HÀM NHIỀU BIẾNTRONG XÁC SUẤT THỐNG KÊ (Nguyễn Ngọc lan) -1

Chia sẻ: Le Nhu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

68
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 3. HÀM NHIỀU BIẾN 1.MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Không gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiệu (x1, x2,… xn) (xi R, i = 1,.. n) được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu là Rn. Rn = {x = (x1, x2,… xn): xi R, i = 1,.. n}

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: HÀM NHIỀU BIẾNTRONG XÁC SUẤT THỐNG KÊ (Nguyễn Ngọc lan) -1

Chương 3. HÀM NHIỀU BIẾN 1.MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Không gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiệu (x1, x2,… xn) (xi  R, i = 1,.. n) được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu là Rn. Rn = {x = (x1, x2,… xn): xi  R, i = 1,.. n} Trong đó xi là toạ độ thứ i của điểm x. Khoảng cách 2 điểm: x = (x1,x2,… xn), y = (y1,y2,… yn)  Rn: n  yi ) 2  (x d ( x, y )  i i 1 Một số tính chất của d: a) d(x,y)  0; d(x,y) = 0  xi = yi, I  x = y b) d(x,y) = d(y,x) c) d(x,y)  d(x,z) + d (z,y) Lân cận: Cho x0Rn và số r > 0. Tập S(x0, r) = {x  Rn: d(x,x0) < r} được gọi là một lân cận của x0. Điểm trong: Điểm x0Rn được gọi là điểm trong của D  Rn nếu D chứa một lân cận của x0
Điểm biên: Điểm x0  Rn được gọi là điểm biên của D  Rn nếu mọi lân cận của x0 đều chứa ít nhất các điểm x, y: x  D, y  D. Tập hợp mọi điểm biên của D được gọi là biên của D Tập đóng: Nếu biên của D thuộc D. Tập mở: Nếu biên của D không thuộc D. Hàm 2 biến: D  R2, một ánh xạ f: D  R, được gọi là hàm số 2 biến. Ký hiệu: D: miền xác định • f(D) = {zD: z = f(x,y), (x,y)  D} gọi là miền giá trị • Ví dụ: Tìm miền xác định: z = 2x – 3y +5 z  1 x2 y 2 z = ln(x + y -1) Hàm n biến: D  Rn, một ánh xạ f: D  R được gọi là hàm số n biến. Ký hiệu: f : ( x1, x2 ,...xn )  z  f ( x1 , x2 ,...xn ) 2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Giới hạn hàm số: Cho hàm f(x,y) xác định tại lân cận M0(x0,y0), có thể không xác định tại M0. Số thực L được gọi là giới hạn của f khi M(x,y) tiến đến M0(x0,y0), nếu:  > 0,  > 0: d(M,M0) <  => f(M) – L <  d(M, M 0 )  (x - x 0 ) 2  (y - y0 ) 2
lim f (M )  L f ( x, y )  L lim lim f ( x, y )  L M M0 ( x , y )( x0 , y0 ) x  x0 y  y0 Khái niệm vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến. • Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm số một biến cũng • đúng cho hàm số nhiều biến. Ví dụ: xy sin( x 2  y 2 ) lim lim x2  y 2 x  y2 2 ( x , y )( 0 , 0 ) ( x , y ) ( 0 , 0 ) Liên tục của hàm: f được gọi là liên tục tại (x0,y0) nếu f ( x, y )  f ( x0 , y0 ) lim ( x , y )( x0 , y0 ) Định lý: Nếu f(x,y) liên tục trên một tập đóng và bị chặn trên D  R2 thì: Tồn tại số M: |f(x,y)| ≤ M • f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên D • Tương tự ta có thể định nghĩa giới hạn và sự liên tục của hàm số đối với hàm n biến (n≥3) 3. ĐẠO HÀM RIÊNG
Định nghĩa: cho hàm z = f(x,y) xác định trong miền D, M0(x0,y0)  D. Nếu cho y = y0 là hằng số, hàm số một biến f(x,y0) có đạo hàm tại x = x0, được gọi là đạo hàm riêng f z f x' ( x0 , y0 ), ( x0 , y0 ), ( x0 , y0 ) Ký hiệu: x x của f đối với x tại M0. Đặt xf = f(x0 + x, y0)-f(x0,y0): Số gia riêng của f tại M0. x f f x'  lim x 0 x Tương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng của f theo biến y. y f f y'  lim y  0  y Tương tự ta cũng có đạo hàm riêng đối với hàm n biến số (n3). Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng: z  x 4  5 x3 y 2  2 y 4 u  xy
Đạo hàm riêng cấp cao: Cho hàm số f(x,y). Các đạo hàm riêng f’x, f’y được gọi là những đạo hàm riêng cấp 1. Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 nếu tồn tại   f   2 f   f   2 f '' ''  2  f xx ( x, y )    f yx ( x, y )  xược gọi lx đạo hàm riêng y ấp x  yx đ  x  à  c   2.   f   2 f   f   2 f '' ''      f xy ( x, y )  y  yy  f yy ( x, y )  y  xy x   y   Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm riêng cấp 3,… Định lý (Schwarz): Nếu trong lân cận nào đó của M0 hàm số f(x,y) tồn tại các đạo hàm riêng và liên tục tại M0 thì fxy = fyx tại M0. Định lý này cũng đúng cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn của n biến số (n3) Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm z = f(u,v) là các hàm số khả vi của u,v và các hàm số u = u(x,y), v = v(x,y) có các đạo hàm riêng ux, uy, vx, vy thì tồn tại các đạo hàm riêng: z f u f v z f u f v     x u x v x y u y v y Ví dụ: Tính z = eucosv, u = xy, v = x/y 4. ĐẠO HÀM HÀM ẨN