Luận án tiến sĩ Toán học: Một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn

Chia sẻ: Trần Văn Yan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:145

Thêm vào BST

Báo xấu

31
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của đề tài là xây dựng các phương pháp lặp giải bài toán. Đưa ra các ví dụ minh họa cho các kết quả lý thuyết, trong đó có những ví dụ thể hiện ưu thế của phương pháp đề xuất so với phương pháp của một số tác giả khác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án tiến sĩ Toán học: Một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NGUYỄN THANH HƯỜNG GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HàNội - 2019
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NGUYỄN THANH HƯỜNG GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mãsố: 9 46 01 12 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. GS. TS. Đặng Quang Á 2. TS. Vũ Vinh Quang HàNội – 2019
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi với sự hướng dẫn khoa học của GS. TS. Đặng Quang Á và TS. Vũ Vinh Quang. Những kết quả trình bày trong Luận án là mới, trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình của ai khác. Các kết quả thực nghiệm đã được kiểm tra bằng các chương trình do chính tôi thiết kế và thử nghiệm trên môi trường MATLAB, số liệu là hoàn toàn trung thực. Các kết quả được công bố chung đã được cán bộ hướng dẫn và đồng tác giả cho phép sử dụng trong Luận án. Nghiên cứu sinh Nguyễn Thanh Hường i
LỜI CẢM ƠN Trước hết, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới các Thầy hướng dẫn, GS. TS. Đặng Quang Á và TS. Vũ Vinh Quang. Trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện Luận án, các Thầy luôn kiên nhẫn, tận tình chỉ bảo, dìu dắt và giúp đỡ em. Chính niềm say mê khoa học, sự nghiêm khắc trong khoa học cùng với đó là sự quan tâm, động viên và khích lệ của các Thầy là động lực khiến em không ngừng nỗ lực, cố gắng vượt qua mọi khó khăn, vất vả để hoàn thành Luận án. Em xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô và các thành viên trong nhóm Seminar khoa học của Phòng các Phương pháp Toán học trong Công nghệ thông tin, Viện Công nghệ Thông tin cùng các cán bộ nghiên cứu. Những ý kiến nhận xét và đóng góp vô cùng quý báu trong các buổi báo cáo và thảo luận đã giúp em hoàn thành tốt nhất Luận án của mình. Em xin chân thành cảm ơn cơ sở đào tạo - Viện Công nghệ Thông tin và Học viện Khoa học và Công nghệ. Quý Viện và Học viện đã luôn tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt quá trình học tập và nghiên cứu của mình tại đây. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến lãnh đạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, các bạn bè đồng nghiệp, gia đình và người thân đã luôn đồng hành, hỗ trợ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành Luận án. Xin chân thành cảm ơn! ii
Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu R Tập các số thực R+ Tập các số thực không âm C Tập các số phức RK Không gian Euclide K chiều C k [a, b] Không gian các hàm có đạo hàm cho đến cấp k liên tục trên [a, b] C([0, ∞)) Không gian các hàm liên tục trên [0, ∞) C(R) Không gian các hàm liên tục trên R C([0, 1] × R) Không gian các hàm liên tục trên [0, 1] × R C([a, b], K) Không gian các hàm liên tục f : [a, b] → K C([a, b] × R4 , R) Không gian các hàm liên tục f : [a, b] × R4 → R Ω Miền giới nội Γ Biên của miền Ω Ω Bao đóng của miền Ω C(Ω) Không gian các hàm liên tục trên Ω C(Ω × R) Không gian các hàm liên tục trên Ω × R 1 C (Ω × R, R) Không gian các hàm f : Ω × R → R có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trên Ω × R 2 C (Ω) Không gian các hàm có đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục trên Ω ∞ C (Γ) Không gian các hàm khả vi vô hạn trên Γ ∞ C (Ω × R × R) Không gian các hàm khả vi vô hạn trên Ω × R × R ∆, ∆2 , ∇ Toán tử Laplace, toán tử song điều hòa, toán tử Gradient q L (Ω) Không gian các hàm khả tích bậc q trên Ω ∞ L (Ω) Không gian các hàm bị chặn hầu khắp nơi trên Ω kxk Chuẩn của phần tử x kxk2 Chuẩn trong không gian L2 của phần tử x H 2 (Ω) Không gian Sobolev các hàm có đạo hàm suy rộng cho đến cấp hai thuộc L2 (Ω) H01 (Ω) Không gian Sobolev các hàm triệt tiêu trên biên Ω, có đạo hàm suy rộng cấp một thuộc L2 (Ω) O(h) Vô cùng bé bậc cao hơn h iii
Danh sách hình vẽ 2.1 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2 Đồ thị của r(K) trong Ví dụ 2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.4 Đồ thị của r(K) trong Ví dụ 2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.5 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.1.2. . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.6 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.7 Đồ thị của r(K) trong Ví dụ 2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.8 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.9 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.10 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.11 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.5. . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.12 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.6. . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.13 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.7. . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.14 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.10. . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.15 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.16 Đồ thị của các nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.15. . . . . . . . . . . . . . 75 2.17 Đồ thị của các nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.16. . . . . . . . . . . . . . 76 2.18 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.19 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.20 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.21 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.22 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.20. . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.1 Đồ thị của sai số e(m) của Phương pháp DIM2 (trái) và phương pháp nhanh nhất của Wang (phải) trong Ví dụ 3.1 với k = 1, σ = 2π 2 . . 111 3.2 Đồ thị của sai số e(m) của Phương pháp DIM2 (trái) và phương pháp nhanh nhất của Wang (phải) trong Ví dụ 3.1 với k = 1, σ = 12π 2 . 111 3.3 Đồ thị của sai số e(m) của Phương pháp DIM2 (trái) và phương pháp nhanh nhất của Wang (phải) trong Ví dụ 3.2 với k = 0.1. . . . . . 112 3.4 Đồ thị của sai số e(m) của Phương pháp DIM2 (trái) và phương pháp nhanh nhất của Wang (phải) trong Ví dụ 3.2 với k = 0.4. . . . . . 113 3.5 Đồ thị của sai số e(m) và tỉ số r(m) trong Ví dụ 3.3 . . . . . . . . . . . 113 iv
3.6 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.7 Đồ thị của sai số e(m) và tỉ số r(m) trong Ví dụ 3.4 . . . . . . . . . . . 114 3.8 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.9 Đồ thị của e(m) trong Ví dụ 3.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.10 Đồ thị của e(m) trong Ví dụ 3.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.11 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.6. . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.12 Đồ thị của e(m) trong Ví dụ 3.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.13 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.7. . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.14 Đồ thị của e(m) trong Ví dụ 3.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3.15 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.8. . . . . . . . . . . . . . . . . 126 v
Danh sách bảng 2.1 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.3 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.13 với xấp xỉ đầu v0 = 0 . . . . . . . . . . . . . 73 2.4 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.13 với xấp xỉ đầu v0 = 0 . . . . . . . . . . . . . 74 2.5 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.14 với xấp xỉ đầu v0 = 0 . . . . . . . . . . . . . 74 2.6 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.15 với xấp xỉ đầu v0 = 0 . . . . . . . . . . . . . 75 2.7 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.16 với xấp xỉ đầu v0 = 0 . . . . . . . . . . . . . 75 2.8 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.9 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.21 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 0 . . . . . . . . 95 2.10 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.22 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 0 . . . . . . . . 96 2.11 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.23 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 0 . . . . . . . . 96 2.12 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.24 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 0 . . . . . . . . 97 2.13 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.25 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 0 . . . . . . . . 98 3.1 Sự hội tụ của phương pháp lặp trong Ví dụ 3.1 trên lưới đều 65 × 65 nút110 3.2 Sự hội tụ của phương pháp lặp trong Ví dụ 3.2 . . . . . . . . . . . . . 112 3.3 Sự hội tụ trong Ví dụ 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3.4 Sự hội tụ trong Ví dụ 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.5 Sự hội tụ trong Ví dụ 3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.6 Sự hội tụ trong Ví dụ 3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 vi
Mục lục Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . iii Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1. Một số định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.1. Giới thiệu chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.2. Định lý điểm bất động Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.3. Định lý điểm bất động Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2. Hàm Green đối với một số bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3. Đạo hàm số, tích phân số với sai số cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.1. Đạo hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.2. Tích phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4. Lược đồ sai phân với độ chính xác cấp bốn cho phương trình Poisson . 24 1.5. Phương pháp giải hệ phương trình lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5.1. Phương pháp truy đuổi giải hệ phương trình ba điểm . . . . . . . . . . . 26 1.5.2. Phương pháp rút gọn hoàn toàn giải hệ phương trình véc tơ ba điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Chương 2. Sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn 34 2.1. Bài toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.1. Trường hợp điều kiện biên tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.2. Trường hợp điều kiện biên Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.1.3. Trường hợp điều kiện biên phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.2. Bài toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn không địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.2.1. Trường hợp điều kiện biên dạng gối - tựa đơn giản . . . . . . . . . . . . . . 76 2.2.2. Trường hợp điều kiện biên phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 vii
Chương 3. Sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải bài toán biên phi tuyến cho phương trình đạo hàm riêng cấp bốn 100 3.1. Bài toán biên phi tuyến cho phương trình song điều hòa . . . . . . . . . . . . . 100 3.1.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.1.2. Phương pháp giải và ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.2. Bài toán biên phi tuyến cho phương trình song điều hòa loại Kirchhoff 115 3.2.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.2.2. Phương pháp giải và ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Danh mục các công trình đã công bố của Luận án . . . . . . 129 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 viii
MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết của Luận án Nhiều hiện tượng trong Vật lý, Cơ học và một số lĩnh vực khác được mô hình hóa bởi các bài toán biên cho phương trình vi phân thường hoặc phương trình đạo hàm riêng với các loại điều kiện biên khác nhau. Việc nghiên cứu định tính cũng như phương pháp giải các bài toán này luôn là những chủ đề thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học trong và ngoài nước như R.P. Agawarl, E. Alves, P. Amster, Z. Bai, Y. Li, T.F. Ma, H. Feng, F. Minhós, Y.M. Wang, Đặng Quang Á, Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Đông Anh, Nguyễn Hữu Công, Nguyễn Văn Đạo, Lê Lương Tài, ... Sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, tính dương của nghiệm, phương pháp lặp tìm nghiệm của một số bài toán biên cho phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng cấp bốn đã được xét đến trong các công trình của tác giả Đặng Quang Á và các cộng sự trong [17]-[24]. Tác giả Phạm Kỳ Anh cũng có một số công trình nghiên cứu về tính giải được, cấu trúc tập nghiệm, các phương pháp xấp xỉ nghiệm, ... của bài toán biên tuần hoàn (xem [10], [11]). Sự tồn tại nghiệm, tồn tại nghiệm dương của các bài toán về dầm được xét đến trong các công trình của tác giả T.F. Ma (xem [45]-[50]). Lý thuyết và vấn đề giải số các bài toán biên tổng quát đã được đề cập đến trong các tài liệu [5], [12], [37], [60], ... Trong số các bài toán biên, bài toán biên cho phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến cấp bốn nhận được sự quan tâm lớn của các nhà nghiên cứu bởi chúng là mô hình toán học của nhiều hiện tượng trong thực tiễn như sự uốn cong của dầm và của bản, ... Có thể chia phương trình vi phân cấp bốn thành hai loại: Phương trình vi phân cấp bốn địa phương và phương trình vi phân cấp bốn không địa phương. Phương trình vi phân cấp bốn có chứa thành phần tích phân được gọi là phương trình vi phân cấp bốn không địa phương hoặc phương trình loại Kirchhoff. Ngược lại, phương trình được gọi là phương trình vi phân cấp bốn địa phương. Dưới đây, ta sẽ điểm qua một số phương pháp tiêu biểu và một số công trình sử dụng các phương pháp này khi nghiên cứu các bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn. Phương pháp được kể đến đầu tiên là phương pháp biến phân - phương pháp phổ biến nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán biên phi tuyến. Ý tưởng 1
của phương pháp là đưa bài toán ban đầu về bài toán tìm cực trị của một phiếm hàm. Các định lý về điểm tới hạn được sử dụng trong nghiên cứu sự tồn tại cực trị của phiếm hàm. Xét bài toán biên cho phương trình vi phân cấp bốn loại Kirchhoff trong [45] năm 2000 Z1 (4) u (x) − M c |u (s)| ds u00 (x) + f (x, u(x)) = 0, 0 2 0 < x < 1, 0 u0 (0) = u0 (1) = 0, u000 (0) = −g(u(0)), u000 (1) = g(u(1)), trong đó M c ∈ C([0, ∞)), f ∈ C([0, 1] × R), g ∈ C(R) và M c(|s|) ≥ 0, g(s)s > 0, ∀s 6= 0. Bằng phương pháp biến phân, T.F. Ma chứng minh được sự tồn tại nghiệm của bài toán với giả thiết F (x, t) → +∞ khi |t| → ∞, trong đó F (x, t) = Rt 0 f (x, s)ds. Sau đó, trong [46] năm 2003, cũng bằng phương pháp biến phân, tác giả thiết lập sự tồn tại nghiệm của bài toán Z L (4) u (x) − M c |u (s)| ds u00 (x) = f (x, u(x)), 0 < x < L, 0 2 0 Z L u(0) = u0 (0) = u00 (L) = 0, u000 (L) − M c |u (s)| ds u0 (L) = g(u(L)) 0 2 0 với các giả thiết ∃m0 ∈ [0, L−2 ) sao cho M c(s) ≥ −m0 , ∀s ≥ 0; ∃α0 , β0 > 0 sao cho f (x, t) g(t) lim = l(x) < α0 , lim = k > −β0 ; |t|→∞ t |t|→∞ t và m0 L2 + α0 L4 + β0 L3 < 1. Năm 2016, trong [35], S. Heidarkhani và các cộng sự sử dụng phương pháp biến phân đã chỉ ra sự tồn tại nghiệm của bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn địa phương với các điều kiện biên phi tuyến u(4) (x) = λf (x, u(x)) + µg(x, u(x)) + p(u(x)), 0 < x < 1, u(0) = u0 (0) = 0, u00 (1) = 0, u000 (1) = h(u(1)), trong đó λ > 0, µ ≥ 0, f, g thuộc lớp L2 các hàm Carathéodory, p, h là các hàm liên tục Lipschitz, p(0) = h(0) = 0. Trong công trình này, các tác giả đặt ra rất nhiều giả thiết phức tạp về điều kiện tăng trưởng tại vô cùng của các hàm f, g, p, h. Phương pháp biến phân không chỉ áp dụng đối với các bài toán biên cho phương trình vi phân thường mà còn áp dụng với bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng. Trong [57] năm 2010, R. Pei xét bài toán biên Navier cho phương trình song điều hòa ∆2 u(x) = f (x, u), x ∈ Ω, 2
u = ∆u = 0, x ∈ Γ, ở đây Ω là miền trơn, bị chặn trong RK , K > 4. Sử dụng phương pháp biến phân, tác giả đã chứng minh được rằng bài toán trên có ít nhất ba nghiệm không tầm thường nếu hàm f thỏa mãn các điều kiện sau: (B1) f ∈ C 1 (Ω × R, R), f (x, 0) = 0, f (x, t)t ≥ 0, ∀x ∈ Ω, t ∈ R; (B2) lim|t|→0 (f (x, t)/t) = f0 < λ1 , lim|t|→∞ (f (x, t)/t) = λk , ở đây λ1 là giá trị riêng thứ nhất, λk là giá trị riêng thứ k (với k ≥ 2) của (∆2 , H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω)); Rt (B3) lim|t|→∞ [f (x, t)t − 2F (x, t)] = −∞, ở đây F (x, t) = 0 f (x, s)ds. Năm 2012, trong [66], F. Wang và Y. An xét bài toán biên cho phương trình song điều hòa loại Kirchhoff Z 2 ∆ u=M c |∇u|2 dx ∆u + f (x, u), x ∈ Ω, Ω u = 0, ∆u = 0, x ∈ Γ. Để chứng minh sự tồn tại nghiệm không âm của bài toán trên, bằng phương pháp biến phân, các tác giả đặt ra nhiều giả thiết về sự tăng trưởng tại vô cùng của hàm f: (B1’) f (x, t) ∈ C(Ω × R); f (x, t) ≡ 0, ∀x ∈ Ω, t ≤ 0; f (x, t) ≥ 0, ∀x ∈ Ω, t > 0; (B2’) |f (x, t)| ≤ a(x) + b|t|p , ∀t ∈ R, x ∈ Ω, ở đây a(x) ∈ Lq (Ω), b ∈ R, 1 < p < K+4 1 K−4 nếu K > 4, 1 < p < ∞ nếu K ≤ 4 và p + q = 1; 1 (B3’) f (x, t) = O(|t|) khi t → 0, x ∈ Ω; (B4’) Tồn tại hằng số Θ > 2, R > 2 sao cho ΘF (x, s) ≤ sf (x, s), ∀|s| ≥ R, ở Rs đây F (x, s) = 0 f (x, t)dt. Ngoài các công trình nêu trên, có thể kể thêm nhiều công trình khác cũng áp dụng phương pháp biến phân nghiên cứu các bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn như [25], [33], [47], ... Mặc dù phương pháp biến phân là một công cụ phổ biến và hữu hiệu khi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán biên tuy nhiên cũng phải để ý rằng, khi sử dụng phương pháp biến phân, với các giả thiết về điều kiện tăng trưởng đặt lên hàm vế phải, các tác giả phần lớn là xét sự tồn tại nghiệm, sự tồn tại nhiều nghiệm của bài toán (có thể xét sự tồn tại duy nhất của nghiệm trong trường hợp phiếm hàm lồi) nhưng lại không có ví dụ nào về nghiệm tồn tại, đồng thời phương pháp giải bài toán cũng không được xét đến. Phương pháp tiếp theo được sử dụng rộng rãi là phương pháp nghiệm trên và nghiệm dưới. Kết quả chính của phương pháp này khi áp dụng cho các bài toán biên phi tuyến như sau: Nếu bài toán có nghiệm trên và nghiệm dưới thì với một số giả thiết, bài toán có ít nhất một nghiệm và nghiệm này nằm trong khoảng nghiệm trên và nghiệm dưới. Đồng thời ta có thể xây dựng được hai dãy đơn điệu với các xấp xỉ đầu là nghiệm trên và nghiệm dưới hội tụ tới nghiệm cực đại và nghiệm cực 3
tiểu của bài toán. Trong trường hợp hai nghiệm cực đại và cực tiểu trùng nhau thì bài toán có nghiệm duy nhất. Sau đây ta điểm qua một số công trình sử dụng phương pháp nghiệm trên và nghiệm dưới khi nghiên cứu các bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn. Đầu tiên, xét bài toán trong công trình [14] năm 2007 u(4) (x) = f (x, u(x), u0 (x), u00 (x), u000 (x)), 0 < x < 1, u(0) = u0 (1) = u00 (0) = u000 (1) = 0. Hàm α và β ∈ C 3 [0, 1] ∩ C 4 (0, 1) tương ứng được gọi là nghiệm trên và nghiệm dưới của bài toán nếu α(4) (x) ≥ f (x, α(x), α0 (x), α00 (x), α000 (x)), 0 < x < 1, α(0) = α0 (1), α00 (0) ≤ 0, α000 (1) ≤ 0, β (4) (x) ≤ f (x, β(x), β 0 (x), β 00 (x), β 000 (x)), 0 < x < 1, β(0) = β 0 (1), β 00 (0) ≥ 0, β 000 (1) ≥ 0. Trong công trình này, Z. Bai đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán với giả thiết bài toán có nghiệm trên và nghiệm dưới α, β thỏa mãn điều kiện α00 ≤ β 00 đồng thời giả thiết thêm hàm f thỏa mãn điều kiện Nagumo tương ứng theo α00 , β 00 , tức là tồn tại hàm dương h(z) trên [0, ∞) sao cho |f (x, u, y, v, z)| ≤ h(|z|) với mọi (x, u, y, v, z) ∈ [0, 1] × [−M , M ]2 × [α00 , β 00 ] × R và Z ∞ s ds > max β 00 (x) − min α00 (x), λ h(s) 0≤x≤1 0≤x≤1 trong đó λ = max{|β 00 (1) − α00 (0)|, |β 00 (0) − α00 (1)|}. Tiếp theo, xét công trình [31] của H. Feng và các cộng sự năm 2009 khi nghiên cứu bài toán u(4) (x) = f (x, u(x), u0 (x), u00 (x), u000 (x)), 0 < x < 1, u(0) = 0, u0 (1) = 0, au00 (0) − bu000 (0) = 0, cu00 (1) + du000 (1) = 0. Hàm α và β ∈ C 3 [0, 1] ∩ C 4 (0, 1) tương ứng được gọi là nghiệm trên và nghiệm dưới của bài toán nếu α(4) (x) ≥ f (x, α(x), α0 (x), α00 (x), α000 (x)), 0 < x < 1, α(0) = 0, α0 (1) = 0, aα00 (0) − bα000 (0) ≤ 0, cα00 (1) + dα000 (1) ≤ 0, (0.0.1) β (4) (x) ≤ f (x, β(x), β 0 (x), β 00 (x), β 000 (x)), 0 < x < 1, β(0) = 0, β 0 (1) = 0, aβ 00 (0) − bβ 000 (0) ≥ 0, cβ 00 (1) + dβ 000 (1) ≥ 0. 4
Cũng với giả thiết bài toán có nghiệm trên và nghiệm dưới α, β thỏa mãn α00 ≤ β 00 , hàm f thỏa mãn điều kiện Nagumo tương ứng theo α00 , β 00 , đồng thời giả thiết hàm f (x, u, y, v, z) giảm theo u, y, tăng chặt theo z, các tác giả thiết lập được sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán. Năm 2006, trong công trình [68], Y.M. Wang xét bài toán 4(k(x)4u) = f (x, u, 4u), x ∈ Ω, B[u] = g1 (x), B[k4u] = g2 (x), x ∈ Γ, ở đây Ω là miền bị chặn trong RK với biên trơn Γ, 4 là toán tử Laplace, k(x) ∈ ¯ k(x) ≥ k0 > 0, f ∈ C ∞ (Ω × R × R), gi ∈ C ∞ (Γ) và B là toán tử biên tuyến C 2 (Ω), tính xác định bởi ∂w B[w] = w hoặc B[w] = + β(.)w, β(x) ≥ 0 trên Γ, β ∈ C ∞ (Γ). ∂ν Cặp hàm u e, u ¯ được gọi là cặp nghiệm trên và dưới của bài toán b ∈ C 4 (Ω) ∩ C 2 (Ω) e≥u nếu u b, 4eu ≤ 4b u và 4(k(x)4e u) ≥ f (x, u, 4e u), 4(k(x)4b u) ≤ f (x, u, 4b u), x ∈ Ω, u b≤u≤u e, u] ≥ g1 (x) ≥ B[b B[e u], u] ≤ g2 (x) ≤ B[k4b B[k4e u], x ∈ Γ. Tác giả đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm của bài toán và xây dựng được hai dãy xấp xỉ hội tụ đơn điệu tới nghiệm với giả thiết bài toán có nghiệm trên, nghiệm dưới và hàm f (x, u, v) là đơn điệu theo u. Ngoài các công trình trên, ta có thể kể đến nhiều công trình sử dụng phương pháp nghiệm trên và nghiệm dưới nghiên cứu các bài toán biên phi tuyến (xem [13], [29], [52], [67], [69], [70], ...). Từ các công trình trên ta thấy rằng, phương pháp nghiệm trên và nghiệm dưới có thể thiết lập được sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, xây dựng được dãy lặp hội tụ tới nghiệm nhưng một giả thiết không thể thiếu được là bài toán phải có nghiệm trên và nghiệm dưới, trong khi đó tìm được các nghiệm này không phải là việc dễ dàng. Ngoài ra ta còn cần các giả thiết khác đặt lên hàm vế phải như điều kiện tăng trưởng tại vô cùng hoặc điều kiện phức tạp như điều kiện Nagumo ... Ngoài phương pháp biến phân, phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới, các nhà khoa học còn dùng phương pháp sử dụng các định lý điểm bất động trong nghiên cứu các bài toán biên phi tuyến. Áp dụng phương pháp này, người ta đưa bài toán đã cho về bài toán tìm điểm bất động của một toán tử, sau đó áp dụng các định lý điểm bất động đối với toán tử này. Ta có thể liệt kê rất nhiều công trình sử dụng phương pháp trên (xem [4], [7], [50], [64], [65], ...). Cụ thể, công trình [4] năm 1984 của R.P. Agarwal và Y.M. Chow xét bài toán với điều kiện biên Dirichlet u(4) (x) = f (x, u, u0 , u00 , u000 ), a < x < b, 5
u(a) = A1 , u0 (a) = A2 , u(b) = B1 , u0 (b) = B2 . Trong công trình này, các tác giả chỉ ra nghiệm của bài toán đã cho là điểm bất động của toán tử T Z b T u = P3 (x) + G(x, s)f (s, u, u0 , u00 , u000 )ds, a ở đây G(x, s) là hàm Green của bài toán u(4) (x) = 0 với các điều kiện biên u(a) = u0 (a) = u(b) = u0 (b) = 0, P3 (x) là đa thức bậc ba thỏa mãn các điều kiện P3 (a) = A1 , P30 (a) = A2 , P3 (b) = B1 , P30 (b) = B2 . Với một số giả thiết đặt lên hàm f , bằng cách sử dụng Nguyên lý điểm bất động Schauder các tác giả đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm của bài toán, áp dụng định lý điểm bất động Banach cho ánh xạ co, các tác giả chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán, đồng thời xây dựng dãy lặp Picard với xấp xỉ đầu là một nghiệm xấp xỉ của bài toán hội tụ tới nghiệm duy nhất này. Xét bài toán biên cho phương trình vi phân cấp bốn loại Kirchhoff Z L (4) u (x) − M c u (s)ds u00 (x) = f (x, u(x), u0 (x)), 0 < x < L, 02 0 u(0) = u00 (0) = 0, u(L) = 0, u00 (L) = g(u0 (L)) trong công trình [50] của T.F. Ma và A.L.M. Martinez năm 2010. Các tác giả đã đưa bài toán đã cho về phương trình toán tử đối với ẩn hàm Z L u(x) = T u(x) = G(x, t)z(t)dt, 0 trong đó Z L z(t) = c(ku0 k2 )u(t) − t g(u0 (L)). G(t, s)f (s, u(s), u0 (s))ds − M 2 0 L Sau đó áp dụng định lý điểm bất động Krasnosel’skii trên nón, các tác giả chứng minh được sự tồn tại nghiệm dương của bài toán. Ngoài Định lý điểm bất động Schauder, Định lý điểm bất động Krassnosel’skii, Định lý điểm bất động Banach, trong bài báo năm 2008 của P. Amster [7] sau khi đưa bài toán ban đầu về phương trình toán tử đối với ẩn hàm, tác giả sử dụng Định lý điểm bất động Leray-Schauder kết hợp với lý thuyết bậc Brouwer thiết lập sự tồn tại nghiệm của bài toán u(4) (x) − Au00 (x) + g(x, u(x)) = 0, 0 < x < L, u00 (0) = u00 (L) = 0, u000 (0) = −f (u(0)), u000 (L) = f (u(L)), trong đó A là hằng số không âm, f, g là các hàm liên tục. 6
Chú ý rằng, trong các công trình áp dụng phương pháp điểm bất động nghiên cứu các bài toán biên phi tuyến, phần lớn các tác giả sử dụng cách tiếp cận đưa bài toán đã cho về phương trình toán tử đối với hàm cần tìm. Sử dụng các định lý về tồn tại điểm bất động như Định lý điểm bất động Schauder, Leray-Schauder, Krassnosel’skii, ... đối với toán tử này ta chỉ thiết lập được sự tồn tại nghiệm của bài toán. Sử dụng Định lý điểm bất động Bannach, ta không những thiết lập được sự tồn tại duy nhất nghiệm mà còn đưa ra được phương pháp lặp hội tụ cấp số nhân tìm nghiệm. Tuy nhiên cũng phải để ý rằng, việc lựa chọn toán tử và xét toán tử này trên một không gian phù hợp sao cho các giả thiết đặt lên các hàm ràng buộc là đơn giản mà vẫn đảm bảo các điều kiện để áp dụng được các định lý điểm bất động trong nghiên cứu định tính cũng như phương pháp giải các bài toán biên phi tuyến đóng vai trò vô cùng quan trọng. Một trong những phương pháp số phổ biến được sử dụng rộng rãi trong xấp xỉ nghiệm của các bài toán biên cho phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp bốn là phương pháp sai phân hữu hạn (xem [46], [53], [63], [70], ...). Bằng cách thay thế các đạo hàm bởi các công thức sai phân, bài toán đã cho được rời rạc thành các hệ phương trình đại số. Giải hệ này ta thu được nghiệm xấp xỉ của bài toán tại các nút lưới. Chú ý rằng khi sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn nghiên cứu các bài toán biên phi tuyến, nhiều công trình tiếp cận theo hướng công nhận sự tồn tại nghiệm của bài toán (không xét về mặt định tính), rời rạc hóa bài toán ngay từ ban đầu. Cách làm này có nhược điểm là khó đánh giá được sự ổn định, hội tụ của lược đồ sai phân và khó có thể đánh giá sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ. Khi nghiên cứu các bài toán biên phi tuyến, ngoài các phương pháp phổ biến được trình bày ở trên còn có thể kể đến một số phương pháp khác như phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp chuỗi Taylor, phương pháp chuỗi Fourier, phương pháp sử dụng lý thuyết bậc Brouwer, bậc Leray-Schauder, ... Có thể kết hợp các phương pháp nêu trên để nghiên cứu đầy đủ cả về mặt định tính lẫn định lượng của bài toán. Với sự phát triển không ngừng của khoa học, kỹ thuật, vật lý, cơ học, ... xuất phát từ những bài toán thực tế, các bài toán biên mới được đặt ra ngày càng nhiều và phức tạp trong cả phương trình lẫn điều kiện biên. Mỗi tác giả sẽ có phương pháp, cách tiếp cận, kỹ thuật khác nhau với từng bài toán. Mỗi phương pháp đề ra sẽ có những ưu điểm và hạn chế riêng và khó có thể khẳng định phương pháp nào thực sự tốt hơn phương pháp nào từ lý thuyết cho đến thực nghiệm. Tuy nhiên, chúng tôi sẽ hướng tới phương pháp nghiên cứu được toàn diện cả về mặt định tính lẫn định lượng của các bài toán sao cho các điều kiện được đặt ra là đơn giản và dễ kiểm tra, đưa ra những ví dụ minh họa cho tính ứng dụng của kết quả lý thuyết, so sánh được kết quả chúng tôi đạt được so với kết quả đã có của một số 7
tác giả khác về một mặt nào đó. Đây chính là mục đích và lí do chúng tôi lựa chọn đề tài Luận án "Giải gần đúng một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn". 2. Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu của Luận án Đối với một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng cấp bốn là mô hình các bài toán trong lý thuyết uốn của dầm và của bản: - Nghiên cứu định tính (sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, tính dương của nghiệm) bằng cách sử dụng các định lý điểm bất động và nguyên lý cực đại không cần đến điều kiện tăng trưởng tại vô cùng, điều kiện Nagumo, ... của hàm vế phải. - Xây dựng các phương pháp lặp giải bài toán. - Đưa ra các ví dụ minh họa cho các kết quả lý thuyết, trong đó có những ví dụ thể hiện ưu thế của phương pháp đề xuất so với phương pháp của một số tác giả khác. 3. Phương pháp và nội dung nghiên cứu - Sử dụng cách tiếp cận đơn giản nhưng hiệu quả đưa các bài toán biên phi tuyến về phương trình toán tử đối với hàm cần tìm hoặc một hàm trung gian, sử dụng các công cụ của toán giải tích, giải tích hàm, lý thuyết phương trình vi phân, nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm và một số tính chất khác của nghiệm của một số bài toán biên cho phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng cấp bốn địa phương và không địa phương. - Đề xuất phương pháp lặp tìm nghiệm của các bài toán và chứng minh sự hội tụ của phương pháp. - Đưa ra một số ví dụ trong cả hai trường hợp đã biết trước nghiệm đúng và chưa biết trước nghiệm đúng để minh họa cho tính đúng đắn của các kết quả lý thuyết và kiểm tra sự hội tụ của các phương pháp lặp tìm nghiệm. 4. Kết quả đạt được của Luận án Luận án đề xuất một phương pháp đơn giản nhưng rất hiệu quả nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải năm bài toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn địa phương, không địa phương với các loại điều kiện biên khác nhau và hai bài toán biên cho phương trình song điều hòa và phương trình song điều hòa loại Kirchhoff nhờ sử dụng cách tiếp cận đưa bài toán 8
đã cho về phương trình toán tử đối với hàm cần tìm hoặc một hàm trung gian. Các kết quả đạt được là: - Thiết lập được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các bài toán dưới các điều kiện dễ kiểm tra, trong đó bài toán biên cho phương trình vi phân thường cấp bốn địa phương với điều kiện biên Dirichlet, điều kiện biên tổ hợp và bài toán biên cho phương trình song điều hòa, xét được tính dương của nghiệm. - Đề xuất phương pháp lặp giải các bài toán này và chứng minh sự hội tụ của phương pháp với tốc độ hội tụ cấp số nhân. - Đưa ra một số ví dụ minh họa cho khả năng ứng dụng của các kết quả lý thuyết, trong đó có những ví dụ thể hiện ưu thế của phương pháp trong Luận án so với phương pháp của một số tác giả khác. - Đưa ra các thử nghiệm số kiểm tra sự hội tụ của phương pháp lặp tìm nghiệm. Luận án được viết trên cơ sở các bài báo [A1]-[A8] trong Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến Luận án. 5. Cấu trúc của Luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của Luận án được trình bày trong 3 chương: Chương 1 trình bày các kiến thức bổ trợ bao gồm: một số định lý điểm bất động; hàm Green đối với một số bài toán; các công thức tính gần đúng đạo hàm và tích phân với sai số cấp hai và cấp cao hơn; lược đồ sai phân với độ chính xác cấp bốn cho phương trình Poisson và phương pháp giải hệ phương trình lưới. Đây là những kiến thức cơ bản, có vai trò rất quan trọng, làm nền tảng cho Chương 2 và Chương 3 của Luận án. Trong Chương 2, với cách tiếp cận đưa các bài toán biên phi tuyến về phương trình toán tử đối với hàm cần tìm hoặc một hàm trung gian, Luận án thiết lập sự tồn tại và duy nhất nghiệm đối với năm bài toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn địa phương và không địa phương với các điều kiện biên khác nhau, trong đó với hai bài toán biên cho phương trình vi phân cấp bốn địa phương với điều kiện biên Dirichlet và điều kiện biên tổ hợp, Luận án xét được tính dương của nghiệm. Trên cơ sở phương trình toán tử, Luận án đề xuất phương pháp lặp tìm nghiệm và chứng minh sự hội tụ với tốc độ hội tụ cấp số nhân của phương pháp lặp. Luận án cũng đưa ra các ví dụ trong cả hai trường hợp đã biết trước nghiệm đúng hoặc không biết trước nghiệm đúng để minh họa cho tính đúng đắn của các kết quả lý thuyết và hiệu quả của phương pháp lặp. Chú ý rằng trong các ví dụ này, một số ví dụ được phân tích để thấy được lợi thế trong phương pháp đề xuất so với phương pháp của một số tác giả khác. Tiếp tục phát triển các kỹ thuật của Chương 2, trong Chương 3, đối với hai 9
bài toán biên cho phương trình song điều hòa và phương trình song điều hòa loại Kirchhoff, Luận án cũng thu được các kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm và sự hội tụ của phương pháp lặp tìm nghiệm. Trong Luận án, các thực nghiệm tính toán được lập trình trong môi trường MATLAB 7.0 trên máy tính PC với CPU Intel Core i3, 4GB RAM. Các kết quả trong Luận án đã được báo cáo và thảo luận tại: 1. Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 11, Ba Vì, 24-27/4/2013. 2. Hội nghị toàn quốc lần thứ IV về Ứng dụng Toán học, Hà Nội, 23-25/12/2015. 3. Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 14, Ba Vì, 21-23/4/2016. 4. Hội nghị Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, 12-13/11/2016. 5. Hội nghị Nghiên cứu cơ bản và ứng dụng Công nghệ Thông tin (FAIR’ 10), Đà Nẵng, 17-18/8/2017. 6. The second Vietnam International Applied Mathematics Conference (VIAMC 2017), Ho Chi Minh, December 15 to 18, 2017. 7. Seminar khoa học của Phòng các Phương pháp Toán học trong Công nghệ Thông tin, Viện Công nghệ Thông tin, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. 10