏa mãn<br /> đóng một vai trò hết sức quan trọng. khi (X là một biến ngẫu<br /> 2. Kiến thức chuẩn bị nhiên) thì khi .<br /> Trong suốt bài báo này, chúng tôi luôn Định nghĩa 2.5. Mảng các phần tử<br /> giả thiết rằng là một không gian ngẫu nhiên được gọi là 2-<br /> xác suất, là không gian Banach thực, khả hoán đổi được nếu với mọi ,<br /> ly và là không gian đối ngẫu của . Ký và mọi ,<br /> hiệu là -đại số Borel trên . Ký hiệu<br /> (tương ứng, ) là tập tất cả các số thực Định nghĩa 2.6. ([9]) Một phép biến<br /> (tương ứng, tập tất cả các số tự nhiên). đổi được gọi là đo được nếu<br /> Giả sử , ta , với mọi .<br /> ký hiệu Một phép biến đổi<br /> và . được gọi là bảo toàn độ đo nếu T là đo<br /> Với , ta viết (tương được và đồng thời ,<br /> ứng, ) nếu (tương ứng, với mọi . Khi đó, ta nói là độ đo<br /> ) với mọi . Với hai T-bất biến.<br /> số thực và , giá trị lớn nhất và giá trị Một tập được gọi là T-bất<br /> nhỏ nhất của chúng tương ứng được ký biến nếu .<br /> hiệu bởi và . Với mỗi Một biến ngẫu nhiên được gọi<br /> , lôgarit cơ số của được ký<br /> là T-bất biến nếu .<br /> hiệu là . Một phép biến đổi bảo toàn độ đo<br /> Định nghĩa 2.1. (xem [10]) Họ các<br /> được gọi là ergodic nếu các<br /> biến ngẫu nhiên được gọi là<br /> tập T-bất biến chỉ có xác suất 0 hoặc 1;<br /> khả tích đều nếu nghĩa là, với mọi , điều kiện<br /> khi . kéo theo<br /> <br /> 74<br /> hoặc . biến đổi bảo toàn độ đo. Đặc biệt, nếu<br /> Nhận xét 2.7. (1) Phép biến đổi bảo là một phép biến đổi bảo toàn<br /> toàn độ đo được viết một cách độ đo thì phép lặp cũng là một<br /> đầy đủ là bởi phép biến đổi bảo toàn độ đo.<br /> vì tính chất bảo toàn độ đo phụ thuộc vào (4) Theo U. Krengel [9, tr. 5], biến<br /> -đại số và vào độ đo. ngẫu nhiên là T-bất biến nếu và chỉ nếu<br /> (2) Họ tất cả các tập T-bất biến lập là -đo được.<br /> thành một -đại số con của -đại số . Ta Ký hiệu là họ tất cả các tập con<br /> ký hiệu -đại số này là . đóng và khác rỗng của . Với ,<br /> (3) Nếu là các phép ký hiệu là bao lồi đóng của A, hàm<br /> biến đổi bảo toàn độ đo thì tích tựa của A được định nghĩa<br /> (còn được viết gọn là ) cũng là phép bởi<br /> <br /> 3. Giới hạn dưới và giới hạn trên của mảng các biến ngẫu nhiên<br /> Định nghĩa 3.1. Giới hạn dưới (tương ứng, ) và giới hạn trên<br /> <br /> (tương ứng, ) của mảng các số thực khi<br /> <br /> (tương ứng, ) các tọa độ tiến tới vô cùng, được định nghĩa bởi<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Định nghĩa 3.2. Ta nói mảng hội tụ tới (hay, là giới<br /> hạn của mảng ) khi (tương ứng, ), ký hiệu<br /> (tương ứng, ) hoặc khi (tương ứng,<br /> ), nếu<br /> <br /> <br /> <br /> (tương ứng, ).<br /> <br /> Ta nói mảng hội tụ tới (hay, là giới hạn của mảng<br /> ) khi (tương ứng, ), ký hiệu<br /> (tương ứng, ) hoặc khi (tương ứng, ), nếu<br /> (tương ứng, ).<br /> <br /> 75<br /> Định nghĩa 3.3. Mảng được gọi là mảng con của mảng<br /> nếu nó là dãy con theo từng tọa độ, nghĩa là, nếu cố định tọa<br /> độ thì nó là dãy con ứng với tọa độ còn lại. Giới hạn của mảng con gọi<br /> là giới hạn riêng của mảng .<br /> Nhận xét 3.4. Với mỗi , đặt<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Khi đó: 1. Các dãy số và đều là dãy tăng.<br /> 2. Các dãy số và đều là dãy giảm.<br /> 3. Với mọi , . Từ đó,<br /> <br /> <br /> <br /> 4. Giới hạn dưới và giới hạn trên luôn tồn tại (có thể bằng ).<br /> 5. Nếu mảng bị chặn trên thì giới hạn dưới thuộc , nếu bị chặn<br /> dưới thì giới hạn trên thuộc và nếu bị chặn thì cả giới hạn dưới và giới hạn trên đều<br /> thuộc .<br /> 6. Nếu và , thì<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Định lý 3.5. Giả sử và . Khi đó, (tương ứng,<br /> <br /> ) khi và chỉ khi với mọi , tồn tại sao cho với mọi<br /> mà (tương ứng, ), ta có .<br /> Chứng minh. Sau đây chúng tôi trình bày chứng minh cho trường hợp , còn đối<br /> với trường hợp ta chứng minh hoàn toàn tương tự.<br /> Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp thực ( ). Đối với trường hợp không gian<br /> Banach bất kỳ, ta suy trực tiếp từ Định nghĩa 3.2 và kết quả trường hợp thực.<br /> : Với mọi : Theo giả thiết thì và . Do đó, tồn tại sao cho với<br /> mọi ,<br /> <br /> <br /> 76<br /> Khi đó, với mọi mà , ta có . Từ<br /> đó, . Như vậy, chiều thuận của định lý được chứng minh.<br /> : Với mọi , tồn tại sao cho với mọi mà , ta có<br /> , hay<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> .<br /> Kết hợp điều này với tính đơn điệu của các dãy số và , ta suy ra<br /> và . Do đó, . Từ đó, ta thu được điều<br /> phải chứng minh.<br /> Định lý 3.6. Đối với mảng các số thực ứng với sự hội tụ khi hoặc các tọa độ tiến<br /> tới vô cùng, ta luôn có<br /> giới hạn dưới giới hạn riêng giới hạn trên.<br /> Chứng minh. Chúng tôi trình bày chứng minh cho trường hợp “giới hạn dưới giới hạn<br /> riêng” và . Các trường hợp còn lại, ta chứng minh hoàn toàn tương tự.<br /> Ta chứng minh bằng phản chứng: Giả sử và tồn tại mảng con<br /> <br /> sao cho với . Với mọi , tồn tại<br /> <br /> sao cho với mọi mà ,<br /> <br /> <br /> Do nên với mọi . Cho , ta có<br /> <br /> . Do điều này đúng với mọi nên (mâu thuẫn với<br /> giả thiết phản chứng).<br /> Định lý 3.7. (Bổ đề Fatou) Giả sử là mảng các biến ngẫu nhiên không<br /> âm. Khi đó,<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> và .<br /> <br /> <br /> 77<br />  Nếu là mảng các biến ngẫu nhiên thỏa mãn h.c.c. với<br /> mọi , trong đó là các biến ngẫu nhiên khả tích (nghĩa là, và<br /> ), thì<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> và .<br /> <br /> Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp . Đối với trường hợp<br /> ta chứng minh hoàn toàn tương tự.<br /> Đặt , . Do nên theo định lý hội tụ đơn điệu<br /> <br /> (Bổ đề 2.4), ta có<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hơn nữa, với mọi và mọi thỏa mãn . Do đó,<br /> với mọi và mọi thỏa mãn . Từ đó, ta suy ra<br /> với mọi . Cho ta được điều phải chứng minh.<br /> <br /> Dựa vào và Nhận xét 3.4 (6).<br /> Định lý 3.8. (Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue) Giả sử là mảng các biến<br /> ngẫu nhiên thỏa mãn với mọi , trong đó , và<br /> h.c.c. (tương ứng, h.c.c.). Khi đó, khả tích và<br /> khi (tương ứng, ). Đặc biệt, khi<br /> (tương ứng, ).<br /> Chứng minh. Do h.c.c. nên h.c.c. với mọi . Áp<br /> dụng Định lý 3.7 cho mảng các biến ngẫu nhiên ta có điều phải chứng<br /> minh.<br /> Định nghĩa 3.9. Mảng các phần tử ngẫu nhiên được gọi là hội tụ theo<br /> trung bình cấp tới phần tử ngẫu nhiên khi (tương ứng,<br /> ) và được ký hiệu trong khi (tương ứng, ),<br /> nếu<br /> khi (tương ứng, ).<br /> Dựa vào bổ đề Fatou đối với mảng các biến ngẫu nhiên, chúng tôi thiết lập mối liên hệ<br /> giữa hội tụ h.c.c. và hội tụ theo trung bình cho cả hai trường hợp: và các tọa độ<br /> tiến tới vô cùng. Các kết quả này là chìa khóa để thu được các ứng dụng ở mục sau.<br /> <br /> 78<br /> Định lý 3.10. Giả sử mảng các biến ngẫu nhiên hội tụ h.c.c. tới biến ngẫu<br /> nhiên khi . Khi đó, với mọi số thực , hai phát biểu sau đây là tương<br /> đương:<br /> mảng là khả tích đều,<br /> và trong khi .<br /> Hơn nữa, nếu và một trong hai điều kiện , thỏa mãn thì<br /> khi .<br /> Chứng minh. : Theo bổ đề Fatou (Định lý 3.7) và Bổ đề 2.2, ta có<br /> <br /> <br /> <br /> Mặt khác, theo bất đẳng thức , ta có với mọi<br /> (trong đó, ). Do đó, mảng các biến ngẫu nhiên<br /> là khả tích đều.<br /> Với mọi và mọi ,<br /> <br /> <br /> Do khả tích đều nên tồn tại ( phụ thuộc vào ) sao cho<br /> <br /> <br /> <br /> Do bị chặn (bởi ) và hội tụ h.c.c. tới 0 khi<br /> nên theo định lý hội tụ bị chặn Lebesgue, ta có<br /> khi ,<br /> <br /> nghĩa là, tồn tại sao cho với mọi , , ta có<br /> <br /> <br /> <br /> Từ (3.1), (3.2) và (3.3), ta suy ra khi .<br /> : Với mọi , ta có<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Cố định . Do khi nên tồn tại sao cho với<br /> mọi , , . Ngoài ra, tồn tại sao cho với mọi<br /> <br /> , , ta đều có<br /> <br /> <br /> 79<br /> Khi đó,<br /> <br /> <br /> <br /> Do khi nên bị chặn. Do đó,<br /> trong (3.4), cho , ta được<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Vì vậy, khả tích đều.<br /> Nếu và được thỏa mãn thì khi . Kết hợp điều này<br /> với bất đẳng thức , ta suy ra khi .<br /> Đối với sự hội tụ khi các tọa độ tiến tới vô cùng, ta chỉ thu được kết quả yếu hơn như sau:<br /> Định lý 3.11. Giả sử mảng các biến ngẫu nhiên hội tụ h.c.c. tới biến ngẫu<br /> nhiên khi . Khi đó, với mọi số thực , nếu khả tích<br /> đều thì và trong khi .<br /> Chứng minh. Tương tự như trong chứng minh của Định lý 3.10 (phần ).<br /> Ví dụ sau đây sẽ chỉ ra rằng trong phát biểu của Định lý 3.11, ta không thu được kết luận<br /> mạnh hơn: “ khả tích đều khi và chỉ khi trong<br /> ”.<br /> Ví dụ 3.12. Ta định nghĩa mảng các biến ngẫu nhiên như sau<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Khi đó, mảng hội tụ h.c.c. và theo trung bình cấp tới biến ngẫu<br /> nhiên hằng 2015 khi . Tuy nhiên, do nên mảng<br /> <br /> không khả tích đều.<br /> Tiếp theo, chúng tôi mở rộng Định lý 3.10 cho trường hợp phần tử ngẫu nhiên.<br /> Định lý 3.13. Giả sử mảng các phần tử ngẫu nhiên hội tụ h.c.c. tới phần<br /> tử ngẫu nhiên khi . Khi đó, với mọi số thực , hai phát biểu sau đây là<br /> tương đương:<br /> mảng là khả tích đều,<br /> <br /> <br /> 80<br />  và trong khi .<br /> Hơn nữa, nếu và một trong hai điều kiện , thỏa mãn thì khi<br /> .<br /> Chứng minh. : Theo bổ đề Fatou (Định lý 3.7), Bổ đề 2.2 và Định nghĩa 2.3, ta có<br /> <br /> <br /> <br /> Mặt khác, theo bất đẳng thức , ta có<br /> <br /> <br /> với mọi . Do đó, mảng các biến ngẫu nhiên là khả tích đều.<br /> Áp dụng Định lý 3.10 cho mảng các biến ngẫu nhiên ta thu<br /> được trong khi . Điều này tương đương với<br /> trong .<br /> : Áp dụng Định lý 3.10 cho mảng các biến ngẫu nhiên<br /> ta suy ra mảng này khả tích đều. Từ giả thiết và bất đẳng thức<br /> (với mọi ) ta suy<br /> ra mảng là khả tích đều.<br /> Cuối cùng, chúng tôi mở rộng Định lý 3.11 cho trường hợp phần tử ngẫu nhiên.<br /> Định lý 3.14. Giả sử mảng các phần tử ngẫu nhiên hội tụ h.c.c. tới phần<br /> tử ngẫu nhiên khi . Khi đó, với mọi số thực , nếu<br /> khả tích đều thì và trong khi .<br /> Chứng minh. Lập luận tương tự như chứng minh của Định lý 3.13.<br /> 4. Một số ứng dụng<br /> Trong [2], N. Dunford chứng minh định lý ergodic Birkhoff với nhiều phép biến đổi cho<br /> trường hợp thực, trong đó kết quả hội tụ là một hàm khả tích. Kết quả này sau đó được N.<br /> Dunford, J. T. Schwartz [3] và N. A. Fava [6] mở rộng cho trường hợp các toán tử co. Sử<br /> dụng Định lý 3.11, chúng tôi thiết lập được định lý ergodic Birkhoff cho nhiều phép biến<br /> đổi mà giới hạn thu được là kỳ vọng có điều kiện ứng với -đại số các tập bất biến. Các<br /> phép biến đổi bảo toàn độ đo được giả thiết là giao hoán.<br /> Định lý 4.1. Giả sử là các phép biến đổi giao hoán, bảo toàn độ đo. Khi<br /> đó, nếu phần tử ngẫu nhiên thỏa mãn thì<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 81<br /> trong đó . Hơn nữa, nếu là ergodic với nào đó thuộc , thì<br /> <br /> h.c.c.<br /> Chứng minh. Đầu tiên, chúng ta sẽ chứng minh định lý cho trường hợp nhận giá trị thực.<br /> Với mọi , ta có<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Dựa trên kết quả của N. A. Fava [6, Hệ quả, tr. 281] (hoặc có thể tham khảo [9,Định lý 1.1,<br /> tr. 196]), tồn tại các tập với xác suất sao cho<br /> <br /> <br /> và<br /> <br /> <br /> trong đó và đều thuộc .<br /> <br /> <br /> Do là phép biến đổi bảo toàn độ đo nên . Đặt ,<br /> <br /> ta có . Tiếp tục, đặt , chúng ta có . Vì vậy, trong công<br /> <br /> thức (4.1), với mọi , cho , chúng ta thu được . Điều<br /> này tương đương với h.c.c., và do đó là -đo được.<br /> Dựa trên tính giao hoán của các phép biến đổi , ta suy ra hàm giới hạn là<br /> biến ngẫu nhiên -đo được với mọi . Từ đó, là -đo được.<br /> <br /> <br /> 82<br /> Cố định bất kỳ thuộc . Với mọi , do là -đo được nên là -bất<br /> biến. Điều này dẫn tới<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Tiếp theo, ta chứng tỏ rằng mảng các biến ngẫu nhiên<br /> là khả tích đều. Thật vậy, do nên ta có thể giả sử . Cố định bất<br /> kỳ, từ , ta suy ra tồn tại sao cho<br /> <br /> Đặt , ta kiểm tra được rằng và .<br /> Do đó,<br /> <br /> <br /> <br /> Từ , ta suy ra . Kết hợp điều này<br /> với , ta có . Vì vậy,<br /> <br /> <br /> <br /> Tiếp tục, do , nên với mọi ,<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Từ đó,<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Bây giờ ta chọn sao cho . Khi đó, với mọi thỏa mãn<br /> <br /> , chúng ta thu được . Kết hợp điều này với<br /> với mọi số nguyên dương , ta suy ra<br /> rằng là khả tích đều.<br /> Kết hợp (4.2) với đẳng thức với<br /> mọi , ta thu được rằng mảng các biến ngẫu nhiên<br /> <br /> 83<br />  hội tụ h.c.c. tới biến ngẫu nhiên khi<br /> . Từ đó, theo (4.4) và áp dụng Định lý 3.11, ta có . Vì vậy,<br /> . Như vậy, định lý được chứng minh cho trường hợp nhận giá trị thực.<br /> Phần tiếp theo, chúng tôi chứng minh định lý cho trường hợp nhận giá trị trên không<br /> gian Banach thực, khả ly. Với mọi và mọi , áp dụng định lý ergodic<br /> Birkhoff cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực (chứng minh ở trên) , ta có<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Do đó, định lý được chứng minh cho trường hợp là phần tử ngẫu nhiên đơn giản.<br /> Với phần tử ngẫu nhiên bất kỳ và với mọi dãy các phần tử ngẫu nhiên đơn giản<br /> , ta có<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Với mỗi cố định, áp dụng định lý ergodic Birkhoff cho mỗi phần tử ngẫu nhiên đơn<br /> giản , số hạng thứ hai ở vế phải của bất đẳng thức (4.5) hội tụ tới h.c.c. khi<br /> . Do vậy,<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Bởi vì nên ta có thể chọn được dãy các phần tử ngẫu nhiên<br /> đơn giản thoả mãn h.c.c. với mọi , h.c.c. khi , và số<br /> hạng cuối ở vế phải của (4.6) hội tụ tới h.c.c. khi .<br /> Tiếp theo, từ đẳng thức , ta có<br /> , với và .<br /> Với mỗi , áp dụng định lý ergodic Birkhoff cho biến ngẫu nhiên thực, ta suy ra<br /> hội tụ h.c.c. tới biến ngẫu nhiên khi sao cho<br /> . Điều này kéo theo dãy các biến ngẫu nhiên hội tụ theo<br /> trung bình tới , và do đó nó hội tụ theo xác suất tới . Từ đó, tồn tại dãy con<br /> của dãy sao cho hội tụ h.c.c. tới . Vì vậy,<br /> h.c.c. khi . Định lý được chứng minh.<br /> Năm 1996, N. Etemadi và M. Kaminski [5] đã chứng minh luật số lớn đối với mảng<br /> các biến ngẫu nhiên 2-hoán đổi được cho các trường hợp hội tụ h.c.c. và hội tụ theo trung<br /> <br /> <br /> 84<br /> bình. Sau đó, năm 1997, N. Etemadi [4] mở rộng [5, Định lý 2] của N.Etemadi và M.<br /> Kaminski đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach khả ly<br /> cho trường hợp hội tụ h.c.c. Dựa trên Định lý 3.10, chúng tôi hoàn thiện sự mở rộng trên<br /> của N. Etemadi đối với [5, Định lý 2].<br /> Định lý 4.2. Giả sử là một mảng các phần tử ngẫu nhiên -hoán đổi được,<br /> nhận giá trị trên . Nếu thì<br /> <br /> h.c.c. và trong khi ,<br /> <br /> trong đó là một phần tử ngẫu nhiên nào đó thỏa mãn .<br /> <br /> Chứng minh. Theo [4, Hệ quả 1], tồn tại phần tử ngẫu nhiên thỏa mãn<br /> <br /> h.c.c. khi .<br /> Sử dụng [5, Định lý 2] cho mảng các biến ngẫu nhiên -hoán đổi được , ta<br /> suy ra rằng mảng các biến ngẫu nhiên hội tụ hầu chắc chắn và<br /> trong tới một biến ngẫu nhiên nào đó khi sao cho<br /> <br /> <br /> <br /> Theo Định lý 3.10, mảng các biến ngẫu nhiên là khả tích đều, và<br /> <br /> do đó mảng các phần tử ngẫu nhiên cũng là khả tích đều. Hơn nữa,<br /> <br /> mảng các phần tử ngẫu nhiên này hội tụ hầu chắc chắn tới khi , do vậy nó<br /> hội tụ trong tới phần tử ngẫu nhiên khi bằng cách áp dụng Định lý 3.13.<br /> Vì vậy,<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Định lý được chứng minh.<br /> Giả sử . Để thuận tiện, các tôpô (tôpô sinh bởi chuẩn) và<br /> (tôpô yếu) trên được ký hiệu chung là . Đặt<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> trong đó là một mảng con của mảng (ở đây, mảng con<br /> <br /> <br /> 85<br /> được hiểu theo nghĩa là dãy con theo từng tọa độ). Ta nói mảng hội tụ<br /> Mosco tới khi nếu<br /> <br /> <br /> <br /> Kết quả thu được sau đây được sử dụng khi chứng minh chiều “ ” của hội tụ Mosco<br /> đối với luật số lớn đa trị cho mảng kép.<br /> Định lý 4.3. Giả sử và là một tập con đếm được của<br /> sao cho khi và chỉ khi với mọi (sự tồn tại của<br /> dựa vào định lý tách Hahn-Banach). Khi đó, nếu<br /> <br /> <br /> <br /> với mọi , thì<br /> <br /> <br /> <br /> Chứng minh. Với mỗi , tồn tại mảng sao cho<br /> <br /> với là mảng con của mảng và<br /> khi . Áp dụng Định lý 3.6,<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Điều này kéo theo . Do đó, ta thu được điều phải chứng minh.<br /> Cuối cùng, chúng tôi cho một ứng dụng của giới hạn dưới và giới hạn trên của mảng các số<br /> thực khi mở rộng điều kiện mà F. Hiai sử dụng trong [8, Định lý 3.3] từ trường hợp dãy<br /> sang trường hợp mảng nhiều chỉ số.<br /> Định lý 4.4. Giả sử . Khi đó, nếu tồn tại sao cho<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> thì với mọi , khi .<br /> Chứng minh. Do (4.7) nên<br /> <br /> <br /> <br /> Mặt khác, với mỗi , tồn tại mảng sao cho và<br /> <br /> <br /> 86<br />  . Khi đó, với mọi ,<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Do điều này đúng với mọi nên<br /> <br /> <br /> <br /> Từ (4.9) và (4.10), ta suy ra<br /> <br /> <br /> <br /> Kết hợp điều này với giả thiết (4.8) và sử dụng Nhận xét 3.4 (3), ta thu được điều phải<br /> chứng minh.<br /> <br /> <br /> <br /> 5. Kết luận TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> Tiếng Việt:<br /> Bài báo này đã xây dựng khái niệm 1. Nguyễn Duy Tiến và Vũ Viết Yên (2003), Lý<br /> giới hạn dưới và giới hạn trên của mảng thuyết xác suất, Nxb Giáo dục.<br /> các biến ngẫu nhiên ứng với max hoặc min Tiếng Anh:<br /> các tọa độ tiến tới vô cùng, nghiên cứu một 2. N. Dunford, An individual ergodic theorem<br /> số tính chất và ứng dụng của chúng. Các for non-commutative transformations, Acta<br /> kết quả này là sự mở rộng các kết quả Scientiarum Mathematicarum (Szeged), 14<br /> (1951), 1-4.<br /> tương ứng từ trường hợp một chỉ số sang<br /> 3. N. Dunford and J. T. Schwartz, Convergence<br /> trường hợp nhiều chỉ số và là sự tiếp nối almost everywhere of operator averages, J.<br /> các kết quả nghiên cứu của N. Dunford [2], Rational Mech. Anal., 5 (1956), 129-178.<br /> A. Zygmund [11], N. Dunford và J. T. 4. N. Etemadi, Criteria for the strong law of<br /> Schwartz [3] và N. A. Fava [6] về định lý large numbers for sequences of arbitrary<br /> ergodic Birkhoff với nhiều phép biến đổi, random vectors, Statistics and Probability<br /> của N. Etemadi [4] về luật số lớn cho mảng Letters, 33 (1997), 151-157.<br /> 5. N. Etemadi and M. Kaminski, Strong law of<br /> các phần tử ngẫu nhiên -hoán đổi được,<br /> của F. Hiai [8] và C. Hess [7] về chiều large numbers for -exchangeable random<br /> variables, Statistics and Probability Letters,<br /> “ limsup ” của hội tụ Mosco đối với mảng<br /> 28 (1996), 245-250.<br /> các biến ngẫu nhiên đa trị. 6. N. A. Fava, Weak type inequalities for<br /> product operators, Studia Mathematica, 42<br /> Nghiên cứu này được tài trợ bởi Quỹ<br /> (1972), 271-288.<br /> Phát triển khoa học và công nghệ Quốc gia 7. C. Hess, Loi forte des grands nombres pour<br /> (NAFOSTED) trong đề tài mã số des ensembles aléatoires non bornés à valeurs<br /> . dans un espace de Banach séparable, Comptes<br /> <br /> <br /> 87<br />  Rendus Hebdomadaires des Séances de Gruyter Studies in Mathematics, 6, Berlin-<br /> l’Académie des Sciences, Série A et B, 300 New York, 1985.<br /> (1985), 177-180. 10. D. Williams, Probability with Martingales,<br /> 8. F. Hiai, Convergence of conditional Cambridge University Press, New York,<br /> expectation and strong law of large numbers 1997.<br /> for multivalued random variables, 11. A. Zygmund, An individual ergodic theorem<br /> Transactions of the American Mathematical for non-commutative transformations, Acta<br /> Society, 291 (1985), 613-627. Scientiarum Mathematicarum (Szeged), 14<br /> 9. U. Krengel, Ergodic theorems, Walter de (1951), 103-110.<br /> <br /> <br /> Ngày nhận bài: 29/7/2016 Biên tập xong: 15/11/2016 Duyệt đăng: 20/11/2016<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 88<br />