Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số vấn đề của lý thuyết Nevanlinna ứng dụng cho đa thức vi phân

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:88

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án Tiến sĩ Toán học "Một số vấn đề của lý thuyết Nevanlinna ứng dụng cho đa thức vi phân" trình bày các nội dung chính sau: Không điểm của các đa thức vi phân của hàm phân hình; Phân bố giá trị của đa thức vi phân của hàm phân hình; Tính duy nhất của các hàm phân hình trong trường hợp các đa thức vi phân chung một hàm nhỏ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số vấn đề của lý thuyết Nevanlinna ứng dụng cho đa thức vi phân

VIN HN LM KHOA HÅC V CÆNG NGH VIT NAM VIN TON HÅC NGUYN VIT PH×ÌNG MËT SÈ VN CÕA LÞ THUYT NEVANLINNA V ÙNG DÖNG CHO A THÙC VI PHN LUN N TIN S TON HÅC H Nëi - 2022
VIN HN LM KHOA HÅC V CÆNG NGH VIT NAM VIN TON HÅC NGUYN VIT PH×ÌNG MËT SÈ VN CÕA LÞ THUYT NEVANLINNA V ÙNG DÖNG CHO A THÙC VI PHN Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i t½ch M¢ sè: 9 46 01 02 LUN N TIN S TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: PGS.TSKH. T¤ Thà Ho i An H Nëi - 2022
Líi cam oan æi xin m 1on 1¥y l æng tr¼nh nghi¶n ùu õ tæi d÷îi sü h÷îng d¨n õ qF urF ¤ hà ro i enF g¡ k¸t qu£ trong luªn ¡n vi¸t hung vîi ¡ t¡ gi£ kh¡ 1¢ 1÷ñ sü nh§t tr½ õ 1çng t¡ gi£ khi 1÷ v o luªn ¡nF g¡ k¸t qu£ 1÷ñ n¶u trong luªn ¡n l trung thü v h÷ tøng 1÷ñ i æng è trong §t ký æng tr¼nh n o kh¡F T¡c gi£ Nguy¹n Vi»t Ph÷ìng i
Líi c£m ìn vuªn ¡n 1÷ñ ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n õ qF urF ¤ hà ro i enD mët nh gi¡o m¨u müD nh kho hå tªn t¥m 1¢ khæng h¿ 1ành h÷îng v d¼u dt t¡ gi£ tr¶n on 1÷íng nghi¶n ùuD m án luæn qun t¥m v d¤y £o ho t¡ gi£ nhúng i hå quþ gi¡ trong uë sèngF víi 1¦u ti¶nD t¡ gi£ xin 1÷ñ ph²p y tä láng i¸t ìn s¥u s nh§t 1¸n ng÷íi æ 1¡ng k½nhF ¡ gi£ xin 1÷ñ tr¥n trång £m ìn fn l¢nh 1¤o i»n o¡n hå E i»n r n l¥m uho hå v gæng ngh» i»t xmD rung t¥m 1 o t¤o su 1¤i håD ¡ pháng hù n«ng v ¡ nh kho hå õ i»n o¡n hå 1¢ gióp 1ïD t¤o 1i·u ki»n thuªn lñi nh§t ho t¡ gi£ trong qu¡ tr¼nh hå tªp v nghi¶n ùu t¤i i»nF ¡ gi£ ông xin tr¥n trång £m ìn pháng 0¤i sè v vþ thuy¸t sè 1¢ t¤o 1i·u ki»n thuªn lñi 1º t¡ gi£ 1÷ñ thm gi ¡ uêi sinh ho¤t kho hå õ li¶n phángF ¡ gi£ xin h¥n th nh £m ìn fn qi¡m hi»u tr÷íng 0¤i hå uinh t¸ v u£n trà uinh donh E 0¤i hå h¡i xguy¶nD uho uho hå ì £n v ¡ th¦y æ gi¡o trong fë mæn o¡n 1¢ luæn 1ëng vi¶n v t¤o 1i·u ki»n tèt nh§t 1º t¡ gi£ ho n th nh 1÷ñ luªn ¡n n yF xh¥n dàp n y t¡ gi£ ông xin gûi líi £m ìn s¥u s tîi qF F r r¦n h÷ìng 1¢ d nh ho t¡ gi£ nhúng t¼nh £m v sü 1ëng vi¶n gióp 1ï quþ ¡uF guèi òngD xin d nh mân qu tinh th¦n n y d¥ng t°ng fèD wµD ¡ nh hà em trong 1¤i gi 1¼nh th¥n y¶uD t°ng ng÷íi vñ hi·n y¶u d§uD nhúng ng÷íi 1¢ hàu nhi·u khâ kh«n v d nh h¸t nhúng t¼nh £m y¶u th÷ìngD 1ëng vi¶n t¡ gi£ ho n th nh k¸t qu£ nghi¶n ùu õ m¼nhF T¡c gi£ Nguy¹n Vi»t Ph÷ìng ii
Möc löc víi m 1on F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F i víi £m ìn F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ii Mð ¦u 1 1 Khæng iºm cõa c¡c a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh 7 IFI wët sè ki¸n thù hu©n à F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F U IFIFI vþ thuy¸t xevnlinn ê 1iºn F F F F F F F F F F F F F F F F F F U IFIFP wët sè k¸t qu£ õ mnoi F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IP IFP ×î l÷ñng khæng 1iºm õ 1 thù vi ph¥n õ h m ph¥n h¼nh F F F IS IFQ u¸t luªn F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PH 2 Ph¥n bè gi¡ trà cõa a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh 22 PFI un h» sè khuy¸t õ 1 thù vi ph¥n õ h m ph¥n h¼nh F F F F F PQ PFP wð rëng õ gi£ thuy¸t rymn ho mët sè d¤ng 1 thù vi ph¥n F F PT PFQ u¸t luªn F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QU 3 T½nh duy nh§t cõa c¡c h m ph¥n h¼nh trong tr÷íng hñp c¡c a thùc vi ph¥n chung mët h m nhä 39 QFI g¡ h m ph¥n h¼nh hung mët h m nhä F F F F F F F F F F F F F F F F QW QFP g¡ 1 thù vi ph¥n õ ¡ h m ph¥n h¼nh hung mët h m nhä F F SP QFQ u¸t luªn F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UQ K¸t luªn cõa luªn ¡n 75 T i li»u tham kh£o 79 iii
Mð ¦u 0ành lþ ì £n õ 0¤i sè nâi r¬ng mët 1 thù ª n tr¶n tr÷íng sè phù C â 1óng n khæng 1iºmF o nhúng n«m uèi õ th¸ k' IV 1¦u th¸ k' IWD ¡ nh to¡n hå 1¢ ph¡t triºn nhúng k¸t qu£ 1¤t 1÷ñ v· sü ph¥n è gi¡ trà õ ¡ 1 thù l¶n 1èi t÷ñng l ¡ h m nguy¶n trong m°t ph¯ng phùF rong thíi gin n yD forel 1¢ th nh æng trong vi» k¸t hñp v £i ti¸n ¡ k¸t qu£ õ irdD oinr² v rdmrd ho ¡ h m nguy¶n v lþ thuy¸t ph¥n è gi¡ trà t 1¦u h¼nh th nhF vþ thuy¸t n y nghi¶n ùu mªt 1ë õ ¡ 1iºm m t¤i 1â h m ph¥n h¼nh nhªn mët gi¡ trà ö thºF wët 1âng gâp nêi ªt õ lþ thuy¸t ph¥n è gi¡ trà ho ¡ h m ph¥n h¼nh 1¢ 1÷ñ nh to¡n hå ng÷íi h¦n vn olf xevnlinn 1÷ rF u n yD ¡ k¸t qu£ 1â 1¢ gn li·n vîi t¶n tuêi õ æng v th÷íng 1÷ñ nh 1¸n vîi t¶n gåi vþ thuy¸t xevnlinnF ü r 1íi õ lþ thuy¸t n y 1÷ñ 1¡nh gi¡ l mët trong nhúng th nh tüu 1µp 1³ v s¥u s nh§t trong ng nh gi£i t½h phù v ng y ng â nhi·u ùng döng trong nhúng l¾nh vü kh¡ nhu õ to¡n håD h¯ng h¤n nh÷ lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥nD lþ thuy¸t hå hu©n tD h¼nh hå phù v lþ thuy¸t sèDFFFF r£i qu g¦n mët tr«m n«mD h÷îng nghi¶n ùu 1¢ 1÷ñ ph¡t triºn r§t m¤nh m³ v 1¢ hùng ki¸n sü 1âng gâp to lîn õ ¡ nh to¡n hå n÷î ngo i nh÷ qol9dergD ystrovskiiD ehlforsD himizuD hrsinD rymnD fergweilerD vngleyD uD ojtD mnoiDFFF v ¡ nh to¡n hå trong n÷î nh÷ vF F hi¶mD rF rF uho¡iD 0F 0F h¡iD F 0F ungD F F §nD F F rF enDFFFF uy nhi¶nD vîi t¦m qun trång trong gi£i t½h phùD h÷îng nghi¶n ùu n y v¨n 1ng ti¸p tö thu hót 1÷ñ sü qun t¥m õ ¡ nh to¡n håF wö ti¶u õ ¡ nh to¡n hå l 1÷ r ¡ §t 1¯ng thù giú h m 1¸mD h m x§p x¿ v h m 1° tr÷ng õ h m ph¥n h¼nhD thæng qu ¡ §t 1¯ng thù 1â â thº xem x²t sü ph¥n è gi¡ trà õ ¡ h m ph¥n h¼nh v t¼m ¡ ùng döng õ ¡ k¸t qu£ 1âF f i to¡n qun trång trong lþ thuy¸t n y l nghi¶n ùu mèi qun h» giú ¡ khæng 1iºmD ü 1iºm õ mët h m v 1¤o h m õ h m 1âF x«m IWPPD âly RQ 1¢ hùng m¼nh r¬ng n¸u h m ph¥n h¼nh f â ½t nh§t hi ü 1iºm th¼ vîi méi sè nguy¶n d÷ìng k 1õ lînD 1¤o h m §p k õ h m ph¥n h¼nh 1â â ½t nh§t mët khæng I
1iºmF vi¶n qun tîi k¸t qu£ 1âD qol9derg IW 1¢ 1°t r gi£ thuy¸t suX gho f l mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t tr¶n C v k ≥ 2 l mët sè nguy¶nF uhi 1âD t â 1 N (r, f ) ≤ N r, + o(T (r, f )), f (k) khi r → ∞ ngo i mët tªp â 1ë 1o húu h¤nD trong 1â T (r, f ) l h m 1° tr÷ng xevnlinnD N (r, f ) l h m 1¸m ¡ ü 1iºm khæng t½nh ëi õ f v N r, f (k) l 1 h m 1¸m ¡ khæng 1iºm õ 1¤o h m §p k õ h m f t½nh £ ëiF qi£ thuy¸t õ qol9derg h¿ 1óng vîi ¡ 1¤o h m â §p ½t nh§t l hiD hóng t x²t v½ dö 1ìn gi£n l h m f (z) = tan z D khi 1â h m f â væ sè ü 1iºm trong khi 1¤o h m §p mët f khæng â khæng 1iºmF x«m IWVTD prnk v eissenorn IV 1¢ hùng minh gi£ thuy¸t qol9derg ¬ng ph÷ìng ph¡p ronskin 1èi vîi tr÷íng hñp h m ph¥n h¼nh f h¿ â ¡ ü 1iºm 1ìnF u 1âD vngley PS 1¢ hùng minh r¬ng n¸u f l mët h m ph¥n h¼nh §p húu h¤n thä m¢n 1i·u ki»n 1¤o h m §p hi f â húu h¤n khæng 1iºm th¼ f â húu h¤n ü 1iºmF x«m PHIQD ¬ng vi» x¥y düng h m x§p x¿ hi»u h¿nh v 1÷ r ¡ h°n ho h m x§p x¿ 1âD mnoi QQ 1¢ t¤o r mët ÷î 1ët ph¡ trong lþ thuy¸t xevnlinn vîi hùng minh ho n to n gi£ thuy¸t qol9derg v thªm h½ k¸t qu£ õ æng 1÷ r án m¤nh hìn gi£ thuy¸t n 1¦uF i» hùng minh gi£ thuy¸t qol9derg â þ ngh¾ r§t lîn trong lþ thuy¸t ph¥n è gi¡ tràD nâ 1¢ gióp ho ¡ nh to¡n hå v÷ñt qu nhi·u khâ kh«n trong vi» gi£i quy¸t ¡ i to¡n qun trång õ lþ thuy¸t ph¥n è gi¡ trà õ ¡ h m ph¥n h¼nhF qi£ sû f l mët h m ph¥n h¼nh tr¶n C v a ∈ C. u½ hi»u 1 1 m r, f −a N r, f −a δ(a, f ) = lim inf = 1 − lim sup r→∞ T (r, f ) r→∞ T (r, f ) l sè khuy¸t Nevanlinna õ h m f v 1 N r, f −a Θ(a, f ) = 1 − lim sup r→∞ T (r, f ) l ph¥n nh¡nh to n ph¦n õ f. ø ¡ 1ành ngh¾ tr¶nD hóng t d¹ d ng thu 1÷ñ ¡ h°n suX 0 ≤ δ(a, f ) ≤ Θ(a, f ) ≤ 1. w°t kh¡D 0ành lþ ì £n thù hi õ xevnlinn ho hóng t th§y têng t§t £ ¡ sè khuy¸t õ mët h m ph¥n h¼nh luæn à h°n tr¶n ði 2 v 1¥y l à h°n tèt nh§t 1èi vîi h m ph¥n h¼nh khi x²t trong tr÷íng hñp têng qu¡tF uy nhi¶nD 1èi vîi mët sè lîp h m hµp hìnD h°n tr¶n n y â thº 1÷ñ gi£m xuèngF hªt vªyD vîi hó P
þ r¬ng t§t £ ¡ ü 1iºm õ 1¤o h m §p k õ h m ph¥n h¼nh f 1·u â ëi ½t nh§t l k + 1, rymn PI 1¢ h¿ r r¬ngD vîi måi k ∈ N, 1 Θ(a, f (k) ) ≤ 1 + . k+1 a∈C x«m IWUID wues RI 1¢ hùng minh d§u ¬ng trong §t 1¯ng thù tr¶n x£y r khi f l mët nghi»m õ ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n iti vîi ¡ h» sè h¬ngF 0i·u 1â hùng tä §t 1¯ng thù tr¶n õ rymn l tèt nh§tF uhi thy ph¥n nh¡nh to n ph¦n Θ(a, f (k) ) ði sè khuy¸t δ(a, f (k) ) trong §t 1¯ng thù tr¶n th¼ h°n tr¶n thu 1÷ñ â thº l mët sè nhä hìn thü süF gö thºD wues 1¢ hùng minh r¬ng k 2 + 5k + 4 1 δ(a, f (k) ) ≤
h¬ng h¿ â thº â nhi·u nh§t hi gi¡ trà ird húu h¤nF x«m IWSWD rymn 1¢ hùng minh r¬ng 1¤o h m §p k (k ≥ 1) õ mët h m ph¥n h¼nh §t ký â thº â nhi·u nh§t mët gi¡ trà ird húu h¤nF 0èi vîi tr÷íng hñp h m nguy¶nD k¸t qu£ õ willoux PP h¿ r r¬ng n¸u mët h m nguy¶n si¶u vi»t â mët gi¡ trà ird húu h¤n th¼ ¡ 1¤o h m õ nâ nhªn méi gi¡ trà húu h¤n kh¡ khæng væ sè l¦nF u¸t qu£ n y su 1â 1÷ñ mð rëng ho h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t ði rymn PIF wët 1iºm h¤n h¸ trong ¡ k¸t qu£ tr¶n 1â l y¶u ¦u h m ph¥n h¼nh â gi¡ trà ird húu h¤nF wët ¥u häi tü nhi¶n 1÷ñ 1°t r l li»u gi£ thi¸t v· sü tçn t¤i õ gi¡ trà ird â thº ä 1i hy khæng n¸u t xem x²t mët lîp h m ph¥n h¼nh n o 1âc vi¶n qun 1¸n v§n 1· n yD rymn PI 1¢ hùng minh r¬ngX Cho f l mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t tr¶n C v n ≥ 3 l mët sè nguy¶n. Khi â, f n f nhªn méi gi¡ trà húu h¤n kh¡c khæng væ sè l¦n. Æng gi£ thuy¸t r¬ng k¸t qu£ n y 1óng vîi måi n ≥ 1. x«m IWUWD wues RP 1¢ 1÷ r hùng minh ho tr÷íng hñp n = 2. 0¸n n«m IWWSD fergweiler v iremenko IH v ghen v png IR 1¢ 1÷ r hùng minh ho tr÷íng hñp n = 1F hy ho vi» h¿ x²t i to¡n ho 1ìn thù vi ph¥nD rymn PI 1¢ 1÷ r ¥u häiX N¸u f l h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t tr¶n C, n ≥ 3 v a = 0 th¼ ϕ = f − af n nhªn méi gi¡ trà húu h¤n væ sè l¦n? Æng 1¢ hùng minh 1÷ñ r¬ng kh¯ng 1ành 1â 1óng khi n ≥ 5 v ông 1÷ r ¡ ph£n v½ dö 1º h¿ r r¬ng kh¯ng 1ành tr¶n khæng 1óng khi n = 1 v n = 2. uy nhi¶nD wues RP 1¢ 1÷ r ¡ ph£n v½ dö 1º h¿ r r¬ng kh¯ng 1ành 1â khæng 1óng vîi n = 3, 4 ¬ng vi» x²t h m f l nghi»m kh¡ h¬ng §t ký õ ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n iti w = −(1 + 2η)(w + 1)(w + η) (vîi η = e2πi/3 ) ho tr÷íng hñp n = 3 v ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n iti w = 2(w2 + 1) ho tr÷íng hñp n = 4. x«m IWVPD h¤ringer o IS 1¢ hùng minh r¬ng k¸t qu£ tr¶n 1÷ñ thä m¢n n¸u thy ϕ = f − af n ði ϕ = f (k) − af n khi n ≥ k + 4. wö ti¶u ti¸p theo 1÷ñ hóng tæi nghi¶n ùu trong luªn ¡n n y 1â l X em x²t ph¥n è gi¡ trà õ 1 thù vi ph¥n têng qu¡t hìnF hæng th÷íng vîi méi k¸t qu£ tr¶n trong lþ thuy¸t ph¥n è gi¡ tràD hóng t hy vång â mët k¸t qu£ t÷ìng ùng v· sü x¡ 1ành duy nh§t õ ¡ h mF x«m IWWTD png v ru IU 1¢ xem x²t sü x¡ 1ành duy nh§t õ ¡ h m nguy¶n f thæng qu £nh ng÷ñ õ 1 thù vi ph¥n f f n . u 1âD k¸t qu£ n y 1÷ñ ng v ru QS mð rëng ho tr÷íng hñp ¡ h m ph¥n h¼nhF f i to¡n ho 1 thù vi ph¥n §p mët f f n (f − 1) 1÷ñ hùng minh ði png v rong IT khi f l h m nguy¶n v ði vin v i PU khi f l h m ph¥n h¼nhF x«m PHIQD foussf v ¡ 1çng nghi»p IP 1¢ x²t i to¡n ho tr÷íng hñp têng qu¡t hìn ¬ng vi» 1÷ r ¡ 1i·u ki»n th½h hñp v· sè ëi õ ¡ khæng 1iºm õ 1¤o h m õ 1 thù Q(z) so ho vîi hi h m ph¥n h¼nh f v g D n¸u (Q(f )) v (Q(g)) hung mët h m nhä α t½nh £ R
ëi th¼ f = g. f¶n ¤nh 1â mët sè t¡ gi£ kh¡ h¯ng h¤n nh÷X fhoosnurmth v hyvnl IID ng QVD u òng 1çng nghi»p QIDFFF 1¢ x²t ho tr÷íng hñp 1 thù vi ph¥n §p o hìnF ghó þ r¬ng ¡ k¸t qu£ tr¶n 1·u x²t 1 thù vi ph¥n â d¤ng [f n P (f )](k) v k¸t luªn r¬ng n¸u f v g l ¡ h m ph¥n h¼nh thä m¢n [f n P (f )](k) − α v [g n P (g)](k) − α hung khæng 1iºmD vîi α l h m nhä v n l sè nguy¶n d÷ìng 1õ lînD th¼ f = g. uy nhi¶nD hóng tæi nhªn th§y â mët sè h¤n h¸ li¶n qun 1¸n ¡ k¸t qu£ n yF gö thºD ¡ t¡ gi£ h¿ x²t ¡ 1 thù â ½t nh§t mët khæng 1iºm §p 1õ o v ¡ h m nhä α ph£i â húu h¤n khæng 1iºm v ü 1iºmF ¼ vªyD mö ti¶u ti¸p theo õ hóng tæi l x²t i to¡n tr¶n ho ¡ iºu di¹n têng qu¡t hìn v ä qu 1i·u ki»n v· t½nh húu h¤n õ ¡ khæng 1iºm v ü 1iºm õ h m nhä α. 0çng thíiD hóng tæi ông 1÷ r ¡ k¸t qu£ trong tr÷íng hñp ¡ 1 thù vi ph¥n hung mët h m nhä khæng t½nh ëiF vuªn ¡n 1÷ñ hi th nh h÷ìng òng vîi ph¦n mð 1¦uD k¸t luªn v t i li»u thm kh£oF gh÷ìng ID ngo i ph¦n 1¦u d nh ho vi» tr¼nh y mët sè kh¡i ni»m ì £n 1÷ñ dòng trong luªn ¡nD hóng tæi 1÷ r ¡ k¸t qu£ v· ¡ khæng 1iºm õ 1 thù vi ph¥n õ ¡ h m ph¥n h¼nh @0ành lþ IFPFIAF 0ành lþ n y 1÷ r mèi li¶n h» giú sè ü 1iºm õ mët h m ph¥n h¼nh v sè khæng 1iºm õ 1 thù vi ph¥n õ h m ph¥n h¼nh 1âF xh÷ mët h» qu£ õ 0ành lþ IFPFI hóng tæi thu 1÷ñ k¸t qu£ õ mnoi trong tr÷íng hñp 1° i»t v mð rëng gi£ thuy¸t qol9dergF u¸t qu£ nghi¶n ùu õ hóng tæi trong h÷ìng n y dü v o i ¡o SF gh÷ìng P d nh ho vi» nghi¶n ùu ph¥n è gi¡ trà õ ¡ 1 thù vi ph¥nF h¦n 1¦u õ h÷ìng 1÷ r qun h» sè khuy¸t ho 1 thù vi ph¥n õ h m ph¥n h¼nh @0ành lþ PFIFIAF 0ành lþ n y l mët ùng döng trü ti¸p õ 0ành lþ IFPFI trong gh÷ìng I v 1çng thíi ông ho t mët d¤ng têng qu¡t hìn õ gi£ thuy¸t wues ho 1 thù vi ph¥n õ ¡ h m ph¥n h¼nhF h¦n uèi õ h÷ìng n y 1÷ñ d nh ho vi» nghi¶n ùu ph¥n è gi¡ trà õ ¡ 1 thù vi ph¥n õ h m ph¥n h¼nhF rong ph¦n n yD ¡ 0ành lþ PFPFID PFPFS v PFPFU l ¡ mð rëng õ gi£ thuy¸t rymn ho ¡ 1 thù vi ph¥n têng qu¡t hìnF gh÷ìng P 1÷ñ tr¼nh y dü v o ¡ i ¡o SD UF gh÷ìng Q tr¼nh y ¡ k¸t qu£ v· t½nh duy nh§t õ ¡ h m ph¥n h¼nh trong tr÷íng hñp ¡ 1 thù vi ph¥n hung mët h m nhäF h¦n 1¦u õ h÷ìng 1÷ r ¡ 1° tr÷ng õ ¡ h m ph¥n h¼nh hung nhu mët h m nhä trong ¡ tr÷íng hñp t½nh £ ëi v khæng t½nh ëi @0ành lþ QFIFPD 0ành lþ QFIFR v 0ành lþ QFIFSAF h¦n uèi õ h÷ìng 1÷ r ¡ ùng döng õ ¡ 1ành lþ ð ph¦n 1¦u ho vi» nghi¶n ùu t½nh duy nh§t õ ¡ h m ph¥n h¼nh trong tr÷íng hñp ¡ 1 thù vi S
ph¥n hung nhu mët h m nhä 1÷ñ thº hi»n trong nëi dung õ ¡ 1ành lþX 0ành lþ QFPFI 1¸n 0ành lþ QFPFTD 0ành lþ QFPFV v 0ành lþ QFPFWF u¸t thó ph¦n n yD hóng tæi 1÷ r 1° tr÷ng nghi»m õ ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng Q(f ) = Q(g) + c trong 1â Q(z) l 1 thù vîi h» sè tr¶n C, f, g l ¡ h m ph¥n h¼nh v c l mët h¬ng sè phùF xëi dung õ h÷ìng dü v o ¡ i ¡o TD VD PVF T
Ch÷ìng 1 Khæng iºm cõa c¡c a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh rong h÷ìng n y ngo i vi» tr¼nh y mët sè ki¸n thù hu©n à ho ¡ nëi dung h½nhD hóng tæi tr¼nh y k¸t qu£ nghi¶n ùu v· khæng 1iºm õ ¡ 1 thù vi ph¥n õ h m ph¥n h¼nhF îi þ t÷ðng sû döng ¡ ÷î l÷ñng thæng qu h m x§p x¿ hi»u h¿nhD hóng tæi 1÷ r mèi li¶n h» giú sè ü 1iºm õ h m ph¥n h¼nh v sè khæng 1iºm õ mët 1 thù vi ph¥n õ h m ph¥n h¼nh 1âF rong tr÷íng hñp 1° i»tD k¸t qu£ õ hóng tæi thu 1÷ñ k¸t qu£ 1¢ i¸t õ mnoi QQ v gi£ thuy¸t õ qold9ergF u¸t qu£ nghi¶n ùu õ hóng tæi trong h÷ìng n y dü v o i ¡o SF r÷î h¸tD hóng tæi tr¼nh y mët sè ki¸n thù ì £n trong lþ thuy¸t xevnlinn ê 1iºn v mët sè k¸t qu£ õ mnoiF 1.1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 1.1.1 Lþ thuy¸t Nevanlinna cê iºn rong ph¦n n y hóng tæi tr¼nh y mët sè kh¡i ni»m ì £n trong lþ thuy¸t ph¥n è gi¡ trà ê 1iºn dòng ho vi» nghi¶n ùu ¡ nëi dung h½nhF g¡ kh¡i ni»m v ¡ k¸t qu£ ì £n n y hõ y¸u 1÷ñ thm kh£o trong ¡ t i li»u IQD PPD PWF ghóng t nh l¤i mët trong nhúng k¸t qu£ qun trång õ gi£i t½h phù 1â l æng thù tensenF gæng thù n y ho t ¡h t½nh mæ1un õ h m ph¥n h¼nh t¤i gè thæng qu mæ1un õ h m t¤i ¡ 1iºm tr¶n 1÷íng trán v ¡ khæng 1iºmD ü 1iºm õ h m ph¥n h¼nh trong 1¾ 1âF U
ành lþ 1.1.1 @gæng thù tensenA. Cho f ≡ 0 l mët h m ph¥n h¼nh tr¶n ¾a ¯ D(r) = {z ∈ C||z| ≤ r}, (r < ∞). Gi£ sû a1 , . . . , aM l c¡c khæng iºm cõa f trong D(r) t½nh c£ bëi v b1 , . . . , bN l c¡c cüc iºm cõa f trong D(r) t½nh c£ bëi. Khi â, n¸u f (0) = 0, ∞ th¼ 2π M N iθdθ r r log |f (0)| = log |f (re )| − log + log . 0 2π |aµ | |bν | µ=1 ν=1 Chó þ 1.1.2. qi£ sû f (z) â khæng 1iºm §p m @vîi m > 0A ho° ü 1iºm §p −m @vîi m < 0A t¤i z = 0. uhi 1âD t vi¸t f (z) = cm z m + cm+1 z m+1 + . . . trong 1â cm l h» sè kh¡ khæng 1¦u ti¶n trong khi triºn vurent õ f (z) t¤i z = 0. rm 0°t Ψ(z) = f (z) . uhi 1âD t 1÷ñ Ψ(0) = rm cm = 0, ∞, |Ψ(z)| = |f (z)| vîi zm måi |z| = r v Ψ(z) â òng ¡ khæng 1iºm v ü 1iºm kh¡ 0 vîi f (z) trong 1¾ |z| < rF ho 1âD ¡p döng æng thù tensen ho Ψ(z) t 1÷ñ 2π M N 1 iθ |aµ | |bν | log |Ψ(0)| = log |Ψ(re )|dθ + log − log 2π 0 r r µ=1 ν=1 ø 1â suy r 2π M N 1 iθ |aµ | |bν | log |cm | = log |f (re )|dθ + log − log − m log r. 2π 0 r r µ=1 ν=1 i¸p theoD t 1ành ngh¾ h m 1° tr÷ngD h m x§p x¿ v h m 1¸m õ h m ph¥n h¼nh tr¶n C. îi méi sè thü x ≥ 0, t k½ hi»uX log+ x = max{log x, 0}. ành ngh¾a 1.1.3. gho f l mët h m ph¥n h¼nh tr¶n C v a l mët sè phùF H m x§p x¿ õ f 1÷ñ 1ành ngh¾ ðiX 2π 1 m(r, f ) = log+ |f (reiθ )|dθ, 2π 0 V
v 2π 1 1 1 m r, = log+ dθ. f −a 2π 0 |f (reiθ ) − a| · m°t þ ngh¾ t th§y h m x§p x¿ m(r, f ) 1o 1ë lîn trung ¼nh õ tªp hñp ¡ 1iºm trong 1¾ D(r) m t¤i 1â h m nhªn gi¡ trà x§p x¿ ∞. u½ hi»u n(t, f ) l sè ü 1iºm õ f (z) trong 1¾ |z| ≤ tD trong 1â méi ü 1iºm 1÷ñ 1¸m vîi sè l¦n ¬ng ëi õ nâD n(t, f ) l sè ü 1iºm õ f (z) trong 1¾ |z| ≤ tD trong 1â méi ü 1iºm h¿ 1÷ñ 1¸m mët l¦nD n(0, f ) l sè ëi õ ü 1iºm õ f (z) t¤i z = 0 v 0 n¸u f (0) = ∞; n(0, f ) = 1 n¸u f (0) = ∞. gho a l mët sè phùF u½ hi»u n t, f −a l sè khæng 1iºm õ f (z) − a trong 1¾ 1 |z| ≤ tD trong 1â méi khæng 1iºm 1÷ñ 1¸m vîi sè l¦n ¬ng ëi õ nâD n t, f −a 1 l sè khæng 1iºm õ f (z) − a trong 1¾ |z| ≤ tD trong 1â méi khæng 1iºm h¿ 1÷ñ 1¸m mët l¦nD n 0, f −a l sè ëi õ khæng 1iºm õ f (z) − a t¤i z = 0 v 1 1 0 n¸u f (0) = a; n 0, = f −a 1 n¸u f (0) = a. ành ngh¾a 1.1.4. H m ¸m c¡c cüc iºm õ f 1÷ñ 1ành ngh¾ nh÷ suX r n(t, f ) − n(0, f ) N (r, f ) = dt + n(0, f ) log r. 0 t H m ¸m c¡c cüc iºm khæng t½nh bëi õ f 1÷ñ 1ành ngh¾ ðiX r n(t, f ) − n(0, f ) N (r, f ) = dt + n(0, f ) log r. 0 t H m ¸m c¡c a-iºm õ f 1÷ñ 1ành ngh¾ ðiX r 1 1 1 n t, f −a − n 0, f −a 1 N r, = dt + n 0, log r. f −a 0 t f −a H m ¸m c¡c a-iºm khæng t½nh bëi õ f 1÷ñ 1ành ngh¾ ðiX r 1 1 1 n t, f −a − n 0, f −a 1 N r, = dt + n 0, log r. f −a 0 t f −a W
· m°t þ ngh¾ t th§y ¡ h m 1¸m N (r, f ) v N r, f −a l¦n l÷ñt 1o 1ë lîn 1 õ tªp ¡ ü 1iºm v tªp ¡ aE1iºm t÷ìng ùng õ h m f (z) trong 1¾ ¡n k½nh r t¥m t¤i gèF ành ngh¾a 1.1.5. gho f l mët h m ph¥n h¼nh tr¶n C v a l mët sè phùF H m °c tr÷ng õ h m f 1÷ñ 1ành ngh¾ ði T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ), v 1 1 1 T r, = m r, + N r, . f −a f −a f −a ành ngh¾a 1.1.6. gho f l mët h m ph¥n h¼nh kh¡ h¬ng tr¶n C. wët h m ph¥n h¼nh α 1÷ñ gåi l mët h m nhä so vîi f n¸u thä m¢n T (r, α) = o(T (r, f )) khi r → +∞ â thº trø r mët tªp â 1ë 1o húu h¤nF wët sè t½nh h§t õ ¡ h m xevnlinn 1÷ñ ho trong m»nh 1· suF M»nh · 1.1.7. Gi£ sû fk vîi k = 1, . . . , p l c¡c h m ph¥n h¼nh trong m°t ph¯ng phùc C. Khi â, ta câ p p 1) m r, k=1 fk ≤ k=1 m(r, fk ) + log p, p p 2) m r, k=1 fk ≤ k=1 m(r, fk ), p p 3) N r, k=1 fk ≤ k=1 N (r, fk ), p p 4) N r, k=1 fk ≤ k=1 N (r, fk ), p p 5) T r, k=1 fk ≤ k=1 T (r, fk ) + log p, p p 6) T r, k=1 fk ≤ k=1 T (r, fk ). Bê · 1.1.8. N¸u f (z) l h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t trong m°t ph¯ng phùc C th¼ T (r, f ) lim = ∞. r→∞ log r Bê · 1.1.9 . @QRA Cho f (z) l mët h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng v an (≡ 0), an−1 , . . . , a0 l c¡c h m nhä so vîi f. Khi â, ta câ T (r, an f n + an−1 f n−1 + · · · + a0 ) = nT (r, f ) + o(T (r, f )). IH
i¸p theoD hóng tæi nh l¤i fê 1· 1¤o h m logritF fê 1· n y l h¼ khâ trong hùng minh 0ành lþ ì £n thù hi õ xevnlinnF uy nhi¶nD ¶n ¤nh 1â ê 1· án th÷íng xuy¶n 1÷ñ sû döng trong nhi·u v§n 1· kh¡F Bê · 1.1.10 @fê 1· 1¤o h m vogritA. Cho f l mët h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C. Khi â, ta câ f m r, = o(T (r, f )) f khi r → +∞ câ thº trø ra mët tªp câ ë o húu h¤n. ành lþ 1.1.11 @0ành lþ ì £n thù nh§tA. Cho f l mët h m ph¥n h¼nh tr¶n C v a l mët sè phùc húu h¤n. Khi â, ta câ 1 T r, = T (r, f ) + O(1), f −a trong â O(1) l ¤i l÷ñng giîi nëi. 1 1 ø 0ành lþ ì £n thù nh§t t â thº xem têng m r, +N r, khæng f −a f −a phö thuë v o gi¡ trà õ aD ngh¾ l h m ph¥n h¼nh nhªn måi gi¡ trà a v gi¡ trà g¦n a mët sè l¦n nh÷ nhuF 0¥y h½nh l mët t÷ìng tü õ 0ành lþ ì £n õ 1¤i sè ho tr÷íng hñp ¡ h m nguy¶n v h m ph¥n h¼nhF uy nhi¶nD trong 0ành lþ ì 1 £n thù nh§t ngo i h m 1¸m N r, t ph£i ê sung th¶m mët h m x§p x¿ f −a 1 m r, m thü h§t dòng 1º 1o ¡ 1iºm m t¤i 1â h m 1¢ ho nhªn gi¡ trà f −a g¦n vîi a. x¸u h m x§p x¿ qu¡ lîn th¼ 0ành lþ ì £n thù nh§t õ xevnlinn trð n¶n ½t þ ngh¾F wåi thù 1¢ trð n¶n s¡ng sõ hìn khi xevnlinn hùng minh 0ành lþ ì £n thù hiD 1â l mët k¸t qu£ s¥u s hìn nhi·u so vîi 0ành lþ ì £n thù 1 nh§tF 0ành lþ ì £n thù hi ho th§y r¬ng 1¤i l÷ñng m r, nâi hung l r§t f −a nhäF xëi dung õ 0ành lþ ì £n thù hi nh÷ suF ành lþ 1.1.12 @0ành lþ ì £n thù hiA. Cho a1, . . . , aq (q ≥ 2) l q sè phùc ph¥n bi»t v f l mët h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C. Khi â, ta câ b§t ¯ng thùc q 1 m(r, f ) + m(r, ) ≤ 2T (r, f ) − N1 (r) + o(T (r, f )) f − aj j=1 II
óng vîi måi r câ thº trø ra mët tªp E ⊂ (0, +∞) câ ë o Lebesgue húu h¤n, trong â 1 N1 (r) = N r, + 2N (r, f ) − N (r, f ). f xh÷ 1¢ nâi ð tr¶nD 1º â 1÷ñ sü t÷ìng tü 0ành lþ ì £n õ 1¤i sè ho ¡ h m ph¥n h¼nhD t ph£i ê sung th¶m h m x§p x¿ 1º ò l¤i sü thi¸u höt nghi»m so vîi §p t«ng õ h m ph¥n h¼nh f. 0º 1ành l÷ñng ho sü thi¸u höt 1âD xevnlinn 1¢ 1÷ r 1ành ngh¾ v· sè khuy¸t nh÷ suF ành ngh¾a 1.1.13. Sè khuy¸t Nevanlinna 1÷ñ 1ành ngh¾ ði 1 1 m r, f −a N r, f −a δ(a, f ) = lim inf = 1 − lim sup . r→∞ T (r, f ) r→∞ T (r, f ) ø 1ành ngh¾ tr¶n t â 0 ≤ δ(a, f ) ≤ 1. 0çng thíiD tø 0ành lþ ì £n thù hi t â thº d¹ d ng nhªn 1÷ñ quan h» sè khuy¸t su 1¥yX δ(a, f ) ≤ 2. a∈C∪{∞} rong ph¦n ti¸p theoD hóng tæi s³ tr¼nh y mët sè k¸t qu£ õ mnoi 1¢ 1÷ñ æng è g¦n 1¥y v 1¢ â £nh h÷ðng khæng nhä tîi sü ph¡t triºn õ lþ thuy¸t ph¥n è gi¡ trà õ ¡ h m ph¥n h¼nhF 1.1.2 Mët sè k¸t qu£ cõa Yamanoi r÷î khi 1÷ r mët sè k¸t qu£ qun trång õ mnoiD hóng t nh l¤i ¡ kh¡i ni»m v· kho£ng ¡h ¦u giú ¡ 1iºm v mªt 1ë logrit õ mët tªp nh÷ suF ành ngh¾a 1.1.14 @PPA. Kho£ng c¡ch c¦u giú hi 1iºm z v w trong P1(C) 1÷ñ x¡ 1ành ði |z − w| [z, w] = 1 + |z|2 1 + |w|2 n¸u z, w l ¡ sè phù húu h¤n v 1 [z, ∞] = . 1 + |z|2 IP
ành ngh¾a 1.1.15 @PHA. gho E l mët tªp on õ R. uhi 1âD mªt ë logarit tr¶n v mªt ë logarit d÷îi õ E l¦n l÷ñt 1÷ñ 1ành ngh¾ ði 1 dt logdens(E) = lim sup , r→∞ log r [e,r]∩E t 1 dt logdens(E) = lim inf . r→∞ log r [e,r]∩E t x¸u logdens(E) = logdens(E), th¼ t 1ành ngh¾ 1 dt logdens(E) = lim r→∞ log r [e,r]∩E t l mªt ë logarit õ E. u¸t qu£ qun trång 1¦u ti¶n hóng t ¦n nâi 1¸n ð 1¥y 1â l 0ành lþ ì £n thù hi ho h m ph¥n h¼nh v ¡ h m nhäF ành lþ 1.1.16 @0ành lþ ì £n thù hi vîi ¡ h m nhäD QPA. Cho a1, . . . , aq (q ≥ 3) l q h m ph¥n h¼nh ph¥n bi»t tr¶n C v f l mët h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C. Gi£ sû aj l c¡c h m nhä so vîi f vîi måi j = 1, ..., q. Khi â, vîi måi > 0, b§t ¯ng thùc q 1 (q − 2 − )T (r, f ) ≤ N r, , f − aj j=1 óng vîi måi r câ thº trø ra mët tªp E ⊂ (0, +∞) câ ë o Lebesgue húu h¤n. f¥y giíD hóng t tr¼nh y mët sü hi»u h¿nh õ h m x§p x¿ v ¡ ÷î l÷ñng õ h m 1âF g¡ k¸t qu£ n y 1÷ñ thm kh£o trong i ¡o QRF ành ngh¾a 1.1.17. gho d v n l ¡ sè nguy¶n d÷ìngF gho f l mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t trong m°t ph¯ng phù C. uhi 1âD h m x§p x¿ hi»u ch¿nh 1÷ñ 1ành ngh¾ ði 2π 1 dθ md,n (r, f ) = sup max log , (a1 ,...,an )∈(Rd )n 0 1≤j≤n [f (reiθ ), aj (reiθ )] 2π trong 1â Rd l tªp t§t £ ¡ h m húu t' ª nhä hìn ho° ¬ng d o gçm £ ∞. IQ
Chó þ 1.1.18. gho a1, . . . , an ∈ C l ¡ sè phù ph¥n i»tF â n 2π 1 1 dθ m r, ≤ max log + O(1) ≤ md,n (r, f ) + O(1), f − aj 0 1≤j≤n [f (reiθ ), aj ] 2π j=1 trong 1â O(1) l 1¤i l÷ñng à h°n h¿ phö thuë v o a1 , . . . , an . ¼ vªyD ¡ h m x§p x¿ nevnlinn m r, f −aj ² hìn h m x§p x¿ hi»u h¿nh md,n (r, f ) si kh¡ mët 1 1¤i l÷ñng à h°nF 0°t v(r, f, θ) := sup sup log |f (reit )| − inf log |f (reit )| , τ ∈[0,2π] t∈[τ,τ +θ] t∈[τ,τ +θ] T (r, f ) −1 λ(r) := min 1, log+ . log r fê 1· su 1¥y ho t ÷î l÷ñng gio 1ëng õ ¡ h m ph¥n h¼nh tr¶n 1÷íng trán t¥m t¤i gèF Bê · 1.1.19. Cho f l mët h m ph¥n h¼nh trong m°t ph¯ng phùc C v > 0 b§t ký. Khi â, ta câ v(r, f, λ(r)20 ) ≤ T (r, f ) vîi måi r > e câ thº trø ra mët tªp câ mªt ë logarit b¬ng khæng. ghóng t thu 1÷ñ ¡ ÷î l÷ñng h°n tr¶n v h°n d÷îi õ h m x§p x¿ hi»u h¿nh nh÷ suF Bê · 1.1.20. Cho f l mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t trong m°t ph¯ng phùc C v k l mët sè nguy¶n d÷ìng. °t 1 uk := (k + 1) log+ |f | + log . |f (k) | Khi â, vîi n l mët sè nguy¶n d÷ìng b§t ký, ta câ 2π dθ 2π uk (reiθ ) ≤mk−1,n (r, f ) + (k − 1)m(r, f ) + v r, f, ¯ 0 2π n 2π + v r, f (k) , + k log(2πr) + 2kn log 3 n vîi måi r > 1. IR
ành lþ 1.1.21. Gi£ sû f l mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t tr¶n m°t ph¯ng phùc C, d v n l c¡c sè nguy¶n d÷ìng v B ⊂ C ∪ {∞} l mët tªp húu h¤n iºm. Gåi p l sè ph¦n tû cõa B. Khi â, vîi > 0 b§t ký, ta câ 1 (p + n)17 md,n (r, f ) + ¯ N1 r, ≤ (2 + )T (r, f ) + 4 T (r, f )4/5 (log r)1/5 f −a a∈B vîi måi r > 0 câ thº trø ra mët tªp câ ë o tuy¸n t½nh húu h¤n Ef,d , trong â tªp Ef,d ch¿ phö thuëc v o f v d. 1.2 ×îc l÷ñng khæng iºm cõa a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh gho k ≥ 1 l mët sè nguy¶n v Qi (z) l ¡ 1 thù ª qi , (i = 0, 1, . . . , k) trong C[z]. qi£ sû hi Qi (z) = ci (z − βij )qij j=1 hi vîi ci ∈ C∗ v j=1 qij = qi , vîi i = 0, 1, 2, . . . , k. 0°t Φ := Q0 (f )Q1 (f ) . . . Qk (f (k) ) @IFIA v q := q0 + q1 + · · · + qk . u¸t qu£ õ hóng tæi ph¡t iºu nh÷ suF ành lþ 1.2.1. Cho f l mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t tr¶n C, k ≥ 2 l mët sè nguy¶n v > 0 b§t ký. Cho A ⊂ C l mët tªp húu h¤n c¡c sè phùc. Khi â, ta câ k 1 1 (ν − 1)qν N (r, f ) + q N1 r, ≤ N r, + T (r, f ), f −a Φ ν=0 a∈A vîi måi r > e câ thº trø ra mët tªp E ⊂ (e, ∞) câ mªt ë logarit b¬ng khæng, trong â 1 1 1 N1 r, = N r, − N r, . f −a f −a f −a IS