Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số lớp hệ phương trình cặp và ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:149

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của đề tài nhằm thiết lập tính giải được của các hệ phương trình cặp tích phân trong những không gian hàm tích hợp; nghiên cứu các phương pháp hữu hiệu tìm nghiệm của các hệ phương trình cặp tích phân; vận dụng các phương pháp hữu hiệu giải hệ phương trình tích phân kỳ dị, để từ đó tìm được nghiệm của phương trình tích phân.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số lớp hệ phương trình cặp và ứng dụng

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o §¹i häc Th¸i Nguyªn NguyÔn ThÞ Ng©n Mét sè líp hÖ ph¬ng tr×nh cÆp vµ øng dông LuËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc Chuyªn ngµnh: To¸n Gi¶i tÝch M· sè: 62 46 01 02 TËp thÓ híng dÉn khoa häc: 1. TS. NguyÔn V¨n Ngäc 2. PGS. TS. Hµ TiÕn Ngo¹n Th¸i Nguyªn, 2013
Lêi cam ®oan T«i xin cam ®oan ®©y lµ c«ng tr×nh nghiªn cøu cña t«i. C¸c kÕt qu¶ viÕt chung víi t¸c gi¶ kh¸c ®· ®îc sù nhÊt trÝ cña ®ång t¸c gi¶ khi ®a vµo luËn ¸n. C¸c kÕt qu¶ cña luËn ¸n lµ míi vµ cha tõng ®îc c«ng bè trong bÊt kú c«ng tr×nh khoa häc cña ai kh¸c. T¸c gi¶ luËn ¸n NguyÔn ThÞ Ng©n i
Lêi c¶m ¬n LuËn ¸n ®îc thùc hiÖn vµ hoµn thµnh t¹i khoa To¸n thuéc trêng §¹i häc S ph¹m - §¹i häc Th¸i Nguyªn, díi sù híng dÉn tËn t×nh vµ nghiªm kh¾c cña TS. NguyÔn V¨n Ngäc vµ PGS. TS. Hµ TiÕn Ngo¹n. C¸c ThÇy ®· truyÒn cho t¸c gi¶ kiÕn thøc, kinh nghiÖm häc tËp vµ nghiªn cøu khoa häc. T¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n ch©n thµnh vµ s©u s¾c ®èi víi c¸c ThÇy. Trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ nghiªn cøu, t¸c gi¶ còng lu«n nhËn ®îc sù gãp ý, ®éng viªn cña GS. TSKH. §inh Nho Hµo, PGS. TSKH. NguyÔn Minh TrÝ, TS. Ph¹m Minh HiÒn, Ths. §µo Quang Kh¶i (ViÖn To¸n häc, ViÖn Hµn l©m Khoa häc vµ C«ng nghÖ ViÖt Nam), GS. TSKH. NguyÔn V¨n MËu, PGS. TS. NguyÔn Minh TuÊn, PGS. TS. TrÇn Huy Hæ (trêng §¹i häc Khoa häc Tù nhiªn, §¹i häc Quèc gia Hµ Néi), GS. TSKH. Lª Hïng S¬n, PGS. TS. Phan T¨ng §a (khoa To¸n - Tin øng dông, §¹i häc B¸ch Khoa Hµ Néi), PGS. TS. §Æng Quang ¸ (ViÖn C«ng nghÖ Th«ng tin, ViÖn Khoa häc vµ C«ng nghÖ ViÖt Nam). T¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n sù quan t©m gióp ®ì cña c¸c ThÇy. T¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c thÇy, c« gi¸o cïng c¸c anh chÞ em NCS, Cao häc trong seminar cña Bé m«n Gi¶i tÝch khoa To¸n, trêng §¹i häc S ph¹m - §¹i häc Th¸i Nguyªn, Phßng Ph¬ng tr×nh vi ph©n - ViÖn To¸n häc, khoa To¸n - C¬ - Tin häc, trêng §¹i häc Khoa häc Tù nhiªn - §¹i häc Quèc gia Hµ Néi, ®· lu«n gióp ®ì, ®éng viªn t¸c gi¶ trong nghiªn cøu khoa häc vµ cuéc sèng. T¸c gi¶ xin tr©n träng c¶m ¬n Ban Gi¸m ®èc §¹i häc Th¸i Nguyªn, Ban §µo t¹o Sau ®¹i häc - §¹i häc Th¸i Nguyªn, Ban Gi¸m hiÖu trêng §¹i häc S ph¹m - §¹i häc Th¸i Nguyªn, c¸c Phßng Ban chøc n¨ng, Phßng Qu¶n lý ®µo t¹o Sau ii
®¹i häc, Ban chñ nhiÖm khoa To¸n cïng toµn thÓ gi¸o viªn trong khoa, ®Æc biÖt lµ Bé m«n Gi¶i tÝch ®· t¹o mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi, gióp ®ì t¸c gi¶ trong qu¸ tr×nh häc tËp nghiªn cøu vµ hoµn thµnh luËn ¸n. T¸c gi¶ ch©n thµnh c¶m ¬n b¹n bÌ, ®ång nghiÖp, ®Æc biÖt lµ chång, c¸c con cïng nh÷ng ngêi th©n trong gia ®×nh ®· gióp ®ì, ®éng viªn t¸c gi¶ trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn luËn ¸n.
Môc lôc B×a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lêi cam ®oan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lêi c¶m ¬n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Môc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv Mét sè ký hiÖu dïng trong luËn ¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . viii Më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 HÖ ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n Fourier tæng qu¸t 19 1.1 BiÕn ®æi Fourier cña hµm c¬ b¶n gi¶m nhanh . . . . . . . . . . 20 1.1.1 Kh«ng gian S cña c¸c hµm c¬ b¶n gi¶m nhanh . . . . . . 20 1.1.2 BiÕn ®æi Fourier cña c¸c hµm c¬ b¶n . . . . . . . . . . . 20 1.2 BiÕn ®æi Fourier cña hµm suy réng t¨ng chËm . . . . . . . . . . 21 1.2.1 Kh«ng gian S 0 cña c¸c hµm suy réng t¨ng chËm . . . . . 21 1.2.2 BiÕn ®æi Fourier cña hµm suy réng t¨ng chËm . . . . . . . 22 1.2.3 BiÕn ®æi Fourier cña tÝch chËp . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3 C¸c kh«ng gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.1 Kh«ng gian H s (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.2 C¸c kh«ng gian H◦s (Ω), H◦,◦ s (Ω), H s (Ω) . . . . . . . . 24 1.3.3 §Þnh lý nhóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 iv
1.4 C¸c kh«ng gian Sobolev vect¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4.1 Kh¸i niÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4.2 PhiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.5 To¸n tö gi¶ vi ph©n vect¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.1 Kh¸i niÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.2 ChuÈn vµ tÝch v« híng t¬ng ®¬ng . . . . . . . . . . . 32 1.5.3 Nhóng compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.6 TÝnh gi¶i ®îc cña hÖ ph¬ng tr×nh cÆp . . . . . . . . . . . . . 34 1.6.1 §Þnh lý duy nhÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.6.2 §Þnh lý tån t¹i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2 HÖ ph¬ng tr×nh cÆp cña mét sè bµi to¸n biªn hçn hîp ®èi víi ph¬ng tr×nh ®iÒu hoµ vµ song ®iÒu hoµ trong miÒn h×nh d¶i 41 2.1 Bµi to¸n biªn hçn hîp thø nhÊt ®èi víi ph¬ng tr×nh ®iÒu hoµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.1.1 Ph¸t biÓu bµi to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.1.2 §a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n . . . . . . . . . . . 43 2.1.3 TÝnh gi¶i ®îc cña hÖ ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n (2.10) . 45 2.1.4 §a hÖ ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n vÒ hÖ ph¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ nh©n Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.1.5 §a hÖ ph¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ nh©n Cauchy vÒ hÖ v« h¹n c¸c ph¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . 49 2.2 Bµi to¸n biªn hçn hîp ®èi víi d¶i ®µn håi . . . . . . . . . . . . 56 2.2.1 Ph¸t biÓu bµi to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.2.2 §a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n . . . . . . . . . . . 58 2.2.3 TÝnh gi¶i ®îc cña hÖ ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n (2.51) . 61
2.2.4 §a hÖ ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n vÒ hÖ ph¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ nh©n Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.2.5 §a hÖ ph¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ nh©n Cauchy vÒ hÖ v« h¹n c¸c ph¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . 67 2.3 Bµi to¸n biªn hçn hîp ®èi víi ph¬ng tr×nh song ®iÒu hoµ . . . . 72 2.3.1 Ph¸t biÓu bµi to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.3.2 §a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n . . . . . . . . . . . 74 2.3.3 TÝnh gi¶i ®îc cña hÖ ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n (2.106) . 77 2.3.4 §a hÖ ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n vÒ hÖ ph¬ng tr×nh tÝch ph©n nh©n logarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.3.5 §a hÖ ph¬ng tr×nh tÝch ph©n nh©n logarithm vÒ hÖ v« h¹n c¸c ph¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . 86 2.4 Bµi to¸n biªn hçn hîp thø hai ®èi víi ph¬ng tr×nh ®iÒu hoµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.4.1 Ph¸t biÓu bµi to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.4.2 §a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n . . . . . . . . . . . 91 2.4.3 TÝnh gi¶i ®îc cña hÖ ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n (2.157) . 92 2.4.4 §a hÖ ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n vÒ hÖ ph¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ nh©n Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.4.5 §a hÖ ph¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ nh©n Cauchy vÒ hÖ v« h¹n c¸c ph¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . 96 3 Gi¶i gÇn ®óng hÖ ph¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ cña mét hÖ ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n Fourier 102 3.1 §a hÖ ph¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ vÒ d¹ng kh«ng thø nguyªn 102 3.2 TÝnh gÇn ®óng nghiÖm cña mét hÖ ph¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ 106
3.2.1 TÝnh gÇn ®óng ma trËn h¹ch cña hÖ ph¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.2.2 TÝnh nghiÖm gÇn ®óng cña hÖ ph¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ 110 3.2.3 VÒ tèc ®é héi tô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 KÕt luËn vµ ®Ò nghÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Danh môc c«ng tr×nh cña t¸c gi¶ ®· c«ng bè liªn quan ®Õn luËn ¸n 134 Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Mét sè ký hiÖu dïng trong luËn ¸n R: ®êng th¼ng thùc Ω: kho¶ng hoÆc hÖ c¸c kho¶ng kh«ng giao nhau trong R Rn : kh«ng gian vect¬ Euclide n chiÒu Cn : kh«ng gian phøc n chiÒu C k (Ω): tËp tÊt c¶ c¸c hµm kh¶ vi liªn tôc ®Õn cÊp k trªn Ω C◦k (Ω): tËp tÊt c¶ c¸c hµm kh¶ vi liªn tôc ®Õn cÊp k trªn Ω, cã gi¸ compact trong Ω C ∞ (Ω): tËp tÊt c¶ c¸c hµm kh¶ vi v« h¹n trªn Ω C◦∞ (R): tËp hîp tÊt c¶ c¸c hµm kh¶ vi v« h¹n cã gi¸ compact trong R `2 : kh«ng gian cña c¸c d·y sè {fn }, n ∈ N, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ∞ X |fn |2 < ∞ n=0 L1 (R): kh«ng gian c¸c hµm kh¶ tÝch trªn R L2 (R): kh«ng gian c¸c hµm b×nh ph¬ng kh¶ tÝch trªn R L2ρ±1 (a, b): kh«ng gian c¸c hµm u(x) cho trªn (a, b) sao cho Z b 1/2 ±1 2 ||u||L2±1 = ρ (x)|u(x)| dx < +∞, ρ a víi p ρ(x) = (x − a)(b − x), a < x < b viii
S : kh«ng gian c¸c hµm c¬ b¶n gi¶m nhanh trªn R S 0 : kh«ng gian c¸c hµm suy réng t¨ng chËm trªn R D(Ω): kh«ng gian c¸c hµm kh¶ vi v« h¹n vµ cã gi¸ compact trong Ω D0 (Ω): kh«ng gian ®èi ngÉu cña D(Ω) H s (R), H◦s (Ω), H◦,◦ s (Ω), H s (Ω): c¸c kh«ng gian Sobolev H~s (R), H~s◦ (Ω), H~◦,◦ s (Ω), H~s (Ω): c¸c kh«ng gian Sobolev vect¬ F : phÐp biÕn ®æi Fourier F −1 : phÐp biÕn ®æi Fourier ngîc p, p0 : c¸c to¸n tö h¹n chÕ `, `0 : c¸c to¸n tö th¸c triÓn Tn (x): ®a thøc Chebyshev bËc n lo¹i mét Un (x): ®a thøc Chebyshev bËc n lo¹i hai Jm : hµm Bessel lo¹i mét cÊp m
Më ®Çu 1. Lý do chän ®Ò tµi Ph¬ng tr×nh cÆp (dual equations) vµ hÖ ph¬ng tr×nh cÆp (systems of dual equations) xuÊt hiÖn khi gi¶i c¸c bµi to¸n biªn hçn hîp cña VËt lý to¸n b»ng c¸ch sö dông c¸c biÕn ®æi tÝch ph©n thÝch hîp. NhiÒu bµi to¸n cña lý thuyÕt ®µn håi, c¸c bµi to¸n vÒ vÕt nøt, c¸c bµi to¸n vÒ tiÕp xóc, . . . cã thÓ ®îc ®a ®Õn gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh cÆp kh¸c nhau. Trong kho¶ng n¨m thËp niªn gÇn ®©y nh÷ng nghiªn cøu vÒ ph¬ng tr×nh cÆp chñ yÕu lµ c¸c ph¬ng ph¸p t×m lêi gi¶i h×nh thøc cña c¸c ph¬ng tr×nh nµy [17, 44]. HiÖn nay c¸c kÕt qu¶ ®Þnh tÝnh vÒ ph¬ng tr×nh cÆp cßn h¹n chÕ [2- 5, 9, 11, 18, 23, 47], tÝnh gi¶i ®îc cña c¸c hÖ ph¬ng tr×nh cÆp hÇu nh cha ®îc nghiªn cøu. ViÖc nghiªn cøu hÖ ph¬ng tr×nh cÆp sÏ më réng ph¹m vi ¸p dông cho ph¬ng tr×nh cÆp trong viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n biªn hçn hîp cña VËt lý to¸n. V× vËy, viÖc nghiªn cøu vÒ hÖ ph¬ng tr×nh cÆp lµ cÇn thiÕt vµ cã tÝnh thêi sù. Trong c¸c phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n th× phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n Fourier cã vÞ trÝ ®Æc biÖt quan träng ®èi víi c¸c ph¸t triÓn lý thuyÕt cña to¸n häc còng nh øng dông trong nhiÒu ngµnh khoa häc tù nhiªn kh¸c. Víi c¸c lý do nªu trªn, chóng t«i chän ®Ò tµi nghiªn cøu cho luËn ¸n cña m×nh lµ " Mét sè líp hÖ ph¬ng tr×nh cÆp vµ øng dông ". 2. Môc ®Ých cña ®Ò tµi luËn ¸n 2.1. Môc ®Ých cña ®Ò tµi luËn ¸n lµ thiÕt lËp tÝnh gi¶i ®îc cña c¸c hÖ ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n trong nh÷ng kh«ng gian hµm thÝch hîp. C¸c kh«ng gian hµm ®îc sö dông trong luËn ¸n lµ kh«ng gian c¸c hµm suy réng t¨ng chËm vµ c¸c kh«ng gian Sobolev vect¬. 1
2.2. Môc ®Ých thø hai cña ®Ò tµi luËn ¸n lµ nghiªn cøu c¸c ph¬ng ph¸p h÷u hiÖu t×m nghiÖm cña hÖ c¸c ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n. Trong luËn ¸n nµy, chóng t«i sö dông ph¬ng ph¸p biÓu diÔn nghiÖm cña c¸c hÖ ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n th«ng qua c¸c hµm phô trî thÝch hîp, vµ ®a hÖ c¸c ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n vÒ hÖ c¸c ph¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ víi nh©n Cauchy hoÆc nh©n logarithm. 2.3. Môc ®Ých thø ba cña ®Ò tµi luËn ¸n lµ vËn dông c¸c ph¬ng ph¸p h÷u hiÖu gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ, ®Ó tõ ®ã cã thÓ t×m ®îc nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n. Trong luËn ¸n nµy chóng t«i vËn dông ph¬ng ph¸p ®a thøc trùc giao [32- 37] ®Ó ®a hÖ c¸c ph¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ víi nh©n Cauchy hoÆc nh©n logarithm vÒ hÖ v« h¹n c¸c ph¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh tùa hoµn toµn chÝnh qui [14], thuËn tiÖn cho viÖc t×m nghiÖm gÇn ®óng cña c¸c hÖ ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n ®Ò cËp trong luËn ¸n nµy. 3. §èi tîng nghiªn cøu §èi tîng nghiªn cøu cña luËn ¸n lµ thiÕt lËp tÝnh gi¶i ®îc cña hÖ ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n Fourier tæng qu¸t víi biÓu trng (symbol) lµ ma trËn x¸c ®Þnh d¬ng. XÐt øng dông cña lý thuyÕt hÖ ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n Fourier tæng qu¸t vµo nghiªn cøu mét sè líp hÖ ph¬ng tr×nh cÆp xuÊt hiÖn khi gi¶i mét sè bµi to¸n biªn hçn hîp cho c¸c ph¬ng tr×nh ®iÒu hoµ vµ song ®iÒu hoµ trong miÒn h×nh d¶i cña mÆt ph¼ng. 4. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu Chóng t«i vËn dông tiÕp cËn lý thuyÕt hµm suy réng vµ to¸n tö gi¶ vi ph©n ®Ó nghiªn cøu hÖ ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n mµ luËn ¸n quan t©m. TiÕp cËn lý thuyÕt hµm suy réng ®îc sö dông ®Ó nghiªn cøu c¸c ph¬ng tr×nh cÆp d¹ng Titchmash ®îc Walton J. R. lÇn ®Çu tiªn nghiªn cøu vµo n¨m 1975 [47], cßn tiÕp cËn to¸n tö gi¶ vi ph©n do NguyÔn V¨n Ngäc vËn dông n¨m 1988 [24] ®Ó nghiªn cøu tÝnh gi¶i ®îc cña ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n Fourier víi biÓu trng t¨ng chËm.
5. Tæng quan vÒ ®Ò tµi luËn ¸n 5.1. Ph¬ng tr×nh cÆp tæng qu¸t HiÖn nay trong sè c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i tÝch gi¶i c¸c bµi to¸n biªn hçn hîp cña VËt lý to¸n th× ph¬ng ph¸p ph¬ng tr×nh cÆp lµ tæng qu¸t vµ linh ho¹t h¬n c¶. Nh÷ng c«ng tr×nh nÒn mãng cña ph¬ng ph¸p nµy lµ c¸c c«ng tr×nh cña c¸c nhµ to¸n häc Beltrami E., Boussinesq J. vµ Abramov V. M. Sù ph¸t triÓn cña ph¬ng ph¸p ®· dùa trªn c¸c c«ng tr×nh sau ®ã cña Tranter C., Cooke J., Sneddon I., Ufliand Ia. S., Babloian A. A., Valov G. N., Mandal B. N., Aleksandrov B. M., . . . . C¸c ph¬ng tr×nh cÆp xuÊt hiÖn khi sö dông phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n nµo ®ã ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n biªn hçn hîp cña c¸c ph¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng. Cã nhiÒu phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n kh¸c nhau vµ mçi phÐp biÕn ®æi l¹i t¬ng øng víi mét lo¹i ph¬ng tr×nh cÆp. §é phøc t¹p cña mçi lo¹i ph¬ng tr×nh cÆp phô thuéc vµo biÓu trng vµ sè kho¶ng cã trong ph¬ng tr×nh. Ph¬ng tr×nh cÆp tæng qu¸t cã thÓ ®îc ph¸t biÓu nh sau: Gi¶ söJ lµ kho¶ng h÷u h¹n hay v« h¹n cña trôc thùc R vµ T lµ biÕn ®æi tÝch ph©n nµo ®ã trªn J víi biÕn ®æi ngîc T −1 . Ký hiÖu v b(ξ) lµ T − biÕn ®æi cña hµm v(x). Ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n ®èi víi phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n T cã d¹ng ( pT −1 [A1 (ξ)b v (ξ)](x) = f (x), x ∈ Ω, (1) p0 T −1 [A2 (ξ) vb(ξ)](x) = g(x), x ∈ Ω0 , trong ®ã A1 (ξ) vµ A2 (ξ) lµ c¸c hµm ®· biÕt, Ω, Ω0 lµ c¸c hÖ kho¶ng kh«ng giao nhau cña J, sao cho Ω ∪ Ω0 = J, p vµ p0 lÇn lît lµ c¸c to¸n tö h¹n chÕ trªn Ω vµ Ω0 t¬ng øng. NÕu ký hiÖu A1 (ξ) u b(ξ) = A2 (ξ)b v (ξ), A(ξ) = , u(x) = T −1 [b u](x) A2 (ξ) th× (1) cã thÓ ®îc viÕt l¹i ë d¹ng ( pT −1 [A(ξ)b u(ξ)](x) = f (x), x ∈ Ω, (2) p0 u(x) = g(x), x ∈ Ω0 ,
hµm A(ξ) ®îc gäi lµ biÓu trng (symbol) cña to¸n tö (gi¶ vi ph©n): Au := T −1 [A(ξ)b u(ξ)](x). NhËn xÐt r»ng, ph¬ng tr×nh cÆp (2) cã thÓ ®îc xem nh lµ bµi to¸n Dirichlet ®èi víi ph¬ng tr×nh gi¶ vi ph©n Au = f (x) trªn Ω. 5.2. C¸c ph¬ng ph¸p h×nh thøc Trong kho¶ng 50 n¨m qua ®· xuÊt hiÖn nhiÒu nghiªn cøu vÒ nh÷ng ph¬ng ph¸p h×nh thøc gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n vµ c¸c ph¬ng tr×nh cÆp chuçi ®èi víi c¸c phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n kh¸c nhau. Nh÷ng ph¬ng ph¸p nµy nh×n chung cßn mang tÝnh h×nh thøc, tøc lµ cha xÐt ®Õn tÝnh gi¶i ®îc cña c¸c ph¬ng tr×nh cÆp, còng nh cha cã sù ®¶m b¶o to¸n häc chÆt chÏ ®èi víi c¸c biÕn ®æi. Tuy nhiªn, c¸c ph¬ng ph¸p nµy ®· thóc ®Èy sù ph¸t triÓn m¹nh mÏ cña lý thuyÕt ph¬ng tr×nh cÆp ®èi víi c¸c biÕn ®æi tÝch ph©n kh¸c nhau. PhÇn lín c¸c ph¬ng ph¸p nµy cã thÓ t×m thÊy trong c¸c tµi liÖu [17, 31, 44]. Tríc hÕt ®Ò cËp tíi nh÷ng ph¬ng ph¸p h×nh thøc nghiªn cøu vÒ ph¬ng tr×nh cÆp liªn quan ®Õn biÕn ®æi Fourier (gäi t¾t lµ ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n Fourier) d¹ng:  Z ∞ 1 F −1 [Abu](x) := b(ξ)A(ξ)e−ixξ dξ = f (x), x ∈ Ω ⊂ R, u   2πZ −∞ ∞ (3) 1   −1 F [b u](x) := b(ξ)e−ixξ dξ u = g(x), x ∈ R \ Ω, 2π −∞ trong ®ã b(ξ) lµ hµm cÇn t×m, A(ξ), f (x), g(x) lµ nh÷ng hµm ®· biÕt, Ω = u ∪nk=1 Jk , Jk = (ak , bk ), Ji ∩ Jj = ∅ (i 6= j). • Khi Ω = (0, ∞) ph¬ng ph¸p thêng ®îc sö dông lµ ph¬ng ph¸p nh©n tö ho¸ Wiener- Hopf [11, 19, 31]. Trêng hîp nµy thêng gÆp trong c¸c bµi to¸n vÒ t¸n x¹ c¸c sãng vµ vÒ c¸c vÕt nøt nöa v« h¹n. • Khi Ω = (a, b) lµ kho¶ng h÷u h¹n, ph¬ng tr×nh (3) cßn ®îc gäi lµ ph¬ng tr×nh bé ba (triple equation) ®îc ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch ph©n d¹ng chËp [1, 7, 36, 37]: Z b (a ∗ u)(x) := a(x − t)u(t)dt = f (x) + g˜(x), a < x < b, (4) a
trong ®ã a(x), u(x) t¬ng øng lµ biÕn ®æi Fourier ngîc cña A(ξ) vµ ub(ξ), cßn g˜(x) lµ hµm sè phô thuéc tuyÕn tÝnh vµo hµm g(x). Ph¬ng tr×nh tÝch ph©n d¹ng chËp (4) thêng lµ ph¬ng tr×nh víi nh©n logarithm, hoÆc lµ ph¬ng tr×nh víi nh©n kú dÞ Cauchy vµ ®îc gi¶i gÇn ®óng b»ng ph¬ng ph¸p ®a thøc trùc giao [36, 37], ph¬ng ph¸p tiÖm cËn [1]. • Eswaran (1990) [17] ®· ®Ò xuÊt mét ph¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ph¬ng p tr×nh (3) víi A(ξ) = ξ 2 − k 2 , Ω = (−1, 1), g(x) = 0 gÆp trong lý thuyÕt nhiÔu x¹ (difraction) sãng ®iÖn tõ. Ph¬ng ph¸p cña Eswaran dùa trªn qu¸ tr×nh trùc giao ho¸ vµ hÖ thøc Z ∞ Jm (ξx) ixξ e dξ = 0, |x| > 1. (5) −∞ ξ NghiÖm cña ph¬ng tr×nh (3) ®îc t×m ë d¹ng ∞ X Jm+1 (ξx) u b(ξ) = am (m + 1)im+2 , (6) m=0 ξ §a (6) vµo (3), thay ®æi thø tù lÊy tæng vµ tÝch ph©n ta ®îc ∞ X am ψm (x) = f (x), |x| < 1, (7) m=0 trong ®ã Z ∞ m+2 p Jm+1 (ξx) ψm (x) = (m + 1)i ξ 2 − k2 dξ. (8) −∞ ξ C¸c hÖ sè cha biÕt ®îc t×m b»ng c¸ch tiÕn hµnh trùc giao ho¸ d·y hµm ψm (x), x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc (8). • C¸c ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n víi h¹ch lîng gi¸c thêng gÆp trong c¸c bµi to¸n vÒ vÕt nøt vµ tiÕp xóc cña lý thuyÕt ®µn håi hai chiÒu [40, 41]. Trong [17] giíi thiÖu c¸ch t×m nghiÖm h×nh thøc cña mét sè ph¬ng tr×nh cÆp lo¹i nµy liªn quan ®Õn c¸c phÐp biÕn ®æi Fourier-sin vµ Fourier- cosin. • C¸c ph¬ng ph¸p h×nh thøc t×m nghiÖm cña c¸c ph¬ng tr×nh cÆp liªn quan ®Õn biÕn ®æi Hankel, biÕn ®æi Mehler- Fock, Weber-Orr vµ Legendre ®îc giíi thiÖu kh¸ chi tiÕt trong [17, 44].
Nh trªn ®· nãi, c¸c ph¬ng ph¸p trªn ®©y vÒ c¬ b¶n cßn mang tÝnh h×nh thøc, cha quan t©m ®Õn vÊn ®Ò tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm trong c¸c kh«ng gian hµm thÝch hîp nµo ®ã, còng nh nh÷ng ®¶m b¶o to¸n häc cÇn thiÕt trong qu¸ tr×nh biÕn ®æi ®a ph¬ng tr×nh cÆp vÒ c¸c ph¬ng tr×nh tÝch ph©n t¬ng øng. Díi ®©y chóng t«i sÏ tr×nh bµy tæng quan nh÷ng kÕt qu¶ nghiªn cøu vÒ tÝnh gi¶i ®îc cña mét sè líp ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n, ®Æc biÖt lµ tÝch ph©n Fourier, lµ ®èi tîng nghiªn cøu cña ®Ò tµi luËn ¸n nµy. 5.3. TÝnh gi¶i ®îc cña c¸c ph¬ng tr×nh cÆp Sè lîng c¸c nghiªn cøu vÒ tÝnh gi¶i ®îc cña c¸c ph¬ng tr×nh cÆp so víi c¸c nghiªn cøu vÒ c¸c ph¬ng ph¸p t×m lêi gi¶i h×nh thøc cña c¸c ph¬ng tr×nh nµy lµ rÊt khiªm tèn. Trong phÇn nµy chóng t«i sÏ ®Ò cËp ®Õn mét sè kÕt qu¶ nghiªn cøu ®¹i diÖn cña c¸c chuyªn gia vµ cña t¸c gi¶ luËn ¸n vÒ tÝnh gi¶i ®îc cña c¸c ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n thêng gÆp trong c¸c bµi to¸n biªn hçn hîp cña vËt lý to¸n. • N¨m 1975, Walton J. R. [47] vËn dông tiÕp cËn hµm suy réng Zemanian [48], xÐt tÝnh duy nhÊt nghiÖm cña ph¬ng tr×nh cÆp d¹ng Titchmarsh Z ∞ t−2α ψ(t)Jµ (tx) = f (x), 0 < x < 1,    Z0 ∞ (9)    t−2β ψ(t)Jν (tx) = g(x), 1 < x < ∞, 0 trong líp c¸c hµm suy réng chÝnh qui. ë ®©y Jµ , Jν lµ c¸c hµm Bessel lo¹i mét, ψ(t) lµ hµm cÇn t×m, f (x), g(x), α, β lµ c¸c hµm vµ c¸c sè ®· cho. Còng víi c¸ch tiÕp cËn ®ã, ph¬ng tr×nh (9) còng ®· ®îc nghiªn cøu sau ®ã trong [9, 20]. N¨m 2000, c¸c t¸c gi¶ trong [5] ®· xÐt tÝnh gi¶i ®îc cña ph¬ng tr×nh nµy trong c¸c kh«ng gian Lebesgue. • NguyÔn V¨n Ngäc [25, 26] xÐt tÝnh gi¶i ®îc cña mét sè líp ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n Hankel b»ng c¸ch sö dông c¸c to¸n tö vi ph©n Mµm , Nνm vµ c¸c −m −m tÝch ph©n ph©n Mµ,J , Nµ,J trong kh«ng gian c¸c hµm suy réng Zemanian Hµ0 . NguyÔn V¨n Ngäc vµ Hµ TiÕn Ngo¹n [30] ®· x©y dùng c¸c kh«ng gian Sobolev liªn quan ®Õn phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n Hankel ®Ó nghiªn cøu to¸n tö gi¶ vi ph©n d¹ng u(.)], trong ®ã u A[u] = Bµ [A(.)b b = Bµ [u] lµ biÕn ®æi Hankel cña hµm suy
réng u, A(t) lµ biÓu trng (symbol) ®· cho. TÝnh bÞ chÆn vµ tÝnh compact cña to¸n tö gi¶ vi ph©n A[u] ®îc vËn dông ®Ó nghiªn cøu tÝnh gi¶i ®îc cña c¸c ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n d¹ng Z ∞ u(t)Jµ (tx) = f (x), x ∈ Ω ⊂ R+ , A(t)b    Z0 ∞ (10)    b(t)Jµ (tx) = g(x), x ∈ R+ \ Ω. u 0 • XÐt tÝnh gi¶i ®îc cña ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n Fourier. Trong [11] xÐt ph¬ng tr×nh cÆp ®èi víi tÝch chËp trªn c¸c nöa trôc kh«ng ph¶i b»ng ph¬ng ph¸p Wiener- Hopf (Ph¬ng ph¸p nh©n tö ho¸), mµ b»ng ph¬ng ph¸p bµi to¸n biªn Riemann (xem môc 5.3, trang 53). Ph¬ng tr×nh nµy cã thÓ ®a vÒ ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n Fourier d¹ng ( F −1 [(1 + K1 (ξ))b u(ξ)](x) = f (x), x > 0, (11) F −1 [(1 + K2 (ξ))b u(ξ)](x) = g(x), x < 0 víi c¸c gi¶ thiÕt 1 + Kj (ξ) 6= 0, kj (x) = F −1 [Kj (ξ)], fe(x) ∈ {0} (j = 1, 2), (12) trong ®ã {0} lµ líp c¸c hµm cã Fourier thuéc kh«ng gian L2 (R) vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Holder ®Þa ph¬ng trªn kho¶ng bÞ chÆn bÊt kú vµ t¹i l©n cËn cña ±∞ vµ ( f (x), x ≥ 0, fe(x) = g(x), x < 0. • Gohberg I. C vµ Fel'man I. A. [12] ®· nghiªn cøu ph¬ng tr×nh (11) víi c¸c gi¶ thiÕt f˜(x), kj (x) = F −1 [Kj (ξ)] ∈ L1 (R), (13) 1 + Kj (ξ) 6= 0, Ind[1 + Kj (ξ)]R = 0 (j = 1, 2), (14) trong ®ã IndK(ξ)R lµ chØ sè cña hµm K(ξ) trªn trôc thùc theo chiÒu d¬ng. KÕt qu¶ nhËn ®îc lµ c¸c ®iÒu kiÖn (13)-(14) lµ cÇn vµ ®ñ ®Ó ph¬ng tr×nh (11) cã nghiÖm trong L1 (R).
• Poletaev G. S [33-35] ®· xÐt ph¬ng tr×nh (11) víi gi¶ thiÕt F −1 [K1 (ξ)](x) ∈ L1 (R), ecx F −1 [K2 (ξ)](x) ∈ L1 (R), trong ®ã c lµ h»ng sè d¬ng nµo ®ã, b»ng ph¬ng ph¸p dùa trªn kü thuËt nh©n tö ho¸ Wiener-Hopf trong c¸c ®¹i sè Banach ®· thiÕt lËp mét sè ®Þnh lý vÒ tÝnh gi¶i ®îc cña ph¬ng tr×nh (11) trong c¸c kh«ng gian thÝch hîp. • N¨m 1986, NguyÔn V¨n Ngäc vµ Popov G. Ya. [23] ®· xÐt tÝnh gi¶i ®îc cña ph¬ng tr×nh cÆp vi-tÝch ph©n víi nh©n lîng gi¸c trªn hÖ kho¶ng  Z ∞ d A(ξ)γ(ξ) sin(ξx)dξ, x ∈ In , n = 1, N ,    Zdx∞ 0 (15)    A(ξ) cos(ξx)dξ = 0, x ∈ R+ \ ∪N n=1 In , 0 trong ®ã In = (an , bn ), In ∩Im = ∅, A(ξ) lµ hµm cÇn t×m. Víi mét sè gi¶ thiÕt vÒ biÓu trng γ(ξ), ®· chøng minh ®îc sù tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (15) trong líp hµm CN (R, {ρj }). NghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho ®îc t×m ë d¹ng N Z bj 2X A(ξ) = Φj (y) sin(yξ)dy ξ j=1 aj víi ®iÒu kiÖn Z bj Φj (y)dy = 0, j = 1, N . aj Ph¬ng tr×nh cÆp trªn hÖ 2N + 1
kho¶ng
®îc ®a vÒ hÖ N ph¬ng tr×nh tÝch x − y ph©n lo¹i mét víi nh©n chÝnh ln