Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số mở rộng của môđun nội xạ và các vành liên quan

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:84

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án "Một số mở rộng của môđun nội xạ và các vành liên quan" có cấu trúc gồm 3 chương. Chương 1: kiến thức chuẩn bị; chương 2: mô đun bất biến đẳng cấu và các vành liên quan; chương 3: vành mà mỗi i đêan phải hữu hạn sinh bất biến đẳng cấu. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số mở rộng của môđun nội xạ và các vành liên quan

I HÅC HU TR×ÍNG I HÅC S× PHM O THÀ TRANG MËT SÈ MÐ RËNG CÕA MÆUN NËI X V CC VNH LIN QUAN Chuy¶n ng nh: ¤i sè v lþ thuy¸t sè M¢ sè: 9460104 LUN N TIN S TON HÅC xg÷íi h÷îng d¨n kho hå IX PGS.TS. TR×ÌNG CÆNG QUÝNH xg÷íi h÷îng d¨n kho hå PX GS.TS. L VN THUYT HU, NM 2022
Líi cam oan æi xin m 1onD ¡ k¸t qu£ 1÷ñ nghi¶n ùu v tr¼nh y trong luªn ¡n n y l õ ri¶ng tæi ho° õ 1çng t¡ gi£ v 1¢ 1÷ñ ¡ 1çng t¡ gi£ ho ph²p tæi 1÷ v o luªn ¡nF 0y rÀ exq
Líi c£m ìn víi 1¦u ti¶nD tæi xin y tä láng i¸t ìn s¥u s 1¸n hi h¦y h÷îng d¨nD 1â l X qFF r÷ìng gæng uýnhD r÷íng 0¤i hå ÷ ph¤m E 0¤i hå 0 x®ng v qFF v¶ «n huy¸tD r÷íng 0¤i hå ÷ ph¤m E 0¤i hå ru¸Y trong ¡ n«m vø quD hi h¦y 1¢ luæn tªn t¥m h÷îng d¨n ho tæi v· huy¶n mæn ông nh÷ ¡ kÿ n«ng trong hå tªp v nghi¶n ùu to¡n håD luæn kh½h l» v 1ëng vi¶n tæi trong nhúng ló khâ kh«nF æi tr¥n trång £m ìn kho o¡nD háng 0 o t¤o u 1¤i hå õ r÷íng 0¤i hå ÷ ph¤m E 0¤i hå ru¸D 1° i»t l qFF go ruy vinhD tr÷ðng ë mæn 0¤i sè E r¼nh håD r÷íng 0¤i hå ÷ ph¤m E 0¤i hå ru¸ 1¢ luæn gióp 1ïD t¤o nhúng 1i·u ki»n tèt nh§t ho tæi ho n th nh h÷ìng tr¼nh hå tªp ông nh÷ ¡ thõ tö li¶n qunF æi tr¥n trång £m ìn xhâm nghi¶n ùu m¤nhD fë mæn 0¤i sè E r¼nh håD r÷íng 0¤i hå ÷ ph¤m E 0¤i hå ru¸ 1¢ tê hù ¡ uêi th£o luªnD gâp þD tro 1êi huy¶n mæn r§t ê ½h ho tæiF æi xin tr¥n trång £m ìn fn qi¡m hi»uD 0£ng õy xh tr÷íngD l¢nh 1¤o kho uho hå Ùng döng r÷íng 0¤i hå gæng nghi»p hü ph©m th nh phè rç gh½ winh 1¢ t i trñ hå ph½D t¤o 1i·u ki»n thuªn lñi ho tæi 1÷ñ 1i hå tªpD nghi¶n ùu mët ¡h thuªn lñi nh§tF guèi òngD tæi xin gûi líi £m ìn 1¸n mµD hi hà v 1¤i gi 1¼nh òng nhúng ng÷íi ¤nD 1çng nghi»p 1¢ luæn k· vi s¡t ¡nh ¶n tæi v s®n s ng gióp 1ï tæi ho n th nh æng vi»F vuªn ¡n n y l mân qu m tæi muèn d nh t°ng ho mµD hçng v on tri õ tæi 1º tä láng tri ¥n s¥u s v· sü hy sinh õ hå d nh ho tæiY hå l nhúng ng÷íi 1¢ 1çng h nh v luæn t¤o 1i·u ki»nD õng hë tæi trong suèt thíi gin tæi hå tªp v nghi¶n ùuF h nh phè ru¸D ng y IH th¡ng W n«m PHPP 0y rÀ exq
Möc löc Danh möc c¡c kþ hi»u F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F T Danh möc c¡c thuªt ngú F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F U Líi mð ¦u F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F V 1 KIN THÙC CHUN BÀ 13 IFI wët sè kh¡i ni»m v t½nh h§t F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IQ IFP wæ1un nëi x¤ v ¡ mð rëng õ nâ F F F F F F F F F F F F F F F F F F IT IFQ wët sè lîp v nh li¶n qun F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PH IFR ghi·u qoldie v v nh qoldie F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PS 2 MÆUN BT BIN NG CU V CC VNH LIN QUAN 29 PFI 0ành ngh¾ v ¡ t½nh h§t õ mæ1un §t i¸n 1¯ng §u F F F F F PW PFP nh ¡ tü 1çng §u õ mæ1un §t i¸n 1¯ng §u F F F F F F F F F QR PFQ wæ1un §t i¸n 1¯ng §u tr¶n v nh qoldie F F F F F F F F F F F F F F RH PFR nh tü proenius v v nh §t i¸n 1¯ng §u F F F F F F F F F F F F RT PFS u¸t luªn õ h÷ìng P F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RV 3 VNH M MÉI IAN PHI HÚU HN SINH BT BIN NG CU 50 QFI 0ành ngh¾ v ¡ t½nh h§t F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SI QFP f aEv nh ph£i vîi hi·u qoldie húu h¤n F F F F F F F F F F F F F F F F F TR R
QFQ f aEv nh ph£i khæng suy i¸n F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TU QFR u¸t luªn h÷ìng Q F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F US K¸t luªn v ki¸n nghà F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UU Danh möc c¡c cæng tr¼nh cõa t¡c gi£ F F F F F F F F F F F F F F F F F F UW S
Danh möc c¡c kþ hi»u Kþ hi»u Ngh¾a cõa kþ hi»u [i] i li»u thù i ð mö 4 i li»u thm kh£o4 E(M ) fo nëi x¤ õ mæ1un M indR (M ) nh ¡ tü 1çng §u õ REmæ1un M sm(f ) nh õ 1çng §u f uer(f ) r¤t nh¥n õ 1çng §u f Mn (R) nh m trªn vuæng §p n l§y ¡ h» tû tr¶n v nh R MR M l REmæ1un ph£i RM M l REmæ1un tr¡i N ≤M N l mæ1un on õ M N ≤e M N l mæ1un on èt y¸u õ M N ≪M N l mæ1un on 1èi èt y¸u õ M N ≤⊕ M N l h¤ng tû trü ti¸p õ mæ1un M N ∼M = wæ1un N 1¯ng §u vîi mæ1un M N ⊕M êng trü ti¸p õ mæ1un N v mæ1un M rad(M ) g«n õ mæ1un M soc(M ) 0¸ õ mæ1un M T
Danh möc c¡c thuªt ngú Thuªt ngú ti¸ng Vi»t Thuªt ngú ti¸ng Anh mæ1un §t i¸n 1¯ng §u utomorphism invrint module xyli yli mæ1un on èt y¸u essentil sumodule mæ1un on 1èi èt y¸u superfluous sumodule mæ1un mð rëng extending module mæ1un tü do free module mæ1un nëi x¤ injetive module mæ1un tü nëi x¤ qusiEinjetive module mð rëng èt y¸u essentil extension mæ1un gi£ nëi x¤ pseudo injetive module N Enëi x¤ N Einjetive ph¦n ò omplement suy i¸n singulr khæng suy i¸n nonsingulr mæ1un li¶n tö ontinuous module mæ1un tü li¶n tö qusiEontinuous module trü gio orthogonl nû ertin semi ertinin nû 1ìn semisimple v nh di truy·n hereditry ring v nh tü proenius qusi proenius ring v nh tü nëi x¤ selfEinjetive ring t½nh h§t tro 1êi exhnge property trü ti¸pEhúu h¤n diretlyEfinite U
Líi mð ¦u vþ thuy¸t v nh k¸t hñp khæng gio ho¡n nâi hung 1¢ r 1íi hìn IHH n«mF ri»n nyD lþ thuy¸t n y v¨n khæng ngøng 1÷ñ ¡ nh to¡n hå qun t¥mD nghi¶n ùuF rong 1âD h÷îng nghi¶n ùu §u tró õ v nh dü tr¶n vi» nghi¶n ùu ¡ t½nh h§t õ mæ1un tr¶n hóng thu 1÷ñ nhi·u k¸t qu£ qun trångF rong lþ thuy¸t mæ1unD lîp mæ1un nëi x¤ â mët và tr½ trung t¥m 1° i»t m tø 1â ¡ nh to¡n hå luæn t¼m ¡h mð rëng theo nhi·u h÷îng kh¡ nhu v 1¢ â r§t nhi·u lîp mæ1un mð rëng õ nâ r 1íiF x«m IWRHD fer 1¢ giîi thi»u v· lîp REmæ1un M l h¤ng tû trü ti¸p õ måi mæ1un hù nâF fer 1¢ h¿ r 1i·u ki»n n y t÷ìng 1÷ìng vîi 1i·u ki»n måi RE1çng §u φ tø mët i1¶n I §t ký õ R v o M 1·u tçn t¤i ph¦n tû m ∈ M so ho φ(x) = mx vîi måi x ∈ I @IHAF x«m IWSTD grtn v iilenerg 1¢ dòng ngæn ngú õ 1¤i sè 1çng 1i·u 1º di¹n 1¤t lîp mæ1un n y v dòng thuªt ngú 4nëi x¤4 1º h¿ hóng @IRAF gö thºD mët mæ1un M 1÷ñ gåi l nëi x¤ n¸u måi 1çng §u tø mæ1un on A õ mæ1un B v o M 1·u â thº mð rëng 1¸n mët 1çng §u tø B v o M F x«m IWTID tohnson v ong 1¢ giîi thi»u mët mð rëng õ mæ1un nëi x¤ 1â l mæ1un tü nëi x¤ @QQAF wët mæ1un 1÷ñ gåi l tüa nëi x¤ n¸u méi 1çng §u tø mët mæ1un on õ nâ v o nâ mð rëng 1¸n tü 1çng §u õ nâF g¡ 1° tr÷ng õ mæ1un tü nëi x¤ 1¢ 1÷ñ mët sè t¡ gi£ nghi¶n ùu trong UD PID PQD RTFF F F wët mð rëng qun trång õ lîp mæ1un tü nëi x¤ l gi£ nëi x¤D nâ 1÷ñ tin v ingh giîi thi»u trong QPF wët mæ1un 1÷ñ gåi l gi£ nëi x¤ n¸u måi 1ìn §u tø mæ1un on õ nâ v o nâ â thº mð rëng 1¸n mët tü 1çng §u õ nâF u 1âD nhi·u t¡ gi£ ông 1¢ ti¸p tö nghi¶n ùu lîp mæ1un n y nh÷ wF vF eply @SPAD rF F hinh @IUADFFF îi ph÷ìng ph¡p mð rëng lîp mæ1un nëi x¤ nh÷ tr¶nD 1¢ â r§t nhi·u lîp mæ1un 1÷ñ giîi thi»u v nghi¶n ùuF gh¯ng h¤nD elhmdiD ir v tin trong R 1÷ r lîp mæ1un gi£ nëi x¤ èt y¸uD wF rrd @PRA 1¢ 1÷ r lîp mæ1un GQEnëi x¤D gF F glr v F pF mith @ISA 1¢ 1÷ r lîp mæ1un tü C Enëi x¤DFFF xgo i rD mët sè t¡ gi£ án mð rëng lîp mæ1un nëi x¤ dü theo i¶u hu©n fer @IHD heorem IAY â thº kº 1¸n nh÷ l lîp mæ1un pEnëi x¤ @RRAD mæ1un tü pEnëi x¤ @SHAF gâ thº nh¼n nhªn kh½ ¤nh t½nh nëi x¤ õ ¡ mæ1un qu qun 1iºm §t i¸nD V
trong QQ tohnson v ong 1¢ h¿ r lîp ¡ mæ1un §t i¸n d÷îi t§t £ ¡ tü 1çng §u õ o nëi x¤ õ nâ tròng vîi lîp ¡ mæ1un tü nëi x¤F 0¥y l mët trong nhúng k¸t qu£ qun trång õ lîp mæ1un tü nëi x¤D nâ ho th§y t½nh tü nëi x¤ õ mæ1un â thº 1÷ñ di¹n 1¤t thæng qu ¡ t½nh h§t nëi t¤i õ mæ1un 1âF x«m IWTWD hikson v puller 1¢ nghi¶n ùu lîp mæ1un §t i¸n d÷îi ¡ tü 1¯ng §u õ o nëi x¤ õ nâ ho tr÷íng hñp 1¤i sè húu h¤n hi·u tr¶n mët tr÷íngD ¡ mæ1un nh÷ vªy 1÷ñ gåi ngn gån l mæ1un §t i¸n 1¯ng §u @ITAF x«m PHIQD vee v hou trong RH 1¢ 1ành ngh¾ mæ1un §t i¸n 1¯ng §u ho v nh v mæ1un §t kýY theo 1âD mët REmæ1un M 1÷ñ gåi l b§t bi¸n ¯ng c§u n¸u M §t i¸n qu t§t £ ¡ tü 1¯ng §u õ o nëi x¤ õ M D tù l φ(M ) ≤ M vîi måi tü 1¯ng §u φ õ o nëi x¤ õ M F ri t¡ gi£ vee v hou 1¢ h¿ r lîp mæ1un gi£ nëi x¤ l §t i¸n 1¯ng §uF uy nhi¶nD k¸t qu£ 1ët ph¡ trong hõ 1· n y thuë v· irD inghD rivstv v esensioF rong PP irD ingh v rivstv 1¢ ph¥n t½h mët mæ1un §t i¸n 1¯ng §u th nh têng trü ti¸p õ mët mæ1un tü nëi x¤ v mët mæ1un khæng h½nh ph÷ìngF rå 1¢ h¿ r lîp mæ1un §t i¸n 1¯ng §u h½nh l lîp mæ1un gi£ nëi x¤F u 1âD esensio v rivstv trong T 1¢ hùng minh r¬ng lîp mæ1un §t i¸n 1¯ng §u thä m¢n t½nh h§t tro 1êi v 1÷ r ¡ 1° tr÷ng õ v nh v mæ1un lenF Ð mët h÷îng ti¸p ªn kh¡D khi xem v nh R nh÷ l REmæ1un ph£i v méi i1¶n ph£i nh÷ l mët REmæ1un onF x«m IWTWD tin v ingh 1¢ nghi¶n ùu lîp v nh m méi i1¶n ph£i l tü nëi x¤D lîp v nh n y 1÷ñ gåi l q -v nh ph£i v hå 1¢ h¿ r mët sè 1° tr÷ng qun trång ho lîp v nh n y @QHAF u 1âD svnov 1¢ têng qu¡t lîp q Ev nh ph£iD gåi l f q -v nh ph£iD 1â l lîp v nh m méi i1¶n ph£i húu h¤n sinh l tü nëi x¤F ¡ gi£ svnov 1¢ nghi¶n ùu f q Ev nh li¶n k¸t vîi ¡ kh¡i ni»m lôy 1¯ng nguy¶n thõy trò mªt v lôy 1¯ng khæng suy i¸nD tø 1â t¡ gi£ 1¢ thu 1÷ñ mët sè k¸t qu£ thó và @PWAF wð rëng ¡ lîp v nh nâi tr¶n theo h÷îng tø t½nh tü nëi x¤ 1¸n t½nh §t i¸n 1¯ng §uD ¡ t¡ gi£ uonD uýnh s v rivstv 1¢ giîi thi»u lîp v nh m méi i1¶n ph£i l §t i¸n 1¯ng §uD lîp v nh n y 1÷ñ gåi l a-v nh ph£i v hå 1¢ thu 1÷ñ nhi·u k¸t qu£ 1µp v· §u tró õ lîp v nh n yF gh¯ng h¤nD mët aEv nh ph£i l têng trü ti¸p õ v nh nû 1ìn h½nh ph÷ìng 1¦y 1õ v v nh khæng h½nh ph÷ìng ph£iF g¡ t¡ gi£ ông thu 1÷ñ 1ành lþ v· §u tró ho mët aEv nh ph£i khæng ph¥n t½h 1÷ñD ertin ph£iD khæng W
suy i¸n ph£i 1÷ñ iºu di¹n nh÷ l mët v nh ¡ m trªn tm gi¡ khèi @QSAF i¸p tö nghi¶n ùu theo h÷îng n yD hóng tæi 1÷ r lîp v nh m méi i1¶n ph£i húu h¤n sinh l §t i¸n 1¯ng §uD hóng tæi gåi 1â l lîp f aEv nh ph£iF g¡ k¸t qu£ li¶n qun 1¸n f aEv nh 1¢ 1÷ñ nghi¶n ùu trong RVD SQF nh ¡ tü 1çng §u End(M ) õ mæ1un §t i¸n 1¯ng §u M ông â nhi·u t½nh h§t t÷ìng tü vîi v nh ¡ tü 1çng §u õ mæ1un tü nëi x¤F rong TD quil esensio v rivstv 1¢ h¿ r r¬ng End(M )/J(End(M )) l v nh h½nh quy von xeumnn vîi ¡ lôy 1¯ng n¥ng 1÷ñ modulo J(End(M )) v «n toson J(End(M )) gçm t§t £ ¡ tü 1çng §u õ M â nh¥n èt y¸uF uh¯ng 1ành n y t÷ìng tü vîi ¡ k¸t qu£ 1¢ 1÷ñ hùng minh ði pith v tumi trong PQ ho tr÷íng hñp ¡ mæ1un tü nëi x¤ v l mð rëng k¸t qu£ tr÷î 1â õ h½nh tumi ho mæ1un nëi x¤ @SSAF rong SH nh v hum 1¢ nghi¶n ùu v· v nh ¡ tü 1çng §u õ lîp mæ1un tü pEnëi x¤D ¡ t¡ gi£ 1¢ hùng minh 1÷ñ r¬ng n¸u M l mæ1un tü pEnëi x¤D tü sinh v â hi·u qoldie húu h¤n th¼ End(M )/J(End(M )) l v nh nû 1ìnF xghi¶n ùu theo ¡ h÷îng n yD hóng tæi thu 1÷ñ ¡ k¸t qu£ t÷ìng tü ho lîp mæ1un §t i¸n 1¯ng §u v v nh ¡ tü 1çng §u õ nâ @SQAF u sì l÷ñ v· ¡ h÷îng nghi¶n ùu v ¡ k¸t qu£ m nhi·u t¡ gi£ thu 1÷ñ nh÷ tr¶nD hóng tæi th§y r¬ng 1º nghi¶n ùu v· lîp mæ1un §t i¸n 1¯ng §u v v nh ¡ tü 1çng §u õ nâ ông nh÷ ¡ lîp v nh kh¡ li¶n qun nh÷ lîp f aEv nhD v nh §t i¸n 1¯ng §uD v nh tü proeniusDFFFF ghóng tæi ¦n ph£i hiºu rã v· lîp mæ1un nëi x¤ v ¡ mð rëng õ nâF 0â l lþ do hóng tæi hån 1· t iX "Mët sè mð rëng cõa mæun nëi x¤ v c¡c v nh li¶n quan" ho luªn ¡n n yF rong luªn ¡n n yD hóng tæi hi th nh h÷ìngD trong 1âX gh÷ìng ID hóng tæi tr¼nh y ¡ 1ành ngh¾D kþ hi»u v mët sè t½nh h§t ì £n õ nhúng kh¡i ni»m 1÷ñ sû döng nhi·u l¦n trong luªn ¡nF 0çng thíiD hóng tæi ông li»t k¶ ¡ k¸t qu£ 1¢ 1÷ñ tr½h d¨n trong luªn ¡n 1º ng÷íi 1å thuªn ti»n t¼m ki¸mD theo dãiF gh÷ìng PD hóng tæi nghi¶n ùu mët sè t½nh h§t õ mæ1un §t i¸n 1¯ng §uF ft 1¦u tø v nh ¡ tü 1çng §u õ mæ1un §t i¸n 1¯ng §u v hóng tæi thu 1÷ñ k¸t qu£ h½nh su 1¥yX IH
ành lþ 2.2.7: x¸u M l mæ1un §t i¸n 1¯ng §u vîi hi·u qoldie húu h¤n th¼ i1¶n tr¡i ü 1¤i õ v nh End(M ) â d¤ng Au vîi u l ph¦n tû 1·u n o 1â õ M. rìn núD End(M ) l v nh nû ho n h¿nhF ghóng tæi i¸t r¬ng v nh ikrt khæng â t½nh 1èi xùngD ghse 1¢ h¿ r mët v½ dö v· v nh ikrt tr¡i nh÷ng khæng ikrt ph£iF uy nhi¶nD hóng tæi 1¢ kh¯ng 1ành 1÷ñ r¬ng n¸u v nh §t i¸n 1¯ng §u ph£i v ikrt ph£i th¼ nâ l v nh ikrt hi ph½F M»nh · 2.2.11: gho R l v nh §t i¸n 1¯ng §u ph£iF uhi 1âX @IA x¸u aR l x¤ £nh vîi a ∈ R th¼ Ra l x¤ £nh nh÷ l mët i1¶n tr¡i õ R. @PA x¸u R l v nh ikrt ph£i th¼ R l v nh ikrt tr¡iF xh÷ hóng tæi giîi thi»u ð tr¶nD lîp mæ1un §t i¸n 1¯ng §u l mð rëng õ lîp mæ1un tü nëi x¤D lîp mæ1un tü nëi x¤ l mð rëng õ lîp mæ1un nëi x¤F xhi·u nh to¡n hå 1¢ 1÷ r mët sè 1i·u ki»n ho v nh ì sð ho° ho mæ1un 1º lîp mæ1un 4lîn4 tròng vîi lîp mæ1un 4²4F ghóng tæi 1÷ r mët sè tr÷íng hñp 1º lîp mæ1un §t i¸n 1¯ng §u tròng vîi lîp mæ1un tü nëi x¤ ho° lîp mæ1un nëi x¤F wët trong nhúng k¸t qu£ 1÷ñ hóng tæi kh¯ng 1ànhD 1â l X ành lþ 2.3.7: gho R l v nh qoldie ph£i nguy¶n tè v M l REmæ1un thä m¢n udim(M/Z(M )) > 1F uhi 1âD M l mæ1un §t i¸n 1¯ng §u khi v h¿ khi M l mæ1un nëi x¤F x«m IWQWD xkym 1¢ 1÷ r kh¡i ni»m v nh tü proeniusD 1â l v nh tü nëi x¤ hi ph½ v ertin hi ph½F xhi·u 1° tr÷ng ho lîp v nh n y 1¢ 1÷ñ nghi¶n ùuD trong 1â pith 1¢ 1° tr÷ng ho lîp v nh n y l tü nëi x¤ mët ph½ v thä m¢n 1i·u ki»n egg mët ph½ tr¶n ¡ linh hâ tûF ghóng tæi 1¢ l m y¸u 1i·u ki»n õ pith tø t½nh tü nëi x¤ sng t½nh §t i¸n 1¯ng §u v thu 1÷ñ ¡ k¸t qu£X ành lþ 2.4.2: wët v nh l tü proenius n¸u v h¿ n¸u nâ l v nh §t i¸n 1¯ng §u ph£i v thä m¢n 1i·u ki»n egg tr¶n ¡ linh hâ tû ph£i so ho méi i1¶n ph£i tèi tiºu õ nâ l mët linh hâ tû ph£iF ành lþ 2.4.4: g¡ 1i·u ki»n su 1¥y l t÷ìng 1÷ìng 1èi vîi v nh R 1¢ hoX @IA nh R l tü proeniusF @PA R l v nh §t i¸n 1¯ng §u ph£i v thä m¢n 1i·u ki»n egg tr¶n ¡ linh hâ tû ph£i so ho méi i1¶n ph£i tèi tiºu õ R èt y¸u trong mët h¤ng tû trü ti¸p õ RR . II
ành lþ 2.4.5: wët v nh l tü proenius n¸u v h¿ n¸u nâ l v nh §t i¸n 1¯ng §u ph£iD ef Emð rëng ph£i v thä m¢n 1i·u ki»n egg tr¶n ¡ linh hâ tû ph£iF gh÷ìng QD hóng tæi tr¼nh y ¡ k¸t qu£ nghi¶n ùu v· v nh m méi i1¶n ph£i húu h¤n sinh §t i¸n 1¯ng §uF wët k¸t qu£ nêi ti¸ng õ edderurnEertin 1¢ h¿ r r¬ng mët v nh nû 1ìn 1¯ng §u vîi t½h trü ti¸p húu h¤n ¡ v nh m trªn tr¶n ¡ v nh hiF rong QS uonD uýnh v rivstv 1¢ 1÷ r mët s 1ành lþ §u tró ho lîp aEv nhD 1â l X mët aEv nh ph£i l têng trü ti¸p õ v nh nû 1ìn h½nh ph÷ìng 1¦y 1õ v v nh khæng h½nh ph÷ìngF ø ¡ þ t÷ðng tr¶nD hóng tæi 1÷ r §u tró õ mët f aEv nh ph£iD 1â l X ành lþ 3.1.9: wët f aEv nh ph£i 1¯ng §u vîi v nh m trªn tm gi¡ h¼nh thù S 0 â d¤ng vîi S l v nh h½nh quy von xeumnn tü nëi x¤ ph£i h½nh M T ph÷ìng 1¦y 1õD T l v nh khæng h½nh ph÷ìng ph£i v M l T ES Esong mæ1unF rong QSD ¡ t¡ gi£ 1¢ h¿ r mët v nh l aEv nh ph£i n¸u v h¿ n¸u méi i1¶n ph£i èt y¸u õ nâ l §t i¸n 1¯ng §u n¸u v h¿ n¸u nâ l v nh §t i¸n 1¯ng §u ph£i v méi i1¶n ph£i èt y¸u õ nâ l T Emæ1un tr¡i vîi T l v nh on õ nâ 1÷ñ sinh ði ¡ ph¦n tû kh£ nghàh õ nâF ghóng tæi 1¢ thu 1÷ñ k¸t qu£ t÷ìng tü ho f aEv nh vîi hi·u qoldie ph£i húu h¤n @w»nh 1· QFPFIAF rong QH v QSD ¡ t¡ gi£ 1¢ h¿ r vîi n > 1 l sè nguy¶nD v nh m trªn Mn (R) l aEv nh ph£i khi v h¿ khi Mn (R) q Ev nh ph£i khi v h¿ khi R l v nh nû 1ìnF ghóng tæi 1¢ hùng minh 1÷ñ r¬ngX M»nh · 3.3.11: gho n > 1 l sè nguy¶nF g¡ 1i·u ki»n su 1¥y l t÷ìng 1÷ìng 1èi vîi v nh khæng suy i¸n ph£i RX @IA R l v nh h½nh quy von xeumnn tü nëi x¤ ph£iF @PA Mn (R) l f aEv nh ph£iF @QA Mn (R) §t i¸n 1¯ng §u ph£iF uh¡i ni»m f aEv nh khæng â t½nh 1èi xùngF uy nhi¶nD 1èi vîi v nh nû ertin th¼ hóng tæi 1¢ h¿ r t½nh ph£iD tr¡i õ mët f aEv nh khæng suy i¸n l nh÷ nhuF H» qu£ 3.3.17: wët v nh l f aEv nh ph£i nû ertin ph£i khæng suy i¸n ph£i n¸u v h¿ n¸u nâ l f aEv nh tr¡i nû ertin tr¡i khæng suy i¸n tr¡iF IP
Ch÷ìng 1 KIN THÙC CHUN BÀ rong h÷ìng n yD hóng tæi giîi thi»u ¡ kh¡i ni»m ì £nD kþ hi»u v mët sè t½nh h§t 1÷ñ sû döng nhi·u l¦n trong luªn ¡nF xhúng kh¡i ni»mD kþ hi»u v t½nh h§t m hóng tæi khæng tr¼nh y ð 1¥yD 1ë gi£ â thº t¼m th§y trong ¡ t i li»u QD IVD PTD QRD QVD QWF 1.1 Mët sè kh¡i ni»m v t½nh ch§t nh R 1¢ ho luæn 1÷ñ gi£ thi¸t l v nh k¸t hñp â ph¦n tû 1ìn và v måi REmæ1un 1÷ñ x²t l unitD tù l x.1R = x vîi måi x ∈ M F vi¸t MR @t÷ìng ùngD RM A 1º h¿ M l mët REmæ1un ph£i @t÷ìng ùngD REmæ1un tr¡iAF uhi nâi REmæ1un M, hóng tæi quy ÷î 1â l REmæ1un ph£i M Y khi khæng sñ nh¦m l¨nD REmæ1un M t vi¸t gån l mæ1un M F kþ hi»u A ≤ M 1º h¿ A l mæ1un on õ M Y f : M → N l RE1çng §u mæ1un tø M v o N Y End(M ) l tªp t§t £ ¡ tü 1çng §u õ M F wæ1un on N õ REmæ1un M 1÷ñ gåi l cèt y¸u trong M n¸u måi mæ1un on kh¡ khæng L õ M th¼ N ∩ L ̸= 0D kþ hi»u l N ≤e M. uhi 1âD t ông nâi M l mð rëng èt y¸u õ mæ1un on N F h¹ d ng suy r tø 1ành ngh¾ õ mæ1un on èt y¸uD t â d§u hi»u nhªn i¸t su 1¥yF Bê · 1.1.1 @QD vemm SFIWA. Mæun con N l cèt y¸u trong M khi v ch¿ khi vîi måi ph¦n tû x kh¡c khæng thuëc M th¼ tçn t¤i r ∈ R sao cho xr ∈ N v xr ̸= 0. 0èi ng¨uD t â kh¡i ni»m mæ1un on 1èi èt y¸uF wæ1un on K õ REmæ1un IQ
M 1÷ñ gåi l èi cèt y¸u trong M n¸u vîi måi mæ1un on L õ M thä m¢n K + L = M th¼ L = M D kþ hi»u K ≪ M F vi¶n qun 1¸n t½nh èt y¸u v 1èi èt y¸u õ ¡ mæ1un onD t â kh¡i ni»m 1ìn §u èt y¸u v to n §u 1èi èt y¸uF wët 1ìn §u f : K → M 1÷ñ gåi l cèt y¸u n¸u sm(f ) ≤e M F wët to n §u g : M → N 1÷ñ gåi l èi cèt y¸u n¸u uer(g) ≪ M F gho N l mæ1un on õ M D mæ1un on L õ M 1÷ñ gåi l ph¦n bò õ N trong M n¸u L l mæ1un on tèi 1¤i vîi t½nh h§t N ∩ L = 0F heo fê 1· ornD mæ1un on L nh÷ th¸ luæn tçn t¤iF wæ1un on ph¦n ò 1âng vi trá qun trång trong vi» nghi¶n ùu §u tró õ mët sè lîp v nh v mæ1unF ø kh¡i ni»m ph¦n ò õ mët mæ1un onD t â t½nh h§t su 1¥yF M»nh · 1.1.2 @QD roposition SFPIA. Cho N v L l c¡c mæun con cõa M. N¸u L l ph¦n bò cõa mæun con N trong M th¼ N ⊕ L ≤e M v (N ⊕ L)/L ≤e M/L. ø w»nh 1· IFIFP t th§y måi mæ1un on õ M l h¤ng tû trü ti¸p õ mët mæ1un on èt y¸u trong M F wët mæ1un on N õ M 1÷ñ gåi l âng trong M n¸u N khæng â mð rëng èt y¸u thü sü trong M D tù l n¸u N ≤e K ≤ M th¼ N = K F gâ thº hùng minh 1÷ñ r¬ngD hi kh¡i ni»m mæ1un on ph¦n ò v mæ1un on 1âng trong M l tròng nhuF g«n v 1¸ l hi æng ö 1º kh£o s¡t ¡ 1° tr÷ng õ v nh v mæ1unF i¸p theoD hóng tæi tr¼nh y hi kh¡i ni»m n y v mët sè t½nh h§t li¶n qunF gho M l REmæ1un ph£iD gio õ t§t £ ¡ mæ1un on tèi 1¤i õ M 1÷ñ gåi l c«n õ M D kþ hi»u l rad(M )F xh÷ vªy rad(M ) = B= A B≤M A≪M trong 1â B l ¡ mæ1un on tèi 1¤i õ M. uy ÷îD n¸u REmæ1un M khæng â mæ1un on tèi 1¤i th¼ rad(M ) = M. 0èi vîi v nh R 1¢ ho th¼ hóng t luæn â rad(RR ) = rad(R R) v 1÷ñ gåi l c«n Jacobson õ v nh RD kþ hi»u l J = J(R)F gho M l REmæ1un ph£iD têng õ t§t £ ¡ mæ1un on 1ìn õ M 1÷ñ gåi l ¸ õ mæ1un M D kþ hi»u l soc(M )F xh÷ vªy soc(M ) = B= A B≤M A≤e M IR
trong 1â B l ¡ mæ1un on 1ìn õ M. x¸u REmæ1un M khæng â mæ1un on 1ìn th¼ quy ÷î soc(M ) = 0. wët ph¦n tû e õ v nh R 1÷ñ gåi l lôy ¯ng n¸u e2 = eF h¦n tû lôy 1¯ng e ∈ R 1÷ñ gåi l nûa t¥m tr¡i n¸u Re = eRe hy (1 − e)Re = 0F h¹ d ng th§y r¬ngD n¸u e ∈ R l ph¦n tû lôy 1¯ng th¼ End(eR) ∼ eRe v eRe l v nh â ph¦n tû 1ìn = và l eF u 1¥y l t½nh h§t li¶n qun 1¸n ph¦n tû lôy 1¯ngF M»nh · 1.1.3 @IPD vemm IFIA. Cho R l v nh v e l ph¦n tû lôy ¯ng cõa R. C¡c i·u ki»n sau ¥y l t÷ìng ÷ìng: (1) eR(1 − e) = 0. (2) (1 − e)R l mët i¶an cõa v nh R. (3) Re l mët i¶an cõa v nh R. vinh hâ tû õ mæ1un M trong v nh R l mët æng ö 1º nghi¶n ùu ¡ t½nh h§t õ R thæng qu M v ng÷ñ l¤iF u 1¥yD hóng tæi nh l¤i sì l÷ñ v· kh¡i ni»m n yF gho M l REmæ1un ph£i v X l tªp on kh¡ réng õ M. Linh hâa tû ph£i õ X trong R 1÷ñ kþ hi»u l rR (X) v 1÷ñ 1ành ngh¾ l rR (X) = {r ∈ R | xr = 0, ∀x ∈ X}. uhi khæng sñ nh¦m l¨n v· v nh ì sð RD t vi¸t gån l r(X)F uhi X = {x1 , . . . , xn } th¼ t vi¸t r(x1 , . . . , xn ) thy v¼ r({x1 , . . . , xn })F ã r ng rR (X) l mët i1¶n ph£i õ v nh RF x¸u X l mæ1un on õ M th¼ rR (X) l mët i1¶n hi ph½ õ v nh R. wët REmæ1un M 1÷ñ gåi l trung th nh n¸u rR (M ) = 0F gho A l tªp on õ v nh RD linh hâa tû tr¡i õ A trong M 1÷ñ 1ành ngh¾ v kþ hi»u l lM (A) = {x ∈ M | xa = 0, ∀a ∈ A}. x¸u A l mët i1¶n tr¡i õ v nh R th¼ lM (A) l mët mæ1un on õ M. gho I l mët i1¶n õ v nh R so ho I ⊆ rR (M ), khi 1â REmæ1un M s³ â §u tró R/I Emæ1un vîi ph²p to¡n ëng 1¢ â tr¶n M v R/I t¡ 1ëng l¶n M x¡ 1ành ði x(a + I) = xa vîi måi x ∈ M v a + I ∈ R/I. ành ngh¾a 1.1.4. @IA ªp L ¡ mæ1un on n o 1â õ M 1÷ñ gåi l thäa m¢n i·u ki»n d¥y chuy·n t«ngD vi¸t tt l eggD trong tr÷íng hñp måi d¢y M1 ≤ M2 ≤ ... trong L tçn t¤i sè nguy¶n d÷ìng n so ho Mk = Mn vîi måi k ≥ n. IS
@PA ªp L ¡ mæ1un on n o 1â õ M 1÷ñ gåi l thäa m¢n i·u ki»n d¥y chuy·n gi£mD vi¸t tt l hggD trong tr÷íng hñp måi d¢y M1 ≥ M2 ≥ ... trong L tçn t¤i mët sè nguy¶n d÷ìng n so ho Mk = Mn vîi måi k ≥ n. wët REmæ1un M 1÷ñ gåi l Noether (t÷ìng ùng, Artin) n¸u M thä m¢n 1i·u ki»n egg @t÷ìng ùngD hggA 1èi vîi tªp ¡ mæ1un onF nh R 1÷ñ gåi l Noether (t÷ìng ùng, Artin) ph£i n¸u RR l mæ1un xoether @t÷ìng ùngD ertinAF nh xoether @t÷ìng ùngD ertinA tr¡i 1÷ñ 1ành ngh¾ t÷ìng tüF nh R 1÷ñ gåi l Noether (t÷ìng ùng, Artin) n¸u nâ vø l v nh xoether @t÷ìng ùngD ertinA ph£i vø l v nh xoether @t÷ìng ùngD ertinA tr¡iF 1.2 Mæun nëi x¤ v c¡c mð rëng cõa nâ i¸p theoD hóng tæi giîi thi»u v· lîp mæ1un nëi x¤ v mët sè mð rëng õ nâF 0¥y l lîp mæ1un â þ ngh¾ qun trång trong nghi¶n ùu lþ thuy¸t v nh v mæ1unF uh¡i ni»m mæ1un nëi x¤ 1÷ñ F fer 1¦u ti¶n 1÷ r n«m IWRHF ành ngh¾a 1.2.1. wæ1un U 1÷ñ gåi l M -nëi x¤ n¸u vîi méi mæ1un on K õ M D måi 1çng §u v : K → U 1·u mð rëng 1÷ñ 1¸n 1çng §u v : M → U D tù l ¯ iºu 1ç su gio ho¡n @v f = v AF ¯ f 0 K M v v ¯ U (1) wæ1un U 1÷ñ gåi l nëi x¤ n¸u U l M Enëi x¤ vîi måi mæ1un M F (2) wæ1un M 1÷ñ gåi l tüa nëi x¤ n¸u M l M Enëi x¤F (3) ri mæ1un M v N 1÷ñ gåi l nëi x¤ t÷ìng hé n¸u M l N Enëi x¤ v N l M Enëi x¤F (4) nh R 1÷ñ gåi l tü nëi x¤ ph£i n¸u RR l mæ1un tü nëi x¤F nh tü nëi x¤ tr¡i 1÷ñ 1ành ngh¾ mët ¡h t÷ìng tüF IT
fer 1¢ 1÷ r mët ti¶u hu©n 1º nhªn i¸t mët REmæ1un M l nëi x¤ v theo 0ành ngh¾ IFPFI th¼ M l nëi x¤ n¸u v h¿ n¸u M l RR nëi x¤F ành lþ 1.2.2 @i¶u hu©n ferA. Mæun MR l nëi x¤ n¸u vîi måi i¶an ph£i I cõa R, måi çng c§u f : IR → MR ·u mð rëng ÷ñc ¸n çng c§u g : RR → MR 0 I RR f g MR V½ dö 1.2.3. IA Zn l ZnEmæ1un nëi x¤ nh÷ng khæng l ZEmæ1un nëi x¤F PA wåi khæng gin vetì V tr¶n tr÷íng F l FEmæ1un nëi x¤F u¸t qu£ su 1¥y thuë v· fss v ppF xâ ho t 1i·u ki»n ¦n v 1õ 1º têng trü ti¸p õ mët hå mæ1un nëi x¤ l nëi x¤F ành lþ 1.2.4 @QWD heorem QFRTA. Cho R l v nh. Khi â, c¡c ph¡t biºu sau ¥y l t÷ìng ÷ìng: (1) Têng trüc ti¸p b§t ký c¡c R-mæun ph£i nëi x¤ l nëi x¤. (2) Têng trüc ti¸p ¸m ÷ñc b§t ký c¡c R-mæun ph£i nëi x¤ l nëi x¤. (3) R l v nh Noether ph£i. M»nh · 1.2.5 @RPD roposition IFSA. Cho M l R-mæun v {Mα}α∈I l mët hå c¡c R-mæun. Khi â, M l Mα -nëi x¤ n¸u v ch¿ n¸u M l Mα-nëi x¤, ∀α ∈ I. α∈I u 1¥y l k¸t qu£ li¶n qun 1¸n v nh tü nëi x¤F ành lþ 1.2.6 @QTD heorem IA. C¡c i·u ki»n sau ¥y l t÷ìng ÷ìng èi vîi v nh tü nëi x¤ ph£i R: (1) Méi ph¦n tû cõa v nh R l têng cõa hai ph¦n tû kh£ nghàch. (2) Ph¦n tû ìn và cõa v nh R l têng cõa hai ph¦n tû kh£ nghàch. (3) R khæng câ v nh th÷ìng ¯ng c§u vîi Z2. IU
0èi ng¨u vîi mæ1un nëi x¤D t â kh¡i ni»m mæ1un x¤ £nhF wæ1un M 1÷ñ gåi l x¤ £nh n¸u vîi méi 1çng §u f : M → B v måi to n §u g : A → B õ ¡ mæ1un tr¶n v nh R th¼ tçn t¤i mët 1çng §u h : M → A so ho g ◦ h = f, tù l iºu 1ç su gio ho¡nX M h f A g B 0 îi 1ành ngh¾ tr¶nD hóng tæi th§y r¬ng måi mæ1un tü do l x¤ £nhF ho 1âD mët v nh §t ký l mæ1un x¤ £nh tr¶n h½nh nâF xhi·u t½nh h§t õ mæ1un x¤ £nh â thº l§y 1èi ng¨u trü ti¸p tø ¡ t½nh h§t õ mæ1un nëi x¤F gh¯ng h¤nD måi mæ1un â thº nhóng v o mët mæ1un nëi x¤ @PQAY vîi mæ1un x¤ £nh th¼ t â måi mæ1un l £nh to n §u õ mët mæ1un x¤ £nhF êng trü ti¸p õ mët hå ¡ mæ1un l x¤ £nh khi v h¿ khi méi mæ1un th nh ph¦n l x¤ £nhF i¸p theoD hóng tæi nh 1¸n mët kh¡i ni»m li¶n qun 1¸n mæ1un nëi x¤D 1â l o nëi x¤ õ mët mæ1unF ành ngh¾a 1.2.7. 0ìn §u µ : M → I 1÷ñ gåi l bao nëi x¤ õ M n¸u I l mæ1un nëi x¤ v µ l 1ìn §u èt y¸u @tù l Im µ ≤e I AF uhi 1âD t ông nâi I l o nëi x¤ õ M D kþ hi»u l I = E(M ). wæ1un E(M ) l mð rëng èt y¸u tèi 1¤i hù M D nâ h½nh l mæ1un nëi x¤ tèi tiºu hù M. wåi mæ1un 1·u â o nëi x¤ v nâ l duy nh§t si kh¡ mët 1¯ng §uF x¸u M ≤e N th¼ N â thº mð rëng th nh mët £n so õ E(M ), tù l E(N ) = E(M )F îi I l tªp húu h¤nD t â Mi ≤e Ni , (∀i ∈ I) n¸u v h¿ n¸u ⊕i∈I Mi ≤e ⊕i∈I Ni . uy r ⊕i∈I Mi ≤e ⊕i∈I E(Mi )F ho 1âD t â E(⊕i∈I Mi ) = E(⊕i∈I E(Mi )) = ⊕i∈I E(Mi ). wët mæ1un 1÷ñ gåi l thäa m¢n i·u ki»n C1 @mæ1un CS ho° mæ1un mð rëngA n¸u måi mæ1un on õ nâ l èt y¸u trong mët h¤ng tû trü ti¸p õ nâF gâ thº hùng minh 1÷ñ r¬ng mët mæ1un thä m¢n 1i·u ki»n C1 khi v h¿ khi måi mæ1un on 1âng õ nâ l h¤ng tû trü ti¸p õ nâF wët mæ1un 1÷ñ gåi l thäa m¢n i·u ki»n C2 n¸u §t ký mæ1un on õ nâ m 1¯ng §u vîi mët h¤ng tû IV
trü ti¸p õ nâ th¼ mæ1un on 1â ông l mët h¤ng tû trü ti¸p õ nâF wæ1un M 1÷ñ gåi l thäa m¢n i·u ki»n C3 n¸u §t ký A v B l hi h¤ng tû trü ti¸p õ M thä m¢n A ∩ B = 0 th¼ A ⊕ B l mët h¤ng tû trü ti¸p õ M F x¸u mët mæ1un thä m¢n 1i·u ki»n C1 v C2 th¼ 1÷ñ gåi l mæun li¶n töcD n¸u mët mæ1un thä m¢n 1i·u ki»n C1 v C3 th¼ 1÷ñ gåi l mæun tüa li¶n töcF ành lþ 1.2.8 @RQD heorem IFQSA. C¡c i·u ki»n sau ¥y l t÷ìng ÷ìng èi vîi v nh R ¢ cho: (1) R l v nh tü nëi x¤ ph£i. (2) R ⊕ R l li¶n töc (tüa li¶n töc) nh÷ l R-mæun ph£i. (3) M2 (R) l li¶n töc (tüa li¶n töc) ph£i. (4) Mn (R) l li¶n töc (tüa li¶n töc) ph£i, vîi måi n ≥ 1. (5) Mn (R) l tü nëi x¤ ph£i, vîi måi n ≥ 1. x«m IWTUD ingh v tin 1¢ nghi¶n ùu mët tr÷íng hñp têng qu¡t õ mæ1un tü nëi x¤D 1â l mæ1un gi£ nëi x¤ @QIAF ành ngh¾a 1.2.9. wët mæ1un M 1÷ñ gåi l gi£ nëi x¤ n¸u måi 1ìn §u tø mæ1un on õ M v o M â thº mð rëng 1¸n mët tü 1çng §u õ M F wèi qun h» o h m giú lîp mæ1un nëi x¤ v ¡ lîp mæ1un li¶n qun 1÷ñ minh hå qu sì 1ç su 1¥yF nû 1ìn xëi x¤ tü nëi x¤ li¶n tö tü li¶n tö C1 gi£ nëi x¤ C2 C3 guèi òngD hóng tæi nh 1¸n lîp v nh tü nëi x¤ thä m¢n ¡ 1i·u ki»n d¥y huy·n tr¶n ¡ i1¶n õ nâF IW
ành ngh¾a 1.2.10. nh R 1÷ñ gåi l tüa Frobenius @gåi tt l QF Ev nhA n¸u R l v nh tü nëi x¤ hi ph½ v ertin hi ph½F xhi·u 1° tr÷ng õ v nh tü proenius 1¢ 1÷ñ nghi¶n ùuD su 1¥y l mët sè 1° tr÷ng th÷íng g°pF ành lþ 1.2.11 @QWD RQA. C¡c i·u ki»n sau ¥y l t÷ìng ÷ìng èi vîi v nh R ¢ cho: (1) R l v nh tüa Frobenius. (2) R l v nh tü nëi x¤ tr¡i ho°c ph£i v Artin tr¡i ho°c ph£i. (3) R l v nh tü nëi x¤ tr¡i ho°c ph£i v Noether tr¡i ho°c ph£i. (4) R l v nh tü nëi x¤ tr¡i ho°c ph£i v thäa m¢n i·u ki»n ACC tr¶n c¡c linh hâa tû ph£i ho°c tr¡i. 1.3 Mët sè lîp v nh li¶n quan rong ph¦n n yD hóng tæi nh l¤i 1ành ngh¾ v t½nh h§t ì £n õ mët sè lîp v nh â li¶n qun 1¸n nëi dung õ luªn ¡nF ghóng tæi t 1¦u vîi lîp v nh h½nh quy von xeumnnD h½nh quy m¤nhF ành ngh¾a 1.3.1. nh R 1÷ñ gåi l ch½nh quy von Neumann n¸u måi ph¦n tû a ∈ R tçn t¤i x ∈ R so ho axa = a. nh R 1÷ñ gåi l ch½nh quy m¤nh n¸u måi ph¦n tû a ∈ RD tçn t¤i b ∈ R so ho a = a2 b. V½ dö 1.3.2. IA wåi v nh hi l v nh h½nh quy von xeumnnF PA gho V l khæng gin vetì tr¶n v nh hi D. uhi 1âD EndD (V ) l v nh h½nh quy von xeumnnF gho R l v nh h½nh quy von xeumnnF ²t a l ph¦n tû §t ký thuë J(R) th¼ tçn t¤i x ∈ R so ho a = axa. uhi 1âD a(1 − xa) = 0D do a ∈ J(R) n¶n 1 − xa l kh£ nghàhD suy r a = 0. ho 1âD t â h» qu£ su 1¥yF H» qu£ 1.3.3. C«n Jacobson cõa mët v nh ch½nh quy von Neumann b¬ng khæng. PH