Luận án tiến sĩ Toán học: Một số vấn đề định tính của quy hoạch toàn phương trong không gian hilbert vô hạn chiều

Chia sẻ: Phong Tỉ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:103

Thêm vào BST

Báo xấu

63
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của luận án này là nghiên cứu một số vấn đề định tính trong quy hoạch toàn phương vô hạn chiều. Cụ thể là nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm và tính ổn định cho một lớp các bài toán quy hoạch toàn phương trong đó hàm mục tiêu là hàm toàn phương (có thể không lồi) và các hàm ràng buộc là các hàm toàn phương lồi trong không gian Hilbert có số chiều tùy ý (hữu hạn hoặc vô hạn chiều).

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án tiến sĩ Toán học: Một số vấn đề định tính của quy hoạch toàn phương trong không gian hilbert vô hạn chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 VŨ VĂN ĐỒNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH TÍNH CỦA QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT VÔ HẠN CHIỀU LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 VŨ VĂN ĐỒNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH TÍNH CỦA QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT VÔ HẠN CHIỀU Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HDKH: PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm Hà Nội 2018
LỜI CAM ĐOAN Luận án này được viết dựa trên những nghiên cứu của tác giả tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình, chu đáo của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm. Các kết quả trong luận án này là mới và chưa từng công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác. Tác giả luận án Vũ Văn Đồng i
LỜI CẢM ƠN Luận án này được hoàn thành tại Trường ĐHSP Hà Nội 2. Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm, người Thầy đã dẫn dắt tôi vào con đường nghiên cứu khoa học. Những lời chia sẻ, chỉ dạy của Thầy trong khoa học cũng như trong cuộc sống sẽ là hành trang quý báu để tôi tự tin hơn trên những chặng đường sắp tới. Xin chân thành cám ơn PGS. TS. Khuất Văn Ninh, TS. Trần Văn Bằng và các thành viên của Xêmina Giải tích - Phòng Sau đại học Trường ĐHSP Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong quá trình nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán và cán bộ công nhân viên của Trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong thời gian học Cao học và làm nghiên cứu sinh. Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường CĐCN Phúc Yên, Trung tâm GDTHPT PCI của trường CĐCN Phúc Yên đã luôn động viên tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả. Xin được gửi lời cám ơn chân thành tới gia đình, các bạn nghiên cứu sinh và bạn bè của tác giả đã luôn khuyến khích giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. ii
MỤC LỤC CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i LỜI CÁM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 BẢNG KÍ HIỆU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 1. BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG . . . . . . . . . 10 1.1. Dạng toàn phương trên không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2. Bài toán quy hoạch toàn phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chương 2. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1. Bài toán quy hoạch toàn phương không lồi . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2. Bài toán quy hoạch toàn phương lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Chương 3. MỘT SỐ TÍNH CHẤT ỔN ĐỊNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.1. Tính chất liên tục của ánh xạ nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.2. Tính liên tục của hàm giá trị tối ưu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 TÀI LIỆU THAM KHẢO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 1
BẢNG KÍ HIỆU Tập và không gian ∅ tập rỗng x∈X x là một phần tử của tập X x∈ /X x không thuộc X {x ∈ X | P (x)} Tập các phần tử x của X tuân theo tính chất P (x) N tập hợp các số tự nhiên R tập hợp các số thực R+ tập hợp các số thực dương Rn không gian Euclid n chiều H không gian Hilbert `2 không gian các dãy số bình phương khả tổng L2 [a, b] không gian các hàm bình phương khả tích trên [a, b] H ⊕G tổng trực tiếp của H và G LH không gian các toán tử tuyến tính liên tục trên H A\B Tập hợp các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B Hàm và toán tử f :X→R hàm giá trị thực T :X→Y toán tử từ X vào Y T∗ toán tử liên hợp của toán tử T A+ toán tử giả ngược của toán tử A Giới hạn và khả vi r(h) r(h) = o(h) tức là khk → 0 khi h → 0 2
f 0 (x, d), Df (x)d đạo hàm của hàm f tại x theo hướng d f 00 (x, d), D2 f (x)d đạo hàm cấp hai của hàm f tại x theo hướng d Chuẩn và hội tụ kxk chuẩn của x xn → x xn hội tụ (mạnh) tới x xn * x xn hội tụ yếu tới x Các bài toán tối ưu val(QP ) giá trị tối ưu của bài toán (QP) F tập chấp nhận được (tập ràng buộc) của bài toán (QP) Sol(QP ) tập nghiệm của bài toán (QP) (QPω ) bài toán tối ưu theo tham số ω F (ω) tập chấp nhận được của bài toán tham số (QPω ) ϕ(ω) hàm giá trị tối ưu của bài toán tham số (QPω ) Sol(ω) tập nghiệm tối ưu của bài toán tham số (QPω ) v. đ. k. với điều kiện 3
MỞ ĐẦU Bài toán quy hoạch toàn phương là bài toán tìm nghiệm tối ưu (lớn nhất hoặc nhỏ nhất) của một hàm toàn phương trên một tập hợp xác định bởi một số hữu hạn các hàm toàn phương. Quy hoạch toàn phương nghiên cứu những khía cạnh định tính, định lượng, thuật toán và ứng dụng khác nhau của các bài toán quy hoạch toàn phương. Quy hoạch toàn phương là một bộ phận quan trọng của Quy hoạch toán học. Nhiều bài toán ứng dụng trong thực tế, bao gồm những bài toán trong việc lập kế hoạch và lịch trình, thiết kế kĩ thuật, và điều khiển được phát biểu một cách tự nhiên dưới dạng bài toán quy hoạch toàn phương. Người ta cũng sử dụng các bài toán quy hoạch toàn phương để giải xấp xỉ những bài toán tối ưu phi tuyến phức tạp. Về tầm quan trọng của quy hoạch toàn phương đã được Floudas và Visweswaran trình bày khá đầy đủ trong tài liệu tham khảo [28]. Bài toán quy hoạch toàn phương đã và đang thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu. Năm 1956, Frank và Wolfe đã mở rộng định lý cơ bản của quy hoạch tuyến tính cho quy hoạch toàn phương hữu hạn chiều và chứng minh được định lý tồn tại nghiệm (gọi là định lý Frank-Wolfe) cho các bài toán tối ưu toàn phương với ràng buộc tuyến tính. Định lý đó nói rằng “Nếu bài toán quy hoạch toàn phương hữu hạn chiều với ràng buộc tuyến tính có hàm mục tiêu bị chặn dưới trên miền ràng buộc khác rỗng, thì nó có nghiệm tối ưu (nhỏ nhất)”. Từ đó đến nay đã có thêm một số chứng minh mới cho định lý này và nhiều phiên bản mở rộng của nó. Chẳng hạn, Eaves, B.C. [27], Blum, E. và Oettli, W. [12], Belousov, E.G. [10], Luo, Z.Q. và Zhang, S. [42], Belousov, E.G. và Klatte, D. [8]. Năm 2000, Frédéric, Bonnans, J. F. và Shapiro, A. [13] 4
đã mở rộng định lý Frank-Wolfe cho bài toán quy hoạch toàn phương vô hạn chiều với ràng buộc tuyến tính. Các bài toán quy hoạch toàn phương hữu hạn chiều với ràng buộc tuyến tính đã được khảo sát khá đầy đủ. Nhiều kết quả nghiên cứu quan trọng trong quy hoạch toàn phương với ràng buộc tuyến tính có thể tìm thấy trong cuốn sách chuyên khảo [39] và các tài liệu trích dẫn trong đó. Đối với những bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương đã được Kuhn, H.W. và Tucker, A.W. nghiên cứu từ những năm đầu của thập niên 50 của thế kỷ 20 trong [38]. Trong những năm gần đây nhiều tác giả đã quan tâm nghiên cứu các bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương cả về định tính cũng như định lượng, cùng các ứng dụng của chúng. Ở Việt Nam, đã và đang có nhiều nhà khoa học tiến hành nghiên cứu về quy hoạch toàn phương, chẳng hạn như Hoàng Tụy, Nguyễn Đông Yên, Hoàng Xuân Phú, Lê Dũng Mưu, Nguyễn Năng Tâm, Nguyễn Quang Huy, Võ Minh Phổ, Hoàng Ngọc Tuấn. Sự quan tâm nghiên cứu các bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương ở trong và ngoài nước được phản ánh qua số lượng và chất lượng của những công trình đã công bố. Điển hình như: Tuy, H. [56], Kim, D.S., Tam, N.N., Yen, N.D. [37], Lee, G.M., Tam, N.N., Yen, N.D. [39, 40], Tam, N. N. [1], Zheng, X.J., Sun,X.L., Li, D., Xu, Y.F. [58], Burer,S., Dong, H. [19], Jeyakumar,V., Lee, G.M., Li, G.Y. [33], Jeyakumar, V., Huy, N.Q., Li, G.Y. [34], Jeyakumar, V., Rubinov, A.M, Wu, Z.Y. [35, 36], Pasquale L. De Angelis, Gerardo Toraldo [45], Beck, A., Eldar, Y.C. [9], Nghị, T. V. [44]. Trong những công trình đó, có thể tìm thấy nhiều kết quả thú vị và những vấn đề mở về những bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương trong không gian hữu hạn chiều. Trong khi các bài toán quy hoạch toàn phương hữu hạn chiều nhận 5
được sự quan tâm nghiên cứu của đông đảo các tác giả, thì những công trình nghiên cứu về lớp bài toán quy hoạch toàn phương vô hạn chiều được công bố còn rất hạn chế. Theo chúng tôi được biết, ngoài những kết quả nghiên cứu về những bài toán tối ưu phi tuyến tổng quát có thể áp dụng cho quy hoạch toàn phương, những kết quả nghiên cứu quan trọng cho quy hoạch toàn phương trong không gian vô hạn chiều, cho đến nay, vẫn chỉ xuất hiện lẻ tẻ, chưa nhiều và chưa trọn vẹn. Trong những kết quả đã có, đáng lưu ý nhất là kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc tuyến tính trong không gian Hilbert đã được Bonnans và Shapiro chứng minh vào năm 2000 trong [13]. Ngoài ra, có thể kể đến một vài kết quả về sự tồn tại nghiệm và điều kiện cực trị đối với một bài toán quy hoạch toàn phương đặc biệt của các tác giả Schochetman, I. E., Smith, R. L., Tsui, S. K. [49], Semple, J. [50], Sivakumar, K.C., Swarna, J. M. [53] và Borwein, J.M. [17]. Theo chúng tôi được biết, nhiều vấn đề về bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương trong không gian vô hạn chiều vẫn chưa được nghiên cứu. Vì những lý do trên chúng tôi đặt vấn đề nghiên cứu định tính các bài toán quy hoạch toàn phương vô hạn chiều. Mục tiêu của luận án này là nghiên cứu một số vấn đề định tính trong quy hoạch toàn phương vô hạn chiều. Cụ thể là nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm và tính ổn định cho một lớp các bài toán quy hoạch toàn phương trong đó hàm mục tiêu là hàm toàn phương (có thể không lồi) và các hàm ràng buộc là các hàm toàn phương lồi trong không gian Hilbert có số chiều tùy ý (hữu hạn hoặc vô hạn chiều). Trong không gian hữu hạn chiều những tính chất ấy đã được nghiên cứu khá đầy đủ trong [39, 42] và những tài liệu trích dẫn trong đó. Trong không gian vô hạn chiều sự tồn tại nghiệm và tính ổn định của bài toán quy hoạch toàn phương đã 6
được nghiên cứu trong [13, 17] chủ yếu với ràng buộc tuyến tính. Luận án này nghiên cứu mở rộng những kết quả ấy cho trường hợp tổng quát hơn. Một trong những kỹ thuật thường dùng trong nghiên cứu định tính của các bài toán quy hoạch toàn phương trong không gian Hilbert hữu hạn chiều là sử dụng tính compact, tính lồi, tính chính quy của tập ràng buộc và định lý Weiertrass. Để thu được những kết quả định tính của những bài toán quy hoạch toàn phương trong không gian Hilbert có số chiều tùy ý (hữu hạn hoặc vô hạn chiều) chúng ta vẫn có thể sử dụng kỹ thuật đó với một sự hiệu chỉnh phù hợp. Tuy vậy, sự hiệu chỉnh đó nói chung không dễ dàng. Trong luận án này chúng tôi hiệu chỉnh kỹ thuật đó bằng cách sử dụng tính chất Legendre của dạng toàn phương. Tính chất đó dùng để chứng minh rằng, một dãy (hoặc dãy con) mà hội tụ yếu thì nó hội tụ mạnh đến cùng giới hạn. Mặt khác, vì nhiều bài toán quy hoạch toàn phương trong không gian Hilbert vô hạn chiều, dạng toàn phương không có tính chất Legendre, ví dụ như bài toán quy hoạch tuyến tính, nên khi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của chúng, luận án còn sử dụng giả thiết về tính compact với ảnh đóng của các toán tử trong bài toán đó. Mặc dù giả thiết này khá mạnh, nhưng bằng cách sử dụng giả thiết này chúng ta có thể nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của một lớp bài toán quy hoạch toàn phương vô hạn chiều mà không sử dụng đến tính chất của dạng Legendre. Vì mọi dạng toàn phương trong không gian Hilbert hữu hạn chiều đều là dạng Legendre và toán tử biểu diễn dạng toàn phương đó là compact với ảnh đóng nên những kết quả mà chúng tôi thu được trong luận án này thực sự là những mở rộng của những kết quả đã có. Ngoài việc hiệu chỉnh một cách phù hợp những kỹ thuật đã sử dụng trong nghiên cứu bài toán hữu hạn chiều chúng tôi đưa ra một điều kiện, có tên là điều kiện A, để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của 7
bài toán quy hoạch toàn phương không lồi. Các bài toán quy hoạch toàn phương mà chúng ta xét trong luận án này có tập ràng buộc là tập lồi đóng trong không gian Hilbert. Vì thế tính bị chặn của nó tương đương với tính compact yếu. Tuy nhiên, tập ràng buộc có thể không bị chặn, đó là lý do tại sao khái niệm nón lùi xa của tập ràng buộc được sử dụng trong suốt luận án này. Luận án này, ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, gồm ba chương. Chương 1 giới thiệu về Bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương cùng một số khái niệm và kết quả liên quan trong không gian Hilbert. Các khái niệm và kết quả được trình bày trong chương này là cơ sở cho việc nghiên cứu các kết quả được đề xuất trong các chương sau của luận án. Chương 2 dành cho việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương với hàm mục tiêu toàn phương và ràng buộc xác định bởi hữu hạn bất đẳng thức toàn phương lồi trong không gian Hilbert. Trong mục 2.1 đề xuất và chứng minh một số kết quả tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương không lồi. Trong mục 2.2 đề xuất và chứng minh một số kết quả tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương lồi. Chương 3 nghiên cứu tính liên tục của ánh xạ tập nghiệm và tính liên tục của hàm giá trị tối ưu của bài toán quy hoạch toàn phương có tham số trong không gian Hilbert. Trong mục 3.1 đề xuất và chứng minh tính liên tục của ánh xạ tập nghiệm toàn cục. Trong mục 3.2 đề xuất và chứng minh tính liên tục của hàm giá trị tối ưu. Luận án này được viết dựa trên bài báo [24] đã được đăng trong tạp chí “Taiwanese Journal of Mathematics” và hai bài báo [25, 26] đã được đăng trong tạp chí “Acta Mathematica Vietnamica”. 8
Các kết quả của luận án đã được trình bày tại International Work- shop on Some Selected Problems in Optimization and Control Theory (February 4-7, 2015, VIASM, Hanoi), The 14th Workshop on Optimiza- tion and Scientific Computing (April 24-27, 2016, Ba Vi, Hanoi), The 15th Workshop on Optimization and Scientific Computing (April 20-22, 2017, Ba Vi, Hanoi), Xêmina của Phòng Sau đại học (Trường ĐHSP Hà Nội 2), Xêmina của Phòng Giải tích số và Tính toán khoa học (Viện Toán học) và Xêmina của Nhóm nghiên cứu Lý thuyết tối ưu (Viện nghiên cứu cao cấp về toán). 9
Chương 1 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG Chương này trình bày một số khái niệm và một số kết quả cốt yếu cho việc nghiên cứu trong các chương sau. Mục 1.1 trình bày một số khái niệm cơ bản trong không gian Hilbert, dạng toàn phương và dạng Legendre. Mục 1.2 trình bày khái niệm bài toán quy hoạch toàn phương trên không gian Hilbert và một số kết quả đơn giản về tập ràng buộc của bài toán đó. Nhiều kết quả trong chương này được trình bày ngắn gọn, không kèm theo chứng minh. Các kết quả đó được tham khảo trong các tài liệu [7, 13, 21, 30, 32, 52]. 1.1. Dạng toàn phương trên không gian Hilbert 1.1.1. Một số tính chất cơ bản trong không gian Hilbert Trong luận án này, H kí hiệu là không gian Hilbert thực với tích vô hướng h· , ·i. Một tích vô hướng h· , ·i : H × H → R là một dạng song tuyến tính xác định dương. Tức là, (i) x 7→ hx, yi là tuyến tính với mọi y ∈ H; (ii) hx, yi = hy, xi với mọi x, y ∈ H; (iii) hx, xi > 0 với mọi x ∈ H và hx, xi = 0 nếu và chỉ nếu x = 0. p Nếu h· , ·i là một tích vô hướng, thì kxk = hx, xi xác định một chuẩn trên không gian Hilbert H. Định nghĩa 1.1.1. ([21, Definition 3.3.10]) Dãy {xn } trong không gian 10
H hội tụ yếu đến x ∈ H, kí hiệu xn * x nếu lim hxn , yi = hx, yi, ∀y ∈ H. n→∞ Định lý 1.1.2. ([52, Theorem 4.4.1]) Giới hạn của một dãy hội tụ yếu là duy nhất. Bổ đề 1.1.3. ([7, Lemma 2.37]) Cho {xn } là một dãy bị chặn trong không gian H. Khi đó, {xn } chứa một dãy con hội tụ yếu. Định lý 1.1.4. ([31, Theorem 8.40]) Giả sử rằng {xn } là một dãy trong không gian Hilbert H và D là một tập con trù mật của H. Khi đó {xn } hội tụ yếu tới x nếu và chỉ nếu (a) kxn k 6 M với M là hằng số; (b) hxn , yi → hx, yi khi n → ∞ với mọi y ∈ D. Ví dụ 1.1.5. Cho H = `2 là không gian tất cả các dãy số thực bình phương khả tổng, ∞ X 2 ` = {x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) | x2n < ∞, xn ∈ R, n = 1, 2, . . .}. n=1 Tích vô hướng và chuẩn trong `2 được xác định lần lượt bởi ∞ ∞ 1 X X hx, yi = xn yn , kxk = ( x2n ) 2 . n=1 n=1 Đặt en = (0, 0, ...., 0, 1, 0, ....) là vector cơ sở số hạng thứ n là 1 và các số hạng khác bằng 0. Nếu y = (y1 , y2 , ...) ∈ `2 , khi đó hen , yi = yn → 0, khi n → ∞ ∞ √ |yn |2 hội tụ). Do vậy en * 0 khi n → ∞. Mặt khác, ken −em k = P (vì 2 n=1 với mọi n 6= m, do đó dãy {en } không hội tụ mạnh. 11
Ví dụ 1.1.6. Cho L2 [0, 1] là không gian tất cả các hàm bình phương R1 khả tích trên [0, 1], L2 [0, 1] = {x | x2 (t)dt < ∞}. Tích vô hướng và 0 chuẩn trong L2 [0, 1] được xác định lượt bởi: Z1 Z1 21 2 hx, yi = x(t)y(t)dt, kxk = x (t)dt . 0 0 Dãy {xk } ⊂ L2 [0, 1] xác định bởi  k 1 nếu 0 6 t 6  k2 xk (t) = 0 1  nếu k2 6t61 hội tụ yếu, nhưng không hội tụ mạnh tới 0 trong L2 [0, 1]. Thật vậy, với bất kỳ đa thức p ta có 1 1 Z1 Zk2 Zk2