Hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị

TAÏP CHÍ KHOA HOÏC ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 14 (39) - Thaùng 3/2016<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco<br /> cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị<br /> Convergence in probability in the sense of Mosco for random sets<br /> <br /> ThS. Bùi Nguyên Trâm Ngọc<br /> Trường Đại học Đồng Nai<br /> <br /> M.A. Bui Nguyen Tram Ngoc<br /> The University of Dong Nai<br /> <br /> Tóm tắt<br /> Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu khái niệm hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến<br /> ngẫu nhiên đa trị và chứng minh một số tính chất của loại hội tụ này.<br /> Từ khóa: biến ngẫu nhiên đa trị, hội tụ Mosco.<br /> Abstract<br /> In this paper, we introduce a new concept of convergent in probability sequence of random sets in the<br /> sense of Mosco and prove some interesting properties of this convergence.<br /> Keywords: random sets, Mosco convergence…<br /> <br /> <br /> 1. Mở đầu ta chỉ đề cập đến khái niệm hội tụ hầu chắc<br /> Chúng ta biết rằng, hội tụ theo khoảng chắn theo nghĩa Mosco. Trong bài báo này,<br /> cách Hausdorff được sử dụng khi nghiên chúng tôi giới thiệu khái niệm hội tụ theo<br /> cứu các biến ngẫu nhiên nhận giá trị là các xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến<br /> tập compact. Đối với biến ngẫu nhiên đa trị ngẫu nhiên đa trị và chứng minh một số<br /> nhận giá trị là các tập đóng (có thể không tính chất của loại hội tụ này.<br /> bị chặn), người ta thường sử dụng các loại 2. Kiến thức chuẩn bị<br /> hội tụ: hội tụ Kuratowski, hội tụ Mosco và Trong bài báo này, chúng tôi giả thiết<br /> hội tụ Wijsman. Việc nghiên cứu các định rằng (Ω, A, P) là một không gian xác suất<br /> lí giới hạn cho các biến ngẫu nhiên đa trị đầy đủ, (X, . ) là không gian Banach<br /> theo hội tụ Mosco mang tới nhiều điều thú<br /> khả ly thực và X * là không gian đối ngẫu<br /> vị và ý nghĩa. Trong thời gian gần đây, đã<br /> của nó.<br /> có nhiều tài liệu nghiên cứu về các định lí<br /> BX là  -đại số Borel trên X .<br /> giới hạn cho các biến ngẫu nhiên đa trị<br /> theo hội tụ Mosco (xem chẳng hạn [1], [3], Ký hiệu c(X ) là họ tất cả các tập con<br /> [4] và các tài liệu trích dẫn trong đó). Tuy đóng khác rỗng của không gian Banach<br /> nhiên, cho đến nay, trong các công trình X, là tập tất cả các số thực. Trên<br /> khoa học, khi nói đến hội tụ Mosco, người c(X ) ta xác định một cấu trúc tuyến tính<br /> <br /> 107<br /> với các phép toán được định nghĩa như sau: SFp (F )  { f  Lp (, F, , X) : f ()  F () , h.c.c.},<br /> A  B  {a  b : a  A, b  B} , với F là  -đại số con của A .<br />  A  {a : a  A},<br /> Nếu F  A thì S Fp ( F ) được viết<br /> trong đó A, B  c(X),   .<br /> Cho A, B  c(X ) , hàm khoảng cách gọn là S Fp .<br /> <br /> d (., A) , khoảng cách Hausdorff Một biến<br /> ngẫu nhiên đa trị<br /> F :   c(X) được gọi là khả tích nếu<br /> d H ( A, B) , hàm tựa s( A,.) , chuẩn A<br /> tập S 1F khác rỗng và được gọi là khả tích bị<br /> của A được định nghĩa như sau:<br /> d ( x, A)  inf{ x  y , y  A}, x  X , chặn nếu F  L1 .<br /> d H ( A, B)  max{sup d ( x, B), sup d ( y, A)} , Một dãy {Fn : n  1} của các biến ngẫu<br /> xA yB<br /> nhiên đa trị trong c(X ) được gọi là hội tụ<br /> s( x , A)  sup{ x , y : y  A}, x  X ,<br /> * * * *<br /> theo xác suất theo khoảng cách Hausdorff,<br /> A  sup{ x : x  A} .  F khi n   , nếu dãy<br /> kí hiệu Fn <br /> (H )<br /> <br /> Kí hiệu: biến ngẫu nhiên {d H ( Fn , F ) : n  1} hội tụ<br /> U   {C  c(X) : C  U  } , theo xác suất đến 0 khi n   .<br /> trong đó U  X . 2.2. Hội tụ Mosco<br /> Bc ( X ) là  -đại số trên c(X ) sinh 2.2.1. Định nghĩa<br /> - Cho dãy Sn  các tập con của<br /> bởi tất cả các tập U  , với U là tập con mở<br /> X ( X là không gian định chuẩn thực). Ta<br /> của X .<br /> định nghĩa:<br /> 2.1. Biến ngẫu nhiên đa trị<br /> s -limSn  {v  X : v  s - lim vn , vn  Sn , n  1}<br /> Một ánh xạ F :   c(X) được gọi<br /> là biến ngẫu nhiên đa trị, nếu với mọi tập w -limSn  {v  X : v  w - lim vk , vk  Snk , k  1}<br /> con mở U của X thì tập con<br /> 1 <br />   là một dãy con của dãy Sn  .<br /> với Snk<br /> F (U )  {  : F ()  U  }  A .<br /> Các tập s -limSn và w -limSn lần lượt<br /> Một phần tử ngẫu nhiên f :   X<br /> gọi là giới hạn dưới theo topo mạnh trong<br /> được gọi là một hàm chọn của biến ngẫu<br /> X và giới hạn trên theo topo yếu trong<br /> nhiên đa trị F nếu f ( )  F ( ) h.c.c. với<br /> mọi   .<br /> X của dãy Sn  .<br /> Với mỗi biến ngẫu nhiên đa trị F , ta - Cho dãy Sn  các tập con của X .<br /> 1<br /> kí hiệu AF  {F (U ) : U  Bc( X ) } . Khi đó, ta nói dãy Sn  hội tụ theo nghĩa<br /> Khi đó AF là  -đại số con bé nhất của Mosco đến tập S  X nếu,<br /> A mà F đo được. s -limSn  w -limSn  S<br /> Với mỗi biến ngẫu nhiên đa trị F -đo<br /> Lúc này ta viết, Sn <br />  S hay (M )<br /> được F và với mỗi số thực p  1 , ta kí<br /> hiệu LimSn  S .<br /> <br /> <br /> 108<br />  Rõ ràng, Sn <br />  S khi và chỉ khi<br /> (M ) nếu mọi dãy con {Fnk : k  1} của dãy<br /> (i) S  s -limSn {Fn : n  1} , tồn tại một dãy con<br /> (ii) w -limSn  S {Fnk : l  1} của dãy {Fnk : k  1} sao cho<br /> l<br /> <br /> 2.2.2. Hội tụ của dãy các tập lồi Fnk ( ) <br /> (M )<br />  F ( ) h.c.c. khi l  <br /> Cho Sn  là dãy các tập con lồi, đóng<br /> l<br /> <br /> Rõ ràng rằng nếu một dãy biến ngẫu<br /> của X . Khi đó, ta có (xem [5]): nhiên đa trị hội tụ h.c.c. theo nghĩa Mosco<br />  S trong X thì S là<br /> - Nếu Sn <br /> (M )<br /> thì sẽ hội tụ theo xác suất theo nghĩa<br /> tập con lồi, đóng của X . Ngoài ra, Mosco.<br /> - Nếu S là tập con lồi, đóng của X và Để chứng minh các kết quả tiếp theo,<br /> ta cần bổ đề sau đây<br /> Sn  S , với mọi n  1 thì dãy Sn  hội tụ<br /> 3.2. Bổ đề (Bổ đề 4.1 [4])<br /> theo nghĩa Mosco và LimSn  S . Giả sử F , Fn , n  1 là các biến ngẫu<br /> - Nếu LimSn  S và Sk  là một dãy nhiên đa trị trong không gian Banach khả<br /> ly X . Nếu F ( )  s -limFn ( ) h.c.c., thì<br /> con của dãy Sn  thì Sk <br /> (M )<br />  S khi<br /> limsup d ( x, Fn ( ))  d ( x, F ( ))<br /> k  . n<br /> - Nếu bất kì dãy con Sk  của dãy với mọi x  X , h.c.c..<br /> Chứng minh<br /> Sn  chứa một dãy con {Sh} hội tụ theo<br /> Vì X là không gian khả ly, nên tồn tại<br /> nghĩa Mosco đến S trong X thì tập D đếm được và trù mật trên X . Theo<br /> dãy Sn  hội tụ theo nghĩa Mosco đến giả thiết, tồn tại tập N  A sao cho<br /> S trong X . P( N )  0 và với mọi   \ N ,<br /> Hội tụ Mosco cho dãy các biến ngẫu F ( )  s -limFn ( ) . (1)<br /> nhiên đa trị được định nghĩa tương tự như Cố định   \ N . Khi đó, với mỗi<br /> trên bằng cách thay thế S n bởi Fn ( ) và x  D và mỗi p  N , tồn tại<br /> S bởi F ( ) , các phát biểu là đúng h.c.c.. y  F ( ) sao cho<br /> 3. Hội tụ theo xác suất theo nghĩa 1<br /> Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị x  y  d ( x, F ( ))  .<br /> p<br /> Trong phần này, ta xét sự hội tụ theo<br /> xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến Từ (1), và với mỗi n  1, tồn tại<br /> ngẫu nhiên đa trị và ta sẽ chứng minh một f n  Fn ( ) sao cho f n  y khi n   .<br /> số tính chất của loại hội tụ này. Từ đó,<br /> 3.1. Định nghĩa limsup d ( x, Fn ( ))  lim f n  x<br /> Dãy biến ngẫu nhiên đa trị n n<br /> <br /> {Fn : n  1} được gọi là hội tụ theo xác suất  x y<br /> theo nghĩa Mosco đến biến ngẫu nhiên đa 1<br /> P( M )  d ( x, F ( ))  .<br /> trị F , kí hiệu Fn <br />  F khi n   , p<br /> <br /> <br /> 109<br />  Bằng cách cho p   , ta nhận được d ( x, A)  d ( y, A)  d ( x, y)  x  y . (3)<br /> limsup d ( x, Fn ( ))  d ( x, F ( )) . (2) Với x bất kỳ thuộc X , tồn tại dãy<br /> n<br /> {xk : k  1}  D sao cho lim xk  x . Khi<br /> Tiếp theo, ta lưu ý rằng hàm khoảng k <br /> cách d (., A) là hàm 1-Lipschitz, nghĩa là, đó, với mỗi n  1 và mỗi k  1 ,<br /> với mọi A  X và mọi x, y  X ,<br /> <br /> d ( x, Fn ( ))  d ( x, F ( ))  d ( x, Fn ( ))  d ( xk , Fn ( ))<br />   d ( xk , Fn ( ))  d ( xk , F ( )) <br />  d ( xk , F ( ))  d ( x, F ( ))<br />  2d ( x, xk )   d ( xk , Fn ( ))  d ( xk , F ( ))  (do (3)).<br /> <br /> Cho n   , ta có Gn :   c(X) xác định bởi<br /> limsup  d ( x, Fn ( ))  d ( x, F ())  2d ( x, xk ) (do (2)). 1<br /> Gn ()  {x  Fn () : f ()  x  d ( f (), Fn ())  },   . (4)<br /> n n<br /> Sau đó, cho k   , ta nhận được Khi đó Gr (Gn )  A  BX , ta có thể<br /> limsup  d ( x, Fn ( ))  d ( x, F ( ))  0. chọn một biến ngẫu nhiên f n :   X<br /> n<br /> Điều này dẫn đến điều phải chứng minh. ■ với f n ( )  Gn ( ) h.c.c.<br /> Để tìm hiểu một số tính chất của loại Hơn nữa, Fn ( ) <br />  F ( ) h.c.c.<br /> (M )<br /> <br /> hội tụ nêu trên, trước hết ta cần chứng khi n   nên<br /> minh sự tồn tại của dãy các hàm chọn hội<br /> tụ h.c.c. của dãy các biến ngẫu nhiên đa trị w -limFn ( )  F ( )  s -limFn ( ) .<br /> hội tụ h.c.c. theo Mosco. Do đó, theo bổ đề 3.2, ta được<br /> Xem xét sự tồn tại của dãy các hàm<br /> limsup d ( f ( ), Fn ( ))  d ( f ( ), F ( ))<br /> chọn đo được hội tụ h.c.c., ta được một số n<br /> kết quả dưới đây. với mọi x  X , h.c.c.<br /> 3.3. Định lí 1 Vì vậy,<br /> Cho F , Fn , n  1 là các biến ngẫu<br /> d ( f (), Fn ())  0 h.c.c. khi n   .<br /> nhiên đa trị trong không gian Banach khả<br /> Kết hợp với,<br /> ly X . Nếu Fn ( ) <br />  F ( ) h.c.c. (M )<br /> 1<br /> f ( )  f n ( )  d ( f ( ), Fn ( ))  h.c.c. (5)<br /> khi n   , thì với mỗi f  S F0 , có một n<br /> dãy { f n  S F0n } sao cho f n ( )  f ( ) Ta được fn  SF0 và f ( )  f n ( )  0<br /> n<br /> <br /> <br /> h.c.c. khi n   . h.c.c. khi n   . ■<br /> Chứng minh Cũng theo cách như trên, ta có được<br /> Với mỗi f  S F0 và n  1, ta đặt những kết quả sau.<br /> <br /> <br /> 110<br />  3.4. Định lí 2 d ( f (), Fn ())  0 h.c.c. khi n   .<br /> Giả sử F , Fn , n  1 là các biến ngẫu Kết hợp điều này với<br /> nhiên đa trị trong không gian Banach khả 1<br /> f ( )  f n ( )  d ( f ( ), Fn ( )) <br /> ly X . Nếu Fn ( ) <br />  F ( ) h.c.c.<br /> (M )<br /> n<br /> khin   , thì với mỗi hàm chọn  f ( )  d (0, Fn ( ))  1 h.c.c., (6)<br /> f A{Fn:n1} -đo được của F , có một dãy ta được f n  S1F và f ( )  f n ( )  0<br /> n<br /> { f n  SF0n ( AFn )} sao cho fn ( )  f () h.c.c. h.c.c. khi n   . Vì vậy, ta có được điều<br /> khi n   . cần chứng minh. ■<br /> Chứng minh 3.6. Định lí 4<br /> Với mỗi hàm chọn f A{Fn:n1} -đo Giả sử F , Fn , n  1 là các biến ngẫu<br /> được củaF và với n  1, xét nhiên đa trị khả tích trong không gian<br /> Gn :   c(X) xác định như (4). Banach khả ly X. Nếu<br /> <br /> Khi đó Gr (Gn )  A  BX , ta có thể Fn ( ) <br /> (M )<br />  F ( ) h.c.c. khi n   ,<br /> chọn một biến ngẫu nhiên AFn -đo được thì với mỗi f A{Fn:n1} -đo được trong<br /> <br /> f n :   X với f n ( )  Gn ( ) h.c.c. S 1F , có một dãy { f n  S1Fn ( AFn )} sao cho<br /> Như vậy ta có được điều cần chứng lim f n ( )  f ( ) h.c.c.<br /> n<br /> minh, cách chứng minh tương tự như trong<br /> định lí 1. ■ Chứng minh<br /> Xem xét sự tồn tại của dãy các hàm Với mỗi f A{Fn:n1} -đo được trong<br /> chọn khả tích hội tụ h.c.c., ta được một số S 1F và với mỗi n  1, ta xét Gn :   c(X)<br /> kết quả sau.<br /> và f n :   X như trong chứng minh<br /> 3.5. Định lí 3<br /> định lí 1. Phần còn lại, ta chứng minh<br /> Giả sử F , Fn , n  1 là các biến ngẫu<br /> tương tự như trong định lí 3. ■<br /> nhiên đa trị trong không gian Banach khả Bây giờ, ta chứng minh một tính chất<br /> ly X . Nếu Fn ( ) <br />  F ( ) h.c.c.<br /> (M )<br /> quan trọng của hội tụ theo xác suất theo<br /> nghĩa Mosco.<br /> khi n   , thì với mỗi f  S 1F , có một<br /> 3.7. Định lí 5<br /> dãy { f n  S1Fn } sao cho Cho {F , Fn , Gn , n  1} là tập hợp các<br /> lim f n ( )  f ( ) h.c.c. biến ngẫu nhiên đa trị trong c(X ) sao cho<br /> n<br /> Chứng minh<br /> ( Fn  Gn )  0 khi n   . Khi đó,<br /> <br /> Giả f  S1F<br /> sử và n  1, xét Fn <br /> (M )<br />  F khi n   nếu và chỉ nếu<br /> <br /> Gn :   c(X) và f n :   X như Gn <br /> (M )<br />  F khi n   .<br /> trong chứng minh định lí 1. Chứng minh<br /> Bằng cách lập luận tương tự như trong <br /> định lí 1, ta được Giả sử Fn <br /> (M )<br />  F khi n   .<br /> <br /> 111<br /> Với mỗi dãy con {Gnk : k  1} của dãy d H ( Fnk ( ), Gnk ( ))  0 khi s   , (8)<br /> ls ls<br /> <br /> {Gn : n  1} , ta xét dãy con {Fnk : k  1} với mỗi   \ N2 . Lấy tập<br /> của dãy {Fn : n  1} với tập chỉ số giống N  N1  N2 , thì tập N có xác suất bằng 0.<br /> như dãy {Gnk : k  1} . Như vậy, kết hợp (7) và (8), với mỗi<br /> <br /> Vì Fn <br /> (M ) <br />  F khi n   nên f  S F0 và   \ N ,<br /> theo định nghĩa 3.1, tồn tại một dãy con d ( f (), Gnk ())  d ( f (), Fnk ())  d H ( Fnk (), Gnk ())<br /> ls ls ls ls<br /> <br /> {Fnk : l  1} của dãy {Fnk : k  1} sao cho  0 khi s   .<br /> l<br /> Khi đó, tồn tại dãy {xs } trong<br /> Fnk ( ) <br /> (M )<br />  F ( ) h.c.c. khi l   .<br /> l<br /> Gnk ( ) sao cho xs  f ( )  0 khi<br /> Do đó, F ( )  s -limFn ( ) và từ đây ls<br /> <br /> s   . Do đó, f ( )  s - lim xs và<br /> k l<br /> <br /> <br /> với mỗi f  S F0 , theo bổ đề 3.2, ta được, s<br /> f ( )  s -limGnl ( ) . Vì vậy,<br /> limsup d ( f ( ), Fnk ( ))  d ( f ( ), F ( )) ks<br /> l  l<br /> F ( )  s -limGnk ( ) . (9)<br /> h.c.c., với mọi   , ls<br /> <br /> nên có một tập N1  A thỏa mãn Tiếp đến ta chứng minh<br /> ( N1 )  0 và w -limGnk ( )  F ( ) .<br /> ls<br /> <br /> d ( f ( ), Fnk ( ))  0 khi l , (7) Với mỗi x  w -limGn ( ) , tồn tại dãy<br /> l k ls<br /> <br /> với mọi   \ N1 . {xt } trong Gnk ( ) , là dãy con của<br /> Mặt khác, với giả thiết ( Fn  Gn )  0<br /> ls<br /> t<br /> <br /> Gnk ( ) , sao cho x  w - lim xt . Với mỗi<br /> khi n   ta có ls t <br /> <br /> (d H ( Fn , Gn )  0)  0 khi n   . t  1 , ta chọn được dãy { yt } trong Fn ( ) ,<br /> k ls<br /> t<br /> Điều này có nghĩa là, với mọi   0 , sao cho<br /> (d H ( Fn , Gn )   )  (d H ( Fn , Gn )  0)  0 1<br /> xt  yt  d H ( Fnk ( ), Gnk ( ))  .<br /> khi n   . ls<br /> t<br /> ls<br /> t t<br /> Do đó, dãy các biến ngẫu nhiên Do (8), ta được xt  yt  0 khi t   .<br /> {d H ( Fn , Gn ) : n  1} hội tụ theo xác suất đến<br /> Khi đó, s - lim( xt  yt )  0 và dẫn<br /> 0 khi n   . Nên dãy {d H ( Fn , Gn ) : l  1} , t <br /> đến w - lim( xt  yt )  0 .<br /> k k l l<br /> <br /> với tập chỉ số giống như (7), hội tụ theo t <br /> xác suất đến 0 khi l   . Vì vậy, có một Mặt khác x  w - lim xt nên x  w - lim yt .<br /> dãy con {d H ( Fnk , Gnk ) : s  1} của dãy t  t <br /> ls ls<br /> Vì vậy,<br /> {d H ( Fnk , Gnk ) : l  1} và một tập<br /> l l x  w - lim yt  w -limFnk ( ) .<br /> t <br /> N2  A thỏa mãn ( N2 )  0 và<br /> ls<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 112<br />  Ngoài ra, Fnk ( ) <br />  F ( ) h.c.c.<br /> (M ) Tương tự như trong chứng minh định lí 1,<br /> ls<br /> ta có d ( f ( ), Fnk ( ))  0 h.c.c. khi<br /> khi s   nên l<br /> <br /> l   . Kết hợp với bất đẳng thức (5), ta<br /> w -limFnk ( )  F ( ) .<br /> ls<br /> được f ( )  f nk ( )  0 khi l   .<br /> Điều này dẫn đến x  F ( ) .<br /> l<br /> <br /> <br /> <br /> Vì vậy, Do đó từ (4) ta được f n  S F0n và<br /> <br /> w -limGnk ( )  F ( ) . (10) f n   f khi n   . ■<br /> ls<br /> <br /> Từ (9) và (10), ta được Bằng cách chứng minh tương tự như<br /> định lí 6, ta được kết quả sau.<br /> Gnk ( ) <br /> (M )<br />  F ( ) h.c.c. khi s   . 3.9. Định lí 7<br /> ls<br /> <br /> Theo định nghĩa 3.1, điều này có nghĩa Cho F , Fn , n  1 là các biến ngẫu<br /> <br /> là Gn <br /> (M ) <br />  F khi n   và định lí nhiên đa trị trong c(X ) . Nếu<br /> <br /> được chứng minh. ■ Fn (M )<br />  F khi n   , thì với mỗi<br /> 3.8. Định lí 6 hàm chọn f A{Fn:n1} -đo được của F , có<br /> Cho F , Fn , n  1 là các biến ngẫu nhiên<br /> một dãy { f n  S F0n ( AFn )} sao cho f n hội<br /> ( M )<br /> đa trị trong c(X ) . Nếu Fn <br />  F khi tụ theo xác suất đến f khi n   .<br /> n   , thì với mỗi f  S F0 , tồn tại một Kết hợp định lí 3 và định lí 6, ta được<br /> dãy { f n  S F0n } sao cho f n hội tụ theo xác 3.10. Định lí 8<br /> Cho F , Fn , n  1 là các biến ngẫu nhiên<br /> suất đến f khi n   .<br /> Chứng minh đa trị khả tích trong c(X ) . Nếu<br /> ( M )<br /> Với mỗi f  S F0 và với n  1, ta xét Fn <br />  F khi n   , thì với mỗi<br /> Gn :   c(X) , f n :   X như trong f  S1F , có một dãy { f n  S1Fn } sao cho f n<br /> chứng minh định lí 1. Từ giả thiết hội tụ theo xác suất đến f khi n   .<br /> ( M )<br /> Fn   F khi n   , với mỗi dãy con Kết hợp định lí 4 và định lí 6, ta được<br /> { f nk : k  1} của dãy { f n : n  1} , xét dãy kết quả dưới đây<br /> 3.11. Định lí 9<br /> con {Fnk : k  1} của dãy {Fn : n  1} với<br /> Cho F , Fn , n  1 là các biến ngẫu<br /> cùng tập chỉ số như của dãy { f nk : k  1} .<br /> nhiên đa trị khả tích trong c(X ) . Nếu<br /> Theo định nghĩa 3.1, tồn tại dãy con <br /> {Fnk : l  1} của dãy {Fnk : k  1} sao cho Fn <br /> (M )<br />  F khi n   , thì với mỗi<br /> f A{Fn:n1} -đo được trong S 1F , có một<br /> l<br /> <br /> <br /> Fnk ( ) <br />  F ( ) h.c.c. khi l   .<br /> (M )<br /> l<br /> dãy { f n  S1Fn ( AFn )} sao cho f n hội tụ<br /> Điều này dẫn đến F ( )  s -limFnk ( ) .<br /> l theo xác suất đến f khi n   .<br /> <br /> 113<br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO sets and of solutions of variational<br /> inequalities”. Adv. in Math., 3, 510-585.<br /> 1. S. Li, Y. Ogura and V. Kreinovich (2002).<br /> Limit theorems and applications of set- 4. N.V.Quang and D.X.Giap (2014).<br /> valued and fuzzy set-valued random Convergence in Probability in the sense of<br /> variables. Theory and Decision. Series B: Wijsman and the multivalued weak law of<br /> Mathematical and Statistical Methods, large numbers for unbounded random sets<br /> Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, (Manuscript).<br /> The Netherlands.<br /> 5. N.V.Quang and D.X.Giap (2013). “Mosco<br /> 2. Ilya Molchanov (2005). Theory of Random convergence of SLLN for triangular arrays of<br /> sets. Springer, London. rowwise independent random sets”. Statistics<br /> 3. U. Mosco (1969). “Convergence of convex and Probability Letters, 83, 1117-1126.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Ngày nhận bài: 25/01/2016 Biên tập xong: 15/03/2016 Duyệt đăng: 20/03/2016<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 114<br />