HƯỚNG DẪN ÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN

Chia sẻ: TRẦN VIỆT PHƯƠNG | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:20

Thêm vào BST

Báo xấu

941
lượt xem 112
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài 1.1a. T (6t, 4đ)  Lấy ngẫu nhiên ra 2 quả. Tìm xác suất các biến cố sau đây: a. A = (Lấy được 2 quả đỏ) b. B = (Lấy được hai quả khác mầu) c. C = (Lấy được ít nhất một quả đỏ) Bài 1.1b. Cho hai cái thùng và theo cách ký hiệu như trên ta có thể viết như sau: T1 (6t, 4đ), T2 (5t, 5đ). Từ thùng 1 lấy ngẫu nhiên ra 2 quả và từ thùng 2 lấy ngẫu nhiên ra 1 quả. Tìm xác suất các biến cố sau đây: a. A = (Cả 3...

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: HƯỚNG DẪN ÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN

TS. TRẦN THÁI NINH HƯỚNG DẪN ÔN TẬP XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HÀ NỘI 2009 CHƯƠNG I BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT
2 1/ ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC XUẤT BÀI TẬP MẪU Bài 1.1a. T (6 , 4 ) → Lấy ngẫu nhiên ra 2 quả. t đ Tìm xác suất các biến cố sau đây: a. A = (Lấy được 2 quả đỏ) b. B = (Lấy được hai quả khác mầu) c. C = (Lấy được ít nhất một quả đỏ) Bài 1.1b. Cho hai cái thùng và theo cách ký hiệu như trên ta có th ể vi ết nh ư sau: T 1 (6t, 4đ), T2 (5t, 5đ). Từ thùng 1 lấy ngẫu nhiên ra 2 quả và từ thùng 2 lấy ngẫu nhiên ra 1 quả. Tìm xác suất các biến cố sau đây: a. A = (Cả 3 quả lấy ra đều là đỏ) b. B = (Trong 3 quả lấy ra có đúng 2 quả đỏ) c. C = (Trong 3 quả lấy ra có ít nhất một quả đỏ) Bài 1.2a. (Bài toán khách hàng). Có 3 khách hàng không quen biết nhau cùng đi mua hàng ở m ột c ửa hàng có 5 qu ầy hàng. Gi ả s ử các khách hàng chọn quầy hàng để mua hàng một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất các biến cố sau đây: a. A = (Cả 3 khách hàng cùng vào một quầy) b. B = (3 khách hàng vào 3 quầy khác nhau) c. C = (Có hai người vào quầy số 1) d. D = (Có hai người vào cùng một quầy) Bài 1.2b. 5 khách hàng không quen biết nhau và cùng vào mua hàng ở m ột c ửa hàng có 3 qu ầy hàng. Nếu sự lựa chọn quầy hàng của khách hàng là ngẫu nhiên thì hãy tìm xác suất c ủa các bi ến c ố sau: a. A = (Cả 5 khách hàng cùng vào 1 quầy) b. B = (Có 3 người vào cùng 1 quầy) c. C = (5 người khách chỉ vào hai quầy ) d. D = (Quầy nào cũng có khách hàng) Bài 1.3. Một em bé xếp ngẫu nhiên 4 tấm bìa in các chữ cáI M,M,E,E. Tìm xác suất em bé xếp đ ược chữ " ME EM". 2/ ĐỊNH LÍ CỘNG VÀ NHÂN XÁC XUẤT BÀI TẬP MẪU Bài 1.4. Một nồi áp suất được lắp 2 van an toàn. Xác suất các van hoạt động t ốt t ương ứng là: 0,9 và 0,95. Tìm xác suất nồi áp suất hoạt động an toàn biết rằng các van hoạt động đ ộc l ập v ới nhau. Bài 1.5. Hai Công ty A và B cùng kinh doanh một m ặt hàng. Xác suất công ty A thua l ỗ là 0,2 xác su ất công ty B thua lỗ là 0,4. Tuy nhiên trên thực t ế kh ả năng c ả hai công ty cùng thua l ỗ ch ỉ là 0,1. Tìm xác suất các biến cố sau đây: a. Chỉ có một công ty thua lỗ b. Có ít nhất một công ty làm ăn không thua lỗ. BÀI TẬP CỦNG CỐ Bài 1.6. Một chiếc máy bay lần lượt ném mỗi lần một quả bom xuống một chi ếc c ấu cho đ ến khi bom trúng cầu thì thôi. Tìm xác suất máy bay pha huỷ đ ược c ầu mà t ốn không quá 2 qu ả bom bi ết r ằng xác su ất ném bom trúng cầu không đổi và bằng 0,7. __________________________________ TrÇn Th¸i Ninh - §H KTQD - 2009
3 Bài 1.7. Bắn một viên đạn vào hai mục tiêu, xác suất đạn trúng m ục tiêu 1 là 0,5, trúng m ục tiêu hai là 0,3. Sau khi bắn đài quan sát báo có mục tiêu b ị trúng đ ạn. Tìm xác su ất m ục tiêu th ứ nh ất trúng đ ạn (giả thiết đạn không thể cùng một lúc trúng cả hai mục tiêu) Bài 1.8. Hai Công ty A và B cùng kinh doanh một m ặt hàng. Xác suất công ty A thua l ỗ là 0,2 xác su ất công ty B thua lỗ là 0,4. Tuy nhiên trên thực t ế kh ả năng c ả hai công ty cùng thua l ỗ ch ỉ là 0,1. Tìm xác suất các biến cố sau đây: a. Chỉ có một công ty thua lỗ b. Có ít nhất một công ty làm ăn không thua lỗ. Bài 1.9. Thiết bị gồm hai bộ phận với xác suất hoạt động t ốt của bộ ph ận th ứ nh ất là 0,9 c ủa b ộ ph ận thứ hai là 0,8 và cả hai bộ phận đều hoạt động tốt là 0,75. Tìm xác suất để khi thiết bị hoạt đ ộng. 1. Có bộ phận hỏng. 2. Chi có bộ phận thứ hai bị hỏng. 3/ CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ – CÔNG THỨC BAYES BÀI TẬP MẪU Bài 1.15. Cho hai cái thùng với cơ cấu các quả cầu như sau: T 1(6t, 4đ), T2(5t, 5đ). Người ta lấy ngẫu nhiên 2 quả từ thùng một(T1) rồi bỏ vào thùng hai(T2). Sau đó lấy ngẫu nhiên ra 1 quả t ừ T2. a/ Tìm xác suất lấy ra được quả đỏ. Giả sử lấy được quả đỏ. Tìm xác suất: b/ Quả đỏ đó là của thùng 1 c/ Hai quả bỏ từ T1 sang T2 đều là đỏ. Bài 1.16. Cho hai thùng T1 (6t, 4đ), T2 (5t, 5đ). Từ T1 lấy ra 2 quả và từ T2 lấy ra 1 quả (không nhìn). Sau đó chọn ngẫu nhiên một quả từ 3 quả đó. a/ Tìm xác suất biến cố A = (Chọn được quả đỏ). Giả sử chọn được quả đỏ, tìm xác suất: b/ Cả 3 quả lấy ra từ T1 và T2 đều là đỏ. c/ Quả chọn được là quả của thùng một. Bài 1.17. Tỷ lệ phế phẩm của máy 1 là 1% , của máy 2 là 2%. M ột lô s ản ph ẩm g ồm 40% s ản ph ẩm của máy 1 và 60% sản phẩm của máy 2. Người ta lấy ngẫu nhiên ra 2 sản ph ẩm để ki ểm tra. a/ Tìm xác suất trong hai sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 s ản ph ẩm t ốt?. b/ Giả sử hai sản phẩm kiểm tra đều là tốt thì khả năng l ấy ti ếp đ ược hai s ản ph ẩm t ốt n ữa là bao nhiêu ? Bài 1.18. Một chiếc máy có 3 bộ phận 1,2,3. Xác suất của các b ộ ph ận trong th ời gian làm vi ệc b ị hỏng tương ứng là 0,2; 0,4; 0,3. Cuối ngày làm việc đ ược thông báo có 2 b ộ ph ận b ị h ỏng. Tìm xác su ất hai bộ phận bị hỏng đó là 1 và 2. CHƯƠNG II BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN BỐ XÁC SUẤT __________________________________ TrÇn Th¸i Ninh - §H KTQD - 2009
4 BÀI TẬP MẪU Bài 2.2. Trong một phân xưởng có ba cỗ máy hoạt động độc lập với nhau. Xác su ất đ ể các máy b ị hỏng trong một ca sản xuất tương ứng là: 0,1; 0,2; 0,3. a. Xác định quy luật phân bố xác suất của số máy hỏng trong m ột ca s ản xuất. b. Tìm xác suất trong 3 ca sản xuất liên tục có ít nhất một ca không có máy h ỏng. c. Trung bình trong một ca sản xuất có bao nhiêu máy t ốt. Bài 2.3. Theo tài liệu thống kê về tai nạn giao thông ở một khu v ực thì ng ười ta th ấy t ỷ l ệ xe máy b ị tai nạn là 0,0055 (vụ/tổng số xe/năm). Một công ty bảo hi ểm đề nghị t ất c ả các ch ủ xe ph ải mua b ảo hi ểm xe máy với số tiền là 30.000đ/xe và số tiền bảo hiểm trung bình cho m ột v ụ tai n ạn là 3.000.000đ. H ỏi l ợi nhu ận công ty kỳ vọng thu được đối với mỗi hợp đồng bảo hi ểm là bao nhiêu bi ết r ằng chi phí cho qu ản lý và các chi phí khác chiếm 30% số tiền bán bảo hiểm. BÀI TẬP CỦNG CỐ Bài 2.4. Gieo 2 con xúc xắc, gọi X là tổng số chấm xuất hiện. Tính EX và V(X). Bài 2.5. Theo số liệu thống kê ở một cửa hàng kinh doanh rau tươi thì ng ười ta th ấy l ượng rau bán ra là biến ngẫu nhiên có bảng phân bố xác suất như sau : x(kg) 10 15 20 25 30 p 0,1 0,15 0,45 0,2 0,1 Nếu giá nhập là 10000đ/kg thì cửa hàng s ẽ lãi 50 00đ cho mỗi kg bán ra, tuy nhiên nếu đến cuối ngày không bán được sẽ bị lỗ 8000đ/kg. Vậy mỗi ngày cửa hàng nên nh ập bao nhiêu kg rau đ ể hy v ọng s ẽ thu được lãi nhiều nhất? Bài 2.6. Một công ty dự định tổ chức buổi ca nhạc vào đêm Noel tại sân vận động . S ố ng ười s ẽ đ ến xem dự kiến là : - Nếu trời không mưa và ấm thì sẽ có 10.000 ngưòi đến . - Nếu trời không mưa và rét thì sẽ có 5.000 ngưòi đến . - Nếu trời mưa và ấm thì sẽ có 2.000 ngưòi đến . - Nếu trời mưa và rét thì sẽ có 1.000 ngưòi đến . Các khoản chi phí bao gồm : Thuê sân 5 tri ệu , thuê ban nh ạc 20 tri ệu , chi cho qu ản lý và các d ịch v ụ khác 10 triệu , thuế doanh thu 10% . Nếu giá vé đ ược quy đ ịnh là 10.000 đ thì ti ền lãi thu đ ược trung bình là bao nhiêu ? Biết rằng người ta dự đoán được 60% đêm Noel không m ưa và 80% đêm Noel tr ời s ẽ rét . Gi ả thiết trời mưa hay không mưa độc lập với trời rét hay ấm . N ếu muốn ti ền lãi thu đ ược b ằng 30% doanh thu thì phải quy định giá vé là bao nhiêu ? Bài 2.5.Một người đi mua hàng với xác suất chọn được hàng t ốt là 0,9. N ếu l ần tr ước ng ười đó ch ọn được hàng xấu thì xác suất chọn được hàng tốt lần sau là 0,95 còn nếu lần trước ng ười đó ch ọn đ ược hàng t ốt thì không có kinh nghiệm gì khi mua lần sau. Người đó đã mua hàng 2 lần, m ỗi lần mua 1 s ản ph ẩm. a. Tìm xác suất để có 1 lần mua phải hàng xấu b. Tìm số hàng tốt trung bình mua được sau 2 lần mua và xác suất đ ể mua đ ược s ố hàng t ốt trung bình đó. __________________________________ TrÇn Th¸i Ninh - §H KTQD - 2009
5 CHƯƠNG III MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN BỐ XÁC SUẤT QUAN TRỌNG 1/ Quy luật nhị thức : Bi(n,p) - A có P(A) = p không đổi - Thực hiện n phép thử độc lập đối với A => X ~ B(n,p) ; EX=np , V(X) = np(1-p) - X =( Số lần xẩy ra A trong n phép thử nói trên ) k2 + Công thức tính xác suất : P( k1 < X < k2 ) = ∑ C p (1 − p) i = k1 i i n n− i i = 1,2,..., n. + Xác định số có khả năng xẩy ra lớn nhất : np + p -1 ≤ k ≤ np + p 2/ Quy luật phân bố chuẩn : N(µ , σ ) 2 b−µ a−µ - P( a < X < b ) = Φ 0 ( ) −Φ0 ( ) σ σ ε  - P( | X - EX |
6 e. Nếu thời gian bảo hành t không đổi nhưng chúng ta lại muốn gi ảm t ỷ l ệ b ảo hành xu ống m ức p 0 thì phải tăng chất lượng sản phẩm bằng cách nâng tuổi thọ trung bình c ủa s ản ph ẩm lên bao nhiêu gi ờ? BÀI TẬPCỦNG CỐ Bài 3.3. Tìm xác suất chon ngẫu nhiên một gia đình 4 đứa con thì gia đình đó : a. Có ít nhất một con trai b. Có ít nhất một đứa con trai và một đứa con gái. Giả thiết rằng xác suất sinh con trai và con gái là như nhau. Bài 3.4. Chiều dài của chi tiết được gia công trên máy tự động là bi ến ng ẫu nhiên tuân theo quy lu ật phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn là 0,01 mm. Chi tiết được coi là đ ạt tiêu chuẩn n ếu các kích th ước th ực t ế c ủa nó sai l ệch so với kích thước trung bình không vượt quá 0,02 mm. a) Tìm tỷ lệ chi tiết không đạt tiêu chuẩn. b) Xác định độ đồng đều cần thiết của sản phẩm để t ỷ lệ chi tiết không đạt tiêu chuẩn chỉ còn 1% . Bài 3.5. Có hai thị trường A và B, lãi suất của cổ phiếu trên hai thị tr ường này là các bi ến ng ẫu nhiên phân phối chuẩn, độc lập với nhau, có kỳ vọng và phương sai được cho trong b ảng d ưới đây. Trung bình Phương sai Thị trường A 19% 36 Thị trường B 22 % 100 a. Nếu mục đích là đạt được lãi suất tối thiểu bằng 10% thì nên đ ầu t ư vào loại c ổ phi ếu nào? b. Để tránh rủi ro thì nên đầu tư vào cổ phiếu trên cả hai th ị trường theo t ỷ l ệ nh ư th ế nào? CHƯƠNG IV BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU 1/ Phân bố xác suất : - P( X = xi , Y = yj ) = pij = P( X = xi ) P( Y = yj / X = xi ) = P( Y = yj ) P( X = xi / Y = yj ) P( X = x i , Y = y þ ) - P( X = x i / Y = y þ ) = P(Y = y þ ) 2/ Kỳ vọng có điều kiện : - E(X/ Y= yj ) = ∑ xiP( X= xi / Y= yj ) 3/ Hiệp phương sai - Hệ số tương quan : cov( X , Y ) - cov(X,Y) = ∑(xi - EX)(yj - EY)pij = ∑ xi yjpij - EX.EY → ρXY= V ( X ) V (Y ) - V(aX + bY) = a2V(X) + b2V(Y) + 2abcov(X,Y) BÀI TẬP MẪU Bài 4.1. Cho 2 cái thùng: T1 (6t, 4đ), T2 (5t, 5đ) Lấy ngẫu nhiên 2 quả từ thùng 1 bỏ sang thùng 2, sau đó t ừ thùng 2 l ấy ng ẫu nhiên m ột qu ả. a. Tìm quy luật phân bố xác suất đồng thời của s ố quả c ầu đ ỏ l ấy ra đ ược t ừ thùng 1 (đ ể b ỏ vào thùng 2) và số quả đỏ lấy ra được từ thùng 2. b. Nếu 2 quả lấy ra từ thùng 1 đều là quả đ ỏ thì trung bình m ỗi l ần ta l ấy đ ược bao nhiêu qu ả đ ỏ t ừ __________________________________ TrÇn Th¸i Ninh - §H KTQD - 2009
7 thùng 2? Bài 4.2. Cho biết bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên 2 chi ều (X,Y), trong đó X = (Doanh thu- triệu đồng), Y = (Chi phí quảng cáo-triệu đồng) như sau: X 100 150 200 PY Y 0 0,1 0,05 0,05 0,2 1 0,05 0,2 0,15 0,4 2 0 0,1 0,3 0,4 PX 0,15 0,35 0,5 1 Hãy cho biết tất cả những thông tin (có thể tính toán đ ược) về hai bi ến ng ẫu nhiên X, Y và m ối quan hệ giữa chúng. Bài 4.3. Cho bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều (X,Y) nh ư sau: Y 1 2 3 X 0 0.2 0.25 a 1 b 0.15 0.1 a. Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, biết E(X)=0.5 b. Tìm quy luật phân bố xác suất của Z = XY ? Bài 4.5. Có hai loại cổ phiếu A, B được bán trên thị trường ch ứng khoán và lãi su ất c ủa chúng là 2 biến ngẫu nhiên X, Y tương ứng. Giả sử (X, Y) có bảng phân b ố xác suất nh ư sau: Y -2 0 5 10 X 0 0 0,05 0,05 0,1 4 0,05 0,1 0,25 0,15 6 0,1 0,05 0,1 0 a. Nếu đầu tư toàn bộ vào cổ phiếu A thì lãi suất kỳ vọng và mức đ ộ rủi ro là bao nhiêu? b. Nếu mục tiêu là nhằm đạt được lãi suất kỳ vọng là l ớn nh ất thì nên đ ầu t ư vào c ả hai lo ại c ổ phi ếu trên theo tỷ lệ nào? c. Muốn hạn chế rủi ro về lãi suất đến mức thấp nhất thì nên đầu tư vào hai loại c ổ phi ếu trên theo t ỷ lệ nào? BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài số 1. Một sinh viên phải thi 3 môn một cách độc lập với nhau, xác su ất nh ận đ ược cùng m ột đi ểm s ố nào đó ở cả ba môn đều như nhau. Xác suất để thi một môn được điểm tám là 0,18; d ưới đi ểm tám là 0,65. Xác suất cả ba môn đều được điểm mười là 0,000343. Tính xác su ất đ ể sinh viên thi ba môn được ít nhất 28 điểm Điểm thi được cho theo thang điểm 10, không có đi ểm l ẻ. Bài số 2. Một người có nguyện vọng thi vào hai trường đại học. Đợt một thi vào trường A, khả năng đỗ là 90%. Nếu đợt một người đó thi đỗ thì khả năng thi đỗ đợt hai vào tr ường B là 99%, ng ược l ại n ếu l ần thứ nhất thi trượt thì khả năng thi đỗ lần hai chỉ còn 50%. Tính xác suất ng ười đó ch ỉ đ ỗ m ột tr ường. Bài số 3. Thiết bị gồm hai bộ phận với xác suất hoạt động tốt của b ộ ph ận thứ nh ất là 0,9 c ủa b ộ ph ận th ứ hai là 0,8 và của cả hai bộ phận là 0,75. Tìm xác suất để khi thiết bị hoạt động. __________________________________ TrÇn Th¸i Ninh - §H KTQD - 2009
8 1. Có bộ phận hỏng. 2. Chi có bộ phận thứ hai bị hỏng. Bài số 4. Tỷ lệ phế phẩm của sản phẩm Z là 30%. Để đảm bảo ch ất lượng, ng ười ta cho ki ểm tra các s ản phẩm Z trước khi đưa ra thị trường. Thiết bị ki ểm tra t ự đ ộng có đ ộ chính xác 90% đ ối v ới chính phẩm, 95% đối với phế phẩm. Sản phẩm Z được đưa ra thị trường nếu thi ết b ị ki ểm tra t ự đ ộng coi là chính phẩm. a. Tính xác suất để sản phẩm Z được đưa ra thị trường. b. Với các sản phẩm được đưa ra thị trường thì khả năng sản phẩm là phế ph ẩm b ằng bao nhiêu. c. Một người mua 3 sản phẩm Z, hãy cho biết quy luật phân b ố xác su ất, kỳ v ọng và ph ương sai c ủa số chính phẩm có trong 3 sản phẩm này. Tính xác suất để trong 3 sản phẩm Z có ít nhất một chính ph ẩm. Bài số 5. Theo tài liệu thống kê về tai nạn giao thông của xe máy thì t ỷ l ệ tai n ạn trong m ột năm tính trên đầu xe máy chia theo mức độ nhẹ và nặng t ương ứng là 0,001 và 0,005. M ột công ty b ảo hi ểm đ ề nghị tất cả các chủ xe phải mua bào hiểm xe máy một năm là 30000 đồng và s ố ti ền b ảo hi ểm trung bình 1 vụ là 1 triệu đồng đối với trường hợp nhẹ và 3 tri ệu đ ồng đ ối v ới tr ường h ợp n ặng. H ỏi l ợi nhuận trung bình/ năm mà công ty này thu được đ ối với mỗi ng ười mua b ảo hi ểm xe máy nói trên là bao nhiêu biết rằng ngoài thuế doanh thu phải nộp là 10% thì t ổng t ất c ả các chi phí khác chi ếm 15% doanh thu? Bài số 6. Trong 1 cuộc thi, người ta có 2 hình thức như sau: Hình th ức thứ nh ất là m ỗi ng ười ph ải tr ả lời 2 câu hỏi, mỗi câu trả lời đúng thì được 5 đi ểm. Hình th ức th ứ hai là n ếu tr ả l ời đúng câu th ứ 1 thì mới được trả lời câu thứ 2, nếu không thì thôi. Câu th ứ nh ất tr ả l ời đúng đ ược 5 đi ểm, câu 2 tr ả l ời đúng được 10 điểm. Trong cả hai hình thức thi, các câu trả l ời sai đ ều không đ ược đi ểm. Gi ả s ử xác suất trả lời đúng mỗi câu đều là 0,75, việc trả l ời đúng mỗi câu là đ ộc l ập v ới nhau. Theo b ạn, nên chọn hình thức nào để số điểm trung bình đạt được nhiều hơn. Bài số 7. Thời gian bảo hành một sản phẩm của Công ty Chi ến Th ắng theo quy đ ịnh là 2 năm. N ến bán được 1 sản phẩm thì Công ty lãi 100 ngàn đ ồng song nếu s ản ph ẩm h ỏng trong th ời gian b ảo hành thì Công ty phải chi trung bình 1 triệu đồng cho việc s ửa ch ữa. Gi ả thi ết tu ổi th ọ c ủa s ản ph ẩm là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn với µ = 5 năm và σ = 1,5 năm. a. Tìm tiền lãi trung bình khi bán được một sản phẩm. b. Nếu muốn tiền lãi trung bình đối với mỗi phẩm bán ra là 50 ngàn thì ph ải quy đ ịnh th ời gian b ảo hành là bao nhiêu? Bài số 8. Từ kết quả phân tích số liệu thống kê trong tháng về doanh s ố bán hàng(D) và chi phí cho qu ảng cáo (Q) ( đơn vị triệu đồng ) của một công ty , ta thu được bảng phân b ố xác xuất đ ồng thời nh ư sau: Q\D 100 200 300 1 0,15 0,1 0,04 1,5 0,05 0,2 0,15 2 0,01 0,05 0,25 a. Theo bạn doanh số bán hàng(D) và chi phí cho quảng cáo (Q) có đ ộc l ập v ới nhau không? T ại sao? b. Tính giá trị trung bình và phương sai của chi phí quảng cáo. c. Tính giá trị trung bình của doanh số D khi chi phí quảng cáo là 1,5 tri ệu đ ồng. __________________________________ TrÇn Th¸i Ninh - §H KTQD - 2009
9 CHƯƠNG VI MẪU NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG MẪU BÀI TẬP MẪU Bài 6.1. Chiều cao thanh niên của vùng M là biến ngẫu nhiên phân bố chu ẩn v ới µ = 165cm, σ 2 = 102 (cm)2. Người ta đo ngẫu nhiên chiều cao của 100 thanh niên vùng đó. a. Xác suất để chiều cao trung bình của 100 thanh niên đó s ẽ sai l ệch so v ới chi ều cao trung bình c ủa thanh niên vùng M không vượt quá 2cm là bao nhiêu? b. Khả năng chiều cao trung bình của số thanh niên trên vượt quá 168cm là bao nhiêu? c. Nếu muốn chiều cao trung bình đo được sai l ệch so v ới chi ều cao trung bình c ủa t ổng th ể (c ủa t ất cả thanh niên vùng M)không vượt quá 1cm với xác suất (đ ộ tin c ậy) là 0,99 thì chúng ta ph ải ti ến hành đo chiều cao của bao nhiêu thanh niên. d.Với kích thước mẫu là 100 thì độ lệch chuẩn m ẫu s ẽ lớn h ơn giá trị th ật c ủa nó ít nh ất bao nhiêu l ần với xác suất là 0,05. Bài 6.2. Chiều dài của một loại sản phẩm được sản xuất hàng loạt là biến ng ẫu nhiên phân ph ối chu ẩn v ới µ = 100mm và σ 2 = 42 . Kiểm tra ngẫu nhiên 25 sản phẩm. Khả năng chiều dài trung bình c ủa s ố s ản ph ẩm kiểm tra nằm trong khoảng từ 98mm đến 101mm là bao nhiêu? Bài 6.3. Lô hàng đạt tiêu chuẩn xuất khẩu nếu tỷ lệ phế phẩm không quá 5%. Gi ả s ử m ột lô hàng đ ạt tiêu chuẩn xuất khẩu thi khi kiểm tra 100 sản phẩm khả năng có hơn 8 sản ph ẩm ph ế ph ẩm là bao nhiêu? Bài 6.4. Tỷ lệ người hút thuốc lá ở một khu dân cư là 10%. Với xác suất 0,95 hãy cho biết nếu kiểm tra ngẫu nhiên 100 người thì sẽ có tối đa bao nhiêu người hút thuốc lá? Bài 6.5. Tỷ lệ phế phẩm của dây chuyền sản xuất thứ nhất là 5% và của dây chuy ền s ản xu ất th ứ 2 là 7%. Nếu sản xuất thử trên mỗi dây chuyền 400 sản phẩm thỉ tỷ l ệ phế phẩm của hai mẫu nói trên khác bi ệt nhau trên 2% với xác suất bằng bao nhiêu? BÀI TẬPCỦNG CỐ Bài 6.6. Một phường sẽ được coi là làm tốt công tác kế hoạch hóa gia đình n ếu t ỷ l ệ gia đình sinh con th ứ 3 là không quá 1%.Vậy tại một phường nếu kiểm tra ngẫu nhiên 900 gia đình thì ph ải có t ối thi ểu bao nhiêu gia đình không sinh con thứ 3 thì chúng ta có thể k ết luận ph ường trên làm t ốt công tác k ế ho ạch hóa gia đình mà khả năng không mắc sai lầm là 99%. Bài 6.7. Nếu cho rằng tỷ lệ cử tri ủng hộ cho ứng cử viên A và B là nh ư nhau thì khi ph ỏng v ấn 2500 ng ười thì khả năng tỷ lệ ủng hộ A và B khác biệt nhau không quá 4% là bao nhiêu? Bài 6.8. Theo nhận định của cơ quan quản lý chất lượng thì chỉ có 80% s ố s ản ph ẩm c ủa c ơ s ở kinh doanh A là đạt yêu cầu về chất lượng an toàn thực phẩm. Nhân tháng. Ki ểm tra ng ẫu nhiên 100 s ản ph ẩm c ủa c ơ sở kinh doanh tnói trên. a/ Tính xác suất để trong số các sản phẩm được kiểm tra có không ít h ơn 85 s ản ph ẩm đ ạt yêu c ầu. __________________________________ TrÇn Th¸i Ninh - §H KTQD - 2009
10 b/ Nếu 90% số sản phẩm của cơ sở kinh doanh A là đ ạt yêu c ầu về ch ất l ượng thì v ới xác su ất 99% có thể khẳng định trong 100 sản phẩm được kiểm tra s ẽ có ít nh ất bao nhiêu s ản ph ẩm đ ạt yêu? Bài 6.9. Giả sử tỷ lệ người dân thành phố A mua bảo hiểm nhân thọ là 25%. a/ Tính xác suất để có nhiều hơn 28% số người trong m ột m ẫu ng ẫu nhiên g ồm 120 ng ười c ủa thành phố này có mua bảo hiểm nhân thọ. b/ Vẫn sử dụng mẫu 120 người ở trên, với xác suất là 0,1 thì t ần suất m ẫu l ớn h ơn t ỷ l ệ c ủa c ả t ổng thể một lượng ít nhất là bao nhiêu? Bài 6.10. Trọng lượng của một bao đường là biến ngẫu nhiên phân b ố chuẩn v ới tr ọng l ượng tiêu chu ẩn là 50 kg và độ lệch chuẩn là 0,5 kg. Kiểm tra ngẫu nhiên 100 bao. a/ Khả năng trọng lượng trung bình của 100 bao đường nói trên ít h ơn tr ọng l ượng quy đ ịnh đ ối v ới một bao trên 1 kg bằng bao nhiêu? b/ Cho biết nếu chọn ngẫu nhiên 2 bao thì xác suất t ổng tr ọng l ượng c ủa chúng không ít h ơn 99 kg là bao nhiêu? CHƯƠNG VII ỨƠC LƯỢNG THAM SỐ CỦA QUY LUẬT PHÂN BỐ XÁC SUẤT BÀI TẬP MẪU Bài 7.1. a/ Hãy ước lượng năng suất trung bình của một loại cây trồng bằng khoảng tin c ậy 95% trên c ơ s ở bảng số liệu sau đây: Năng suất (tạ/ha) 42,5- 47,5- 52,5- 57,5- 62,5- 47,5 52,5 57,5 62,5 67,5 Số điểm thu 2 5 14 10 5 hoạch b/ Nếu muốn độ chính xác của lượng không vượt quá 1 thì ph ải ti ến hành thu ho ạch thêm bao nhiêu điểm nữa? Giả thiết rằng năng suất cây trồng là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân b ố chu ẩn. Giải : a/ + X = (...............................................................................................................) → X ~ N(µ , σ 2) µ là ............................................................................................................... σ 2 là ................................................................................................................ + Theo yêu cầu của bài toán ta phải tìm kho ảng tin c ậy.................................... v ới đ ộ tin c ậy (1- α)=......... cho tham số....... trong phân bố chuẩn trường hợp ......................................................................................... Kho ảng tin c ậy đó là : + Tính toán . Lập bảng tính sau đây: Năng suất __________________________________ nixi ni xi ni xi 2 TrÇn Th¸i Ninh - §H KTQD - 2009
11 42.5 - 47,5 2 45 90 4050 47,5 - 52,5 5 50 250 12500 52,5 - 57,5 14 55 770 42350 57,5 - 62,5 10 60 600 36000 62,5 - 67,5 5 65 325 21125 ∑ 36 2035 116025 x= ∑ ni xi = x2 = ∑ ni xi2 = n n n ms = x 2 − ( x) 2 = s= ms = n −1 b/ Theo yêu cầu của bài toán ta phải xác định kích thước mẫu cần l ấy thêm m sao cho : Bài 7.2. Điều tra mức doanh thu của 100 hộ kinh doanh về mặt hàng A, thu đ ược b ảng s ố li ệu sau: Mức doanh thu (Triệu 20 22 24 26 28 đồng) Số hộ n i 10 21 32 25 12 a/ Tìm ước lượng không chệch tốt nhất của doanh thu trung bình? Gi ả thi ết m ức doanh thu c ủa các hộ tuân theo quy luật chuẩn với độ lệch chuẩn là 0,1 triệu thì kh ả năng giá tr ị c ủa ước l ượng trên s ẽ sai lệch so với giá trị thực không vượt quá 20000 đ là bao nhiêu? b/ Dựa vào số liệu thu được, hãy ước lượng mức doanh thu trung bình c ủa các h ộ kinh doanh m ặt hàng A bằng khoảng tin cậy 95%. Bài 7.3. Sai số của đồng hồ là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn. Sau 1 tháng (31 ngày) theo dõi người ta tính được s = 15 giây/ngày. Hãy ước lượng độ chính xác của đồng h ồ b ằng khoảng tin c ậy 95%. Bài 7.4. a/ Ước lượng tỷ lệ gia đình đang sử dụng loại máy bơm B (trong s ố gia đình đã có máy b ơm) bi ết rằng điều tra ngẫu nhiên 1000 gia đình người ta thấy 400 gia đình có máy b ơm. Trong s ố đó có 15 gia đình đang s ử d ụng lo ại máy bơm B. Cho α = 0,05. Muốn có khoảng tin cậy với độ dài giảm đi m ột n ửa thì ph ải l ấy m ột m ẫu kích th ước là bao nhiêu? b/ Cho biết công ty Mặt trời là đơn vị s ản xuất ra loại máy b ơm B . Công ty đã bán đ ược 550 chi ếc bơm trên địa bàn kinh doanh của mình . Để xây dựng kế hoạch sản xuất cho t ương lai b ạn hãy giúp công ty ước l ượng s ố hộ đã có máy bơm tại địa bàn kinh doanh nói trên bằng khoảng tin cậy 95%. Gi ả thi ết mỗi hộ ch ỉ dùng 1 máy b ơm . __________________________________ TrÇn Th¸i Ninh - §H KTQD - 2009
12 BÀI TẬPCỦNG CỐ Bài 7.5. Sản xuất thử 100 sản phẩm trên một dây chuyền tự đ ộng ng ười ta thấy có 60 s ản ph ẩm đ ạt tiêu chuẩn. Ước lượng tỷ lệ sản phẩm không đạt tiêu chuẩn tối đa với độ tin cậy 95%. Bài 7.6. Hãy ước lượng bằng khoảng tin cậy đối xứng với hệ số tin cậy 95% s ố vi khu ẩn có trong 1 đ ơn v ị dung dịch thí nghiệm . Biết rằng người ta đã l ấy ra 100 con vi khu ẩn và đánh d ấu (nhu ộm m ầu sinh h ọc) r ồi sau đó thả chúng trở lại dung dịch đó . Sau m ột thời gian ng ắn l ấy ng ẫu nhiên ra ki ểm tra 200 con vi khu ẩn thì thấy có 15 con có dấu. ĐS: ( 897 ≤ N ≤ 2597 ) Bài 7.7. Hãy ước lượng với hệ số tin cậy 90% tổng số tờ bạc giả của 1 loại gi ấy b ạc hi ện có trong l ưu thông biết rằng ngườita đã đánh dấu 200 tờ giấy bạc loại này rồi tung vào l ưu thông, sau m ột th ời gian ng ắn ki ểm tra 600 tờ giấy bạc giả loại này thu về, thấy có 16 tờ có dấu. ĐS : ( 5136 ≤ N ≤ 12420 ). Bài 7.8. Điều tra thu nhập hàng năm của 100 công nhân tại xí nghiệp Mùa đông thu đ ược các s ố li ệu sau: Thu nhập (triệu 5.5 5.8 6 6.2 đ/năm ) 6.5 Số công nhân 15 20 35 25 5 a. Với độ tin cậy 0,95 hãy xác định t ối thiểu có bao nhiêu công nhân có thu nh ập hàng năm ≤ 5.5 triệu, biết rằng xí nghiệp đó có 500 công nhân. b. Với độ tin cậy 0,95 hãy ước lượng thu nhập trung bình hàng năm c ủa công nhân xí nghi ệp đó. Giả thiết rằng thu nhập của công nhân là biến ngẫu nhiên có phân b ố chuẩn. M ĐS: a. p = ≥ 0,09126 ⇒ ( M ≥ 46 ) b. (5,90924 < µ < 6,01076) 500 Bài 7.9. Tỷ lệ phế phẩm của hàng A là p. Muốn ước lượng p bằng khoảng tin c ậy 95% v ới đ ộ dài ≤ I0 = 0,01 thì phải lấy một mẫu kích thước tối thiếu bao nhiêu là hợp lý nhất? Bài 7.10. Mức tiêu hao nhiên liệu của một loại xe ô tô là biến ng ẫu nhiên tuân theo quy lu ật chu ẩn. Do tình hình đường sá được cải thiện để thay đổi định mức tiêu hao nhiên li ệu ng ười ta đã theo dõi 100 chuy ến xe và thu được các số liệu sau : Lượng tiêu hao(l/100 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60 km) Số chuyến xe 14 20 36 22 8 a/ Hãy ước lượng mức tiêu hao nhiên liệu trung bình với đ ộ tin c ậy 95%. b/ Xe cần đưa vào kiểm tra kỹ thuật là xe có m ức tiêu hao nhiên li ệu trên m ức 55 lít/100 km . Hãy ước lượng tỷ lệ xe cần đưa vào kiểm tra kỹ thuật t ối đa với đ ộ tin c ậy 95% trên c ơ s ở s ố li ệu đi ều tra trên ? ĐS : a. (45,88133 < µ < 48,11867) b. p ≤ 0,124628 CHƯƠNG VIII KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ BÀI TẬP MẪU 1. Kiểm định giả thiết về tham số Bài 8.1. Độ chính xác của một chiếc đồng hồ theo thiết kế là σ = 10 giây/ngày . Sau 1 tháng (31 ngày) theo dõi người ta tính __________________________________ TrÇn Th¸i Ninh - §H KTQD - 2009
13 được s = 15 giây/ngày . Hỏi đồng hồ có hoạt động bình th ường không ? Cho k ết lu ận v ới m ức ý nghĩa 5% . Giả thiết rằng sai số của đồng hồ là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn. Giải : a. + X = (......................................................................................................) → X ~ N(µ , σ 2) µ là ....................................................................................................... σ 2 là ......................................................................................................... + Theo yêu cầu của bài toán ta phải kiểm định cặp giả thiết sau đây : H0 : ( σ 2 = σ 0 = ............... ) 2 H1 : (.................................. ) + Miền bác bỏ để kiểm định cặp giả thiết trên là : Wα = + Tính gíá trị quan sát và kết luận : Bài 8.2. Một công ty dự định mở một cửa hàng siêu thị tại m ột khu dân c ư A. Đ ể đánh giá kh ả năng mua hàng của nhân dân trong khu , giám đốc công ty đã cho đi ều tra thu nh ập bình quân hàng tháng c ủa 100 h ộ được chọn một cách ngâũ nhiên trong khu và thu được bảng s ố liệu sau: Thu nhập bình quân 150 200 250 300 350 (ngàn/người/tháng) Số hộ 10 15 20 30 10 Theo tính toán của bộ phận kinh doanh thì siêu th ị ch ỉ hoạt động có hi ệu qu ả t ại khu v ực này n ếu thu nhập bình quân hàng tháng của các hộ đạt trên m ức 250 nghìn đ ồng/tháng. V ậy qua k ết qu ả đi ều tra trên, công ty có nên quyết định mở siêu thị tại khu dân c ư A này hay không? Yêu c ầu k ết lu ận v ới xác su ất tin cậy 95%. Biết rằng thu nhập bình quân hàng tháng c ủa các h ộ trong khu v ực này tuân theo quy lu ật chuẩn. Bài 8.3. Bệnh A có thể chữa bằng hai loại thuốc là H và K. Công ty s ản xu ất thu ốc H tuyên b ố t ỷ l ệ b ệnh nhân khỏi bệnh do dùng thuốc của họ là 85%. Người ta dùng th ử thu ốc H cho 250 nhân b ị b ệnh A th ấy có 210 người khỏi bệnh và dùng thử thuốc K cho 200 bệnh nhân b ị b ệnh A th ấy có 175 ng ười kh ỏi b ệnh. a. Hiệu quả chữa bệnh của thuốc H có đúng như công ty quảng cáo không? Cho k ết lu ận v ới m ức ý nghĩa 5%. b. Với mức ý nghĩa 0,05 có thể kết luận thuốc K có khả năng ch ữa b ệnh A t ốt h ơn không? Bài 8.4. Một HTX trồng thử hai giống lúa , mỗi giống trên 30 thửa ruộng và đ ược chăm sóc nh ư nhau . Cu ối vụ thu hoạch người ta được số liệu như sau : Năng suất trung bình ( x ) Độ lệch tiêu chuẩn ( s ) Giống lúa I 45 2,5 Giống lúa II 46,5 4,0 Cho biết ý kiến của bạn về một số nhận định sau đây : a/ Năng suất trung bình của hai giống lúa có thể coi là nh ư nhau . b/ Nếu chấp nhận ý kiến ở câu a/ thì chọn gi ống lúa nào đ ể đ ưa vào s ản xu ất đ ại trà cũng nh ư nhau. Biết rằng năng suất của hai giống lúa là hai biến ngẫu nhiên phân ph ối chuẩn Ch ọn m ức ý nghĩa α = 5%. __________________________________ TrÇn Th¸i Ninh - §H KTQD - 2009
14 BÀI TẬPCỦNG CỐ Bài 8.5. Trước đây định mức tiêu dùng điện cho 1 hộ gia đình trong một tháng là 140 KW. Do đ ời s ống nâng cao , người ta theo dõi 100 hộ gia đình và thu đ ược các s ố li ệu sau Lựợng tiêu dùng 100- 120- 140- 160- 180- 120 140 160 180 200 Số hộ gia đình 14 25 30 20 11 a/ Theo anh (chị ) có cần thay đổi định mức không ?Cho α = 5%. b/ Nếu trước đây mức độ biến động của mức tiêu dùng điện cho 1 h ộ gia đình là σ2 = 202 . Vậy hiện nay mức độ biến động trên tăng hay giảm? Hãy cho kết luận với m ức ý nghĩa 5%. Giả thiết rằng lượng điện tiêu dùng của một hộ gia đình là bi ến ngẫu nhiên tuân theo quy lu ật chu ẩn. x − µ0 147,8 − 140 ĐS: t qs = n= 100 = 3,23607 s 24,1033 Bài 8.6. Theo dõi giá cổ phiếu của hai công ty A và B trong vòng 100 ngày ng ười ta tính đ ược các giá tr ị sau đây : Giá trung bình Độ lệch chuẩn Công ty A 37500 1500 Công ty B 38800 2200 Giả thiết rằng giá cổ phiếu của hai công ty A và B là hai bi ến ng ẫu nhiên phân ph ối chu ẩn . Hãy cho bi ết ý kiến của bạn về những ý kiến sau đây : a. Có sự khác biệt thực sự về giá cổ phiếu trung bình của hai công ty ? b. Nếu như đầu tư vào cổ phiếu của công ty B thì mức độ rủi ro sẽ lớn hơn. Ch ọn : α = 5%. Bài 8.7. Tỷ lệ phế phẩm do máy A sản xuất là 5%. Kiểm tra 150 s ản ph ẩm do máy B s ản xu ất th ấy có 9 ph ế phẩm. a. Ước lượng tỷ lệ phế phẩm tối đa của máy B với độ tin cậy 95%. b. Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng t ỷ lệ phế phẩm của hai máy trên là khác nhau không? c. Với xác suất 0,95 hãy cho biết nếu kiểm tra 200 sản ph ẩm c ủa dây chuy ền A thì s ẽ có t ối đa bao nhiêu phế phẩm? Bài 8.8. Một dây chuyền sản xuất tự động nếu hoạt động bình th ường thì t ỷ l ệ s ản ph ẩm không đ ạt tiêu chuẩn là 2%. Kiểm tra ngẫu nhiên một lô gồm 250 s ản phẩm thấy có 7 s ản ph ẩm không đ ạt tiêu chu ẩn. V ậy theo anh(chị) dây chuyền sản xuất trên có hoạt động bình thường không. Cho k ết luận v ới α = 5%, Bài 8.9. Theo dõi giá cổ phiếu của công ty A trong hai đ ợt, m ỗi đ ợt 36 phiên giao d ịch ng ười ta tính đ ược : Giá cổ phiếu trung bình (ngàn đồng) Đ ộ l ệch chu ẩn Đợt I 37,58 2,50 Đợt II 38,24 1,60 Giả thiết rằng giá cổ phiếu là biến ngẫu nhiên phân ph ối chuẩn. Với mức ý nghĩa 5% hãy cho biết ý kiến của bạn về các nhận định sau đây : a. Giá cổ phiếu đã thực sự tăng lên. b. Độ rủi ro khi đầu tư vào cổ phiếu trên giảm đi. __________________________________ TrÇn Th¸i Ninh - §H KTQD - 2009
15 Bài 8.10. Mức tiêu hao nguyên liệu cho một đơn vị s ản phẩm là biến ng ẫu nhiên tuân theo quy lu ật chuẩn. Do có thay đổi về công nghệ nên chất lượng sản xuất được cải thiện rõ rệt, để có c ơ s ở thay đ ổi đ ịnh mức tiêu hao nguyên liệu người ta đã theo dõi 100 sản ph ẩm và thu đ ược các s ố li ệu sau : Lượng tiêu hao(gam/sp) 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60 Số sản phẩm 14 20 36 22 8 a. Nếu định mức tiêu hao nguyên liệu trước đây là 50 gam/sp thì vi ệc thay đ ổi công ngh ệ có đem l ại hiệu quả thực sự không? Cho kết luận với mức ý nghĩa 5%. b. Sản phẩm có mức tiêu hao nguyên liệu trên m ức 55 g/sp đ ược gọi là "s ản ph ẩm không kinh t ế". Hãy ước lượng số "sản phẩm không kinh tế" tối đa với độ tin cậy 95% bi ết rằng mẫu trên đ ược l ấy ra từ lô hàng gồm 1000 sản phẩm. 2. Kiểm định sự độc lập của hai dấu hiệu định tính Bài 8.11. Quan sát 400 người về màu mắt và màu tóc người ta đ ược bảng s ố liệu sau đây: Màu tóc Vàng Nâu Đen Mầu mắt Đen 12 65 121 Nâu 38 59 105 Có thể cho rằng màu mắt và màu tóc không có gì liên quan đến nhau không? Cho k ết lu ận v ới m ức ý nghĩa 5%. Giải: + Đặt A = (................................................................) B = (..................................................................) + Ta có cặp giả thiết cần kiểm định là : H0 : (................................................ ) H 1 : (.................................................. ) + Miền bác bỏ để kiểm định cặp giả thiết trên là: Wα = + Tính gíá trị quan sát và kết luận. Lập bảng tínhsau đây:: Màu tóc Vàng Nâu Đen ∑ Mầu mắt 12 65 121 Đen 38 59 105 Nâu ∑   n2   χ qs = n∑   − 1 2 ij   ni . n. j   =     Kết luận: BÀI TẬPCỦNG CỐ __________________________________ TrÇn Th¸i Ninh - §H KTQD - 2009
16 Bài 8.12. Tại một trung tâm cai nghiện ma tuý người ta ti ến hành đi ều tr ị b ằng hai ph ương pháp : Đông y và Đông - Tây y kết hợp. Kiểm tra 1000 bệnh nhân đ ược đi ều trị b ằng ph ương pháp Đông y th ấy k ết qu ả phân bố như sau : Khỏi - 56% , đỡ - 34% , không kh ỏi - 10% . Để so sánh ng ười ta đi ều tra thêm 600 b ệnh nhân được được điều trị bằng phương pháp Đông-Tây y kết hợp và được số li ệu nh ư sau : Kh ỏi - 360 ng ười , đỡ - 190 người , không khỏi - 50 người Có thể cho rằng hi ệu quả ch ữa b ệnh c ủa hai ph ương pháp là khác nhau thực sự không . Cho kết luận vơí mức ý nghĩa α = 5% . 2 ĐS : = 2,7709 χ qs = 2,7709 ∉ Wα → Chưa có cơ sở bác bỏ giả thiết H0 . Kết luận: Có thể cho rằng hiệu quả chữa bệnh của hai phương pháp là nh ư nhau. Bài 8.12. Điều tra số trẻ em bị chết trước 1 tuổi ở xã A bị rải ch ất diệt c ỏ và xã B không b ị r ải ch ất di ệt c ỏ người ta thu được số liệu như sau : Xã A Xã B Số trẻ sống 1260 876 Số trẻ chết 52 19 Chất diệt cỏ có ảnh hưởng đến tỷ lệ trẻ bị chết trước một tuổi không? Cho k ết lu ận v ới m ức ý nghĩa 5% . BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài số 1. Thống kê 10650 trẻ sơ sinh ở một địa phương người ta th ấy có 5550 con trai. H ỏi t ỷ l ệ sinh con trai có thực sự cao hơn tỷ lệ sinh con gái không ? Cho kết luận với mức ý nghĩa 1% . Bài số 2. Mức tiêu hao năng lượng của một loại máy là bi ến ng ẫu nhiên tuân theo quy lu ật chu ẩn. Do đi ều kiện sản xuất được cải thiện nhằm tiết kiệm năng lượng và để có cơ sở thay đổi đ ịnh m ức tiêu hao năng l ượng ng ười ta đã theo dõi 100 máy và thu được các số liệu sau : Lượng tiêu 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60 hao(KW/giờ) Số máy 14 20 36 22 8 a/ Hãy ước lượng mức tiêu hao năng lượng trung bình với độ tin cậy 95%. b/ Máy không đạt tiêu chuẩn kỹ thuật là máy có m ức tiêu năng l ượng trên m ức 55 KW/gi ờ . Hãy ước lượng tỷ lệ máy không đạt tiêu chuẩn kỹ thuật tối đa với đ ộ tin c ậy 95% trên c ơ s ở s ố li ệu đi ều tra trên ? Bài số 3: Mức tiêu hao nhiên liệu trung bình của m ột loại xe máy H theo thi ết k ế là 2 lít/100km. M ột ng ười mới mua một chiếc xe loại này và sau một tháng theo dõi đã thu được các s ố liệu sau : Lượng tiêu hao(l/100 km) 1,8 2 2,2 2,4 2,6 Số chuyến xe 15 22 35 20 8 a/ Trên cơ sở số liệu thống kê trên hãy cho bi ết xe máy có hoạt đ ộng bình th ường không? Cho k ết luận với mức ý nghĩa 5% b/ Hãy ước lượng mức__________________________________ tin cậy 99%. tiêu hao nhiên liệu trung bình t ối đa với độ TrÇn Th¸i Ninh - §H KTQD - 2009
17 c/ Một người khác mua xe máy S có mức tiêu hao nhiên li ệu trung bình là 2,2 lít/100 km. Có th ể cho rằng mức tiêu hao nhiên liệu của xe máy S cao hơn mức tiêu hao nhiên liệu của xe máy H nói trên không? Cho α = 5%. Giả thiết rằng mức tiêu hao nhiên liệu của cả hai loại xe máy trên đ ều là các bi ến ng ẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn. Bài số 4. Kiểm tra ngẫu nhiên 300 công nhân ở một khu vực công nghi ệp th ấy có 160 n ữ và 140 nam, trong đó có 30 nữ và 20 nam có dấu hiệu mắc bệnh phổi. a/ Có thể nói tỷ lệ giới tính của công nhân ở khu vực nói trên là nh ư nhau không? b/ PhảI chăng tỷ lệ mắc bệnh phổi của nam thấp hơn nữ? Bài số 5. Cho bảng số liệu điều tra về tình hình học tập của 1500 sinh viên c ủa m ột tr ường đ ại h ọc nh ư sau: Kết quả học tập Giỏi Khá Trung bình Tổng Nơi ở Nội trú 50 320 130 500 Ngoại trú 150 610 240 1000 a/ Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng tỷ lệ sinh viên có kết quả h ọc t ập đ ạt loại gi ỏi. b/ Có thể cho rằng chất lượng học tập của sinh viên nội trú và ngoại trú là khác nhau th ực s ự đ ược không? Bài số 6. Tỷ lệ phế phẩm do máy A sản xuất là 5%. Kiểm tra 150 s ản ph ẩm do máy B s ản xu ất th ấy có 9 phế phẩm. a. Ước lượng tỷ lệ phế phẩm tối đa của máy B với độ tin cậy 95%. b. Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng t ỷ l ệ phế ph ẩm c ủa hai máy trên là khác nhau không? Bài số 7. Trong một nhà máy sản xuất sữa, sữa được đóng vào hộp b ằng một máy đóng gói t ự đ ộng và trọng lượng của những hộp sữa này là biến ngẫu nhiên phân bố theo quy luật chuẩn v ới giá tr ị trung bình là 1.050 gam và đ ộ lệch chuẩn bằng 20gam. a. Một máy đóng gói khác xếp những hộp này vào t ừng thùng g ồm 16 h ộp. Máy ch ạy bình th ường. Người ta lấy ngẫu nhiên một số thùng để kiểm tra trọng lượng c ủa các hộp s ữa. Xác su ất đ ể tr ọng lượng trung bình một hộp sữa của một thùng được kiểm tra sai lệch so v ới trọng l ượng quy đ ịnh c ủa một hộp sữa lớn hơn 10g là bao nhiêu? b. Một vài tháng sau, người ta cân kiểm tra ngẫu nhiên 2 thùng, k ết qu ả cho th ấy tr ọng l ượng trung bình một hộp là 1060g và độ lệch chuẩn là 30g. Có ph ải ki ểm tra l ại hay không ch ất l ượng c ủa máy đóng gói? Cho α = 5%. Bài số 8. Trọng lượng bao xi măng được đóng gói tự động theo qui định là 50 kg. Ki ểm tra ng ẫu nhiên 100 bao xi măng mới đóng gói thu được kết quả sau: Trọng lượng bao 48-48,5 48,5-49 49-49,5 49,5-50 50-50,5 Số bao 7 20 35 25 13 a/ Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng trọng lượng trung bình c ủa một bao xi măng. __________________________________ TrÇn Th¸i Ninh - §H KTQD - 2009
18 b/.Bao xi măng không đạt tiêu chuẩn là bao có trọng l ượng th ực t ế d ưới 48,5 kg. Hãy ước l ượng tỷ lệ bao xi măng không đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 95%? c/ Với mức ý nghĩa 0,05 có thể cho rằng các bao xi măng bị đóng thi ếu hay không? Giả thiết trọng lượng bao xi măng được đóng gói tự động là bi ến ng ẫu nhiên phân ph ối chu ẩn. Bài số 9. Mức chi tiêu của người dân tại một khu vực là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật chu ẩn. Do tình hình kinh tế đã được cải thiện rõ rệt người ta đã theo dõi 100 cá nhân và thu đ ược các s ố liệu sau : Chi tiêu (10000đ/người/tháng) 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60 Số cá nhân 14 20 36 22 8 a/ Hãy ước lượng mức chi tiêu trung bình với độ tin cậy 95%. b/ Giả sử người có mức chi tiêu trên 550.000 đ ồng/tháng đ ược coi là có thu nh ập khá. Hãy ước lượng tỷ lệ tố đa người có thu nhập khá với độ tin cậy 95% trên cơ sở số liệu điều tra trên ? Bài số 10. Theo dõi doanh thu của một cửa hàng xăng dầu sau một th ời gian ng ười ta đ ược s ố li ệu nh ư sau: Doanh thu(triệu đồng/ngày) 35 40 45 50 55 Số ngày 7 18 30 25 20 a. Hãy ước lượng doanh thu trung bình hàng ngày với độ tin cậy 95%. b. Chọn ngẫu nhiên 64 ngày của năm trước và trên cơ s ở s ố li ệu th ống kê ng ười ta tính đ ược doanh thu trung bình một ngày là 42 triệu đồng và độ lệch chuẩn là 7 triệu đồng. Với m ức ý nghĩa 5% có thể cho r ằng : + Doanh thu ngày càng tăng ? + Doanh thu ngày càng ổn định hơn? Giả thiết doanh thu hàng ngày của cửa hàng là biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn. Bài số 11. Độ lệch tiêu chuẩn của trọng lượng một loại s ản phẩm là 0,1kg. Nghi ng ờ đ ộ đ ồng đ ều c ủa tr ọng lượng sản phẩm giảm sút, người ta cân thử ngẫu nhiên 25 s ản ph ẩm và thu đ ược s ố li ệu sau: Trọng lượng (kg) 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 Số sản phẩm 2 4 15 3 1 Với mức ý nghĩa 5% hãy kết luận về điều nghi ng ờ trên. Gi ả thi ết r ằng trọng l ượng s ản ph ẩm là đ ại lượng ngẫu nhiên phân phối chuẩn. Bài số 12. Có 2 lô hạt giống. Từ lô thứ nhất, người ta gieo ng ẫu nhiên 850 h ạt th ấy có 680 h ạt n ẩy m ầm. Từ lô thứ hai gieo thứ 1200 hạt thất có 1020 hạt nẩy m ầm. a/ Có thể coi tỷ lệ hạt giống nẩy mầm của 2 lô là khác biệt nhau không? Yêu c ầu k ết lu ận v ới m ức ý nghĩa 5% b/ Hãy ước lượng tỷ lệ tối đa hạt giống không nẩy mầm của lô thứ hai v ới đ ộ tin c ậy 95% Bài số 13. Công ty Phương Đông đã bán được 550000 chiếc tủ l ạnh trên địa bàn kinh doanh c ủa mình. Đ ể xây dựng kế hoạch kinh doanh cho những năm t ới công ty ti ến hành đi ều tra ng ẫu nhiên 10000 h ộ __________________________________ TrÇn Th¸i Ninh - §H KTQD - 2009
19 trên cùng địa bàn thì thấy có 5000 hộ có t ủ lạnh, trong đó có 575 h ộ có t ủ l ạnh mang nhãn hi ệu c ủa công ty. Hãy ước lượng số hộ đã có tủ lạnh trên địa bàn kinh doanh của công ty bằng kho ảng tin c ậy 95%. Giả thiết mỗi hộ chỉ mua một tủ lạnh. Bài số 14. Theo nhận định của cơ quan quản lý chất lượng thực ph ẩm t ại thành ph ố A thì ch ỉ có 80% s ố c ơ sở kinh doanh thực phẩm tại thành phố này là đạt yêu cầu về vệ sinh an toàn th ực ph ẩm. Nhân tháng "Vệ sinh an toàn thực phẩm" kiểm tra ngẫu nhiên 100 c ơ s ở kinh doanh t ại thành ph ố. a/ Tính xác suất để trong số các cơ sở được kiểm tra có không ít hơn 85 cơ sở đạt yêu c ầu. b/ Tính xác suất để trong số các cơ sở được kiểm tra có t ừ 75 đến 85 cơ sở đạt yêu c ầu c/ Nếu trong số các cơ sở được kiểm tra có 26 cơ s ở không đ ạt yêu c ầu thì v ới m ức ý nghĩa 5% có thể cho rằng nhận định của cơ quan quản lý là tin cậy. Bài số 15. Năng suất một giống lúa tại vùng A ký hi ệu: X A, tại vùng B ký hiệu: X B là các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn. Thu hoạch ngẫu nhiên 55 ha ở vùng A ng ười ta đ ược các s ố li ệu sau: Năng suất 25 26 27 28 29 30 31 (tạ/ha) Số ha 7 8 10 11 8 6 5 a/ Hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng với hệ số tin cậy 95% cho m ức năng suất trung bình ở vùng A. b/ Hãy tìm khoảng tin cậy với hệ số tin cậy 95% cho ph ương sai c ủa m ức năng su ất ở vùng A. 41 c/ Thu hoạch một cách ngẫu nhiên 41 ha ở vùng B, ng ười ta tính đ ược xB =30; ∑ ( x Bi − x B ) 2 = 160 . i =1 Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng năng suất giống lúa này ở hai vùng là nh ư nhau không? d/ Giả sử rằng ở vùng B, phương sai của X B là 3, lấy một mẫu ngẫu nhiên khác, kích thước 100, hãy tính xác suất để : 100 2 ∑ i −1 ( X Bi − X B ) ít nhất bằng 270. Bài số 16. Khi nghiên cứu giống lúa A, qua thí nghi ệm, ng ười ta đã k ết lu ận: năng su ất c ủa nó là bi ến ng ẫu nhiên phân bố chuẩn có kỳ vọng 8 tấn/ha, độ phân tán 1,25 t ấn/ha. Khi đ ưa ra gieo tr ồng đ ại trà, điều tra ngẫu nhiên 144 ha, người ta thu được các số li ệu sau đây: 144 xA = 7,5 tấn/ha; ∑x i =1 2 Ai = 8380,28 trong đó xAi là năng suất lúa A (tấn/ha) ở ha thứ i. Cho α = 5%. a. Khi gieo trồng đại trà người ta chỉ biết năng suất của A tuân theo quy lu ật phân b ố chu ẩn, hãy cho biết: - Phải chăng năng suất lúa A không đạt mức như thí nghi ệm? - Phải chăng năng suất lúa A không ổn định như thí nghi ệm? 144 b. Điều tra ngẫu nhiên 144 ha trồng lúa B, ng ười ta thu đ ược: ∑ (x i =1 Bi − xB )2 = 288,86 trong đó XBi là năng suất lúa B (tấn/ha) ở ha thứ i, năng suất của B cũng phân b ố chu ẩn. Gi ống lúa A có năng su ất ổn định hơn giống lúa B không? __________________________________ TrÇn Th¸i Ninh - §H KTQD - 2009
20 c. Trong mẫu đối với lúa A có 88 ha có năng suất ít nh ất 7 tán/ha, m ẫu đ ối v ới B có 64 ha có năng suất nhỏ hơn 7 tấn/ha. Hãy cho biết tỷ lệ số ha có năng suất ít nh ất 7 t ấn/ha c ủa hai lo ại lúa trên có như nhau không? α = 5%. Bài số 17 Tại một khu dân cư, các hộ gia đình chỉ có th ể mua gas ở m ột trong hai c ửa hàng A và B. Đi ều tra ngẫu nhiên 1200 hộ thấy có 500 hộ dùng gas, trong đó 265 hộ dùng gas c ủa c ửa hàng A, s ố còn l ại dùng gas c ủa c ửa hàng B. 1. Với mức ý nghĩa 5% có thể kết lận cửa hàng A thu hút khách trên đ ịa bàn h ơn c ửa hàng B đ ược không? 2. Khu dân cư này có 5000 hộ, hỏi tối đa có bao nhiêu hộ dùng gas v ới đ ộ tin c ậy 95%? Bài số 18. Điều tra thu nhập hàng năm của 100 công nhân t ại xí nghiệp Mùa đông thu đ ược các s ố li ệu sau: Thu nhập (triệu đ/năm) 8.5 8.8 9 9.2 9.5 Số công nhân 15 20 35 25 5 Với độ tin cậy 0,95 hãy ước lượng thu nhập trung bình hàng năm của công nhân xí nghi ệp đó. b.Tại xí nghiệp Mùa thu, một đơn vị kinh doanh giỏi, t ỷ lệ công nhân có thu nh ập hàng năm b ằng 8.5 triệu là 11%. Vậy với mức ý nghĩa 0,05 có thể cho rằng t ỷ l ệ công nhân có thu nh ập b ằng 8.5 tri ệu ở xí nghiệp Mùa đông cao hơn xí nghiệp Mùa thu hay không? Giả thiết thu nhập hàng năm của công nhân tuân theo quy luật phân b ổ chuẩn. __________________________________ TrÇn Th¸i Ninh - §H KTQD - 2009