Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ và ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:128

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của Luận án là nghiên cứu tính ổn định của một số lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mô hình mạng nơron. Cụ thể hơn, chúng tôi phát triển các kĩ thuật và phương pháp nghiên cứu để tìm các điều kiện ổn định đối với mô hình mạng nơron Hopfield có trễ dưới ảnh hưởng của một số dạng hiệu ứng xung trạng thái; sự tồn tại duy nhất của điểm cân bằng dương ổn định mũ của lớp mạng INNs và mạng BAM có trễ biến thiên. các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ ĐÀO HẢI AN TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI-2019
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ ĐÀO HẢI AN TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 9 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học: 1. PGS.TS LÊ VĂN HIỆN 2. TS. TRẦN THỊ LOAN HÀ NỘI-2019
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Văn Hiện và TS. Trần Thị Loan. Các kết quả được phát biểu trong luận án là trung thực, đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khi đưa vào luận án và chưa từng được công bố trong công trình luận văn, luận án nào khác. Nghiên cứu sinh Lê Đào Hải An 1
LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành tại Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Văn Hiện và TS Trần Thị Loan. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy, Cô, đặc biệt là PGS.TS Lê Văn Hiện, người đã có những định hướng đúng đắn, chỉ dẫn sát sao và đầy trách nhiệm cho tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án. Ngoài những chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên và lòng tin tưởng của Thầy, Cô dành cho tác giả là nguồn động lực vô cùng lớn lao đem lại niềm say mê, giúp tác giả vượt qua những khó khăn trong nghiên cứu. Tác giả xin trân trọng cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, Ban Chủ nhiệm khoa Toán-Tin, trường Đại học Sư phạm Hà Nội và các thầy giáo, cô giáo của bộ môn Giải tích đã luôn giúp đỡ, động viên, tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các bạn nghiên cứu sinh và các thành viên trong Xemina Phương trình vi phân và tích phân của bộ môn Giải tích đã quan tâm, trao đổi và góp ý cho tác giả trong quá trình học tập và làm luận án. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Hàng hải Việt Nam, các thầy giáo, cô giáo và các đồng nghiệp tại bộ môn Toán, khoa Cơ sở-Cơ bản, trường Đại học Hàng hải Việt Nam đã luôn tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Sau cùng, tác giả xin dành lời tri ân gia đình, những người luôn yêu thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án. Tác giả 2
MỤC LỤC Trang Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.1. Mô hình động lực của mạng nơron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2. Cơ sở toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.2.1. Hệ phương trình vi phân có trễ và tính ổn định Lyapunov . 27 1.2.2. Hệ phương trình vi phân hàm chứa xung . . . . . . . . . . . 29 1.2.3. Hệ dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.2.4. Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN MÔ TẢ MẠNG NƠRON HOPFIELD CÓ TRỄ VỚI XUNG BIẾN THIÊN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1. Ví dụ mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2. Mô hình mạng nơron Hopfield không ô-tô-nôm chứa trễ và xung bất ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3. Điều kiện ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.1. Kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3.2. Một số kết quả áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3
2.3.3. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.4. Ổn định hóa dạng mũ mạng nơron Hopfield chứa trễ tỉ lệ với hiệu ứng xung phân phối kiểu tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.4.1. Tính ổn định mũ suy rộng của hệ đóng (2.35) . . . . . . . . . 57 2.4.2. Điều kiện ổn định hóa dạng mũ suy rộng hệ (2.32) . . . . . . 64 2.4.3. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.5. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3. NGHIỆM DƯƠNG VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA ĐIỂM CÂN BẰNG ĐỐI VỚI MÔ HÌNH MẠNG NƠRON QUÁN TÍNH ĐA TRỄ BIẾN THIÊN 71 3.1. Thiết lập sơ bộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.1.1. Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.1.2. Nghiệm dương và điểm cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.2. Tính dương của mạng nơron quán tính có trễ . . . . . . . . . . . . 75 3.3. Sự tồn tại của điểm cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.4. Tính ổn định mũ của điểm cân bằng dương . . . . . . . . . . . . . . 81 3.5. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.6. Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA LỚP HỆ DƯƠNG PHI TUYẾN TRONG MÔ HÌNH MẠNG BAM ĐA TRỄ BIẾN THIÊN . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.1. Mô tả mô hình và phân tích sơ bộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.1.1. Sự tồn tại duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.1.2. Nghiệm dương và điểm cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.2. Nghiệm dương của mô hình mạng BAM với trễ biến thiên . . . . . 95 4.3. Sự tồn tại của điểm cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4
4.4. Tính ổn định mũ của điểm cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.5. Mạng nơron BAM dương với đa trễ tỉ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.6. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.7. Kết luận chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Danh mục công trình công bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5
KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN [n] tập hợp n số nguyên dương đầu tiên {1, 2, . . . , n} N tập các số tự nhiên khác không, N0 = N ∪ {0} Rn không gian Euclide n chiều Rn+ nón dương {x ∈ Rn : x 0} kxk∞ maxi∈[n] |xi |, chuẩn max của vectơ x = (xi ) ∈ Rn |x| (|xi |) ∈ Rn+ với x = (xi ) ∈ Rn Rm×n tập hợp các ma trận cỡ m × n A⊤ ma trận chuyển vị của ma trận A A>0 ma trận A xác định dương, tức là x⊤ Ax > 0, ∀x 6= 0 Sn+ tập các ma trận đối xứng xác định dương trong Rn×n sym(A) A + A⊤ với A ∈ Rn×n En ma trận đơn vị cấp n diag{d1 , . . . , dn } ma trận chéo của các phần tử d1 , d2 , . . . , dn A0 ma trận không âm, tức là [A]ij ≥ 0 với mọi i, j A≻0 ma trận dương, tức là [A]ij > 0 với mọi i, j xy xi ≥ yi , ∀i ∈ [n], với x = (xi ) ∈ Rn và y = (yi ) ∈ Rn ξ + (t.ư. ξ+ ) maxi∈[n] ξi (t.ư. mini∈[n] ξi ) với ξ ∈ Rn , ξ ≻ 0 σ(A) tập hợp các giá trị riêng của ma trận A ρ(A) max{|λ| : λ ∈ σ(A)}, bán kính phổ của A λmax (A), λmin (A) max{Reλ : λ ∈ σ(A)}, min{Reλ : λ ∈ σ(A)} C([a, b], Rn ) tập các hàm giá trị trong Rn liên tục trên [a, b] xi (tk − 0) (t.ư. xi (tk + 0)) limǫ↓0 xi (tk − ǫ) (t.ư. limǫ↓0 xi (tk + ǫ)) D + v(t) đạo hàm Dini trên bên phải lim suph→0+ v(t+h)−v(t) h . 6
THUẬT NGỮ VIẾT TẮT NNs mạng nơron (neural networks) RNNs mạng nơron hồi quy (recurrent neural networks) GAS ổn định tiệm cận toàn cục (globally asymptotically stable) GES ổn định mũ toàn cục (globally exponentially stable) GGES ổn định mũ suy rộng (generalized globally exponentially stable) UGAS ổn định tiệm cận toàn cục đều (uniformly globally asymptotically stable) LMIs bất đẳng thức ma trận tuyến tính (linear matrix inequalities) LKF phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii LP quy hoạch tuyến tính (linear programming) HNNs mạng nơron Hopfield CGNNs mạng nơron Cohen-Grossberg INNs mạng nơron quán tính (inertial neural networks) BAM bộ nhớ hai chiều kết hợp (bidirectional associative memory) 7
MỞ ĐẦU 1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài Lý thuyết ổn định là một bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính các phương trình vi phân. Được nghiên cứu một cách có hệ thống từ những công trình đầu tiên của A.M. Lyapunov [63] vào cuối thế kỉ XIX, trải qua lịch sử hơn 100 năm, đến nay lý thuyết này vẫn đang là chủ đề rất được quan tâm nghiên cứu bởi những ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như cơ học, vật lý, hóa học, sinh thái học hay trí tuệ nhân tạo [1, 2, 54]. Nhiều mô hình trong thực tiễn ứng dụng, từ kinh tế, môi trường đến các mô hình sinh thái học, vật lý, hóa học, cơ học, điều khiển tự động được mô tả bởi các phương trình vi phân có trễ [20, 40, 45, 76]. Trong điều khiển kĩ thuật, các trạng thái trễ xuất hiện một cách tự nhiên trong quá trình truyền tải dữ liệu cũng như do các hạn chế về mặt công nghệ và thiết bị (băng thông hẹp hay dung lượng tín hiệu đo quá lớn). Sự xuất hiện của các độ trễ làm thay đổi dáng điệu nghiệm của hệ cũng như ảnh hưởng đến tính ổn định của hệ, một đặc tính quan trọng có tính phổ dụng của các mô hình ứng dụng [25, 74, 88]. Bên cạnh đó, do cấu trúc vô hạn chiều của không gian pha, việc nghiên cứu định tính các hệ có trễ trở nên khó khăn và phức tạp hơn nhiều so với các hệ phương trình vi phân thường tương ứng. Vì vậy, chủ đề nghiên cứu về tính ổn định và ứng dụng trong các mô hình điều khiển các hệ phương trình vi phân có trễ đã và đang là vấn đề nghiên cứu thu hút sự quan tâm của giới toán học và kỹ sư trong vài thập kỉ gần đây. Nhiều kết quả nghiên cứu lý thuyết và ứng dụng về tính ổn định và ổn định hóa của các hệ phương trình vi phân có trễ đã được công bố [4, 26, 33, 37, 50, 51, 69, 73, 103]. 8
Với các hệ có cấu trúc đơn giản như lớp hệ tuyến tính với ma trận hằng số (hệ ô-tô-nôm) hay hệ có trễ hằng số, phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii (LKF) và cách tiếp cận bằng LMIs [12] là một công cụ hiệu quả để nghiên cứu tính ổn định [37, 73]. Tuy nhiên, với các hệ có trễ phi tuyến hay hệ tuyến tính với ma trận hệ số phụ thuộc thời gian, cách tiếp cận này thường không hiệu quả. Một cách tiếp cận khác đã và đang được nhiều tác giả khai thác là sử dụng các kĩ thuật so sánh dựa trên các bất đẳng thức vi-tích phân [34, 49]. Khái niệm mạng nơron (neural networks) xuất hiện khá sớm, vào khoảng cuối thập niên 1800, khi các nhà khoa học muốn tìm hiểu chức năng ý thức não bộ của loài người với mong muốn có thể thiết kế các máy tính hoạt động giống chức năng não bộ, có khả năng học thông qua cơ sở dữ liệu, lưu trữ kinh nghiệm và sử dụng trong những tình huống phù hợp. Ngày nay, khái niệm mạng nơron nhân tạo (artificial neural networks) đã được biết đến một cách rộng rãi trong nhiều ứng dụng công nghệ, đặc biệt trong lĩnh vực trí tuệ nhân tạo [18,27]. Một số dấu mốc về lĩnh vực nghiên cứu này có thể kể đến như • Năm 1890, mở đầu là một nghiên cứu của William về tâm lý học với sự liên kết các nơron thần kinh. • Năm 1943, lần đầu tiên mạng nơron nhân tạo được biết đến khi nhà thần kinh học Warren McCulloch và nhà toán học Walter Pitts công bố bài báo mô tả cách thức hoạt động của các nơron và tiến hành xây dựng một mạng nơron đơn giản bằng các mạch điện. Các nơron được xem như các thiết bị nhị phân với ngưỡng cố định. Kết quả của mô hình này là các hàm logic đơn giản như “a or b” hay “a and b”. Họ chỉ ra rằng về nguyên tắc mạng nơron nhân tạo có thể tính toán bất kỳ một hàm số học hay logic nào. • Năm 1949, Donald Hebb là người đầu tiên nêu lý thuyết giải thích cơ chế vật chất của trí nhớ được gọi là Nguyên lý Hebb [29] và nêu ra một phương pháp học của các nơron nhân tạo. • Thập niên 1960, gần như đồng thời, một loạt mô hình mạng nơron hoàn 9
hảo hơn được đưa ra như: Perceptron của Rosenblatt, phần tử nơron tuyến tính thích nghi Adaline (Adaptive Linear Elements) của Windrow, ma trận học của Steinbuck. Perceptron rất được chú trọng vì nguyên lý giản đơn nhưng nó cũng có nhiều hạn chế vì như Minsky và Papert đã chứng minh nó không dùng được cho các hàm logic phức. Bản chất của Adaline là tuyến tính, tự chỉnh và được dùng rộng rãi cho những bài toán tự thích nghi, tách nhiễu và vẫn phát triển cho đến ngày nay. • Những năm đầu thập niên 1980, sinh học thần kinh và tâm lý học thực nghiệm bắt đầu phát triển rất nhanh với những tiến bộ vượt bậc cùng với sự ra đời của những chiếc PC đầu tiên, việc nghiên cứu mạng nơron phát triển rất mạnh mẽ và đã thu được các kết quả quan trọng trong việc mở rộng khả năng nhận biết và đã có thích ứng trong việc ứng dụng vào công nghệ máy tính. Nhiều nhà thiết kế máy tính thông minh đã mượn các ý tưởng từ những kết quả thực nghiệm trong những nghiên cứu về bộ não và tạo ra được các loại máy có chức năng giống như não bộ với các chi tiết giống các nơron hoặc tập hợp các nơron và các kết nối giữa các chi tiết này giống như các synap của các nơron. Ngày nay, lĩnh vực này phát triển rất sâu rộng và có tác động lẫn nhau rất phức tạp nên việc tìm ra một phương thức tổ chức chung cũng như những phát hiện về số lượng và mô hình toán học là một tất yếu được đặt ra. Những đóng góp to lớn cho các mô hình mạng nơron ở giai đoạn này phải kể đến Grossberg, Kohonen, Rumelhart và John Hopfield. Đặc biệt, khi nghiên cứu mạng nơron cùng với sự phát triển về lý thuyết động lực học trong các mô hình toán học đã tìm thấy rất nhiều ứng dụng thành công trong các lĩnh vực khác nhau. Năm 1982, John Hopfield tập hợp một số nghiên cứu trước đó và trình bày phân tích toán học hoàn chỉnh cho ra đời mạng Hopfield rời rạc [38] và mạng Hopfield liên tục năm 1984 [39]. • Từ 1990 đến nay, hàng loạt các lĩnh vực như điện toán đám mây, tính toán tối ưu, ứng dụng mạng nơron trong tin học, viễn thông, sinh-y-học, dự báo, 10
thống kê v.v đã đi vào áp dụng và đem lại nhiều kết quả có giá trị. • Vào năm 2011, khởi nguồn từ một dự án trong chiến lược công nghệ cao của chính phủ Đức nhằm mục đích thúc đẩy việc điện toán hóa sản xuất mà không cần sự tham gia của con người đã đánh dấu thế giới chính thức bước vào cuộc cách mạng công nghiệp 4.0 (IR4). Vì khả năng học cao cấp, nhớ lại và khái quát hóa từ các mẫu dữ liệu huấn luyện (neural training), ngày nay mạng nơron nhân tạo đã trở thành hướng nghiên cứu quan trọng trong lĩnh vực trí tuệ nhân tạo, là một trong các yếu tố chính thúc đẩy cuộc cách mạng số để chuyển hóa toàn bộ thế giới thực thành thế giới số mà “Cuộc cách mạng công nghiệp 4.0” đang hướng tới. Các mô hình toán học đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong việc mô tả, phân tích và giải thích các mô hình thực tiễn. Trong việc mô hình hóa toán học, các mạng nơron được mô tả bằng các phương trình toán học, hay còn gọi là các phương trình trạng thái, thông qua các hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ [89]. Có nhiều mô hình phương trình trạng thái của các mạng nơron, trong đó mô hình Hopfield (HNNs), Cohen-Grossberg (CGNNs), mạng nơron quán tính INNs và mạng nơron bộ nhớ hai chiều kết hợp BAM được nghiên cứu rộng rãi hơn do cấu trúc đặc thù và khả năng ứng dụng trong thực tiễn [16]. Mặc dù rất nhiều kết quả nghiên cứu, cả lý thuyết và ứng dụng, về các mô hình mạng nơron đã được công bố trong khoảng hai thập kỉ gần đây, lĩnh vực nghiên cứu định tính về dáng điệu nghiệm nói chung, tính ổn định nói riêng, đối với các hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ mô tả các mạng nơron trong thực tiễn và trí tuệ nhân tạo, vẫn đang là mối quan tâm rất lớn của giới toán học và kỹ sư. Nhiều vấn đề mở vẫn đang được tiếp tục nghiên cứu và phát triển, nhất là với các mô hình có cấu trúc tổng quát hơn và sát với thực tiễn hơn. Việc phát triển nghiên cứu định tính đối với các lớp hệ như thế gặp nhiều khó khăn bởi những hạn chế về mặt kĩ thuật và cách tiếp cận hiện có. Đây cũng là lí do và là động lực chính chúng tôi chọn chủ đề nghiên về tính ổn định và ổn định hóa 11
của các hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong một số mô hình mạng nơron trong luận án này. 2. Mục đích, đối tượng và nội dung nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận án là nghiên cứu tính ổn định của một số lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mô hình mạng nơron. Cụ thể hơn, chúng tôi phát triển các kĩ thuật và phương pháp nghiên cứu để tìm các điều kiện ổn định đối với mô hình mạng nơron Hopfield có trễ dưới ảnh hưởng của một số dạng hiệu ứng xung trạng thái; sự tồn tại duy nhất của điểm cân bằng dương ổn định mũ của lớp mạng INNs và mạng BAM có trễ biến thiên. 2.2. Đối tượng nghiên cứu Luận án nghiên cứu tính ổn định và một số vấn đề liên quan đối với bốn lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ sau đây: 1. Mô hình mạng nơron Hopfield chứa trễ bị chặn với hệ số biến thiên dưới ảnh hưởng của xung bất ổn định n X x′i (t) = −di (t)xi (t) + aij (t)fj (xj (t)) j=1 n X + bij (t)gj (xj (t − τij (t))) + Ii (t), t > 0, t 6= tk , j=1 ∆xi (tk ) , xi (t+ − − k ) − xi (tk ) = −σik xi (tk ), k ∈ N. 2. Mạng nơron Hopfield chứa trễ tỉ lệ với tác động của xung phân phối kiểu tuần hoàn n X n X x′i (t) = −di xi (t) + aij fj (xj (t)) + bij gj (xj (qt)) + ui (t), t 6= tk , j=1 j=1 ∆xi (tk ) = −σik xi (t− k ), k ∈ N. 12
3. Nghiệm dương và sự tồn tại điểm cân bằng dương ổn định mũ của mô hình INNs chứa trễ biến thiên X n d2 xi (t) dxi (t) = − ai − bi xi (t) + cij fj (xj (t)) dt2 dt j=1 n X + dij fj (xj (t − τj (t))) + Ii , t ≥ 0, i ∈ [n]. j=1 4. Tính ổn định của điểm cân bằng dương của mô hình mạng BAM với trễ biến thiên không đồng nhất m X m X x′i (t) = −αi ϕi (xi (t)) + aij fj (yj (t)) + bij fj (yj (t − σj (t))) + Ii , i ∈ [n], j=1 j=1 Xn Xn yj′ (t) = −βj ψj (yj (t)) + cji gi (xi (t)) + dji gi (xi (t − τi (t))) + Jj , j ∈ [m]. i=1 i=1 2.3. Nội dung nghiên cứu Luận án nghiên cứu các nội dung sau Nội dung 1: Tính ổn định mũ toàn cục của mạng nơron Hopfield không ô-tô- nôm chứa trễ biến thiên không đồng nhất dưới tác động của xung bất ổn định Mô hình mạng nơron Hopfield [38] và các biến thể của nó đã và đang là chủ đề nghiên cứu thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều tác giả trong và ngoài nước trong hơn hai thập kỉ gần đây bởi các ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như xử lí tín hiệu số và hình ảnh, nhận dạng mẫu, bộ nhớ liên kết, ước lượng tham số và đặc biệt là trong lĩnh vực trí tuệ nhân tạo [18,21,95]. Trong các ứng dụng như thế, vấn đề vận hành ổn định của mạng là một yếu tố đặc biệt quan trọng. Chính vì vậy, tính ổn định là một trong các vấn đề nghiên cứu trọng tâm của lý thuyết định tính các mô hình mạng nơron [101]. Mặt khác, trong các mô hình mạng nơron, các trạng thái trễ xuất hiện một cách tự nhiên và phổ biến do nhiều nguyên nhân kĩ thuật như sự hạn chế của băng thông các kênh kết nối cũng như cấu trúc phân tầng của mạng. Sự xuất 13
hiện của các độ trễ là nguyên nhân dẫn đến dáng điệu phức tạp, hiệu suất hoạt động kém, thậm chí làm mất tính ổn định của hệ [10, 86]. Hơn nữa, các độ trễ truyền tải trong một mạng nơron thường phụ thuộc thời gian (trễ biến thiên) và không đồng nhất, tức là các độ trễ truyền tải từ nơron thứ ith đến nơron thứ j th trong mạng và ngược lại nói chung là khác nhau. Do đó, nghiên cứu tính ổn định của mạng nơron với trễ biến thiên không đồng nhất là vấn đề cần thiết đối với bài toán phân tích và thiết kế mạng nơron nhân tạo. Nhiều kết quả nghiên cứu về các khía cạnh khác nhau của tính ổn định của một số mô hình mạng nơron có trễ và các suy rộng của chúng đã được công bố trong những năm gần đây. Để liệt kê một số kết quả chúng tôi chỉ dẫn độc giả đến một số bài báo [7, 14, 30, 32, 35, 52, 84, 102] và các tài liệu trích dẫn tại đó. Bên cạnh sự ảnh hưởng của trễ, trạng thái của nhiều quá trình tự nhiên trong khoa học, kĩ thuật và đời sống thường bị tác động bởi các yếu tố “nhiễu” do các thay đổi đột ngột tại các thời điểm nhất định [90] mà ta gọi là các thời điểm xảy ra xung trạng thái (impulsive instants). Các mô hình như thế thường được mô tả bởi các hệ phương trình vi phân chứa xung [72]. Nghiệm của một phương trình vi phân chứa xung là các quá trình không liên tục do dáng điệu ‘nhảy’ tại các thời điểm xung (nghiệm thường chỉ liên tục từng khúc). Ngoài các đặc tính cấu trúc của hệ, các yếu tố về cường độ (intensity), tức là độ lớn của bước nhảy giá trị tại thời điểm xung, tần suất các thời điểm xung v.v ảnh hưởng rất lớn đến dáng điệu nghiệm của hệ, thậm chí thay đổi hoàn toàn tính chất định tính của nghiệm so với các hệ không có xung tương ứng. Đối với tính ổn định, ảnh hưởng của xung có cả tính tương hỗ (xung tăng cường tính ổn định của hệ) và tính đối kháng (xung làm mất tính ổn định). Trong [61], bằng việc xét cường độ xung là một hằng số (x(tk + 0) = µx(tk − 0)), các tác giả đề xuất khái niệm xung ổn định để chỉ trường hợp cường độ xung có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một (|µ| < 1) và xung bất ổn định ứng với |µ| > 1. Các nghiên cứu về tính ổn định của phương trình vi phân nói chung, các mô hình mạng nơron có trễ nói riêng, chủ yếu đề cập đến ảnh hưởng của xung ổn định [5, 59, 77, 85, 94, 99]. Trong bài 14
báo [61], dựa trên cách tiếp cận kiểu tần số xung trung bình, các tác giả đưa ra một tiêu chuẩn thống nhất đảm bảo tính đồng bộ của mô hình mạng với liên kết tuyến tính cho cả xung ổn định và bất ổn định. Ý tưởng trong [61] sau đó được một số tác giả phát triển cho một số mô hình mạng và mạng nơron [58, 98, 100]. Các công trình đã công bố liên quan đến tính ổn định của mạng nơron chứa xung chủ yếu đề cập đến các mô hình với trọng số kết nối là hằng số và hàm kích hoạt không phụ thuộc tường minh vào thời gian (mô hình ô-tô-nôm). Rất ít công trình xét đến tính ổn định của mạng nơron không ô-tô-nôm với trễ biến thiên không đồng nhất và hiệu ứng xung [60, 90]. Nói riêng, trong [60], một số điều kiện đủ đảm bảo tính ổn định mũ của một lớp mạng nơron không ô-tô-nôm với trễ biến thiên dưới ảnh hưởng của xung đã được đề xuất. Cách tiếp cận trong [60] là thiết lập các điều kiện ổn định mũ của mô hình không chứa xung và áp đặt các ràng buộc trên cường độ xung để thu được tính ổn định của hệ chứa xung tương ứng. Cách tiếp cận này đưa đến các điều kiện rất chặt, đồng thời rất khó phát triển cho các mô hình chứa xung biến thiên bất ổn định. Trong bài báo [CT1] ở Danh mục công trình công bố của luận án, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định mũ của một lớp mạng nơron không ô-tô-nôm với trễ biến thiên không đồng nhất dưới tác động của xung bất ổn định. Nội dung này được trình bày trong Chương 2 của luận án. Cụ thể, chúng tôi xét mô hình mạng nơron Hopfield không ô-tô-nôm dạng sau đây n X x′i (t) = −di (t)xi (t) + aij (t)fj (xj (t)) j=1 n X (1) + bij (t)gj (xj (t − τij (t))) + Ii (t), t > 0, t 6= tk , j=1 ∆xi (tk ) , xi (t+ − − k ) − xi (tk ) = −σik xi (tk ), k ∈ N. Dựa trên việc phát triển một số kĩ thuật so sánh bằng các bất đẳng thức vi phân, chúng tôi thiết lập các điều kiện thông qua tính chất của M-ma trận đảm bảo tính ổn định mũ toàn cục của hệ (1). 15
Nội dung 2: Ổn định hóa dạng mũ mạng nơron Hopfield chứa trễ tỉ lệ với hiệu ứng xung phân phối kiểu tuần hoàn Trễ tỉ lệ là một loại trễ đặc biệt trong lớp trễ biến thiên không bị chặn, được sử dụng nhiều trong việc mô hình hóa các hệ động lực học trong lĩnh vực điều khiển hệ thống có cấu trúc mạng [48, 66, 91]. Do cấu trúc nhiều tầng (multi-layers), quá trình xử lí và truyền tín hiệu giữa các tầng thường được mô tả bằng các tín hiệu trễ mà thời gian trễ được tỉ lệ với thời gian hiện tại. Cụ thể hơn, khi một mạng nơron với trễ tỉ lệ được sử dụng để mô tả một mô hình ứng dụng nào đó, động lực của hệ tại thời điểm t được xác định bởi trạng thái x(t) và x(qt), ở đó 0 < q < 1 là hằng số diễn tả tỉ số thời gian giữa trạng thái hiện tại và trạng thái quá khứ. Vì qt = t − τ (t) với τ (t) = (1 − q)t → ∞ khi t → ∞, hàm trễ τ (t) xác định bởi hằng số q được gọi là trễ tỉ lệ. Gần đây, các mô hình mạng nơron với trễ tỉ lệ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu rất lớn của các tác giả trong và ngoài nước. Chúng tôi chỉ dẫn độc giả đến một số công bố gần đây [36, 41, 43, 55, 56, 78, 104–107, 109] và các trích dẫn trong đó. Bên cạnh khó khăn cơ bản về tính biến thiên, không bị chặn, vấn đề nghiên cứu định tính các hệ có trễ tỉ lệ thường khó xử lí hơn các lớp trễ khác rất nhiều bởi các cách tiếp cận truyền thống như phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii và các biến thể không áp dụng được. Với mô hình ô-tô-nôm không có xung, cách tiếp cận phổ biến là sử dụng phương pháp đổi biến kết hợp với phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii [104, 107] và cách tiếp cận bằng LMIs. Tuy nhiên, phương pháp này rất khó áp dụng (với điều chỉnh nhất định) cho hệ nơron không ô-tô- nôm với trễ tỉ lệ dưới ảnh hưởng của nhiễu xung trạng thái. Trong [3] và [35,36], một số kĩ thuật so sánh đã được các tác giả phát triển để nghiên cứu tính ổn định trong thời gian hữu hạn và nghiên cứu tính tiêu hao của một số lớp mạng nơron Hopfield không ô-tô-nôm với trễ tỉ lệ. Sự ảnh hưởng của xung trạng thái lên dáng điệu nghiệm của hệ chưa được nghiên cứu trong các công trình nói trên. Nói cách khác, vấn đề nghiên cứu tính ổn định của mạng nơron với trễ tỉ 16
lệ dưới ảnh hưởng của xung, đặc biệt là xung không đồng nhất, đòi hỏi phải phát triển các công cụ và kĩ thuật đặc thù. Vì lí do này, cho đến nay rất ít kết quả nghiên cứu về chủ đề này được công bố. Tính ổn định tiệm cận của mạng nơron Hopfield ô-tô-nôm có xung với trễ tỉ lệ được nghiên cứu trong [92]. Dựa trên phương pháp đổi biến [105] và khái niệm ‘độ đo của hàm phi tuyến’ kết hợp với đánh giá bằng bất đẳng thức Halanay, các điều kiện đủ được đưa ra để đảm bảo sự tồn tại duy nhất của một điểm cân bằng ổn định tiệm cận. Sử dụng định lí điểm bất động cho ánh xạ co, tính ổn định mũ suy rộng (ước lượng kiểu lũy thừa đối với nghiệm) được nghiên cứu cho mô hình mạng nơron có xung và đa trễ tỉ lệ trong [108]. Tuy nhiên, kết quả của [92, 108] chỉ áp dụng được cho mô hình chứa xung ổn định. Tính ổn định và áp dụng cho bài toán ổn định hóa đối với các mô hình mạng nơron có trễ tỉ lệ dưới tác động đồng thời của xung ổn định và xung bất ổn định vẫn là một vấn đề còn bỏ ngỏ. Trong bài báo [CT2] của Danh mục công bố của luận án, chúng tôi nghiên cứu bài toán ổn định hóa mạng nơron Hopfield chứa trễ tỉ lệ n X n X x′i (t) = −di xi (t) + aij fj (xj (t)) + bij gj (xj (qt)) + ui (t), t0 ≤ t 6= tk , j=1 j=1 (2) ∆xi (tk ) = xi (t+ − − k ) − xi (tk ) = −σik xi (tk ), dưới tác động đồng thời của xung ổn định và xung bất ổn định. Một luật điều khiển phản hồi trạng thái dạng ui (t) = −ki xi (t), i ∈ [n], ở đó các hệ số phản hồi ki , i ∈ [n], giới hạn trong một khoảng xác định cho trước. Dựa trên lý thuyết M-ma trận và việc phát triển một số kĩ thuật so sánh mới, chúng tôi đưa ra các điều kiện ổn định dạng mũ suy rộng đối với hệ (2). Nội dung này được trình bày trong phần sau của Chương 2 của luận án. Nội dung 3: Nghiệm dương và tính ổn định mũ của điểm cân bằng dương đối với mô hình mạng nơron quán tính đa trễ biến thiên Khác với các mô hình mạng nơron cổ điển, ở đó động lực của hệ xác định bởi các đạo hàm cấp một của trạng thái, mạng nơron quán tính [87] được mô 17
tả bởi các hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp hai chứa các số hạng kiểu d2 xi (t) dxi (t) + ai + bi xi (t) dt2 dt mà ở đó số hạng chứa đạo hàm cấp một của trạng thái thể hiện “quán tính” của hệ. Khái niệm này có nguồn gốc từ các bài toán trong mô hình dao động cơ học. Việc đưa các số hạng quán tính vào mô hình mạng nơron có nền tảng kĩ thuật và sinh học [9, 44]. Mặt khác, các số hạng quán tính cũng gây ra nhiều khó khăn cho bài toán phân tích dáng điệu tiệm cận các mô hình INNs có trễ. Chính vì vậy, vấn đề này đã và đang là chủ đề thu hút sự quan tâm lớn của cộng đồng các nhà nghiên cứu trong và ngoài nước trong vài năm gần đây. Chẳng hạn, dựa trên một số ước lượng chuẩn ma trận, các bất đẳng thức Halanay suy rộng và các hàm kiểu Lyapunov, tính tiêu hao và sự hội tụ toàn cục của nghiệm đã được các tác giả nghiên cứu trong [80, 81, 83, 102] đối với một số mô hình mạng nơron quán tính với trễ biến thiên. Sự tồn tại duy nhất và tính ổn định toàn cục của điểm cân bằng đối với một số lớp INNs cũng đã được nghiên cứu trong [19,42,97]. Trong [82,84], tính ổn định theo nghĩa Lagrange (kiểu ổn định đầu vào-đầu ra) cũng được nghiên cứu cho INNs có trễ dựa trên phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii và cách tiếp cận bằng LMIs. Các hệ dương (positive systems) [13] nói chung, mạng nơron dương (PNNs) nói riêng được sử dụng để mô tả động lực của rất nhiều lớp hệ trong tự nhiên và kĩ thuật mà ở đó các biến trạng thái luôn không âm do các đặc tính tự nhiên của chúng [75]. Chẳng hạn, khi các mạng nơron được thiết kế với mục đích nhận dạng [67] hay điều khiển [64] các hệ dương, các trạng thái của mạng kế thừa tính dương của hệ và do đó mạng nơron được thiết kế là một mạng nơron dương. Cho đến nay mới chỉ có rất ít kết quả nghiên cứu về tính ổn định của mạng nơron dương có trễ được công bố [57,62]. Gần đây, trong [31], dựa trên lý thuyết M-ma trận và cách tiếp cận bằng các điều kiện quy hoạch tuyến tính (LP), các điều kiện đủ được đưa ra đảm bảo tính dương và sự tồn tại duy nhất điểm cân bằng dương ổn định của mạng nơron Hopfield có trễ biến thiên. Các kết quả 18