Lời giải đề thi thử Đại học 2011 môn Toán - Đề số 12

http://www.math.vn<br /> <br /> Câu I. 1) (1 đi m) ———————————————————————————————— 3x − 2 (C). Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s đã cho. Cho hàm s y = x+1 L i gi i: Đ th<br /> 10<br /> <br /> 3x − 2 x+1 B ng bi n thiên Hàm s y =<br /> <br /> htt p:/ /w w<br /> 1<br /> <br /> Câu I. 2) (1 đi m) ———————————————————————————————— G i I là giao c a 2 đư ng ti m c n c a đ th . Vi t phương trình ti p tuy n d c a đ th hàm s bi t d c t 5 ti m c n đ ng và ti m c n ngang l n lư t t i A và B th a mãn cos BAI = √ 26 L i gi i: Cách 1: 5 5 Xét đi m M (xo ; yo ) , xo = −1 thu c (C). Ptrình ti p tuy n t i M : y − 3 − (x − xo ) = xo + 1 (xo + 1)2 Ptrình c a hai đư ng ti m c n c a (C) l n lư t là x = −1, y = 3 3xo − 7 A là giao đi m c a ti p tuy n d và ti m c n đ ng x = −1 ⇒ A −1; xo + 1 B là giao đi m c a ti p tuy n d và ti m c n ngang y = 3 ⇒ B (2xo + 1; 3) t 102 5 v it= T đi u ki n gi thi t ta có phương trình √ = √ ,t > 0 26 400 + t 2 (xo + 1)2 ⇔ t = 100 ⇔ 102 = 102 (xo + 1)2 ⇔ xo = 0 hay xo = −2 V i xo = 0 ⇒ pt c a d : y = 5x − 2 V i xo = −2 ⇒ pt c a d : y = 5x + 2 Cách 2: 5 5 Xét đi m M (xo ; yo ) , xo = −1 thu c (C). Ptrình ti p tuy n d t i M : y − 3 − (x − xo ) = xo + 1 (xo + 1)2 5 − ; −1 1 vectơ pháp tuy n c a d là → = u (xo + 1)2 Ptrình c a hai đư ng ti m c n c a (C) l n lư t là d1 : x = −1, d2 : y = 3 Ta có: ∆BAI vuông t i I nên BAI luôn nh n vì v y: 5 →.→| − − 5 5 |u i (xo + 1)2 = cos BAI = √ ⇔ = 5 ⇔ |xo + 1| = 1 cos(d; d1 ) = → → = − (xo + 1)2 25 26 |− .|.| i | u 1+ (xo + 1)4<br /> <br /> w. ma th. vn<br /> 8 6 4 2 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 −2 −4<br /> <br /> DI N ĐÀN MATH.VN<br /> <br /> L I GI I Đ THI TH Đ I H C 2011 Môn thi : Toán Đ s : 12<br /> <br /> htt p:/ /w w<br /> 2 2<br /> <br /> d : y = 5x − 2 xo = 0 Có 2 ti p tuy n tho mãn ⇒ d : y = 5x + 2 xo = −2 Cách 3: 1 1 tan2 BAI = −1 = 25 cos2 BAI Mà: tan ABI là h s góc k c a ti p tuy n. 1 tan ABI = = |5|. T đây có đư c 2 ti p tuy n tan BAI Câu II. 1) (1 đi m) ———————————————————————————————— √ x−3 2 9−x √ Gi i b t phương trình: > x 3 x+1+x+3 L i gi i: ĐK: 9 > x ≥ −1; x = √ 0 √ √ √ √ 2 9−x ( x + 1 − 2)( x + 1 + 2) 2 9−x √ √ > √ ⇔ x+1−2 > √ b t phương trình ⇔ √ ( x + 1 + 2)( x + 1 + 1) ( x + 1 + 1)( x + 1 − 1) x+1−1 √ TH1: x + 1 − 1 > 0 ⇔ x > 0√ √ √ √ b t phương trình ⇔ x + 3 − 3 x + 1 > 2 9 − x ⇔ (x − 8) + (9 − 3 x − 1) + (2 − 2 9 − x) > 0 9 8 √ √ ⇔ (x − 8)(1 − )>0⇔8 0 pt đã cho ⇔ 2x 2x 2x 2x √ 1 1 cho ta nh n xét: Đ t t = 2x + ,t ≥ 2. Kh o sát hàm t = 2x + 2x 2x √ - Mi n giá tr c a t√ [ 2; +∞) là - ng v i m i t = 2 có 2 giá tr x √ 1 - ng v i t = 2 có duy nh t 1 giá tr x = 2 √ Do đó: Yêu c u bài toán tương đương đth ng g(t) = m c t đ th hàm s f (t) = t 2 − 3t, (t ∈ [ 2; +∞)) t i √ đúng 1 đi m có hoành đ khác t = 2  √ 3 9 m= f ; t= 2 m=−  2 ⇔ 4 √ √ √ ⇔ √ m > 2−3 2 m > f ( 2) = f 3 − 2 ; t = 2<br /> <br /> w. ma th. vn<br /> hình v S D C E H O K I A B<br /> <br /> G i I trung đi m AO V SH ⊥ AD; (H ∈ AD) và vì (SAD) ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ (ABCD) Ta có: SA = SO ⇒ AH = HO ⇒ ∆AHO cân t i H nên H thu c BI là đtrung tr c c a AO 1. Tính th tích: AO a Ta có: ∆AOB đ u ⇒ AI = = 2 2 AI a AH = =√ cos 30o 3 √ a 2a ⇒ HD = AD − AH = a 3 − √ = √ 3 3 2a √ SH = HD tan 60o = √ · 3 = 2a 3 √ √ 1 1 2a3 3 VS.ABCD = · SH · SABCD = · 2a · a · a 3 = 3 3 3 2. Tính kho ng cách: G i E trung đi m SA √ 2a a2 2 + AH 2 = 2+ Ta có: BH = AB =√ a 3 3 1 1 1 3 1 1 = + = + = ⇒ HE = a HE 2 BH 2 SH 2 4a2 4a2 a2 Ta có: AC ⊥ BH; AC ⊥ SH ⇒ AC ⊥ (SBH) V IK ⊥ SB; (K ∈ SB) ta có ngay đo n vuông góc chung c a SB và AC là IK<br /> <br /> √ a 3 IK 3a IB IB Ta có: = ⇒ IK = HE. = a. 2 = 2a HE BH BH 4 √ 3 3a V y d(SB; AC) = 4<br /> <br /> htt p:/ /w w<br /> 4<br /> <br /> 1 − → − → − → 1− → AM = (mt1 , nt1 ) AN = (mt2 , nt2 ) AM = AN ⇔ t1 = t2 2 2 Phương trình giao đi m c a ∆ và đương tròn: (−2 + mt)2 + (19 + nt)2 = 169 ⇔ (m2 + n2 )t 2 + (−4m + 38n)t + 196 = 0  t1 + t2 = 4m − 38n    m2 + n2  196 Áp d ng viet: t1t2 = 2  m + n2   1  t = t 1 2 2 281 n T đó tính ra m = −n ho c m = 433 V i m = −n. Ch n m = 1, n = −1. Ta có phương trình đư ng th ng: x + y − 13 = 0 281 V im= n. Ch n m = 281, n = 433. Ta có phương trình đư ng th ng : 433x − 281y + 4767 = 0 433 Câu VIa. 2) (1 đi m) ———————————————————————————————— Trong không gian t a đ Oxyz vi t phương trình m t c u (S) ti p xúc v i (P) : 2x + y − 2z + 8 = 0 t i A(−1; −2; 2) và kho ng cách t tâm I c a m t c u đ n đi m B(−2; 3; 0) b ng 5. L i gi i: Do (S) ti p xúc v i (P) t i A nên tâm I c a (S) thu c đư ng th ng (∆) đi qua A và vuông góc v i (P). → n Có − = − = (2; 1; −2). a∆ → P  x = −1 + 2t  T pt tham s c a (∆) y = −2 + t t ∈ R ⇒ I (−1 + 2t; −2 + t; 2 − 2t).   z = 2 − 2t 5 Mà IB2 = 25 ⇔ 9t 2 − 14t + 5 = 0 ⇔ t = 1 hay t = 9 V i t = 1 ⇒ I (1; −1; 0) , R = IA = 3. Lúc đó pt m t c u (S): x − 12 + y + 12 + z2 = 9 5 1 13 8 5 V it = ⇒I ;− ; , R = IA = . 9 9 9 9 3 2 1 13 2 8 2 25 Lúc đó pt m t c u (S): x − + y+ + z− = 9 9 9 9 Câu VIIa. (1 đi m) ———————————————————————————————— Chín h c sinh g m 5 nam và 4 n r nhau vào r p chi u phim. T i đó, ngư i soát vé yêu c u các h c sinh này ph i x p hàng sao cho không có b t kì 2 n nào đ ng li n nhau. H i xác su t c a s ki n đó là bao nhiêu? L i gi i: +) đ u tiên thì ta v n có 9! cách x p v trí cho 9 ngư i +) x p c đ nh cho 5 th ng con trai thì v n có 5! cách x p +) còn l i 4 cô n và có 6 v trí nên sô cách x p s là A4 6 5!A4 6 còn có th x p t i 2 v trí đ u tiên k p 4 th ng con trai vào gi a nên ta có P = 9! Câu VIb. 1) (1 đi m) ———————————————————————————————— Trên m t ph ng Oxy cho d : x + 2y − 1 = 0; d : 3x + y + 7 = 0 c t nhau t i I và đi m M(1; 2). Vi t phương √ trình đư ng th ng ∆ qua M c t d, d l n lư t t i A và B sao cho AI = 2AB L i gi i: Cách 1: x + 2y − 1 = 0 x = −3 Ta có t a đ đi m I là nghi m c a h phương trình ⇔ ⇒ I (−3; 2) 3x + y + 7 = 0 y=2 √ L y đi m H (1; 0) ∈ d(H = A); K ∈ d (K = B) sao cho 2HK = HI. Do K ∈ d ⇒ K (a : −3a − 7) − → − → Có HI = (−4; 2), HK = (a − 1; −3a − 7) √ Mà HI = 2HK ⇔ HI 2 = 2HK 2 ⇔ 20 = 2[(a − 1)2 + (3a + 7)2 ] ⇔ (a + 2)2 = 0 ⇔ a = −2.<br /> <br /> w. ma th. vn<br /> <br /> ⇒<br /> <br /> IH HK = ⇒ HK AB. AI AB<br /> <br /> htt p:/ /w w<br /> 5<br /> <br /> x−1 y−2 − → V y đư ng th ng d đi qua M và có véctơ ch phương KH = (3; 1) ⇒ pt d : = 3 1 Cách 2: √ Theo đi u ki n AI = 2AB g i ý cho ta nghĩ đ n tam giác vuông AIB c nh huy n AI. Th t may m n khi góc AIB = 45◦ th nên AB ⊥ BI. V y ∆ đi qua M(1; 2) và vuông góc v i (d ) và do đó ta có phương trình x − 3y + 5 = 0 Câu VIb. 2) (1 đi m) ———————————————————————————————— Trong không gian Oxyz cho (S) : (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = 25 vàM(2; −4; 1) . Trong t t c các đư ng th ng d qua M c t m t c u theo dây cung AB, vi t phương trình tham s c a đư ng th ng c t tr c Ox và th a mãn đ dài AB nh nh t. L i gi i: M t c u (S) có tâm I (1; −2; 3) và bán kính R = 5 Có M n m trong m t c u (S). G i H là hình chi u vuông góc c a I xu ng (d). Lúc đó IH ≤ IM ⇒ AB min ⇔ (d) ⊥IM. −→ − G i N (t; 0; 0) ∈ Ox là giao đi m c a (d) và Ox. Có MN = (t − 2; 4; −1) − → −→ − − −→ → − Do IM ⊥ (d) ⇔ IM.MN = 0 v i MN = (t − 2; 4; −1) , IM = (1; −2; −2) ⇒ t = 8 ⇒ N (8; 0; 0) −→ − V y đư ng th ng (d) c n tìm đi qua 2 đi m M, N và nh n MN = (6; 4; −1) làm véctơ ch phương  x = 2 + 6t  nên có phương trình tham s : y = −4 + 4t , t ∈ R   z = 1−t Câu VIIb. (1 đi m) ———————————————————————————————— Tìm các s ph c w đ phương trình b c hai ( n z): z2 + wz + 8i − 6 = 0 có 2 nghi m mà nghi m này g p đôi nghi m kia. L i gi i: G i z1 , z2 là hai nghi m c a phương trình. Lúc đó theo gi thi t bài toán có : z1 = 2z2 ⇔ (z1 − 2z2 ) (z2 − 2z1 ) = 0 ⇔ 9z1 z2 = 2 (z1 + z2 )2 ⇔ 9 (4i − 3) = w2 z2 = 2z1 G i w = x + yi.x, y ∈ R. x2 − y2 = −27 x=3 x = −3 Lúc đó có x2 − y2 + 2xyi = −27 + 36i ⇔ ⇔ hay xy = 18 y=6 y = −6 V y có 2 s ph c thõa yêu c u bài toán: w = 3 + 6i; w = −3 − 6i<br /> <br /> w. ma th. vn<br /> <br /> V y K(−2; −1). √ HI = 2HK √ Có: AI = 2AB<br /> <br />