Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số lớp phương trình trong không gian banach có thứ tự

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:105

Thêm vào BST

Báo xấu

86
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án nghiên cứu một số lớp phương trình với ánh xạ đa trị tổng quát chứa tham số trong không gian có thứ tự và sử dụng chuẩn nón, độ đo phi compact với giá trị trong nón để nghiên cứu phương trình trong không gian có thể không có thứ tự.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số lớp phương trình trong không gian banach có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ------------------------------ VÕ VIẾT TRÍ MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2016
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ------------------------------ VÕ VIẾT TRÍ MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2016
Mục lục 1 PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHÔNG GIAN VỚI K-CHUẨN 10 1.1 Không gian với thứ tự sinh bởi nón, không gian với K-chuẩn. . . . . . . 11 1.2 Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian với K-chuẩn nhận giá trị trong không gian Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian với K-chuẩn nhận giá trị trong không gian lồi địa phương. . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.1 Trường hợp không gian lồi địa phương xác định bởi họ nửa chuẩn. 18 1.3.2 Trường hợp không gian lồi địa phương xác định bởi cơ sở lân cận gốc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4 Ứng dụng vào bài toán Cauchy trong thang không gian Banach. . . . . 31 1.4.1 Trường hợp bài toán không nhiễu. . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.4.2 Trường hợp bài toán có nhiễu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2 ÁNH XẠ CÔ ĐẶC THEO ĐỘ ĐO PHI COMPACT VỚI GIÁ TRỊ TRONG NÓN 44 2.1 Độ đo phi compact, ánh xạ cô đặc và định lý điểm bất động. . . . . . . 44 2.1.1 Độ đo phi compact nhận giá trị trong nón. . . . . . . . . . . . . 44 2.1.2 Ánh xạ cô đặc theo một độ đo và định lý điểm bất động. . . . . 47 2.2 Ứng dụng vào phương trình vi phân có chậm trong không gian Banach. 49 3 PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ CHỨA THAM SỐ TRONG 1
2 KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ 53 3.1 Bậc tôpô tương đối của lớp ánh xạ đa trị cô đặc. . . . . . . . . . . . . . 54 3.1.1 Tính nửa liên tục và compact của ánh xạ đa trị. . . . . . . . . . 54 3.1.2 Bậc tôpô tương đối. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.1.3 Tính bậc tôpô tương đối cho một số lớp ánh xạ và ứng dụng vào bài toán điểm bất động. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2 Phương trình với ánh xạ đa trị chứa tham số có chặn dưới đơn điệu. . . 67 3.2.1 Tính liên tục của tập nghiệm dương của phương trình. . . . . . 67 3.2.2 Khoảng giá trị tham số để phương trình có nghiệm: . . . . . . . 71 3.2.3 Ứng dụng vào một dạng bài toán điều khiển. . . . . . . . . . . . 73 3.3 Bài toán giá trị riêng, véc tơ riêng dương. . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.3.1 Sự tồn tại véctơ riêng và giá trị riêng dương. . . . . . . . . . . . 81 3.3.2 Một số tính chất Krein-Rutman của giá trị riêng dương, véc tơ riêng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3 MỞ ĐẦU Lí thuyết về các không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón và các phương trình trong chúng được hình thành từ những năm 1940 và được tổng kết bước đầu trong bài báo [35] của M.G.Krein và M.A.Rutman. Nó được phát triển mạnh mẽ và đạt được những kết quả sâu sắc cả về mặt lí thuyết lẫn mặt ứng dụng trong giai đoạn 1950– 1980 trong các công trình của M.A.Krasnoselskii và các học trò của ông [30, 31], của E.N.Dancer, P.Rabinowitz, R.Nussbaum, W.V.Petryshyn,... [1, 12, 13, 44]. Lý thuyết này tiếp tục hoàn thiện cho đến tận hôm nay với những ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực truyền thống (Lí thuyết phương trình vi phân, tích phân; các phương trình xuất phát từ Vật lí, Hoá học, Sinh học) và các lĩnh vực mới (Lí thuyết điều khiển, Tối ưu hoá, Y học, Kinh tế học, Ngôn ngữ học,...) [2, 3, 9, 10, 18, 22, 23, 24, 25, 47, 48, 49, 50]. Hướng nghiên cứu tiếp theo của Lí thuyết phương trình trong không gian có thứ tự cũng giống các lĩnh vực Toán học khác, có lẽ sẽ đi theo hai hướng. Một mặt tiếp tục phát triễn lí thuyết cho các lớp phương trình mới trong không gian thứ tự, mặt khác ứng dụng lí thuyết vào giải quyết các bài toán của các lĩnh vực khác mà ban đầu có thể không liên quan đến các phương trình trong không gian thứ tự. Trong luận án này, chúng tôi sẽ trình bày các kết quả nghiên cứu của mình theo hai hướng nêu trên, đó là nghiên cứu một số lớp phương trình với ánh xạ đa trị tổng quát chứa tham số trong không gian có thứ tự và sử dụng chuẩn nón, độ đo phi compact với giá trị trong nón để nghiên cứu phương trình trong không gian có thể không có thứ tự. Dưới đây chúng tôi sẽ nêu các kết quả chính của luận án, mối liên quan của chúng với các kết quả của các tác giả khác. I. Sử dụng chuẩn nón và độ đo phi compact với giá trị trong nón để nghiên cứu các phương trình. Quan hệ thứ tự được sử dụng một cách tự nhiên trong nghiên cứu phương trình vi phân, tích phân (nhờ Nguyên lí Maximum, bổ đề Gronwal,...), trong Lí thuyết điểm bất động (sử dụng tính đơn điệu của ánh xạ để giảm nhẹ hoặc bỏ điều kiện liên tục,
4 compact hoặc xây dựng dãy lặp đơn điệu hội tụ về nghiệm,...). Ngay cả trong các vấn đề tưởng chừng không liên quan đến thứ tự thì việc đưa vào một thứ tự thích hợp sẽ làm cho việc giải quyết bài toán đó được sáng rõ hơn, ngắn gọn hơn. Ta có thể thấy điều này qua chứng minh định lý Hahn-Banach, định lý Tychonoff về tích các không gian compact (sử dụng Bổ đề Zorn), định lý điểm bất động của Caristi, Nguyên lí biến phân Ekeland (với việc xây dựng thứ tự thích hợp). Không gian với metric nón hoặc chuẩn nón (cũng còn gọi là không gian K-metric, không gian K-chuẩn) là một mở rộng tự nhiên của các không gian metric, định chuẩn thông thường khi metric hoặc chuẩn nhận giá trị trong nón dương của một không gian có thứ tự. Chúng được đưa vào nghiên cứu từ những năm 1950 và được ứng dụng trong Giải tích số, Phương trình vi phân, Lí thuyết điểm bất động,... trong các công trình của Kantorovich [32, 33, 34], Collatz [11], P.Zabreiko và các học trò với các kết quả được tổng kết trong [55]. Ta có thể thấy sự hữu ích của việc sử dụng không gian với chuẩn nón qua ví dụ sau. Giả sử ta có không gian định chuẩn thông thường (X; q) và ta muốn tìm điểm bất động của ánh xạ T : X ! X. Trong một số trường hợp ta có thể tìm được không gian Banach (E; k:k) với thứ tự sinh bởi nón chuẩn K E; ánh xạ tuyến tính dương liên tục Q : E ! E và chuẩn nón p : X ! K sao cho q (x) = kp (x)k và p (T (x) T (y)) Q [p (x y)] , x; y 2 X: (1) Từ (1) ta có kp (T (x) T (y))k N: kQk : kp (x y)k : Như vậy, 9k > 0 để q (T (x) T (y)) kq (x y) , x; y 2 X (2) Nếu chỉ làm việc trong (X; q) với tính chất (2) thì ta có được ít thông tin hơn khi làm việc với (1) vì từ (1) ta có thể sử dụng các tính chất của ánh xạ tuyến tính dương đã được tìm ra trong Lí thuyết phương trình trong không gian có thứ tự. Gần đây, các nghiên cứu về điểm bất động trong không gian với nón metric sôi
5 động trở lại sau bài báo [20] (ta có thể tham khảo bài báo tổng quan [27] về các nghiên cứu gần đây với liệt kê hơn 100 bài báo, tuy chưa đầy đủ). Tuy nhiên, các tác giả của bài báo [20] và phần lớn của các bài tiếp theo đã không biết các nghiên cứu về đề tài này trong giai đoạn trước; các kết quả của họ cũng không tổng quát hơn và cũng chỉ mang tính lí thuyết. Các nghiên cứu về điểm bất động trong không gian với metric nón ở giai đoạn trước và gần đây cũng chỉ tập trung vào Nguyên lí Cacciopoli-Banach và các mở rộng của nó. Cho đến thời điểm chúng tôi gởi đăng bài báo [TG1] chúng tôi chưa thấy kết quả nào về mở rộng định lý Krasnoslskii về điểm bất động của tổng ánh xạ co và ánh xạ compact cho không gian với chuẩn nón. Trong chương 1 của luận án, chúng tôi trình bày các kết quả về định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii cho ánh xạ T + S trong không gian với chuẩn nón cho hai trường hợp. Trong trường hợp chuẩn nhận giá trị trong không gian Banach chúng tôi đặt điều kiện (1) lên ánh xạ T . Trường hợp chuẩn nhận giá trị trong không gian lồi địa phương E thì ánh xạ T thoả mãn điều kiện dạng p (Tzn (x) Tzn (y)) Qn p (x y) , 8x; y; z 2 X; n 2 N với Qn : E ! E là dãy ánh xạ dương, liên tục và Tz (x) = T (x) + z. Các kết quả trừu tượng được chúng tôi áp dụng vào khảo sát bài toán Cauchy x0 (t) = f [t; x (t)] + g [t; x (t)] (3) trong thang các không gian Banach (Fs ; k:ks ), s 2 (0; 1]: Sự tồn tại nghiệm của (3) (cũng còn gọi là định lý Cauchy-Kovalevkaya trừu tượng) Cku vkr với f thoả điều kiện Lipschitz dạng Ovcjannikov: kf (t; u) f (t; v)ks (r s) , 0< s
6 không gian với chuẩn nón. Trong trường hợp g = 0 chúng tôi xây dựng không gian (E; k:k) mà trong đó chuẩn nón nhận giá trị, có chuẩn k:k được định nghĩa tương tự chuẩn được sử dụng bởi Safonov và thay đổi cách định nghĩa của Zabreiko về ánh xạ Q trong điều kiện (1). Từ đó chúng tôi cũng nhận lại được định lý Nishida theo phương pháp sử dụng không gian với chuẩn nón. Ngoài ra, chúng tôi cũng chứng minh được tính liên tục của ánh xạ 1 (I T) ; trong đó T là ánh xạ tích phân tương ứng của phương trình. Trong trường hợp ánh xạ g là compact và f thoả điều kiện ngặt hơn điều kiện Ovcjannikov và có dạng kf (t; u) f (t; v)ks ks ku vks ; chúng tôi sử dụng định lý kiểu Krasnoselskii cho không gian với chuẩn nón nhận giá trị trong không gian lồi địa phương để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy trên [0; 1). Chúng tôi chưa biết kết quả nào về tồn tại nghiệm trên [0; 1) của bài toán Cauchy trên thang các không gian Banach. Độ đo phi compact với giá trị trong nón được định nghĩa và có các tính chất tương tự như độ đo phi compact với giá trị trong R [6]. Độ đo này còn ít được sử dụng trong chứng minh sự tồn tại nghiệm của các phương trình. Trong [6] đã giới thiệu một ứng dụng của độ đo phi compact với giá trị trong nón để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy có chậm x0 (t) = f [t; x (h (t))] với 0 h (t) t1=p : (4) Trong chương 2 của luận án chúng tôi chứng minh một định lý về điều kiện để có một ánh xạ f tác động trong không gian Banach X là cô đặc đối với độ đo phi compact ' với giá trị trong nón dương K của không gian thứ tự E. Điều kiện của chúng tôi là '[f (Y )] A [' (Y )], Y X trong đó A : K ! K là một ánh xạ tăng. Khi đó nếu tập Y X thoả mãn điều kiện ' [f (Y )] ' (Y ) thì ta có ' (Y ) A [' (Y )]. Như vậy phần tử ' (Y ) 2 K là một nghiệm dưới của phương trình u = A (u) và ta có thể sử dụng các kết quả về điểm bất động của ánh xạ tăng A để chứng minh ' (Y ) = 0. Lí luận trên cho ta thấy lợi ích của việc sử dụng độ đo phi compact với giá trị trong nón.
7 Kết quả trừu tượng trên được chúng tôi sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm cho một mở rộng của (4) dạng x0 (t) = f [t; x (t) ; x (h (t))] : II. Phương trình đa trị chứa tham số trong không gian có thứ tự. Nghiên cứu về phương trình với ánh xạ đơn trị chứa tham số dạng x = A ( ; x) (5) trong không gian có thứ tự đã thu được các kết quả sâu sắc, bắt đầu từ định lý Krein- Rutman về giá trị riêng và vectơ riêng dương của ánh xạ tuyến tính dương mạnh, tiếp theo là các nghiên cứu về cấu trúc toàn cục tập nghiệm của phương trình trong các bài báo của Krasnoselskii, Dancer, Rabinowitz, Nussbaum, Amann,... [1, 12, 13, 21, 30, 31, 44]. Nghiệm của (5) thường không tồn tại đơn lẻ và ta muốn tìm hiểu xem các tập nghiệm S1 = fx j 9 : x = A ( ; x)g ; S2 = f( ; x) : x 6= ; x = A ( ; x)g có dày đặc theo một nghĩa nào đó không? Krasnoselskii sử dụng bậc tôpô, kết hợp với giả thiết về chặn dưới đơn điệu đã chứng minh rằng tập nghiệm S1 của (5) là liên tục theo nghĩa trên biên của mọi tập mở, bị chặn chứa đều có điểm của S1 . Dancer, Rabinowitz, Nussbaum, Amann đã sử dụng bậc tôpô kết hợp với một định lý về tách các tập compact liên thông để chứng minh sự tồn tại thành phần liên thông không bị chặn trong tập S2 . Dạng đa trị của (5) là x 2 A ( ; x) và ta cũng muốn thiết lập các kết quả về cấu trúc tập nghiệm của bao hàm thức này. Bậc tôpô cho ánh xạ đa trị dương, compact đã được xây dựng trong các bài báo của W.Petryshyn và M.Fitzpatrick [15] và đã được sử dụng để mở rộng sang trường hợp đa trị các định lý Krasnoselskii về điểm bất động của ánh xạ nén-giãn nón và định lý Leggett-Williams (Xem [26, 41, 42] và các tài liệu tham khảo trong đó). Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi thì cho đến nay chưa có
8 mở rộng của định lý Krasnoselskii về tính liên tục của tập nghiệm sang trường hợp đa trị. Khó khăn gặp phải có lẽ liên quan đến việc chọn định nghĩa khái niệm ánh xạ đa trị tăng thích hợp. Trong phần đầu chương 3 của luận án chúng tôi trình bày các mở rộng sang trường hợp đa trị cho định lý Krasnoselskii về tính liên tục của tập nghiệm và định lý Kras- noselskii về khoảng giá trị của tham số để cho phương trình có nghiệm. Các kết quả này được chúng tôi áp dụng để nghiên cứu bài toán biên với hàm điều khiển dạng x00 (t) + (t) f (x (t)) = 0; x (0) = x (1) = 0; (6) (t) 2 F (t; x (t)) : Bài toán (6) được đưa về bài toán dạng x 2 A (x) (7) trong đó x 2 { [0; 1], A là toán tử tích phân đa trị. Để nghiên cứu bài toán (7) chúng tôi xét bài toán chứa tham số x 2 A (x). Với một số giả thiết đặt lên các hàm f , F chúng tôi chứng minh được tính liên tục của tập nghiệm của bài toán chứa tham số và chỉ ra khoảng cụ thể các giá trị tham số để bài toán có nghiệm. Các cận của khoảng này được tính qua dữ kiện về hàm f , F . Đặt điều kiện để khoảng này chứa 1 ta thu được sự tồn tại nghiệm của (7), (6). Phương pháp nghiên cứu bài toán (6) của chúng tôi khác với các nghiên cứu về các phương trình tương tự của [26, 41, 42], ở đó sử dụng các định lý Krasnoselskii về nén-giãn nón hoặc định lý Leggett-William cho ánh xạ đa trị. Tiếp theo chúng tôi áp dụng định lý về tính liên tục của tập nghiệm của phương trình có chặn dưới đơn điệu vào bài toán giá trị riêng của ánh xạ đa trị tăng, thuần nhất dương bậc 1. Trong bài báo [35], Krein và Rutman đã chứng minh kết quả quan trọng sau. Định lý Krein-Rutman Cho E là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón K và T : E ! E là một toán tử tuyến tính dương và compact với bán kính phổ r (T ) > 0. Khi đó r (T ) là một giá trị riêng của T ứng với vectơ riêng dương x0 : Giả sử thêm intK 6= ? va T là dương
9 mạnh, khi đó 1. x0 2 intK: 2. r(T ) là bội đơn. 3. Nếu 6= r (T ) là một giá trị riêng của T thì j j < r (T ) : Kết quả trên đã được mở rộng cho một số lớp ánh xạ không dương mạnh như ánh xạ u0 -dương, ánh xạ không phân tích được,.... trong các công trình của Krasnoselskii và các học trò [30, 31]. Gần đây, trong các bài báo của Nussbaum [47], K.Chang [8], Mahadevan [37], định lý Krein đã được mở rộng một phần cho lớp ánh xạ tăng, thuần nhất dương bậc 1 bằng cách sử dụng định lý Rabinowitz về phân nhánh toàn cục. Theo hiểu biết của chúng tôi, các kết quả về sự tồn tại và tính chất của giá trị riêng, vectơ riêng dương cho các ánh xạ đa trị trong không gian có thứ tự còn hạn chế, chúng tôi chỉ tham khảo được các kết quả trong [2, 3] cho trường hợp hữu hạn chiều và trong [34, 46] cho ánh xạ liên hợp của các quá trình lồi. Phương pháp chứng minh là sử dụng định lý tách các tập lồi hoặc định lý về điểm cân bằng. Việc mở rộng định lý Rabinowitz về phân nhánh toàn cục sang trường hợp đa trị rồi áp dụng vào bài toán giá trị riêng là khó. Phương pháp của chúng tôi là sử dụng định lý về tính liên tục của tập nghiệm của phương trình có chặn dưới đơn điệu. Trong phần cuối của luận án chúng tôi trình bày các mở rộng các tính chất Krein- Rutman về giá trị riêng, vectơ riêng sang trường hợp đa trị. Với việc mở rộng cho ánh xạ đa trị các khái niệm u0 -dương, u0 -đơn điệu, nửa dương mạnh và một số đại lượng thay thế cho bán kính phổ, chúng tôi đã chứng minh được một phần các tính chất Krein-Rutman cho các ánh xạ tăng, thuần nhất dương. Một phần kết quả của luận án đã được công bố hoặc gởi đăng trong các bài báo [TG1-TG4] và được báo cáo tại đại hội Toán học Việt nam lần thứ 8, tháng 8/2013 tại Nha trang và tại hội nghị khoa học khoa Toán-Tin trường Đại học Sư phạm Tp HCM.
Chương 1 PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHÔNG GIAN VỚI K-CHUẨN Trong phần đầu của chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về không gian với thứ tự sinh bởi nón, không gian với K-chuẩn, các tôpô được sử dụng và khái niệm đầy đủ trên không gian này. Kết quả chính của chúng tôi trong chương này là chứng minh các định lý về điểm bất động của tổng ánh xạ co và ánh xạ compact trên không gian với K-chuẩn. Chúng tôi xét trong hai trường hợp: trường hợp K-chuẩn nhận giá trị trong không gian Banach (Định lý 1.1), trường hợp K-chuẩn nhận giá trị trong không gian lồi địa phương xác định bởi họ nửa chuẩn (Định lý 1.3) hoặc xác định bởi cơ sở lân cận của gốc (Định lý 1.5). Tiếp theo, chúng tôi trình bày ứng dụng kết quả trên để chứng minh sự tồn tại nghiệm cho hai lớp bài toán Cauchy trong thang các không gian Banach: bài toán không nhiễu (Định lý 1.6) và bài toán nhiễu (Định lý 1.7). Kết quả ở mục 1.2 đã được công bố trong [TG1], mục 1.3 là sự mở rộng các kết quả đã công bố trong [TG2]. 10
11 1.1 Không gian với thứ tự sinh bởi nón, không gian với K-chuẩn. Dưới đây, chúng tôi luôn xét hình nón có các tính chất nêu trong định nghĩa sau đây. Định nghĩa 1.1 Cho (E; ) là không gian tôpô tuyến tính thực, như vậy E là không gian tuyến tính trên trường số thực và là tôpô tương thích với cấu trúc đại số trên E. Tập K E gọi là nón trên E nếu: (i) K là tập lồi, đóng, khác rỗng (ii) K K cho tất cả 0 (iii) K \ ( K) = f g. Trong E với nón K ta định nghĩa quan hệ thứ tự như sau: x y ,y x 2 K: Khi đó ta gọi bộ ba (E; K; ) là không gian có thứ tự sinh bởi nón K (gọn hơn là không gian có thứ tự ). Trong trường hợp (E; k:k) là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K ta gọi bộ ba (E; K; k:k) là không gian Banach thứ tự. Định nghĩa 1.2 Cho (E; K; k:k) là không gian Banach thứ tự. Nón K được gọi là nón chuẩn nếu như tồn tại số N > 0 sao cho u v thì kuk N kvk : (1.1) Các tính chất sau của thứ tự đã nêu thường xuyên được sử dụng. Mệnh đề 1.1 Cho (E; K; ) là không gian thứ tự, khi đó: 1) Với x; y 2 E và x y thì (i) x + z y+z (8z 2 E);
12 (ii) x y (8 0) . 2) Với các lưới fx g ; fy g trong E thoả x y (8 2 ) , x ! x và y !y thì x y: 3) Nếu fxn g E là dãy tăng và xn ! x thì xn x ( 8n 2 N). Mệnh đề 1.2 Cho (E; K; k:k) là không gian Banach thứ tự và K là nón chuẩn. Khi đó: 1) Với các dãy fxn g ; fyn g ; fzn g trong E thoả xn yn zn ( 8n 2 N) và lim xn = lim zn = x thì lim yn = x: 3) Nếu dãy đơn điệu fxn g trong E có chứa dãy con hội tụ về x thì lim xn = x: Định nghĩa 1.3 Cho (E; K; ) là không gian thứ tự, M E: Một ánh xạ A : M ! E gọi là dương nếu A (x) với mọi x 2 M mà x ; được gọi là tăng nếu x; y 2 M và x y thì A (x) A (y) : Rõ ràng rằng, nếu A : E ! E là ánh xạ tuyến tính và dương thì nó là tăng. Với (E; K; k:k) là không gian Banach thứ tự, ký hiệu E là không gian liên hợp. Tập hợp K = ff 2 E : f (x) 0 cho mọi x 2 Kg được gọi là nón liên hợp của K. Các tính chất được nhắc lại dưới đây của nón liên hợp được sử dụng mà không chứng minh. Mệnh đề 1.3 ([13], Proposition 19.3, p.222) 1) x 2 K , f (x) 0 8f 2 K : 2) x 2 Kn f g thì tồn tại f 2 K thoả f (x) > 0. 3) Nếu x 2int(K) và f 2 K n f0g thì f (x) > 0: 4) Nếu x 2 @K thì tồn tại f 2 K n f0g để cho f (x) = 0:
13 Mệnh đề sau cho phép chúng ta chọn N = 1 trong (1.1). Mệnh đề 1.4 ([30]) Cho không gian Banach (E; k:k) với thứ tự sinh bởi nón K và k:k là phiếm hàm Minkowskii của tập hợp [B ( ; 1) K] \ [B ( ; 1) + K] : Khi đó 1) k:k là một chuẩn trong E thoả kuk kuk 8u 2 E và kuk kvk nếu như u v, 2) k:k k:k nếu như K là nón chuẩn. Định nghĩa 1.4 ([55]) Cho (E; K; ) là không gian với thứ tự sinh bởi nón K và X là không gian tuyến tính thực. Một ánh xạ p : X ! E được gọi là K-chuẩn hay chuẩn nón trên X nếu (i) p (x) E 8x 2 X và p (x) = E nếu và chỉ nếu x = X, ở đây E, X lần lượt là phần tử không của E và X, (ii) p ( x) = j j p (x) 8 2 R, 8x 2 X, (iii) p (x + y) p (x) + p (y) 8x; y 2 X. Nếu p là K-chuẩn trên X thì cặp (X; p) sẽ gọi là không gian K-chuẩn. Không gian này nếu được xét với tôpô thì được ký hiệu bởi (X; p; ). 1.2 Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian với K-chuẩn nhận giá trị trong không gian Banach. Trong mục này, cho (E; K; k:k) là không gian Banach thứ tự và (X; p) là không gian K-chuẩn. Chúng ta sẽ sử dụng hai tôpô được định nghĩa dưới đây. Định nghĩa 1.5 1) Ta định nghĩa lim xn = x nếu và chỉ nếu lim p (xn x) = trong E và chúng n!1 n!1 ta gọi một tập con A của X là tập đóng nếu A = ? hoặc A có tính chất: Với dãy bất kỳ fxn g A mà lim xn = x thì x 2 A. Ta ký kiệu 1 là tôpô trên X xác định bởi n!1
14 1 = G X : XnG đóng : 2) Ta gọi 2 là tôpô trên X được xác định bởi họ các nửa chuẩn ff p : f 2 K g. Khi đó (X; 2) là một không gian vectơ tôpô lồi địa phương và họ các tập x 2 X : max fi p (x) < " ; fi 2 K ; n 2 N ; " > 0 1 i n lập thành một cơ sở lân cận của gốc và một lưới fx g X hội tụ đến x theo 2 nếu và chỉ nếu lim f (p (x x)) = 0 với mọi f 2 K : Định nghĩa 1.6 ([55]) Cho (E; K; k:k) là một không gian Banach thứ tự và (X; p) là không gian K-chuẩn. Giả sử là một tôpô trên X 1) Ta nói rằng (X; p; ) là đầy đủ theo Weierstrass nếu với mọi dãy bất kỳ fxn g X P 1 mà chuỗi p (xn+1 xn ) hội tụ trong E thì dãy fxn g hội tụ trong (X; p; ). n=1 2) Ta nói rằng (X; p; ) là đầy đủ theo Kantorovich nếu một dãy bất kỳ fxn g thoả p (xk xl ) an với mọi k; l n, fan g K, lim an = E (1.2) n!1 thì fxn g hội tụ trong (X; p; ). Chú ý rằng dãy fan g trong (1.2) phụ thuộc vào fxn g : Hai bổ đề dưới đây sẽ cho thấy mối quan hệ giữa các khái niệm đầy đủ vừa nêu. Bổ đề 1.1 Cho không gian Banach (E; K; k:k) với thứ tự sinh bởi nón chuẩn K với N = 1 trong (1.1) và (X; p) là một không gian K-chuẩn. Khi đó ánh xạ q : X ! R, q (x) = kp (x)k là một chuẩn trên X, và ta có: 1) Tôpô 1 trùng với tôpô của không gian định chuẩn (X; q). 2) Nếu (X; p; 1) là đầy đủ theo Weierstrass thì (X; q) là đầy đủ. Chứng minh. Rõ ràng rằng, q là một chuẩn trên X và lim xn = x trong (X; p; 1) khi và chỉ khi n!1 lim xn = x trong (X; q). Do đó, tập A X là đóng trong (X; p; 1) nếu và chỉ nếu A n!1 là đóng trong (X; q) và khẳng định thứ nhất được chứng minh. Để thấy tính đầy đủ P 1 của (X; q) chúng ta xét dãy fxn g X thoả q (xn ) < 1 và ta phải chứng minh rằng n=1
15 P 1 chuỗi xn hội tụ trong (X; q). Thật vậy, ta đặt sn = x1 + x2 + ::: + xn , n 2 N thì ta n=1 có X 1 X 1 kp (sn sn 1 )k = q (xn ) < 1; n=1 n=1 P 1 điều này dẫn đến chuỗi p (sn sn 1 ) hội tụ trong (E; k:k). Từ giả thiết (X; p; 1) n=1 đầy đủ theo Weierstrass, chúng ta có được dãy fsn g hội tụ trong (X; p; 1) và do đó cũng hội tụ trong (X; q). Bổ đề 1.2 Cho (E; K; k:k) là một không gian Banach thứ tự và (X; p) là một không gian K-chuẩn, là một tôpô trên X. 1) Nếu (X; p; ) là đầy đủ theo Kantorovich thì nó là đầy đủ theo Weierstrass. 2) Nếu K là nón chuẩn và (X; p; 1) là đầy đủ theo Weierstrass thì (X; p; 1) là đầy đủ theo Kantorovich. Chứng minh. P 1 1. Giả sử fxn g X và chuỗi p (xn+1 xn ) hội tụ trong E: Ta gọi s, sn lần lượt là n=1 tổng và tổng riêng thứ n của chuỗi này. Với mỗi số l, số k thoả l > k n chúng ta có p (xl xk ) sk 1 sl 1 s sn với lim (s sn ) = trong E. Vì vậy, fxn g hội tụ n!1 nhờ tính đầy đủ theo Kantorovich của (X; p; ). Vậy (X; p; ) đầy đủ theo Weierstrass. 2. Xét dãy fxn g thoả (1.2). Do K là nón chuẩn ta có kp (xl xk )k N kan k, vì thế fxn g là dãy Cauchy trong (X; q) và do đó nó hội tụ trong (X; q) và trong (X; p; 1) theo Bổ đề 1.1. Định lý 1.1 Cho (E; K; k:k) là không gian Banach thứ tự, (X; p; ) là không gian K-chuẩn đầy đủ theo Weierstrass với = 1 hoặc = 2. Giả sử rằng C là một tập lồi, đóng trong (X; p; ) và S,T : C ! X là các toán tử thoả mãn các điều kiện sau (i) T (x) + S (y) 2 C 8x; y 2 C; (ii) S là liên tục và S (C) là tập compact đối với tôpô ;
16 (iii) tồn tại toán tử tuyến tính dương, liên tục Q : E ! E với bán kính phổ r (Q) < 1 sao cho: p (T (x) T (y)) Q [p (x y)] với mọi x; y 2 C: Khi đó toán tử T + S có điểm bất động trong các trường hợp sau: (C1 ) = 1, K là nón chuẩn. (C2 ) = 2. Chứng minh. Trước hết, từ giả thiết (i) và tính chất đóng của C thì T (x) + y 2 C 8x 2 C; 8y 2 S (C). Cố định y 2 S (C), ta định nghĩa toán tử Ty : C ! C xác định bởi Ty (x) = T (x) + y. Bây giờ, bắt đầu từ một phần tử bất kỳ x0 2 C; chúng ta xây dựng dãy xn = Ty (xn 1 ), với n = 1; 2; :::. Đặt u = p (x1 x0 ) thì bằng cách quy nạp theo n ta có p (xn+1 xn ) Qn (u) cho mọi n 2 N: Chúng ta đã biết rằng X 1 1 Qn (u) = (I Q) (u) : n=0 Suy ra X 1 1 p (xn+1 xn ) (I Q) (u) n=0 Do (X; p; ) là đầy đủ theo Weierstrass ta có thể tìm được phần tử x = lim xn . Ta có n!1 p [Ty (x ) x] p [Ty (x ) Ty (xn )] + p (xn+1 x) Q [p (x xn )] + p (xn+1 x) (1.3) và với mọi f 2 K ta có f (p [Ty (x ) x ]) f Q [p (x xn )] + f p (xn+1 x) . (1.4) Bằng cách cho n ! 1 với chú ý định nghĩa tôpô tương ứng, sử dụng (1.3) trong trường hợp (C1 ) chúng ta có được Ty (x ) = x . Đối với trường hợp (C2 ) chúng ta sử dụng (1.4) với chú ý rằng f Q 2 K thì chúng ta cũng có kết quả tương tự. Bây giờ ta chứng tỏ điểm bất động x của Ty sẽ là duy nhất. Thật vậy, nếu có phần tử a thoả Ty (a) = a
17 thì p (a x ) = p [Ty (a) Ty (x )] Q [p (a x )]. Suy ra (I Q) p (a x) . 1 Từ (I Q) là tuyến tính, dương nên chúng ta có p (a x )= E và do đó a = x . Như vậy, với mỗi y 2 S (C) thì tồn tại duy nhất x 2 C để cho T (x) + y = x. Nói 1 khác đi là tồn tại toán tử (I T) : S (C) ! C. Chúng ta sẽ chứng tỏ toán tử này liên tục. Thật vậy, giả sử lưới fy g S (C) là hội tụ đến y 2 S (C) đối với tôpô . 1 1 Đặt x = (I T) (y ), x = (I T) (y) ; khi đó ta có Ty (x ) = x và Ty (x) = x và do đó x x = T (x ) + y T (x) y: Suy ra p (x x) p [T (x ) T (x)] + p (y y) Q [p (x x)] + p (y y) ; và từ đó (I Q) [p (x x)] p (y y) : 1 Do tính đơn điệu và dương của toán tử (I Q) ta có 1 p (x x) (I Q) [p (y y)] (1.5) và 1 f p (x x) f (I Q) [p (y y)] với mọi f 2 K : (1.6) Trong trường hợp (C1 ) chúng ta dùng (1.5) và tính chuẩn của nón K thì lưới fx g hội tụ đến x theo tôpô 1. Đối với trường hợp (C2 ), chúng ta dùng (1.6) và chú ý rằng 1 1 f (I Q) 2 K thì lưới fx g hội tụ đến x theo tôpô 2. Vậy (I T) liên tục. 1 1 Toán tử (I T) S :C ! C là liên tục, tập (I T) S (C) là compact vì 1 chứa trong tập compact (I T) S (C) : Theo Định lý Tychonoff thì tồn tại x 2 C 1 thoả x = (I T) S (x) hay x = T (x) + S (x) :
18 1.3 Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian với K-chuẩn nhận giá trị trong không gian lồi địa phương. 1.3.1 Trường hợp không gian lồi địa phương xác định bởi họ nửa chuẩn. Cho (E; K; ) là không gian lồi địa phương Hausdorff với tôpô xác định bởi họ các nửa chuẩn và thứ tự sinh bởi nón K: Trong mục này ta luôn giả sử họ nửa chuẩn có tính chất x y ) ' (x) ' (y) 8' 2 : (1.7) Cho (X; p) là không gian với K-chuẩn p nhận giá trị trong E. Trên X ta xét tôpô sinh bởi sự hội tụ của lưới theo định nghĩa sau đây: Lưới fx g hội tụ về x trong X đối với tôpô khi và chỉ khi p (x x) ! E. Khi đó (X; p; ) là không gian lồi địa phương xác định bởi họ nửa chuẩn f' p : ' 2 g, và ta có, x ! x khi và chỉ khi 'p (x x) ! 0 cho mọi ' 2 . Chúng tôi nhắc lại khái niệm liên tục đều trên không gian lồi địa phương và các kết quả được sử dụng mà không chứng minh. Bổ đề 1.3 Cho không gian lồi địa phương (E; K; ) với tôpô xác định bởi họ nửa chuẩn có tính chất (1.7). Khi đó 1) Nếu các lưới fa g 2^ ; fb g 2^ thoả E a b với mọi 2 ^ và b ! E thì ta có a ! E 2) Giả sử (E; K; ) đầy đủ theo dãy và fan gn2N ; fbn gn2N thoả E an bn với P 1 P 1 mọi n 2 N: Khi đó an hội tụ nếu bn hội tụ: n=0 n=0 Định nghĩa 1.7 Cho (X; p; ) là không gian nón chuẩn và C X. Ánh xạ A : C ! X được gọi là liên tục đều trên C nếu với mỗi cặp ('; ") 2 (0; 1), tồn tại số > 0 sao cho