intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Khảo sát hàm số: Một số bài toán Max Min

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

Thêm vào BST
Báo xấu
43
lượt xem 2
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu thông tin đến các bạn và các em học sinh các bài toán về phương pháp hàm số cho bài toán giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất và bất đẳng thức hai biến số.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khảo sát hàm số: Một số bài toán Max Min

  1. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO_ Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế SĐT: 0935.785.115 Đăng kí học theo địa chỉ: 116/04 Nguyễn Lộ Trạch, TP Huế Hoặc Trung tâm Km 10 Hương Trà Hoµi niÖm Tù luËn: KH¶O S¸T HµM Sè MéT Sè BµI TO¸N MAX MIN HuÕ, th¸ng 8/2020
  2. Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Chủ đề: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ CHO BÀI TOÁN GTLN-GTNN VÀ BẤT ĐẲNG THỨC HAI BIẾN SỐ Kỹ thuật 1: Thế biến đưa về khảo sát hàm một biến Bước 1: Rút 1 biến biểu diễn theo biến kia. Xác định miền giá trị của biến được rút. Bước 2: Thay biến được rút vào biểu thức giả thiết. Khảo sát và đưa ra kết luận. Bài tập 1: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện y  0, x 2  x  y  12  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  xy  x  2 y  17 . Bài giải: Từ giả thiết ta có: y  x 2  x  12  0  x   4;3 .     Khi đó: P  x x 2  x  12  x  x 2  x  12  17  x 3  3x 2  9 x  7. x  1 Xét hàm số f  x   x 3  3x 2  9 x  7, x   4;3 , ta có: f /  x   3x 2  6 x  9  0   .  x  3 Ta có: f  4   13, f  3  20, f 1  12, f  3  20 . Suy ra: max f  x   f  3  f  3  20 , min f  x   f 1  12.  4;3  4;3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 12 đạt được tại  x; y   1; 10  . Bài tập 2: (HSG Quốc gia 1998) Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện 2 x  y  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 2   y  1  x 2   y  3 . 2 2 Bài giải: Từ giả thiết ta có: y  2 x  2 . Thay vào biểu thức P ta có: Khi đó: P  5x 2  4 x  1  5x 2  20 x  25 Xét hàm số f  x   5x 2  4 x  1  5x 2  20 x  25 , ta có: 5x  2 5x  10 f / x   . 5x  4 x  1 2 5x  20 x  25 2 f /  x   0   5x  2  5x 2  20 x  25  10  5x  5x 2  4 x  1  5x  2 10  5x   0  2   x   ;2  2   5  x . 2    5x  2  5x  20 x  25  10  5x  5x  4 x  1 2 2 2   24 x 2  16 x  0  3 2 Từ đó suy ra: P  f  x   f    2 5 3 2 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 5 đạt được tại  x; y    ;   . 3 3 Bài tập 3: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  3 1  2 a2  2 40  9b2 . Bài giải: Từ giả thiết ta có: a  1  b  0  b   0;1 . Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_1
  3. Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Khi đó: P  3 1  2 1  b   2 40  9b2 2 Xét hàm số f  b   3 1  2 1  b   2 40  9b2 , b   0;1 , ta có: 2 6  b  1 18b f /  b    0  1  b  9b2  40  3b 2b2  4b  3 . 2b  4b  3 2 9b  40 2       1  b  9b2  40  9b2 2b2  4b  3   b  2  3b  2  3b 2  10b  10  0  b  2  2 3 2 Từ đó suy ra: P  f  b   f    5 11 . 3 1 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 5 11 đạt được tại  a; b    ;  . 3 3 Bài tập 4: Cho a, b là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a  3b  4 . Tìm giá trị lớn nhất và a 3b giá trị nhỏ nhất của biểu thức P   . 1 a 1 b Bài giải: 4 Ta có: a  3b  4  a  4  3b . Do a, b không âm nên 0  b  . 3 4  3b 3b 1 3 Khi đó: P    4  . 5  3b 1  b 5  3b 1  b  4 Xét hàm số f  b   4  1 3  , b  0;  . 5  3b 1  b  3 b  1 Ta có: f /  b   ; f /  b   0   5  3b   1  b    3 3 2 2  .  5  3b  1 b b  3 2 4 Lập BBT ta suy ra GTLN của P là , đạt được khi b  0, a  4 ; GTNN của P là 2, đạt được khi 5 a  1, b  1. Bài tập 5: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x 2  xy  3  0 và 2 x  3y  14 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  3x 2 y  xy 2  2 x x 2  1 .   Bài giải:  x2  3  x2  3  y   y  x  x Từ giả thiết suy ra:   2 x  3. x  3  14  x  1; 9  2  5  x    2  x2  3   x2  3  Khi đó: P  3 x    x 2 2 9   2 x x  1  5x  .    x   x  x Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_2
  4. Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016  9 Xét hàm số f  x   5 x  , x  1;  . 9 x  5  9  9 Ta có: f /  x   5  9  0 x  1;  . Do đó hàm số đồng biến trên 1; 5  x 2  5   9 Suy ra: max f  x   f    4, min f  x   f 1  4 .  9 x1;  5  9 x1;  5  5   9 52 Vậy GTNN của P là 4 đạt được khi x  1, y  4 ; GTLN của P là 4 đạt được khi x  , y  . 5 15 Bài tập 6: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện 2 x  3  y  3  4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  2  y  9 . Bài giải: Đặt 2 x  3  a, y  3  b . Ta có: a  b  4, a  0, b  0. Suy ra: b  4  a  a  0; 4  a2  3 a2  1 a2  1 4  a 2 Khi đó: P   2  b2  3  9   b2  6   6 2 2 2 a2  1 Xét hàm số f  a     4  a   6 , a  0; 4  . 2 2 a 4a Ta có: f /  a    , a  0; 4  . 2 a 1 2   4  a  6 2 a 4a Ta có: f /  a   0   , a  0; 4  .  2 a 1 2  4  a 2 6 a  0; 4   a  0; 4     4  a  4  a   6a  2 a  1  4  a   a  8a  12a  16  a  2   0 2 2 2 2 2 3 2 a  0; 4    a2  a  2  a 3  6 a 2  16   0 Ta có: f  0    22 , f  2   , f  4  2 3 10 34  6. 2 2 2 3 10 1 2 Vậy GTNN của P là đạt được khi x  , y  1 ; GTLN của P là  22 đạt được khi 2 2 2 3 x   , y  13. 2 Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_3
  5. Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Kỹ thuật 2: Xử lý biểu thức đối xứng hai biến Bước 1: Từ điều kiện đặt t  x  y (hoặc t  xy ) rút xy theo t (hoặc x  y theo t ). Tìm miền giá trị của t , giả sử t  D . Bước 2: Thay biến được rút vào biểu thức giả thiết được hàm số theo t , với t  D . Bài tập 1: Cho x , y là các số thực không âm thỏa mãn thay đổi thỏa mãn điều kiện   4 x 2  y 2  xy  1  2  x  y  . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  xy  x  y  x 2  y 2 . Bài giải:  x  y  x  y 2 2 Ta có: xy  , x y 2 2  . 4 2 2  xy 1 1   x  y   x  y    x  y  x  y . 2 2 Khi đó: P    2  2 4 1 Đặt t  x  y , t  0  P   t 4  t . 4 Từ điều kiện bài toán ta có: 4  x 2  y 2  xy   1  2  x  y   4  x  y   2  x  y   1  4 xy   x  y  2 2  1   3t 2  2t  1  0  t    ;1  t   0;1 .  3  Xét hàm số f  t    t 4  t, t   0;1 . 1 4 Ta có: f /  t   t 3  1  0, t   0;1  f  t   f 1  3 3 P . 4 4 3  x  y  1 1 1 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng đạt được tại    x; y    ;  . 4  x  y 2 2 2 Bài tập 2: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 3xy  3  x 4  y 4  . Tìm giá trị lớn xy 16 nhất của biểu thức P  x 2 y 2  . x  y2  2 2 Bài giải: Ta có: 2 2 3xy  3  x 4  y 4   2 x 2 y2   2 x 3 y3  2  3x 2 y 2  3xy  2 x 3 y3  3x 2 y 2  3xy  2  0 xy xy 1    xy  1 2 xy  1 xy  2   0  xy   ;2  , do xy  0 . 2  16 8 1  8 Khi đó: P  x 2 y 2   x 2 y2  . Đặt t  xy, t   ;2  khi đó: P  f  t   t 2  . 2 xy  2 xy  1 2  t 1 8 1  8 Xét hàm số f  t   t 2  , t   ;2  , ta có: f /  t   2t   0  t  1. t 1   2 2  t  1 Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_4
  6. Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016  1  67 20 11 20 Ta có: f    , f  2   , f 1  suy ra P  f  t   f  2   .  2  12 3 3 3 20 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng đạt tại x  y  2 . 3 Bài tập 3: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  xy  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 3  x 1 3  y 1 biểu thức P  4    4   x y . 2 2  y   x  Bài giải: Sử dụng BĐT a3  b3  ab  a  b  , ta có: P  4   x 1 y 1 x 1 y 1   x y  2 2  16 x 2  y 2  x  y  x 2  y2      y  x  y 2 2 x  x y 16  2 xy  3  xy  16  xy  3   2 xy   2 xy x 2 y2 x 2 y2 Từ giả thiết ta có: 3  xy  x  y  2 xy  xy  2 xy  3  0  xy   0;1  xy   0;1 2 16  t  3 Đặt t  xy, t  t   0;1 khi đó: P  f  t    2t , t   0;1. t2 16  t  3 Khảo sát GTNN của f  t    2t , t   0;1 , ta có: Giá trị lớn nhất của P bằng 64  2 đạt t2 tại x  y  1 . Bài tập 4: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu  1  1  thức P   x 2  2  y 2  2  .  y  x  Bài giải: 1 1 1 Ta có: P   xy    2 . Đặt t   xy  , do 1  x  y  2 xy  xy   0   xy   . 2 2 2  xy  2 4 16 1  1 t2 1  1 Khảo sát hàm f  t   t   2, t   0;  , có f /  t   2  0, t   0;  suy ra f  t  nghịch biến trên t  16  t  16   1  0; 16  .    1 289 1 Vậy min P  min f  t   f    đạt tại x  y  .  1  0;   16  16 2  16  Bài tập 5: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1 1 thức P  3  . x y 3 xy Bài giải: Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_5
  7. Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 1 1 1 1 1 1 Ta có: P       .  2 2   x  y  x  xy  y xy  x  y   3xy xy 1  3xy xy 2 1 1 Đặt t  xy , do 1  x  y  2 xy  xy   0  xy  . 4 4  3 3  1 t    0;  1 1  1 3 1  4 Khảo sát hàm f  t   6  , t   0;  , có f /  t    2 0  1  3t t  4 1  3t   3 3 2 t t   6 Lập BBT ta dễ dàng suy ra:  3 3  1 2 3 3  1 2 3 3  min P  min f  t   f    4  2 3 đạt tại x   1   ; y  1 .  1  6  2 3  2 3   0; 4          Bài tập 6: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị 1 nhỏ nhất của biểu thức P   xy . 1  xy Bài giải:  x  y 2  1  t   0;1. Khi đó: P   t, t   0;1 . 1 Đặt t  xy , do 0  t  xy  4 1 t 1  t, t   0;1 , ta có f /  t   1  1 Khảo sát hàm f  t    0, t   0;1 1 t  t  1 2 Lập BBT ta dễ dàng suy ra: GTLN của P là , đạt được khi x  y  1. Vì f  t  không tồn tại GTNN trên  0;1 nên P không tồn 3 2 tại GTNN. Bài tập 7: (CĐ 2008) Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện x 2  y 2  2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2 x 3  y3  3xy .   Bài giải:   Ta có: P  2  x  y  x 2  xy  y 2  3xy  2  x  y   x  y   3xy   3xy . 2   Từ giả thiết suy ra:  x  y   2 xy  2 . Như vậy nếu ta đặt t  xy thì x  y chưa thể rút theo t ngay 2 được vì x  y có nhận giá trị âm và giá trị dương.  2 t2  2  t2  2 3 Do đó ta đặt t  x  y , khi đó: P  2t  t  3.   3.  t 3  t 2  6t  3 .  2  2 2   Ta có: t 2   x  y   2 x 2  y 2  4  t   2; 2  . 2 t  1 Khảo sát hàm f  t   t 3  t 2  6t  3, t   2;2  , ta có f /  t   3t 2  3t  6  0   3 2 t  2 Lập BBT ta dễ dàng suy ra: Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_6
  8. Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 x  y  1 1 3 1 3   GTLN của P là 13 2 , đạt được khi  xy   1     2 ; 2  x ; y      2 1 3 1 3    x; y    ; .  2 2     x  y  2 GTNN của P là 7 , đạt được khi   x  y  1 .  xy  1 Bài tập 8: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện y  0 và x 2  x  y  12 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  xy  x  2 y  17 . Bài giải: Ta có: y  x 2  x  12  0  x   4;3 . Thay y vào biểu thức P ta được: P  f  x   x  x 2  x  12   x  2  x 2  x  12   17  x 3  3x 2  9 x  7, x   4;3  x  3 Ta có: f /  x   3x 2  6 x  9  0   . x  1 Ta có: f  4   13, f  3  20, f  3  20, f 1  12. Vậy GTLN của P bằng 20 đạt được tại x  3, y  6 hoặc x  3, y  0. GTNN của P bằng 12 đạt được tại x  1, y  10. Bài tập 9: Cho x , y là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện x  y  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của x 2  xy  y 2  x  3 biểu thức P  . 3x  xy  1 Bài giải: Ta có: y  2  x  0  x  0;2  . Thay y vào biểu thức P ta được: x2  x 2  x   2  x   x  3 2 x2  x 1 P  f x   , x  0;2 3x  x  2  x   1 x2  x 1 2x2  2  x  1   0;2  3 1 Ta có: f /  x    . Ta có: f  0   1, f  2   , f 1  . x  x  1 2 2  x 1 7 3 1 Vậy GTNN của P bằng đạt được tại x  y  1. 3 Bài tập 10: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện x  y  1, x 2  y 2  xy  x  y  1. Tìm giá trị xy lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  . x  y 1 Bài giải: Ta có: x 2  y 2  xy  x  y  1  xy   x  y    x  y   1 . 2  x  y 2  2  Đặt t  x  y , ta có:  x  y   4 xy   x  y    x  y  2 2  1  xy   3t 2  4t  4  0  t   ;2  . 4  3  Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_7
  9. Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 t  t 1 2  2  Khi đó P trở thành: P  f  t   , t    ;2  . t 1  3  t  0 t 2  2t  2 1 0  1 Ta có: f  t    2  . Ta có: f     , f  2   , f  0   1 . /  t  2 t  2    ;2   3 3 2 3   3  1 1 Vậy GTLN của P bằng đạt được tại x  y   hoặc x  y  1, GTNN của P bằng 1 đạt được tại 3 3 x  1, y  1 hoặc x  1, y  1 . Bài tập 11: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện x, y  0, xy  x  y   x 2  y 2  x  y  2. Tìm giá 1 1 trị lớn nhất của biểu thức P   . x y Bài giải: Ta có: xy  x  y    x  y   2 xy   x  y   2 . 2 t 3  2t 2  4t  8 Đặt t  x  y , ta có:  x  y   4 xy   0  t   ; 2   2;   . 2 t2 t 2  2t Khi đó P trở thành: P  f  t   2 , t   ; 2  2;   . t t 2 t  2 3t 2  4t  4 Ta có: f  t   / 0  2 . Lập BBT ta dễ dàng suy ra kết quả. t  t  2    2 2 t  3 Vậy GTLN của P bằng 2 đạt được tại x  y  1 . Bài tập 12: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện 1  y 2  x  x  y  . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị x 6  y6  1 nhỏ nhất của biểu thức P  . x 3 y  xy3 Bài giải: Ta có: 1  x 2  y 2  xy  2 xy  xy  xy  xy  1 . 1 Mặt khác: 1  x 2  y 2  xy   x  y   3xy   x  y   1  3xy  0  xy   . 2 2 3 x    y 2  x 2  y 2  3x 2 y 2  2 1  xy   3x 2 y 2 2 2 x  y 1 6 6    1 1 Ta có: P     . x 3 y  xy3  xy x  y 2 2   xy x  y 2 2  xy xy 1  xy   1  Đặt t  xy, t    ;1 .  3  2t 2  3  1  Khi đó P trở thành: P  f  t   , t    ;1 . t 1  3  2t  4t  3 2  1  25 1 Ta có: f /  t    0 . Ta có: f     , f 1  .  t  1  3 6 2 2 25 1 1 Vậy GTLN của P bằng đạt được tại x   y   , GTNN của P bằng đạt được tại x  y  1 . 6 3 2 Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_8
  10. Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Bài tập 13: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện 2  x 2  y 2   xy  1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị x 4  y4 nhỏ nhất của biểu thức P  . 2 xy  1 Bài giải: Ta có: xy  1  2  x 2  y 2   xy  1  2  x  y   2 xy   4 xy  xy   . 2 1   5 Mặt khác: xy  1  2  x 2  y 2  1  xy  1  2  x  y   2 xy   4 xy  xy  . 2   3 2  xy  1   2 x 2 y2     2 x y 4 4 x 2  y 2  2 x 2 2 y  2  Ta có: P   . 2 xy  1 2 xy  1 2 xy  1  1 1 7t 2  2t  1  1 1 Đặt t  xy, t    ;  . Khi đó P trở thành: P  f  t   , t   ;  .  5 3 4  2t  1  5 3 t  0 7  t 2  t   1 2 1 2 0  1 Ta có: f  t   /  1 1  . Ta có: f     , f    , f 0  . 2  2t  1 2 t  1   ;  5  15  3  15   5 3 4   1 2 Vậy GTLN của P bằng , GTNN của P bằng . 4 15 Bài tập 14: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện x  1, y  1 và 3  x  y   4 xy . Tìm giá trị lớn  1 1 nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 3  y3  3  2  2  . x y  Bài giải: 3a 3a Đặt x  y  a  xy  , a  0 . Suy ra x , y là nghiệm của phương trình: t 2  at  0 (1) 4 4 Vì (1) có nghiệm    a2  3a  0  a  3 . 3a Vì x, y  1 nên  x  1 y  1  0  xy   x  y   1  0   a  1  0  a  4 . Vậy a  3;4  . 4 1 1 4 Mặt khác từ giả thiết suy ra:   . x y 3 2 1 1 6 9 8 16 Lúc đó: P   x  y   3xy  x  y   3      a3  a2   , a  3;4. 3  x y  xy 4 a 3 Xét hàm số f  a   a3  a2   , a  3;4 . 9 8 16 4 a 3 9 8  3 8 Ta có: f /  a   3a2  a  2  3a  a    2  0, a  3;4. Ta có: f  3  113 94 , f 4  . 2 a  2 a 12 3 94  x  1, y  3 113 3 Vậy GTLN của P bằng đạt được tại  , GTNN của P bằng đạt được tại x  y  . 3  x  3, y  1 12 2 Bài tập 15: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện x   0;1 , y   0;1 , x  y  4 xy. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  x 2  y 2  7 xy. Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_9
  11. Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Bài giải: Đặt a  xy  x  y  4a . Suy ra x, y là nghiệm của phương trình: g  t   t 2  4at  a  0 (1)   0  1.g  0   0 1 1 Vì (1) có các nghiệm thoả mãn 0  t1  t2  1  1.g 1  0  a   ;  .   4 3 0   1 S  2 1 1 1 1 Khi đó: M   x  y   9 xy  16a2  9a, a   ;  . Xét hàm f  t   16a2  9a, a   ;  . 2  4 3  4 3 9 1 1 1 5 1 11  9  81 Ta có: f /  a   32a  9  0  a    ;  . Ta có: f     , f     , f     . 32  4 3  4 4  3 9  32  64 11 1 1 1 Vậy GTLN của M bằng  đạt được khi xy   x  1, y  hoặc x  , y  1 , GTNN của M bằng 9 3 3 3 81 9 3 3  đạt được khi xy   x  2 y  hoặc y  2 x  . 64 32 4 4 Bài tập 16: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện x 2  y 2  xy  3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  x 4  y 4  4 xy  x 3 y 3 . Bài giải: Đặt t  xy . Từ giả thiết suy ra: 3   x  y   xy   xy  xy  3 và 3  x 2  y 2  3xy  3xy  xy  1 . 2 Vậy t   3;1 . Ta có: A   x 2  y 2   2 x 2 y 2  4 xy  x 3 y3   3  xy   2 x 2 y 2  4 xy  x 3 y3 . 2 2 Khi đó P trở thành: P  f  t   t 3  t 2  2t  9, t   3;1 . Ta có: f /  t   3t 2  2t  2  0, t   3;1 . Ta có: f  3  33, f 1  5 . 2 Vậy GTLN của P bằng 33 đạt được khi x   y   3 , GTNN của P bằng đạt được khi x  y  1. 15 Bài tập 17: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện  x 2  y 2  1  3x 2 y 2  1  4 x 2  5y 2 . Tìm giá trị 2 x 2  2 y 2  3x 2 y 2 lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 2  y2  1 Bài giải: Ta có:  x 2  y 2  1  3x 2 y2  1  4 x 2  5y2   x 2  y 2   3  x 2  y2   2   x 2  3x 2 y2 (1) 2 2 Đặt t  x 2  y 2 vì  x 2  3 x 2 y 2  0 nên từ (1) ta có: t 2  3t  2  0  t  1; 2  . t2  t  2 Khi đó P trở thành: P  f  t   , t  1;2 . t 1 Ta có: f /  t    t  1 t  3  0, t  1;2 . Do đó hàm số đồng biến trên   1; 2  .  t  1 2 Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_10
  12. Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 4 4 Ta có: f 1  1, f  2   . Vậy GTLN của P bằng đạt được khi x  0; y   2 , GTNN của P bằng 1 3 3 đạt được khi x  0; y  1. Bài tập 18: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện  xy  1  9    xy  2 xy  7 x  y  2 xy  2 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 1 1 P  xy  xy   . xy xy Bài giải: Đặt t  xy . Ta có: x 2  y 2  2 xy  7  x 2  y 2   2 xy  2  12 xy  2 .    Kết hợp giả thiết suy ra: t 2  1 9t  2t 2  12t 2  2  2t 4  9t 3  14t 2  9t  2  0 1    t  1  2  t  2t  1  0  t   ; 2  . 2 2  1 1 1  Khi đó P trở thành: P  f  t   t 2  t   , t   ;2  . 2  2 t t Ta có: f / t   t 2   1 2t 2  t  2   0  t  1  1 ;2  . Ta có:  1  24 24 f    , f  2   , f 1  4. 2    2 7 3 t 7 24 1 Vậy GTLN của P bằng đạt được khi x  y  2 hoặc x  y  , GTNN của P bằng 4 đạt được khi 7 2 x  y  1. Bài tập 19: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện x  1  y  1  4 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị 64 nhỏ nhất của biểu thức P  xy  4xy Bài giải: Đặt a  x  1, b  y  1 . Khi đó a  0, b  0 và a  b  4 . Đặt t  ab , ta có t  0; 4 và a 2  b 2  16  2t . Khi đó P trở thành:   P  a2  1 b2  1   64  a2 b2  a2  b2  1  64    t 2  2t  32  15, t  0;4  . 6 a b 2 2   6 a b 2 2 t 5   Xét hàm số f  t   t 2  2t  32  15, t  0; 4 . t 5 Ta có: f  t   2t  2  / 32   2  t  3  t 2  6t  3   0  t  3   0;4  .  t  5  t  5 2 2 107 Ta có: f  0    , f  4   23, f  3  16 . 5 Vậy GTLN của P bằng 16 đạt được khi x  0; y  8 hoặc x  8, y  0 ; GTNN của P bằng 23 đạt được khi x  y  3. Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_11
  13. Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Bài tập 20: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện x  y  2 x  2  y  1  1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F  x y  x  y   y  x   2 1  xy x  y  .  2 2 xy Bài giải: Từ giả thiết suy ra x  2, y  1.   Ta có: 2. x  2  1. y  1   22  12   x  2  y  1  2 x  2  y  1  5  x  y  1. 2 Nên từ x  y  2 x  2  y  1  1  x  y  5  x  y  1  1 . Đặt t  x  y , ta có: t  1  5  t  1  t  1;6 . 1 2 1 2  x  y   f  t  , t  1;6 . 2 Khi đó: F   t2  2 xy 2 t 1 5 2 Ta có: f /  t   t   0, t  1;6  . Ta có: f 1  , f  6   18  . t t 2 6 2 5 Vậy GTLN của F bằng 18  đạt được khi x  6, y  0 , GTNN của F bằng đạt được khi 6 2 x  2, y  1. Bài tập 21: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện x  y  x  1  2 y  2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F  x 2  y 2  2  x  1 y  1  8 4  x  y . Bài giải: Điều kiện x  1, y  1, suy ra x  y  0 . Sử dụng BĐT:  au  bv   a 2  b 2 u 2  v 2 ta có:    2  x  y      1. x  1  2 . y  1  3  x  y   2 2 2 x  1  2y  2 Suy ra x  y  3 . Đặt t  x  y  t  0; 3 . Khi đó: P   x  y   2  x  y   8 4   x  y   2  t 2  2t  8 4  t  2, t  0;3. 2 Xét hàm số f  t   t 2  2t  8 4  t  2, t  0;3. 4 4 Ta có: f /  t   2t  2  , f // t   2   0, t   0;3  . 4t   3 4t Suy ra f /  t  đồng biến trên 0; 3 . Do đó: f /  t   f /  0   0 , t   0; 3 . Suy ra f  t  đồng biến trên 0; 3 . Ta có: f  0   18, f  3  25 . Vậy GTLN của P bằng 25 đạt được khi x  2, y  1 , GTNN của P bằng 18 đạt được khi x  1, y  1. Bài tập 22: Cho x , y là các số dương thỏa mãn điều kiện x  y  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y P  . 1 x 1 y Bài giải: Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_12
  14. Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 x 1 x  x  1  x  f  x  , x   0;1 a b Áp dụng BĐT:   a  b . Lúc đó: P   b a 1 x x 1 1 1 Ta có: f /  x     0  x    0;1 . 2 x 2 1 x 2 1 1 Lập BBT ta có kết quả max f  t   f    2 . Suy ra GTNN của P bằng 2 đạt được khi x  y  .  0;1 2 2 Bài tập 23: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện x  y  2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 2 2 nhất của biểu thức M  2 x 3  y3  3xy.  Bài giải:  x  y 2 2 Ta có: x  y  2   x  y  2 2 2  2 xy  2  xy  . 2  x  y 2 Mặt khác: 2  x  y 2 2   x  y   2;2 . Đặt t  x  y, t   2;2  2     Ta có: M  2 x 3  y3  3xy  2  x  y  x 2  xy  y 2  3xy  2  x  y  2  xy   3xy  x  y   6  x  y   3  t 3  t 2  6t  3  f  t  , t  2;2 3 3   x  y  3 2 2 2 t  1 13 Ta có: f /  t   3t 2  3t  6  0   . Ta có: f  2   7, f 1  , f  2   1. t  2 2 13 1 3 1 3 1 3 1 3 Vậy GTLN của M bằng đạt được khi x  , y hoặc x  , y , GTNN của 2 2 2 2 2 M bằng 7 đạt được khi x  y  1. Bài tập 24: (Thi thử Chuyên Quốc Học Huế 2011) Cho a, b là các số thực thay đổi  a  0  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T   a  b    ln a  b  2 2 Bài giải: Xét hàm số f  b    b  a    b  ln a  , b  . 2 2 a  ln a Ta có: f /  b   2  b  a   2  b  ln a   0  b  . 2  a  ln a   a  ln a  2 Lập BBT của f  b  trên ta có: f  b   f   .  2  2 1 Xét hàm số g  a   a  ln a, a  0  g /  a   1   0  a  1 . a Tiếp tục lập BBT của g  a  trên  0;  ta có: g  a   g 1  1 .  g  a   2 Từ đó suy ra: f  b    1 1 1  . Vậy GTNN của T bằng đạt được tại a  1, b  . 2 2 2 2 Bài tập 25: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  2. Tìm giá trị lớn nhất của 3 3 biểu thức A  x 2  y 2 . Bài giải: Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_13
  15. Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Ta có: x 3  y3  2  y3  2  x 3  y  3 2  x 3 . Vì x, y dương nên x 3  y3  2  x  0; 3 2 .   Do đó: A  f  x   x 2  3  2  x 3  , x  0; 3 2 .   2 Ta có: f /  x   2x  3 2x2  2x  3 2  x3  x   0   x  0   x  1  0; 3 2 .  2x 2x  2  x  x 3 3 3 3 3   Lập BBT của f  x  trên 0; 3 2 ta có: A  f  x   2 . Vậy GTLN của A bằng 2 đạt được khi x  y  1. Bài tập 26: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1 1 thức A  x 2  y 2  2  2 . x y Bài giải: Cách 1: (Rút thế trực tiếp) 1 1 Ta có: x  y  1  y  1  x  0  x   0;1 . Do đó: A  f  x   x 2   1  x   , x   0;1 . 2 1  x  2 2 x 2 Ta có: f  x   2 x  2 1  x   3  / 2 x 3  1  x    2 x  1  3 3   2 x  1   2 x  1 x 2  x  1 0   x 1  x 3 x 1  x  3 x 3 1  x  3  x2  x 1  1   2 x  1 1  3   0  x    0;1 .  x 1  x   3 2 17 Lập BBT của f  x  trên  0;1 ta có: A  f  x   . 2 17 1 Vậy GTLN của A bằng đạt được khi x  y  . 2 2 Cách 2: (Đổi biến và vận dụng đạo hàm)  1   1  1 1   2 Ta có: A  x 2  y 2  2  2  x 2  y2  1  2 2   2 xy  1  2 2   2 xy  . x y  x y   x y  xy 1  1 Đặt t  xy  0 , và 1  x  y  2 xy  xy   t   0;  . 4  4 2  1 2  1 Xét f  t   2t  , t   0;   f /  t   2  2  0, t   0;  . t  4 t  4  1 1 7 Lập BBT của f  t  trên  0;  ta có: A  f  t   f    .  4 4 2 17 1 Vậy GTLN của A bằng đạt được khi x  y  . 2 2 5 Bài tập 27: (Dự bị B 2002) Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  . Tìm giá trị 4 4 1 nhỏ nhất của biểu thức S   . x 4y Bài giải: Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_14
  16. Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 5 5  5 4 1  5 Ta có: x  y   y   x  0  x   0;  . Do đó: S  f  x    , x   0;  . 4 4  4 x 5  4x  4 x  1  0  x  5  4x    4 4 Ta có: f  x    2  / 2 2  x  5   0; 5  . 5  4x  2 x   3  4   5 Lập BBT của f  x  trên  0;  ta có: S  f  x   f 1  5 . Vậy GTNN của S bằng 5 đạt được khi  4 x  4, y  1. Bài tập 28: Cho x , y là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện x  y  1. Tìm giá trị lớn nhất và x y giá trị nhỏ nhất của biểu thức A   . y 1 x 1 Bài giải: Cách 1: (Rút thế trực tiếp) x 1 x Ta có: x  y  1  y  1  x  0  x  0;1 . Do đó: A  f  x    , x  0;1 . 2  x x 1 2 2 1 Ta có: f /  x    0   x  1   2  x   x    0;1 . 2 2  2  x   x  1 2 2 2 1 2 Ta có: f  0   f 1  1, f    . 2 3 2 Vậy GTLN của A bằng 1 đạt được khi x  0, y  1 hoặc x  1, y  0 , GTNN của A bằng đạt được 3 1 khi x  y  . 2 Cách 2: (Đổi biến và vận dụng đạo hàm) x 2  x  y 2  y  x  y   2 xy  1 2  2 xy 2 x y Ta có: A      . y  1 x  1 x  y  xy  1 2  xy 2  xy 1  1 Đặt t  xy  0 , và 1  x  y  2 xy  xy   t  0;  . 4  4 2  2t  1 6  1 Xét f  t   , t  0;   f /  t     0, t   0;  2t  4 2  t   4 2 1 2 suy ra: max f  t   f  0   1, min f  t   f     1 0;   1 0;  4 3  4  4 2 Vậy GTLN của A bằng 1 đạt được khi x  0, y  1 hoặc x  1, y  0 , GTNN của A bằng đạt được 3 1 khi x  y  . 2 Kỹ thuật 3: Đổi biến đẳng cấp 2 xy  y 2 Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  , với x 2  y 2  0 . 3x  2 xy  y 2 2 Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_15
  17. Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Bài giải: + Nếu y  0 thì x  0 và A  0. x 2t  1 + Nếu y  0 , ta chia cả tử và mẫu cho y 2 . Đặt t  . Khi đó t  và A  . y 3t  2t  1 2 2t  1 Xét hàm số f  t   trên . 3t  2t  1 2 6t  t  1 t  0 Ta có: f /  t    0   và lim f  t   lim f  t   0 .   t   2 t  t  3t  2t  1 2  1 1 Lập BBT ta dễ dàng suy ra: GTLN của A bằng 1, đạt được khi x  0, y  * ; GTNN của A bằng  , 2 đạt khi x   y  0. Bài tập 2: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện 4 x 2  2 xy  y 2  3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 2  2 xy  y 2 . Bài giải: P x 2  2 xy  y 2 Ta có:  2 . 3 4 x  2 xy  y 2 3 + Nếu y  0 thì x  0 và P  . 4 x P t 2  2t  1 + Nếu y  0 , ta chia cả tử và mẫu cho y 2 . Đặt t  . Khi đó t  và  2 . y 3 4t  2t  1 t 2  2t  1 Xét hàm số f  t   2 trên . 4t  2t  1 t  2 6t 2  10t  4 Ta có: f  t   0 và lim f  t   lim f  t   . / 1 1   t   t  t  2 4t 2  2t  1 4  3 * Lập BBT ta dễ dàng suy ra: GTLN của P bằng 1, đạt được khi x  2 y  ; GTNN của P bằng 6 , đạt khi 3 x   y  0. Bài tập 3: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện x 2  xy  y 2  3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 2  xy  3y 2 . Bài giải: Đặt f  x , y   x 2  xy  y 2 + Nếu y  0 thì từ giả thiết ta có: 0  x 2  3 . Suy ra P  x 2  0; 3 . x 2  xy  3y 2 + Nếu y  0 , ta có 0  f  x , y   x 2  xy  y 2  3 . Khi đó: P  f  x , y  . . x 2  xy  y 2 t2  t  3 Đặt x  ty , ta có P  f  x, y  . t2  t  1 Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_16
  18. Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 t2  t  3 Xét hàm số g  t   trên . t2  t  1 Ta có: g  t   /  2 t 2  4t  1  0    t  2  3 và lim g  t   lim g  t   1 .   2 t  t  t  t 1 t  2  3 2 3  4 3 3  4 3 Lập BBT ta dễ dàng suy ra:  g t   , t  . 3 3 Vì 0  f  x , y   3  3  4 3  P  f  x , y  .g  t   3  4 3  x  2  3 y  Suy ra: GTLN của P bằng 3  4 3 , đạt được khi   ; GTNN của P bằng 3  4 3 ,   x 2  xy  y 2  3  đạt khi    x  2  3 y .   x 2  xy  y 2  3 xy 2 Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  , với x  0, y  0 . x   3 x  4y 2 2 Bài giải: x t Do y  0 , ta chia cả tử và mẫu cho y 3 . Đặt t  . Khi đó t  0 và P  . y t   3 t 4 2 t Xét hàm số f  t   trên  0;  . t   3 t 42 t 2  4  3t Ta có: f / t    0  t 2  4  3t  t  2   0;     3 2 t2  4 t  t2  4 1 Lập BBT ta dễ dàng suy ra: GTLN của P bằng , đạt được khi y  2 x  0 . 32 Kỹ thuật 4: Đánh giá kết hợp đổi biến Trong nhiều bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức F mà các biến bị rằng buộc nhau bởi điều kiện dưới dạng BĐT, hoặc bản thân biểu thức F không có tính đối xứng, đẳng cấp; hoặc biểu thức F và điều kiện của bài toán chứa nhiều đại lượng phức tạp... thì chúng ta cần xử lú biểu thức F thông qua một số đánh giá. Bài tập 1: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  6 xy Tìm giá trị nhỏ nhất của 3x  1 3y  1 biểu thức P  2    3x  y  3y  x  . 9y  1 9x2  1 Bài giải: Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_17
  19. Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 3 x  1  3 x  1 9 y  1  2  3 x  1 và  3y  1  3y  1 9 x  1  2  3y  1 ;   9y 2  1 4 9x2  1 4 Cộng hai BĐT trên ta được: 3 x  1 3y  1  3 x  1 9 y  1  3y  1 9 x  1   2  2    3 x  y   2 .   9y2  1 9 x 2  1 4 4  3x  1  9 y 2 1   3y  1 9 x 2 1  3 x y Suy ra: P  4 4    2   3x  y  3y  x    xy  x  y    x  y   10 xy  x 2  y 2  27 4 9 4 3 4 3 2     xy.6 xy  .6 xy  10 xy   x  y   2 xy      xy   22 xy  . 27 9 3 2 3 27 2 3 4 4 4   2 2 2 1 1 2 1 Đặt t  xy . Từ x  y  6 xy  6     t  xy  . x y xy 9 Xét hàm số f  t    t  22t  , t  . Ta có: f /  t   27t  22  0, t  . 27 2 3 1 1 2 2 9 9  1  34 Suy ra min f  t   f    . Suy ra: P  34 1 , dấu "=" xãy ra khi x  y  . 1   ;  9 9 9 3 9  34 1 Vậy GTNN của P là , dấu "=" xãy ra khi x  y  . 9 3 Bài tập 2: Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện x 2  y 2  y 2  x 2  2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P   x  y   12  x  1 y  1  xy 3 Bài giải: a2  b2 x2  2  y2 y2  2  x2 Áp dụng BĐT: ab  , a, b , ta có: x 2  y 2 và y 2  x  2 . 2 2 2 Cộng hai BĐT trên ta suy ra: 2  x 2  y 2  y 2  x 2  2 .  x  2  y 2  x  0, y  0 Do đó, dấu "=" xãy ra    2 .  y  2  x 2   x  y 2  2 Đặt t  x  y . Khi đó: t  2 x 2  y 2  2 .   Ta có: P   x  y   12  x  y   12 xy  12  xy 3  x  y   x   12  x  y  t 2 2  y2   x  y   12  x  y  3  12 3  12t  6t 2  1  t 3  6t 2  12t  1 2 2 Xét hàm số f  t   t  6t  12t  1, t  0; 2  . Ta có: f /  t   3t 2  12t  12  0, t   0; 2  . 3 2 Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_18
  20. Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Suy ra hàm số f  t  đồng biến trên 0; 2  . Do đó: max f  t   f  2   9 . 0;2  Vậy GTLN của P bằng 9 , dấu "=" xảy ra khi x  y  1 . Nhận xét: Với cách giải trên, chúng ta không tìm được GTNN của biểu thức P. Để tìm cả GTLN và GTNN của P, ta tiến hành như sau:  x  0, y  0 Tương tự như trên ta có:  2  x  y  2 2 . Đặt t  x  y . Khi đó: t  2 x 2  y 2  2 .   Mặt khác: t 2   x  y   x 2  y 2  2  t  2  t   2; 2  . 2    x  y   x t 2 2  y2 2 Ta có: xy   1. 2 2 Suy ra: P   x  y   12  x  y   12 xy  12  xy 3  t2  t2 t2   x  y   12  x  y   12   1  12   1, t   2 ; 2  . 3  1  t  6t  12t  3 2  2  2 2   t2 Xét hàm số f  t   t  6t  12t  3 2  1, t   2; 2  . 2   Ta có: f /  t   3t 2  12t  12  t 2 t    0, t  2 ; 2 . Suy ra hàm số f  t  đồng biến trên  2 ; 2  .   1 2 Do đó: max f  t   f  2   9 và min f  t   f 0;2  0;2   2   14 2  12 . 2 Bài tập 3: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 3xy  3  x 4  y 4  . Tìm giá trị lớn xy 16 nhất của biểu thức P  x 2 y 2  . x 2  y2  2 Bài giải: 2 2 Đặt t  xy  0 . Từ giả thiết ta có: 3xy  3  x 4  y 4   2 x 2 y2  xy xy 2 1  hay 3t  3  2t 2   2t 3  3t 2  3t  2  0  t   ; 2  , do t  0 . t 2  16 8 1  Ta lại có: P  x 2 y 2   t2  , t   ; 2 . (1) 2 xy  2 t 1 2  1  1  Xét hàm số: f  t   t 2  , t   ; 2 . Ta có: f /  t   2t  8 8  0  t  1  ; 2  . t 1  t  1 2 2  2   1  67 Ta có: f    ; f  2   ; f 1  5. 20 (2)  2  12 3 Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_19
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.06: Bộ 240 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2023
240 tài liệu
1111 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2