Luận án tiến sĩ Toán học: Một số kết quả về tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng

Chia sẻ: Phong Tỉ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:118

Thêm vào BST

Báo xấu

67
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận án là thiết lập các kết quả nghiên cứu mới dựa vào việc khảo sát hai vấn đề cơ bản nêu trên, góp phần làm rõ vai trò của tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án tiến sĩ Toán học: Một số kết quả về tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ VĂN HIỂN MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH DƯỚI CHÍNH QUY MÊTRIC TRONG GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2019
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ VĂN HIỂN MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH DƯỚI CHÍNH QUY MÊTRIC TRONG GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 9 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. TS. Nguyễn Huy Chiêu 2. PGS. TS. Đinh Huy Hoàng NGHỆ AN - 2019
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận án tiến sĩ “Một số kết quả về tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng” là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Huy Chiêu và PGS. TS. Đinh Huy Hoàng. Các kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự cho phép của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả được trình bày trong luận án là mới và chưa công bố trong bất kì công trình nghiên cứu nào từ trước đến nay. Tác giả Lê Văn Hiển
LỜI CẢM ƠN Tác giả xin được bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc nhất đến các thầy hướng dẫn. TS. Nguyễn Huy Chiêu là người đã đặt bài toán và tận tình chỉ bảo tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu. PGS. TS. Đinh Huy Hoàng là người đã hướng dẫn, động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Vinh. Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong Bộ môn Toán Giải tích, Hội đồng khoa học ngành Toán, Viện Sư phạm Tự nhiên, Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của nghiên cứu sinh. Xin chân thành cảm ơn TS. Trần Thái An Nghĩa (Đại học Oakland, Mỹ) đã chia sẻ kinh nghiệm nghiên cứu và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận án. Tác giả xin gửi lời cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa và các thầy cô, anh chị em và bạn bè đồng nghiệp ở Trường Đại học Hà Tĩnh, Khoa Sư phạm đã quan tâm động viên cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi trong công việc cho tác giả tập trung học tập và hoàn thành luận án. Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thành viên trong gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn động viên, chia sẻ và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình dài học tập và nghiên cứu. Nghệ An, ngày 03 tháng 6 năm 2019 Tác giả Lê Văn Hiển
1 MỤC LỤC Mở đầu 7 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 21 1.1. Một số khái niệm và tính chất bổ trợ . . . . . . . . . . . . . 21 1.2. Tính chất chính quy và điều kiện chuẩn hóa . . . . . . . . . 25 1.3. Kết luận Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Chương 2. Đạo hàm của ánh xạ nón pháp tuyến với điều kiện dưới chính quy mêtric 32 2.1. Tính toán đạo hàm của ánh xạ nón pháp tuyến . . . . . . . 32 2.2. Áp dụng vào lý thuyết phương trình suy rộng . . . . . . . . 52 2.3. Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Chương 3. Ổn định xiên thông qua đạo hàm của ánh xạ dưới vi phân cho một lớp bài toán tối ưu với giả thiết chính quy gần kề 62 3.1. Đặc trưng bậc hai của tính ổn định xiên cho một lớp bài toán tối ưu không ràng buộc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.2. Ổn định xiên trong quy hoạch phi tuyến với giả thiết dưới chính quy mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2 3.3. Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Kết luận chung và kiến nghị 104 Danh mục công trình của NCS có liên quan đến luận án 106 Tài liệu tham khảo 107
3 MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN ∃x tồn tại x ∀x với mọi x f :X→Y ánh xạ đơn trị từ X vào Y F :X⇒Y ánh xạ đa trị từ X vào Y gphF đồ thị của ánh xạ F : X ⇒ Y domF miền hữu hiệu của ánh xạ F : X ⇒ Y rgeF ảnh của ánh xạ F : X ⇒ Y Br (x) hình cầu đóng tâm x bán kính r > 0 B hình cầu đơn vị đóng ∇f (x) : X → Y đạo hàm của f tại x δΩ (·) hàm chỉ của tập Ω R tập số thực R− tập số thực không dương R tập số thực suy rộng R ∪ {±∞} Sn tập tất cả các ma trận thực đối xứng cấp n Rn không gian Ơclit n chiều Rn+ tập hợp các véctơ với tọa độ không âm trong Rn Rn− tập hợp các véctơ với tọa độ không dương trong Rn ∅ tập rỗng x ∈ Rn x là phần tử của tập Rn C ⊂ Rn C là tập con của Rn h., .i tích vô hướng trong Rn
4 k.k chuẩn Ơclit trong Rn intΩ phần trong của tập Ω convΩ bao lồi của tập Ω C⊥ phần bù trực giao của C trong Rn , tức là C ⊥ := u ∈ Rn | hu, xi = 0 với mọi x ∈ C Co nón cực của C trong Rn , tức là C o := u ∈ Rn | hu, xi ≤ 0 với mọi x ∈ C posC tổ hợp tuyến tính dương của C trong Rn , tức là nP k posC := λi ci | λi ≥ 0, ci ∈ C ∪ {0}, i=1 o i = 1, . . . k, k ∈ N {xi } dãy véctơ ϕ x → x¯ x → x¯ và ϕ(x) → ϕ(¯ x) Ω x → x¯ x → x¯ và x ∈ Ω ε↓0 ε → 0 và ε ≥ 0 [γ]+ phần dương của γ , tức là [γ]+ := max{γ, 0} dΩ (x) khoảng cách từ x đến Ω δΓ hàm chỉ của tập Γ o(t) vô cùng bé bậc cao hơn t (tức là lim o(t) t = 0) t→0 P := Q P được định nghĩa bằng Q kết thúc chứng minh lim inf ϕ giới hạn dưới của hàm số ϕ lim sup ϕ giới hạn trên của hàm số ϕ NbΩ (x) nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại x NΩ (x) nón pháp tuyến qua giới hạn của Ω tại x TΩ (x) nón tiếp tuyến Bouligand-Severi của Ω tại x b ∗F D đối đạo hàm Fréchet của ánh xạ F DF đạo hàm đồ thị của ánh xạ F ∂ϕ b dưới vi phân Fréchet của hàm ϕ ∂ϕ dưới vi phân qua giới hạn của hàm ϕ
5 I(x) tập chỉ số hoạt tại x I + (λ) tập các chỉ số bù chặt Λ(x, x∗ ) tập các nhân tử KKT tương ứng với (x, x∗ ) Λ(x, x∗ ; v) tập nhân tử nhân tử theo hướng v K(x, x∗ ) nón tới hạn của Γ tại (x, x∗ ) L(x, λ) hàm Lagrange Lg (x, α, λ) hàm Lagrange suy rộng LP(v) bài toán quy hoạch tuyến tính phụ thuộc tham số v DP(v) bài toán đối ngẫu của LP(v) subregF (¯ x, y¯) môđun tính dưới chính quy mêtric của F tại (¯ x, y¯) tilt(f, x ¯) môđun chính xác của tính ổn định xiên của f tại x ¯
6 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT BEPP tính chất điểm cực biên bị chặn CPLD chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính dương CRCQ chuẩn hóa ràng buộc hạng hằng KKT Karush-Kuhn-Tucker LICQ chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính MFCQ chuẩn hóa ràng buộc Mangasaria-Fromivitz MSCQ chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric CPLD chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính dương nới lỏng RCQ chuẩn hóa ràng buộc Robinson RUSOSC điều kiện đủ bậc hai đều nới lỏng SSOSC điều kiện đủ bậc hai mạnh USOSC điều kiện đủ bậc hai đều
7 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Nhằm bổ sung công cụ để khảo sát các bài toán tối ưu và bài toán liên quan, đầu những năm 1960, R. T. Rockafellar và J.-J. Moreau đề xuất và nghiên cứu khái niệm dưới vi phân cho hàm lồi. Giữa thập niên 1970, F. H. Clarke và B. S. Mordukhovich độc lập đưa ra các khái niệm dưới vi phân cho hàm có thể không lồi. Đạo hàm và đối đạo hàm của ánh xạ đa trị xuất hiện vào đầu thập niên 1980. Bên cạnh đó, nhiều khái niệm vi phân suy rộng khác (đạo hàm theo hướng, dưới đạo hàm, dưới vi phân bậc hai, dưới đạo hàm bậc hai,...) cũng đã được giới thiệu và nghiên cứu. Năm 1998, R.T. Rockafellar và R. J.-B. Wets xuất bản cuốn sách chuyên khảo “Variational Analysis” ([70]) trên cơ sở tổng hợp, hệ thống hóa và bổ sung những kết quả cơ bản theo hướng nghiên cứu này, đánh dấu sự ra đời của Giải tích biến phân. Đến nay, giải tích biến phân bậc nhất đã khá hoàn thiện, trong khi đó giải tích biến phân bậc hai đang được nghiên cứu mạnh mẽ và phát triển nhanh ([21], [55], [56], [70]). Lĩnh vực này thu hút được sự chú ý của nhiều nhà toán học trong thời gian gần đây ([6], [8], [55], [70]). Vi phân suy rộng đóng vai trò trung tâm trong giải tích biến phân và ứng dụng ([55]). Hơn nữa, đối với bất kỳ cấu trúc vi phân suy rộng nào, luôn có hai vấn đề cơ bản được đặt ra một cách tự nhiên: thứ nhất là cấu trúc đó phản ánh được tính chất nào của hàm số, ánh xạ hay tập hợp; thứ hai là làm thế nào để tính toán hoặc ước lượng cấu trúc đó theo dữ
8 liệu ban đầu của bài toán. Thực tế là để giải quyết thấu đáo mỗi vấn đề này người ta đều cần đến thông tin về tính chính quy nào đó của hàm số, ánh xạ hay tập hợp có liên quan ([21], [44], [55], [70]). Chính vì vậy, các tính chất chính quy là những đối tượng nghiên cứu quan trọng trong giải tích biến phân ([21], [44], [55], [65], [70]). Tính dưới chính quy mêtric là một trong những tính chất chính quy đáng chú ý trong giải tích biến phân bậc nhất ([15], [21], [36], [43], [51]). Gần đây, đã có nhiều công trình nghiên cứu về tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân bậc hai ([25], [52]). Tuy vậy, vai trò của tính chất này trong giải tích biến phân bậc hai vẫn là một vấn đề thú vị cần được khảo sát thêm. Với các lý do như thế, chúng tôi lựa chọn đề tài luận án của mình là “Một số kết quả về tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng”. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận án là thiết lập các kết quả nghiên cứu mới dựa vào việc khảo sát hai vấn đề cơ bản nêu trên, góp phần làm rõ vai trò của tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng. 3. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án là các tính chính quy trong giải tích biến phân, đạo hàm đồ thị của ánh xạ dưới vi phân (còn được gọi là đạo hàm đồ thị dưới gradient), tính ổn định xiên (tilt stability) và tính chất tĩnh lặng cô lập (isolated calmness). 4. Phạm vi nghiên cứu - Đối với vấn đề thứ nhất, luận án tập trung nghiên cứu khả năng của đạo hàm đồ thị dưới gradient trong việc nhận biết tính ổn định xiên cho
9 các bài toán tối ưu không ràng buộc với hàm mục tiêu chính quy gần kề. Đồng thời, luận án cũng quan tâm đến các bài toán quy hoạch phi tuyến ràng buộc bất đẳng thức thỏa mãn điều kiện dưới chính quy mêtric với hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc khả vi liên tục hai lần. - Đối với vấn đề thứ hai, luận án tập trung vào việc tính đạo hàm đồ thị dưới gradient cho một lớp ánh xạ nón pháp tuyến với điều kiện dưới chính quy mêtric và sử dụng kết quả tính toán này để khảo sát tính chất tĩnh lặng cô lập của ánh xạ nghiệm cho một lớp phương trình suy rộng. 5. Phương pháp nghiên cứu Trong luận án này, chúng tôi sử dụng phương pháp tiếp cận biến phân và các kĩ thuật của giải tích hàm, giải tích lồi, giải tích đa trị, giải tích biến phân, lý thuyết tối ưu. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Luận án góp phần làm phong phú thêm về quy tắc tính toán trong giải tích biến phân; đồng thời, luận án cũng đề xuất cách tiếp cận mới nghiên cứu tính ổn định xiên, cải thiện được một số kết quả về tính ổn định xiên trong quy hoạch phi tuyến; qua đó làm rõ hơn vai trò của tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng. Luận án là tài liệu tham khảo tốt cho những ai quan tâm nghiên cứu lĩnh vực giải tích biến phân, lý thuyết tối ưu và ứng dụng. 7. Tổng quan và cấu trúc của luận án 7.1. Tổng quan một số vấn đề liên quan đến luận án Các tính chất chính quy đóng vai trò quan trọng trong giải tích biến phân và ứng dụng ([55], [56], [70]). Một mặt, những tính chất này được dùng để thiết lập điều kiện cực trị và nghiên cứu vấn đề ổn định cho các
10 bài toán tối ưu và các bài toán liên quan. Mặt khác, chúng được sử dụng để phát triển hệ thống quy tắc tính toán trong giải tích biến phân. Ngoài ra, tính chất chính quy cũng được dùng để khảo sát sự hội tụ của các thuật toán trong tối ưu số ([29], [54], [55], [57], [58]). Trong giải tích biến phân, người ta đã đề xuất và nghiên cứu nhiều khái niệm chính quy khác nhau cho cả tập hợp, hàm giá trị thực mở rộng và ánh xạ đa trị. Đối với tập hợp, tập chính quy Clarke và tập chính quy gần kề là hai khái niệm rất đáng chú ý, bởi vai trò quan trọng của chúng trong việc nghiên cứu lý thuyết vi phân suy rộng và ứng dụng. Những khái niệm này cũng có thể được dùng để định nghĩa tính chính quy cho hàm giá trị thực mở rộng và ánh xạ đa trị. Chẳng hạn, hàm giá trị thực mở rộng là chính quy dưới vi phân nếu trên đồ thị của nó là chính quy Clarke ([70, Definition 7.25]); ánh xạ đa trị là chính quy đồ thị nếu đồ thị của nó là chính quy Clarke ([70, Definition 8.38]); hàm giá trị thực mở rộng là chính quy gần kề nếu và chỉ nếu trên đồ thị của nó là chính quy gần kề ([65, Theorem 3.5]). Đối với ánh xạ đa trị, các khái niệm chính quy kiểu mêtric như chính quy mêtric, chính quy mêtric mạnh, dưới chính quy mêtric và dưới chính quy mêtric mạnh có vai trò quan trọng cả trong lý thuyết lẫn ứng dụng ([21], [44], [70]). Ngoài ra, khá nhiều mở rộng và biến thể của các khái niệm chính quy đề cập ở trên cũng đã xuất hiện trong giải tích biến phân và tìm được những ứng dụng nhất định. Phần tiếp theo của tổng quan sẽ tập trung vào tính chính quy gần kề và một số tính chất chính quy kiểu mêtric, bởi đây là các khái niệm chính quy liên quan trực tiếp đến đóng góp của luận án này. Khái niệm hàm chính quy gần kề được Poliquin và Rockafellar ([65]) giới thiệu năm 1996. Ngoài các hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới, lớp hàm chính quy gần kề còn bao gồm nhiều hàm số quan trọng khác trong giải tích biến phân và lý thuyết tối ưu, như hàm khả vi có đạo hàm Lipschitz địa phương, hàm dưới-C 2 , hợp của hàm lồi chính thường nửa
11 liên tục dưới với ánh xạ khả vi liên tục hai lần thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa chính quy mêtric, hàm chỉ (indicator function) của tập ràng buộc của bài toán quy hoạch phi tuyến với chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric ([1], [15], [65]). Bao Moreau (Moreau envelope) của hàm chính quy gần kề là khả vi và có đạo hàm Lipschitz địa phương, trong khi ánh xạ gần kề (proximal mapping) liên kết với nó là đơn điệu, đơn trị và Lipschitz địa phương ([70, Proposition 13.37]). Đây là những tính chất đáng chú ý xét từ góc độ tối ưu số. Tính chính quy gần kề được dùng nhiều trong các nghiên cứu về vi phân suy rộng bậc hai ([65], [70]). Nó còn được sử dụng trong nghiên cứu quá trình quét (sweeping process), tính khả vi của hàm khoảng cách và tính trơn của phép chiếu mêtric lên tập không lồi ([5], [16], [27], [67]). Thông tin chi tiết về nhiều ứng dụng khác nhau của khái niệm chính quy gần kề có thể tìm thấy trong tài liệu [15]. Tính chính quy kiểu mêtric của ánh xạ xuất hiện lần đầu vào cuối thập niên 1970. Nó được sử dụng để nghiên cứu nhiều vấn đề khác nhau trong giải tích biến phân và lý thuyết tối ưu, như thiết lập qui tắc tính toán cho các cấu trúc vi phân suy rộng, nghiên cứu điều kiện cực trị, tính ổn định và phương pháp giải cho các bài toán tối ưu và bài toán liên quan. Khái niệm chính quy mêtric là một ví dụ điển hình về chính quy kiểu mêtric. Khái niệm này có nguồn gốc từ định lý ánh xạ mở Banach- Schauder trong giải tích hàm và định lý Lyusternik-Graves trong giải tích phi tuyến. Thuật ngữ “chính quy mêtric” được Borwein ([9]) đề xuất năm 1986. Borwein và Zhuang ([10]) cùng với Penot ([64]) cho thấy rằng ánh xạ đa trị là chính quy mêtric nếu và chỉ nếu nó là mở tuyến tính, hơn nữa các tính chất này tương đương với tính chất Aubin của ánh xạ ngược. Năm 1993, Mordukhovich ([54]) đã thiết lập được đặc trưng đối đạo hàm cho các ánh xạ đa trị chính quy mêtric và tiêu chuẩn Mordukhovich cho tính chất Aubin ([70, Theorem 9.40]). Năm 2003, để nghiên cứu vấn đề bảo tồn tính chính quy mêtric của ánh xạ đa trị dưới tác động của nhiễu,
12 Dontchev và các cộng sự ([22]) đã giới thiệu khái niệm bán kính chính quy mêtric (the radius of metric regularity) của ánh xạ đa trị, đồng thời đưa ra công thức tính đại lượng này thông qua đối đạo hàm của ánh xạ đa trị được xem xét. Kết quả này là một mở rộng của định lý Eckart-Young nổi tiếng trong giải tích số. Ý tưởng bán kính chính quy mêtric sau đó được áp dụng để nghiên cứu tính chính quy mêtric mạnh và một số khái niệm khác, dẫn đến sự hợp nhất của nhiều kết quả cơ bản của giải tích biến phân. Thông tin chi tiết về tính chính quy mêtric có thể tìm thấy trong các bài báo tổng quan về vấn đề này của Ioffe (xem [40], [41], [42]). Một tính chất chính quy kiểu mêtric khác cũng rất quan trọng trong các nghiên cứu điều kiện tối ưu và quy tắc tính toán của các cấu trúc vi phân suy rộng là tính dưới chính quy mêtric. Nó là một tính chất yếu hơn nhiều so với tính chính quy mêtric. Năm 1979, Ioffe sử dụng tính chất này để định nghĩa khái niệm điểm chính quy ([39]) và thiết lập điều kiện cần tối ưu bậc nhất cho một lớp bài toán tối ưu ([38]). Thuật ngữ “dưới chính quy mêtric” được đề xuất năm 2004 bởi Dontchev và Rockafellar ([20]). Tính dưới chính quy mêtric của ánh xạ đa trị tương đương với tính chất tĩnh lặng (calmness) của ánh xạ ngược ([21, Theorem 3H.3]). Năm 2008, Ioffe và Outrata ([43]) đã thiết lập được hệ thống quy tắc tính toán cho các cấu trúc vi phân suy rộng bậc nhất dạng đối ngẫu với điều kiện dưới chính quy mêtric. Công trình này cũng cho thấy rằng điều kiện chuẩn hóa dùng trong hệ thống quy tắc tính toán chuẩn cho các cấu trúc vi phân suy rộng bậc nhất dạng đối ngẫu, được trình bày trong các cuốn sách chuyên khảo [55] và [70], thực chất là tương đương với tính chính quy mêtric của ánh xạ đa trị thích hợp. Ngoài các quy tắc tính toán cho vi phân suy rộng bậc nhất, gần đây, các nhà nghiên cứu cũng đã thiết lập được nhiều quy tắc tính toán cho các cấu trúc vi phân suy rộng bậc hai với giả thiết dưới chính quy mêtric. Tính dưới chính quy mêtric cũng có vai trò quan trọng trong lý thuyết hàm phạt chính xác và chặn sai số
13 ([11], [40], [38], [39], [45], [72], [74]) cũng như trong tối ưu số ([46]). Đạo hàm đồ thị (graphical derivative) của ánh xạ đa trị tại điểm thuộc đồ thị là ánh xạ đa trị có đồ thị là nón tiếp tuyến của đồ thị ánh xạ đa trị đã cho tại điểm được xem xét. Khái niệm này được Aubin ([3]) đề xuất năm 1981 với tên gọi là đạo hàm contingent. Thuật ngữ đạo hàm đồ thị đã được sử dụng trong cuốn sách chuyên khảo “Variational Analysis” xuất bản năm 1998 của Rockafellar và Wets ([70]) và hiện nay nó là thuật ngữ thông dụng để chỉ khái niệm trên. Đạo hàm đồ thị là công cụ mạnh trong giải tích biến phân ([4], [21], [70]). Nó đã được dùng để nghiên cứu tính ổn định của các hệ ràng buộc, hệ biến phân và tổng quát hơn là các phương trình suy rộng ([4], [21], [44], [47], [48], [49], [70]). Đạo hàm đồ thị còn có thể sử dụng để đặc trưng một số tính chất tốt của ánh xạ đa trị như tính chính quy mêtric, tính chất Aubin ([4], [21], [23]), tính chất tĩnh lặng cô lập và tính dưới chính quy mêtric mạnh ([21], [47], [48]). Ngoài ra, đồ thị của đạo hàm đồ thị cũng đã đóng vai trò trung gian trong việc tính toán các cấu trúc kiểu đạo hàm đối ngẫu ([18], [29], [37]). Mặc dù là chìa khóa để giải quyết nhiều vấn đề quan trọng trong giải tích biến phân, tính toán đạo hàm đồ thị nói chung là bài toán khó. Nó đã được nhiều người nghiên cứu trong thời gian dài và nhiều kết quả thú vị theo hướng này đã được thiết lập ([4], [21], [35], [37], [47], [48], [49], [70], [73]). Xét tập Γ cho bởi công thức Γ := x ∈ Rn | q(x) ∈ Θ , trong đó q : Rn → Rm , q(x) = (q1 (x), q2 (x), ..., qm (x)), là ánh xạ khả vi liên tục hai lần và Θ ⊂ Rm là tập đóng khác rỗng. Đặt Mq (x) := q(x)−Θ với x ∈ Rn . Nếu Θ = Rm − thì Γ là miền ràng buộc của quy hoạch phi tuyến và, trong trường hợp này, chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian-Fromovitz ¯ ∈ Γ khi và chỉ khi ánh xạ Mq chính quy mêtric (MFCQ) đúng tại x x, 0). Hơn nữa, nếu thêm giả thiết qi : Rn → R, i = 1, 2, ..., m, là quanh (¯
14 các hàm lồi, thì điều kiện Slater đúng khi và chỉ khi Mq chính quy mêtric. Nếu Θ là nón lồi đóng thì Γ chính là miền ràng buộc của quy hoạch nón và khi đó chuẩn hóa ràng buộc Robinson (RCQ) là tương đương với tính chính quy mêtric của Mq . Điều kiện Slater, MFCQ và RCQ đều là các chuẩn hóa ràng buộc rất quan trọng trong lý thuyết tối ưu và ứng dụng. Những điều kiện này về bản chất chính là tính chính quy mêtric của ánh xạ đa trị Mq ([8], [29]). Do đó, có thể gọi chung các điều kiện này là chuẩn hóa ràng buộc chính quy mêtric. Năm 2015, với Γ là miền ràng buộc của quy hoạch phi tuyến, Gfrerer và Mordukhovich ([29]) đã giới thiệu khái niệm chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric (MSCQ), đó là điều kiện Mq là dưới chính quy mêtric. Sau đó, khái niệm này đã được mở rộng một cách tự nhiên cho Θ là tập đóng bất kỳ ([12], [31], [34]). Trong luận án này, chúng tôi quan tâm vấn đề tính đạo hàm đồ thị DNΓ của ánh xạ nón pháp tuyến NΓ : Rn ⇒ Rn , x 7→ NΓ (x), với Θ là tập lồi đa diện. Vì nón pháp tuyến NΓ (x) là dưới vi phân của hàm chỉ liên kết với Γ nên đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến là trường hợp đặc biệt của đạo hàm đồ thị của ánh xạ dưới vi phân và vấn đề nghiên cứu ở đây thuộc lĩnh vực giải tích biến phân bậc hai. Kết quả đầu tiên về tính đạo hàm DNΓ được thiết lập vào năm 1996 bởi Dontchev và Rockafellar ([18]), ở đó các tác giả này đã mô tả được chính xác đồ thị của DNΓ , với giả thiết Γ là tập lồi đa diện, theo dữ liệu đầu vào của bài toán. Kết quả này sau đó đã được dùng để tính dưới vi phân bậc hai qua giới hạn của hàm chỉ của Γ ([55]). Đây là khâu quan trọng để thu được đặc trưng tính chính quy mêtric mạnh của bất đẳng thức biến phân trên tập lồi đa diện trong [18]. Tính lồi đa diện của tập Γ đóng vai trò cốt yếu trong kỹ thuật xử lý của Dontchev và Rockafellar ([18]). Dựa vào một số quy tắc tính toán có sẵn của giải tích biến phân, năm 2013, Henrion cùng các cộng sự ([35]) đã giới thiệu công thức tính đạo hàm DNΓ với giả thiết Mq (x) := q(x) − Θ chính quy mêtric quanh điểm được xem xét. Hơn nữa,
15 nếu Θ := Rm − và cả MFCQ và chuẩn hóa ràng buộc hạng hằng (CRCQ) đều thỏa mãn thì công thức này trở nên đơn giản hơn nhiều ([35]). Năm 2014, Gfrerer và Outrata ([28]) đã chứng minh được công thức tính đạo hàm đồ thị của Henrion cùng các cộng sự ([35]) vẫn đúng nếu Θ := Rm − và điều kiện chính quy mêtric được thay bởi điều kiện yếu hơn là tính dưới chính quy mêtric đúng tại điểm được xem xét và một tính chính quy mêtric đều đúng quanh điểm này. Một đóng góp rất quan trọng của Gfrerer và Outrata ([28]) là việc đề xuất được lược đồ chứng minh trực tiếp công thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp, mở đường giải quyết một cách thỏa đáng bài toán tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến. Sử dụng lược đồ này cho trường hợp Θ := {0Rm1 } × Rm−m − 1 với chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric, năm 2015, Gfrerer và Mordukhovich ([29]) đã chứng tỏ rằng kết quả tương tự vẫn đúng nếu thay điều kiện chính quy mêtric đều bởi điều kiện yếu hơn, đó là tính chất điểm cực biên bị chặn (BEPP) được thỏa mãn. Kết quả tính toán đạo hàm đồ thị của Dontchev và Rockafellar ([18]) và các kết quả thiết lập về sau nói chung là độc lập với nhau theo nghĩa là từ kết quả của Dontchev và Rockafellar ([18]) không suy ra được các kết quả về sau và ngược lại. Tuy nhiên, về bản chất, chúng đều có giả thiết là thỏa mãn chuẩn hóa dưới chính quy mêtric và một tính chất nào đó thêm vào. Điều này dẫn tới câu hỏi tự nhiên như sau: Liệu chúng ta có thể hợp nhất các kết quả tính toán đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến bằng cách bỏ tính chất thêm vào được không? Nói cách khác, các công thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến đã đề cập ở trên có còn đúng không nếu chỉ giả thiết Mq dưới chính quy mêtric? Trong Chương 2, với giả thiết Mq dưới chính quy mêtric tại điểm được xem xét và Θ là tập lồi đa diện, bỏ tính chất thêm vào, chúng tôi chứng minh được công thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến như trên vẫn đúng và như vậy trả lời được một cách khẳng định cho câu
16 hỏi nêu trên. Để thiết lập công thức này, chúng tôi đã sử dụng lược đồ chứng minh của Gfrerer và Outrata ([28]) kết hợp với một ý tưởng của Ioffe và Outrata ([43]). Nhờ công thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến, chúng tôi thu được công thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nghiệm và đặc trưng được tính chất tĩnh lặng cô lập của ánh xạ nghiệm cho một lớp phương trình suy rộng. Kết quả của chúng tôi hợp nhất được nhiều kết quả liên quan theo hướng nghiên cứu này. Ổn định xiên (tilt stability) là một tính chất của cực tiểu địa phương đảm bảo điểm này sẽ dịch chuyển kiểu Lipschitz khi hàm mục tiêu của bài toán tối ưu chịu nhiễu tuyến tính nhỏ. Khái niệm ổn định xiên được Poliquin và Rockafellar ([66]) giới thiệu cho bài toán tối ưu không ràng buộc với hàm mục tiêu là hàm giá trị thực mở rộng. Khi xét các bài toán tối ưu có ràng buộc người ta kết hợp các ràng buộc vào hàm mục tiêu thông qua hàm chỉ của tập điểm chấp nhận được và sử dụng tương tự như bài toán tối ưu không ràng buộc ta có tính ổn định xiên của bài toán tối ưu có ràng buộc. Tính ổn định xiên về cơ bản tương đương với điều kiện tăng trưởng bậc hai đều cũng như tính chính quy mêtric mạnh của ánh xạ dưới vi phân ([8], [24], [57]). Các tính chất này được nghiên cứu rất nhiều trong những năm gần đây. Đặc trưng đầu tiên của tính ổn định xiên bằng cách dùng vi phân suy rộng bậc hai được Poliquin và Rockafellar ([66]) thiết lập vào năm 1998. Khi đó, các tác giả này đã chứng minh được rằng đối với bài toán tối ưu không ràng buộc mà hàm mục tiêu chính quy gần kề và liên tục dưới vi phân, một điểm dừng là cực tiểu địa phương ổn định xiên nếu và chỉ nếu dưới vi phân qua giới hạn bậc hai của hàm mục tiêu là xác định dương tại điểm được xem xét. Hơn nữa, sử dụng kết quả này cùng với công thức của Dontchev và Rockafellar ([18]) về tính dưới vi phân qua giới hạn bậc hai của hàm chỉ của tập lồi đa diện, Poliquin và Rockafellar đã thu được đặc trưng bậc hai cho tính ổn định xiên của bài toán quy hoạch phi tuyến