Hàm số-ôn thi cấp tốc đại học 2009

Chia sẻ: Trần Bá Trung5 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:149

Thêm vào BST

Báo xấu

174
lượt xem 88
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu " Hàm số-ôn thi cấp tốc đại học 2009 " giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập toán học một cách thuận lợi và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình.Chúc các bạn học tốt

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hàm số-ôn thi cấp tốc đại học 2009

Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu các em thu n ti n trong vi c ôn luy n thi i h c và Cao ng năm 2009 . Chúng tôi g i t ng các em bài vi t nh mang tính t ng quát gi i tích hàm s l p 12 , cũng như m t s ng d ng c áo gi i quy t khá tri t nh ng d ng toán t ng c p các l p h c dư i mà các em còn b ngõ . Tài li u ư c c p nhi u ch chuyên phù h p vi c ôn luy n thi c p t c chu n b kỳ thi i h c tháng 7/2009 . Trong quá trình biên so n ch c h n còn nhi u ch thi u sót khách quan, chúng tôi r t mong óng góp quý báu c a các b n c gi g n xa , thư góp ý g i v email: phukhanh1009@gmail.com . Tài li u này còn ư c lưu tr t i hai website : http://www.mathsvn.violet.vn và http://www.maths.vn .
Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu Bài 1: TÍNH ƠN I U C A HÀM S 1.1 TÓM T T LÝ THUY T 1. nh nghĩa : Gi s K là m t kho ng , m t o n ho c m t n a kho ng . Hàm s f xác nh trên K ư c g i là • ( ) ( ) ng bi n trên K n u v i m i x 1, x 2 ∈ K , x 1 < x 2 ⇒ f x 1 < f x 2 ; • Ngh ch bi n trên K n u v i m i x 1, x 2 ∈ K , x 1 < x 2 ⇒ f (x ) > f (x ) . 1 2 2. i u ki n c n hàm s ơn i u : Gi s hàm s f có o hàm trên kho ng I • N u hàm s f ( ) ng bi n trên kho ng I thì f ' x ≥ 0 v i m i x ∈ I . • N u hàm s f ngh ch bi n trên kho ng I thì f ' ( x ) ≤ 0 v i m i x ∈I . 3. i u ki n hàm s ơn i u : nh lý 1 : nh lý v giá tr trung bình c a phép vi phân ( nh lý Lagrange): ( ) N u hàm s f liên t c trên a;b  và có o hàm trên kho ng a;b thì t n t i ít nh t m t i m c ∈ a;b sao   ( ) () () ( )( cho f b − f a = f ' c b − a . ) nh lý 2 : Gi s I là m t kho ng ho c n a kho ng ho c m t o n , f là hàm s liên t c trên I và có o hàm t i m i i m trong c a I ( t c là i m thu c I nhưng không ph i u mút c a I ) .Khi ó : ( ) • N u f ' x > 0 v i m i x ∈ I thì hàm s f ng bi n trên kho ng I ; • N u f ' (x ) < 0 v i m i x ∈ I thì hàm s f ngh ch bi n trên kho ng I ; • N u f ' (x ) = 0 v i m i x ∈ I thì hàm s f không i trên kho ng I . Chú ý : • N u hàm s f liên t c trên a;b  và có   ( ) ( ) o hàm f ' x > 0 trên kho ng a;b thì hàm s f ng bi n trên a;b  .   • N u hàm s f liên t c trên a;b  và có   ( ) ( ) o hàm f ' x < 0 trên kho ng a;b thì hàm s f ngh ch bi n trên a;b  .   • Ta có th m r ng nh lí trên như sau : Gi s hàm s f có o hàm trên kho ng I . N u f '(x ) ≥ 0 v i ∀x ∈ I ( ho c f '(x ) ≤ 0 v i ∀x ∈ I ) và f '(x ) = 0 t i m t s h u h n i m c a I thì hàm s f ng bi n (ho c ngh ch bi n) trên I .
Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 1.2 D NG TOÁN THƯ NG G P. D ng 1 : Xét chi u bi n thiên c a hàm s . ( ) Xét chi u bi n thiên c a hàm s y = f x ta th c hi n các bư c sau: • Tìm t p xác nh D c a hàm s . • Tính o hàm y ' = f ' x . ( ) • Tìm các giá tr c a x thu c D ( ) ( ) f ' x = 0 ho c f ' x không xác nh ( ta g i ó là i m t i h n hàm s ). ( ) • Xét d u y ' = f ' x trên t ng kho ng x thu c D . • D a vào b ng xét d u và i u ki n suy ra kho ng ơn i u c a hàm s . Ví d 1 :Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau: 1. y = − x 3 − 3x 2 + 24x + 26 2. y = x 3 − 3x 2 + 2 3. y = x 3 + 3x 2 + 3x + 2 Gi i: 1. y = − x − 3x + 24x + 26 . 3 2 Hàm s ã cho xác nh trên » . Ta có : y ' = −3x 2 − 6x + 24 x = −4 y ' = 0 ⇔ −3x 2 − 6x + 24 = 0 ⇔  x = 2  B ng xét d u c a y ' x −∞ −4 2 +∞ y' − 0 + 0 − ( ) y ' > 0, x ∈ −4;2 ⇒ y ng bi n trên kho ng ( −4;2 ) , y ' > 0, x ∈ ( −∞; −4 ) , ( 2; +∞ ) ⇒ y ngh ch bi n trên các kho ng ( −∞; −4 ) , ( 2; +∞ ) . Ho c ta có th trình bày : Hàm s ã cho xác nh trên » . Ta có : y ' = −3x 2 − 6x + 24 x = −4 y ' = 0 ⇔ −3x 2 − 6x + 24 = 0 ⇔  x = 2  B ng bi n thiên x −∞ −4 2 +∞ y' − 0 + 0 − +∞ y −∞ V y, hàm s ( ) ( ng bi n trên kho ng −4;2 , ngh ch bi n trên các kho ng −∞; −4 và 2; +∞ . ) ( )
Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 2. y = x 3 − 3x 2 + 2 Hàm s ã cho xác nh trên » . Ta có : y ' = 3x 2 − 6x = 3x (x − 2) x = 0 y ' = 0 ⇔ 3x (x − 2) = 0 ⇔  x = 2  B ng bi n thiên. x −∞ 0 2 +∞ y' + 0 − 0 + y V y hàm ng bi n trên m i kho ng (−∞; 0) và (2; +∞) , ngh ch bi n (0;2) . 3. y = x + 3x 2 + 3x + 2 3 Hàm s ã cho xác nh trên » . ( ) ( ) 2 Ta có: f ' x = 3x 2 = 6x + 3 = 3 x + 1 ( ) ( ) f ' x = 0 ⇔ x = −1 và f ' x > 0 v i m i x ≠ −1 Vì hàm s  (  ) ng bi n trên m i n a kho ng −∞; −1 và  −1; +∞ nên hàm s ng bi n trên » . Ho c ta có th trình bày : x −∞ −1 +∞ y' + 0 + +∞ y 1 −∞ Vì hàm s  (  ) ng bi n trên m i n a kho ng −∞; −1 và  −1; +∞ nên hàm s ng bi n trên » . Ví d 2 :Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau: 1 1. y = − x 4 + 2x 2 − 1 4 2. y = x + 2x 2 − 3 4 3. y = x 4 − 6x 2 + 8x + 1 Gi i: 1 4 1. y = − x + 2x 2 − 1 . 4 Hàm s ã cho xác nh trên » . ( Ta có: y ' = − x 3 + 4x = −x x 2 − 4 )
Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu x = 0 ( ) y ' = 0 ⇔ −x x 2 − 4 = 0 ⇔  x = ±2  B ng bi n thiên x −∞ −2 0 2 +∞ y' + 0 − 0 + 0 − y +∞ −∞ V y, hàm s ( ) ( ) ng bi n trên các kho ng −∞; −2 , 0;2 và ngh ch bi n ( )( trên các kho ng −2; 0 , 2; +∞ . ) 2. y = x 4 + 2x 2 − 3 Hàm s ã cho xác nh trên » . ( Ta có: y ' = 4x 3 + 4x = 4x x 2 + 1 ) Vì x 2 + 1 > 0, ∀x ∈ » nên y ' = 0 ⇔ x = 0 . B ng bi n thiên x −∞ 0 +∞ y' − + +∞ +∞ y V y, hàm s ( ) ng bi n trên kho ng 0; +∞ và ngh ch bi n trên kho ng −∞; 0 . ( ) 3. y = x 4 − 6x 2 + 8x + 1 Hàm s ã cho xác nh trên » . Ta có: y ' = 4x 3 − 12x + 8 = 4(x − 1)2 (x + 2) x = −2 y ' = 0 ⇔ 4(x − 1)2 (x + 2) = 0 ⇔  x = 1  B ng bi n thiên: x −∞ −2 1 +∞ y' − 0 + 0 + y V y,hàm ng bi n trên kho ng (−2; +∞) và ngh ch bi n trên kho ng (−∞; −2) . Nh n xét: * Ta th y t i x = 1 thì y = 0 , nhưng qua ó y ' không i d u. * i v i hàm b c b n y = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e luôn có ít nh t m t kho ng ng bi n và m t kho ng ngh ch bi n. Do v y v i hàm b c b n
Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu không th ơn i u trên » . Ví d 3 :Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau: 2x − 1 1. y = x +1 x +2 2. y = x −1 −x 2 + 2x − 1 3. y = x +2 x + 4x + 3 2 4. y = x +2 Gi i: 2x − 1 1. y = . x +1 Hàm s ã cho xác ( nh trên kho ng −∞; −1 ∪ −1; +∞ .) ( ) 3 Ta có: y ' = > 0, ∀x ≠ −1 ( x + 1) 2 V y hàm s ( ng bi n trên m i kho ng −∞; −1 và −1; +∞ . ) ( ) x +2 2. y = x −1 Hàm s ã cho xác ( nh trên kho ng −∞;1 ∪ 1; +∞ . ) ( ) 3 Ta có: y ' = - < 0, ∀x ≠ 1 ( x − 1) 2 V y hàm s ng bi n trên m i kho ng −∞;1 và 1; +∞ . ( ) ( ) −x 2 + 2x − 1 3. y = x +2 Hàm s ã cho xác nh trên kho ng −∞; −2 ∪ −2; +∞ . ( ) ( ) −x 2 − 4x + 5 Ta có: y ' = , ∀x ≠ −2 (x + 2) 2 x = −5 y' = 0 ⇔  x = 1  B ng bi n thiên : x −∞ −5 −2 1 +∞ y' − 0 + + 0 − +∞ +∞ y −∞ −∞
Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu V y, hàm s ( ) ng bi n trên các kho ng −5; −2 và −2;1 , ngh ch bi n( ) ( trên các kho ng −∞; −5 và 1; +∞ .) ( ) x 2 + 4x + 3 4. y = x +2 Hàm s ã cho xác nh trên kho ng −∞; −2 ∪ −2; +∞ .( ) ( ) x 2 + 4x + 5 Ta có: y ' = > 0, ∀x ≠ −2 (x + 2 ) 2 B ng bi n thiên : x −∞ −2 +∞ y' + + +∞ +∞ y −∞ −∞ V y , hàm s ( ng bi n trên m i kho ng −∞; −2 và −2; +∞ . ) ( ) Nh n xét: ax + b * i v i hàm s y = (a.c ≠ 0) luôn ng bi n ho c luôn ngh ch cx + d bi n trên t ng kho ng xác nh c a nó. ax 2 + bx + c * i v i hàm s y = luôn có ít nh t hai kho ng ơn i u. a 'x + b ' * C hai d ng hàm s trên không th luôn ơn i u trên » . Ví d 4 :Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau: 1. y =| x 2 − 2x − 3 | 2. y = 3x 2 − x 3 Gi i: 1. y =| x 2 − 2x − 3 | Hàm s ã cho xác nh trên » . x 2 − 2x − 3 khi x ≤ −1 ∪ x ≥ 3  Ta có: y =  2 −x + 2x + 3 khi − 1 < x < 3  2x − 2 khi x < −1 ∪ x > 3  ⇒y'=  ⇒y'=0 ⇔x =1 −2x + 2 khi − 1 < x < 3   Hàm s không có o hàm t i x = −1 và x = 3 . B ng bi n thiên: x −∞ −1 1 3 +∞ y' − 0 + 0 − 0 + y
Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu Hàm ng bi n trên m i kho ng (−1;1) và (3; +∞) , ngh ch bi n trên (−∞; −1) và (1; 3) . 2. y = 3x 2 − x 3 Hàm s ã cho xác nh trên n a kho ng (−∞; 3] 3(2x − x 2 ) Ta có: y ' = , ∀x < 3, x ≠ 0 . 2 3x − x 2 3 ∀x < 3, x ≠ 0 : y ' = 0 ⇔ x = 2 Hàm s không có o hàm t i các i m x = 0, x = 3 . B ng bi n thiên: −∞ 0 2 3 +∞ x y' − || + 0 − || y Hàm ng bi n trên kho ng (0;2) , ngh ch bi n trên (−∞; 0) và (2; 3) . Ví d 5 : ( ) Tìm kho ng ơn i u c a hàm s f x = sin x trên kho ng 0;2π . ( ) Gi i: Hàm s ã cho xác nh trên kho ng 0;2π . ( ) ( ) Ta có : f ' x = cos x , x ∈ 0;2π . ( ) π 3π ( ) ( f ' x = 0, x ∈ 0;2π ⇔ x = ) 2 ,x = 2 Chi u bi n thiên c a hàm s ư c nêu trong b ng sau : π 3π x 0 2π 2 2 ( ) f' x + 0 − 0 + f (x ) 1 0 0 −1  π   3π   π 3π  Hàm s ng bi n trên m i kho ng  0;  và  ;2π  , ngh ch bi n trên kho ng  ; .  2  2  2 2  BÀI T P T LUY N
Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 1. Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau: 1 x 2 − 2x 1. y = x 3 − 3x 2 + 8x − 2 2. y = 3 x −1 2. Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau: 1. y = 2x 3 + 3x 2 + 1 4 2 3. y = − x 3 + 6x 2 − 9x − 2. y = x − 2x − 5 4 2 3 3 4. y = 2x − x 2 3. Ch ng minh r ng hàm s : 1. y = 4 − x 2 ngh ch bi n trên o n 0;2  .   2. y = x + x − cos x − 4 ng bi n trên » . 3 3. y = cos 2x − 2x + 3 ngh ch bi n trên » . 4. Cho hàm s y = sin2 x + cos x .  π π  a ) Ch ng minh r ng hàm s ng bi n trên o n 0;  và ngh ch bi t trên o n  ; π  .  3 3  ( ) b) Ch ng minh r ng v i m i m ∈ −1;1 , phương trình sin2 x + cos x = m có nghi m duy nh t thu c o n 0; π  .   Hư ng d n 1. 1 1. y = x 3 − 3x 2 + 8x − 2 3 Hàm s ã cho xác nh trên » . ( ) Ta có f ' x = x 2 − 6x + 8 ( ) f ' x = 0 ⇔ x = 2, x = 4 Chi u bi n thiên c a hàm s ư c nêu trong b ng sau : x −∞ 2 4 +∞ ( ) f' x + 0 − 0 + f (x ) +∞ −∞ V y hàm s ( ) ( ) ng bi n trên m i kho ng −∞;2 và 4; +∞ , ngh ch bi n trên kho ng 2; 4( ) x 2 − 2x 2. y = x −1 Hàm s ã cho xác nh trên t p h p » \ 1 . {}
Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu (x − 1) + 1 > 0, x ≠ 1 2 x 2 − 2x + 2 ( ) Ta có f ' x = = ( x − 1) ( x − 1) 2 2 Chi u bi n thiên c a hàm s ư c nêu trong b ng sau : x −∞ 1 +∞ ( ) f' x + + +∞ +∞ ( ) f x −∞ −∞ V y hàm s ( ng bi n trên m i kho ng −∞;1 và 1; +∞ ) ( ) 2. 1. y = 2x 3 + 3x 2 + 1 Hàm s ã cho xác nh trên » . ( ) Ta có f ' x = 6x 2 + 6x ( ) ( ) ( ) ( ) ng bi n trên m i kho ng ( −∞; −1) và ( 0; +∞ ) . f ' x > 0, x ∈ −∞; −1 , 0; +∞ ⇒ f x f ' ( x ) < 0, x ∈ ( −1; 0 ) ⇒ f ( x ) ngh ch bi n trên kho ng ( −1; 0 ) . ( ) Ngoài ra : H c sinh có th gi i f ' x = 0 , tìm ra hai nghi m x = −1, x = 0 , k b ng bi n thiên r i k t lu n. 2. y = x 4 − 2x 2 − 5 Hàm s ã cho xác nh trên » . ( ) Ta có f ' x = 4x 3 − 4x ( ) ( ) ( ) ( ) ng bi n trên m i kho ng ( −1; 0 ) và (1; +∞ ) . f ' x > 0, x ∈ −1; 0 , 1; +∞ ⇒ f x f ' ( x ) < 0, x ∈ ( −∞; −1) , ( 0;1) ⇒ f ( x ) ngh ch bi n trên m i kho ng ( −∞; −1) và ( 0;1) . ( ) Ngoài ra : H c sinh có th gi i f ' x = 0 , tìm ra hai nghi m x = −1, x = 0, x = 1 , k b ng bi n thiên r i k t lu n. 4 2 3. y = − x 3 + 6x 2 − 9x − 3 3 Hàm s ã cho xác nh trên » . ( ) ( ) 2 Ta có f ' x = −4x 2 + 12x − 9 = − 2x − 3 3 3 ( ) f' x =0⇔x = 2 ( ) và f ' x < 0 v i m i x ≠ 2  3 3  Vì hàm s ngh ch bi n trên m i n a kho ng  −∞;  và  ; +∞  nên hàm s ngh ch bi n trên » .  2 2 
Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 4. y = 2x − x 2 Hàm s ã cho xác nh trên 0;2  .   1−x ( ) Ta có f ' x = , x ∈ 0;2 ( ) 2x − x 2 ( ) ( ) ( ) f ' x > 0, x ∈ 0;1 ⇒ f x ng bi n trên kho ng ( 0;1) ; f ' ( x ) < 0, x ∈ (1;2 ) ⇒ f ( x ) ngh ch bi n trên kho ng (1;2 ) . Ho c có th trình bày : ( ) ( ) ( ) ng bi n trên o n 0;1 ; f ' x > 0, x ∈ 0;1 ⇒ f x   f ' ( x ) < 0, x ∈ (1;2 ) ⇒ f ( x ) ngh ch bi n trên o n 1;2  .   3. 1. y = 4 − x 2 ngh ch bi n trên o n 0;2  .   −x D th y hàm s ã cho liên t c trên o n 0;2  và có   ( ) o hàm f ' x = ( ) < 0 v i m i x ∈ 0;2 . Do 4 − x2 ó hàm s ngh ch bi n trên o n 0;2  .   2. y = x 3 + x − cos x − 4 ng bi n trên » . Hàm s ã cho xác nh trên » . ( ) Ta có f ' x = 3x 2 + 1 + sin x 3x 2 ≥ 0 ∀x ∈ »  Vì  ( ) nên f ' x ≥ 0, x ∈ » . 1 + sin x ≥ 0 ∀x ∈ »  Do ó hàm s ng bi n trên » . 3. y = cos 2x − 2x + 3 ngh ch bi n trên » . Hàm s ã cho xác nh trên » . π ( ) ( ) ( ) Ta có f ' x = −2 sin 2x + 1 ≤ 0, ∀x ∈ » và f ' x = 0 ⇔ sin 2x = −1 ⇔ x = − 4 + kπ , k ∈ »  π π  ( Hàm s ngh ch bi n trên m i o n  − + k π ; − + k + 1 π  , k ∈ » . )  4 4  Do ó hàm s ngh ch bi n trên » . 4.  π π  a ) Ch ng minh r ng hàm s ng bi n trên o n 0;  và ngh ch bi t trên o n  ; π  .  3 3  ( Hàm s liên t c trên o n 0; π  và y ' = sin x 2 cos x − 1 , x ∈ 0; π   ) ( )
Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 1 π ( ) ( ) ( ) Vì x ∈ 0; π ⇒ sin x > 0 nên trong kho ng 0; π : f ' x = 0 ⇔ cos x = 2 ⇔x = 3  π  π • y ' > 0, ∀x ∈  0;  nên hàm s ng bi n trên o n 0;   3  3 π  π  • y ' < 0, ∀x ∈  ; π  nên hàm s ngh ch bi n trên o n  ; π  3  3  ( ) b) Ch ng minh r ng v i m i m ∈ −1;1 , phương trình sin2 x + cos x = m có nghi m duy nh t thu c o n 0; π  .    π π  5 () • x ∈ 0;  ta có y 0 ≤ y ≤ y   ⇔ 1 ≤ y ≤ nên phương trình cho không có nghi m m ∈ −1;1 ( )  3 3 4 π  π  5 ( ) • x ∈  ; π  ta có y π ≤ y ≤ y   ⇔ −1 ≤ y ≤ . Theo nh lý v giá tr trung gian c a hàm s liên t c 3  3 4  5 π  ( ) () v i ∀m ∈ −1;1 ⊂  −1;  , t n t i m t s th c c ∈  ; π  sao cho y c = 0 . S c là nghi m c a phương 4  3  π  trình sin2 x + cos x = m và vì hàm s ngh ch bi n trên o n  ; π  nên trên o n này , phương trình có 3  nghi m duy nh t . V y phương trình cho có nghi m duy nh t thu c o n 0; π  .   D ng 2 : Hàm s ơn i u trên » . S d ng nh lý v i u ki n c n ( ) ( ) • N u hàm s f x ơn i u tăng trên » thì f ' x ≥ 0, ∀x ∈ » . • N u hàm s f (x ) ơn i u gi m trên » thì f ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ » . Ví d 1 : Tìm m hàm s sau luôn gi m ( ngh ch bi n) trên » 1 ( ) ( ) y = f x = − x 3 + 2x 2 + 2m + 1 x − 3m + 2 . 3 Gi i : Hàm s ã cho xác nh trên » . Ta có : y ' = −x 2 + 4x + 2m + 1 và có ∆ ' = 2m + 5 B ng xét d u ∆ ' m −∞ 5 +∞ − 2 ∆' − 0 + 5 ( ) 2 • m = − thì y ' = − x − 2 ≤ 0 v i m i x ∈ », y ' = 0 ch t i i m x = 2 . Do ó hàm s ngh ch bi n trên 2 ». 5 • m < − thì y ' < 0, ∀x ∈ » . Do ó hàm s ngh ch bi n trên » . 2
Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 5 2 ( ) • m > − thì y ' = 0 có hai nghi m x 1, x 2 x 1 < x 2 . Hàm s ng bi n trên kho ng (x ; x ) . Trư 1 2 ng h p này không th a mãn . Chú ý : cách gi i sau ây không phù h p i m nào ? Hàm s ngh ch bi n trên » khi và ch khi a = −1 < 0  5 y ' = −x 2 + 4x + 2m + 1 ≤ 0, ∀x ∈ » ⇔  ⇔ 2m + 5 ≤ 0 ⇔ m ≤ − ∆ ' ≤ 0  2 5 V y hàm s ngh ch bi n trên » khi và ch khi m ≤ − 2 Ví d 2 : Tìm a hàm s sau luôn tăng ( ng bi n) trên » 1 ( ) y = f x = x 3 + ax 2 + 4x + 3 . 3 Gi i: Hàm s ã cho xác nh trên » . Ta có y ' = x 2 + 2ax + 4 và có ∆ ' = a 2 − 4 B ng xét d u ∆ ' a −∞ −2 2 +∞ ∆' + 0 − 0 + • N u −2 < a < 2 thì y ' > 0 v i m i x ∈ » . Hàm s y ng bi n trên » . ( ) , ta có : y ' = 0 ⇔ x = −2, y ' > 0, x ≠ −2 . Hàm s 2 • N u a = 2 thì y ' = x + 2 y ng bi n trên m i n a ( kho ng −∞; −2  và   −2; +∞ ) nên hàm s y  ng bi n trên » . • Tương t n u a = −2 . Hàm s y ng bi n trên » . • N u a < −2 ho c a > 2 thì y ' = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 . Gi s x 1 < x 2 . Khi ó hàm s ngh ch ( ) bi n trên kho ng x 1; x 2 , ( ) ( ) ng bi n trên m i kho ng −∞;x 1 và x 2 ; +∞ . Do ó a < −2 ho c a > 2 không tho mãn yêu c u bài toán . V y hàm s y ng bi n trên » khi và ch khi −2 ≤ a ≤ 2 Ví d 3 : Tìm m hàm s y = x + m cos x ng bi n trên » . Gi i : Hàm s ã cho xác nh trên » . Ta có y ' = 1 − m sin x . Cách 1: Hàm ng bi n trên » ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ » ⇔ 1 − m sin x ≥ 0, ∀x ∈ » ⇔ m sin x ≤ 1,∀x ∈ » (1) * m = 0 thì (1) luôn úng 1 1 * m > 0 thì (1) ⇔ sin x ≤ ∀x ∈ » ⇔ 1 ≤ ⇔ 0 < m ≤ 1. m m 1 1 * m < 0 thì (1) ⇔ sin x ≥ ∀x ∈ R ⇔ −1 ≥ ⇔ −1 ≤ m < 0 . m m V y −1 ≤ m ≤ 1 là nh ng giá tr c n tìm. Cách 2: Hàm ng bi n trên » ⇔ y ' ≥ 0 ∀x ∈ »
Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 1 − m ≥ 0  ⇔ min y ' = min{1 − m;1 + m } ≥ 0 ⇔  ⇔ −1 ≤ m ≤ 1 .  1+m ≥ 0  Chú ý : Phương pháp: * Hàm s y = f (x , m ) tăng trên » ⇔ y ' ≥ 0 ∀x ∈ » ⇔ min y ' ≥ 0 . x ∈» * Hàm s y = f (x , m ) gi m trên » ⇔ y ' ≤ 0 ∀x ∈ » ⇔ max y ' ≤ 0 . x ∈» Chú ý: 1) N u y ' = ax 2 + bx + c thì  a = b = 0    c ≥ 0 * y ' ≥ 0 ∀x ∈ » ⇔   a > 0   ∆ ≤ 0   a = b = 0    c ≤ 0 * y ' ≤ 0 ∀x ∈ » ⇔   a < 0   ∆ ≤ 0  2) Hàm ng bi n trên » thì nó ph i xác nh trên » . BÀI T P T LUY N 1. Tìm m hàm s sau luôn gi m ( ngh ch bi n) trên » x3 ( ) y = f x = (m + 2) 3 ( ) − (m + 2)x 2 + m − 8 x + m 2 − 1 . 2. Tìm m hàm s sau luôn tăng ( ng bi n) trên » ( ) 1 ( ) ( ) a. y = f x = m 2 − 1 x 3 + m + 1 x 2 + 3x + 5 3 ( ) m − 1 x 2 + 2x + 1 ( ) b. y = f x = x +1 3. V i giá tr nào c a m , các hàm s ng bi n trên m i kho ng xác nh c a nó ? a. y = x + 2 + m b. y = ( ) −2x 2 + m + 2 x − 3m + 1 x −1 x −1 Hư ng d n : x3 ( ) 1. y = f x = (m + 2) 3 ( ) − (m + 2)x 2 + m − 8 x + m 2 − 1 Hàm s ã cho xác nh trên » . Ta có y ' = (m + 2)x 2 − 2(m + 2)x + m − 8 .
Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu * m = −2 , khi ó y ' = −10 ≤ 0, ∀x ∈ » ⇒ hàm s luôn ngh ch bi n trên » . * m ≠ −2 tam th c y ' = (m + 2)x 2 − 2(m + 2)x + m − 8 có ∆ ' = 10(m + 2) B ng xét d u ∆ ' m −∞ −2 +∞ ∆' − 0 + • m < −2 thì y ' < 0 v i m i x ∈ » . Do ó hàm s ngh ch bi n trên » . • m > −2 thì y ' = 0 có hai nghi m x 1, x 2 x 1 < x 2 . Hàm s ( ) ng bi n trên kho ng (x ; x ) . Trư 1 2 ng h p này không th a mãn . V y m ≤ −2 là nh ng giá tr c n tìm. 2. Tìm m hàm s sau luôn tăng ( ng bi n) trên » ( ) 1 ( ) a. y = f x = a 2 − 1 x 3 + a + 1 x 2 + 3x + 5 3 ( ) Hàm s ã cho xác nh trên » . ( ) ( Ta có : y ' = a 2 − 1 x 2 + 2 a + 1 x + 3 và có ∆ ' = 2 −a 2 + a + 2) ( ) Hàm s y ng bi n trên » khi và ch khi ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ » 1 () • Xét a 2 − 1 = 0 ⇔ a = ±1 3 + a = 1 ⇒ y ' = 4x + 3 ⇒ y ' ≥ 0 ⇔ x ≥ − ⇒ a = 1 không tho yêu c u bài toán. 4 + a = −1 ⇒ y ' = 3 > 0 ∀x ∈ » ⇒ a = −1 tho mãn yêu c u bài toán. • Xét a 2 − 1 ≠ 0 ⇔ a ≠ ±1 B ng xét d u ∆ ' a −∞ −1 1 2 +∞ ∆' − 0 + 0 − • N u a < −1 ∨ a > 2 thì y ' > 0 v i m i x ∈ » . Hàm s y ng bi n trên » . ( ) 2 • N u a = 2 thì y ' = 3 x + 1 , ta có : y ' = 0 ⇔ x = −1, y ' > 0, x ≠ −1 . Hàm s y ng bi n trên m i ( n a kho ng −∞; −1 va`  −1; +∞ nên hàm s y   ng bi n trên » . ) • N u −1 < a < 2, a ≠ 1 thì y ' = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 . Gi s x 1 < x 2 . Khi ó hàm s ngh ch ( bi n trên kho ng x 1; x 2 , ) ( ) ( ng bi n trên m i kho ng −∞;x 1 và x 2 ; +∞ . Do ó −1 < a < 2, a ≠ 1 không ) tho mãn yêu c u bài toán . V y hàm s y ng bi n trên » khi và ch khi a < −1 ∨ a ≥ 2 . ( m − 1) x 2 + 2x + 1 b. y = f x( ) = x +1 Hàm s ã cho xác nh trên D = » \ −1 . { } Ta có y ' = ( m − 1) x 2 ( +2 m −1 x +1 ) = g x( ) , ( x + 1) ( x + 1) 2 2 V i g ( x ) = (m − 1) x + 2 (m − 1) x + 1, x ≠ −1 2
Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu D u c a y ' là d u c a g x . ( ) Hàm s y ( ) ( ) ng bi n trên m i kho ng −∞; −1 và −1; +∞ khi và ch khi g x ≥ 0, ∀x ≠ −1 1 ( ) () ( ) • Xét m − 1 = 0 ⇔ m = 1 ⇒ g x = 1 > 0, ∀x ≠ −1 ⇒ m = 1 a tho mãn yêu c u bài toán . () • Xét m − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 () Tương t trên 1 < m ≤ 2 b th a yêu c u bài toán . T (a ) và (b ) suy ra 1 ≤ m ≤ 2 thì hàm s y ng bi n trên » . 3. m a. y = x + 2 + x −1 m m a )y = x + 2 + ⇒ y' =1− ,x ≠ 1 x −1 ( ) 2 x −1 • m ≤ 0 thì y ' > 0; ∀x ≠ 1 . Do ó hàm s ( ng bi n trên m i kho ng −∞;1 và 1; +∞ . ) ( ) (x − 1) − m , x ≠ 1 và y ' = 0 ⇔ x = 1 ± 2 m • m > 0 thì y ' = 1 − = m . L p b ng bi n thiên ta th y ( x − 1) ( x − 1) 2 2 hàm s ngh ch bi n ( ) ( trên m i kho ng 1 − m ;1 và 1;1 + m ; do ó không tho ) i u ki n . V y :hàm s ng bi n trên m i kho ng xác nh c a nó khi và ch khi m ≤ 0 Chú ý : Bài toán trên ư c m r ng như sau a1 ) Tìm giá tr c a m hàm s ng bi n −∞; −1 ( ) a2 ) Tìm giá tr c a m hàm s ng bi n ( 2; +∞ ) a 3 ) Tìm giá tr c a m hàm s ngh ch bi n trong kho ng có dài b ng 2. a 4 ) Tìm giá tr c a m hàm s ngh ch bi n trên m i kho ng 0;1 và 1;2 . ( ) ( ) ( ) 2 a 5 ) G i x 1 < x 2 là hai nghi m c a phương trình x − 1 − m = 0 . Tìm m : a 5.1 ) x 1 = 2x 2 a 5.3 ) x 1 + 3x 2 < m + 5 a 5.2 ) x 1 < 3x 2 a 5.4 ) x 1 − 5x 2 ≥ m − 12 b. y = ( −2x 2 + m + 2 x − 3m + 1) = −2x + m + 1 − 2m x −1 x −1 2m − 1 ⇒ y ' = −2 + ( x − 1) 2 1 • m≤ 2 ⇒ y ' < 0, x ≠ 1 , hàm s ngh ch bi n trên m i kho ng −∞;1 va` 1; +∞ ( ) ( )
Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 1 • m> phương trình y ' = 0 có hai nghi m x 1 < 1 < x 2 ⇒ hàm s ng bi n trên m i kho ng 2 ( ) ( ) x 1;1 và 1; x 2 , trư ng h p này không th a . D ng 3 : Hàm s ơn i u trên t p con c a » . Phương pháp: * Hàm s y = f (x , m ) tăng ∀x ∈ I ⇔ y ' ≥ 0 ∀x ∈ I ⇔ min y ' ≥ 0 . x ∈I * Hàm s y = f (x , m ) gi m ∀x ∈ I ⇔ y ' ≤ 0 ∀x ∈ I ⇔ max y ' ≤ 0 . x ∈I Ví d 1 : Tìm m các hàm s sau mx + 4 1. y = f x = ( ) x +m luôn ngh ch bi n kho ng −∞;1 . ( ) ( ) 2. y = x 3 + 3x 2 + m + 1 x + 4m ngh ch bi n trên kho ng −1;1 . ( ) Gi i : mx + 4 1. y = f x = ( ) x +m luôn ngh ch bi n kho ng −∞;1 . ( ) Hàm s ã cho xác nh trên D = » \ −m . { } m2 − 4 Ta có y ' = , x ≠ −m ( ) 2 x +m Hàm s ngh ch bi n trên kho ng −∞;1 khi và ch khi  y ' < 0, ∀x ∈ −∞;1  ( ) ( ) −m ∉ −∞;1  ( ) m − 4 < 0  2   −2 < m < 2   −2 < m < 2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ −2 < m ≤ −1 −m ∉ −∞;1  ( −m ≥ 1  ) m ≤ −1  V y : v i −2 < m ≤ −1 thì tho yêu c u bài toán . ( ) 2. y = x 3 + 3x 2 + m + 1 x + 4m ngh ch bi n trên kho ng −1;1 . ( ) Hàm s ã cho xác nh trên » . ( ) Ta có : f ' x = 3x 2 + 6x + m + 1 Cách 1 : ( ) Hàm s ã cho ngh ch bi n trên kho ng −1;1 khi và ch khi f ' x ≤ 0, ∀x ∈ −1;1 hay ( ) ( ) ( ) m ≤ − 3x 2 + 6x + 1 , ∀x ∈ −1;1 ⇔ m ≤ min g x x ∈( −1;1) ( ) ( ) ( 1) . ( ) Xét hàm s g x = − 3x 2 + 6x + 1 , ∀x ∈ −1;1 ( ( ) ) ⇒ g ' ( x ) = −6x − 6 < 0, ∀x ∈ ( −1;1) ⇒ g ( x ) ngh ch bi n trên kho ng ( −1;1) và lim g ( x ) = −2, lim g ( x ) = −10 x →−1+ x →1− B ng bi n thiên.
Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu x −1 1 ( ) g' x − g (x ) −2 −10 V y m ≤ −10 tho yêu c u bài toán . Cách 2 : ( ) f '' x = 6x + 6 ( ) Nghi m c a phương trình f '' x = 0 là x = −1 < 1 . Do ó, hàm s ã cho ngh ch bi n trên kho ng ( −1;1) khi và ch khi m ≤ lim g x = −10 . − ( ) x →1 V y m ≤ −10 tho yêu c u bài toán . Ví d 2 : Tìm m các hàm s sau ( ) 1. y = f x = 2x 3 − 2x 2 − mx − 1 ng bi n trên kho ng 1; +∞ . ( ) 2. y = f ( x ) = mx 3 − x 2 + 3x + m − 2 ng bi n trên kho ng −3; 0 . ( ) 1 3. y = f x = ( ) 3 ( ) mx 3 + 2 m − 1 x 2 + m − 1 x + m ( ) ng bi n trên ( kho ng 2; +∞ . ) Gi i : ( ) 1. y = f x = 2x 3 − 2x 2 − mx − 1 ng bi n trên kho ng 1; +∞ . ( ) Hàm s ã cho xác ( nh trên 1; +∞ . ) Ta có : y ' = 6x 2 − 4x + m Hàm s ã cho ( ) ng bi n trên kho ng 1; +∞ khi và ch khi y ' ≥ 0, ∀x ∈ 1; +∞ ( ) ( ) ⇔ g x = 6x 2 − 4x ≥ −m, x > 1 . ( ) Xét hàm s g x = 6x 2 − 4x liên t c trên kho ng 1; +∞ , ta có ( ) ( ) g ' x = 12x − 4 > 0, ∀x > 1 ⇔ g x ( ) ng bi n trên kho ng 1; +∞ ( ) + x →1 ( )+ x →1 ( và lim g x = lim 6x 2 − 4x = 2, lim g x = +∞ ) x →+∞ ( ) B ng bi n thiên. x 1 +∞ ( ) g' x + g (x ) +∞
Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 2 D a vào b ng bi n thiên suy ra 2 ≥ −m ⇔ m ≥ −2 ( ) 2. y = f x = mx 3 − x 2 + 3x + m − 2 ng bi n trên kho ng −3; 0 . ( ) Hàm s ã cho xác ( nh trên −3; 0 . ) Ta có : y ' = 3mx 2 − 2x + 3 Hàm s ã cho ( ng bi n trên kho ng −3; 0 khi và ch khi y ' ≥ 0, ∀x ∈ −3; 0 ) ( ) 2x + 3 Hay 3mx 2 − 2x + 3 ≥ 0, ∀x ∈ −3; 0 ⇔ m ≥ ( ) 3x 2 , ∀x ∈ −3; 0 ( ) 2x + 3 Xét hàm s g x = ( ) 3x 2 liên t c trên kho ng −3; 0 , ta có ( ) −6x 2 + 18x ( ) g' x = 9x 4 ( < 0, ∀x ∈ −3; 0 ⇒ g x ngh ch bi n trên ) ( ) 1 ( ) ( ) kho ng −3; 0 và lim+ g x = − , lim g x = −∞ x →−3 9 x → 0− ( ) B ng bi n thiên. x −3 0 ( ) g' x − g (x ) − 1 9 −∞ 1 D a vào b ng bi n thiên suy ra m ≥ − 9 1 3. y = f x = ( ) 3 ( ) mx 3 + 2 m − 1 x 2 + m − 1 x + m ( ) ng bi n trên ( kho ng 2; +∞ . ) Hàm s ã cho xác ( nh trên 2; +∞ . ) ( Ta có : y ' = mx 2 + 4 m − 1 x + m − 1 ) Hàm s ng bi n trên kho ng 2; +∞ khi và ch khi( ) ( ) ( y ' ≥ 0, ∀x ∈ 2; +∞ ⇔ mx 2 + 4 m − 1 x + m − 1 ≥ 0, ∀x ∈ 2; +∞ ) ( ) 4x + 1 ( ) ⇔ x 2 + 4x + 1 m ≥ 4x + 1, ∀x ∈ 2; +∞ ⇔ m ≥ ( ) x + 4x + 1 2 , ∀x ∈ 2; +∞ ( ) 4x + 1 Xét hàm s g x = ( ) x + 4x + 1 2 , x ∈ 2; +∞ ( )
Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu ( −2x 2x + 1 ) ⇒ g' x = ( ) ( ) ( ) < 0, ∀x ∈ 2; +∞ ⇒ g x ngh ch bi n trên kho ng 2; +∞ và ( ) ( ) 2 x 2 + 4x + 1 9 lim g x = + x →2 ( ) , lim g x = 0 13 x →+∞ ( ) B ng bi n thiên. x 2 +∞ ( ) g' x − 9 ( ) g x 13 0 9 V y m≥ tho yêu c u bài toán . 13 Ví d 3 : Tìm t t c các tham s m hàm s y = x + 3x + mx + m ngh ch bi n trên o n có 3 2 dài b ng 1 ?. Gi i : Hàm s ã cho xác nh trên » . Ta có : y ' = 3x 2 + 6x + m có ∆ ' = 9 − 3m • N u m ≥ 3 thì y ' ≥ 0, ∀x ∈ » , khi ó hàm s luôn ng bi n trên » , do ó m ≥ 3 không tho yêu c u bài toán . ( • N u m < 3 , khi ó y ' = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 x 1 < x 2 và hàm s ngh ch bi n trong ) o n x 1 ; x 2  v i   dài l = x 2 − x 1 m Theo Vi-ét, ta có : x 1 + x 2 = −2, x 1x 2 = 3 Hàm s ngh ch bi n trên o n có dài b ng 1 ⇔ l = 1 4 9 ( ) ( ) 2 2 ⇔ x 2 − x 1 = 1 ⇔ x 1 + x 2 − 4x 1x 2 = 1 ⇔ 4 − m = 1 ⇔ m = 3 4 Câu h i nh : Tìm t t c các tham s m hàm s y = x + 3x + mx + m ngh ch bi n trên o n có 3 2 dài b ng 1 . Có hay không yêu c u bài toán tho : l = x 2 − x 1 ≥ 1?. BÀI T P T LUY N 1.Tìm i u ki n c a tham s m sao cho hàm s : ( a. y = x 3 − mx 2 − 2m 2 − 7m + 7 x + 2 m − 1 2m − 3 ) ( )( ) ng bi n trên kho ng 2; +∞ . ( )