Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính duy nhất và tính hữu hạn của họ hàm phân hình chấp nhận được trên hình vành khuyên trong mặt phẳng phức

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:100

Thêm vào BST

Báo xấu

7
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của luận án "Tính duy nhất và tính hữu hạn của họ hàm phân hình chấp nhận được trên hình vành khuyên trong mặt phẳng phức" là nghiên cứu vấn đề duy nhất và vấn đề hữu hạn của các hàm hình chấp nhận được trên hình vành khuyên, có chung ảnh ngược của một giá trị, hoặc một số hàm nhỏ, hoặc một số cặp giá trị...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính duy nhất và tính hữu hạn của họ hàm phân hình chấp nhận được trên hình vành khuyên trong mặt phẳng phức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Trần An Hải TÍNH DUY NHẤT VÀ TÍNH HỮU HẠN CỦA HỌ HÀM PHÂN HÌNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC TRÊN HÌNH VÀNH KHUYÊN TRONG MẶT PHẲNG PHỨC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2023
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Trần An Hải TÍNH DUY NHẤT VÀ TÍNH HỮU HẠN CỦA HỌ HÀM PHÂN HÌNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC TRÊN HÌNH VÀNH KHUYÊN TRONG MẶT PHẲNG PHỨC Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 9.46.01.05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. SĨ ĐỨC QUANG Hà Nội, 2023
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan những kết quả được trình bày trong luận án là mới, đã được công bố trên các tạp chí Toán học trong và ngoài nước. Các kết quả viết chung với GS. TS. Sĩ Đức Quang, TS. Hà Hương Giang và ThS. Nguyễn Thị Thanh Hiền đã được sự đồng ý của các đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Nghiên cứu sinh Trần An Hải iii
LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của GS. TS. Sĩ Đức Quang. Thầy đã tận tâm dạy, giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình tôi làm Nghiên cứu sinh. Tôi xin tri ân Thầy. Tôi xin cảm ơn các Thầy, Cô trong Khoa Toán - Tin, các thành viên trong Seminar Hình học phức của Bộ môn Hình học, Khoa Toán - Tin trường Đại học Sư phạm Hà Nội vì đã quan tâm, giúp đỡ tôi và có những trao đổi khoa học hữu ích với tôi trong suốt thời gian tôi làm Nghiên cứu sinh. Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Phòng Sau đại học và các phòng, ban khác của trường Đại học Sư phạm Hà Nội vì những giúp đỡ tôi đã nhận được trong suốt quá trình học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn các Thầy, Cô phản biện đã dành thời gian đọc luận án này và đóng góp những ý kiến quý báu. Tôi cũng xin cảm ơn Học viện Ngân Hàng cùng các bạn bè đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình tôi làm Nghiên cứu sinh. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn đến Bố, Mẹ, vợ và các con, đã chấp nhận mọi khó khăn, thiệt thòi trong những năm tháng qua để tôi có thể hoàn thành luận án này. Tác giả iv
MỤC LỤC CÁC KÍ HIỆU 1 MỞ ĐẦU 3 1 TỔNG QUAN 6 2 HAI HÀM PHÂN HÌNH TRÊN MỘT HÌNH VÀNH KHUYÊN CÓ CHUNG ẢNH NGƯỢC CỦA MỘT SỐ HÀM NHỎ 14 2.1 Một số định nghĩa và kết quả của lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình trên một hình vành khuyên . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ chỉnh hình từ hình vành khuyên vào không gian xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3 Hai hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của ít nhất năm hàm nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4 Hai hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của bốn hàm nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3 VẤN ĐỀ HỮU HẠN CỦA HỌ HÀM PHÂN HÌNH TRÊN MỘT HÌNH VÀNH KHUYÊN CÓ CHUNG ẢNH NGƯỢC CỦA BỐN GIÁ TRỊ 39 3.1 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2 Tính hữu hạn của những hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược không kể bội, của bốn giá trị . . . . . 42 3.3 Tính hữu hạn của những hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của bốn giá trị và bỏ qua các ảnh ngược có bội lớn hơn một giá trị nào đó . . . . . . . . . . . . . . . 52 v
4 HAI HÀM PHÂN HÌNH TRÊN MỘT HÌNH VÀNH KHUYÊN CÓ CHUNG ẢNH NGƯỢC CỦA MỘT SỐ CẶP GIÁ TRỊ 68 4.1 Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.2 Hai hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của q (q ≥ 6) cặp giá trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.3 Hai hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của năm cặp giá trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 87 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 89 TÀI LIỆU THAM KHẢO 90 vi
CÁC KÍ HIỆU Trong toàn bộ luận án, chúng ta thống nhất một số kí hiệu như sau. A(R0 ) = z∈C: 1 R0 < |z| < R0 , với R0 ∈ (1, +∞] nào đó, là hình vành khuyên. Pn (C): không gian xạ ảnh phức n-chiều. νϕ : divisor sinh bởi hàm phân hình ϕ. νϕ : divisor không điểm của hàm phân hình ϕ. 0 νϕ,≤k : divisor không điểm với bội ≤ k của hàm phân hình ϕ. 0 νϕ,>k : divisor không điểm với bội > k của hàm phân hình ϕ. 0 νϕ : divisor cực điểm của hàm phân hình ϕ. ∞ νϕ,≤k : divisor cực điểm với bội ≤ k của hàm phân hình ϕ. ∞ νϕ,>k : divisor cực điểm với bội > k của hàm phân hình ϕ. ∞ [M ] N0 (r, ν): hàm đếm của divisor ν , ngắt bội ở mức M . m0 (r, f ): hàm xấp xỉ của hàm phân hình f . T0 (r, f ): hàm đặc trưng của hàm phân hình f . T (r, f ): hàm đặc trưng Nevanlinna của hàm phân hình f . O(...), o(...): các kí hiệu Landau. log+ r = log max{1, r} với r ∈ R. S : lực lượng của tập hợp S . Supp(ν) : giá của divisor ν . 1
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Năm 1926, R. Nevanlinna [16] đã chứng minh được rằng hai hàm phân hình khác hằng trên mặt phẳng phức nếu có chung ảnh ngược không kể bội, của năm giá trị đôi một phân biệt thì phải trùng nhau, và hai hàm này liên kết với nhau bởi một phép biến đổi M¨bius nếu chúng có chung ảnh ngược kể cả bội, của bốn o giá trị đôi một phân biệt. Hai kết quả trên thường lần lượt được gọi là Định lí năm điểm và bốn điểm của Nevanlinna. Hai kết quả này nhận được nhờ vào việc sử dụng Định lí cơ bản thứ hai của Nevanlinna cho hàm phân hình trên mặt phẳng phức với mục tiêu là các giá trị cố định trong C ∪ {∞}. Trong những thập kỷ vừa qua, nhiều nhà toán học đã quan tâm mở rộng và phát triển sâu sắc hơn các kết quả của Nevanlinna khi thay điều kiện có chung ảnh ngược đối với một số giá trị bởi điều kiện có chung ảnh ngược đối với một số hàm nhỏ. Các kết quả đầu tiên theo hướng này được thu bởi G. Gundersen [8], P. Li, C. C. Yan [12, 13]. Năm 2004, K. Yamanoi [24] đã thiết lập được Định lí cơ bản thứ hai cho hàm phân hình trên mặt phẳng phức đối với các hàm nhỏ và hàm đếm với bội được ngắt bởi 1. Đây có thể xem là kết quả đẹp nhất về lý thuyết Nevanlinna thu được trong khoảng vài thập kỷ gần đây. Kết quả của K. Yamanoi đã trở thành công cụ then chốt và mạnh mẽ trong việc phát triển Định lí bốn điểm và Định lí năm điểm cổ điển của Nevanlinna lên cho trường hợp các hàm phân hình có chung ảnh ngược của các hàm nhỏ. Các Định lí bốn điểm và năm điểm của Nevanlinna hầu như đã được mở rộng triệt để bởi các công bố gần đây của S. Đ. Quang [19, 21] và S. Đ. Quang - L. N. Quỳnh [22]. Tuy nhiên vẫn chưa có các kết quả tương tự như vậy cho trường hợp hàm phân hình trên các miền nhị liên. Ở đây chúng ta chú ý rằng mỗi miền nhị liên sẽ tương đương bảo giác với một hình vành khuyên A = {z ∈ C : 0 ≤ r < |z| < R ≤ +∞} 1 và nó song chỉnh hình với A(R0 ) = z ∈ C : R0 < |z| < R0 với R0 > 1 nào đó. Đặc biệt lưu ý rằng, trên hình vành khuyên chúng ta chưa có được Định lí cơ bản thứ hai cho hàm phân hình đối với các hàm nhỏ tốt như kết quả của Yamanoi. Do vậy các nghiên cứu về vấn đề hữu hạn hay duy nhất của hàm phân hình trên hình vành khuyên với điều kiện về hàm nhỏ hầu như chưa có. Vì những lý do như trên, chúng tôi lựa chọn đề tài "Tính duy nhất và 3
tính hữu hạn của họ hàm phân hình chấp nhận được trên hình vành khuyên trong mặt phẳng phức", để mở rộng các kết quả của Nevanlinna lên cho trường hợp các hàm phân hình trên hình vành khuyên. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận án là nghiên cứu vấn đề duy nhất và vấn đề hữu hạn của các hàm phân hình chấp nhận được trên một hình vành khuyên, có chung ảnh ngược (với bội được ngắt ở một mức nào đó) của một số giá trị, hoặc một số hàm nhỏ, hoặc một số cặp giá trị, dưới các điều kiện tổng quát hơn hoặc yếu hơn trong các nghiên cứu trước đó hoặc chưa từng được nghiên cứu về các vấn đề này. Hơn nữa, trong các tình huống mà chúng tôi nghiên cứu thì các kỹ thuật và phương pháp của các tác giả trước không thể giải quyết được. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án là các hàm phân hình trên hình vành khuyên. Phạm vi nghiên cứu trong Lý thuyết phân bố giá trị. 4. Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi dựa trên các phương pháp nghiên cứu, những kỹ thuật truyền thống của Hình học phức và Lý thuyết phân bố giá trị, đồng thời chúng tôi đưa thêm những kỹ thuật mới để giải quyết các vấn đề đặt ra trong luận án. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Luận án góp phần làm phong phú thêm và sâu sắc hơn các kết quả về tính duy nhất và tính hữu hạn của các hàm phân hình trên hình vành khuyên. Luận án cũng là một trong những tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh theo hướng nghiên cứu này. 6. Cấu trúc luận án Ngoài các phần: Mở đầu; Kết luận và kiến nghị; Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án; Tài liệu tham khảo, luận án bao gồm bốn chương với tên như sau. Chương 1. Tổng quan. Chương 2. Hai hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của một số hàm nhỏ. Chương 3. Vấn đề hữu hạn của họ hàm phân hình trên một hình vành 4
khuyên có chung ảnh ngược của bốn giá trị. Chương 4. Hai hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của một số cặp giá trị. Luận án được viết dựa trên bốn bài báo, đã công bố trong các tạp chí: Com- plex Analysis and Operator Theory (SCIE); Mathematica Bohemica (ESCI/Scopus); Bulletin of the Iranian Mathematical Society (SCIE); Indagationes Mathemati- cae (SCIE). 7. Nơi thực hiện luận án Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. 5
Chương 1 TỔNG QUAN Trong chương này chúng tôi trình bày tóm tắt các kết quả của những tác giả đi trước về vấn đề duy nhất và hữu hạn đối với hàm phân hình trên mặt phẳng phức. Tiếp theo, chúng tôi phát biểu các kết quả mới mà chúng tôi đạt được trong việc nghiên cứu vấn đề duy nhất và vấn đề hữu hạn của các hàm phân hình trên hình vành khuyên có chung ảnh ngược (với bội được ngắt ở một mức nào đó) của một số giá trị, hoặc một số hàm nhỏ, hoặc một số cặp giá trị. I. Hai hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của một số hàm nhỏ Để thuận tiện cho việc trình bày, sau đây chúng tôi đưa ra một số kí hiệu và định nghĩa. Cho D là một miền trong C và ϕ là hàm phân hình trên miền D, {ai }∞ là i=1 tập không điểm của ϕ trong D, ai có bậc λi . Divisor không điểm sinh bởi hàm ϕ được định nghĩa bởi ∞ ν= λi {ai }, i=1 Với k là số nguyên dương hoặc +∞, divisor không điểm sinh bởi hàm ϕ, không xét đến các không điểm có bội lớn hơn k , được định nghĩa bởi  ν 0 (z) 0 nếu νϕ (z) ≤ k, 0 ϕ νϕ,≤k (z) = 0 trong trường hợp còn lại. 0 0 Khi k = +∞ thì νϕ,≤k = νϕ . Cho f và g là hai hàm phân hình trên miền D ⊂ C. Cho a ∈ C ∪ {∞} và k với l0 là các số nguyên dương hoặc +∞. Ta nói rằng f và g có chung ảnh ngược với 6
bội được ngắt bởi l0 , không xét đến các ảnh ngược có bội lớn hơn k , của a nếu 0 0 min νf −a,≤k (z), l0 = min νg−a,≤k (z), l0 với mọi z ∈ D. Ta bỏ kí hiệu k hoặc l0 trong công thức này khi chúng bằng +∞. Đặc biệt: Khi k = +∞, ta nói rằng f và g có chung ảnh ngược với bội được ngắt bởi l0 , của a. Khi l0 = 1 (tương ứng, l0 = +∞), ta nói rằng f và g có chung ảnh ngược không kể bội (tương ứng, kể cả bội), không xét đến các ảnh ngược có bội lớn hơn k , của a. Khi l0 = 1 (tương ứng, l0 = +∞) và k = +∞, ta nói rằng f và g có chung ảnh ngược không kể bội (tương ứng, kể cả bội), của a. Định lí bốn điểm và Định lí năm điểm của Nevalinna đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học và họ đã mở rộng, phát triển nó theo một số hướng. Hướng thứ nhất là bỏ qua các ảnh ngược với bội lớn hơn một số nguyên dương nhất định nào đó. Hướng thứ hai là thay thế các giá trị bởi các hàm nhỏ. Năm 1999, L. Yuhua và Q. Jianyong [28] đã mở rộng Định lí năm điểm của Nevanlinna sang trường hợp mà năm giá trị phân biệt được thay bởi năm hàm nhỏ a1 , ..., a5 . Năm 2002, W. Yao [25] đưa ra một cải tiến cho các kết quả này 0 0 bằng cách chỉ ra rằng nếu k ≥ 22 và min{νf −ai ,≤k , 1} = min{νg−ai ,≤k , 1} (1 ≤ i ≤ 5) thì f = g . Trong [26] H. X. Yi đã chỉ ra rằng kết luận của định lí trên của Yao vẫn đúng với k ≥ 14. Tiếp theo đó, trong [23], Đ. Đ. Thái và T. V. Tấn chứng minh rằng định lí này vẫn đúng với k ≥ 3 bằng cách áp dụng Định lí cơ bản thứ hai của K. Yamanoi cho hàm phân hình và các hàm nhỏ. Trong [19], S. Đ. Quang đã cải tiến kết quả của Đ. Đ. Thái và T. V. Tấn bằng cách chỉ ra rằng hai 0 0 hàm f và g phải trùng nhau nếu min{νf −ai ,≤3 , 1} = min{νg−ai ,≤3 , 1} (1 ≤ i ≤ 3) 0 0 và min{νf −ai ,≤2 , 1} = min{νg−ai ,≤2 , 1} (4 ≤ i ≤ 5). Tuy nhiên, các kết quả nói trên chỉ được chứng minh đối với hàm phân hình trên mặt phẳng phức. Chứng minh của những kết quả trên dựa vào hàm phụ trợ Cartan và Định lí cơ bản thứ hai của K. Yamanoi [24] cho các hàm phân hình đối với các hàm nhỏ trên C với hàm đếm bội được ngắt bội bởi 1. Chúng ta chú ý rằng Định lí cơ bản thứ hai của K. Yamanoi trong trường hợp này là định lí tốt nhất có thể. 7
Gần đây A. Y. Khrystiyanyn and A. A. Kondratyuk [10, 11] đã xây dựng lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình trên hình vành khuyên A(R0 ) = 1 z∈C: R0 < |z| < R0 (R0 > 1). Sau đó lý thuyết này được M. Lund và Z. Ye [14] hoàn thiện. Sử dụng Định lí cơ bản thứ hai cho hàm phân hình trên một hình vành khuyên, T. B. Cao, H. X. Yi và H. Y. Xu trong [4] đã chứng minh được định lí duy nhất cho các hàm phân hình trên một hình vành khuyên, có chung ảnh ngược của ít nhất năm giá trị. Theo chúng tôi biết, đây là kết quả duy nhất về các hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của một số giá trị. Đặc biệt là vấn đề các hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của một số hàm nhỏ chưa được nghiên cứu. Trong luận án này chúng tôi đề cập đến bài toán duy nhất của các hàm phân hình chấp nhận được trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của một số hàm nhỏ. Tuy nhiên, theo chúng tôi biết, trong trường hợp hàm phân hình trên hình vành khuyên vẫn chưa có Định lí cơ bản thứ hai tốt như kết quả của K. Yamanoi. Đây là khó khăn chính trong việc nghiên cứu bài toán này. Vì vậy, việc nghiên cứu các hàm phân hình trên hình vành khuyên dựa vào Lý thuyết phân bố giá trị gặp nhiều hạn chế. Trong Chương 2, viết dựa trên bài báo [1] (trong Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án), bằng cách đưa ra những kỹ thuật mới và kết hợp với những kỹ thuật của P. Li chúng tôi đã thiết lập được định lí duy nhất cho các hàm phân hình chấp nhận được trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược không kể bội, của ít nhất năm hàm nhỏ. Ngoài ra, trong kết quả của chúng tôi không xét đến các ảnh ngược có bội lớn hơn một số nào đó. Kết quả của chúng tôi được phát biểu như sau. Định lí 1. Cho f và g là hai hàm phân hình chấp nhận được trên A(R0 ). Cho a1 , . . . , aq (q ≥ 5) là những hàm nhỏ trên A(R0 ) (so với f và g ), đôi một phân biệt. Cho k1 , . . . , kq là q số nguyên dương hoặc +∞ thoả mãn q 1 2q(q − 4) < . ki + 1 5(q + 4) i=1 Giả sử rằng 0 0 min νf −ai ,≤ki , 1 = min νg−ai ,≤ki , 1 với mọi 1 ≤ i ≤ q. Khi đó f = g. 8
Kết quả trên của chúng tôi không chỉ tổng quát hóa mà còn cải tiến hầu hết các kết quả về hàm phân hình siêu việt có chung ảnh ngược của ít nhất năm hàm nhỏ trên mặt phẳng phức (xem [25], [26]). Ngoài ra, trong trường hợp các hàm phân hình chấp nhận được f và g trên một hình vành khuyên, có chung ảnh ngược kể cả bội, của bốn hàm nhỏ đôi một phân biệt, chúng tôi chứng minh được rằng chúng liên kết với nhau bởi một phép biến đổi tựa M¨bius. Ở đây f được gọi là một biến đổi tựa M¨bius, hay o o biến đổi tựa phân tuyến tính, của g nếu có bốn hàm nhỏ (so với f và g ) a, b, c, d với ad − bc ≡ 0, sao cho f = (ag + b)/(cg + d). Nếu tất cả các hàm a, b, c, d là hàm hằng thì ta nói f là một biến đổi M¨bius, hay là một biến đổi phân tuyến tính o của g . Cụ thể, chúng tôi đã chứng minh được định lí sau đây. Định lí 2. Cho f và g là hai hàm phân hình chấp nhận được trên A(R0 ). Cho a1 , a2 , a3 , a4 là bốn hàm nhỏ trên A(R0 ) (so với f và g ), đôi một phân biệt. Cho 4 1 4 ki (1 ≤ i ≤ 4) là các số nguyên dương thỏa mãn i=1 ki +1 < 219 . Giả sử rằng 0 0 νf −ai ,≤ki = νg−ai ,≤ki với mọi 1 ≤ i ≤ q. Khi đó f là một biến đổi tựa M¨bius của g . o Định lí trên của chúng tôi là một tổng quát hóa và cải tiến cho Định lí bốn điểm cổ điển của Nevalinna lên trường hợp các hàm phân hình chấp nhận được có chung ảnh ngược của bốn hàm nhỏ trên một hình vành khuyên. II. Vấn đề hữu hạn của họ hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của bốn giá trị Để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi đưa ra định nghĩa sau. Cho f là một hàm phân hình khác hằng trên A(R0 ). Cho a1 , . . . , a4 là bốn giá trị phân biệt trong C ∪ {∞} và cho k1 , . . . , k4 là các số nguyên dương hoặc +∞. Ta kí hiệu V(f, {ai , ki }4 , 1) là tập hợp tất cả những hàm phân hình g xác i=1 0 0 định trên A(R0 ), thỏa mãn min{νg−ai ,≤ki (z), 1} = min{νf −ai ,≤ki (z), 1}, 1 ≤ i ≤ 4, với mọi z ∈ A(R0 ). Năm 1998, H. Fujimoto [7] đã cải tiến Định lí bốn điểm của Nevanlinna bằng cách chứng minh rằng có nhiều nhất hai hàm phân hình trên C có chung ảnh ngược với bội được ngắt bởi 2, của bốn giá trị đôi một phân biệt. Những kết quả kiểu này được gọi là các định lí hữu hạn của hàm phân hình có chung ảnh 9
ngược của các giá trị. Trong trường hợp hàm phân hình trên C, đã có nhiều mở rộng của Định lí bốn điểm, như các kết quả trong [1, 2, 8, 9, 15, 19, 21]. Tuy nhiên, theo chúng tôi biết thì vẫn chưa có định lí hữu hạn trong trường hợp các hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của bốn giá trị. Trong luận án này chúng tôi đề cập đến vấn đề hữu hạn của các hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của bốn giá trị. Trong Chương 3, viết dựa trên bài báo [2] (trong Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án), chúng tôi đã chứng minh được rằng nếu ba hàm phân hình chấp nhận được f1 , f2 , f3 trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược không kể bội, của bốn giá trị, và có tập đồng nhất đầy đủ với hàm đếm dương thì f1 = f2 hoặc f2 = f3 hoặc f3 = f1 . Cụ thể, chúng tôi chứng minh được kết quả như sau. Định lí 3. Cho f1 , f2 , f3 là ba hàm phân hình trên A(R0 ) và cho a1 , a2 , a3 , a4 là bốn giá trị đôi một phân biệt trong C ∪ {∞}. Giả sử rằng f1 , f2 , f3 có chung ảnh ngược không kể bội, của a1 , a2 , a3 , a4 . Nếu f1 là chấp nhận được và f1 , f2 , f3 có tập đồng nhất đầy đủ với hàm đếm dương thì f1 = f2 hoặc f2 = f3 hoặc f3 = f1 . Từ Định lí 3 có thể suy ra rằng có nhiều nhất là hai hàm phân hình chấp nhận được trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược với bội được ngắt bởi 2, của một giá trị, và có chung ảnh ngược không kể bội, của ba giá trị khác. Đồng thời trong Chương 3, viết dựa trên bài báo [3] (trong Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án), chúng tôi cũng mở rộng và cải tiến được Định lí bốn điểm của Nevanlinna và Fujimoto cho các hàm phân hình chấp nhận được trên một hình vành khuyên. Chúng tôi chứng minh được rằng có nhiều nhất là hai hàm phân hình chấp nhận được trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược với bội được ngắt bởi 2, của một giá trị và có chung ảnh ngược không kể bội, của ba giá trị khác. Hơn nữa, trong kết quả này chúng tôi không cần phải xét đến các ảnh ngược có bội lớn hơn một số nào đó. Cụ thể, chúng tôi chứng minh được kết quả như sau. Định lí 4. Cho f1 , f2 , f3 là ba hàm phân hình trên A(R0 ). Cho a1 , . . . , a4 là bốn giá trị đôi một phân biệt trong C ∪ {∞}. Cho k1 , . . . , k4 là bốn số nguyên dương 14 11 11 11 hoặc +∞ thỏa mãn + + + < 1. Giả sử rằng k1 + 1 k2 + 1 k3 + 1 k4 + 1 0 0 0 (i) min{νf1 −a1 ,≤k1 , 2} = min{νf2 −a1 ,≤k1 , 2} = min{νf3 −a1 ,≤k1 , 2}, 10
0 0 0 (ii) min{νf1 −ai ,≤ki , 1} = min{νf2 −ai ,≤ki , 1} = min{νf3 −ai ,≤ki , 1} với mọi 2 ≤ i ≤ 4. Nếu f1 là chấp nhận được thì f1 = f2 hoặc f2 = f3 hoặc f3 = f1 . Chúng tôi cũng chứng minh được rằng có không quá ba hàm phân hình khác hằng trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược không kể bội, của bốn giá trị. Ngoài ra trong kết quả này chúng tôi không cần phải xét đến các ảnh ngược có bội lớn hơn một số nào đó. Cụ thể, chúng tôi chứng minh được kết quả sau. Định lí 5. Cho f là một hàm phân hình khác hằng trên A(R0 ). Cho a1 , . . . , a4 là bốn giá trị đôi một phân biệt trong C ∪ {∞}. Cho k1 , . . . , k4 là các số nguyên dương hoặc có thể là +∞ thỏa mãn 4 4 25 1 17 1 1 25 + < + , 64 ki 16 ki + 1 32 32k0 i=1 i=1 trong đó k0 = max1≤i≤4 ki . Khi đó V(f, {ai , ki }4 , 1) ≤ 3. i=1 III. Hai hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của một số cặp giá trị Để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi đưa ra định nghĩa sau. Cho f và g là hai hàm phân hình trên miền D ⊂ C. Cho a và b là hai giá trị trong C ∪ {∞}, l0 và k là các số nguyên dương hoặc +∞. Ta nói rằng f và g có chung ảnh ngược với bội được ngắt bởi l0 , không xét đến các ảnh ngược có bội lớn hơn k , của cặp giá trị (a, b) nếu 0 0 min{νf −a,≤k (z), l0 } = min{νg−b,≤k (z), l0 } với mọi z ∈ D. Ta bỏ kí hiệu k hoặc l0 trong công thức này khi chúng bằng là +∞. Đặc biệt: Khi k = +∞, ta nói rằng f và g có chung ảnh ngược với bội được ngắt bởi l0 , của cặp giá trị (a, b). Khi l0 = 1, ta nói rằng f và g có chung ảnh ngược không kể bội, không xét đến các ảnh ngược có bội lớn hơn k , của cặp giá trị (a, b). Khi l0 = 1 và k = +∞, ta nói rằng f và g có chung ảnh ngược không kể bội, của cặp giá trị (a, b). 11
Năm 1997, T. Czubiak và G. Gundersen [6] đã chứng minh được kết quả sau. Định lí (xem Định lí 2.1, [6]).Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên C có chung ảnh ngược không kể bội, của sáu cặp giá trị (a1 , b1 ), . . . , (a6 , b6 ) trong C ∪ {∞}, trong đó ai = aj , bi = bj nếu i = j , tức là 0 0 min νf −ai , 1 = min νg−bi , 1 , 1 ≤ i ≤ 6. Khi đó f là một biến đổi M¨bius của g . o Sau đó bài toán chung ảnh ngược của các cặp giá trị cho các hàm phân hình đã được nhiều tác giả nghiên cứu. Trong trường hợp hàm phân hình trên C, kết quả trên của Czubiak và Gundersen đã được mở rộng bởi một số tác giả khi các cặp giá trị được thay thế bởi các cặp hàm nhỏ (xem [3, 12, 13, 20] và [22]). Chẳng hạn, năm 2014 S. Đ. Quang và L. N. Quỳnh ([22]) đã chứng minh rằng hai hàm phân hình trên C phải liên kết với nhau bởi một phép biến đổi tựa M¨bius nếu chúng có chung ảnh ngược không kể bội, của một cặp hàm nhỏ và o có chung ảnh ngược với bội được ngắt bởi 2, của bốn cặp hàm nhỏ khác. Đồng thời Quang và Quỳnh ([22]) cũng chứng minh rằng hai hàm phân hình trên C phải liên kết với nhau bởi một phép biến đổi tựa M¨bius nếu chúng có chung o ảnh ngược không kể bội, của q (q ≥ 6) cặp hàm nhỏ. Tuy nhiên, theo chúng tôi biết thì vẫn chưa có định lí như vậy đối với trường hợp các hàm phân hình trên một miền nhị liên có chung ảnh ngược của các cặp giá trị. Do vậy, trong luận án này chúng tôi đặt vấn đề nghiên cứu trường hợp các hàm phân hình chấp nhận được trên một hình vành khuyên, có chung ảnh ngược của các cặp giá trị. Trong Chương 4 của luận án này, viết dựa trên bài báo [4] (trong Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án), chúng tôi chứng minh rằng hai hàm phân hình chấp nhận được trên một hình vành khuyên, có chung ảnh ngược không kể bội, của q (q ≥ 6) cặp giá trị thì liên kết với nhau bởi một phép biến đổi M¨bius. Ngoài ra, trong kết quả này chúng tôi không cần phải xét đến o các ảnh ngược có bội lớn hơn một số nào đó. Cụ thể, chúng tôi chứng minh được kết quả sau đây. Định lí 6. Cho f và g là hai hàm phân hình chấp nhận được trên A(R0 ). Cho (a1 , b1 ), . . . , (aq , bq ) (q ≥ 6) là q cặp giá trị trong C ∪ {∞}, trong đó ai = aj , bi = bj nếu i = j . Cho ki (i = 1, ..., q) là q số nguyên dương hoặc +∞ với k1 ≥ k2 ≥ · · · ≥ kq 12