Lời giải bài tập giải tích I - K58

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI<br /> VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC<br /> -------------------------<br /> <br /> LỜI GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH I - K58<br /> ( TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ )<br /> <br /> Hà Nội, 9/2013<br /> <br /> Facebook: Badman<br /> <br /> hiep. giapvan@ gmail. com<br /> <br /> LỜI NÓI ĐẦU<br /> Sau hơn hai ngày vất vả làm ngồi làm đống bài tập giải tích I của K58 này<br /> thì có một sự buồn nhẹ là người mình đã mệt lừ :-(. Trong quá trình đánh<br /> máy không tránh khỏi sai sót và có thể lời giải còn chẳng đúng nữa =))<br /> mong được các bạn góp ý để mình sửa cho đúng :D ( nói thể thôi chứ sai<br /> thì mặc xác chứ lấy đâu time mà sửa với chả sủa nữa :v). Trong này còn<br /> một số bài mình chưa làm được :-( vì học lâu rồi nên cũng chẳng nhớ nữa<br /> :D. Hy vọng nó sẽ giúp cho các bạn K58 và những ai học cải thiện, học lại<br /> môn này có được điểm "F " =))<br /> Chúc các bạn học tốt !<br /> <br /> 2<br /> <br /> Facebook: Badman<br /> <br /> hiep. giapvan@ gmail. com<br /> <br /> Chương 1<br /> HÀM MỘT BIẾN SỐ<br /> 1.1-1.5. Dãy số, hàm số, giới hạn và liên tục<br /> 1. Tìm tập xác định của hàm số<br /> p<br /> a. y = 4 log (tan x)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> cos x 6= 0<br /> <br /> <br />  cos x 6= 0<br /> x≥<br /> <br /> ⇔<br /> ⇔<br /> tan x ≥ 1<br /> <br />  x 6=<br /> <br /> <br /> tan x ≥ 1<br /> <br />  log (tan x) ≥ 0<br /> <br /> π<br /> 4<br /> <br /> + kπ<br /> <br /> π<br /> 2<br /> <br /> + kπ<br /> <br /> (k ∈ Z)<br /> <br /> 2x<br /> b. y = arcsin 1+x<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  x 6= −1<br />  1 + x 6= 0<br /> ⇔<br /> ⇔<br /> <br />  −1 − x ≤ 2x ≤ 1 + x<br />  −1 ≤ 2x ≤ 1<br /> <br /> <br /> 1+x<br /> <br /> <br /> x 6= −1<br /> <br />  3x ≥ −1<br /> x≤1<br /> <br /> ⇔ − 31 ≤ x ≤ 1<br /> √<br /> <br /> c. y =<br /> <br /> x<br /> sin πx<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x≥0<br /> x≥0<br /> x≥0<br /> x≥0<br /> ⇔<br /> ⇔<br /> ⇔<br /> x∈<br />  πx 6= kπ<br />  x 6= k<br />  sin πx 6= 0<br /> /Z<br /> c. y = arccos (2 sin x)<br /> −1 ≤ 2 sin x ≤ 1 ⇔ − 12 ≤ sin x ≤ 12<br /> <br /> − π6 + 2kπ ≤ x ≤ π6 + 2kπ<br /> <br /> ⇔<br /> (k ∈ Z)<br /> 5π<br /> 7π<br /> 6 + 2kπ ≤ x ≤ 6 + 2kπ<br /> 2. Tìm miền giá trị của hàm số<br /> a. y = log (1 − 2 cos x)<br /> ĐK: cos x <<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> ⇔<br /> <br /> π<br /> 3<br /> <br /> + 2kπ < x <<br /> <br /> 5π<br /> 3<br /> <br /> + 2kπ<br /> <br /> Mặt khác ta có 1 − 2 cos x ∈ (0, 3] ⇒ y ∈ (−∞, log 3]<br />
<br /> x<br /> b. y = arcsin log 10<br /> 3<br /> <br /> Facebook: Badman<br /> <br /> hiep. giapvan@ gmail. com<br /> <br /> ĐK<br /> <br /> <br /> x>0<br />  π π<br /> ⇒y∈ − ,<br />  log x  ≤ 1<br /> 2 2<br /> 10<br /> <br /> 3. Tìm f (x) biết<br />
<br /> a. f x + x1 = x2 +<br /> Đặt t = x +<br /> <br /> 1<br /> x<br /> <br /> 1<br /> x2<br /> <br /> (|t| ≥ 2)<br /> <br /> ⇒ t2 = x2 +<br /> b. f<br /> <br /> x<br /> 1+x<br /> <br /> Đặt t =<br /> <br />
<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> + 2 ⇒ t2 − 2 = x2 + 2 ⇒ f (x) = x2 − 2<br /> 2<br /> x<br /> x<br /> <br /> = x2<br /> <br /> x<br /> 1+x<br /> <br /> (t 6= 1)<br /> ⇒x=<br /> <br /> t<br /> t2<br /> x2<br /> ⇒ x2 =<br /> ⇒<br /> f<br /> (x)<br /> =<br /> 1−t<br /> (1 − t)2<br /> (1 − x)2<br /> <br /> 4. Tìm hàm ngược của hàm số<br /> a. y = 2x + 3<br /> D=R<br /> x=<br /> b.<br /> <br /> y−3<br /> 2<br /> <br /> ⇒ hàm ngược của hàm y = 2x + 3 là y =<br /> <br /> x−3<br /> 2 .<br /> <br /> 1−x<br /> 1+x<br /> <br /> D = R \ {−1}<br /> y=<br /> <br /> 1−x<br /> 1−y<br /> ⇔ y + yx = 1 − x ⇔ x =<br /> 1+x<br /> 1+y<br /> <br /> Suy ra hàm ngược của hàm<br /> <br /> 1−x<br /> 1+x<br /> <br /> là y =<br /> <br /> c. y = 21 (ex + e−x ) , (x > 0)<br /> D = [0, +∞)<br /> <br /> 4<br /> <br /> 1−x<br /> 1+x<br /> <br /> Facebook: Badman<br /> <br /> hiep. giapvan@ gmail. com<br /> <br /> Đặt t = ex (t > 0)<br /> y=<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> t+<br /> <br /> 1<br /> t<br /> <br />
<br /> <br /> ⇔ t2 − 2yt + 1 = 0<br /> <br /> ∆0 = y 2 − 1<br /> <br /> p<br /> t = y + y2 − 1<br /> ⇒<br /> p<br /> t = y − y 2 − 1,<br /> p<br /> x<br /> ⇒ e = y + y2 − 1<br /> <br /> (loại)<br /> <br /> Suy ra hàm ngược<br /> <br /> <br /> y = ln x +<br /> <br /> p<br /> <br /> x2<br /> <br /> <br /> −1<br /> <br /> 5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số<br /> a. f (x) = ax + a−x , (a > 0)<br /> f (x) = a−x + ax = −f (x)<br /> Suy ra hàm f (x) là hàm chẵn<br /> √<br />
<br /> b. f (x) = ln x + 1 + x2<br /> f (−x) = ln −x +<br /> <br /> √<br /> <br /> √<br />
<br />
<br /> 2<br /> +1+x2<br /> 2<br /> √<br /> 1 + x2 = ln −x<br /> =<br /> −<br /> ln<br /> x<br /> +<br /> 1<br /> +<br /> x<br /> x+ 1+x2<br /> <br /> = −f (x)<br /> Suy ra hàm f (x) là hàm lẻ.<br /> c. f (x) = sin x + cos x<br /> f (−x) = sin(−x) + cos(−x) = − sin x + cos x 6= f (x) và −f (x) suy ra f (x)<br /> không là hàm chẵn cũng không là hàm lẻ.<br /> 6. Chứng minh rằng bất kỳ hàm số f (x) nào xác định trong một khoảng<br /> đối xứng (−a, a), (a > 0) cũng đều biểu diễn được duy nhất dưới dạng<br /> tổng của một hàm số chẵn với một hàm số lẻ.<br /> Chứng minh. Giả sử<br /> f (x) = g(x) + h(x)<br /> <br /> 5<br /> <br /> (1)<br /> <br />