Hệ thống lí thuyết Toán lớp 12

GV : Thân Thị Hạnh<br /> <br /> Chuyên đề 1: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM<br /> VẤN ĐỀ 1: SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ<br /> Nếu f / (x) > 0, x  (a;b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b)<br /> Nếu f / (x) < 0, x  (a;b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b)<br /> @ Điều kiện cần:<br /> Nếu hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì f / (x)  0 x  (a;b)<br /> Nếu hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì f / (x)  0 x  (a;b)<br /> (trong điều kiện đủ nếu đạo hàm bằng 0 tại hữu hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì kết luận vẫn<br /> đúng)<br /> @ Phƣơng pháp tìm các khoảng đồng biến_nghịch biến của một hàm số<br /> 1. Tìm tập xác định của hàm số<br /> 2. Tính f '(x) .Tìm các điểm xi ( i = 1,2,…,n) mà tại đó f '(x) = 0 hoặc f '(x) không xác định.<br /> 3. Lập bảng xét dấu của f '(x)<br /> 4. Sử dụng điều kiện đủ để kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến.<br /> VẤN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ<br /> @ Nếu qua điểm x 0 mà f (x ) đổi dấu thì x 0 là điểm cực trị<br /> @ Điều kiên đủ:<br /> <br /> @ Để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x<br /> <br /> x 0 thì<br /> <br /> f (x 0 )<br /> <br /> 0<br /> <br /> f (x 0 )<br /> <br /> 0<br /> <br /> CHÚ Ý: f (x ) đổi dấu từ dƣơng sang âm khi qua điểm x<br /> @ Để hàm số đạt cực đại tại điểm x<br /> <br /> x 0 thì<br /> <br /> f (x 0 )<br /> <br /> 0<br /> <br /> f (x 0 )<br /> <br /> x0<br /> <br /> 0<br /> <br /> CHÚ Ý: f (x ) đổi dấu từ âm sang dƣơng khi qua điểm x x 0<br /> @ Qui tắc tìm cực trị của một hàm số<br /> Quy tắc 1<br /> Quy tắc 2<br /> 1) Tìm tập xác định.<br /> 1) Tìm tập xác định.<br /> 2) Tính f '(x). Giải f '(x) 0<br /> 2) Tính f '(x) . Giải f '(x) = 0 tìm nghiệm xi<br /> 3) Lập bảng biến thiên. Kết luận<br /> 3) Tính f ''(x) và f ''(x i ). Kết luận.<br /> VẤN ĐỀ 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ<br /> GIÁ TRỊ LỚN NHẤT_GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ<br /> Trên đoạn [ a; b]<br /> Trên khoảng ( a; b )<br /> 1) Hàm số liên tục trên đoạn [a;b]<br /> 1) Tính f '(x). Giải pt f '(x) = 0<br /> 2) Tính f '(x). Giải f '(x) 0 tìm nghiệm<br /> 2) Lập bảng biến thiên<br /> 3) Dựa vảo BBT để kết luận :<br /> x<br /> (a ;b )<br /> i<br /> <br /> 3) Tính f(a), f(b), f(xi)<br /> 4) Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các<br /> số trên. Ta có max f (x) M , min f (x) m<br /> <br /> max f (x)<br /> (a;b)<br /> <br /> y CD , min f (x)<br /> (a;b)<br /> <br /> y CT<br /> <br /> [a;b]<br /> <br /> [a;b]<br /> <br /> VẤN ĐỀ 4: ĐƢỜNG TIỆM CẬN<br /> + Nếu lim f (x)<br /> x<br /> <br /> y 0 hoặc lim f (x)<br /> x<br /> <br /> y0<br /> <br /> Thì y = y0 là tiệm cận ngang của (C): y = f(x)<br /> LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12<br /> <br /> Page 1<br /> <br /> GV : Thân Thị Hạnh<br /> <br /> + Nếu lim f (x)<br /> x<br /> <br /> x0<br /> <br /> hoặc lim f (x)<br /> x<br /> <br /> x0<br /> <br /> thì x = x0 là tiệm cận đứng của (C): y = f(x).<br /> <br /> VẤN ĐỀ 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN & VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ<br /> 1. Tập xác định của hàm số<br /> 2. Sự biến thiên<br />  Tìm giới hạn  tiệm cận (nếu có)<br />  Tính đạo hàm y’. Giải phương trình y’ = 0<br />  Lập bảng biến thiên<br />  Kết luận về đồng biến - nghịch biến và cực trị.<br /> 3. Đồ thị: Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (nếu dễ), tìm thêm vài điểm đặc biệt rồi<br /> vẽ đồ thị<br /> Dạng của đồ thị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d ( a ≠ 0 )<br /> a>0<br /> A0<br /> a 0<br /> <br /> LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12<br /> <br /> b<br /> (c<br /> d<br /> <br /> 0, ad<br /> <br /> bc<br /> <br /> 0)<br /> <br /> D = ad – bc < 0<br /> <br /> Page 2<br /> <br /> GV : Thân Thị Hạnh<br /> y<br /> <br /> y<br /> <br /> x<br /> <br /> O<br /> <br /> O<br /> <br /> x<br /> <br /> Chú ý: Đồ thị hàm b1/b1 đối xứng qua giao điểm của 2 đường tiệm cận<br /> VẤN ĐỀ 6: SỰ TƢƠNG GIAO CỦA HAI ĐƢỜNG CONG<br /> Cho hai đường cong (C1): y = f (x) và (C2): y = g (x) .<br /> Ph.trình: f (x) = g (x) (*) gọi là ph.trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2).<br /> Số nghiệm ph.trình (*) chính là số giao điểm của (C1 ) và (C2).<br /> BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PH.TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ<br /> Dùng đồ thị ( C ) của hàm số y = f(x), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình F (x,m ) = 0<br /> B1)Biến đổi ph.trình F(x,m ) = 0<br /> f (x)=g(m) (*)<br /> B2)Pt (*) là ph.trình hoành độ giao điểm của (C): y = f (x) và đ.thẳng d: y = g (m)<br /> Số<br /> nghiệm ph.trình đã cho chính là số giao điểm của (C) và d.<br /> B3)Dựa vào đồ thị (C) để biện luận (Lưu ý các giá trị cực trị ( nếu có) của hàm số).<br /> Chuyên đề 2: HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT<br /> VẤN ĐỀ 1: CÔNG THỨC LUỸ THỪA-LÔGARIT<br /> LŨY THỪA<br /> 0<br /> <br /> a =1<br /> n<br /> <br /> a<br /> a<br /> <br /> a .a<br /> 1<br /> an<br /> <br /> a<br /> a<br /> <br /> a<br /> <br /> a<br /> <br /> khi<br /> <br /> a<br /> 0<br /> <br /> a<br /> <br /> .<br /> <br /> a .b<br /> <br /> a<br /> b<br /> <br /> ab<br /> <br /> m<br /> n<br /> <br /> an<br /> <br /> am<br /> <br /> 1<br /> <br /> khi<br /> <br /> a<br /> <br /> a<br /> <br /> a<br /> b<br /> <br /> a<br /> <br /> 1<br /> <br /> Căn bậc n<br /> n<br /> <br /> a.b<br /> <br /> n<br /> <br /> n<br /> <br /> a<br /> <br /> n<br /> <br /> b<br /> <br /> a .n b ;<br /> <br /> n<br /> <br /> a<br /> <br /> n<br /> <br /> b<br /> <br /> n<br /> <br /> am<br /> <br /> m<br /> <br /> m n<br /> <br /> a<br /> <br /> a<br /> <br /> mn<br /> <br /> a<br /> <br /> LOGARIT<br /> * Định nghĩa: Cho a, b<br /> <br /> 0; a<br /> <br /> 1 : loga b<br /> <br /> a<br /> <br /> b<br /> <br /> * Tính chất:<br /> <br /> loga 1<br /> <br /> 0;<br /> <br /> loga a<br /> <br /> 1;<br /> <br /> loga a<br /> <br /> ;<br /> <br /> a<br /> <br /> loga b<br /> <br /> b<br /> <br /> * Quy tắc tính:<br /> <br /> loga b1.b2<br /> <br /> LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12<br /> <br /> loga b1<br /> <br /> loga b2<br /> <br /> loga<br /> <br /> b1<br /> b2<br /> <br /> loga b1<br /> <br /> loga b2<br /> <br /> Page 3<br /> <br /> GV : Thân Thị Hạnh<br /> <br /> loga b<br /> <br /> loga b<br /> <br /> loga b<br /> <br /> 1<br /> <br /> loga b<br /> <br /> * Công thức đổi cơ số:<br /> <br /> loga c<br /> <br /> logb c<br /> <br /> hay<br /> <br /> 1<br /> <br /> loga b<br /> <br /> logb a<br /> <br /> loga b. logb c<br /> <br /> loga c<br /> <br /> hay<br /> <br /> loga b<br /> <br /> loga b. logb a<br /> <br /> 1;<br /> <br /> Khi cơ số a = 10 thì log10 b (logarit thập phân) thường được viết là log b hay lg b<br /> Khi cơ số a = e thì loge b (logarit tự nhiên) được viết là ln b<br /> VẤN ĐỀ 2: KHẢO SÁT HÀM SỐ MŨ-HÀM SỐ LUỸ THỪA<br /> HÀM SỐ LŨY THỪA<br /> <br /> HÀM SỐ MŨ<br /> <br /> y<br /> <br /> Đặc điểm<br /> <br /> y<br /> <br /> x (<br /> <br /> ax ( 0<br /> <br /> tùy ý)<br /> <br /> Z : có nghĩa với<br /> <br /> +<br /> <br /> x<br /> <br /> 0 : ax<br /> <br /> loga x ( 0<br /> <br /> a<br /> <br /> 1)<br /> <br /> 0, x<br /> <br /> có nghĩa<br /> <br /> có nghĩa với x<br /> <br /> x<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0.<br /> <br /> Z : có nghĩa với<br /> x<br /> 0<br /> <br /> +<br /> <br /> x<br /> <br /> '<br /> 0<br /> <br /> Đồ thị<br /> <br /> y<br /> <br /> mọi x.<br /> <br /> Tập xác định<br /> <br /> Sự biến thiên<br /> <br /> 1)<br /> <br /> Z * : có nghĩa với<br /> <br /> +<br /> <br /> Đạo hàm<br /> <br /> a<br /> <br /> Chú ý:<br /> <br /> a<br /> <br /> Điều kiện của<br /> x để hs có<br /> nghĩa:<br /> <br /> HÀM SỐ LOGARIT<br /> <br /> Hàm số đb<br /> trên<br /> (0;<br /> )<br /> <br /> .x<br /> <br /> 1<br /> <br /> ax<br /> 0<br /> <br /> Hàm số<br /> nb trên<br /> (0;<br /> )<br /> <br /> Luôn qua điểm 1;1 .<br /> <br /> a<br /> <br /> '<br /> <br /> 1<br /> <br /> a x . ln a<br /> <br /> 0<br /> <br /> Hàm số đb<br /> trên D<br /> <br /> 1<br /> <br /> Hàm số nb<br /> trên D<br /> <br /> Nằm hoàn toàn phía trên<br /> trục hoành và luôn qua<br /> hai điểm A(0;1) và<br /> <br /> B(1; a ) .<br /> <br /> LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12<br /> <br /> a<br /> <br /> loga x<br /> <br /> a<br /> <br /> 1<br /> <br /> Hàm số đb<br /> trên D<br /> <br /> 1<br /> <br /> '<br /> <br /> x . ln a<br /> <br /> 0<br /> <br /> a<br /> <br /> 1<br /> <br /> Hàm số nb trên<br /> D<br /> <br /> Nằm hoàn toàn phía bên phải<br /> trục tung và luôn qua hai điểm<br /> A(1; 0) và B(a;1) .<br /> <br /> Page 4<br /> <br /> GV : Thân Thị Hạnh<br /> <br /> VẤN ĐỀ 3: ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ-HÀM SỐ LUỸ THỪA<br /> BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM<br /> Đạo hàm của hàm số sơ cấp thƣờng gặp<br /> <br /> x<br /> ,<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> '<br /> <br /> cos x<br /> <br /> '<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> cos x<br /> <br /> 1<br /> <br /> '<br /> <br /> cot x<br /> <br /> 2<br /> <br /> sin x<br /> <br /> '<br /> <br /> ln x<br /> <br /> cot u<br /> <br /> a x . ln a<br /> <br /> loga x<br /> <br /> au<br /> <br /> 1<br /> <br /> '<br /> <br /> 1<br /> x . ln a<br /> <br /> u '. cos u<br /> <br /> '<br /> <br /> u '. sin u<br /> <br /> u'<br /> <br /> '<br /> <br /> cos2 u<br /> <br /> u'<br /> <br /> '<br /> <br /> sin 2 u<br /> u '.e u<br /> <br /> '<br /> <br /> ln u<br /> <br /> x<br /> '<br /> <br /> '<br /> <br /> tan u<br /> <br /> eu<br /> <br /> '<br /> <br /> 2 u<br /> <br /> cos u<br /> <br /> ex<br /> <br /> '<br /> <br /> u'<br /> <br /> sin u<br /> <br /> sin x<br /> <br /> '<br /> <br /> tan x<br /> <br /> u2<br /> '<br /> <br /> cos x<br /> <br /> .u '<br /> <br /> u'<br /> <br /> u<br /> <br /> 2 x<br /> <br /> sin x<br /> <br /> '<br /> <br /> u<br /> <br /> 1<br /> <br /> '<br /> <br /> x<br /> <br /> 1<br /> <br /> .u<br /> <br /> '<br /> <br /> 1<br /> <br /> x<br /> <br /> ax<br /> <br /> u<br /> <br /> 1<br /> <br /> x<br /> <br /> ex<br /> <br /> 1<br /> <br /> .x<br /> <br /> '<br /> <br /> Đạo hàm của hàm số hợp u = u(x)<br /> <br /> u '.a u . ln a<br /> <br /> u'<br /> <br /> '<br /> <br /> loga u<br /> <br /> u<br /> '<br /> <br /> u'<br /> u . ln a<br /> <br /> VẤN ĐỀ 4: PHƢƠNG TRÌNH , BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ_LOGARIT<br /> PHƢƠNG TRÌNH MŨ_LOGARIT<br /> a. Phƣơng trình mũ cơ bản : ax = b<br /> a. Phƣơng trình lôgarit cơ bản: loga x = b<br /> b > 0 : Pt có nghiệm duy nhất x log a b<br /> Pt luôn có nghiệm duy nhất x a b<br /> b ≤ 0 : Phương trình vô nghiệm.<br /> LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12<br /> <br /> Page 5<br /> <br />