Khóa luận tốt nghiệp đại học: Một số ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến

Chia sẻ: Minh Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:57

Thêm vào BST

Báo xấu

66
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của đề tài là tổng hợp lại kiến thức về phép tinh vi phân hàm số nhiều biến, từ đó tìm ra những ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến nhằm nâng cao nhận thức của bản thân.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Một số ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ---- NGUYỄN THỊ HIỀN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ NHIỀU BIẾN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lí thuyết Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS. NGUYỄN HUY THẢO HÀ NỘI – 2017
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1 1. Lí do chọn đề tài........................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu.................................................................................... 1 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu................................................................ 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu. .................................................................................. 2 5. Phương pháp nghiên cứu. ............................................................................ 2 6. Cấu trúc của đề tài. ....................................................................................... 2 NỘI DUNG ............................................................................................................ 3 Chương I. Phép tính vi phân hàm nhiều biến........................................................ 3 I.1 Định nghĩa hàm số nhiều biến số. ................................................................ 3 I.1.1 Định ngĩa hàm số nhiều biến. ................................................................ 3 I.1.2 Một số hệ tọa độ cơ bản. ....................................................................... 4 I.1.3 Giới hạn của hàm nhiều biến số. ........................................................... 7 I.2 Biểu diễn hình học của hàm số 2 biến số ..................................................... 8 I.3 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số. ........................................................ 12 I.3.1 Tính chất. ............................................................................................. 12 I.4 Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến số. ................................................. 13 I.4.1 Đạo hàm riêng cấp 1. .......................................................................... 13 I.4.2 Đạo hàm riêng cấp cao. ....................................................................... 14 I.5 Vi phân toàn phần. ..................................................................................... 15 I.5.1 Định nghĩa vi phân toàn phần. ............................................................ 15 I.5.2 Vi phân cấp cao. .................................................................................. 16 I.6 Đạo hàm hàm số ẩn. ................................................................................... 17 I.6.1 Hàm ẩn một biến. ................................................................................ 17 I.6.2 Hàm ẩn hai biến................................................................................... 18 I.7 Đạo hàm theo hướng. ................................................................................. 19
I.7.1 Định nghĩa. .......................................................................................... 19 I.7.2 Công thức tính. .................................................................................... 20 I.7.3 Gradien. ............................................................................................... 21 I.8 Công thức Taylo với hàm số 2 biến số. ..................................................... 22 I.9 Cực trị của hàm số nhiều biến số. .............................................................. 23 I.9.1 Định nghĩa và điều kiện cần của cực trị. ............................................. 23 I.9.2 Điều kiện đủ của cực trị. ..................................................................... 24 I.10 Cực trị có điều kiện. ............................................................................... 25 I.10.1 Định nghĩa và điều kiện cần. ........................................................... 25 I.10.2 . Điều kiện đủ. .................................................................................. 26 Chương II. Một số ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến. ............. 28 II.1. Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tính gần đúng. ..... 28 II.2. Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tìm cực trị, cực trị có điều kiện. .............................................................................................................. 32 II.2.1. Cực trị. ....................................................................................................... 33 II.2.2. Cực trị có điều kiện. ................................................................................ 41 II.2.2.1 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số hai biến số trong một miền đóng bị chặn. ..................................................................................................................... 41 II.2.2.2. Cực trị có điều kiện của hàm số hai biến số. .......................................... 45 KẾT LUẬN .......................................................................................................... 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 52
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn đến TS.Nguyễn Huy Thảo, người đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo em trong suốt quá trình học tập cũng như nghiên cứu đề tài khóa luận tốt nghiệp này. Em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong tổ bộ môn Vật Lý Lí thuyết và Ban chủ nhiệm khoa Vật Lý trường Đại học Sư phạm Hà nội 2 đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho em trong quá trình hoàn thành đề tài khóa luận này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng để thực hiện đề tài một cách hoàn chỉnh nhất. Song do buổi đầu mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học cũng như hạn chế về kiến thức và kinh nghiệm nên không tránh khỏi những thiếu sót nhất định mà bản thân chưa thấy được. Em rất mong được sự góp ý của quý Thầy, Cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận được hoàn chỉnh hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 19 tháng 4 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Hiền
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng số liệu và các kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã được ghi rõ nguồn gốc. Hà Nội, ngày 19 tháng 4 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Hiền
MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài. Sự phát triển của toán học tuy có những bước thăng trầm ở từng thời điểm lịch sử, song những kết quả mà nó đạt được rực rỡ nhất là vào thế kỉ XX, do sự phát triển của ngành Giải tích toán học. Sự ra đời của ngành Giải tích toán học, đặc biệt là ngành Giải tích hàm giúp cho những bài toán trong thực tế cuộc sống, vật lí, khoa học, kỹ thuật,…được giải quyết nhanh gọn và chính xác. Ngành giải tích toán học nghiên cứu nhiều lĩnh vực như: các lớp hàm liên tục, khả vi, khả tích, phép tính vi phân, ….Mỗi lĩnh vực đều có tầm quan trọng trong việc nghiên cứu và ứng dụng. Trong đó, phép tính vi phân là một phần cơ bản của Giải tích. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của toán học, là thành tựu nổi bật nhất giai đoạn thế kỷ XVII của Isaac Newton và Gottfried Wihelm Leibniz. Ngày nay cùng với sự phát triển của khoa học, công nghệ, lí thuyết phép tính vi phân hàm số nhiều biến có rất nhiều ứng dụng quan trọng trong thực tế cuộc sống và trong nghiên cứu khoa học. Đặc biệt phép tính vi phân hàm số nhiều biến là một trong những cơ sở quan trọng trong học tập cũng như nghiên cứu vật lý. Engels đã viết: “Chỉ có phép tính vi phân mới đem lại cho khoa học tự nhiên khả năng miêu tả bằng toán học không chỉ những trạng thái mà cả những quá trình”. Xuất phát từ nhận thức trên và mong muốn tìm hiểu rõ hơn về vấn đề này, em mạnh dạn chọn đề tài: “Một số ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp của mình. 2. Mục đích nghiên cứu. Tổng hợp lại kiến thức về phép tinh vi phân hàm số nhiều biến, từ đó tìm ra những ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến nhằm nâng cao nhận thức của bản thân. 1
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu.  Đối tượng: - Phép tính vi phân hàm số nhiều biến. - Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến.  Phạm vi: Hàm số nhiều biến. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu.  Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan đến phép tính vi phân hàm số nhiều biến và đưa ra một số bài toán về phép tính vi phân hàm số nhiều biến.  Nghiên cứu những ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến để tìm cực trị, tính gần đúng. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu.  Phương pháp nghiên cứu lí luận.  Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.  Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia. 6. Cấu trúc của đề tài. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo đề tài bao gồm hai phần: Chương I. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến. I.1. Định nghĩa hàm số nhiều biến. I.2. Biểu diễn hình học của hàm số hai biến số. I.3. Sự liên tục của hàm số nhiều biến số. I.4. Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến số. I.5. Vi phân toàn phần. I.6. Đạo hàm của hàm số ẩn. I.7. Đạo hàm theo hướng. I.8. Công thức Taylor với hàm số hai biến. I.9. Cực trị của hàm số nhiều biến số. I.10. Cực trị có điều kiện của hàm số nhiều biến số. Chương II. Một số ứng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến số. II.1. Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tính gần đúng. II.2. Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tìm cực trị, cực trị có điều kiện. 2
NỘI DUNG Chƣơng I. Phép tính vi phân hàm nhiều biến. I.1 Định nghĩa hàm số nhiều biến số. I.1.1 Định ngĩa hàm số nhiều biến.  Xét không gian Euclid chiều . Gọi một phần tử là một bộ số thực là một tập hợp trong .  Khi đó ánh xạ: xác định bởi: (1.1) được gọi là một hàm số của biến số xác định trên ; được gọi là miền xác định của hàm số được gọi là các biến số độc lập. Nếu xem là các tọa độ của một điểm trong hệ tọa độ nào đó thì cũng có thế viết . ) a. Với 3
b. Với Hình 1.1 Hình 1.1: Hình vẽ của hàm trong không gian chiều. I.1.2 Một số hệ tọa độ cơ bản.  Hệ tọa độ Descartes: Hệ tọa độ Decartes gồm ba trục vuông góc với nhau từng đôi một , mà trên đó đã chọn ba vector đơn vị sao cho độ dài ba vector này bằng đơn vị. Vị trí của một điểm M trong không gian hoàn toàn xác định nếu ta biết được các thành phần toạ độ . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗. 𝑧 𝑐 𝑀 𝑎𝑏𝑐 𝑘⃗ 𝑂 𝑖 𝑎 𝑗 𝑏 Hình 1.2 𝑦 4
 Hệ tọa độ cực: Hệ tọa độ cực là một hệ tọa độ hai chiều trong đó mỗi điểm M bất kỳ trên một mặt phẳng được biểu diễn bằng hai thành phần: + Khoảng cách từ điểm đó tới một điểm gốc (gốc cực) gọi là bán kính. + Góc tạo bởi đường thẳng với hướng gốc cho trước (trục cực). 𝑀 𝑟 𝜑 𝑂 Hình 1. 3  Hệ tọa độ trụ: Cho một hệ tọa độ Descartes vuông góc . Tọa độ trụ của điểm trong không gian là bộ ba được xác định như sau:  là khoảng cách từ gốc tọa độ đến hình chiếu vuông góc của xuống mặt phẳng .  là góc ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .  là độ cao của điểm . Tọa độ trụ liên hệ với tọa độ Descartes vuông góc bởi biểu thức sau: { 𝑂𝐴 𝑂𝑀 𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝑟𝑠𝑖𝑛 𝜑 M 𝑦 𝑂𝐵 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑧 𝑀𝑀 𝑧 𝑂 𝐵 𝑟 𝜑 𝐴 𝑀 Hình 1.4  Hệ tọa độ cầu: Cho một hệ tọa độ Descartes vuông góc . Tọa độ cầu của điểm trong không gian là bộ ba số được xác định như sau: 5
 là khoảng cách từ điểm đến gốc tọa độ .  là góc ̅̅̅̅̅ .  là góc , với là hình chiếu vuông góc của xuống mặt phẳng . Tọa độ cầu liên hệ với tọa độ Descartes vuông góc như sau: { er z D θ eθ 𝑟 𝑦 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃 / 𝑦 𝑧 O A 𝜑 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦/ φ 𝑂𝐶 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 B C 𝑦 𝑂𝐵 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 eφ 𝑧 𝑂𝐷 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 ⬚ y ⬚ Hình 1.5 Mối liên hệ giữa các hệ toạ độ: Từ Đề các Trụ Cầu (Cartesian) (Cylindrical) (Spherical) S Cart ang esian 6
Cyli ndrical Sph erical I.1.3 Giới hạn của hàm nhiều biến số.  Gọi và . Khi đó khoảng cách giữa và , kí hiệu là , được tính theo công thức: (1.2)  Ta nói dãy điểm dần đến điểm , ký hiệu khi nếu hay là {  Cho hàm xác định lân cận có thể trừ điểm . Ta nói hàm có giới hạn là khi dần đến nếu mọi dãy điểm thuộc lân cận dần đến ta đều có: . Ký hiệu: hay (1.3) Ví dụ 1: Tìm các giới hạn: a. b. Lời giải: 7
a a | | | | Do . | | | | | | || Trị tuyệt đối của một số nhỏ hơn hoặc bằng không thì số đó phải bẳng không. b. Giả sử theo đường thẳng với là hằng số. khi đó Như vậy với mỗi giá trị khác nhau thì có kết quả khác nhau. Do giới hạn của hàm số nếu có phải là duy nhất nên không tồn tại giới hạn . I.2 Biểu diễn hình học của hàm số 2 biến số Trong không gian ba chiều đồ thị của hàm hai biến với thường là một mặt cong. Sau đây là một số mặt cong đặc biệt có nhiều ứng dụng trong vật lý:  Mặt phẳng Mặt phẳng là đồ thị của hàm hai biến tuyến tính, phương trình mặt phẳng có dạng: trong đó . 𝑧 𝑂 𝑦 Hình 1.6  Ellipsoid Ellipsoid là mặt cong, phương trình chính tắc của nó có dạng: 8
Hình 1.7  Paraboloid elliptic Phương trình chính tắc của paraboloid elliptic có dạng: Hình 1.8  Mặt trụ bậc hai o Mặt trụ elliptic có phương trình chính tắc là: 9
𝑧 𝑂 𝑦 Hình 1.9 o Mặt trụ hyperbolic có phương trình chính tắc là: Hình 1.10 o Mặt trụ parabolic có phương trình chính tắc là: 10
Hình 1.11  Mặt nón bậc hai Phương tình chính tắc của mặt nón có dạng: Hình 1.12 11
I.3 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số.  Hàm số xác định trên miền và điểm . Ta nói rằng hàm số liên tục tại nếu .  Nếu hàm số xác định trên miền thì ta nói rằng hàm số đó liên tục trên miền khi nó liên tục tại mọi điểm .  Hàm số liên tục trên miền đóng nếu nó liên tục trên miền và liên tục tại mọi điểm theo nghĩa .  Nếu đặt là số gia toàn phần của hàm số tại thì hàm số liên tục tại nếu khi { . Ví dụ 2: Khảo sát sự liên tục của hàm số sau: ( ) { Lời giải: ( ) { Ta có | | | ( )| Do đó khi và hàm số liên tục tại . Ta thấy liên tục tại mọi Vậy liên tục trên . I.3.1 Tính chất.  Nếu liên tục trong miền đóng giới nội thì nó đạt giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất trong miền tức là: để có bất đẳng thức kép: 12
(1.4)  Nếu hàm số nhiều biến số liên tục trong một miền đóng bị chặn thì nó bị chặn trong miền đó và nó đạt giá trị lớn nhất, bé nhất trong miền ấy, đồng thời liên tục đều trong miền đó. I.4 Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến số. I.4.1 Đạo hàm riêng cấp 1.  Cho hàm số xác định trong miền và . Nếu cho , ta được hàm số một biến có đạo hàm tại . Khi đó đạo hàm này được gọi là đạo riêng của đối với tại và được ký hiệu: hay hay (1.5)  Tương tự ta có định nghĩa đạo hàm riêng của hàm số đối với tại và ký hiệu: hay hay (1.6) Ví dụ 3: Tính đạo hàm riêng sau: a. b. Lời giải: a. Lấy đạo hàm theo biến , coi là hằng số Lấy đạo hàm theo biến , coi là hằng số b. Lấy đạo hàm theo biến thì ta coi là hằng số Lấy đạo hàm theo biến thì ta coi là hằng số 13
Lấy đạo hàm theo biến thì ta coi là hằng số ( ) I.4.2 Đạo hàm riêng cấp cao.  Cho hàm số hai biến số . Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một của hàm số nếu tồn tại được gọi là đạo hàm riêng cấp hai.  Ta có bốn đạo hàm riêng cấp hai được ký hiệu như sau: o ( ) o ( ) o ( ) o ( ) .  Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số, nếu tồn tại được gọi là các đạo hàm riêng cấp ba,….  Định lý 1.1 (Schwarz). Nếu trong một lân cận nào đó của điểm hàm số có đạo hàm riêng và nếu các đạo hàm ấy liên tục tại thì: tại . (1.7) Ví dụ 4: Tính đạo hàm riêng cấp hai của hàm: . Lời giải: 14
Các đạo hàm riêng cấp 1: Lấy đạo hàm theo biến thì ta coi là hằng số Lấy đạo hàm theo biến thì ta coi là hằng số Các đạo hàm riêng cấp 2: Lấy đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 theo biến Lấy đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 theo biến Lấy đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 theo biến I.5 Vi phân toàn phần. I.5.1 Định nghĩa vi phân toàn phần.  Cho hàm xác định trong miền . Lấy các điểm .  Biểu thức: (1.8) được gọi là số gia toàn phần của tại . Trong đó là những số chỉ phụ thuộc vào , còn dần đến khi . Tức là khi thì ta nói rằng hàm số khả vi tại , còn biểu thức được gọi là vi phân toàn phần của hàm số tại và kí hiệu là hay .  Vậy ta có biểu thức: (1.9) Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi { . 15