KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn: TOÁN

Chia sẻ: Bùi Hồng Ngọc | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:30

Thêm vào BST

Báo xấu

114
lượt xem 19
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn ( O) . Hai đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Đường thẳng BD cắt đường tròn ( O) tại điểm thứ hai P; đường thẳng CE cắt đường tròn ( O) tại điểm thứ hai Q. Chứng minh:

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn: TOÁN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT SỞ GD VÀ ĐT ĐAKLAK NĂM HỌC 2011 – 2012 THI NGÀY 22/6/2011 Môn: TOÁN Thời gian: 120 phỳt (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (2,0 điểm) 1) Gi �c� ph�� tr� sau: ic ng nh a )9 x 2 + 3 x − 2 = 0 b) x 4 + 7 x 2 − 18 = 0 2) V �gi � �� c� m th� th hai h� s� = 12 x + ( 7 − m ) v� = 2 x + ( 3 + m ) c�nhau t�m�� m tr� �� t i� n i tr n o a my t i y tr� tung. c Bài 2: (2,0 điểm) 2 1 1) R�g� bi � th� A = + t n u c: 1+ 2 3 + 2 2 � 1� 1 � 2� 1 2) Chobi � th� B = �+ + − u c: 1 .� . � � x −1 x −1 � � x � x +1 � a ) R�g� bi � th� B tnuc b) T� gi � �� x �� th� B = 3. m tr c a bi u c Bài 3: (1,5 điểm) 2 y − x = m +1 ( 1) Cho h� �� tr� ph ng nh: 2x − y = m − 2 1) Gi �h� �� tr� ( 1) khi m = 1 i ph ng nh 2) T� gi � �� m �� ph�� tr� ( 1) c� ghi � ( x; y ) sao cho bi � th� P = x 2 + y 2 h� m tr c a ng nh n m uc �t gi � � � � � tr nh nh t. Bài 4: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn ( O) . Hai đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Đường thẳng BD cắt đường tròn ( O) tại điểm thứ hai P; đường thẳng CE cắt đường tròn ( O) tại điểm thứ hai Q. Chứng minh: 1) BEDC l �� n�ti � t gi c i p. 2) HQ.HC = HP.HB 3) ��th� DE song song v�� ﾼng PQ. ng ng i ng th 4) ��th� OA l � ng trung tr� c� ﾼ oﾼn thﾼng PQ. �� ng ng ca Bài 5: (1,0 điểm) Cho x;y;z là 3 số thựctùy ý . Chứng minh rằng: x + y + z -yz -4x - 3y ≥ -7 HƯỚNG DẪN GIẢI: Câu 1: 1
2 1 1/a/ 9x2+3x-2=0; ∆ =81,phương trỡnh cú 2 nghiệm x1= − ;x2= 3 3 b/ đặt x =t (t 0) pt đó cho viết được t +7t-18=0 (*); ∆ = 121 = 11 pt (*) cú t=-9 2 2 2 (loại);t=2 với t=2 pt đó cho cú 2 nghiệm x = 2; x = − 2 2/đồ thị y=12x+(7-m) cắt trục tung tại điểm A(0;7-m); đồ thị y=2x+(3+m) cắt trục tung tại điểm B(0;3+m) theo yêu cầu bài toán A B khi 7-m=3+m tức là m=2. Cõu 2: 1/ 7+5 2 2 1 A= + = = 1 + 2 3 + 2 (1 + 2)(3 + 2 2) (7 + 5 2)(1 − 2)(3 − 2 2) = (3 − 2 2)(3 + 2 2) = 1 −1 2/ a/ x +1 x −1+ x + 1− 2 B=( )= )( ( x + 1)( x − 1) x x +1 2 x −2 2 )= ( )( ( x − 1)( x + 1) x x 2 4 b/ B = 3 � = 3 � x = (thoả món đk ) 9 x Cõu 3: 2 y − x = 2 (1) 1/ Khi m=1 ta cú hệ pt: rút y từ (2) y=2x+1 thế vào pt (1) được x=0, 2 x − y = −1 (2) suy ra y=1 Vậy hệ cú nghiệm (0;1) P = x 2 + y 2 = (m − 1) 2 + m 2 = 2m 2 − 2m + 1 = 212 1 ( 2m) 2 − 2.m+( ) + 1 − ( )2 = 2/ 2 2 2 1211 = ( 2m − )+ 2 2 2 1 1 1 P đạt GTNN bằng khi 2m = �m= 2 2 2 Cõu 4: 2
A P D Q E O H C B ﾷ CEB = 900 1) Từ giả thiết ta cú: suy ra E,D nhỡn B,C dưới 1 góc vuông,nên tứ ﾷ CDB = 900 giác BEDC nội tiếp được trong 1 đường trũn. 2) Vỡ tam giỏc HBC và HPQ đồng dạng (góc gúc)nờn HQ.HC=HP.HB ﾷﾷﾷ 3) BEDC nội tiếp đường trũn suy ra BDE = BCE = BCQ; từ cõu 1/ TA Cể : ﾷﾷ BPQ = BCQ ﾷﾷ Suy ra BDE = BPQ (2 GÓC ĐỒNG VỊ SUY RA ĐPCM) 4) OP=OQ (vỡ bằng bỏn kớnh đường trũn O) (1) EBD = ECD (GÓC NỘI TIẾP CÙNG CHẮN CUNG ED) suy ra QA=PA Vậy A và ﾷﾷ O cách đều P,Q nên suy ra đpcm. 3
A P D Q E O H C B ﾷ CEB = 900 5) Từ giả thiết ta cú: suy ra E,D nhỡn B,C dưới 1 góc vuông,nên tứ ﾷ CDB = 900 giác BEDC nội tiếp được trong 1 đường trũn. 6) Vỡ tam giỏc HBC và HPQ đồng dạng (góc góc)nên HQ.HC=HP.HB ﾷﾷﾷ 7) BEDC nội tiếp đường trũn suy ra BDE = BCE = BCQ; từ cõu 1/ TA Cể : ﾷﾷ BPQ = BCQ ﾷﾷ Suy ra BDE = BPQ (2 GÓC ĐỒNG VỊ SUY RA ĐPCM) 8) OP=OQ (vỡ bằng bỏn kớnh đường trũn O) (1) EBD = ECD (GÓC NỘI TIẾP CÙNG CHẮN CUNG ED) suy ra QA=PA Vậy A và ﾷﾷ O cách đều P,Q nên suy ra đpcm. Bài 5: (1,0 điểm) Cho x, y, z l � s� � tu� . Ch� minh: x 2 + y 2 + z 2 − yz − 4 x − 3 y −7. � ba th c ng �� 1 1 3 3 � Ta c�x 2 + y 2 + z 2 − yz − 4 x − 3 y = ( x 2 − 4 x + 4 ) + � y 2 − 2. y.z + z 2 � � y 2 − 2. +� y. 3 + 3 � 4 − 3 − : � 4 2 4 2 � �� 2 2 � �3 � 1 � = ( x − 2 ) + � y − z �+ � y − 3 �− 7 −7, ∀x, y , z 2 ﾷ �2 � 2 � �� 4
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2011 - 2012 THANH HÓA ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN : TOÁN (dùng chung cho thí sinh thi vào chuyên tin) Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian phát đề Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2011 Cõu I (2,5 điểm) 1. Giải phương trình: 2 − x = 4 17 − 4 2 x 3 − 8 2 x 2. Chứng minh rằng: 17 + 12 2 + 17 − 12 2 = 2 4 4 2 Câu II: (2 điểm) Giải phương trình: (x-1)(x-2)(x+3)(x+6)=12x 2 Câu III (1,5 điểm) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: x 2 + x + 2 y 2 + y = 2 xy 2 + xy + 3 Câu IV : (3 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho DE = BD + CE. Tia phân giác góc DBE cắt cạnh BC tại I. CMR : a) Tam giác DIE vuông b) Đường thẳng DI luôn đi qua một điểm cố định. Câu V: (1 điểm) Cho a, b là các số dương thỏa mãn: a+b =1 19 6 +2 + 2011(a 4 + b 4 ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = ab a + b 2 --------------- Hết--------------- 5
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2011-2012 Môn TOÁN (Chung) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian 120 không kể thời gian giao đề Đề thi có 1 trang ----------------------------------- Cõu 1 (2,0 điểm) 2 x −9 x +3 2 x +1 Cho biểu thức: P = − − x−5 x +6 x −2 3− x 1) Tỡm x để P có nghĩa 2) Rỳt gọn P 3) Tỡm x để P
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học: 2011 – 2012 TP.HCM ĐỀ CHÍNH THỨC MễN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phỳt Bài 1: (2 điểm) Giải các phương trỡnh và hệ phương trỡnh sau: a) 3x 2 − 2 x − 1 = 0 5x + 7 y = 3 b) 5 x − 4 y = −8 c) x 4 + 5 x 2 − 36 = 0 d) 3x 2 + 5 x + 3 − 3 = 0 Bài 2: (1,5 điểm) a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = − x 2 và đường thẳng (D): y = −2 x − 3 trên cùng một hệ trục toạ độ. b) Tỡm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phộp tớnh. Bài 3: (1,5 điểm) Thu gọn cỏc biểu thức sau: 3 3−4 3+4 A= + 2 3 +1 5−2 3 x x − 2 x + 28 x −4 x +8 B= − + ( x 0, x 16) x−3 x −4 x +1 4 − x Bài 4: (1,5 điểm) Cho phương trỡnh x 2 − 2mx − 4m 2 − 5 = 0 (x là ẩn số) a) Chứng minh rằng phương trỡnh luụn luụn cú nghiệm với mọi m. b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trỡnh. Tỡm m để biểu thức A = x12 + x2 − x1 x2 . đạt giá trị nhỏ nhất 2 Bài 5: (3,5 điểm) Cho đường trũn (O) cú tõm O, đường kính BC. Lấy một điểm A trên đường trũn (O) sao cho AB > AC. Từ A, vẽ AH vuụng gúc với BC (H thu ộc BC). T ừ H, v ẽ HE vuụng gúc với AB và HF vuụng gúc với AC (E thuộc AB, F thuộc AC). a) Chứng minh rằng AEHF là hỡnh chữ nhật và OA vuụng gúc với EF. b) Đường thẳng EF cắt đường trũn (O) tại P và Q (E nằm giữa P và F). Chứng minh AP2 = AE.AB. Suy ra APH là tam giỏc cõn 7
c) Gọi D là giao điểm của PQ và BC; K là giao điểm cùa AD và đ ường trũn (O) (K khỏc A). Chứng minh AEFK là một tứ giỏc nội tiếp. d) Gọi I là giao điểm của KF và BC. Chứng minh IH2 = IC.ID BÀI GIẢI Bài 1: (2 điểm) Giải các phương trỡnh và hệ phương trỡnh sau: a) 3x 2 − 2 x − 1 = 0 (a) Vỡ phương trỡnh (a) cú a + b + c = 0 nờn −1 (a) � x = 1 hay x = 3 5 x + 7 y = 3 (1) 11y = 11 ((1) − (2)) ⇔ b) 5 x − 4 y = −8 (2) 5 x − 4 y = −8 4 y =1 x=− ⇔ 5 x = −4 ⇔ 5 y =1 c) x4 + 5x2 – 36 = 0 (C) Đặt u = x2 ≥ 0, phương trỡnh thành : u2 + 5u – 36 = 0 (*) −5 + 13 −5 − 13 (*) cú ∆ = 169, nờn (*) ⇔ u = = 4 hay u = = −9 (loại) 2 2 Do đó, (C) ⇔ x2 = 4 ⇔ x = ± 2 Cỏch khỏc : (C) ⇔ (x2 – 4)(x2 + 9) = 0 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = ± 2 d) 3x 2 − x 3 + 3 − 3 = 0 (d) 3 −3 (d) cú : a + b + c = 0 nờn (d) ⇔ x = 1 hay x = 3 Bài 2: a) Đồ thị: Lưu ý: (P) đi qua O(0;0), ( 1; −1) , ( 2; −4 ) 8
(D) đi qua ( −1; −1) , ( 0; −3) b) PT hoành độ giao điểm của (P) và (D) là − x 2 = −2 x − 3 ⇔ x2 – 2x – 3 = 0 � x = −1 hay x = 3 (Vỡ a – b + c = 0) y(-1) = -1, y(3) = -9 Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (D) là ( −1; −1) , ( 3; −9 ) . Bài 3: Thu gọn cỏc biểu thức sau: 3 3−4 3+4 A= + 2 3 +1 5−2 3 (3 3 − 4)(2 3 − 1) ( 3 + 4)(5 + 2 3) = − 11 13 22 − 11 3 26 + 13 3 = = − 2− 3 − 2+ 3 11 13 1 1 ( 4− 2 3 − 4+ 2 3) = ( ( 3 − 1) 2 − ( 3 + 1) 2 ) = 2 2 1 [ 3 − 1 − ( 3 + 1)] = − 2 = 2 x x − 2 x + 28 x −4 x +8 B= − + ( x 0, x 16) x−3 x −4 x +1 4 − x x x − 2 x + 28 x −4 x +8 − + = ( x + 1)( x − 4) x +1 4 − x x x − 2 x + 28 − ( x − 4) 2 − ( x + 8)( x + 1) = ( x + 1)( x − 4) x x − 2 x + 28 − x + 8 x − 16 − x − 9 x − 8 x x − 4x − x + 4 = = ( x + 1)( x − 4) ( x + 1)( x − 4) ( x + 1)( x − 1)( x − 4) = = x −1 ( x + 1)( x − 4) Bài 4: a/ Phương trỡnh (1) cú ∆’ = m2 + 4m +5 = (m+2)2 +1 > 0 với mọi m nên phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm phõn biệt với mọi m. b c b/ Do đó, theo Viet, với mọi m, ta cú: S = − = 2m ; P = = −4m − 5 a a  A = ( x1 + x2 ) − 3 x1 x2 = 4m + 3(4m + 5) = (2m + 3) + 6 6, với mọi m. 2 2 2 −3 Và A = 6 khi m = 2 −3 Vậy A đạt giỏ trị nhỏ nhất là 6 khi m = 2 9
a) Tứ giỏc AEHF là hỡnh chữ nhật vỡ cú 3 gúc Bài 5: vuụng A P Gúc HAF = gúc EFA (vỡ AEHF là hỡnh ch ữ E K nhật) Gúc OAC = gúc OCA (vỡ OA = OC) Q F Do đó: góc OAC + góc AFE = 90 0 B O H I C D ⇒ OA vuụng gúc với EF b) OA vuụng gúc PQ ⇒ cung PA = cung AQ Do đó: ∆ APE đồng dạng ∆ ABP AP AE = ⇒ ⇒ AP2 = AE.AB AB AP Ta cú : AH2 = AE.AB (hệ thức lượng ∆ HAB vuụng tại H, cú HE là chiều cao) ⇒ AP = AH ⇒ ∆ APH cõn tại A c) DE.DF = DC.DB, DC.DB = DK.DA ⇒ DE.DF = DK.DA Do đó ∆ DFK đồng dạng ∆ DAE ⇒ gúc DKF = gúc DEA ⇒ tứ giỏc AEFK nội tiếp d) Ta cú : AF.AC = AH2 (hệ thức lượng trong ∆ AHC vuụng tại H, cú HF là chiều cao) Ta cú: AK.AD = AH2 (hệ thức lượng trong ∆ AHD vuụng tại H, cú HK là chiều cao) Vậy ⇒ AK.AD = AF.AC Từ đó ta có tứ giác AFCD nội tiếp, vậy ta cú: IC.ID=IF.IK (∆ ICF đồng dạng ∆ IKD) và IH2 = IF.IK (từ ∆ IHF đồng dạng ∆ IKH) ⇒ IH2 = IC.ID SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2011 – 2012 Mụn: TOÁN ( chung) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phỳt Đề thi gồm 02 trang PHẦN 1 – Trắc nghiệm (1điểm): Mỗi câu sau có nêu bốn phương án trả lời (A, B,C, D) , trong đó chỉ có một phương án đúng. Hóy chọn phương án đúng và vi ết vào bài làm chữ cái đứng trước phương án lựa chọn. Cõu 1: Phương trỡnh x 2 + mx + m − 1 = 0 cú hai nghiệm phõn biệt khi và chỉ khi: A. m > 2 . B. m ﾷ . C. m 2 . D. m 2 . Cõu 2: Cho đường trũn (O) nội tiếp tam giỏc MNP cõn tại M. G ọi E; F l ần l ượt là ti ếp ﾷ điểm của đường trũn (O) với cỏc cạnh MN; MP. Biết MNP = 500 . Khi đó, cung nhỏ EF của đường trũn (O) cú số đo bằng: A.1000 . B. 800 . C. 500 . D.1600 . 10
Cõu 3: Gọi α là góc tạo bởi đường thẳng y = x + 3 với trục Ox, gọi β là góc tạo bởi đường thẳng y = −3x + 5 với trục Ox. Trong cỏc phỏt biểu sau,phỏt biểu nào sai ? D. α < β . A. α = 450 . B. β > 900 . C. β < 900 . Cõu 4: Một hỡnh trụ cú chiều cao là 6cm và diện tớch xung quanh là 36π cm 2 . Khi đó, hỡnh trụ đó cho cú bỏn kớnh đáy bằng C. 3π cm. B. 3 cm. D. 6cm. A. 6 cm. PHẦN 2 – Tự luận (9điểm): � x −1 1�1 3 với x > 0 và x 1 Cõu 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức : P = � − : � x −1 x − 1 �x + x � 1) Rỳt gọn biểu thức P. 2) Tỡm x để 2P – x = 3. Cõu 2.(2 điểm) 1) Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M có hoành độ bằng 2 và M thu ộc đồ thị hàm số y = −2x 2 . Lập phương trỡnh đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm M ( biết đường thẳng OM là đồ thị hàm số bậc nhất). 2) Cho phương trỡnh x − 5x − 1 = 0 ( 1) . Biết phương trỡnh (1) cú hai nghiệm x1; x 2 . 2 Lập phương trỡnh bậc hai ẩn y ( Với cỏc hệ số là số nguy ờn ) cú hai nghi ệm l ần 1 1 lượt là y1 = 1 + và y 2 = 1 + x1 x2 3 2 17 + = x − 2 y +1 5 Cõu 3.(1,0 điểm) Giải hệ phương trỡnh: 2x − 2 y + 2 26 + = x − 2 y −1 5 Cõu 4.(3,0 điểm): Cho đường trũn (O; R). Lấy điểm M nằm ngoài (O;R) sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB của (O;R) và góc AMB nhọn ( v ới A, B là các ti ếp điểm). Kẻ AH vuông góc với MB tại H. Đường thẳng AH cắt đường trũn (O;R) tại N (khỏc A). Đường trũn đường kính NA cắt các đường th ẳng AB và MA theo th ứ t ự t ại I và K (khỏc A). 1) Chứng minh tứ giỏc NHBI là tứ giỏc nội tiếp. 2) Chứng minh tam giác NHI đồng dạng với tam giác NIK. 3) Gọi C là giao điểm của NB và HI; gọi D là giao đi ểm c ủa NA và KI. Đ ường thẳng CD cắt MA tại E. Chứng minh CI = EA. Cõu 5.(1,5 điểm) 1) Giải phương trỡnh : x ( x + 9 ) ( x + 9 ) = 22 ( x − 1) 2 2 11
1 � �3 1 � �2 2) Chứng minh rằng : Với mọi x > 1, ta luôn có 3 � − � 2� − � 0 phương trỡnh cú hai nghiệm x1,2 = 2 −11 129 Vậy phương trỡnh đó cho cú 2 nghiệm phõn biệt x1,2 = 2 � 2 1 � �3 1 � 2) Chứng minh rằng : Với mọi x > 1, ta luôn có 3 � − 2 � 2 � − 3 � 1)
1 1 = t thì x 2 + 2 = t 2 − 2 , ta cú (2) � 2t 2 − 3t − 2 > 0 � ( t − 2 ) ( 2t + 1) > 0 (3) Đặt x + x x 1 Vỡ x > 1 nên ( x − 1) > 0 � x 2 + 1 > 2x � x + > 2 hay t > 2 => (3) đúng . Vậy ta có 2 x đpcm Cõu 4.(3,0 điểm) Cho đường trũn (O; R). Lấy điểm M nằm ngoài (O;R) sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB của (O;R) và góc AMB nhọn ( v ới A, B là các ti ếp điểm). Kẻ AH vuông góc với MB tại H. Đường thẳng AH cắt đường trũn (O;R) tại N (khỏc A). Đường trũn đường kính NA cắt các đường th ẳng AB và MA theo th ứ t ự t ại I và K (khác A). 1) Chứng minh tứ giỏc NHBI là tứ giỏc nội tiếp. 2) Chứng minh tam giác NHI đồng dạng với tam giác NIK. 3) Gọi C là giao điểm của NB và HI; gọi D là giao đi ểm c ủa NA và KI. Đ ường thẳng CD cắt MA tại E. Chứng minh CI = EA. ﾷﾷ 1) NIB + BHN = 1800 A Y NHBI nội tiếp 2) cm tương tự câu 1) ta có AINK nội tiếp E 1 Ta có H1 = B1 = A1 = $1 ﾷﾷﾷ I 2 K $ 2 = B2 = A 2 = K 2 Iﾷﾷﾷ 2 3) ta cú: $1 + $ 2 + DNC IIﾷ D O M ﾷﾷﾷ 2 = B1 + A + DNC = 1800 2 1 N Do đó CNDI nội tiếp I 2 � D 2 = $ 2 = A 2 � DC//AI ﾷ Iﾷ C 1 ﾷﾷ Lại cú A1 = H1 AE / /IC H 1 2 Vậy AECI là hỡnh bỡnh hành =>CI = EA. B SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TẠO KHÁNH HềA NĂM HỌC 2011 - 2012 Mụn thi: TOÁN Ngày thi : 21/06/2011 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phỳt ( đề thi có 01 trang) 13
Bài 1( 2 điểm) 2+ 3+ 6+ 8+4 Đơn giản biểu thức: A = 1) 2+ 3+ 4 1 1 P = a−( − );(a 1) 2) Cho biểu thức: a − a −1 a + a −1 Rỳt gọn P và chứng tỏ P 0 Bài 2( 2 điểm) 1) Cho phương trỡnh bậc hai x2 + 5x + 3 = 0 cú hai nghiệm x1; x2. Hóy lập một phương trỡnh bậc hai cú hai nghiệm (x12 + 1 ) và ( x22 + 1). 2 3 + =4 y−2 x 2) Giải hệ phương trỡnh 4 1 − =1 y−2 x Bài 3( 2 điểm) Quóng đường từ A đến B dài 50km.Một người dự định đi xe đạp từ A đến B với vận tốc không đổi.Khi đi được 2 giờ,người ấy dừng lại 30 phút để nghỉ.Muốn đến B đúng thời gian đó định,người đó phải tăng vận tốc thêm 2 km/h trên quóng đường cũn lại.Tớnh vận tốc ban đầu của người đi xe đạp. Bài 4( 4 điểm) Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn và H là trực tõm.Vẽ hỡnh bỡnh hành BHCD.Đường thẳng đi qua D và song song BC cắt đường thẳng AH tại E. 1) Chứng minh A,B,C,D,E cùng thuộc một đường trũn BAE = � 2) Chứng minh � DAC 3) Gọi O là tâm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC và M là trung điểm của BC,đường thẳng AM cắt OH tại G.Chứng minh G là trọng tõm của tam giỏcABC. 4) Giả sử OD = a.Hóy tớnh độ dài đường trũn ngoại tiếp tam giỏc BHC theo a Bài giải Bài 1 2 + 3 + 2 + 6 + 8 + 2 ( 2 + 3 + 4)(1 + 2) 3) A = = = 1+ 2 2+ 3+ 4 2+ 3+ 4 a + a −1 − a + a −1 P = a−( ); a 1 a − a +1 4) = a − 2 a − 1 = a − 1 − 2 a − 1 + 1; vi : a 1 � P = ( a − 1 − 1) 2 � ∀a � 0; 1 x2 + 5x + 3 = 0 Bài 2 1) Cú ∆ = 25 − 12 = 13 > 0 14
Nờn pt luụn cú 2 nghiệm phõn biệt  x1+ x2 = - 5 ; x1x2 = 3 Do đó S = x12 + 1 + x22 + 1 = (x1+ x2)2 - 2 x1x2 + 2 = 25 – 6 + 2 = 21 Và P = (x12 + 1) (x22 + 1) = (x1x2)2 + (x1+ x2)2 - 2 x1x2 + 1 = 9 + 20 = 29 Vậy phương trỡnh cần lập là x2 – 21x + 29 = 0 2) ĐK x 0; y 2 2 3 14 + =4 x=2 =7 x=2 � y−2 x �x � �� 3 �+ y − 2 = 4 y=3 � − 3 =3 � + 3 =4 2 1 12 � y−2 �x y − 2 x Vậy HPT cú nghiệm duy nhất ( x ;y) = ( 2 ;3) Bài 3 Gọi x(km/h) là vtốc dự định; x > 0 ; có 30 phút = ½ (h) 50  Th gian dự định : ( h) x Quóng đường đi được sau 2h : 2x (km)  Quóng đường cũn lại : 50 – 2x (km) Vận tốc đi trên quóng đường cũn lại : x + 2 ( km/h) 50 − 2 x Th gian đi quóng đường cũn lại : ( h) x+2 1 50 − 2 x 50 2+ + = Theo đề bài ta có PT: x+2 2 x Giải ra ta được : x = 10 (thỏa ĐK bài toán) Vậy Vận tốc dự định : 10 km/h Bài 3 15
A H G O B C M E D Giải cõu c) Vỡ BHCD là HBH nờn H,M,D thẳng hàng Tam giác AHD có OM là ĐTBỡnh => AH = 2 OM Và AH // OM HAG = �OMG ( slt ) 2 tam giỏc AHG và MOG cú � AGH = �MGO (đ đ) � ∆AHG ∆MOG (G − G ) AH AG = =2 � MO MG Hay AG = 2MG Tam giỏc ABC cú AM là trung tuyến; G AM Do đó G là trọng tâm của tam giác ABC d) ∆BHC = ∆ BDC ( vỡ BHCD là HBH) cú B ;D ;C nội tiếp (O) bỏn kớnh là a Nờn tam giỏc BHC cũng nội tiếp (K) cú bỏn kớnh a Do đó C (K) = 2π a ( ĐVĐD) SỞ GD&ĐT THÀNH PHỐ HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Mụn thi : Toỏn Ngày thi : 22 tháng 6 năm 2011 Thời gian làm bài: 120 phỳt Bài I (2,5 điểm) 16
x 10 x 5 Cho A = − − Với x 0, x 25 . x − 5 x − 25 x +5 1) Rỳt gọn biểu thức A. 2) Tớnh giỏ trị của A khi x = 9. 1 3) Tỡm x để A < . 3 Bài II (2,5 điểm) Giải bài toỏn sau bằng cách lập phương trỡnh hoặc hệ phương trỡnh: Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đó hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở thêm được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày? Bài III (1,0 điểm) Cho Parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d): y = 2x − m 2 + 9 . 1) Tỡm toạ độ các giao điểm của Parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 1. 2) Tỡm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía c ủa trục tung. Bài IV (3,5 điểm) Cho đường trũn tõm O, đường kính AB = 2R. Gọi d 1 và d2 là hai tiếp tuyến của đường trũn (O) tại hai điểm A và B.Gọi I là trung đi ểm của OA và E là đi ểm thu ộc đường trũn (O) (E khụng trựng với A và B). Đường th ẳng d đi qua đi ểm E và vuông góc với EI cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại M, N. 1) Chứng minh AMEI là tứ giỏc nội tiếp. ENI = � MIN = 900 . 2) Chứng minh � EBI và � 3) Chứng minh AM.BN = AI.BI . 4) Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không ch ứa E c ủa đ ường trũn (O). Hóy tớnh diện tớch của tam giỏc MIN theo R khi ba điểm E, I, F thẳng hàng. Bài V (0,5 điểm) 17
1 Với x > 0, tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 4x 2 − 3x + + 2011 . 4x HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: 1/ Rút gọn: ĐK: x 0, x 25 ( ) ( ) = x+5 x. x +5 -10 x -5. x -5 x 10 x 5 x -10 x -5 x +25 A= - - = ( x -5) ( x+5 ) ( )( ) x -5 x-25 x +5 x -5 x +5 ( ) 2 x -5 x-10 x +25 x -5 = = = (Voi x 0; x 25) ( )( )( )( ) x +5 x -5 x +5 x -5 x +5 2/ Với x = 9 Thỏa món x 0, x 25 , nờn A xác định được, ta có x = 3 . Vậy 3−5 −2 1 A= = =− 3+5 8 4 3/ Ta có: ĐK x 0, x 25 1 x -5 1 3 x - 15 - x - 5 A< 1) Thỡ thời gian thực tế đội xe đó chở hết hàng là x – 1 (ngày) 140 Mỗi ngày theo kế hoạch đội xe đó phải chở được (tấn) x 150 Thực tế đội đó đó chở được 140 + 10 = 150(tấn) nên mỗi ngày đội đó chở được x −1 (tấn) 18
Vỡ thực tế mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn, nên ta có pt: 150 140 − =5 x −1 x ⇒ 150x – 140x + 140 = 5x2 -5x ⇔ 5x2 -5x – 10x - 140 = 0 ⇔ 5x2 -15x - 140 = 0 ⇔ x2 -3x - 28 = 0 Giải ra x = 7 (T/M) và x = -4 (loại) Vậy thời gian đội xe đó chở hết hàng theo kế hoạch là 7 ngày CÁCH 2: Gọi khối lượng hàng chở theo định mức trong 1 ngày của đội là x (tấn) ( x > 0) 140 Số ngày quy định là (ngày) x 140 − 1 (ngày) Do chở vượt mức nên số ngày đội đó chở là x Khối lượng hàng đội đó chở được là 140 + 10 = 150 (tấn) Theo bài ra ta cú pt: 140 � � � - 1� x + 5 ) = 140 + 10 .( ( 140 - x ) ( x + 5 ) =150x �x � � 140x + 700 - 5x - x 2 =150x � x 2 +15x - 700 = 0 Giải ra x = 20 (T/M)và x = - 35 ( loại) Vậy số ngày đội phải chở theo kế hoạch là 140:20=7 ( ngày) Bài 3: 1/ Với m = 1 ta cú (d): y = 2x + 8 Phương trỡnh hoành độ điểm chung của (P) và (d) là x2 = 2x + 8 x2 – 2x – 8 = 0 Giải ra x = 4 => y = 16 x = -2 => y = 4 Tọa độ các giao điểm của (P) và (d) là (4 ; 16) và (-2 ; 4) 19
2/ Phương trỡnh hoành độ điểm chung của (d) và (P) là x2 – 2x + m2 – 9 = 0 (1) Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung thỡ phương trỡnh (1) cú hai nghiệm trỏi dấu ⇒ac < 0 ⇒ m2 – 9 < 0 ⇒ (m – 3)(m + 3) < 0 Giải ra cú – 3 < m < 3 Bài 4 1/ Xột tứ giỏc AIEM cú gúc MAI = gúc MEI = 90o. => gúc MAI + gúc MEI = 180o. Mà 2 góc ở vị trí đối diện => tứ giỏc AIEM nội tiếp 2/ Xột tứ giỏc BIEN cú gúc IEN = gúc IBN = 90o.  gúc IEN + gúc IBN = 180o.  tứ giỏc IBNE nội tiếp  gúc ENI = gúc EBI = ½ sđ AE (*)  Do tứ giỏc AMEI nội tiếp => góc EMI = góc EAI = ½ sđ EB (**) Từ (*) và (**) suy ra góc EMI + góc ENI = ½ sđ AB = 90o. 3/ Xột tam giỏc vuụng AMI và tam giỏc vuụng BIN cú gúc AIM = gúc BNI ( cựng cộng với gúc NIB = 90o)  ∆ AMI ~ ∆ BNI ( g-g) AM AI  BI = BN  AM.BN = AI.BI 4/ Khi I, E, F thẳng hàng ta cú hỡnh vẽ Do tứ giỏc AMEI nội tiếp 20