Mời các em cùng tham khảo nội dung tài liệu dưới đây. Ngoài ra, để nâng cao kỹ năng giải bài tập, mời các em cùng tham khảo thêm các dạng Bài tập về khối đa diện. Hoặc để chuẩn bị tốt và đạt được kết quả cao trong kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia sắp tới, các em có thể tham gia khóa học online Luyện thi toàn diện THPT Quốc gia môn Toán năm 2017 trên website HỌC247.
Bài 10 trang 27 SGK Hình học 12
Cho hình lăng trụ đứng tam giác A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C.
b) Mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính thể tích hình chóp A’B’FE.
.jpg)
Hướng dẫn giải bài 10 trang 27 SGK Hình học 12:
Ta tính thể tích hình chóp A’.BCB’.
Gọi M là trung điểm của B’C’, ta có:
ATM ⊥ B’C’ (1)
Lăng trụ ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng nên: BB’ ⊥ (A’B’C’)
⇒BB’⊥ A’M (2)
Từ (1) và (2) suy ra A’M ⊥ (BB’C) hay A’M là đường cao của hình chóp A’.BCB’
Bài 11 trang 27 SGK Hình học 12
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BB’ và DD’. Mặt phẳng (CEF) chia khối hộp trên làm hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó.
Hướng dẫn giải bài 11 trang 27 SGK Hình học 12:
Trước hết, ta xác định thiết diện của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ khi cắt bởi mp (CEF). Mặt phẳng (CEF) chứa đường thẳng EF mà E là trung điểm của BB’, F là trung điểm của cơ nên EF chứa giao điểm O của các đường chéo hình hộp, do đó mặt phẳng (CEF) cùng chứa giao điểm O của các đường chéo và nó cũng chứa đường chéo A’C của hình hộp. Ta dễ dàng nhận xét rằng thiết diện chính là hình bình hành CEA’F. Qua EF ta dựng một mặt phẳng song song với đáy hình hộp, mặt phẳng này cắt AA’ ở p và cắt CC’ ở Q.
Ta có thể tích của hình hộp ABCD.PEQF là:
VABCD.PEQF =1/2 VABCD.A’B’C’D’ (1)
Ta cũng chứng minh được một cách dễ dàng:
VCFQE = VA’FPE (2)
(Hai hình chóp CFQE và A’FPE có chiều cao bằng nhau và diện
tích đáy bằng nhau).
Xét khối đa diện ABCDE’F do mặt phẳng (CEF) chia ra trên hình hộp p ABCD.A’B’C’D ta có:
VABCD.FA’EQ = VABCD.FPE +VA’FPE (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
VABCD.FA’EQ = 1/2 VABCD.A’B’C’D’
Vậy mặt phẳng (CEF) chia hình hộp thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau, tỉ số của chúng là 1.
Chú ý: Có thể lí luận như sau: Giao điểm O của các đường chéo của hình hộp là tâm đối xứng của hình hộp, do đó mặt phẳng (CEF) chứa điểm o nên chia hình hộp thành hai hình đối xứng với nhau qua điểm o. Vậy hai hình này là hai hình bằng nhau và có thể tích bằng nhau.
Bài 12 trang 27 SGK Hình học 12
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M là trung điểm A’B’, N là trung điểm BC.
a) Tính thể tích khối tứ diện ADMN.
b) Mặt phẳng (DMN) chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi (H) là khối đa diện chứa đỉnh A, (H’) là khối đa diện
còn lai. Tính tỉ số VH/VH’
Hướng dẫn giải bài 12 trang 27 SGK Hình học 12:
a) Ta tính thể tích hình chóp M.ADN. Hình chóp này có chiều cao bằng a và diên tích đáy AND bằng a2/2
VADMN =1/3.a.a2/2 = a3/6
b) Trước hết, ta dựng thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mp (DMN).
Do (ABCD) // (A’B’C’D’) nên (DMN) cắt (A’B’C’D’) theo một giao tuyến song song với DN. Ta dựng thiết diện như sau:
- Từ M kẻ đường thẳng song song với DN, đường này cắt cạnh A’D’ tại điểm p và cắt đường thẳng C’B’ tại điểm Q. Trong mặt phẳng (BCCB’) thì QN cắt cạnh BB’ tại điểm R; đa giác DNRMP chính là thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mp (DMN).
- Bây giờ ta tính thể tích khôi đa diện ABNDPMR. Thể tích này có thể coi là thể tích của ba hình chóp :
V1 là thể tích hình chóp đáy ABND, đỉnh M;
V2 là thể tích hình chóp đáy AA’PD, đỉnh M;
V3 là thể tích hình chóp đáy NRB, đỉnh M.
Hình chóp M.ABND, có đường cao bằng a, diện tích đáy là hình thang ABND là: 1/2(a/2 + a).a = 3a2/4
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
.jpg)
.jpg)
.jpg)
.jpg)
