Khóa luận tốt nghiệp: Không gian Sobolev phụ thuộc thời gian

Chia sẻ: Quach Van Anh Anh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:59

Thêm vào BST

Báo xấu

125
lượt xem 27
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương trình đạo hàm riêng ra đời vào khoảng thế kỉ thứ XVII do nhu cầu của cơ học và các ngành khoa học khác. Nó ngày càng có vai trò quan trọng, được ứng dụng rộng rãi trong khoa học và công nghệ. Ngày nay, phương trình đạo hàm riêng trở thành một bộ môn toán học cơ bản vừa mang tính lí thuyết cao vừa mang tính ứng dụng rộng. Trước sự phát triển như vũ bão của khoa học công nghệ, chắc chắn rằng phương trình đạo hàm riêng sẽ còn phát triển mạnh mẽ hơn nửa...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp: Không gian Sobolev phụ thuộc thời gian

BË GIO DÖC V O TO TR×ÍNG I HÅC TY BC É VIT YN KHÂA LUN TÈT NGHIP KHÆNG GIAN SOBOLEV PHÖ THUËC THÍI GIAN Chuy¶n ng nh: Gi£i t½ch Ng÷íi h÷îng d¨n: TS. Vô Trång L÷ïng Sìn La, th¡ng 5 n«m 2013
Líi c£m ìn Thíi gian træi qua thªt nhanh, chîp mt m em ¢ ho n th nh bèn n«m ¤i håc. Nhî ng y n o, ¦u khâa håc bè mµ cán ÷a ¸n tr÷íng g°p tr÷íng lîp mîi, th¦y cæ mîi, b¤n b± mîi vîi bao bï ngï v lo lng. Vªy m cuèi còng em công tr£i qua bèn n«m håc. Bèn n«m håc tªp vîi bi¸t bao khâ kh«n, v§t v£, câ nhúng v§p ng¢ em t÷ðng nh÷ m¼nh khæng thº v÷ñt qua. Nh÷ng mong muèn ÷ñc l m khâa luªn khi tèt nghi»p ¢ thóc ©y em ph§n §u nhi·u trong håc tªp. Cuèi còng vîi k¸t qu£ ¢ ¤t ÷ñc trong c¡c n«m ¦u, em ¢ ÷ñc õ i·u ki»n l m khâa luªn d÷îi sü h÷îng d¨n cõa th¦y Vô Trång L÷ïng. ÷ñc l m khâa luªn l mët ni·m vui, ni·m vinh dü lîn èi vîi em. Nh÷ng b¶n c¤nh â công câ khæng ½t néi lo v khæng ½t khâ kh«n, n o l khan hi¸m t i li»u, thíi gian h¤n hµp, ki¸n thùc th¼ mîi v t÷ìng èi khâ,...Nh÷ng vîi ki¸n thùc m em ¢ ÷ñc th¦y cæ bë mæn trang bà trong c¡c n«m qua còng vîi sü h÷îng d¨n nhi»t t¼nh cõa th¦y Vô Trång L÷ïng, công nh÷ sü ëng vi¶n, gióp ï cõa gia ¼nh v b¤n b± cuèi còng khâa luªn công ÷ñc ho n th nh. Em xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t ¸n th¦y h÷îng d¨n, c¡c th¦y cæ kh¡c trong bë mæn, còng gia ¼nh v b¤n b±. Sìn la, th¡ng 5 n«m 2013 Sinh vi¶n é Vi¸t Y¶n 2
Möc löc Mð ¦u 5 0.1 Lþ do chån khâa luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.2 èi t÷ñng, ph÷ìng ph¡p, ph¤m vi nghi¶n cùu . . . . . . . . . 5 0.2.1 èi t÷ñng nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.2.2 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu. . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0.2.3 Ph¤m vi nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0.3 Möc ½ch, nhi»m vö v nhúng âng gâp cõa khâa luªn. . . . . 6 0.3.1 Möc ½ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0.3.2 Nhi»m vö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0.3.3 Nhúng âng gâp cõa khâa luªn . . . . . . . . . . . . . 6 1 Mët sè ki¸n thùc li¶n quan 8 1.1 Khæng gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Khæng gian Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 D¤ng Hermite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 T½ch væ h÷îng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Khæng gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Khæng gian C k (Ω). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2 Khæng gian Lp(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.3 ¤o h m y¸u trong khæng gian Wpk (Ω) . . . . . . . . . 19 1.3.4 ¤o h m suy rëng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.5 Khæng gian Sobolev Wpk (Ω), (1 ≤ p < ∞), (k ∈ Z+.) . . 25 ◦ 1.3.6 Khæng gian Wp (Ω), (1 ≤ p < ∞) . . . . . . . . . . k . . 30 3
1.3.7 X§p x¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.3.8 ành l½ th¡c triºn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.3.9 Khæng gian h m H −1(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2 Khæng gian Sobolev phö thuëc thíi gian 48 2.1 Khæng gian Lp(0, T ; X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2 Khæng gian C([0, T ]; X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3 ¤o h m y¸u trong khæng gian L1(0, T ; X) . . . . . . . . . . . 48 2.4 Khæng gian Sobolev Wp1(0, T ; X) . . . . . . . . . . . . . . . . 49 K¸t luªn 57 T i li»u tham kh£o 58 4
Mð ¦u 0.1 Lþ do chån khâa luªn Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ra íi v o kho£ng th¸ k¿ thù 17, do nhu c¦u cì håc v cõa nhi·u ngh nh khoa håc kh¡c. Nâ ng y c ng câ vai trá quan trång v ÷ñc ùng döng rëng r¢i trong khoa håc v cæng ngh». Ng y nay, ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng trð th nh bë mæn to¡n håc cì b£n vøa mang t½nh l½ thuy¸t cao, vøa mang t½nh ùng döng rëng r¢i. Tr÷îc sü ph¡t triºn m¤nh m³ cõa khoa håc v cæng ngh», chc chn r¬ng ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng cán ph¡t triºn m¤nh m³ hìn núa trong t÷ìng lai, mð ra mët con ÷íng cho nhúng ai y¶u th½ch nghi¶n cùu To¡n håc ùng döng. Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ¢ v ang ph¡t triºn r§t m¤nh m³ ð tr¶n th¸ giîi, nh÷ng ð n÷îc ta th¼ v¨n cán h¤n ch¸ s¡ch nâi v· bë mæn n y, n¶n nâ v¨n l v§n · cán mîi m´, v b½ ©n k½ch th½ch sü kh¡m ph¡ cõa nhúng ai y¶u th½ch nâ. Hìn núa, trong qu¡ tr¼nh håc tªp ÷ñc th¦y cæ giîi thi»u, h÷îng d¨n, tæi c£m th§y r§t câ hùng thó vîi bë mæn n y. Ch½nh v¼ vªy, nh¬m gâp ph¦n cho nhúng ai y¶u th½ch bë mæn n y nâi chung v b£n th¥n t¡c gi£ nâi ri¶ng hiºu s¥u hìn v· bë mæn n y tæi m¤nh d¤n t¼m hiºu · t i: "Khæng gian Sobolev phö thuëc thíi gian ". 0.2 èi t÷ñng, ph÷ìng ph¡p, ph¤m vi nghi¶n cùu 0.2.1 èi t÷ñng nghi¶n cùu èi t÷ñng nghi¶n cùu l khæng gian Sobolev phö thuëc thíi gian. 5
0.2.2 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu. V§n · ÷ñc nghi¶n cùu trong khâa luªn l v§n · cán mîi m´ so vîi sinh vi¶n bªc ¤i håc, v¼ vªy ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu sû döng chõ y¸u l nghi¶n cùu l½ thuy¸t cö thº l khæng gian Sobolev. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu gçm câ s÷u t¦m t i li»u, åc hiºu t i li»u tr¶n cì sð â ph¥n t½ch, têng hñp, di¹n gi£i, l m rã v tr¼nh b y th nh mët h» thèng º gi£i quy¸t c¡c v§n · °t ra cõa khâa luªn. 0.2.3 Ph¤m vi nghi¶n cùu Ph¤m vi nghi¶n cùu cõa khâa luªn l nhúng ành ngh¾a, t½nh ch§t, ành l½, v c¡c v§n · li¶n quan cõa khæng gian Sobolev phö thuëc thíi gian, bao gçm khæng gian Lp(0, T ; X), khæng gian C([0, T ]; X), ¤o h m y¸u trong khæng gian Lp(0, T ; X), v khæng gian Sobolev Wp1(0, T ; X). 0.3 Möc ½ch, nhi»m vö v nhúng âng gâp cõa khâa luªn. 0.3.1 Möc ½ch Möc ½ch cõa khâa luªn l l m rã c¡c kh¡i ni»m, t½nh ch§t, ành l½,...trong khæng gian Sobolev phö thuëc thíi gian. âng gâp th¶m t i li»u tham kh£o cho sinh vi¶n v t§t c£ nhúng ai y¶u th½ch, quan t¥m ¸n bë mæn ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng. 0.3.2 Nhi»m vö Vîi möc ½ch °t ra nhi»m vö nghi¶n cùu cõa khâa luªn l n¶u ra v chùng minh c¡c v§n · li¶n quan ¸n khæng gian Sobolev phö thuëc thíi gian. 0.3.3 Nhúng âng gâp cõa khâa luªn âng gâp nêi bªt cõa khâa luªn l l m rã r ng, chi ti¸t hìn h» thèng tri thùc mîi, chuy¶n s¥u v· bë mæn ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng hi»n ¤i. â 6
l c¡c kh¡i ni»m ki¸n thùc mîi nh÷: ành ngh¾a ¤o h m y¸u, ¤o h m suy rëng, khæng gian Sobolev ngo i ra ta bi¸t c¡c t½nh ch§t v v§n · li¶n quan cõa khæng gian Sobolev,...°c bi»t khâa luªn cung c§p th¶m mët ph¦n ki¸n thùc cõa bë mæn ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng hi»n ¤i, â l nâi v· khæng gian Sobolev phö thuëc thíi gian v c¡c v§n · li¶n quan. 7
Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc li¶n quan 1.1 Khæng gian Banach Cho E l khæng gian tuy¸n t½nh thüc. ành ngh¾a 1.1. Gi£ sû E l khæng gian vectì tr¶n tr÷íng væ h÷îng c¡c sè thüc R hay sè phùc C. H m ρ x¡c ành tr¶n E gåi l mët chu©n tr¶n E n¸u ρ thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau i. ρ(x) ≥ 0 vîi ∀x ∈ E v ρ(x) = 0 th¼ x = 0 ii. ρ(λx) = |λ| ρ(x) vîi ∀λ ∈ K v ∀x ∈ E iii. ρ(x + y) ≤ ρ(x) + ρ(y) vîi ∀x, y ∈ E Khæng gian vectì E còng vîi mët chu©n ρ tr¶n nâ gåi l khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n hay ngn gån l khæng gian ành chu©n. M»nh · 1.1. N¸u ρ l mët chu©n tr¶n E th¼ cæng thùc d(x, y) := ρ(x − y), (∀x, y ∈ E) (1.1) x¡c ành mët kho£ng c¡ch tr¶n E thäa m¢n  d(x + y, y + z) = d(x, y)  d(λx, λy) = |λ| d(x, y)  vîi ∀x, y, z ∈ E, ∀λ ∈ K. Kho£ng c¡ch d x¡c ành bði cæng thùc (1.1) ÷ñc gåi l kho£ng c¡ch sinh bði chu©n ρ. 8
ành ngh¾a 1.2. Khæng gian ành chu©n E l mët khæng gian metric vîi kho£ng c¡ch sinh bði chu©n x¡c ành bði d(x, y) := x − y , vîi x, y ∈ E ành ngh¾a 1.3. i. D¢y {uk }∞ ⊂ E ÷ñc gåi l d¢y Cauchy trong E k=1 n¸u vîi måi > 0, ∃N > 0 sao cho uk − ul < , vîi k, l ≥ N. ii. E l ¦y õ n¸u méi d¢y Cauchy trong E ·u hëi tö, câ ngh¾a l vîi {uk }∞ ⊂ E l d¢y Cauchy, tçn t¤i u ∈ E sao cho {uk }∞ hëi tö ¸n u. k=1 k=1 iii. Khæng gian Banach E l khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n ¦y õ. ành ngh¾a 1.4. Khæng gian metric E ÷ñc gåi l khæng gian metric ¦y (hay õ) n¸u måi d¢y Cauchy trong E ·u hëi tö. ành ngh¾a 1.5. Khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n E ÷ñc gåi l khæng gian Banach n¸u E còng vîi metric sinh bði chu©n tr¶n E l mët khæng gian metric ¦y. ành ngh¾a 1.6. Khæng gian ành chu©n E gåi l kh£ ly n¸u E câ mët tªp con ¸m ÷ñc trò mªt trong E. E kh£ li n¸u tçn t¤i mët d¢y {xn }n∈N c¡c ph¦n tû cõa E sao cho vîi méi ∗ x ∈ E ·u câ ½t nh§t mët d¢y con {xn }n∈N hëi tö ¸n x. k ∗ ành ngh¾a 1.7. Ta nâi r¬ng d¢y {uk }∞ ⊂ E hëi tö ¸n u ∈ E n¸u k=1 lim uk − u = 0 k→∞ Ta cán vi¸t, uk → u khi k → ∞. 1.2 Khæng gian Hilbert. 1.2.1 D¤ng Hermite. ành ngh¾a 1.8. Cho E l khæng gian vectì (phùc). D¤ng Hermite tr¶n E l ¡nh x¤ ϕ : E × E −→ C thäa m¢n 9
i. ϕ(x1 + x2 , y) = ϕ(x1 , y) + ϕ(x2 , y), ∀x1 , x2 , y ∈ E ii. ϕ(λx, y) = λϕ(x, y), ∀x, y ∈ E; ∀λ ∈ C iii. ϕ(x, y) = ϕ(x, y), ∀x, y ∈ E ành ngh¾a 1.9. D¤ng Hermite ϕ tr¶n E gåi l d÷ìng v vi¸t ϕ ≥ 0 n¸u ϕ(x, x) ≥ 0, ∀x ∈ E Bê · 1.1. (B§t ¯ng thùc Cauchy - Schwartz) Gi£ sû ϕ l d¤ng hermite d÷ìng tr¶n khæng gian vectì E. Khi â |ϕ(x, y)|2 ≤ ϕ(x, x).ϕ(y, y), ∀x, y ∈ E Chùng minh. °t a = ϕ(x, x), b = ϕ(x, y), c = ϕ(y, y). Chó þ r¬ng a, c l c¡c sè thüc khæng ¥m, v b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh l |b|2 ≤ ac. Vîi måi λ ∈ C ta câ: 0 ≤ ϕ(x + λy, x + λy) = ϕ(x, x) + λϕ(x, y) + λϕ(y, x) + λλϕ(y, y) a + λb + λb + λλc ≥ 0 vîi måi λ∈C (1.2) N¸u mët trong c¡c sè a ho°c c d÷ìng, ch¯ng h¤n c > 0 ta thay λ = − c v o b (1.2) ð tr¶n ta câ b b bb 0 ≤ a − b − b + 2c = a − c c c bb c hay |b|2 ≤ a.c N¸u a = c = 0 ta thay λ = −b, a = c = 0 v o (1.2) ta ÷ñc −2|b|2 ≥ 0 do â b = 0 v ta v¨n thu ÷ñc |b|2 ≤ a.c. Tâm l¤i, trong måi tr÷íng hñp ta ·u câ |b|2 ≤ a.c. ành l½ ÷ñc chùng minh. Bê · 1.2. (B§t ¯ng thùc Minkowski.) N¸u ϕ l d¤ng Hermite d÷ìng tr¶n khæng gian vectì E th¼ ϕ(x + y, x + y) ≤ ϕ(x, x) + ϕ(y, y) vîi måi x, y ∈ E 10
Chùng minh. Bði v¼ ϕ(x + y, x + y) = ϕ(x, x) + ϕ(x, y) + ϕ(x, y) + ϕ(y, y) = ϕ(x, x) + 2Reϕ(x, y) + ϕ(y, y) Theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwartz ta câ: Reϕ(x, y) ≤ |ϕ(x, y)| ≤ ϕ(x, x)ϕ(y, y). Suy ra ϕ(x + y, x + y) ≤ ϕ(x, x) + 2 ϕ(x, x)ϕ(y, y) + ϕ(y, y) 2 = ϕ(x, x) + ϕ(y, y) Vªy ϕ(x + y, x + y) ≤ ϕ(x, x) + ϕ(y, y) vîi måi x, y ∈ E ành l½ ÷ñc chùng minh. 1.2.2 T½ch væ h÷îng T½ch væ h÷îng tr¶n khæng gian vectì E l d¤ng Hermite d÷ìng tr¶n E v thäa m¢n th¶m i·u ki»n ϕ(x, x) = 0 ⇒ x = 0. N¸u ϕ l t½ch væ h÷îng tr¶n E th¼ chóng ta k½ hi»u ϕ(x, y) bði < x, y > v ta gåi < x, y > l t½ch væ h÷îng cõa hai vectì x v y. Khæng gian vectì E còng vîi mët t½ch væ h÷îng ., . tr¶n nâ gåi l khæng gian ti·n Hilbert. Cæng thùc x = (x, x); ∀x ∈ E x¡c ành mët chu©n tr¶n E do â khæng gian ti·n Hilbert l khæng gian ành chu©n vîi chu©n sinh bði t½ch væ h÷îng â. ành ngh¾a 1.10. N¸u khæng gian ti·n Hilbert E ¦y vîi metric sinh bði t½ch væ h÷îng tr¶n E ÷ñc gåi l khæng gian Hilbert. ành ngh¾a 1.11. Cho mët khæng gian tuy¸n t½nh E. Mët h m sè f (x) x¡c ành tr¶n E v l§y g½ trà l sè (thüc hay phùc, tòy theo E l khæng gian thüc hay phùc) gåi l mët phi¸m h m tr¶n E. Phi¸m h m â gåi l tuy¸n t½nh n¸u 11
1. f (x + y) = f (x) + f (y) vîi måi x, y ∈ E. 2. f (αx) = αf (x) vîi måi x ∈ E v måi sè α. V f ÷ñc gåi l bà ch°n n¸u câ mët h¬ng sè C > 0 º cho (∀x ∈ E) |f (x)| ≤ C x . ành ngh¾a 1.12. (hëi tö y¸u) Ta nâi d¢y {uk }∞ ⊂ E hëi tö y¸u ¸n u ∈ E n¸u < u∗, uk >−→< u∗, u > k=1 vîi måi phi¸m h m tuy¸n t½nh bà ch°n u∗ ∈ E∗ v k½ hi»u l uk u. (E∗ l tªp hñp t§t c£ c¡c phi¸m h m tuy¸n t½nh bà ch°n tr¶n E, v gåi l khæng gian èi ng¨u cõa E.) D¹ d ng kiºm tra r¬ng: N¸u uk → u, th¼ uk u. v ta công câ mët d¢y hëi tö y¸u th¼ bà ch°n. Tø â, n¸u uk u th¼ u ≤ k→∞ inf uk − u lim Bê · 1.3. N¸u d¢y {uk }∞ hëi tö y¸u tîi u trong khæng gian Hilbert H, k=1 th¼ u ≤ lim uk k→∞ hìn núa v¸ ph£i cõa ¯ng thùc l húu h¤n. Bê · 1.4. Gi£ sû H l khæng gian Hilbert kh£ ly. Khi â tø mët d¢y con bà ch°n trong H câ thº tr½ch ra mët d¢y con hëi tö y¸u trong H. 1.3 Khæng gian Sobolev 1.3.1 Khæng gian C k (Ω). Gi£ sû x = (x1, x2, ..., xn) l mët iºm cõa khæng gian Euclid n-chi·u Rn. Khi â - C(Ω) l tªp hñp t§t c£ c¡c h m li¶n töc ÷ñc x¡c ành tr¶n Ω. - C k (Ω) l tªp hñp c¡c h m tr¶n Ω sao cho ¤o h m ¸n c§p k tçn t¤i v li¶n töc. - C ∞ (Ω) l tªp hñp t§t c£ c¡c h m kh£ vi væ h¤n l¦n. 12
- Cc (Ω) l tªp hñp c¡c h m li¶n töc v câ gi¡ compact trong Ω. Gi£ sû Ω l mët tªp mð trong Rn, u ∈ C ∞(Ω). Ta k½ hi»u {x ∈ Ω |u(x) = 0} l gi¡ cõa h m u, v k½ hi»u l supp u. N¸u supp u compact th¼ h m u(x) ÷ñc gåi l câ gi¡ compact. Ta câ: - l tªp hñp t§t c£ c¡c h m câ t½nh ch§t thuëc C(Ω) sao cho gi¡ ◦ C (Ω) cõa chóng compact v thuëc v o Ω. ◦ - ◦ C k (Ω) = C k (Ω) ∩ C (Ω) - ◦ ◦ C (Ω) = C ∞ (Ω) ∩ C (Ω) ∞ 1.3.2 Khæng gian Lp(Ω) ành ngh¾a 1.13. Cho Ω l mët tªp o ÷ñc Lebesgue trong Rk v µ l ë o Lebesgue tr¶n σ- ¤i sè F c¡c tªp o ÷ñc Lebesgue tr¶n Rk . Vîi méi p ≥ 1, k½ hi»u Lp (Ω) l tªp t§t c£ c¡c h m kh£ t½ch (Lebesgue) bªc p tr¶n Ω Lp (Ω) = {f : Ω −→ R o ÷ñc : |f |p dµ < +∞} Ω ành lþ 1.1. Khæng gian Lp(Ω) vîi 1 ≤ p < +∞ l mët khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n õ (khæng gian Banach). vîi chu©n x¡c ành bði 1 p p f p = |f | dµ Ω ành lþ 1.2. Gi£ sû Ω l mët mi·n trong Rn. Tªp hñp Cc(Ω) trò mªt trong khæng gian Lp (Ω), p > 1. Bê · 1.5. N¸u p, q > 1 vîi p + 1q = 1 th¼ vîi måi α, β ∈ R+ ta câ 1 αp βq α.β ≤ p + q Chùng minh. Tr÷îc h¸t, n¸u α = 0 ho°c β = 0 th¼ bê · hiºn nhi¶n óng. Gi£ sû α > 0 v β > 0, x²t h m sè 13
tp t−q f (t) = p + q , (t > 0) Do f (t) = t−q−1(tp+q − 1) = 0 khi t = 0 v f (t) < 0 tr¶n kho£ng (0; 1) f (t) > 0 tr¶n kho£ng (1; +∞) n¶n f câ gi¡ trà cüc tiºu l f (1) = p + 1 = 1. 1 q Nh÷ vªy p + q ≥ 1 vîi måi t > 0 p −q t t thay t = α .β v o b§t ¯ng thùc tr¶n ta ÷ñc 1 q −1 p p q α q .β −1 β p .α−1 + ≥1 p q Nh¥n hai v¸ cõa b§t ¯ng thùc tr¶n vîi αβ vîi l÷u þ r¬ng p q +1 = p v p + 1 = q, ta ÷ñc q αp β q α.β ≤ + p q Bê · 1.6. (B§t ¯ng thùc Holder) Gi£ sû p, q > 1 sao cho p + 1q = 1. ¨ 1 Khi â vîi måi f ∈ Lp (Ω), g ∈ Lq (Ω), ta câ 1 1 p q |f.g| dµ ≤ |f |p dµ |g|q dµ Ω Ω Ω hay ta cán vi¸t fg 1 ≤ f p g q Chùng minh. N¸u f = 0 ho°c g = 0 th¼ f = 0 ho°c g = 0 h.k.n. Suy ra f.g = 0 h.k.n v do â f g 1 = 0. Vªy b§t ¯ng thùc óng trong tr÷íng hñp n y. X²t tr÷íng hñp f p > 0, g q > 0. Vîi méi x ∈ Ω ¡p döng bê · 1.5 vîi |f (x)| α= f p v β = |g(x)| g q ta ÷ñc p q |f (x)g(x)| 1 |f (x)| 1 |g(x)| ≤ + f p g q p f p p q g q q 14
L§y t½ch ph¥n 2 v¸ theo ë o µ ta câ 1 1 1 |f (x)g(x)| dµ ≤ p |f (x)|p dµ+ q |g(x)|q dµ f p g q p f p q g q Ω Ω Ω hay p q fg 1 1 f p 1 g q 1 1 ≤ p + q = + =1 f p g q p f p q g q p q Suy ra fg 1 ≤ f p g q Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian L (Ω), p > 1. p a) T½nh kh£ ly ành lþ 1.3. Gi£ sû p ≥ 1 v Ω l mët mi·n thuëc Rn. Tçn t¤i mët tªp con ¸m ÷ñc c¡c ph¦n tû cõa khæng gian Lp (Ω), sao cho bao tuy¸n t½nh cõa nâ trò mªt trong Lp (Ω). Chùng minh. Gi£ sû R l mët sè húu t¿ n o â, x ∈ Rn. K½ hi»u Q(x, R) l h¼nh hëp Q(x, R) = y ∈ Rn : |yi − xi | < R, i = 1, n gi£ sû f ∈ Lp(Ω) v > 0. °t f (x) = 0 vîi x = Ω, v x²t nh÷ mët h m thuëc Lp(Rn). Chån R l mët sè nguy¶n õ lîn sao cho |f (x)|p dx < εp Rn \Q(0,R) Khi â |f (x) + g(x)|p dx < εp Q(0,R+1) V¼ h m gR li¶n töc tr¶n Q(0, R + 1) n¶n nâ li¶n töc ·u tr¶n Q(0, R). Do vªy ∃δ > 0 sao cho −n |gR (x) − gR (y)| < εR p ; x, y ∈ Q(0, R), |x − y| < δ 15
l§p δ = R√n2−N vîi N l mët sè nguy¶n n o â º δ õ nhä. Chia h¼nh hëp Q(0, R) th nh c¡c h¼nh hëp nhä khæng giao nhau câ ë d i c¤nh l R2− N v x²t tªp hñp S bao gçm c¡c h m °c tr÷ng Xj (x) cõa h¼nh hëp n y vîi måi N °t h(x) = gR (xj )Xj (x) j trong â xj l t¥m cõa c¡c h¼nh hëp nhä. Khi â −n |gR (x) − h(x)| = |gR (x) − gR (xj )| < εR p N¸u x phö thuëc v o h¼nh hëp vîi t¥m xj . Ta câ |gR − h|p dx < εp Q(0,R) °t: gR(x) = 0, h(x) = 0 èi vîi x ∈ Rn\Q(0, R) ta ÷ñc 1 1 1 p p p p p p |f (x) − h(x)| dx ≤ |f (x) − h(x)| dx + |f (x)| dx Rn Q(0,R) Rn \Q(0,R) 1 1 1 p p p ≤ |f (x) − gR (x)|p dx + |gR (x) − h(x)|p dx + |f (x)|p dx Q(0,R) Q(0,R) Rn \Q(0,R) 1 1 1 p p p ≤ |f (x) − gR (x)|p dx + |gR (x) − h(x)|p dx + |f (x)|p dx Q(0,R+1) Q(0,R) Rn \Q(0,R) ≤ 3ε Do vªy tªp hñp c¡c tê hñp tuy¸n t½nh cõa c¡c h m Xj , trò mªt trong Lp(Ω). ành l½ ÷ñc chùng minh. b) T½nh li¶n töc to n cöc cõa c¡c h m thuëc L (Ω) p Mët trong nhúng ùng döng quan trång cõa c¡c h m thuëc khæng gian Lp (Ω), p ≥ 0 l t½nh li¶n töc to n cöc cõa nâ. ành lþ 1.4. Gi£ sû Ω l mët mi·n thuëc Rn, f ∈ Lp(Ω), p ≥ 1, f (x) = 0 b¶n ngo i Ω. Khi â vîi méi > 0 tçn t¤i mët sè δ > 0, sao cho |f (x) − f (x + y)|p dx < ε Ω 16
vîi måi y thäa m¢n |y| < δ . ành ngh¾a 1.14. Mët mi·n Ω thuëc Rn ÷ñc gåi l mi·n sao èi vîi iºm x0 , n¸u vîi méi iºm x ∈ Ω, o¤n th¯ng nèi x0vîi x công thuëc v o mi·n Ω. Tr÷íng hñp °c bi»t, mi·n lçi l mi·n sao èi vîi måi iºm thuëc mi·n â. D÷îi ¥y l mët ành l½ v· t½nh li¶n töc to n cöc trong mi·n h¼nh sao cõa mët h m thuëc khæng gian Lp(ω). ành lþ 1.5. Gi£ sû Ω l mët mi·n h¼nh sao èi vîi gèc tåa ë v f ∈ Lp (Ω), p ≥ 1, f (x) = 0 b¶n ngo i Ω. Khi â, vîi måi > 0, sao cho |f (x) − f (λx)|p dx < , Ω n¸u, |λ − 1| < δ. Chùng minh. Bði v¼ f (λx) = f (x + (λ − 1)x). Do Ω l mi·n sao èi vîi gèc tåa ë, n¶n (λ − 1)x ∈ Ω. Tø ¥y v tø ành l½ 1.4 suy ra k¸t luªn cõa ành l½. ành l½ ÷ñc chùng minh. c) Trung b¼nh hâa. ành ngh¾a 1.15. Gi£ sû θ(x) l mët h m thüc thuëc lîp C ∞(Rn) sao cho ◦ θ(x) = θ(−x), θ(x) ≥ 0, θ(x) = 0 n¸u |x| > 1 v θ(x) = 1. n H m θ(x) ÷ñc gåi l nh¥n trung b¼nh hâa. R N¸u u ∈ Lp(Ω), p ≥ 1, th¼ h m x−y uh (x) = h−n θ( )u(y)dy h Ω ÷ñc x¡c ành trong Rn v trìn væ h¤n. Nâ ÷ñc gåi l trung b¼nh hâa hay h m trung b¼nh cõa h m u. ành lþ 1.6. N¸u u ∈ Lp(Ω), p ≥ 1 th¼ h→0 lim uh − u Lp (Ω) =0 17
Chùng minh. °t u(x) = 0 èi vîi x ∈ Rn\Ω. Khi â, x−y uh (x) = h−n θ( )u(y)dy = θ(z)u(x + hz)dz h Ω Rn Bði vªy uh (x) − u(x) = θ(z) [u(x + hz) − u(x)] dz Rn |uh (x) − u(x)|p ≤ C [u(x + hz) − u(x)]p dz |z|
1.3.3 ¤o h m y¸u trong khæng gian Wpk (Ω) ành ngh¾a 1.16. Gi£ sû u, v ∈ L1 (U ) v α l mët a ch¿ sè. Ta nâi r¬ng loc v l ¤o h m y¸u c§p α cõa u n¸u uDα φdx = (−1)α vφdx U U óng vîi måi h m thû φ ∈ Cc∞(U ). K½ hi»u: Dα u = v. Trong â: α = (α1α α2, ..., αn), |α| = α1 + α2 + ... + αn = k, α , v Dαφ = ∂x α ... ∂x ∂ ∂ 1 n 1 αn 1 n Bê · 1.7. (T½nh duy nh§t cõa ¤o h m y¸u.) Mët ¤o h m y¸u c§p α cõa u n¸u tçn t¤i th¼ ÷ñc x¡c ành mët c¡ch duy nh§t (sai kh¡c tr¶n tªp câ ë o khæng). Chùng minh. Gi£ sû v1, v2 ∈ L1 (U ) l ¤o h m y¸u cõa u ta chùng minh loc v1 = v2 h.k.n. Thªt vªy, do v1, v2 ∈ L1 (U ) l ¤o h m y¸u cõa u n¶n theo ành ngh¾a loc th¼ ta câ uDα φdx = (−1)α v1 φdx = (−1)α v2 φdx U U U vîi måi h m thû φ ∈ Cc∞(U ). Khi â (v1 − v2 )φdx = 0 U vîi måi φ ∈ Cc∞(U ), khi â v1 − v2 = 0 h.k.n . i·u ph£i chùng minh. Sau ¥y ta ÷a v½ dö º ch¿ sü tçn t¤i ¤o h m y¸u cõa mët h m: V½ dö 1.1. Cho n = 1, U = (0, 2) v u(x), v(x) ÷ñc x¡c ành bði  x  n¸u 0 < x ≤ 1 u(x) = 1  n¸u 1 < x < 2 19