Luận án Tiến sĩ Toán hoc: Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số lớp nhóm Lie Reductive thực thấp chiều

Chia sẻ: Tri Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:91

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của luận án là thể hiện tường minh các biểu diễn tự đẳng cấu thông qua lượng tử hóa và áp dụng chúng vào việc phâ tích phổ toán tử Laplace và phần rời rạc của biểu diễn chính quy cảu các nhóm reductive thực thấp chiều. Từ đố dùng nội soi để viết công thức Poisson cho các nhóm thấp chiều.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán hoc: Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số lớp nhóm Lie Reductive thực thấp chiều

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ THỊ PHƯƠNG QUỲNH BIỂU DIỄN TỰ ĐẲNG CẤU VÀ PHÂN TÍCH PHỔ CỦA BIỂU DIỄN CHÍNH QUY CỦA MỘT SỐ LỚP NHÓM LIE REDUCTIVE THỰC THẤP CHIỀU Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số : 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. ĐỖ NGỌC DIỆP 2016
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Đỗ Ngọc Diệp, luận án tiến sĩ chuyên ngành toán giải tích với tên đề tài "Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số lớp nhóm Lie reductive thực thấp chiều" là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả nghiên cứu được trình bày trong luận án là trung thực, khách quan và chưa từng để bảo vệ ở bất cứ học vị nào. Tôi xin cam đoan các thông tin trích dẫn trong luận án này đều được chỉ rõ nguồn gốc và tuân thủ đúng quy tắc. Tác giả Đỗ Thị Phương Quỳnh i
LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện đề tài “Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số lớp nhóm Lie reductive thực thấp chiều”. Tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ, tạo điều kiện của tập thể lãnh đạo, các nhà khoa học, cán bộ, chuyên viên Khoa Sau Đại học, Khoa Toán, giảng viên, cán bộ các phòng, ban chức năng Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành về sự giúp đỡ đó. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Đỗ Ngọc Diệp người thầy đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo tận tình cho tôi hoàn thành luận án này. Tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp của tôi và gia đình đã động viên, khích lệ, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành luận án này. Thái Nguyên, ngày 01 tháng 02 năm 2017 Nghiên cứu sinh Đỗ Thị Phương Quỳnh ii
Mục lục Trang bìa phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Từ công thức Poisson cổ điển đến công thức vết Arthur-Selberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1. Công thức tổng Poisson cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Nhóm nhân của các số phức và biến đổi Fourier-Laplace . . . . . 11 1.3. Công thức vết Arthur-Selberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1. Công thức vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2. Công thức vết ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chương 2. Nhóm hạng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1. Nhóm nội soi của SL(2, R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2. Biểu diễn tự đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.1. Tương ứng Langlands hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.2. Lượng tử hóa hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. Công thức vết Arthur-Selberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.1. Công thức vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.2. Công thức vết ổn định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4. Nội soi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 iii
2.5. Công thức tổng Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5.1. Vế hình học của công thức vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5.2. Vế phổ của công thức vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.5.3. Công thức tổng Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Chương 3. Nhóm hạng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1. Công thức tổng Poisson và nội soi cho SL(3, R) . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.1. Biểu diễn unita bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.2. Cảm sinh chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.3. Dãy phổ Hochschild-Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.4. Nội soi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1.5. Tích phân quỹ đạo ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.1.6. Công thức tổng Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2. Công thức tổng Poisson và nội soi cho SU(2, 1) . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2.1. Biểu diễn unita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2.2. Cảm sinh chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2.3. Dãy phổ Hochschild-Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2.4. Trường hợp chỉnh hình hoặc không chỉnh hình . . . . . . . . . . . 54 3.2.5. Công thức vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2.6. Nội soi và tổng Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3. Công thức tổng Poisson và nội soi cho Sp(4, R) . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3.1. Biểu diễn cảm sinh chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.3.2. Cảm sinh đối đồng điều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.3.3. Dãy phổ Hochschild-Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.3.4. Nội soi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3.5. Công thức tổng Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Kết luận và kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Danh mục các công trình công bố của tác giả . . . . . . . . . . . . . 81 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 iv
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt C Tập số phức N Tập số tự nhiên R Tập số thực Z Tập số nguyên R∗+ Tập số thực dương C∗ là tập số phức khác không o Tích nửa trực tiếp phải n Tích nửa trực tiếp trái ⊕ Tổng trực tiếp ∼ = Đẳng cấu K\G/K G chia thương trái và phải cho K diag(λ1 , λ2 , ..., λn ) Ma trận đường chéo L2 Không gian các hàm bình phương khả tích o L2 Phần rời rạc của không gian các hàm bình phương khả tích L2cont Phần liên tục của không gian các hàm bình phương khả tích tr A Vết của ma trận A det A Định thức của ma trận A Dk Biểu diễn chuỗi rời rạc P P π1 ( ) Nhóm cơ bản của không gian tôpô Θ⊥ Phần bù trực giao của Θ trong L2 (G) H(SL(2, R)) Đại số Hecke trên SL(2, R) gồm các hàm lớp C0∞ và K- bất biến 2 phía ||f | | Chuẩn của hàm f Gˆ Nhóm đối ngẫu của G, gồm các lớp tương đương của các biểu diễn unita bất khả quy của G S1 Đường tròn đơn vị C0∞ (R) Lớp hàm trơn có giá compact v
R⊕ R Tích phân trực tiếp của các biểu diễn IndG Bχ Biểu diễn cảm sinh từ B lên G {Γ} Tập các phần tử đại diện của các lớp liên hợp V ol Thể tích O(f ) Tích phân quỹ đạo của hàm f Gal(C/R) Nhóm Galois của mở rộng C/R G e Phủ phổ dụng của nhóm G Sk (Γ) Không gian các dạng modular trọng k của nhóm con rời rạc Γ vi
Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Giải tích điều hòa là một ngành toán nghiên cứu biểu diễn của các hàm hay phân tích, tổng hợp các sóng cơ bản và nghiên cứu tổng quát các khái niệm của lý thuyết chuỗi Fourier và biến đổi Fourier. Trong thế kỷ qua, giải tích điều hòa đã trở thành một lĩnh vực lớn với các ứng dụng trong nhiều lĩnh vực đa dạng như xử lý tín hiệu, cơ học lượng tử, phân tích thủy triều và thần kinh học. Biến đổi Fourier cổ điển trên Rn vẫn là lĩnh vực đang được nhiều nhà nghiên cứu "khai thác" đặc biệt là những vấn đề có liên quan đến biến đổi Fourier trên đối tượng tổng quát hơn như hàm suy rộng điều hòa. Giải tích điều hòa trừu tượng (xem [18]) bao gồm cả lý thuyết biểu diễn (xem [14], [25]), được sử dụng như một cơ sở thay thế vai trò của các hàm mũ trong phân tích Fourier cổ điển. Nói cách khác giải tích điều hòa trừu tượng là sự mở rộng của phân tích Fourier cổ điển lên một nhóm G tùy ý. Trong vấn đề này, có sự khác biệt lớn giữa trường hợp nhóm Aben và nhóm không Aben. Phân tích Fourier trên nhóm Aben G được xác định trong các số hạng của các đặc trưng nhóm tương ứng. Tuy nhiên đặc trưng bội là không phù hợp để mở rộng phân tích Fourier trên nhóm không Aben. Do đó trong trường hợp này biểu diễn nhóm (xem [24]) cho câu trả lời phù hợp (chú ý rằng đối với nhóm Aben các biểu diễn bất khả quy đều là một chiều). Trong giải tích điều hòa cổ điển trên R, công thức Poisson cho các hàm suy rộng là: +∞ X +∞ X δ(x − n) = 2π e−inx , n=−∞ n=−∞ 1
trong đó δ là hàm Dirac. Công thức trên đóng vai trò rất quan trọng với một hàm f ∈ C0∞ (R) được viết ở dạng +∞ X +∞ X f (m) = 2π fˆ(m), m=−∞ m=−∞ trong đó Z π 1 fˆ(m) = f (x)e−imx dx 2π −π là biến đổi Fourier của f . Vế trái của công thức trên được xem là phân tích của biểu diễn chính quy thành tổng các thành phần bất khả quy và vế phải được xem là tổng các giá trị biến đổi Fourier. Chính công thức này có thể cho một phân tích trên không gian các hàm bình phương khả tích như sau: X⊕ 2 L (R/πZ) = Cn , n∈Z với Cn = C. Mặt khác, công thức này dễ dàng được phát triển trên ngôn ngữ nhóm cho các nhóm sau: R, R∗+ , C∗ . Nếu ta xét G = S1 là một nhóm Lie compact giao hoán, lý thuyết chuỗi Fourier cho một câu trả lời thỏa đáng cho nhiều vấn đề của giải tích Fourier như biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược, công thức Plancherel .... Nếu chúng ta có một hàm trên R thì chúng ta có thể lấy trung bình trên các điểm nguyên để chuyển đến một hàm trên S1 . Công thức tổng Poisson cho ta mối quan hệ giữa tổng trên các điểm nguyên của các giá trị của hàm trên R với giá compact và tổng của các ảnh Fourier tương ứng của nó. Công thức này là một công cụ quan trọng cho giải tích phổ của không 1 gian các hàm bình phương khả tích trên đường tròn đơn vị L2C (S1 ; 2π dθ). Chính xác hơn, không gian L2 (S1 ; C) được phân tích thành tổng trực tiếp trực giao rời rạc của vô hạn lần của C : ⊕ C1n ; C1n ∼ X 2 L (R/2πZ) = = C. n∈Z Còn trong trường hợp G là nhóm cộng R cũng có kết quả tương tự như lý thuyết biến đổi Fourier. 2
Nhóm nhân R∗+ là vi phôi với R và tích phân Fourier tương ứng được gọi là biến đổi Mellin. Công thức nghịch đảo Mellin và công thức Plancherel có dạng phân tích không gian L2 (R∗+ ; dx x ) thành một tích phân trực tiếp Z L L2 (R∗+ ) = C1λ dλ, C1λ ∼ = C. R Nhóm nhân C∗ của các số phức khác không là đồng phôi với tích trực tiếp của nhóm con compact S1 và nhóm con không compact R∗+ và vì thế 1 dr có phân tích phổ của L2 (C∗ ; dθ), theo I.M. Gelfand, thành tổng trực 2π r tiếp rời rạc và tích phân trực tiếp liên tục. X⊕ Z ⊕ 2 ∗ L (C /2πZ × {1}) = Cn ⊕ C1λ . n∈Z R Bài toán được đặt ra là nghiên cứu để tìm ra công thức tổng Poisson tương tự như công thức Poisson nói trên trong khuôn khổ giải tích điều hòa trừu tượng trên các nhóm nửa đơn hoặc reductive. Công thức Poisson trừu tượng tổng quát chưa tồn tại nên chúng tôi tiếp cận đến bài toán này trên lớp các nhóm Lie có hạng 1 là nhóm SL(2, R) hoặc phủ phổ dụng SU(1, 1) cho nên chỉ cần nghiên cứu trường hợp SL(2, R) là đủ. Các nhóm hạng 2 là SL(3, R), SU(2, 1) và Sp(4, R), trong các trường hợp này chúng tôi tính toán các tích phân quỹ đạo cụ thể. Khi nhóm G là nhóm tuyến tính đặc biệt SL(2, R), tác động trên nửa mặt phẳng Poincaré H = SL(2, R)/ SO(2, R) bởi các biến đổi phân tuyến tính, chúng ta có thể chọn nhóm con Fuchsian kiểu I, Γ ⊆ SL(2, Z) sao cho thể tích hữu hạn V ol(Γ\G) < +∞ tương ứng với độ đo Haar tự nhiên trên SL(2, R). Khi đó nhóm tuyến tính đặc biệt này tồn tại duy nhất, chính xác đến liên hợp, một nhóm con Cartan H [27] là xuyến T (C) = GL1 (C) = C ∗ . Mặt khác L2 (Γ\ SL(2, R)) được phân tích phổ thành tổng trực giao hai phần đó là phần liên tục L2cont (Γ\ SL(2, R)) và phần rời rạc o L2 (Γ\ SL(2, R)). Phần rời rạc được phân tích thành tổng trực tiếp trực giao của các biểu diễn tự đẳng cấu, tức là các biểu diễn thu được từ biểu diễn chuỗi rời rạc của G, sau đó tính vết cho một biểu diễn chuỗi rời rạc này thì ta nhận được vế giải tích (hay vế phổ) của công thức tổng 3
Poisson. Còn lại phần liên tục L2cont (Γ\ SL(2, R)) chỉ cần biết rằng được phân tích thành tích phân trực tiếp của chuỗi cơ bản và chuỗi bù (xem [27]). Ta cũng đã biết rằng các biểu diễn tự đẳng cấu được xác định bởi đặc trưng (và đặc trưng vô cùng bé) của nó [12], và thu được ở dạng biểu diễn cảm sinh trên quỹ đạo liên hợp trong SL(2, R), sử dụng công thức tích phân quỹ đạo (xem [29],[22]) để tính vết cho một biểu diễn trên nhóm con nội soi ta sẽ thu được vế hình học của công thức tổng Poisson trên SL(2, R). Vì vậy công thức tổng Poisson là phương trình với một vế giải tích là tổng các phép chuyển của công thức chuyển quỹ đạo vết và vế hình học là tổng các phép chuyển của các biến đổi Fourier của công thức vết (theo các biến đổi hình học của Harish Chandra) [15]. Hoàn toàn tương tự chúng ta cũng có câu trả lời thỏa đáng cho các nhóm reductive có hạng 0 và hạng 1. Các nhóm Lie reductive hạng 2 sẽ phức tạp hơn rất nhiều, ví dụ như: SL(3, R), GL(3, R), SU(2, 1) .... Trong các trường hợp này và các trường hợp tổng quát, nhóm con Cartan được phân tích thành tích của xuyến cực đại và một xuyến xòe hạng r. Vẫn có công thức tổng Poisson cho các nhóm con Cartan này, nhưng chúng ta có thể chuyển công thức quỹ đạo vết lên một nhóm lớn hơn nhóm Cartan, và được gọi là nhóm con nội soi (là thành phần liên thông của phần tử đơn vị trong tâm hóa của phần tử nửa đơn chính quy của nhóm con Cartan). Bổ đề cơ bản khẳng định rằng vế hình học của công thức tổng Poisson cũng đúng khi chuyển lên từ nhóm con nội soi. Đây là một cách dễ để hiểu được bổ đề cơ bản, như một sự xuất hiện tự nhiên trong sự thu nhỏ của công thức vết của phần o L2 (Γ\G) của biểu diễn chính quy R trong L2 (Γ\G). Trong luận án, chúng tôi sẽ trình bày trong 3 chương với kết cấu như sau: Chương 1: Trong chương này chúng tôi dẫn dắt từ công thức Poisson cổ điển đến công thức vết Arthur-Selberg. Chương 2: Chúng tôi trình bày các kết quả kể trên cho SL(2, R). Chương 3: Chúng tôi trình bày các kết quả kể trên cho SL(3, R), SU(2, 1) và Sp(4, R). 4
2. Tổng quan Nghiên cứu các biểu diễn tự đẳng cấu là một bài toán thú vị liên quan đến giải tích điều hòa trừu tượng và lý thuyết biểu diễn (xem [25]), hình học, đại số, số học. Trong số học việc dùng lý thuyết biểu diễn dẫn đến các kết quả quan trọng trong lý thuyết trường-lớp, lý thuyết số đại số. Một ví dụ quan trọng và tiêu biểu là luật thuận-nghịch trong lý thuyết số đại số (xem [16], [27]). Các biểu diễn tự đẳng cấu của các nhóm Lie thấp chiều xuất hiện trong các công trình của I.M.Gelfand, Y.Piateski-Shapiro, R. Langlands .... Việc nghiên cứu các dạng tự đẳng cấu và các hệ quả có nhiều ứng dụng trong số học, hình học, đại số và vật lý (xem [20], [27]). Một số nhà toán học trong nước cũng đã tiếp cận đến bài toán này. Trong công trình [5] của Đỗ Ngọc Diệp đã đưa ra việc thể hiện các biểu diễn tự đẳng cấu thông qua lượng tử hóa hình học. Việc phân tích phổ của toán tử Laplace và của phổ rời rạc của biểu diễn chính quy của các nhóm Lie có thể thực hiện thông qua việc xét các công thức tính tổng Poisson. Từ đó có thể cho ta một cách tiếp cận hoàn toàn mới đến bài toán. Đó cũng chính là cách tiếp cận mà đề tài nghiên cứu được đặt ra. 3. Mục tiêu Mục tiêu của luận án là thể hiện tường minh các biểu diễn tự đẳng cấu thông qua lượng tử hóa và áp dụng chúng vào việc phân tích phổ toán tử Laplace và phần rời rạc của biểu diễn chính quy của các nhóm reductive thực thấp chiều. Từ đó dùng nội soi để viết công thức Poisson cho các nhóm thấp chiều. 4. Đối tượng Các đối tượng được nghiên cứu là các biểu diễn tự đẳng cấu và việc tìm ra các thể hiện cụ thể trong không gian các hàm có tính chất thích hợp. Sau đó chúng sẽ được dùng vào việc phân tích biểu diễn chính quy trên không gian L2 (Γ/G), đặc biệt là phần phổ rời rạc o L2 (Γ/G). Chúng tôi chỉ tập trung nghiên cứu trong trường hợp các nhóm Lie reductive thực thấp chiều. 5
5. Phạm vi nghiên cứu Trong luận án nghiên cứu các nội dung chính như sau: • Biểu diễn tự đẳng cấu của nhóm Lie thực thấp chiều cụ thể các nhóm hạng 1: SL(2, R), nhóm hạng 2: SL(3, R), SU(2, 1), Sp(4, R). • Nhóm con nội soi cho các nhóm reductive thấp chiều kể trên. • Phân tích phổ rời rạc của biểu diễn chính quy, công thức vết của biểu diễn và tổng Poisson. 6. Ý nghĩa thực tiễn của đề tài Trong luận án thực hiện các tính toán cụ thể cho các nhóm Lie thực thấp chiều hạng 1 và hạng 2. Vì vậy, kết quả thu được của đề tài cho một nhập môn dễ hiểu về chương trình Langlands trên các lớp nhóm đó. 7. Phương pháp nghiên cứu Do đặc thù của việc nghiên cứu ví dụ cụ thể là phải vận dụng các lý thuyết trừu tượng để tính toán ra kết quả cụ thể nên các phương pháp nghiên cứu chính trong luận án bao gồm: • Biểu diễn cảm sinh (xem [17]). • Lượng tử hóa hình học (xem [16]). • Phân tích phổ toán tử Laplace suy rộng trên diện Riemann. 8. Các kết quả chính của luận án • Các Định lý 2.1, ??, 2.3, 3.1.1, 3.2.1, 3.3.1 mô tả các biểu diễn tự đẳng cấu của các nhóm reductive thực thấp chiều. • Các Định lý 2.5, 2.6, 3.2, 3.8, 3.2.6 (a) mô tả các nhóm con nội soi, tích phân quỹ đạo, công thức vết. Trong 3.1.4, 3.2.6, 3.3.4 cho các tính toán tích phân quỹ đạo chi tiết lần đầu thu được. • Các Định lý 2.8, 2.9, 3.3, 3.5, 3.9, và 3.3.4 xác định công thức Poisson trên các nhóm hạng 1 và hạng 2 mà luận án xét đến. Các tính toán biểu diễn hình học, tích phân quỹ đạo được thực hiện chi tiết trong 3.1.4, 3.2.6, 3.3.4 là hoàn toàn mới. 6
9. Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại: • Seminar thường kỳ của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên các năm 2013, 2014, 2015 và 2016. • Seminar "Giải tích toán học" của phòng Giải tích toán học, Viện Toán học, Viện Hàn Lâm Khoa Học và Công Nghệ Việt Nam, 2014. • Đại hội Toán học Toàn quốc lần thứ 8, Nha Trang, 10-14/08/2013. • The Tohoku Forum for Creativity Thematic Program 2016 "Modern Interactions between Algebra, Geometry and Physics", Japan, 10- 15/04/2016. 7
Chương 1 Từ công thức Poisson cổ điển đến công thức vết Arthur-Selberg Chương này mang tính chất chuẩn bị, chúng tôi dẫn giải từ công thức Poisson cổ điển đến hiện đại bằng cách dùng công thức vết Arthur-Selberg và tích phân quỹ đạo do đó các định lý được phát biểu mà không chứng minh. 1.1. Công thức tổng Poisson cổ điển Cho một hàm số f khả tích tuyệt đối trên [−π; π]; khi đó hệ số của biến đổi Fourier được xác định như sau: Z 2π Z 1 1 cn (f ) = fˆ(n) = e−inx f (x)dx = e−2πinx f (2πx)dx. 2π 0 0 Một hàm thỏa mãn điều kiện Dini tại một điểm x ∈ [−π; π] nếu tồn tại một lân cận U = U (x) sao cho 1) f (x± ) := lim f (x ± t) tồn tại; t→+0 2) Tích phân (f (x − t) − f (x− )) − (f (x + t) − f (x+ )) Z dt U t hội tụ tuyệt đối. 1 Rπ Với Sn (f ) = +n f (t)e−ikt dteikx , xét hàm khả tích tuyệt đối f P k=−n 2π −π 8
trên khoảng [−π; π] thỏa mãn điều kiện Dini tại một điểm x, khi đó chúng ta có +n Z π Z π +n X 1 −ikt ikx 1 X Sn (f ) = f (t)e dte = f (t)( eik(x−t) )dt 2π −π 2π −π k=−n k=−n Z π 1 1 1 ei(n+ 2 )(x−t) − e−i(n+ 2 )(x−t) = f (t) 1 1 2π −π ei 2 (x−t) − e−i 2 (x−t) sin(n + 12 )(x − t) Z π 1 = f (t) dt 2π −π sin( 12 (x − t)) sin(n + 12 )t Z π 1 = f (x − t) dt. 2π −π sin( 12 t) Vì vậy chúng ta có f (x+ ) + f (x− ) Sn (f ) − 2 π (f (x − t) − f (x− )) − (f (x + t) − f (x+ )) Z 1 1 = sin(n + )tdt → 0. π 0 2 sin 12 t 2 Tích phân này là hội tụ tuyệt đối và đều. Định lý 1.1 Giả sử hàm f là khả tích tuyệt đối trên [−π; π] và thỏa mãn điều kiện Dini. Khi đó chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối đến nửa tổng của hai giá trị giới hạn +∞ X f (x+ ) + f (x− ) cn (f )einx = . −∞ 2 Đặc biệt nếu hàm là liên tục thì chúng ta có công thức nghịch đảo như khai triển Fourier +∞ X f (x) = cn (f )einx . n=−∞ Xét ϕ là hàm thuộc lớp Schwartz S(R). Ảnh Fourier của nó cũng thuộc lớp hàm Schwartz ϕˆ ∈ S(R). Khi đó tổng +∞ X f (x) = ϕ(x + 2πk) k=−∞ 9
hội tụ và tổng là hàm liên tục. Chúng ta có công thức hệ số Fourier của nó như sau: Z π 1 ck (f ) = f (x)e−ikx dx 2π −π +∞ Z 2π X 1 = ϕ(x + 2πk)e−ikn dx 2π 0 k=−∞ Z +∞ 1 = ϕ(x)e−ikx dx 2π −∞ = ϕ(k). ˆ Khi đó ta có công thức tổng Poisson trên R là: +∞ X +∞ X +∞ X inx inx f (x) = ϕ(x + 2πk) = cn (f )e = ϕ(n)e ˆ . n=−∞ n=−∞ n=−∞ Định lý 1.2 (Tổng Poisson [1]) Với mọi hàm ϕ ∈ C0∞ (R) trơn có giá compact ta có +∞ X +∞ X ϕ(n) = ϕ(m). ˆ n=−∞ m=−∞ Công thức này tương đương với dạng phân bố như sau: +∞ X +∞ X δ(x − n) = e−inx . n=−∞ n=−∞ Trong đó δ là hàm Dirac và ϕ(m) ˆ là một biến đổi Fourier. Công thức được hiểu rằng tổng trực tiếp của các biểu diễn bất khả quy là biểu diễn chính quy của nhóm phủ R = Se1 → S1 . Định lý 1.3 (xem [31]) Ta có phân tích sau: ⊕ 2 1 X L (R/2πZ, dθ) = Cn , 2π n∈Z trong đó Cn là không gian một chiều với tác động của x ∈ R bằng phép nhân lên e2πinx . 10
Định lý 1.4 (xem [31]) Z ⊕ 2 L (R) = C1ξ dξ, R trong đó Cξ là không gian một chiều C1 với tác động của x ∈ R lên e2πiξx . 1.2. Nhóm nhân của các số phức và biến đổi Fourier- Laplace Nhóm nhân C∗ = R∗+ × S1 là vi phôi với mặt phẳng thực 2 chiều R2 \{0} bởi ánh xạ C → C∗ , z 7−→ ez . Chúng ta nhắc lại công thức tích phân Laplace Fourier cổ điển Z +∞ Z 2π 1 d|z| fˆ(n, λ) = |z|−iλ e−2πni arg(z) f (z) d arg(z). 2π 0 0 |z| Nó cũng chính là công thức tích phân Laplace Fourier Z 2π 1 cn (f ) = fˆ(n, 0) = e−2πni arg(z) f (z)d arg(z) 2π 0 với Z +∞ 1 d|z| fˆ(λ) = fˆ(0, λ) = |z|−iλ f (z) 2π 0 |z| trong đó công thức nghịch đảo là +∞ Z +∞ X 1 f (z) = cn (f )e2πin arg(z) + √ |z|−iλ fˆ(λ)dλ. −∞ 2π −∞ Không gian Hilbert L2 (C∗ ) được phân tích thành một tổng của các chuỗi rời rạc và tích phân liên tục. Định lý 1.5 Ta có phân tích sau: ⊕ Z ⊕ 2 ∗ 1 d|z| X L (C /2πZ × {1}, d arg(z)) = Cn ⊕ C1λ dλ, 2π |z| R n∈Z trong đó Cn là không gian một chiều C1 với tác động của z ∈ C∗ như phép nhân với e−2πin arg z , Cλ là không gian một chiều C1 với tác động của z ∈ C∗ như phép nhân với |z|−iλ−1 . 11
1.3. Công thức vết Arthur-Selberg Trong phần này chúng tôi trình bày về công thức vết Arthur-Selberg trên một nhóm G tổng quát. Đây là mục quan trọng vì từ công thức vết này đã giúp chúng tôi nghĩ đến cách tính được công thức vết của biểu diễn chính quy trên các nhóm Lie reductive ở 2 chương sau. 1.3.1. Công thức vết Lấy nhóm con hữu hạn sinh kiểu Langlands Γ của G (xem [6], [21]) với số hữu hạn các nhọn. Lấy f ∈ C0∞ (G) và ϕ thuộc không gian biểu diễn cảm sinh [16], trong đó tác động của biểu diễn cảm sinh IndG B χ chuỗi rời rạc được xem như một biểu diễn con của biểu diễn chính quy phải R bởi các phép tịnh tiến phải trên biến. Toán tử R(f ) được xác định một cách tự nhiên như tích phân: Z Z R(f )ϕ = f (y)R(y)ϕ(x)dy = f (y)ϕ(xy)dy Z G G = f (x−1 y)ϕ(y)dy (bất biến phải của độ đo Haar dy) G   Z X =  f (x−1 γy) ϕ(y)dy. Γ\G γ∈Γ Vì vậy, tác động này có thể được biểu diễn bởi một toán tử với hạch Kf (x, y) dạng Z [R(f )ϕ](x) = Kf (x, y)ϕ(y)dy, Γ\G trong đó X Kf (x, y) = f (x−1 γy). γ∈Γ Vì hàm f là hàm có giá compact nên tổng này là hội tụ, và theo đó nó là hữu hạn. Cho x bất kỳ, cố định và Kf thuộc lớp L2 (Γ\G × Γ\G) thì vết của một toán tử được xác định như sau: Z tr R(f ) = Kf (x, x)dx. Γ\G 12
Theo giả thiết, nhóm con rời rạc Γ là hữu hạn sinh. Ký hiệu {Γ} là tập các phần tử đại diện của các lớp liên hợp. Cho bất kỳ γ ∈ Γ ký hiệu nhóm con tâm của γ ∈ Ω ⊂ G là Ωγ , trong trường hợp đặc biệt, Gγ ⊂ G. Theo định lý Fubini cho tích phân kép, chúng ta có thể đổi thứ tự của tích phân để có Z tr R(f ) = Kf (x, x)dx Γ\G Z X = f (x−1 γx)dx Γ\G γ∈Γ Z X X = f (x−1 δ −1 γδx)dx Γ\G γ∈{Γ} δ∈Γ \Γ γ X Z = f (x−1 γx)dx γ∈{Γ} Γγ \G X Z Z = f (x−1 u−1 γux)dudx γ∈{Γ} Gγ \G Γγ \Gγ X Z = Vol(Γγ \Gγ )f (x−1 γx)dx. γ∈{Γ} Gγ \G Vì vậy để tính được công thức vết chúng ta sẽ tính theo thứ tự sau: • Xác định lớp liên hợp của các γ trong Γ: chúng ta nói γ là kiểu elliptic (các giá trị riêng khác nhau cùng dấu), kiểu hyperbolic (không suy biến, với các giá trị riêng khác dấu), kiểu parabolic (suy biến). • Tính thể tích Vol(Γγ \Gγ ) của không gian thương của nhóm con dừng Gγ theo nhóm con dừng rời rạc trong nó Γγ . • Tính toán công thức tích phân quỹ đạo (xem [22]), theo định nghĩa là Z O(f ) = f (x−1 γx)dx. ˙ Gγ \G Ý tưởng chính trong luận án là sẽ tính toán công thức tích phân quỹ đạo trên nhóm con nội soi khi ấy tích phân trở thành các tích phân thông thường. 13