Luận án Tiến sĩ Toán học: Ứng dụng phương pháp điểm bất động trong sự tồn tại nghiệm của phương trình

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:136

Thêm vào BST

Báo xấu

153
lượt xem 22
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án Tiến sĩ Toán học: Ứng dụng phương pháp điểm bất động trong sự tồn tại nghiệm của phương trình bao gồm những nội dung về ứng dụng định lý kiểu Krasnosel’skii vào phương trình tích phân; ứng dụng định lý kiểu Leray Schauder và nguyên lý ánh xạ co vào phương trình vi phân hàm cấp hai có chậm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Ứng dụng phương pháp điểm bất động trong sự tồn tại nghiệm của phương trình

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH ------------------------- LEÂ THÒ PHÖÔNG NGOÏC ÖÙNG DUÏNG PHÖÔNG PHAÙP ÑIEÅM BAÁT ÑOÄNG TRONG SÖÏ TOÀN TAÏI NGHIEÄM CUÛA PHÖÔNG TRÌNH Chuyeân ngaønh: TOAÙN GIAÛI TÍCH Maõ soá : 1. 01. 01 LUAÄN AÙN TIEÁN SÓ TOAÙN HOÏC NGÖÔØI HÖÔÙNG DAÃN KHOA HOÏC: PGS. TS. LEÂ HOAØN HOAÙ THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH - 2007
LÔØI CAM ÑOAN Toâi xin cam ñoan ñaây laø coâng trình nghieân cöùu cuûa toâi. Caùc keát quaû vaø soá lieäu trong luaän aùn laø trung thöïc vaø chöa töøng ñöôïc ai coâng boá trong baát kyø moät coâng trình naøo khaùc. Taùc giaû luaän aùn Leâ Thò Phöông Ngoïc
LÔØI CAÙM ÔN Toâi voâ cuøng bieát ôn PGS. TS. Leâ Hoaøn Hoaù, Khoa Toaùn - Tin hoïc, Tröôøng Ñaïi hoïc Sö phaïm Thaønh phoá Hoà Chí Minh, Thaày ñaõ giaûng daïy, hướng dẫn vaø taän tình giuùp ñôõ toâi veà moïi maët trong hoïc taäp vaø nghieân cöùu khoa hoïc. Thaày thaät söï laø Ngöôøi Cha nghieâm khaéc cuûa toâi trong vieäc chæ baûo vaø reøn luyeän cho toâi nhöõng ñöùc tính caàn coù cuûa ngöôøi laøm khoa hoïc. Toâi bieát ôn saâu saéc TS. Nguyeãn Thaønh Long, Khoa Toaùn - Tin hoïc, Tröôøng Ñaïi hoïc Khoa hoïc Töï nhieân, ÑHQG Tp. HCM, veà söï giuùp ñôõ taän tình vaø söï chæ baûo voâ cuøng quyù baùu cuõng nhö raát nghieâm khaéc cuûa Thaày cho toâi trong nghieân cöùu khoa hoïc. Thaày ñaõ cho toâi cô hoäi ñeå tham gia ñeà taøi nghieân cöùu Khoa hoïc Cô baûn vaø sinh hoaït hoïc thuaät theo caùc höôùng nghieân cöùu maø Thaày ñang chuû trì, taïo ñieàu kieän thuaän lôïi cho toâi hoaøn thaønh toát luaän aùn. Toâi xin pheùp baøy toû loøng bieát ôn saâu saéc ñeán caùc Nhaø Khoa hoïc laø caùc thaønh vieân trong caùc Hoäi ñoàng chaám luaän aùn tieán só caáp Boä moân vaø caáp Nhaø nöôùc, laø caùc chuyeân gia Phaûn bieän ñoäc laäp vaø chính thöùc cuûa luaän aùn, ñaõ cho toâi nhöõng nhaän xeùt, ñaùnh giaù vaø bình luaän quyù baùu cuøng vôùi nhöõng chæ baûo, ñeà nghò quan troïng taïo ñieàu kieän ñeå toâi hoaøn thaønh luaän aùn moät caùch toát nhaát. Toâi kính göûi ñeán Quyù Thaày Coâ trong vaø ngoaøi Tröôøng Ñaïi hoïc Sö phaïm Thaønh phoá Hoà Chí Minh ñoàng kính göûi ñeán Ban Toå chöùc caùc hoäi nghò khoa hoïc veà Toaùn hoïc lôøi caùm ôn traân troïng, trong suoát thôøi gian qua, toâi luoân nhaän ñöôïc söï giuùp ñôõ cuûa Quyù Thaày Coâ trong hoïc taäp, trong nghieân cöùu cuõng nhö cho toâi ñieàu kieän thuaän lôïi ñeå tìm kieám taøi lieäu vaø tham döï caùc hoäi nghò khoa hoïc. Toâi kính göûi ñeán Ban Giaùm hieäu, Ban Chuû nhieäm Khoa Toaùn - Tin hoïc, Boä moân Toaùn Giaûi tích vaø Phoøng Khoa hoïc Coâng ngheä - Sau Ñaïi hoïc cuûa Tröôøng Ñaïi hoïc Sö phaïm Thaønh phoá Hoà Chí Minh, ñaõ giuùp ñôõ toâi raát nhieàu trong quaù trình hoïc taäp vaø baûo veä luaän aùn, nhöõng lôøi caùm ôn chaân thaønh vaø traân troïng. Toâi chaân thaønh vaø traân troïng caùm ôn Quyù Thaày Coâ vaø caùc chuyeân vieân ôû Vuï Ñaïi hoïc vaø Sau Ñaïi hoïc cuûa Boä Giaùo duïc vaø Ñaøo taïo ñaõ taän tình giuùp ñôõ toâi hoaøn taát caùc thuû tuïc quan troïng trong quaù trình baûo veä luaän aùn. Toâi kính göûi ñeán Ban Giaùm hieäu, Ban Chaáp haønh Coâng Ñoaøn Tröôøng, Ban Chuû nhieäm Khoa Töï nhieân vaø caùc Phoøng Ban khaùc cuûa Tröôøng Cao ñaúng Sö phaïm Nha Trang, nôi toâi giaûng daïy, ñaõ taïo nhieàu ñieàu kieän thuaän lôïi veà vaät chaát cuõng nhö tinh thaàn ñeå toâi hoaøn thaønh toát caùc nhieäm vuï cuûa nghieân cöùu sinh, nhöõng lôøi caùm ôn saâu saéc vaø traân troïng. Toâi thaønh thaät caùm ôn caùc Anh Chò ñoàng nghieäp vaø caùc Ngöôøi thaân cuûa toâi ñaõ giuùp ñôõ toâi veà moïi maët. Gia ñình toâi cuõng laø nguoàn ñoäng vieân to lôùn cuûa toâi. Toâi thaät söï kính troïng vaø bieát ôn saâu saéc taát caû nhöõng Ngöôøi ñaõ chæ baûo, quan taâm, ñoäng vieân vaø giuùp ñôõ toâi veà moïi maët. Nghieân cöùu sinh Leâ Thò Phöông Ngoïc
BẢNG CÁC KÝ HIỆU ĐÃ SỬ DỤNG N Tập hợp các số tự nhiên. N∗ Tập hợp các số tự nhiên khác 0. R Tập hợp các số thực. R+ Tập hợp các số thực không âm. Rn Không gian Euclide thực n-chiều. ∂Ω Biên của Ω. Ω Bao đóng của Ω. coM Bao lồi của M . A×B Tích Đềcác của hai tập hợp A và B. (X, |.|n ) Không gian vectơ X với họ nửa chuẩn đếm được |.|n . (X, d) Không gian metric X với metric d. (E, |.|) Không gian Banach E với chuẩn |.|. k · kX Chuẩn trên không gian Banach X. X0 Không gian đối ngẫu của X. C[a, b] Không gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b]. C 1 [a, b] Không gian các hàm số thực khả vi liên tục trên đoạn [a, b]. C 0 (Ω) ≡ C(Ω) Không gian gồm các hàm số u : Ω → R liên tục trên Ω, Ω là tập mở trong Rn . C m (Ω) Không gian các hàm số u ∈ C 0 (Ω) sao cho Dα u ∈ C 0 (Ω), với mọi đa chỉ số α, |α| ≤ m. m C (Ω) Không gian các hàm số u ∈ C m (Ω) sao cho Dα u bị chặn và liên tục đều trên Ω, với mọi đa chỉ số α, |α| ≤ m. C([a, b]; E) Không gian các hàm liên tục u : [a, b] → E. C(R+ ; E) Không gian các hàm liên tục u : R+ → E. f : X → Y, f |A Ánh xạ thu hẹp của ánh xạ f trên tập A ⊂ X. 1 L [a, b] Không gian các hàm số thực x(t) sao cho |x(t)| khả tích Lebesgue trên [a, b]. Lp (0, T ; X), 1 ≤ p ≤ ∞ Không gian các hàm đo được u : (0, T ) → X sao cho R 1/p T p kukLp (0,T ;X) = 0 ku(t)kX dt < ∞ với 1 ≤ p < ∞, kukL∞ (0,T ;X) = ess sup0
1 MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động là một trong những lý thuyết quan trọng của Giải tích, với rất nhiều thành tựu mà nổi bật là các nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), Banach (1922) và Schauder (1930). Nguyên lý điểm bất động Brouwer được Brouwer chứng minh dựa trên lý thuyết bậc tôpô của ánh xạ liên tục trong không gian hữu hạn chiều. Đây cũng là một định lý được xem là thành tựu sớm nhất của tôpô đại số và làm nền móng cho các hướng nghiên cứu tiếp theo của nhiều nhà Toán học, dẫn đến các kết quả cơ bản khác. Định lý điểm bất động Schauder chính là một mở rộng của nguyên lý điểm bất động Brouwer cho không gian vô hạn chiều (áp dụng cho không gian Banach). Một mở rộng khác là định lý Tychonoff (1935, áp dụng cho không gian vectơ tôpô lồi địa phương),v.v. Định lý điểm bất động Brouwer còn được mở rộng cho ánh xạ đa trị bởi các nhà Toán học như Kakutani (1941), Bohnenblust và Karlin (1950), Ky Fan (1960/61). Năm 1929, ba nhà Toán học Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz đã chứng minh một kết quả quan trọng, Bổ đề KKM, đem đến một cách chứng minh đơn giản nguyên lý điểm bất động Brouwer và đặc biệt hơn nữa, bổ đề KKM và nguyên lý điểm bất động Brouwer là hai kết quả tương đương nhau. Từ sự xuất hiện của bổ đề KKM, cùng những kết quả sâu sắc trong các công trình nghiên cứu của Ky Fan làm nền tảng, lý thuyết KKM hình thành, phát triển và được sử dụng rộng rãi như một công cụ hữu ích cho lý thuyết điểm bất động của ánh xạ đa trị, lý thuyết biến phân, toán kinh tế, v.v. Với việc chỉ ra tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ và thiết lập được một dãy lặp hội tụ về điểm bất động đó, nguyên lý điểm bất động Banach cùng các hệ quả và các mở rộng của nó đã được vận dụng rất phổ biến và thành công trong chứng minh tồn tại duy nhất nghiệm và tính xấp xỉ nghiệm của các bài toán thuộc nhiều lĩnh vực của giải tích. Trên cơ sở nghiên cứu ứng dụng của các định lý điểm bất động và tìm cách mở rộng chúng để giải các bài toán trong các lớp không gian khác nhau, lý thuyết điểm bất động được phát triển không ngừng thành một lý thuyết đa dạng, phong phú bao gồm nhiều định lý điểm bất động của các ánh xạ như ánh xạ co, nén, ánh xạ không giãn, ánh xạ tăng, v.v., cùng nhiều mở rộng
2 của các nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ đa trị, trong mối liên hệ chặt chẽ với nguyên lý biến phân Ekland, nguyên lý min-max, lý thuyết KKM, lý thuyết bậc tôpô, v.v., tổng quan về các vấn đề này có thể tìm thấy trong các tài liệu như [12, 17, 18, 44] và trong nhiều công trình nghiên cứu của các nhà Toán học mà tiêu biểu là S. Park [48, 50, 54], S. Park, Đ. H. Tân [51, 52], S. Park , B.G. Kang [49], L.A.Dung, Đ. H. Tân [15]. Chính từ sự phát triển đó, cùng với các tác động tích cực của các lý thuyết khác, mà lý thuyết điểm bất động luôn được xem là công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu định lượng và định tính nhiều lớp phương trình xuất phát từ vật lý học, hoá học, sinh học, cơ học. Việc ứng dụng lý thuyết điểm bất động để chứng minh tồn tại nghiệm của các phương trình vi phân và tích phân được mở đầu bằng những kết quả nổi tiếng của Picard và Peano vào cuối thế kỷ 19, trong đó xét bài toán Cauchy cho phương trình vi phân với vế phải thoả mãn điều kiện Lipschitz (định lý Picard) hoặc điều kiện liên tục (định lý Peano). Ứng với hai bài toán này, hai định lý điểm bất động của Banach và Schauder thật sự là công cụ hữu hiệu. Nguyên lý ánh xạ co của Banach: [17] Cho (M, ρ) là không gian metric đầy đủ và T : M → M là ánh xạ co, nghĩa là: Tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho ρ(T x, T y) ≤ kρ(x, y), ∀x, y ∈ M. Khi đó T có duy nhất một điểm bất động x∗ ∈ M. Hơn nữa với mỗi x0 ∈ M cho trước, dãy lặp {T n x0 } hội tụ về x∗ . Định lý Schauder: [25] Cho K là tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gian Banach E và T : K → K là ánh xạ liên tục sao cho bao đóng T (K) của T (K) là tập compact. Khi đó T có ít nhất một điểm bất động. Kết hợp hai định lý đó, Krasnosel’skii đã chứng minh được: Định lý Krasnosel’skii: [61] Cho M là tập con khác rỗng, lồi, đóng và bị chặn của không gian Banach X. Giả sử U : M → X là ánh xạ co và C : M → X là toán tử compact, nghĩa là: C liên tục và C(M ) chứa trong một tập compact, sao cho U (x) + C(y) ∈ M, ∀x, y ∈ M. Khi đó U + C có điểm bất động. Sau khi xuất hiện định lý Krasnosel’skii, người ta đã xét đến sự tồn tại nghiệm của các phương trình tích phân chứa tổng hai số hạng với các hàm dưới dấu tích phân tương ứng thoả điều kiện Lipschitz và điều kiện liên tục, mở ra nhiều công trình nghiên cứu về các định lý điểm bất động kiểu
3 Krasnosel’skii và ứng dụng, chẳng hạn như [3, 4, 7, 8, 13, 21, 53]. Áp dụng định lý Schauder, lý thuyết bậc và lý thuyết dựa trên các ánh xạ cốt yếu - "Topological Transversality", Leray và Schauder đã chứng minh các định lý điểm bất động kiểu Leray-Schauder, trong đó nguyên lý về sự loại trừ phi tuyến cho ánh xạ compact "Nonlinear alternative" là công cụ quan trọng để thiết lập các nguyên lý tồn tại nghiệm của một số bài toán giá trị biên [46]. Các ứng dụng cụ thể khác của các định lý điểm bất động trong việc nghiên cứu tính giải được của các lớp phương trình như phương trình vi phân, tích phân, đạo hàm riêng đã được trình bày trong nhiều tài liệu, chẳng hạn như [12, 17, 18, 25, 46, 61], trong các công trình khoa học công bố trên nhiều tạp chí của rất nhiều tác giả, như: Abdou [1], Avramescu [3, 4], Burton [7, 8], Henriquez [20], Liu, Naito, N.V. Minh [28], Pavlakos, Stratis [55], Raffoul [13], còn có thể tìm thấy nhiều công trình khác đăng trên các tạp chí Toán học trong và ngoài nước đã sử dụng phương pháp điểm bất động để chứng minh tồn tại nghiệm. Để dễ truy cập, chúng tôi xin nêu các bài số 06/2000, 24/2001, 71/2002, 04/2003, 22/2004, 79/2005, hay 3, 8, 13, 19, 21, 22, 24, 34, 36, 57 thuộc Vol. 2006, v.v., trong "Electronic J. Differential Equations" làm ví dụ, ở đó các định lý ánh xạ co, định lý Schauder, định lý Krasnosel’skii trên một nón, định lý Darbo, v.v., được áp dụng. Ngoài ra, còn có các tạp chí chuyên về lĩnh vực này mới được xuất bản gần đây, chẳng hạn như "Fixed Point Theory and Applications" năm 2004 của nhà xuất bản Hindawi, "Journal of Fixed Point Theory and Applications" năm 2007 của nhà xuất bản Springer. Chính vì vậy, đề tài luận án của chúng tôi nghiên cứu là cần thiết và có ý nghĩa về mặt lý thuyết và áp dụng. Trong luận án này, chúng tôi áp dụng phương pháp điểm bất động kết hợp với lý luận về tính compact thông dụng để khảo sát sự tồn tại nghiệm và các vấn đề liên quan đến nghiệm cho ba bài toán thuộc lý thuyết phương trình tích phân, vi phân và đạo hàm riêng sau đây: - Phương trình tích phân phi tuyến dạng Volterra; - Bài toán giá trị biên và giá trị đầu cho phương trình vi phân hàm cấp hai có đối số chậm; - Bài toán hỗn hợp cho phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff trên màng tròn đơn vị. Sau đây là phần giới thiệu tổng quát về ba bài toán nói trên.
4 1. Bài toán thứ nhất đề cập đến phương trình tích phân phi tuyến dạng Volterra: Z t x(t) = q(t) + f (t, x(t)) + V (t, s, x(s))ds 0 Z t (0.0.1) + G(t, s, x(s))ds, t ∈ R+ , 0 ở đây E là không gian Banach với chuẩn |.|, R+ = [0, ∞), q : R+ → E; f : R+ × E → E; G, V : ∆ × E → E được giả sử là các hàm liên tục và ∆ = {(t, s) ∈ R+ × R+ , s ≤ t}. Trường hợp E = Rd và hàm V (t, s, x) tuyến tính theo biến thứ ba, phương trình (0.0.1) đã được nghiên cứu bởi Avramescu và Vladimirescu [4]. Các tác giả đã áp dụng một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii trong [3, Định lý K” ’] để chứng minh sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của phương trình tích phân: Z t x(t) = q(t) + f (t, x(t)) + V (t, s)x(s)ds 0 Z t (0.0.2) + G(t, s, x(s))ds , t ∈ R+ , 0 q : R+ → Rd ; f : R+ × Rd → Rd ; V : ∆ → Md (R), G : ∆ × Rd → Rd được giả sử là liên tục, ∆ = {(t, s) ∈ R+ × R+ , s ≤ t} và Md (R) là tập hợp các ma trận thực cấp d × d. Trường hợp (0.0.1) có f = 0 và V (t, s, x(s)) = V (s, x(s)), sự tồn tại nghiệm của phương trình đã được nghiên cứu bởi Hóa và Schmitt [21], cũng bằng cách sử dụng một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii. Phương trình (0.0.1) có tính tổng quát hơn cho lớp phương trình tích phân phi tuyến dạng Volterra được xét trong [4, 21]. Để thu được sự tồn tại nghiệm và tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận, chúng tôi đã chứng minh một định lý kiểu Krasnosel’skii làm công cụ kết hợp với việc sử dụng định lý Banach trong không gian Fréchet và giải các bất phương trình tích phân Volterra phi tuyến. Kết quả này chứa các kết quả tương ứng trong [4, 21] như các trường hợp riêng và đã được công bố trong [N4]. Một ví dụ minh hoạ về sự tồn tại nghiệm và tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của (0.0.1) trong không gian Banach E = C[0, 1], trong đó f 6= 0, V (t, s, x) không tuyến tính theo biến thứ ba, cho thấy kết quả đạt được mạnh hơn kết quả trước đó.
5 Ngoài ra, áp dụng định lý Krasnosel’skii - Perov về tính compact và liên thông của tập các điểm bất động, chúng tôi nghiên cứu tính compact và liên thông của tập nghiệm hay còn gọi là tính chất Hukuhara-Kneser. Kiểu cấu trúc này của tập nghiệm cũng được nghiên cứu trong [5, 11, 43, 58, 59] dựa trên định lý Aronszajn hoặc định lý về tính compact và liên thông của tập các điểm bất động được nêu bởi Deimling, [12, tr. 212]. Kết quả thu được ở đây chứa đựng một kết quả đã công bố trong [N3] như một trường hợp riêng, ứng với q = 0, f = 0, V (t, s, x(s)) = V (s, x(s)), và đã gửi công bố trong [N8]. Nhờ tính chất của tập liên thông trong không gian Banach ([25, tr.316]), tính liên thông của tập nghiệm của (0.0.1) có một ý nghĩa quan trọng. Đó là, nếu (0.0.1) có hai nghiệm phân biệt thì sẽ có một lực lượng continuum các nghiệm khác nhau. Về điều này, một ví dụ minh hoạ được trình bày, trong đó nêu ra được 3 nghiệm phân biệt. Mặt khác, sự mở rộng của bài toán đang xét cũng được nghiên cứu. Chúng tôi chứng tỏ sự tồn tại nghiệm của phương trình: Z t x(t) = q(t) + f (t, x(t), x(π(t))) + V (t, s, x(s), x(σ(s)))ds 0 Z t (0.0.3) + G(t, s, x(s), x(χ(s)))ds , t ∈ R+ 0 và với π(t) = t, hay nói cách khác f (t, x(t), x(π(t))) = f (t, x(t)) sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận, đồng thời tính compact, liên thông của tập nghiệm của (0.0.3) cũng được chỉ ra. Kết quả này đã trình bày trong [N4, N8]. 2. Bài toán thứ hai đề cập đến phương trình vi phân hàm cấp hai có chậm: u00 + f (t, ut , u0 (t)) = 0, 0 ≤ t ≤ 1, (0.0.4) ở đây f : [0, 1] × C × R → R là hàm liên tục, với một trong những điều kiện biên u0 = φ, u(1) = u(η), (0.0.5) u0 = φ, u(1) = α[u0 (η) − u0 (0)], (0.0.6) hoặc với điều kiện đầu u0 = φ, u0 (0) = 0, (0.0.7) trong đó φ ∈ C = C([−r, 0]; R), 0 < η < 1, α ∈ R. Bài toán giá trị biên cho phương trình vi phân thường hoặc phương trình
6 vi phân hàm đã được nhiều tác giả nghiên cứu bằng các phương pháp khác nhau trong đó có sử dụng phương pháp điểm bất động, chúng tôi xin giới thiệu các tác giả của [19, 39, 45, 46, 57, 62] và các tài liệu tham khảo nêu ra ở đó. Trong [45], Ntouyas chứng minh sự tồn tại nghiệm cho phương trình vi phân hàm d 0 [x (t) − g(t, xt )] = f (t, xt , x0 (t)), 0 ≤ t ≤ 1, dt x0 = φ, x(1) = η, ở đây f : [0, 1] × C × Rn → Rn , g : [0, 1] × C → Rn là các hàm liên tục, φ ∈ C, η ∈ Rn . Trong [62], sự tồn tại nghiệm, sự duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào một tham số thực α của bài toán sau đây đã được Bo Zhang thiết lập Λ(t)x0 (t))0 = f (t, xt , x0 (t)), 0 ≤ t ≤ T, x0 = φ, Ax(T ) + Bx0 (T ) = v, trong đó Λ(t) là một ma trận thực cấp n × n phụ thuộc liên tục theo t trên [0, T ], A và B là các ma trận hằng cấp n × n, v ∈ Rn , φ ∈ C = C [−r, 0]; Rn . Và gần đây, Ma [39] và Yong-Pin Sun [57] đã nghiên cứu bài toán giá trị biên u00 + f (t, u) = 0, 0 < t < 1, ở đây f : [0, 1] × R → R là hàm liên tục, liên kết với một trong những điều kiện biên u(0) = 0, u(1) = αu(η), hoặc u0 (0) = 0, u(1) = αu0 (η). Các bài toán cho phương trình vi phân hàm cấp hai có chậm: (0.0.4)- (0.0.5), (0.0.4)- (0.0.6) là các bài toán ba điểm biên ở một dạng khác, có thể xem đó là một mở rộng của [39, 57] - f chứa thêm thành phần có chậm, trên cơ sở dạng bài toán có chậm được nêu trong [45, 62]. Ở các bài báo [45, 62], các tác giả đã nghiên cứu bài toán có chậm với vế trái tổng quát hơn và với điều kiện biên dạng khác. So với [45]- chỉ xét vấn
7 đề tồn tại nghiệm, và [62]- xét sự tồn tại duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm cho bài toán hai điểm biên, thì vấn đề chúng tôi nghiên cứu ở đây có phần đa dạng hơn. Tiếp thu ý tưởng và kỹ thuật trong các bài báo nói trên, ngoài nghiên cứu về tồn tại nghiệm bằng cách áp dụng định lý Leray-Schauder, chúng tôi còn đề cập đến sự tồn tại duy nhất nghiệm - bằng cách áp dụng nguyên lý ánh xạ co và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm cho bài toán ba điểm biên (0.0.4)- (0.0.5) và bài toán giá trị đầu (0.0.4)- (0.0.7). Sự tồn tại nghiệm của bài toán giá trị biên hỗn hợp (0.0.4)- (0.0.6) cũng được thiết lập. Ngoài ra, tiếp tục sử dụng định lý Krasnosel’skii - Perov, chúng tôi nghiên cứu tính chất Hukuhara-Kneser của tập hợp nghiệm của bài toán giá trị đầu. Toàn bộ các kết quả này đã được công bố trong [N2]. 3. Bài toán thứ ba là bài toán hỗn hợp cho phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff:  (urr + 1r ur ) 2 2 2    u tt − B t, ||u|| 0 , ||u r ||0 , ||u t ||0   = f (r, t, u, u ), 0 < r < 1, 0 < t < T, r
√
(0.0.8)   
lim r→0+ ru r (r, t)
< +∞, u r (1, t) + hu(1, t) = 0,   u(r, 0) = u e (r), u (r, 0) = u e (r), 0 t 1 R1 trong đó hằng số h > 0, kuk20 = r |u(r, t)|2 dr, 0 Z1 Z1 kur k20 = r |ur (r, t)| 2 dr, kut k20 = r |ut (r, t)|2 dr 0 0 và các hàm số B, f, u e0 , u e1 là cho trước. Đây là một sự tiếp nối của các công trình nghiên cứu về phương trình sóng như [6, 14, 23, 32, 33, 35, 36, 37, 38, 40, 47]. Trong các công trình này, các tác giả đã sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin kết hợp với phương pháp điểm bất động và lý luận về tính compact thông dụng để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán. Sự tồn tại nghiệm địa phương được chứng minh dựa vào định lý Schauder và nói chung chưa được trình bày tường minh. Bài toán (0.0.8) được xét gồm hai phần. Phần thứ nhất về tồn tại và duy nhất nghiệm được nghiên cứu bằng phương pháp tương tự trên nhưng ở bước xấp xỉ tuyến tính (hoặc không tuyến tính khi xét một trường hợp riêng) thì được thực hiện theo nguyên lý ánh xạ co, thu được nghiệm duy nhất trên
8 toàn đoạn [0, T ]. Trường hợp tổng quát, chúng tôi thu được một dãy lặp hội tụ mạnh (cấp một) về nghiệm của bài toán trong các không gian hàm Sobolev có trọng thích hợp. Để có được sự hội tụ và đánh giá sai số là cấp hai, chúng tôi đã xét một trường hợp riêng và xây dựng một dãy lặp phi tuyến. Phần thứ hai chỉ ra một khai triển tiệm cận theo một tham số nhiễu xuất hiện ở các số hạng phi tuyến thuộc vế phải và vế trái của phương trình sóng đến một cấp phụ thuộc vào cấp của tính trơn của dữ kiện. Kết quả nhận được tổng quát tương đối các kết quả trong [14, 33, 36, 37, 38] và được công bố trong [N5, N6], gửi công bố trong [N7]. Cấu trúc của luận án gồm phần mở đầu, 3 chương chính (1-3), kết luận, danh mục các công trình của tác giả luận án và tài liệu tham khảo. Kết quả chúng tôi thu được ở trên cho ba bài toán sẽ được trình bày lần lượt trong các chương 1, 2 và 3 với nội dung tóm tắt như sau: Chương 1 trình bày một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii và định lý này được áp dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm và sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của phương trình tích phân dạng Volterra. Kết quả đạt được mạnh hơn những kết quả trước đó, điều này được minh họa bởi một ví dụ, đồng thời vẫn còn đúng trong trường hợp tổng quát. Mặt khác, tính chất Hukuhara-Kneser của phương trình tích phân nói trên cũng được đề cập và một ví dụ được nêu ra về phương trình có nhiều hơn hai nghiệm. Trong chương 2, áp dụng định lý điểm bất động Leray-Schauder về sự loại trừ phi tuyến và nguyên lý ánh xạ co, chúng tôi chứng minh sự tồn tại, sự duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của bài toán ba điểm biên cho phương trình vi phân hàm cấp hai có đối số chậm. Cũng với phương pháp này, sự tồn tại nghiệm của bài toán giá trị biên với điều kiện biên hỗn hợp và bài toán giá trị đầu cho phương trình đang xét cũng được nghiên cứu. Đối với bài toán giá trị đầu, sự duy nhất nghiệm, sự phụ thuộc liên tục của nghiệm cũng được thiết lập và hơn nữa, với các điều kiện đã cho, tập nghiệm không chỉ khác rỗng, mà còn là tập compact và liên thông. Chương 3 xét bài toán giá trị biên-ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff. Trước hết, bài toán được liên kết với một dãy quy nạp tuyến tính mà sự tồn tại nghiệm địa phương được chứng minh bằng phương pháp Galerkin, nguyên lý ánh xạ co và lý luận về tính compact thông dụng trong các không gian Sobolev có trọng thích hợp. Từ đó, tính giải được và giải được duy nhất của bài toán được thiết lập. Tiếp theo, chúng tôi sẽ
9 đặt các điều kiện để thu được một thuật giải lặp cấp hai hội tụ. Sau hết là khai triển tiệm cận theo tham số bé ε đến cấp N + 1 cho nghiệm yếu của bài toán. Toàn bộ các kết quả nêu ra trong luận án được công bố trong [N2-N6] và gửi công bố trong [N7, N8]. Ngoài ra, các nội dung và phương pháp nghiên cứu của luận án cũng được thể hiện, vận dụng cho các phương trình dạng khác và đã được công bố trong [N1, N9, N10]. Một phần kết quả của luận án và các kết quả liên quan đã được báo cáo trong các hội nghị: - Hội nghị khoa học khoa Toán-Tin học ĐHSP Tp. HCM, 22/12/2002. - The International Conference on Differential Equations and Applications, HCM City 22-25/08/2004. - Hội nghị toàn quốc lần thứ hai về Ứng dụng Toán học, Hà Nội 23- 25/12/2005.
Chương 1 ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ KIỂU KRASNOSEL’SKII VÀO PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN 1.1 Giới thiệu. Trong chương này, chúng tôi xét phương trình tích phân Volterra phi tuyến: Z t x(t) = q(t) + f (t, x(t)) + V (t, s, x(s))ds 0 Z t (1.1.1) + G(t, s, x(s))ds, t ∈ R+ , 0 ở đây E là không gian Banach với chuẩn |.|, R+ = [0, ∞), q : R+ → E; f : R+ × E → E; G, V : ∆ × E → E được giả sử là các hàm liên tục và ∆ = {(t, s) ∈ R+ × R+ , s ≤ t}. Chương này gồm 6 mục. Trong mục 1.2, một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii được chứng minh. Áp dụng định lý này, các mục 1.3, 1.4 dành cho việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1). Cuối mục 1.4 chúng tôi trình bày một ví dụ minh hoạ các kết quả thu được khi các điều kiện đặt ra là đúng. Trong mục 1.5, với các giả thiết như ở mục 1.3, tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình (1.1.1) được chứng tỏ là tập hợp compact, liên thông. Một ví dụ về phương trình (1.1.1) có nhiều hơn hai nghiệm cũng được nêu. Cuối cùng, trong mục 1.6, một sự mở rộng của bài toán đang xét cũng được nghiên cứu. Chúng tôi chứng tỏ sự tồn tại nghiệm của phương trình: Z t x(t) = q(t) + f (t, x(t), x(π(t))) + V (t, s, x(s), x(σ(s)))ds 0 Z t (1.1.2) + G(t, s, x(s), x(χ(s)))ds , t ∈ R+ 0 10
11 và với π(t) = t, sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận đồng thời tính compact, liên thông của tập nghiệm của (1.1.2) cũng được trình bày. Kết quả thu được là tổng quát hơn các kết quả tương ứng trong [4, 21]. Phần lớn nội dung của chương đã được công bố trong [N4], riêng kết quả về cấu trúc tập nghiệm thì được công bố trong [N3] như một trường hợp riêng và gửi công bố trong [N8]. 1.2 Định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii. Các định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii, như ([3, Định lý K” ’]) và ([21, Định lý 3]), là sự mở rộng của định lý Krasnosel’skii. Một trong những hướng mở rộng định lý Krasnosel’skii là thay thế không gian Banach bởi một không gian tổng quát hơn, chẳng hạn là không gian Fréchet. Đó là không gian vectơ tôpô lồi địa phương X với tôpô được sinh ra bởi một metric d bất biến qua một phép tịnh tiến và (X, d) là đầy đủ. Một cách thuận lợi để xây dựng không gian Fréchet là dựa trên khái niệm nửa chuẩn [3, 10, 12, 60]. Mỗi một không gian vectơ X với một họ nửa chuẩn |.|n đếm được có tính chất: ∀x ∈ X, x 6= 0, ∃n ∈ N∗ , |x|n 6= 0, sẽ là một không gian metric đầy đủ với metric ∞ X |x − y|n d(x, y) = 2−n n=1 1 + |x − y|n và ta có X, |.|n ) là không gian Fréchet. Trong không gian này, định lý Banach được phát biểu như sau: Định lý Banach trong không gian Fréchet: ([3, Định lý B]) Cho (X, |.|n ) là một không gian Fréchet, M ⊂ X đóng và U : M → M là ánh xạ co, nghĩa là: ∀n ∈ N∗ , ∃kn ∈ [0, 1), ∀x, y ∈ M, |U x − U y|n ≤ kn |x − y|n . Khi đó U có duy nhất một điểm bất động. Kết hợp hai định lý ([3, Định lý K” ’]) và ([21, Định lý 3]), chúng tôi thu được định lý sau: Định lý 1.2.1. Giả sử (X, |.|n ) là không gian Fréchet và U, C : X → X là hai toán tử thoả mãn các điều kiện sau:
12 (i) U là toán tử co, ứng với họ nửa chuẩn ||.||n tương đương với họ nửa chuẩn |.|n . (ii) C hoàn toàn liên tục nghĩa là C liên tục và biến các tập bị chặn thành tập compact tương đối. |Cx|n (iii) lim = 0, ∀n ∈ N∗ . |x|n →∞ |x|n Khi đó U + C có điểm bất động. Chứng minh định lý 1.2.1. Trước hết ta chú ý rằng, từ điều kiện (i), toán tử (I − U )−1 được xác định và liên tục. Hai họ nửa chuẩn ||.||n , |.|n tương đương nên tồn tại các số thực K1n , K2n > 0 sao cho K1n ||x||n ≤ |x|n ≤ K2n ||x||n , ∀n ∈ N∗ . Suy ra (a) Tập hợp {|x|n , x ∈ A} bị chặn khi và chỉ khi {||x||n , x ∈ A} bị chặn, với A ⊂ X, ∀n ∈ N∗ ; (b) Với mọi dãy (xm ) trong X, với mọi n ∈ N∗ , vì lim |xm − x|n = 0 ⇔ lim ||xm − x||n = 0, m→∞ m→∞ nên (xm ) hội tụ về x ứng với |.|n khi và chỉ khi (xm ) hội tụ về x ứng với ||.||n . Từ đó (ii) cũng được thoả mãn ứng với (X, ||.||n ). Mặt khác, ta cũng có: K1n ||Cx||n ||Cx||n |Cx|n ||Cx||n K2n ||Cx||n ≤ K1n ≤ ≤ K2n ≤ , K2n ||x||n |x|n |x|n |x|n K1n ||x||n ∀x ∈ X, ∀n ∈ N∗ . |Cx|n ||Cx||n Suy ra lim = 0 tương đương với lim = 0. |x|n →∞ |x|n ||x||n →∞ ||x||n Bây giờ ta chứng minh U + C có điểm bất động. Với mỗi a ∈ X, ta định nghĩa toán tử Ua : X → X bởi Ua (x) = U (x) + a. Dễ thấy rằng Ua là toán tử co và do đó, với mỗi a ∈ X, Ua có duy nhất một điểm bất động, ký hiệu là φ(a), thế thì Ua (φ(a)) = φ(a) ⇔ U (φ(a)) + a = φ(a) ⇔ φ(a) = (I − U )−1 (a).