Kinh tế lượng cơ sở - Bài 3

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

198
lượt xem 100
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo Kinh tế lượng cơ sơ dùng học cao học khoa toán kinh tế , Tài liệu này là bài số 3 giới thiệu về Mô hình hồi qui bội

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Kinh tế lượng cơ sở - Bài 3

Bài 3. MÔ HÌNH HỒI QUI bội (Multiple regression) 1. Mô hình hồi qui 3 biến. 1.1. Mô hình: Mô hình hồi qui trong đó biến phụ thuộc Y phụ thuộc vào 2 biến giải thích X2, X3 có dạng PRF: E(Y/ X2i, X3i) = β1 + β2 X2i + β3X3i (1) Đồ thị là một mặt phẳng PRM: Yi = β1 + β2X2i + β3X3i + ui trong đó: β1 gọi là hệ số chặn ( intercept) βj ( j = 2,3) gọi là hệ số góc riêng phần ( partial slope) Giả sử mọi giả thiết của OLS đều thoả mãn, lúc đó với mẫu kích thước n được lập từ tổng thể sẽ xác định được: ˆ ˆ ˆ ˆ SRF: Yi = β1 + β2 X2i + β3 X3i (2) ˆ ˆ ˆ SRM: Yi = β 1 + β 2X2i + β 3X3i + ei n n ˆ ∑ (Yi − Yˆi ) 2 =∑ ei → min 2 Tìm β j ( j = 1,3) sao cho Q= i =1 i =1 ⇒ ˆ ∂Q/∂ β 1 = 0 ˆ ∂Q/∂ β 2 = 0 ˆ ∂Q/∂ β 3 = 0 ⇒ ˆ β 1n ˆ + β 2∑X2i ˆ + β 3∑X3i = ∑Yi ˆ ˆ β 1∑X2i + β 2∑X2i2 ˆ + β 3∑X2iX3i = ∑X2iYi ˆ ˆ ˆ β 1∑X3i + β 2∑X2Ü X3i + β 3∑X3i2 = ∑X3iYi Ký hiệu: Y = (∑Yi)/n X = (∑X2i)/n 2 X = (∑X3i)/n 3 yi = Yi – Y x2i = X2i – X 2 x3i = X3i – X 3
⇒ ˆ β1 = ˆ Y - β 2X ˆ - β 3X 3 2 ∑x2iyi∑x3i2 - ∑x3iyi∑x2i x3i ˆ β 2 = ------------------------------------ ∑x2i2∑x3i2 – (∑x2i x3i)2 ∑x3iyi∑x2i2 - ∑x2iyi∑x2i x3i ˆ β 3 = ------------------------------------ ∑x2i2∑x3i2 – (∑x2i x3i)2 ˆ ˆ ˆ ⇒ yi = β 2 x2i + β3 x3i → Hàm hồi quy mẫu đi qua gốc toạ độ. 1.2. Các tham số của các ước lượng OLS. ˆ E( β ) = β j = 1,3 j j ˆ 1) = ⎡1 + X 2 ∑ x3i + X 3 ∑ x2i − 2 X 2 X 3 ∑ x2i x3i ⎤ σ2 2 2 2 2 Var( β ⎢ ⎥ ⎣n 2 2 ∑x ∑x 2i 2 3i − ( ∑ x 2 i x 3i ) ⎥ ⎦ ˆ Var( β 2) = ∑x 2 3i σ2 = σ2 ∑ x ∑ x − (∑ x x ) 2 2i 2 3i ∑ x (1 − r ) 2i 3i 2 2 2i 2 23 ˆ Var( β3 ) = ∑x 2 2i σ2 = σ 2 ∑ x ∑ x − (∑ x x ) 2 2i 2 3i ∑ x (1 − r )2i 3i 2 2 3i 2 23 ˆ Se( β j ) = ˆ var( β j ) trong đó σ 2 ≈ σ 2 = RSS ˆ n−3 ˆ ˆ − r23σ 2 Cov( β 2 β 3 ) = (1 − r23 ) x2i x3i 2 2 2
1.3. Hệ số xác định bội R2 ESS RSS 2 R = --------- = 1 - -------- TSS TSS Với mô hình ba biến: β 2 ∑ x2i yi + β 3 ∑ x3i yi ˆ ˆ R2 = ∑ yi2 1.4. Hệ số tương quan. a. Hệ số tuơng quan bội R: Là căn bậc hai của hệ số xác định bội và đo mức độ tương quan tuyến tính chung giữa Y, X2 và X3. b. Hệ số tương quan cặp rij: Đo mức độ tương quan tuyến tính giữa biến i và biến j của mô hình. 2 (∑ x 2 i y i ) 2 r = 12 ∑x ∑y 2 2i 2 i 2 (∑x y )3i i 2 r = 13 ∑x ∑ y 2 3i 2 i 2 (∑ x x ) 2i 3i 2 r = 23 ∑x ∑x 2 2i 2 3i c. Hệ số tương quan riêng phần rij , k : Đo mức độ tương quan tuyến tính giữa biến i và biến j của mô hình với điều kiện biến k không đổi. r12 − r13 r23 r12,3 = (1 − r13 )(1 − r23 ) 2 2 r13 − r12 r23 r13,2 = (1 − r12 ) (1 − r23 ) 2 2 r23 − r12 r13 r23,1 = (1 − r12 )(1 − r13 ) 2 2
Ví dụ: Bảng sau đây cho Tỷ lệ lạm phát Y(%), Tỷ lệ thất nghiệp X2(%) và Tỷ lệ lạm phát kỳ vọng X3(%) của Mỹ giai đoạn 1970- 1982: Năm Y X2 X3 1970 5.92 4.9 4.78 1971 4.30 5.9 3.84 1972 3.30 5.6 3.13 1973 6.23 4.9 3.44 1974 10.97 5.6 6.84 1975 9.14 8.5 9.47 1976 5.77 7.7 6.51 1977 6.45 7.1 5.92 1978 7.60 6.1 6.08 1979 11.47 5.8 8.09 1980 13.46 7.1 10.01 1981 10.24 7.6 10.81 1982 5.99 9.7 8.00 a. Hồi quy Y với X2 và cho nhận xét. Yt = õ1+ õ2*X2 + ut: õ2 < 0 do LP và TN là nghịch biến. Kết quả do õ2>0 mô hìn sai. b. Hồi quy Y với X2 và X3 và so sánh với kết quả thu được ở phần a. c. Hãy phân tích kết quả thu được ở mô hình 3 biến. Yt = õ1+ õ2*X2 + õ3*X3 + ut: õ2 < 0 do LP và TN là nghịch biến. Kết quả õ2 < 0 và õ3>0 (Tỷ lệ TN tỷ lệ thuận với LP kỳ vọng) vậy thêm mô hình thêm biến X3 là phù hợp hơn. Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 02/17/09 Time: 09:40 Sample: 1970 1982 Included observations: 13 Variable Coefficie Std. Error t-Statistic Prob. nt C 6.127172 4.285283 1.429817 0.1806 X2 0.244934 0.630456 0.388502 0.7051 R-squared 0.013536 Mean dependent 7.75692 var 3 Adjusted R- - S.D. dependent var 3.04189 squared 0.076143 2
S.E. of regression 3.155577 Akaike info 5.27685 criterion 8 Sum squared resid 109.5343 Schwarz criterion 5.36377 3 Log likelihood - F-statistic 0.15093 32.29958 4 Durbin-Watson 0.969568 Prob(F-statistic) 0.70505 stat 8 Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 02/17/09 Time: 09:35 Sample: 1970 1982 Included observations: 13 Variable Coefficie Std. Error t-Statistic Prob. nt C 7.193357 1.594789 4.510538 0.0011 X2 - 0.305018 -4.565214 0.0010 1.392472 X3 1.470032 0.175786 8.362633 0.0000 R-squared 0.876590 Mean dependent 7.75692 var 3 Adjusted R- 0.851907 S.D. dependent var 3.04189 squared 2 S.E. of regression 1.170605 Akaike info 3.35209 criterion 2 Sum squared resid 13.70316 Schwarz criterion 3.48246 5 Log likelihood - F-statistic 35.5152 18.78860 1 Durbin-Watson 2.225465 Prob(F-statistic) 0.00002 stat 9
2. Mô hình hồi quy tổng quát k biến - Dạng ma trận của mô hình 2.1. Mô hình Mô hình hồi qui trong đó biến phụ thuộc Y phụ thuộc vào k – 1 biến giải thích X2, .. ,Xk có dạng PRF: E(Yi) = β1 + β2 X2i + β3X3i + … + βkXki (1) PRM: Yi = β1 + β2 X2i + β3X3i + … + βkXki + ui (2) trong đó: β1 gọi là hệ số chặn βj ( j=2,k) gọi là các hệ số góc riêng phần Với mẫu W = {(X2i, X3i,…,Xki, Yi); i = 1÷ n}, SRF: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Yi = β1 + β2 X2i + β3 X3i + … + βk Xki (3) SRM: ˆ ˆ ˆ ˆ Yi = β1 + β2 X2i + β3 X3i + … + βk Xki + ei (4) 2.2. Dạng ma trận Y1 = β1 + β2 X21 + …+ βkXk1 + u1 ⎛ Y1 ⎞ ⎛ 1 X 21 ... X k1 ⎞ ⎛ u ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ β1 ⎞ ⎜ Y2 = β1 + β2 X22 + …+ βkXk2 + u2 ⎜ Y2 ⎟ ⎜ 1 X 22 ... X k2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ u ⎜ ... ⎟ = ⎜ ... ⎜ β2 ⎟ … ⇔ ... ... ... ⎟ × ⎜ ⎟ + ⎜ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ... ⎜ Yn-1= β1 + β2 X2n-1+ + βkXkn-1+ un-1 ⎜ Yn−1 ⎟ ⎜ 1 X 2 n−1 ... X kn−1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ u ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ βk ⎠ ⎜ Yn = β1 + β2 X2n + …+ βkXkn+ un ⎝ Yn ⎠ ⎝ 1 X 2 n ... X kn ⎠ ⎝u → Y(n×1) = X(n×k) × β(k×1) + U(n×1) Y = X×β + U → E(Y) = Xβ ˆ ⎛ Y1 ⎞ ˆ ⎛ e1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ β1 ⎞ ⎜ ⎟ ˆ ⎜ Y2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ e2 ⎟ ˆ Tương tự, đặt Y ⎜ ⎟ ˆ ⎜β ⎟ ˆ = ⎜ ... ⎟ ; β= ⎜ 2 ⎟ ; e = ⎜ ... ⎟ , th× ˆ Y ˆ = Xβ ⎜ ⎟ ⎜Yn−1 ⎟ ˆ ⎜ ... ⎟ ⎜ en−1 ⎟ ⎜β ⎟ ˆ ˆ Y = Xβ + e ⎜ ˆ ⎟ ⎜Y ⎟ ⎝ k⎠ ⎜e ⎟ ⎝ n ⎠ ⎝ n⎠
2.3. Phương pháp bình phương nhỏ nhất n ˆ Tìm β sao cho ∑ei =1 2 i = e’e → min ⇔ ˆ ˆ ˆ (Y - X β)’ (Y - X β) → min ⇔ X’X β = X’Y ˆ Nếu tồn tại (X’X)-1 thì β= (X’X)-1X’Y ˆ Khi đó β= (X’X)-1X’Y là ước lượng tuyến tính không chệch tốt nhất của β 2.4. Các tham số của ước lượng ˆ Kì vọng : E( β) = β Phương sai – hiệp phương sai ⎛ Var( β1 ) ˆ ˆ ˆ Cov( β1 , β 2 ) ˆ ˆ ... Cov( β1 , β k ) ⎞ ⎜ ⎟ ˆ ˆ ⎜ Cov( β 2 , β1 ) ˆ Var( β 2 ) ˆ ˆ ... Cov( β 2 , β k ) ⎟ ˆ Cov( β) = ⎜ ⎟ = ⎜ ... ... ... ... ⎟ ⎜ Cov( β , β ) Cov( β , β ) ˆ ˆ ˆ ˆ ... Var( β k ) ⎟ ˆ ⎝ k 1 k 2 ⎠ σ2(X’X)-1 Với σ2 được ước lượng bởi σ 2 = e' e ˆ n−k 2.5. Sự phù hợp của hàm hồi qui : Hệ số xác định béi: R2 = ESS = 1 - RSS Đánh giá sự phù hợp của hàm hồi qui TSS TSS Cho biết tỉ lệ sự biến động của biến phụ thuộc được giải thích bởi tất cả các biến giải thích có trong mô hình. R2 có các tính chất sau: + 0 ≤ R2 ≤ 1.
Tính chất này dùng để đánh giá mức độ thích hợp của hàm hồi quy. + Giá trị của R2 đồng biến với số biến giải thích của mô hình. Tuy nhiên không thể lấy điều đó để xem xét việc đưa thêm biến giải thích vào mô hình. KHông thể quyết định đưa thêm biến vào đúng hay sai. Phải tính thêm 2.6 2.6. Hệ số xác định bội hiÖu chỉnh. ⎯R2 = 1 – (1 – R2) n − 1 n−k 2 R có các tính chất sau: + R 2 có thể nhận giá trị âm.(khi nào R2 nhận giá trị âm?) + Khi số biến giải thích của mô hình tăng lên thì R 2 tăng chậm hơn R2. ⎯ R 2 ≤ R2 ≤ 1 Tính chất này được dùng làm căn cứ xem xét việc đưa thêm biến giải thích vào 2 mô hình. Khi đưa thêm biến vào mô hình mà R còn tăng hoặc khi giá trị t của kiểm định về sự bằng không của hệ số hồi quy tương ứng với biến đưa thêm còn lớn hơn 1 thì việc đưa thêm biến còn hợp lý. 2.7. Hệ số tương quan. a. Hệ số tương quan bội R. b. Hệ số tương quan cặp rij (i,j = 1, k ) Các hệ số tương quan cặp thường được cho trong ma trận sau: ⎛1....r12 ....r13 ........r1k ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ r21 ..1.....r23 ........r2 k ⎟ rij = ⎜ ⎟ ...... ⎜ ⎟ ⎜ r ..r ...r .......1 ⎟ ⎝ k1 k 2 k 3 ⎠ rij = rji(i,j = 1,k) c. Hệ số tương quan riêng phần r12,34. . . k . . . rk-1k,12 . . . k-2 rk-1k,12 . . . k-2 : : Biểu thị sự tương quan giữa biến Xk-1,Xk trong12 . . . k-2 → Các hệ số tương quan cặp được gọi là hệ số tương quan riêng phần bậc 0.
3. Suy diễn thống kê. 3.1. Ước lượng khoảng i. Khoảng tin cậy cho từng hệ số ˆ ˆ ˆ ˆ β j – Se( β j )tα2(n – k) < βj < β j + Se( β j )tα1(n – k) (j = 1, k ) → Khoảng tin cậy đối xứng, bên phải, bên trái. ii. Khoảng tin cậy cho hai hệ số ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( βi ± β j ) – Se( βi ± β j )tα2(n – k) < βi ± βj tα / 2 ⎪H1 : β j ≠ β j * ⎩
⎧H0 : β j = β * ⎪ ˆ βj −β* j j ( n−k ) ⎨ Tqs = Tqs > tα ⎪H1 : β j > β j ˆ * ⎩ Se( β j ) ⎧H0 : β j = β * ⎪ j ( n−k ) ⎨ Tqs < – tα ⎪H1 : β j < β j * ⎩ ⎧H 0 : β i ± β j = a ˆ ˆ βi ± β j − a ( n−k ) ⎨ Tqs = ⏐Tqs⏐> tα / 2 ⎩H1 : β i ± β j ≠ a ˆ ˆ Se(βi ± β j ) b. Kiểm định χ2: Đối với σ2 việc kiểm định cũng tiến hành tương tự với tiêu chuẩn kiểm định: (n − k )σ 2 ˆ χ=2 σ 02 4. Kiểm định sự phù hợp của hàm hồi qui ⎧H 0 : R 2 = 0 ⎧H : β = ... = β = 0 Tất cả các biến giải thích không giải thích cho Y ⎨ ⇔ ⎨ 0 2 k ⎩H1 : R ≠ 0 ⎩ H 1 : ∃β j ≠ 0 : ( j ≠ 1) 2 Ít nhất một biến giải thích có giải thích cho Y ESS /(k − 1) R 2 /(k − 1) Fqs = = RSS /(n − k ) 1 − R 2 /(n − k ) Fqs > Fα(k - 1; n - k) thì bác bỏ H0 : hàm hồi qui là phù hợp. Tất cả các kiểm định trên cũng đều có thể tiến hành bằng phương pháp P-value. ˆ Ví dụ: Với tệp số liệu đã cho, hãy tìm các ước lượng β bằng phương pháp ma trận và các tham số tương ứng của mô hình. Hãy tiến hành các ước lượng và kiểm định cần thiết. 5. Kiểm định thu hẹp hồi qui (Kiểm định Wald): 5.1. Thủ tục: Xét mô hình: E(Y/X2,..,Xk - m,..,Xk ) = β1 + β2X2 + … + βkXk (UR)
Nghi ngờ m biến giải thích Xk-m+1,…, Xk không giải thích cho Y ⎧ H 0 : β k − m +1 = β k − m + 2 ... = β k = 0 Tất cả m biến giải thích không giải thích cho Y ⎨ ⎩H 1 : ∃β j ≠ 0 : ( j = k − m + 1 ÷ k ) Ít nhất một biến giải thích có giải thích cho Y Nếu giả thuyết H0 là đúng thì mô hình trở thành: E(Y/X2,…, Xk - m) = β1 + β2X2 + … + βk-mXk - m (R) Tiêu chuẩn kiểm định: (RSSr− RSSur / m ) ( Rur − Rñ ) / m 2 2 Fqs = = RSSur/(n − k) (1 − Rur ) /(n − k ) 2 Nếu Fqs > Fα(m, n – k) bác bỏ H0 - Trường hợp m = 1: Fqs = (Tqs)2 với Tqs ứng với hệ số duy nhất cần kiểm định. - Trường hợp m = k – 1 : Fqs trong kiểm định thu hẹp chính là Fqs trong kiểm định sự phù hợp. - Kiểm định thu hẹp hồi qui còn dùng cho những trường hợp khác. Ví dụ: Với tệp số liệu ch3bt5 hãy ước lượng hàm cầu về thịt lợn phụ thuộc vào giá và thu nhập theo dạng tuyến tính và tuyến tính lôga và cho nhận xét. Có thể bỏ được biến nào ra khỏi mô hình hay không? 5.2. Các dạng thu hẹp hồi qui Ví dụ Yi = β1 + β2X2i + β3X3i + ui (UR) H0: β3 = 1; H1: β3 ≠ 1. H0 đúng ⇒ Yi = β1 + β2X2i + X3i + ui ⇔Yi – X3i = β1 + β2X2i + ui ⇔ Yi* = β1 + β2X2i + ui (R) H0: β2 = β3; H1: β2 ≠ β3. H0 đúng ⇒ Yi = β1 + β2X2i + β2X3i + ui ⇔ Yi = β1 + β2(X2i +X3i) + ui ⇔Yi = β1 + β2Xi* + ui (R) H0: β2 + β3 = a; H1: β2 + β3 ≠ a
H0 đúng ⇒ Yi = β1 + β2X2i + (a – β2)X3i + ui ⇔ Yi– aX3i = β1 + β2(X2i–X3i) + ui ⇔ Yi*= β1+ β2Xi*+ ui (R) 6. Dự báo. 6.1. Dự báo giá trị trung bình ˆ ˆ ˆ ˆ Y0 – Se( Y0 )tα2(n – k) < E(Y/X0) < Y0 + Se( Y0 )tα1(n – k) ˆ ˆ Với Y0 = X0’ β và ˆ Se( Y0 ) = σ X 0 ' (X' X) −1 X 0 ˆ 6.2. Dự báo giá trị cá biệt ˆ ˆ Y0 – Se(Y0)tα2(n – k) < Y0 < Y0 + Se(Y0) tα1(n – k) Với Se(Y0) = σ 1 + X 0 ' (X' X) −1 X 0 ˆ 7. Một số mô hình Kinh tế 7.1. Hàm thu nhập – chi tiêu Yi : Thu nhập Ci : Chi tiêu Ci = β1 + β2Yi + ui - C là chi tiêu cho tiêu dùng : β1 > 0; 1 > β2 > 0 - C là chi tiêu cho hàng hóa thông thường - C là chi tiêu cho hàng hóa cao cấp - C là chi tiêu cho hàng hóa thứ cấp 7.2. Hàm cầu Qi : cầu về hàng hóa Pi : giá cả hàng hóa PTi : giá hàng hóa thay thế PBi : giá hàng hóa bổ sung Qi = β1 + β2Pi + β3PTi + β4PBi + ui
7.3. Hàm tăng trưởng r : tỷ lệ tăng trưởng t : thời gian Yt và Y0 là giá trị của biến Y tại thời kỳ t và thời kỳ gốc Yt = Y0(1+ r)t ⇒ LnYt = LnY0 + t.Ln(1 + r) ⇒ Y’t = β1 + β2.t 7.4. Hàm chi phí – sản lượng Qi : sản lượng TCi : tổng chi phí, MCi : chi phí cận biên, ACi: chi phí trung bình, FCi: chi phí cố định TCi = β1 + β2Qi + β3 Qi2 + β4 Qi3 + ui → FCi = β1 + ui → MCi = β2 + 2β3Qi + 3β4 Qi2 + ui β1 → ACi = + β2 + β3Qi + β4 Qi2 + ui Qi 7.5. Hàm hyperbol Y= β 1 + β 2 1 X Là hàm phi tuyến đối với X song tuyến tính đối với tham số a. Nếu cả β1 và β2 đều dương, khi đó đồ thị cong xuống với mức tiệm cận dưới là β1. Hàm này thường được dùng để phân tích chi phí trung bình để sản xuất 1 sản phẩm. b. Nếu β1 >0 và β2 < 0 khi đó đồ thị cong lên với mức tiệm cận trên là β1. Hàm này ding để phân tích sự phụ thuộc của chi tiêu vào thu nhập. c. Nếu β1 0 thì đó là đường cong Philips, nó cong xuống và tiệm cận β1 ở dưới trục hoành. 7.4. Hàm mũ – Hàm Loga tuyến tính Mô hình kinh tế có dạng Yi =β0X2iβ2 X3iβ3
⇔ lnYi = lnβ0 + β2lnX2i + β3lnX3i Xét mô hình LYi = β1 + β2 LX2i + β3LX3i + vi ⇔ E(Y / X2i , X3i) = eβ1X2iβ2X3iβ3 β1 : E(Y/X2i = X3i = 1) = eβ1 β2 = εE(Y)/X2 : Khi X2 thay đổi 1%, yếu tố khác không đổi, thì E(Y) thay đổi β2 % Ví dụ mô hình : E(Qi) = eβ1Kiβ2Liβ3 7.5. Hàm nửa Loga *Mô hình : Yi = β1 + β2 lnXi + ui β1 = E(Y/X = 1) β2: Khi X t¨ng 1% thì E(Y) thay đổi β2 đơn vị. *M« h×nh : LnYi = β1 + β2Xi + ui β 2 : Khi X t¨ng 1 ®¬n vÞ th× E(Y) thay ®æi β 2 %. 7.6. Hàm chi phí – lợi ích Ci : chi phí Ui : lợi ích Ui = β1 + β2Ci + β3 Ci2 + ui β2: >0 do LI đồng biến CP β2