intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Khai phóng năng lực Toán lớp 11 - Nguyễn Hoàng Thanh

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:104

Thêm vào BST
Báo xấu
16
lượt xem 5
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Khai phóng năng lực Toán lớp 11 - Nguyễn Hoàng Thanh" là tư liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh, phục vụ quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức. Mời các em học sinh cùng tham khảo để chuẩn bị chu đáo hành trang kiến thức môn học nhé!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khai phóng năng lực Toán lớp 11 - Nguyễn Hoàng Thanh

  1. NGUYỄN HOÀNG THANH
  2. MỤC LỤC Chương 1 Hàm số và phương trình lượng giác. 1 1 Góc lượng giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Góc lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Đơn vị radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Đường tròn lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Giá trị lượng giác của một góc lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1 Giá trị lượng giác của một góc lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3 Giá trị lượng giác của các góc liên kết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.1 Hai góc đối nhau: α và −α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2 Hai cung hơn kém nhau π: α và α + π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.3 Hai góc bù nhau: α và π − α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.4 Hai góc phụ nhau: α và π − α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 10 3.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Các công thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.1 Công thức cộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2 Công thức góc nhân đôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.3 Công thức biến đổi tích thành tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.4 Công thức biến đổi tổng thành tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5 Hàm số lượng giác và đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.1 Hàm số chẵn, hàm số lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.2 Hàm số tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.3 Hàm số y = sin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.4 Hàm số y = cos x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5.6 Hàm số y = tan x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.7 Hàm số y = cot x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6 Phương trình lượng giác cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6.1 Phương trình tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6.2 Phương trình sin x = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6.3 Phương trình cos x = m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6.4 Giải phương trình lượng giác bằng máy tính cầm tay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 6.5 Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 7 Bài tập cuối chương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 7.1 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 7.2 Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Chương 2 Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân. 29 i
  3. KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 1 Dãy Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.1 Dãy số là gì? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.2 Cách xác định dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.3 Dãy số tăng, dãy số giảm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.4 Dãy số bị chặn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2 Cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1 Cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Số hạng tổng quát của cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3 Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 Cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1 Cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2 Số hạng tổng quát của cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3 Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4 Bài tập cuối chương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.1 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.2 Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Chương 3 Giới hạn và hàm số liên tục. 43 1 Giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.1 Giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.2 Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.3 Giới hạn hữu hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.5 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.6 Giới hạn vô cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2 Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.1 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2 Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.4 Giới hạn một phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.5 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.6 Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.1 Hàm số liên tục tại một điểm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2 Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3 Tính liên tục của hàm số sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4 Tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.5 Ứng dụng của hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4 Bài tập cuối chương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.1 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2 Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Chương 4 Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian. 59 SÁCH THAM KHẢO Trang ii
  4. KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 1 Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.1 Mặt phẳng trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.2 Các tính chất thừa nhận của hình học không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.3 Cách xác định mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.4 Hình chóp và hình tứ diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1.6 Bài tập sách giáo khoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2 Hai đường thẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.2 Tính chất cơ bản về hai đường thẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.4 Bài tập sách giáo khoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3 Đường thẳng và mặt phẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.1 Đường thẳng song song với mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.2 Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3 Tính chất cơ bản của đường thẳng và mặt phẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.4 Mặt phẳng đi qua một trong hai đường thẳng chéo nhau và song song với đường còn lại. . . . . . 74 3.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.6 Bài tập sách giáo khoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4 Hai mặt phẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.1 Hai mặt phẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.3 Định lý Thalès trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.4 Hình lăng trụ và hình hộp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.5 Bài tập sách giáo khoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.6 Bài tập và các dạng toán tổng hợp và nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5 Phép chiếu song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.1 Khái niệm phép chiếu song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.2 Các tính chất cơ bản của phép chiếu song song. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.3 Hình biểu diễn của một hình không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6 Bài tập cuối chương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.1 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.2 Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Chương 5 Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm. 90 1 Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 1.1 Số liệu ghép nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 1.2 Số trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 1.3 Mốt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 1.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2 Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.1 Trung vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.2 Tứ phân vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3 Bài tập cuối chương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.1 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.2 Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 SÁCH THAM KHẢO Trang iii
  5. Chương 1 HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 1. Góc lượng giác 1.1 Góc lượng giác 1.1.1 Khái niệm góc lượng giác Khái niệm: Cho tia Oa. Khi xét chuyển động của một tia Om quanh gốc O của nó tính từ + vị trí ban đầu Oa theo một chiều cố định, người ta quy ước chiều quay ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương và chiều quay cùng chiều kim đồng hồ là m chiều âm. − Một vòng quay theo chiều dương tương ứng với góc quay 360◦ , một vòng quay theo chiều âm tương ứng với góc quay −360◦ . O a Khi tia Om quay: 1 • nửa vòng theo chiều dương thì ta nói Om quay góc · 360◦ = 180◦ ; 2 1 1 • vòng theo chiều dương thì ta nói Om quay góc · 360◦ = 60◦ ; 6 6 5 5 • vòng theo chiều âm thì ta nói Om quay góc · (−360◦ ) = −450◦ . 4 4 Khái niệm: Cho hai tia Oa, Ob. • Nếu một tia Om quay quanh gốc O của nó theo một chiều cố định bắt đầu từ vị trí tia Oa và dừng ở vị trí tia Ob thì ta nói tia Om quét một góc lượng giác có tia đầu Oa, tia cuối Ob. Ký hiệu: (Oa, Ob). • Khi tia Om quay một góc α, ta nói số đo của góc lượng giác (Oa, Ob) bằng α. Ký hiệu: (Oa, Ob) = α. m m + − b b O a O a Lưu ý: Với hai tia Oa và Ob cho trước, có vô số góc lượng giác có tia đầu Oa và tia cuối Ob. Ví dụ 1. Xác định số đo của các góc lượng giác (Oa, Ob) trong hình sau 1
  6. KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 b b b b O a O a O a O a a) b) c) d) Lưu ý: Số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu Oa và tia cuối Ob sai khác nhau một bội nguyên của 360◦ nên có công thức tổng quát là sđ (Oa, Ob) = α◦ + k360◦ (k ∈ Z). hoặc thường viết là (Oa, Ob) = α◦ + k360◦ . với α◦ là số đo của một góc lượng giác bất kì có tia đầu Oa và tia cuối Ob. Chẳng hạn, trong hình đầu tiên của ví dụ trên thì (Oa, Ob) = 90◦ + k360◦ . Ví dụ 2. Cho MON = 60◦ . Xác định số đo của các góc lượng giác được biểu diễn trong hình vẽ và viết công thức ÷ tổng quát của số đo góc lượng giác (OM, ON). N N N O M O M O M a) b) c) Ví dụ 3. Trong các khoảng thời gian từ 0 giờ đến 2 giờ 15 phút, kim phút quét một góc lượng giác là bao nhiêu độ? 1.1.2 Hệ thức Chasles (Sa-lơ) Khái niệm: Với ba tia Oa, Ob và Oc bất kì, ta có (Oa, Ob) + (Ob, Oc) = (Oa, Oc) + k360◦ , (k ∈ Z). Ví dụ 4. Trong hình bên, chiếc quạt có ba cánh được phân bố đều nhau. Viết công y thức tổng quát đo số đo của các góc lượng giác (Ox, ON) và (Ox, OP). N O −50◦ x P M 1.2 Đơn vị radian Khái niệm: Trên đường tròn bán kính R tuỳ ý, góc ở tâm chắn một cung có độ dài đúng bằng R được gọi là một góc có số đo 1 radian (đọc là 1 ra-đi-an, viết tắt là 1rad ). SÁCH THAM KHẢO Trang 2
  7. KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 Trên đường tròn bán kính R, một góc ở tâm có số đo α rad thì chắn một cung B có độ dài αR (Hình 10). Vì góc bẹt (180◦ ) chắn nửa đường tròn với độ dài là αR πR, nên góc bẹt có số đo theo đơn vị radian là π. Khi đó ta viết R 1 rad 180◦ = π rad. A O R Hình 10 180 ◦ Å ã π Suy ra, với π ≈ 3,14, ta có = 1◦ rad ≈ 0,0175 rad và 1 rad = ≈ 57,3 ◦ (hay 57◦ 17′ 45′′ ). 180 π Do đó ta có công thức chuyển đổi số đo góc từ đơn vị radian sang độ và ngược lại như sau: 180α ◦ Å ã πa a◦ = rad α rad = 180 π Ví dụ 5. Đổi các số đo góc sau đây từ radian sang độ hoặc ngược lại 2π a) 45◦ . b) −60◦ . c) rad. d) 3 rad. 5 Bài tập 1. Đổi số đo của các góc sau đây sang radian: a) 30◦ ; b) 45◦ ; c) 60◦ ; d) 120◦ ; e) 135◦ ; f) 180◦ ; g) 270◦ ; h) 360◦ i) −30◦ ; j) −45◦ ; k) −60◦ ; l) −120◦ ; m) −135◦ ; n) −160◦ ; o) 275◦ ; p) 185◦ . Bài tập 2. Đổi số đo của các góc sau đây sang độ: π π π π a) ; b) ; c) ; d) ; 3 4 2 6 2π 3π 5π π e) ; f) ; g) ; h) ; 3 2 4 12 7π 5π 13π i) ; j) ; k) −5; l) . 4 6 9 Lưu ý: π a) Khi ghi số đo của một góc theo đơn vị radian, người ta thường bỏ đi chữ rad sau số đo. Ví dụ, rad 2 π được viết là , 2 rad được viết là 2 . 2 b) Với đơn vị radian, công thức số đo tổng quát của góc lượng giác (Oa, Ob) là (Oa, Ob) = α + k2π (k ∈ Z), Trong đó α là số đo theo radian của một góc lượng giác bất kì có tia đầu Oa và tia cuối Ob. Lưu ý: không được viết α + k360◦ hay a◦ + k2π (vì không cùng đơn vị đo). 1.3 Đường tròn lượng giác Khái niệm: SÁCH THAM KHẢO Trang 3
  8. KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn tâm O bán kính bằng 1. Trên y đường tròn này, chọn điểm A(1; 0) làm gốc, chiều dương là chiều ngược 1 chiều kim đồng hồ và chiều âm là chiều cùng chiều kim đồng hồ. Đường + tròn cùng với gốc và chiều như trên được gọi là đường tròn lương giác. A(1; 0) −1 O 1 x − −1 Hình 11 Cho số đo góc α bất kì. Trên đường tròn lượng giác, ta xác định được duy y nhất một điểm M sao cho số đo góc lượng giác (OA, OM) bằng α (Hình 12). Khi đó điểm M được gọi là điểm biểu diễn của góc có số đo α trên đường M tròn lượng giác. α A O x Hình 12 Ví dụ 6. Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các góc lượng giác có số đo là: a) 30◦ ; b) 45◦ ; c) 60◦ ; d) 90◦ ; e) 120◦ ; f) 135◦ ; g) 180◦ ; h) 225◦ ; i) 270◦ ; j) −30◦ ; k) −60◦ ; l) −90◦ ; −7π m) −120◦ ; n) −135◦ ; o) 865◦ ; p) . 3 Bài tập 3. Biểu diễn các góc lượng giác sau trên đường tròn lượng giác: π π π π a) ; b) ; c) ; d) ; 3 4 6 2 2π 3π −π −π e) ; f) ; g) ; h) ; 3 4 3 4 −π π −17π 13π i) ; j) − ; k) ; l) . 6 2 3 4 31π Bài tập 4. Góc lượng giác có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác với góc lượng giác nào sau 7 đây? 3π 10π −25π ; ; . 7 7 7 Bài tập 5. Viết công thức số đo tổng quát của các góc lượng giác (OA, OM) và y (OA, ON) trong hình bên. M 120◦ A O x −75◦ N Hình 14 SÁCH THAM KHẢO Trang 4
  9. KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 Bài tập 6. Trong hình vẽ bên, mâm bánh xe ô tô được chia thành năm phần y bằng nhau. Viết công thức số đo tổng quát của góc lượng giác (Ox, ON). M 45◦ A O x N Hình 15 Bài tập 7. Trên đường tròn lượng giác, hãy biểu diễn các góc lượng giác có số đo có dạng là: π π a) + kπ (k ∈ Z); b) k (k ∈ Z). 2 4 Bài tập 8. Vị trí các điểm B, C, D trên cánh quạt động cơ máy bay trong hình 16 có y B thể được biểu diễn cho các góc lượng giác nào sau đây? π 2π −π 2π π π +k (k ∈ Z); +k (k ∈ Z); + k (k ∈ Z). 2 3 6 3 2 3 O A x C D Bài tập 9. Hải lí là một đơn vị chiều dài hàng hải, được tính bằng độ dài một Å ã◦ Cực Bắc 1 hả cung chắn một góc α = của đường kinh tuyến (Hình 17). Đổi số đo α il 60 í sang radian và cho biết 1 hải lí bằng khoảng bao nhiêu kilômét, biết bán kính trung bình của Trái Đất là 6371 km. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm. 1 ◦ Åã α= 60 Đường xích đạo Cực Nam Hình 17 SÁCH THAM KHẢO Trang 5
  10. KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 Bài 2. Giá trị lượng giác của một góc lượng giác 2.1 Giá trị lượng giác của một góc lượng giác Khái niệm: Trên đường tròn lượng giác, gọi M là điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo α. Khi đó: y • Tung độ yM của M gọi là sin của α, kí hiệu sin α. • Hoành độ xM của M gọi là côsin của α, kí hiệu cos α. xM α yM sin α A • Nếu xM ̸= 0 thì tỉ số = gọi là tang của α, O x xM cos α kí hiệu tan α. M yM xM cos α • Nếu yM ̸= 0 thì tỉ số = gọi là côtang của α, yM sin α kí hiệu cot α. Các giá trị sin α, cos α, tan α và cot α được gọi là các giá trị lượng giác của góc lượng giác α. Lưu ý: • Ta gọi trục hoành là trục côsin, còn trục tung là trục sin. • sin α và cos α xác định với mọi α ∈ R; π tan α chỉ xác định với các góc α ̸= + kπ (k ∈ Z); 2 cot α chỉ xác định với các góc α ̸= kπ (k ∈ Z). • Với mọi góc lượng giác α và số nguyên k, ta có sin(α + k2π) = sin α; tan(α + kπ) = tan α; cos(α + k2π) = cos α; cot(α + kπ) = cot α. π • Ta đã biết bảng giá trị lượng giác của một số góc α đặc biệt với 0 ⩽ α ⩽ (hay 0◦ ⩽ α ⩽ 90◦ ) như sau: 2 độ 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ π π π π rad 0 6 4 √ 3 √ 2 1 2 3 sin α 0 1 2 √ 2 √ 2 3 2 1 cos α 1 0 2 √ 2 2 3 √ tan α 0 1 3 || 3 √ √ 3 cot α || 3 1 0 3 Ví dụ 1. Quan sát bảng trên và đọc giá trị lượng giác của các góc 30◦ , 45◦ , 60◦ và 90◦ . Ví dụ 2. Tính các giá trị lượng giác của các góc π π π π a) ; b) ; c) ; d) ; 3 4 6 2 13π e) ; f) 405◦ ; g) 450◦ ; h) −45◦ . 3 Ví dụ 3. Em hãy xác định dấu của sin α, cos α, tan α và cot α trong các trường hợp sau π π 3π 3π a) 0 ⩽ α ⩽ . b) ⩽ α ⩽ π. c) π ⩽ α ⩽ . d) ⩽ α ⩽ 2π. 2 2 2 2 SÁCH THAM KHẢO Trang 6
  11. KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 Nếu chia đường tròn lượng giác thành 4 phần (I, II, II và IV) theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, em hãy cho biết dấu của hàm số lượng giác khi α thuộc một trong các phần trên. Ví dụ 4. Xác dấu các biểu thức sau a) A = sin 40◦ · cos(−290◦ ). b) B = sin(−25◦ · cos 170◦ . c) C = sin 225◦ · tan 130◦ · cot(−175◦ ). d) D = cos 195◦ · tan 269◦ · cot(−98◦ ). 2.2 Hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác Công thức cần nhớ: sin x π 1 π • tan x = với α ̸= + kπ, k ∈ Z • 1 + tan2 α = 2α với α ̸= + kπ, k ∈ Z cosx 2 cos 2 cosx π • cot x = với α ̸= kπ, k ∈ Z • tan α · cot α = 1 với α ̸= k , k ∈ Z sin x 2 1 • sin2 x + cos2 x = 1 • 1 + cot2 α = với α ̸= kπ, k ∈ Z sin2 α 2.2.1 Bài tập tính toán 3 π Ví dụ 5. Cho cos α = với − < α < 0. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc α. 4 2 Bài tập 1. Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không? 3 4 1 1 a) sin α = và cos α = − ; b) sin α = và cot α = ; 5 5 3 2 1 c) tan α = 3 và cot α = . 3 Bài tập 2. Tính các giá trị lượng giác của góc α, nếu: 5 π 2 a) sin α = và < α < π; b) cos α = và 0 < α < 90◦ ; 13 2 5 √ 3π 1 c) tan α = 3 và π < α < ; d) cot α = − và 270◦ < α < 360◦ . 2 2 √ ◦ = 2 + 3. Hãy tính tan 15◦ , sin 15◦ , cos 15◦ . Bài tập 3. Cho cot 15 Bài tập 4. Tính sin x, cos x, cot x, biết 1 4 a) sin x = và 90◦ < x < 180◦ b) sin x = − và 270◦ < x < 360◦ 2 5 Bài tập 5. Tính sin x, tan x, cot x, biết 3 5 a) cos x = và 0◦ < x < 90◦ b) cos x = − và 180◦ < x < 270◦ 5 13 Bài tập 6. Tính sin x, cos x, cot x, biết 3 3π √ π a) tan x = và π < x < b) tan x = − 2 và < x < π 4 2 2 Bài tập 7. Tính sin x, cos x, tan x, biết 2 π √ π a) cot x = và 0 < x < b) cot x = − 3 và < x < π 3 2 2 Bài tập 8. Tính giá trị các biểu thức lượng giác 5 cot x + 4 tan x 2 sin x + cos x a) tan x = −2. Tính A1 = và A2 = 5 cot x − 4 tan x cos x − 3 sin x 2 3 sin x − 2 cos x b) cot x = 2. Tính B1 = và B2 = cos2 x − sin x cos x 5 sin3 x + 4 cos3 x SÁCH THAM KHẢO Trang 7
  12. KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 4 π cot x + tan x sin x c) cos x = − và < x < π. Tính C1 = và C2 = cot x + 5 2 cot x − tan x 1 + cos x Bài tập 9. Tính giá trị các biểu thức lượng giác 2 tan x − cos x tan x cos x a) sin x = và 0 < x < 90◦ . Tính M = và N = − cos x cot x 3 cot x sin2 x 1 π b) sin x + cos x = . Tính sin x. cos x, từ đó suy ra giá trị của sin x, cos x khi < x < π 2 2 2.2.2 Bài tập rút gọn, chứng minh Bài tập 10. Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau: 1 a) sin4 α − cos4 α = 1 − 2 cos2 α; b) tan α + cot α = . sin α cos α Bài tập 11. Chứng minh các đẳng thức sau a) cos2 x − sin2 x = 1 − 2 sin2 x. b) 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x. c) 3 − 4 sin2 = 4 cos2 x − 1. d) sin x · cot x + cos x · tan x = sin x + cos x. e) sin4 x + cos4 x = 1 − 2 sin2 x · cos2 x. f) cos4 x − sin4 x = cos2 x − sin2 x. g) 4 cos2 x − 3 = (1 − 2 sin x) · (1 + 2 sin x). h) (1 + cos x) · (sin2 x − cos x + cos2 x) = sin2 x. i) sin4 x − cos4 x = 1 − 2 cos2 x = 2 sin2 x − 1. j) sin3 x · cos x + sin x · cos3 x = sin x · cos x. Bài tập 12. Chứng minh các đẳng thức sau 1 − cos x sin x 1 1 a) = . b) + = 1. sin x 1 + cos x 1 + tan x 1 + cot x 1 1 1 + sin2 x Å ãÅ ã c) 1 − 1+ + tan2 x = 0. d) = 1 + 2 tan2 x. cos x cos x 1 − sin2 x tan x + tan y cos x 1 e) tan x. tan y = . f) tan x + = . cot x + cot y 1 + sin x cos x 1 1 + cos x 1 − cos x 4 cot x g) (1 − cos x)(1 + cot2 x) = . h) − = . 1 + cos x 1 − cos x 1 + cos x sin x Bài tập 13. Rút gọn các biểu thức sau a) sin4 x + sin2 x · cos2 x. b) sin4 x − cos4 x + cos2 x. c) sin2 x + sin2 x · cot2 x. d) (1 − sin2 x) · cot2 x + 1 − cot2 x. 2 cos2 x − 1 cos2 x − cot2 x e) . f) . sin x + cos x sin2 x − tan2 x 1 − sin2 x · cos2 x (sin x + cos x)2 − 1 g) − cos2 x. h) . cos2 x tan x − sin x · cos x Bài tập 14. Biến đổi các biểu thức sau thành tích a) sin x · cos x + cos2 x − 1. b) 1 + sin x + cos x + tan x. c) tan x − cot x + sin x + cos x. d) cos x · tan2 x − (1 + cos x). e) 3 sin x + 2 cos x − 3 tan x − 2. f) (3 − 4 cos2 x) − sin x · (2 sin x + 1). √ √ g) sin2 x − 3 cos2 x + 6 cos x − 2 sin x. h) cos2 x + sin3 x + cos x. SÁCH THAM KHẢO Trang 8
  13. KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 Bài 3. Giá trị lượng giác của các góc liên kết 3.1 Hai góc đối nhau: α và −α Công thức cần nhớ: y Các điểm biểu diễn của hai góc α và −α đối xứng qua trục Ox (Hình 7), nên ta có M • sin(−α) = − sin α α A • cos(−α) = cos α O −α x • tan(−α) = − tan α N • cot(−α) = − cot α Hình 7 Ví dụ 1. Điền giá trị thích hợp vào dấu ba chấm a) sin(−30◦ ) = · · · ; b) cos(−45◦ ) = · · · ; c) tan(−60◦ ) = · · · ; d) cot(−45◦ ) = · · · . 3.2 Hai cung hơn kém nhau π: α và α + π Công thức cần nhớ: y Các điểm biểu diễn của hai góc α và α + π đối xứng nhau qua gốc toạ độ O (Hình 8), nên ta có yM M • sin(α + π) = − sin α xN π+α A α • cos(α + π) = − cos α O xM x • tan(α + π) = tan α N yN • cot(α + π) = cot α Hình 8 Ví dụ 2. Tính các giá trị sau a) sin 210◦ . b) cos 225◦ . c) tan 210◦ . d) cos 315◦ . 7π 11π 17π e) sin 13π. f) cot . g) cos . h) sin . 6 3 3 3.3 Hai góc bù nhau: α và π − α Công thức cần nhớ: y Các điểm biểu diễn của hai góc α và π − α đối xứng nhau qua truc Oy (Hình 9), nên ta có N M • sin(π − α) = sin α π−α α A • cos(π − α) = − cos α O x • tan(π − α) = − tan α • cot(π − α) = − cot α Hình 9 Ví dụ 3. Điền giá trị thích hợp vào chỗ trống a) sin 120◦ = sin · · · ; b) cos 130◦ = − cos · · · ; c) tan 155◦ = − tan · · · ; d) cot 35◦ = − cot · · · ; e) sin 70◦ = sin · · · ; f) cos 10◦ = − cos · · · ; g) tan 85◦ = − tan · · · ; h) cot 175◦ = − cot · · · . SÁCH THAM KHẢO Trang 9
  14. KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 π 3.4 Hai góc phụ nhau: α và 2 −α Công thức cần nhớ: y π d Các điểm biểu diễn của hai góc α và − α đối xứng nhau qua đường phân 2 N giác d của góc xOy (Hình 10) nên ta có M π • sin −α = cos α α A 2 O x π • cos −α = sin α 2 π • tan −α = cot α 2 π Hình 10 • cot −α = tan α 2 Ví dụ 4. Điền giá trị thích hợp vào chỗ trống a) sin 10◦ = cos · · · ; b) cos 40◦ = sin · · · ; c) tan 15◦ = cot · · · ; d) cot 35◦ = tan · · · ; e) sin 7◦ = cos · · · ; f) cos 12◦ = sin · · · ; g) tan 5◦ = cot · · · ; h) cot 1◦ = tan · · · . Ví dụ 5. 61π π a) Biểu diễn sin qua giá trị lượng giác có số đo từ 0 đến . 8 4 b) Biểu diễn tan 258◦ qua giá trị lượng giác có số đo từ 0◦ đến 45◦ . 3.5 Bài tập 12 5 15π Å ã Bài tập 1. Cho sin α = và cos α = − . Tính sin − − α − cos(13π + α). 13 13 2 Bài tập 2. Diễn tả giá trị lượng giác của các góc sau bằng giá trị lượng giác của góc x a) sin(x − 90◦ ). b) cos(x − 180◦ ). c) sin(270◦ − x). d) sin(x + 450◦ ). e) tan(360◦ − x). f) sin(450◦ + x). g) sin2 (270◦ + x). h) cos3 (90◦ + x). Bài tập 3. Diễn tả giá trị lượng giác của các góc sau bằng giá trị lượng giác của góc x a) cot(x − π). b) tan(2π − x). c) sin(3π + x). d) cos(x − 7π). 5π 3π 3π Å ã Å ã Å ã e) tan(x − 5π). f) sin +x . g) cos +x . h) cot x − . 2 2 2 5π 11π 7π 3π Å ã Å ã Å ã Å ã i) cos x − . j) tan +x . k) sin x + . l) cos x − . 2 2 2 2 Bài tập 4. Rút gọn các biểu thức sau: π a) A = cos x − + sin(x − π). 2 π π π π b) B = cos − x + sin − x − cos + x − sin +x . 2 2 2 2 7π 3π Å ã Å ã c) C = 2 cos x + 3 cos(π − x) − sin − x + tan −x . 2 2 3π Å ã π d) D = sin(π + x) − cos − x + cot(2π − x) + tan −x . 2 2 Bài tập 5. Rút gọn và tính giá trị các biểu thức sau a) A = sin 32◦ · sin 148◦ − sin 302◦ · sin 122◦ . b) B = sin 825◦ · cos(−15◦ ) + cos 75◦ · sin(−555◦ ). Bài tập 6. Rút gọn và tính giá trị các biểu thức sau SÁCH THAM KHẢO Trang 10
  15. KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 a) A = sin2 28◦ + sin2 36◦ + sin2 54◦ + cos2 152◦ b) B = sin2 10◦ + sin2 20◦ + sin2 30◦ + . . . + sin2 90◦ Bài tập 7. Rút gọn và tính giá trị các biểu thức sau a) A = cot 15◦ · cot 35◦ · cot 55◦ · cot 75◦ . b) B = tan 10◦ · tan 20◦ . tan 30◦ · · · tan 80◦ . c) C = tan 41◦ · tan 42◦ · tan 43◦ · · · tan 49◦ . d) D = tan 20◦ + tan 40◦ + tan 60◦ + . . . + tan 180◦ . π Bài tập 8. Biểu diễn các giá trị lượng giác sau qua các giá trị lượng giác của góc có số đo từ 0 đến hoặc từ 0◦ 4 đến 45◦ và tính: 21π 129π a) cot 135◦ ; b) cos ; c) sin ; d) tan 1020◦ . 6 4 Bài tập 9. Rút gọn các biểu thức sau: 1 1 π a) + ; b) cos − α − sin(π + α); tan α + 1 cot α + 1 2 π c) sin α − + cos(−α + 6π) − tan(α + π) cot(3π − 2 α). Bài tập 10. Chứng minh rằng nếu A, B, C là ba góc của một tam giác thì a) sin(A + 2B + C) = − sin B b) tan(A + B + 2C) = tan C A + B + 3C A − 2B + C 3B c) sin = cos C d) cot = tan 2 2 2 Bài tập 11. Chứng minh các đẳng thức sau a) sin A = sin B. cos C + sin C. cos B. b) cos A = sin B. sin C − cos B. cos C. A B C B C A B C B C c) sin = cos . cos − sin . sin . d) cos = sin . cos − cos . sin . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 e) tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C. f) cot A. cot B + cot B. cot C + cot C. cot A = 1. A B B C C A A B C A B C g) tan . tan + tan . tan + tan . tan = 1. h) cot + cot + cot = cot . cot . cot . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ánh sáng Bài tập 12. Thanh OM quay ngược chiều kim đồng hồ quanh trục O của nó trên một mặt phẳng thẳng đứng và in bóng vuông góc xuống mặt đất như Hình 12. Vị trí ban đầu của thanh là OA. Hỏi độ dài bóng O ′ M ′ của OM khi thanh quay 1 được 3 vòng là bao nhiêu, biết độ dài thanh OM là 15 cm? Kết quả làm tròn 10 α A đến hàng phần mười. O M M ′ bóng O′ Hình 12 Bài tập 13. Khi xe đạp di chuyển, van V của bánh xe quay quanh trục O theo chiều kim đồng hồ với tốc độ y góc không đổi là 11 rad/s (hình bên). Ban đầu van nằm ở vị trí A. Hỏi sau một phút di chuyển, khoảng cách từ van đến mặt đất là bao nhiêu, biết bán kính OA = 58 cm? Giả sử độ dày của lốp xe không đáng kể. Kết quả làm tròn x A đến hàng phần mười. O α V ? Mặt đất Hình 13 SÁCH THAM KHẢO Trang 11
  16. KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 Bài 4. Các công thức lượng giác Trong kiến trúc, các vòm cổng bằng đá thường có hình nửa đường tròn để có thể chịu lực tốt. Trong hình bên, vòm cổng được E D ghép bởi sau phiến đá hai bên tạo thành các cung AB, BC, CD, F C DE, EF, FG, GH bằng nhau và một phiến đá chốt ở đỉnh. Nếu biết chiều rộng cổng và khoảng cách từ điểm B đến đường kính AH, làm thế nào để tính được khoảng cách từ điểm C đến AH? G B ? cm 27 cm H A O C′ B′ 4.1 Công thức cộng −→ − Quan sát hình bên. Từ hai cách tính tích vô hướng của hai véc-tơ OM và y −→ − ON sau đây N − → −→ − − − → −→ − − − → −→ − − − → −→ − − yN OM · ON = |OM| · |ON| · cos(OM, ON) = cos(OM, ON) = cos(α − β), M yM − → −→ − − OM · ON = xM xN + yM yN . α β x hãy suy ra công thức cos(α − β) theo các giá trị lượng giác α và β. Từ O xN xM A đó, hãy suy ra công thức cos(α + β) bằng cách thay β bằng −β. Công thức cần nhớ: • sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos a. tan α + tan β • tan(α + β) = . 1 − tan a tan β • sin(α − β) = sin α cos β − sin β cos a. • cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β. tan α − tan β • cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β. • tan(α − β) = . 1 + tan α tan β π Ví dụ 1. Tính giá trị cos . 12 π π Bài tập 1. Tính sin và tan . 12 12 Bài tập 2. Rút gọn các biểu thức sau a) sin x. cos 5x − cos x. sin 5x. b) sin 4x. cot 2x − cos 4x. tan 3x − tan x tan2 2x − tan2 x c) . d) . 1 + tan 3x. tan x 1 − tan2 2x. tan2 x Bài tập 3. Tính giá trị các biểu thức sau a) A = sin 12◦ . cos 48◦ + cos 12◦ . sin 48◦ . b) B = cos 38◦ . cos 22◦ − sin 38◦ . sin 22◦ . c) C = sin 36◦ . cos 6◦ − sin 126◦ . cos 84◦ . d) D = sin 200◦ . sin 310◦ + cos 340◦ . cos 50◦ . Bài tập 4. Tính giá trị các biểu thức sau tan 25◦ + tan 20◦ 1 + tan 15◦ a) E = . b) F = . 1 − tan 25◦ . tan 20◦ 1 − tan 15◦ sin 10◦ . cos 20◦ + sin 20◦ . cos 10◦ sin 73◦ . cos 3◦ − sin 87◦ . cos 17◦ c) G = . d) H = . cos 17◦ . cos 13◦ − sin 17◦ . sin 13◦ cos 132◦ . cos 62◦ + cos 42◦ . cos 28◦ π Bài tập 5. Cho a − b = . Tính giá trị các biểu thức 3 SÁCH THAM KHẢO Trang 12
  17. KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 a) X = (cos a + cos b)2 + (sin a + sin b)2 . b) Y = (cos a + sin b)2 + (cos b − sin a)2 . Bài tập 6. Tính giá trị các biểu thức sau 1 4 3π Å ã π a) A = cos(x − 30◦ ) với tan x = √ (0 < x < 90◦ ). b) B = cot x − với sin x = − π
  18. KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 4 π Bài tập 18. Cho sin 2x = 0
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.04: Bộ 290+ Đề Thi Vào Lớp 10 Năm 2020
290 tài liệu
511 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2