Khoá luận tốt nghiệp: Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử tương tác với từ trường đều

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài này nghiên cứu kĩ về các bước để có thể tách khối tâm cho bài toán nguyên tử. Đối tượng nghiên cứu ban đầu là nguyên tử hydro và heli khi chưa có từ trường. Khi đặt nguyên tử trung hòa trong từ trường, do có sự xuất hiện của thế vector nên toán tử xung lượng của các hạt sẽ bị biến đổi. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khoá luận tốt nghiệp: Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử tương tác với từ trường đều

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH  KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP TÊN ĐỀ TÀ I: TÁCH KHỐI TÂM CHO BÀ I TOÁN NGUYÊN TỬ TƯƠNG TÁC VỚI TỪ TRƯỜNG ĐỀU THE CENTER-OF-MASS SEPERATION FOR THE PROBLEM OF AN ATOM IN A UNIFORM MAGNETIC FIELD GVHD: GS.TSKH. LÊ VĂN HOÀNG SVTH: NGUYỄN ANH TUẤN – K40.102.105 Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2018
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH  KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP TÊN ĐỀ TÀ I: TÁCH KHỐI TÂM CHO BÀ I TOÁN NGUYÊN TỬ TƯƠNG TÁC VỚI TỪ TRƯỜNG ĐỀU THE CENTER-OF-MASS SEPERATION FOR THE PROBLEM OF AN ATOM IN A UNIFORM MAGNETIC FIELD GVHD: GS.TSKH. LÊ VĂN HOÀNG SVTH: NGUYỄN ANH TUẤN – K40.102.105 Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2018 2
LỜI CẢM ƠN Việc thực hiện đề tài này không thể không kể đến sự đóng góp của GS. Lê Văn Hoàng đã đề nghị đề tài này và luôn theo sát em trong suốt quá trình làm khóa luận. Hơn nữa, thông qua việc giảng dạy, Thầy Hoàng cũng đã là người truyền cảm hứng cho em trong việc nghiên cứu các vấn đề liên quan đến Cơ Học Lượng Tử, giúp em có khả năng và hứng thú tìm tòi các tài liệu liên quan đến bộ môn và đề tài này. Sự thành công của khóa luận cũng nhờ vào công ơn rất lớn của Thầy. Ngoài ra, em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy Lê Đại Nam, người đã góp ý cho em sửa chữa và hoàn chỉnh khóa luận. Khóa luận của em sẽ không thể hoàn thiện nếu không có sự hướng dẫn và giúp đỡ của thầy. Em xin cảm ơn đến các thầy cô trong tổ Vật Lý Lý Thuyết vì đã tạo điều kiện cho em thực hiện đề tài này, tạo điều kiện cho em có cơ hội được nghiên cứu một vấn đề khoa học. Mặc dù kĩ năng phân tích vấn đề và trình bày vấn đề của em còn có rất nhiều thiếu sót nhưng các thầy cô đã rất nhiệt tình chỉ bảo và hướng dẫn em. Đây là một điều may mắn rất lớn đối với em. Lời cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè, những người đã luôn động viên và khích lệ tinh thần em trong suốt thời gian qua để em có thể tập trung hoàn thành khóa luận. TPHCM, ngày 26 tháng 04 năm 2018 Nguyễn Anh Tuấn 3
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................................... 3 DANH MỤC CÁC HÌNH ................................................................................................... 5 Chương 1 .......................................................................................................................... 5 Chương 2 .......................................................................................................................... 5 MỞ ĐẦU ............................................................................................................................. 6 CHƯƠNG 1: KHỐI TÂM TRONG CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA KHI CHƯA ĐẶT TRONG TỪ TRƯỜNG ................................................................................. 9 1.1. Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử hydro khi chưa đặt trong từ trường ............. 9 1.2. Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử heli khi chưa đặt trong từ trường ............... 13 CHƯƠNG 2: TÁCH KHỐI TÂM TRONG CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA TRONG TỪ TRƯỜNG ........................................................................................... 18 2.1. Ảnh hưởng của từ trường lên một hạt mang điện chuyển động.............................. 18 2.2. Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử hydro trung hòa trong từ trường ................ 20 2.3. Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử heli trung hòa trong từ trường ................... 26 CHƯƠNG 3: ĐIỀU KIỆN ĐỂ TÁCH CHUYỂN ĐỘNG KHỐI TÂM TRONG HAMILTONIAN CỦA MỘT NGUYÊN TỬ TRONG TỪ TRƯỜNG............................ 34 CHƯƠNG 4: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN .................................................. 37 KẾT LUẬN .................................................................................................................... 37 HƯỚNG PHÁT TRIỂN ................................................................................................. 37 PHỤ LỤC .......................................................................................................................... 38 A. Toán tử động lượng suy rộng của một hệ N hạt mang điện ...................................... 38 B. Các biểu thức giải tích ............................................................................................... 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 41 Tiếng Việt ....................................................................................................................... 41 Tiếng Anh ....................................................................................................................... 41 4
DANH MỤC CÁC HÌNH Chương 1 Hình 1: Nguyên tử hydro trong hệ tọa độ Descartes ........................................................... 7 Hình 2: Nguyên tử heli trong hệ tọa độ Descartes ............................................................ 12 Chương 2 Hình 3: Nguyên tử hydro khi đặt trong từ trường trong tọa độ Descartes ........................ 19 Hình 4: Nguyên tử heli khi đặt trong từ trường trong tọa độ Descartes............................ 25 5
MỞ ĐẦU 1. Đối với cơ học lượng tử, khi khảo sát chuyển động của các đối tượng vi mô (như các hạt cơ bản hay một hệ hạt chẳng hạn như nguyên tử), ta sẽ viết Hamiltonian cho hệ rồi đưa Hamiltonian vào phương trình sóng Schrodinger để giải ra nghiệm là hàm sóng 𝜓(𝒓) và năng lượng. Hàm sóng bản thân nó không có ý nghĩa vật lí. Tuy nhiên, theo Max Born, bình phương module hàm sóng lại cho ta biết xác suất tìm thấy một hạt trong một vi phân thể tích [1]. Tuy nhiên, đối với những bài toán nguyên tử (hệ gồm hai hoặc nhiều hạt), việc giải phương trình Schrodinger sẽ khá phức tạp do số bậc tự do trong bài toán nhiều. Giả sử khi xét chuyển động của một nguyên tử hydro trong từ trường, ta phải xét vector bán kính hạt nhân 𝒓𝒉 và vector bán kính electron 𝒓𝒆 . Trong không gian Descartes, mỗi vector sẽ có ba thành phần, do đó Hamiltonian của hệ sẽ có đến sáu bậc tự do [18]. Điều này sẽ gây khó khăn khi giải phương trình Schrodinger. Để giảm số bậc tự do, ta sẽ đưa bài toán về hệ quy chiếu khối tâm. Lúc này, thay vì xét các vector bán kính hạt nhân 𝒓𝒉 và các electron 𝒓𝒆 , ta sẽ đưa về các vector bán kính của khối tâm và của chuyển động tương đối giữa hạt nhân và electron (đối với các bài toán có nhiều electron sẽ xét thêm vector bán kính chuyển động tương đối giữa các electron). Sau đó, Hamiltonian sẽ được biến đổi qua hệ khối tâm. Lúc này, bằng các phép biến đổi giải tích, ta sẽ đưa Hamiltonian trong hệ khối tâm về dạng phân ly biến số, tức là chuyển động của khối tâm và chuyển động tương đối của các hạt nhân và electron trong nguyên tử được tách ra một cách rõ rệt. Việc giải phương trình Schrodinger lúc này sẽ đơn giản hơn do hai biến số hoàn toàn độc lập với nhau. Do đó, khi khảo sát chuyển động của các nguyên tử, ta luôn tìm cách đưa Hamiltonian của nguyên tử về hệ quy chiếu khối tâm và biểu diễn Hamiltonian dưới dạng phân ly biến số, từ đó việc giải phương trình Schrodinger để tìm hàm sóng sẽ đơn giản hơn rất nhiều. 2. Chưa xét đến việc giải phương trình Schrodinger, hiện nay, việc tách khối tâm trong bài toán nguyên tử khi không có điện từ trường đã được giải quyết và trình bày, điển hình là bài toán nguyên tử hydro khi không có điện từ trường [1]. Tiếp sau đó là bài toán nguyên tử heli với cách giải gần như tương tự mà đề tài này sẽ giải quyết. Còn đối 6
với nguyên tử trong từ trường, lời giải cho bài toán nguyên tử hydro, heli cũng đã được công bố [4, 5, 13, 14]. Tất cả sẽ được trình bày lại một cách hệ thống nhất trong đề tài này. Sau khi đạt được thành công trong việc tách khối tâm trong bài toán nguyên tử trung hòa khi không có điện từ trường và trong từ trường, các nhà khoa học bắt đầu chuyển đối tượng nghiên cứu các exciton không trung hòa trong bán dẫn, nghĩa là số electron và số lỗ trống không bằng nhau. Lúc này họ đã gặp phải một số khó khăn nhất định trong việc đưa Hamiltonian về dạng phân ly biến số [15, 16]. Vấn đề đặt ra ở đây đó chính là tại sao đối với exciton không trung hòa thì Hamiltonian của nó trong hệ quy chiếu khối tâm không thể đưa về dạng phân ly biến số một cách dễ dàng như các nguyên tử trung hòa. Và liệu có một điều kiện, hay một phép gần đúng nào giúp ta làm được điều này? Đây vẫn còn là một vấn đề khá nan giải mà các bài báo khoa học đang đặt ra. 3. Đề tài này sẽ nghiên cứu kĩ về các bước để có thể tách khối tâm cho bài toán nguyên tử. Đối tượng nghiên cứu ban đầu là nguyên tử hydro và heli khi chưa có từ trường. Khi đặt nguyên tử trung hòa trong từ trường, do có sự xuất hiện của thế vector nên toán tử xung lượng của các hạt sẽ bị biến đổi [1]. Lúc này việc tách khối tâm sẽ phức tạp hơn. Đề tài này sẽ chỉ ra sự khác biệt giữa Hamiltonian của một nguyên tử trong từ trường với Hamiltonian của một nguyên tử khi không có từ trường cũng như trình bày từng bước cách để tách khối tâm trong bài toán nguyên tử trong từ trường. Ban đầu, để đơn giản, ta cũng sẽ chọn đối tượng là nguyên tử hydro trong từ trường. Sau đó là heli và mở rộng ra đối với một ion có hạt nhân Z và một electron, kiểm chứng xem với các cách làm của các bài toán trên thì có thể tách khối tâm cho bài toán ion được không. Mặc dù phạm vi của đề tài chỉ đến bước thiết lập Hamiltonian của nguyên tử ở dạng phân ly biến số giữa chuyển động khối tâm và chuyển động tương đối của hạt nhân và electron, nhưng kết quả này sẽ làm tiền đề cho các nghiên cứu sâu hơn, nhất là exciton không trung hòa trong bán dẫn hai chiều. 7
4. Ngoài phần Mở đầu và Kết luận và hướng phát triển, khóa luận sẽ gồm có hai chương: Chương 1: Khối tâm trong các bài toán nguyên tử trung hòa khi chưa đặt trong từ trường. Chương này sẽ trình bày chi tiết các bước tách khối tâm cho nguyên tử trung hòa khi chưa đặt trong từ trường. Đối tượng nghiên cứu ở đây chính là nguyên tử hydro và heli. Chương 1 bao gồm hai phần, mỗi nguyên tử sẽ được trình bày trong một phần. Chương 2: Khối tâm trong các bài toán nguyên tử trung hòa trong từ trường. Chương này cũng sẽ trình bày chi tiết các bước tách khối tâm cho nguyên tử trung hòa trong từ trường. Chương 2 bao gồm ba phần. Hai phần đầu sẽ trình bày việc tách khối tâm cho hydro và heli. Phần thứ ba, tôi sẽ chuyển đối tượng nghiên cứu sang ion với hạt nhân 𝑍 và một electron với 𝑍 ≠ 1 để kiểm chứng với các bước tách khối tâm đã thực hiện trong bài toán hydro và heli thì đối với ion có thành công hay không. 8
CHƯƠNG 1: KHỐI TÂM TRONG CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA KHI CHƯA ĐẶT TRONG TỪ TRƯỜNG 1.1. Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử hydro khi chưa đặt trong từ trường Nguyên tử hydro trung hòa bao gồ m ha ̣t nhân là mô ̣t proton và mô ̣t electron chuyể n đô ̣ng xung quanh ha ̣t nhân. Trong nguyên tử hydro khi chưa đặt trong từ trường thì lực tác du ̣ng giữa proton và electron chính là lực Coulomb. Go ̣i 𝒓𝒉 ≡ (𝑥ℎ , 𝑦ℎ , 𝑧ℎ ) và 𝒓𝒆 ≡ (𝑥𝑒 , 𝑦𝑒 , 𝑧𝑒 ) lầ n lươ ̣t là vector to ̣a đô ̣ của ha ̣t nhân và electron, 𝑚ℎ và 𝑚𝑒 lầ n lươ ̣t là khố i lươ ̣ng của ha ̣t nhân và electron. z 𝒓𝒆 − 𝒓𝒉 𝒓𝒉 𝒓𝒆 y x Hình 1: Nguyên tử hydro trong hệ tọa độ Descartes. Hamiltonian của nguyên tử hydro đươ ̣c viế t như sau 1 1 1 𝑒2 ̂ ( 𝒓𝒉 , 𝒓𝒆 ) = 𝐻 ̂𝒉 𝟐 + 𝒑 ̂𝒆 𝟐 − 𝒑 , (1.1) 2𝑚ℎ 2𝑚𝑒 4πεε0 |𝒓𝒆 − 𝒓𝒉 | trong đó 𝒑 ̂, 𝒑𝒆 lầ n lươ ̣t là toán tử xung lươ ̣ng của ha ̣t nhân và electron, có dạng 𝒉 ̂ ̂𝒉 = −𝑖ℏ∇𝒓𝒉 , 𝒑 (1.2) ̂𝒆 = −𝑖ℏ∇𝒓𝒆 , 𝒑 (1.3) ∇ là toán tử Nabla, đươ ̣c đinh ̣ nghiã như sau 9
𝜕 𝜕 𝜕 ∇= 𝒊 +𝒋 +𝒌 . (1.4) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Để đưa bài toán về hê ̣ to ̣a đô ̣ khố i tâm, ta sẽ sử du ̣ng hai vector mới như sau 𝒓 = 𝒓𝒆 − 𝒓𝒉 , (1.5) 𝑚 ℎ 𝒓𝒉 + 𝑚 𝑒 𝒓𝒆 (1.6) 𝑹= , 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 trong đó r là vector mô tả chuyể n đô ̣ng tương đố i của electron so với ha ̣t nhân; R là vector to ̣a đô ̣ khố i tâm của nguyên tử hydro. Ta sẽ biế n đổ i sang hệ quy chiếu khố i tâm qua các công thức liên hê ̣ như sau 𝑥 = 𝑥𝑒 − 𝑥ℎ {𝑦 = 𝑦𝑒 − 𝑦ℎ , 𝑧 = 𝑧𝑒 − 𝑧ℎ (1.7) 𝑚ℎ 𝑥ℎ + 𝑚𝑒 𝑥𝑒 𝑋= 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝑚ℎ 𝑦ℎ + 𝑚𝑒 𝑦𝑒 𝑌= , (1.8) 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝑚ℎ 𝑧ℎ + 𝑚𝑒 𝑧𝑒 𝑍= { 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 1 𝑒2 𝑉 ( 𝒓) = − . (1.9) 4πεε0 |𝒓| Các biể u thức đa ̣o hàm riêng phầ n cũng sẽ đươ ̣c biế n đổ i sang hê ̣ quy chiếu khố i tâm, cụ thể là đố i với ha ̣t nhân, ta có 𝜕 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑋 𝜕 𝑚ℎ 𝜕 = + =− + 𝜕𝑥ℎ 𝜕𝑥 𝜕𝑥ℎ 𝜕𝑋 𝜕𝑥ℎ 𝜕𝑥 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝜕𝑋 𝜕 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑌 𝜕 𝑚ℎ 𝜕 = + =− + ; 𝜕𝑦ℎ 𝜕𝑦 𝜕𝑦ℎ 𝜕𝑌 𝜕𝑦ℎ 𝜕𝑦 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝜕𝑌 (1.10) 𝜕 𝜕 𝜕𝑧 𝜕 𝜕𝑍 𝜕 𝑚ℎ 𝜕 = + =− + { 𝜕𝑧ℎ 𝜕𝑧 𝜕𝑧ℎ 𝜕𝑍 𝜕𝑧ℎ 𝜕𝑧 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝜕𝑍 đố i với electron, ta có 10
𝜕 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑋 𝜕 𝑚𝑒 𝜕 = + = + 𝜕𝑥𝑒 𝜕𝑥 𝜕𝑥𝑒 𝜕𝑋 𝜕𝑥𝑒 𝜕𝑥 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝜕𝑋 𝜕 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑌 𝜕 𝑚𝑒 𝜕 = + = + . 𝜕𝑦𝑒 𝜕𝑦 𝜕𝑦𝑒 𝜕𝑌 𝜕𝑦𝑒 𝜕𝑦 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝜕𝑌 (1.11) 𝜕 𝜕 𝜕𝑧 𝜕 𝜕𝑍 𝜕 𝑚𝑒 𝜕 = + = + { 𝜕𝑧𝑒 𝜕𝑧 𝜕𝑧𝑒 𝜕𝑍 𝜕𝑧𝑒 𝜕𝑧 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝜕𝑍 Bây giờ, ta sẽ lần lượt đưa các toán tử động lượng của hạt nhân và electron về hệ quy chiếu khối tâm. Viết toán tử xung lượng của hạt nhân dưới dạng tường minh ta thu được 𝜕 𝜕 𝜕 ̂𝒉 = −𝑖ℏ (𝒊 𝒑 +𝒋 +𝒌 ). 𝜕𝑥ℎ 𝜕𝑦ℎ 𝜕𝑧ℎ Thay (1.10) vào biểu thức trên, ta thu được 𝜕 𝜕 𝜕 𝑚ℎ 𝜕 𝜕 𝜕 ̂𝒉 = −𝑖ℏ [− (𝒊 𝒑 +𝒋 +𝒌 )+( ) (𝒊 +𝒋 + 𝒌 )] 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑚 ℎ + 𝑚𝑒 𝜕𝑋 𝜕𝑌 𝜕𝑍 𝑚ℎ ̂𝒉 = −𝑖ℏ(−∇𝐫 ) + ( ⟹𝒑 ) (−𝑖ℏ∇𝐑 ) 𝑚 ℎ + 𝑚𝑒 𝑚ℎ ̂𝒉 = −𝐩 ⟹𝒑 ̂+( )𝒑 ̂ , (1.12) 𝑚 ℎ + 𝑚𝑒 𝒄 trong đó 𝐩 ̂ = −𝑖ℏ∇𝐫 là toán tử xung lươ ̣ng đă ̣c trưng cho chuyể n đô ̣ng tương đố i giữa electron và ha ̣t nhân ứng với to ̣a đô ̣ (x,y,z); 𝒑 ̂𝒄 = −𝑖ℏ∇𝐑 là toán tử xung lươ ̣ng đă ̣c trưng cho chuyể n đô ̣ng khố i tâm của hê ̣ ứng với to ̣a đô ̣ (X,Y,Z). Thực hiện tương tự các bước biến đổi trên với toán tử động lượng của electron, ta cũng thu được 𝑚𝑒 ̂𝒆 = 𝐩 𝒑 ̂+( )𝒑 ̂ . (1.13) 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝒄 Bây giờ, ta sẽ lầ n lươ ̣t thay các biể u thức toán tử đô ̣ng lươ ̣ng và thế năng trên vào Hamiltonian ban đầ u của nguyên tử hydro. Để đơn giản, ta sẽ xét toán tử đô ̣ng năng của hê ̣ trước 11
1 1 1 𝑚ℎ 2 1 𝑚𝑒 2 𝟐 𝟐 ̂ + 𝒑 ̂ = 𝒑 [−𝐩 ̂+( )𝒑 ̂ ] + [𝐩 ̂+( )𝒑 ̂ ] . 2𝑚ℎ 𝒉 2𝑚𝑒 𝒆 2𝑚ℎ 𝑚ℎ + 𝑚 𝑒 𝒄 2𝑚𝑒 𝑚 ℎ + 𝑚𝑒 𝒄 Thực hiện các phép biến đổi toán học, ta thu được 1 1 1 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝟐 1 1 ̂𝒉 𝟐 + 𝒑 ̂𝒆 𝟐 = ( 𝒑 )𝐩 ̂ + ( ̂𝒄 𝟐 . )𝒑 (1.14) 2𝑚ℎ 2𝑚𝑒 2 𝑚ℎ 𝑚 𝑒 2 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 Đến đây, ta đặt như sau 𝑚ℎ 𝑚𝑒 𝑚= , (1.15) 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝑀 = 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 , (1.16) với 𝑀 là khối lượng của khối tâm, 𝑚 là khối lượng rút gọn của chuyển động tương đối giữa hạt nhân và electron. Khi đó, ta có Hamiltonian của nguyên tử hydro trong hệ quy chiếu khố i tâm như sau −ℏ2 2 −ℏ2 2 1 𝑒2 ̂= 𝐻 ∇𝐑 + ∇𝐫 − . (1.17) 2𝑀 2𝑚 4πεε0 |𝒓| Như vâ ̣y từ (1.17), ta thấ y chuyể n đô ̣ng của nguyên tử hydro khi chưa có từ trường có thể tách ra làm hai chuyể n đô ̣ng: mô ̣t là chuyể n đô ̣ng của mô ̣t ha ̣t có khố i lươ ̣ng rút gọn 𝑚, hai là chuyể n đô ̣ng của khố i tâm có khố i lươ ̣ng 𝑀 [1]. Từ đây, Hamiltonian được tách thành hai thành phần như sau ̂=𝐻 𝐻 ̂𝑐 + 𝐻 ̂𝑟𝑒𝑙 , trong đó ta có −ℏ2 2 ̂𝑐 = 𝐻 ∇ , 2𝑀 𝐑 −ℏ2 2 1 𝑒2 ̂𝑟𝑒𝑙 = 𝐻 ∇ − . 2𝑚 𝐫 4πεε0 |𝒓| Lúc này hàm sóng sẽ có dạng phân ly biến số như sau 12
Ψ(𝑹, 𝒓, 𝒓𝟎 ) = 𝜓(𝑹)𝜙(𝒓, 𝒓𝟎 ). (1.18) ̂ Ψ = 𝐸Ψ, ta có hai phương trình sau Thay vào phương trình Schrodinger 𝐻 −ℏ2 2 ∇ 𝜓(𝑹) = 𝐸𝐶 𝜓(𝑹), (1.19) 2𝑀 𝐑 −ℏ2 2 1 𝑒2 ( ∇ − ) 𝜙(𝒓) = 𝐸𝑟𝑒𝑙 𝜙(𝒓). (1.20) 2𝑚 𝐫 4πεε0 |𝒓| Việc giải phương trình Schrodinger lúc này sẽ đơn giản hơn rất nhiều do hai biến số đã phân ly hoàn toàn. Do khối lượng hạt nhân là proton lớn hơn nhiều (1836 lần) so với khối lượng của electron nên 𝑚 ≈ 𝑚𝑒 , tuy nhiên trong các tính toán chính xác hơn, ta cần tính thêm hiệu ứng khối lượng hạt nhân. Phương trình (1.19) mô tả chuyển động tự do của hạt có khối lượng 𝑀. Vì có sự tách biến giữa hai chuyển động này, khi khảo sát nguyên tử hydro, ta có thể xem như nó đứng yên và chỉ để lại thành phần chuyển động tương đối giữa electron và hạt nhân trong Hamiltonian [1]. 1.2. Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử heli khi chưa đặt trong từ trường Nguyên tử heli bao gồ m ha ̣t nhân là hai proton mang điện tích dương và hai electron mang điện tích âm chuyể n đô ̣ng xung quanh ha ̣t nhân. Lực tác du ̣ng giữa proton ́ h là lực điê ̣n (lực Coulomb). và electron và giữa các electron với nhau chin Go ̣i 𝒓𝒉 ≡ (𝑥ℎ 𝑦ℎ , 𝑧ℎ ) và 𝒓𝒆𝟏 ≡ (𝑥𝑒1 𝑦𝑒1 , 𝑧𝑒1 ), 𝒓𝒆𝟐 ≡ (𝑥𝑒2 𝑦𝑒2 , 𝑧𝑒2 ) lầ n lươ ̣t là vector to ̣a đô ̣ của ha ̣t nhân và electron thứ nhất, thứ hai; 𝑚ℎ và 𝑚𝑒 lầ n lươ ̣t là khố i lươ ̣ng của ha ̣t nhân và electron. 13
z 𝒓 𝒆𝟏 − 𝒓 𝒉 𝑒1 𝒓𝒉 𝒓 𝒆𝟏 𝒓 𝒆𝟐 − 𝒓 𝒆𝟏 𝒓 𝒆𝟐 − 𝒓 𝒉 O y 𝒓 𝒆𝟐 x 𝑒2 Hình 2: Nguyên tử heli trong hệ tọa độ Descartes. Hamiltonian của nguyên tử heli đươ ̣c viế t như sau 1 1 1 ̂= 𝐻 ̂𝒉 𝟐 + 𝒑 𝒑̂ 𝟐 𝒆𝟏 + 𝒑̂ 𝟐 ̂ 𝒆𝟐 + 𝑉 , (1.21) 2𝑚ℎ 2𝑚𝑒 2𝑚𝑒 trong đó 𝑉̂ (𝒓𝒉 , 𝒓𝒆𝟏 , 𝒓𝒆𝟐 ) là toán tử thế năng (có thể coi là hàm thế năng). Hàm thế năng là hàm thế năng tương tác Coulomb giữa từng electron với ha ̣t nhân và giữa các electron với nhau được viết như sau 1 2𝑒 2 2𝑒 2 𝑒2 𝑉= (− − + ), (1.22) 4πεε0 |𝒓𝒆𝟏 − 𝒓𝒉 | |𝒓𝒆𝟐 − 𝒓𝒉 | |𝒓𝒆𝟐 − 𝒓𝒆𝟏 | ̂, 𝒑 ̂𝒆𝟏 , 𝒑̂𝒆𝟐 lầ n lươ ̣t là toán tử xung lươ ̣ng của ha ̣t nhân và từng electron. 𝒉 𝒑 Để đưa bài toán về hê ̣ to ̣a đô ̣ khố i tâm, ta sẽ sử du ̣ng các vector mới như sau 1 𝒓= (𝒓 + 𝒓𝒆𝟐 ) − 𝒓𝒉 , (1.23) 2 𝒆𝟏 𝒓𝟎 = 𝒓𝒆𝟐 − 𝒓𝒆𝟏 , (1.24) 𝑚ℎ 𝒓𝒉 + 𝑚𝑒 𝒓𝒆𝟏 + 𝑚𝑒 𝒓𝒆𝟐 𝑹= . (1.25) 𝑚ℎ + 2𝑚𝑒 14
Trong bài toán hydro, do chỉ có mô ̣t ha ̣t nhân và mô ̣t electron nên khi chuyể n về hê ̣ khố i tâm, ta chỉ xét hai vector (mô ̣t thành phầ n chuyể n đô ̣ng tương đố i giữa electron với ha ̣t nhân và mô ̣t thành phầ n chuyể n đô ̣ng của khố i tâm). Đố i với bài toán heli, do cũng có mô ̣t ha ̣t nhân nhưng có đế n hai electron nên viê ̣c chuyể n về hê ̣ khố i tâm sẽ phức ta ̣p hơn, nghiã là ta phải xét đế n ba vector bao gồm 𝒓 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) là vector mô tả chuyể n đô ̣ng tương đố i của hai electron so với ha ̣t nhân, 𝒓𝟎 = (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) là vector mô tả chuyể n đô ̣ng tương đố i của hai electron so với nhau, 𝑹 = (𝑋, 𝑌, 𝑍) là vector mô tả chuyể n đô ̣ng của khố i tâm. Sau đó, từ (1.23), (1.24) và (1.25), ta cũng sẽ tiế n hành biế n đổ i từ hê ̣ to ̣a đô ̣ Descartes sang hê ̣ to ̣a đô ̣ khố i tâm tương tự như bài toán hydro. Cụ thể ta có 𝜕 𝜕 𝜕𝒓𝟎 𝜕 𝜕𝒓 𝜕 𝜕𝑹 𝜕 1 𝜕 𝑚𝑒 𝜕 = + + =− + + , (1.26) 𝜕𝒓𝒆𝟏 𝜕𝒓𝟎 𝜕𝒓𝒆𝟏 𝜕𝒓 𝜕𝒓𝒆𝟏 𝜕𝑹 𝜕𝒓𝒆𝟏 𝜕𝒓𝟎 2 𝜕𝒓 𝑚ℎ + 2𝑚𝑒 𝜕𝑹 𝜕 𝜕 𝜕𝒓𝟎 𝜕 𝜕𝒓 𝜕 𝜕𝑹 𝜕 1 𝜕 𝑚𝑒 𝜕 = + + = + + , (1.27) 𝜕𝒓𝒆𝟐 𝜕𝒓𝟎 𝜕𝒓𝒆𝟐 𝜕𝒓 𝜕𝒓𝒆𝟐 𝜕𝑹 𝜕𝒓𝒆𝟐 𝜕𝒓𝟎 2 𝜕𝒓 𝑚ℎ + 2𝑚𝑒 𝜕𝑹 𝜕 𝜕 𝜕𝒓𝟎 𝜕 𝜕𝒓 𝜕 𝜕𝑹 𝜕 𝑚ℎ 𝜕 = + + =− + . (1.28) 𝜕𝒓𝒉 𝜕𝒓𝟎 𝜕𝒓𝒉 𝜕𝒓 𝜕𝒓𝒉 𝜕𝑹 𝜕𝒓𝒉 𝜕𝒓 𝑚ℎ + 2𝑚𝑒 𝜕𝑹 Từ kết quả trên, ta sẽ biế n đổ i toán tử đô ̣ng lươ ̣ng từ hê ̣ to ̣a đô ̣ Descartes qua hê ̣ to ̣a đô ̣ khố i tâm như sau 𝑚ℎ ̂𝒉 = −𝒑 𝒑 ̂+ ̂, 𝒑 (1.29) 𝑚ℎ + 2𝑚𝑒 𝒄 1 𝑚𝑒 𝒑̂ ̂𝟎 + 𝒑 𝒆𝟏 = −𝒑 ̂+ ̂, 𝒑 (1.30) 2 𝑚ℎ + 2𝑚𝑒 𝒄 𝜕 1 𝑚𝑒 𝒑̂ 𝒆𝟐 = 𝑖ℏ ̂𝟎 + 𝒑 =𝒑 ̂+ ̂, 𝒑 (1.31) 𝜕𝒓𝒆𝟐 2 𝑚ℎ + 2𝑚𝑒 𝒄 trong đó 𝐩 ̂ = −𝑖ℏ∇𝐫 là toán tử xung lươ ̣ng đă ̣c trưng cho chuyể n đô ̣ng tương đố i giữa hai electron với nhau trong to ̣a đô ̣ (x,y,z), 15
̂𝟎 = −𝑖ℏ∇𝐫𝟎 là toán tử xung lươ ̣ng đă ̣c trưng cho chuyể n đô ̣ng tương đố i giữa hai 𝒑 electron với ha ̣t nhân trong to ̣a đô ̣ (x0,y0,z0), ̂𝒄 = −𝑖ℏ∇𝐑 là toán tử xung lươ ̣ng đă ̣c trưng cho chuyể n đô ̣ng khố i tâm của hê ̣ ứng với 𝒑 to ̣a đô ̣ (X,Y,Z). Thay (1.29), (1.30), (1.31) vào (1.21), ta có 1 1 𝑚ℎ 2 ̂𝒉 𝟐 = 𝒑 (−𝒑 ̂+ ̂) 𝒑 2𝑚ℎ 2𝑚ℎ 𝑚ℎ + 2𝑚𝑒 𝒄 2 1 𝟐 1 1 𝑚𝑒 𝒑̂ = (−𝒑 ̂𝟎 + 𝒑̂+ ̂) 𝒑 2𝑚𝑒 𝒆𝟏 2𝑚𝑒 2 𝑚ℎ + 2𝑚𝑒 𝒄 2 1 𝟐 1 1 𝑚𝑒 𝒑̂ = (𝒑 ̂+ 𝒑̂+ ̂) . 𝒑 2𝑚𝑒 𝒆𝟐 2𝑚𝑒 𝟎 2 𝑚ℎ + 2𝑚𝑒 𝒄 Khai triển các biểu thức trên và thu gọn, ta thu được Hamiltonian của heli như sau 1 1 1 1 ̂= 𝐻 ̂𝒄 𝟐 + 𝒑 ̂𝟎 𝟐 + ( 𝒑 + ̂𝟐 )𝒑 2(𝑚ℎ + 2𝑚𝑒 ) 𝑚𝑒 2𝑚ℎ 4𝑚𝑒 (1.32) 1 2𝑒 2 2𝑒 2 𝑒2 + (− 𝒓 − 𝒓 + ). 4πεε0 |− 𝟎 + 𝒓| | 𝟎 + 𝒓| |𝒓𝟎 | 2 2 Đến đây, ta đặt như sau 2𝑚𝑒 𝑚ℎ 𝑚= , (1.33) 2𝑚𝑒 + 𝑚ℎ 𝑀 = 𝑚ℎ + 2𝑚𝑒 . (1.34) Khi đó, thay (1.31), (1.32) và (1.20) vào (1.30), Hamiltonian của bài toán nguyên tử heli trung hòa trong trường xuyên tâm có da ̣ng như sau −ℏ2 2 −ℏ2 2 −ℏ2 2 1 2𝑒 2 2𝑒 2 𝑒2 ̂= 𝐻 ∇ + ∇ + ∇ + (− 𝒓 − 𝒓 + ). (1.35) 2𝑀 𝐑 𝑚𝑒 𝐫𝟎 2𝑚 𝐫 4πεε0 |− 𝟎 + 𝒓| | 𝟎 + 𝒓| |𝒓𝟎 | 2 2 16
Khác với bài toán hydro, do nguyên tử heli có 2 electron tương tác với hạt nhân và còn tương tác với nhau nên ngoài hai chuyển động của một khối tâm có khối lượng 𝑀, một hạt có khối lượng rút gọn 𝑚 đặc trưng cho chuyển động tương đối của electron với hạt nhân, Hamiltonian còn xuất hiện một toán tử đặc trưng cho chuyển động tương đối của 2 electron với nhau. Từ đây, Hamiltonian được tách thành hai thành phần như sau ̂=𝐻 𝐻 ̂𝑐 + 𝐻 ̂𝑟𝑒𝑙 , trong đó ta có −ℏ2 2 ̂𝑐 = 𝐻 ∇ , 2𝑀 𝐑 −ℏ2 2 −ℏ2 2 1 2𝑒 2 2𝑒 2 𝑒2 ̂𝑟𝑒𝑙 = 𝐻 ∇𝐫𝟎 + ∇𝐫 + (− 𝒓 − 𝒓 + ). 𝑚𝑒 2𝑚 4πεε0 𝟎 𝟎 |− + 𝒓| | + 𝒓| |𝒓 𝟎 | 2 2 Tương tự như nguyên tử hydro, sau khi thế vào phương trình Schrodinger, ta cũng thu được hai phương trình như sau −ℏ2 2 ∇ 𝜓(𝑹) = 𝐸𝐶 𝜓(𝑹), (1.36) 2𝑀 𝐑 −ℏ2 2 −ℏ2 2 1 2𝑒 2 2𝑒 2 𝑒2 [ ∇ + ∇ + (− 𝒓 − 𝒓 + )] 𝜙(𝒓, 𝒓𝟎 ) 𝑚𝑒 𝐫𝟎 2𝑚 𝐫 4πεε0 |− 𝟎 + 𝒓| | 𝟎 + 𝒓| |𝒓𝟎 | (1.37) 2 2 = 𝐸𝑟𝑒𝑙 𝜙(𝒓, 𝒓𝟎 ). Do 𝑚ℎ ≫ 𝑚𝑒 nên có thể xem 𝑚 ≈ 𝑚𝑒 . Tuy nhiên trong một số tính toán khác, đặc biệt là trong bài toán exciton trong bán dẫn hai chiều, ta vẫn phải xét đến hiệu ứng khối lượng lỗ trống do lúc này khối lượng của lỗ trống xấp xỉ bằng khối lượng của electron. 17
CHƯƠNG 2: TÁCH KHỐI TÂM TRONG CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA TRONG TỪ TRƯỜNG 2.1. Ảnh hưởng của từ trường lên một hạt mang điện chuyển động Để mô tả từ trường, người ta dùng vector từ trường 𝑩. Ý nghĩa vật lý của vector này liên quan đến lực Lorentz tác dụng lên điện tích 𝑞 khi nó đặt trong từ trường. Khi một điện tích chuyển động trong vùng không gian có từ trường, điện tích đó sẽ bị chịu tác dụng bởi lực Lorentz có dạng [1] 𝑭 = 𝑞 (𝒗 × 𝑩). (2.1) Ngoài cách mô tả từ trường theo cách tiếp cận lực như trên, người ta còn sử dụng cách mô tả theo tiếp cận năng lượng bằng cách sử dụng thế điện động lực bao gồm thế vector 𝑨 (ngoài ra còn có thế vô hướng 𝜑 nhưng trong trường hợp này ta chỉ xét từ trường mà không có điện trường nên không xét đến thế vô hướng). Hai cách tiếp cận đều tương đương nhau. Điều đó được thể hiện qua hệ thức 𝑩 = ∇ × 𝑨. (2.2) Như vậy, nếu biết thế vector 𝑨 thì ta có thể suy ra vector 𝑩. Tuy nhiên, từ vector từ trường ta không thể suy ra thế vector một cách đơn trị do phương trình 𝑩 = ∇ × 𝑨 thuộc dạng vi phân. Khi xây dựng phương trình ngược, thuộc dạng tích phân, sẽ xuất hiện các hằng số tùy ý. Do vậy, ta cần chọn một định chuẩn để áp đặt lên thế điện động. Theo Avron et. al (1978), sử dụng định chuẩn Lorentz [3], thế vector có dạng 𝟏 𝑨= 𝑩 × 𝒓. (2.3) 𝟐 Xét một hạt mang điện 𝑞 chuyển động trong từ trường. Để xem xét ảnh hưởng của từ trường lên hạt này, ta sẽ viết Hamiltonian của nó trong từ trường để xem có gì khác biệt so với khi không có từ trường hay không. Thật vậy, trước tiên ta sẽ viết Hamiltonian 18
cho hệ, sau đó chuyển thành Hamiltonian theo tiên đề tương ứng giữa toán tử và đại lượng vật lý. Ta bắt đầu bằng phương trình chuyển động Lagrange như sau 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 ( )− = 0, (2.4) 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑗̇ 𝜕𝑞𝑗 với 𝑗 = 1,2,3, …, hàm Lagrange cho hạt mang điện 𝑞 chuyển động trong từ trường có dạng 1 𝐿= 𝑚𝑣 2 + 𝑞𝒗. 𝑨, (2.5) 2 ở đây, ta có 𝑞1 ≡ 𝑥, 𝑞2 ≡ 𝑦, 𝑞3 ≡ 𝑧, 𝑞1̇ ≡ 𝑣𝑥 , 𝑞2̇ ≡ 𝑣𝑦 , 𝑞3̇ ≡ 𝑣𝑧 . Đem hàm Lagrange với kí hiệu như trên thế vào phương trình chuyển động Lagrange (2.5), ta dễ dàng thu được (2.1). Từ đây ta sẽ sử dụng hàm Lagrange cho các tính toán cần thiết. Xung lượng suy rộng cho hệ được tính từ công thức 𝜕𝐿 𝑝𝑗 = (2.6) 𝜕𝑞𝑗̇ ⟹ 𝒑 = 𝑚𝒗 + 𝑞𝑨. (2.7) Biểu thức (2.7) cho ta ý nghĩa vật lý của thế vector 𝑨. Nó chính là phần xung lượng của từ trường đóng góp vào xung lượng của một đơn vị điện tích chuyển động trong từ trường. Đây chính là sự khác biệt về toán tử xung lượng của hạt mang điện khi ở trong từ trường so với khi không có từ trường. Hàm Hamilton của hệ được tính từ công thức 19
3 𝐻 = ∑ 𝑝𝑗 𝑞𝑗̇ − 𝐿. (2.8) 𝑗=1 Thay (2.5), (2.7) vào (2.8) ta có 1 𝐻 = 𝑚𝒗𝟐 + 𝑞𝒗. 𝑨 − ( 𝑚𝒗𝟐 + 𝑞𝒗. 𝑨). 2 Biến đổi biểu thức trên, ta thu được 1 𝐻= 𝑚𝒗𝟐 . 2 (2.9) Từ (2.7) suy ra 𝒑 − 𝑞𝑨 𝒗= . (2.10) 𝑚 Thay (2.10) vào (2.9), ta suy ra Hamiltonian của một hạt mang điện chuyển động trong từ trường có dạng như sau 1 ̂= 𝐻 ̂ − 𝑞𝑨)2 . (𝒑 (2.11) 2𝑚 Kết quả này khác với Hamiltonian của một hạt mang điện khi không có từ trường: 1 2 ̂= 𝐻 ̂ . 𝒑 (2.12) 2𝑚 Ở các bài toán dưới đây, ta sẽ sử dụng Hamiltonian cho hạt chuyển động trong từ trường để giải và đưa Hamiltonian về hệ khối tâm. 2.2. Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử hydro trung hòa trong từ trường Go ̣i rh  ( xh , yh , zh ) và re  ( xe , ye , ze ) lầ n lươ ̣t là vector to ̣a đô ̣ của ha ̣t nhân và electron, 𝑚ℎ và 𝑚𝑒 lầ n lươ ̣t là khố i lươ ̣ng của ha ̣t nhân và electron. 20