Hình học afin

Chia sẻ: Abcdef_14 Abcdef_14 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

181
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài 12: Cho ánh xạ tuyến tính φ: V → V. Chứng minh rằng: Nếu φ2 = φ thì V = Imφ ⴲ Kerφ.Giải Để c/m: V = Imφ ⴲ Kerφ, ta cần c/m:  V = Imφ + Kerφ  Imφ ⋂ Kerφ = {θ}C/m: V = Imφ + Kerφ  V ⊂ Imφ + Kerφ  V ⊃ Imφ + Kerφ

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hình học afin

Bài 12: Cho ánh xạ tuyến tính φ: V → V. Chứng minh rằng: Nếu φ2 = φ thì V = Imφ ⴲ Kerφ. Giải Để c/m: V = Imφ ⴲ Kerφ, ta cần c/m:  V = Imφ + Kerφ  Imφ ⋂ Kerφ = {θ} C/m: V = Imφ + Kerφ  V ⊂ Imφ + Kerφ  V ⊃ Imφ + Kerφ Dễ thấy: ☺ Imφ ⊂ V ☺ Kerφ ⊂ V ⇒ Imφ + Kerφ ⊂ V. (1) Ta xét: ∀x∊V: x = φ(x) + (x – φ(x)), trong đó φ(x) ∊ Imφ.
Mặt khác: φ(x – φ(x)) = φ(x) – φ(φ(x)) = φ(x) – φ(x) = {θ} ⇒ x – φ(x) ∊ Kerφ. Do đó: x ∊ Imφ + Kerφ ⇒ V ⊂ Imφ + Kerφ. (2) (Ⅰ) Từ (1),(2) suy ra: V = Imφ + Kerφ. C/m: Imφ ⋂ Kerφ = {θ} Giả sử y = Imφ ⋂ Kerφ:  y ∊ Imφ (✼)  y ∊ Kerφ (✼✼) Từ (✼) suy ra: ∃x ∊ V: φ(x) = y Ta có: y = φ(x) = φ(φ(x)) = φ(y) = θ (Do (✼✼)) Vậy: Imφ ⋂ Kerφ = {θ}. (Ⅱ)
Từ (Ⅰ),(Ⅱ) nên: V = Imφ ⴲ Kerφ.