Luận án Tiến sĩ Vật lý: Nghiên cứu một số bài toán vật lý và cơ học bằng phương pháp đạo hàm trung bình tích phân và phương pháp hỗn hợp

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:89

Thêm vào BST

Báo xấu

34
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm đề xuất việc sử dụng phương pháp IAD (phương pháp đạo hàm trung bình tích phân) và một số phương pháp phối hợp như phương pháp lặp, phương pháp đạo hàm riêng và giá trị riêng để giải gần đúng (bằng số) cho các loại bài toán vật lý và cơ học cũng như kỹ thuật trong các trường hợp miền biên của hàm được xét chứa điểm vùng đứt gãy, kỳ dị.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Vật lý: Nghiên cứu một số bài toán vật lý và cơ học bằng phương pháp đạo hàm trung bình tích phân và phương pháp hỗn hợp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHAN HUY THIỆN NGHIÊN CỨU MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ VÀ CƠ HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM TRUNG BÌNH TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP HỖN HỢP LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ HÀ NỘI - 2016
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHAN HUY THIỆN NGHIÊN CỨU MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ VÀ CƠ HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM TRUNG BÌNH TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP HỖN HỢP LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 62440103 HÀ NỘI - 2016
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả, số liệu, đồ thị,…. được nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác. Hà Nội, 30 tháng 05 năm 2016 Tác giả luận án Phan Huy Thiện
LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến GS.TSKH. Nguyễn Xuân Hãn và GS. TS. Phan Văn Hạp - những người Thầy đã hết lòng tận tụy hướng dẫn, đóng góp những ý kiến quý báu cho tác giả trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành luận án. Tác giả chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Vật lý và Phòng Sau đại học của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội, đã tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả hoàn thành luận án này. Tác giả cũng bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, cô và các bạn đồng nghiệp thuộc Bộ môn Vật lý Lý thuyết, Khoa Vật lý của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận án. Cuối cùng tác giả cảm ơn những người thân trong gia đình đã tạo điều kiện và động viên cho tác giả hoàn thành bản luận án này. Tác giả luận án Phan Huy Thiện
MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................................ LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. MỤC LỤC ..................................................................................................................1 DANH MỤC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ ...............................................................3 CÁC CHỮ VIẾT TẮT VÀ GIẢI THÍCH .........................................................4 MỞ ĐẦU. ...................................................................................................................5 CHƯƠNG 1 ĐẠO HÀM TRUNG BÌNH TÍCH PHÂN .....................................12 1.1. Đạo hàm trung bình tích phân ................................................................12 1.1.1. Định nghĩa. .............................................................................................13 1.1.2. Tính chất của đạo hàm trung bình tích phân ..........................................13 1.2. Một số khái niệm bổ trợ..........................................................................15 1.2.1. Nghiệm xấp xỉ.........................................................................................16 1.2.2. Phương pháp cân bằng sai số ..................................................................17 1.3. Phương pháp IAD cho nghiệm xấp xỉ của phương trình Wigner. ..........18 CHƯƠNG II TÍNH TOÁN THÔNG LƯỢNG NEUTRON TRONG LÕ PHẢN ỨNG HẠT NHÂN ...................................................................................................21 2.1. Khái niệm mở đầu. .................................................................................21 2.2. Dạng tổng quát của phương trình khuếch tán. ........................................22 2.2.1. Phương trình khuếch tán ...............................................................23 2.2.2. Phương trình vi phân cho các neutron nhiệt và giải phương trình đó cho các dạng hình học đơn giản. .................................................................24 2.3. Phép gần đúng theo độ tuổi khuếch tán. .................................................28 2.4. Các điều kiện tới hạn. .............................................................................30 2.5. Độ tuổi neutron. ......................................................................................32 2.6. Phép gần đúng khuếch tán đa nhóm. ......................................................33 2.7. Các nghiên cứu tính toán lò phản ứng từ trước đến nay. ........................35 1
2.7.1. Những phương pháp tính toán lò phản ứng hạt nhân đã được tính toán trong vài thập kỷ vừa qua. ........................................................................35 2.7.2. Phương pháp nodal. ......................................................................36 2.7.3. Phương pháp nodal biến phân. ......................................................37 2.8. Phát triển phương pháp IAD. ..................................................................38 2.9. Kết luận và so sánh. ................................................................................52 CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN NHIỄU XẠ SÓNG TRONG MÔI TRƯỜNG ĐÀN HỒI……………………….. ...............................55 3.1. Đặt bài toán nhiễu xạ. .............................................................................55 3.1.1. Đặt vấn đề. ..............................................................................................55 3.1.2. Đưa bài toán về hệ phương trình tích phân kỳ dị. ..................................61 3.2. Giải gần đúng hệ phương trình ...............................................................64 3.3. Kết luận và so sánh. ................................................................................67 KẾT LUẬN ...............................................................................................................70 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN. ........................................................................72 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................73 Tiếng Việt ........................................................................................................73 Tiếng Nga. .......................................................................................................74 Tiếng Anh ........................................................................................................76 2
DANH MỤC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ Hình 1.1. Hàm F có điểm góc tại x0 . ..................................................................14 Hình 1.2. Hàm F không liên tục tại x0 . ..............................................................14 Hình 1.3. Miền được giải với biên 1 ,  2 . ........................................................16 Hình 2.1. Giá trị thông lượng neutron trường hợp 1 chiều với keff khác nhau. 46 Hình 2.2. Lò hình cầu. ........................................................................................47 Hình 2.3. Thông lượng neutron hình cầu cho nhóm nhanh và nhóm nhiệt. ......51 Hình 2.4. So sánh thông lượng neutron theo 2 phương pháp MC là phương pháp Monte Carlo và SN và phương pháp S N của luận án [130] .....................................53 Hình 3.1. Mặt phẳng đàn hồi  r ,  bị cắt một góc hình nêm. ...........................58 Hình 3.2. Đồ thị nhiễu xạ hàm u  x  ..................................................................66 Hình 3.3. So sánh với kết quả trong [95]. ...........................................................67 3
CÁC CHỮ VIẾT TẮT VÀ GIẢI THÍCH Phương pháp IAD Gọi các phương pháp rời rạc hóa bài toán biên có sử dụng khái niệm đạo hàm trung bình tích phân là các phương pháp đạo hàm trung bình tích phân, gọi tắt là các phương pháp IAD (Integrally Averaged Derivative). Phương pháp này được áp dụng cho chương II và chương III. Dựa trên định nghĩa của đạo hàm trung bình tích phân, ta đưa các bài toán vi phân trên miền (cả biên) có kỳ dị yếu hoặc các biên tham gia trong phương trình chỉ có đạo hàm theo nghĩa trung bình tích phân (không có đạo hàm theo nghĩa thông thường trên toàn miền) về một mô hình thống nhất, sau đó sử dụng phương pháp xấp xỉ thông thường để tìm nghiệm (kể cả việc xử lý số liệu ban đầu để trung bình hóa). Phương pháp giải sử dụng định nghĩa đạo hàm trung bình tích phân vừa nêu được gọi chung là phương pháp IAD Phương pháp Nodal Phương pháp chia lưới để giải phương trình khuếch tán neutron hay phương trình nhiễu xạ sóng bằng phương pháp phần tử hữu hạn hay phương pháp sai phân trong lõi lò phản ứng hạt nhân Phương pháp Monte Một phương pháp giải phương trình khuếch tán tính toán lò Carlo thường dùng theo phép thử xác suất. 4
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Thế giới các hiện tượng vật lý vi mô và vĩ mô quanh ta được mô tả, giải thích thông qua các định luật cơ bản của vật lý, các hiệu ứng... giúp cho con người khám phá bản chất các hiện tượng tự nhiên. Các đại lượng vật lý trong tự nhiên có mối liên hệ qua lại lẫn nhau mà công cụ toán học hiện đại cho phép mô tả các hiện tượng vật lý thông qua các phương trình. Như vậy có thể nói Phương trình toán lý hay Phương trình vật lý toán là cần thiết phải được đặt ra giúp cho các nhà khoa học bằng tư duy logic khái quát hoá được hình ảnh và bản chất sâu sắc các hiện tượng vật lý, tìm ra mối liên hệ qua lại giữa chúng để giải thích và đánh giá đúng bản chất các hiện tượng tự nhiên trong thế giới vi mô và vĩ mô [15]. Rất nhiều bài toán vật lý, cơ học, kỹ thuật thường được mô hình hóa dưới dạng các phương trình vật lý toán (vi phân thường hay vi phân đạo hàm riêng) trong miền có biên (tĩnh) hoặc có điều kiện ban đầu (động) hay biên hỗn hợp (phụ thuộc cả không gian lẫn thời gian) [7]. Một trong những vấn đề được quan tâm của toán học tính toán là tìm nghiệm gần đúng các bài toán biên [26]. Vấn đề này được xét đầy đủ cho lớp các bài toán biên có hệ số, nghiệm, hay biên trơn. Các bài toán thường gặp với các điều kiện phức tạp hơn thường không thỏa mãn các điều kiện lý tưởng, do đó cần nhấn mạnh rằng lớp các bài toán đó là khá rộng. Bởi vậy phải chú ý đến các bài toán có hệ số, nghiệm, biên không trơn [28]. Lớp các bài toán này thường nảy sinh nhiều trong thực tiễn, chẳng hạn khi nghiên cứu các quá trình khuếch tán (khuếch tán vật chất trong các bài toán môi trường, khuếch tán neutron trong lò phản ứng hạt nhân), các bài toán truyền nhiệt, thủy động học, phương trình trạng thái trong các mẫu hạt nhân v.v…Có nhiều cách tìm nghiệm xấp xỉ loại bài toán như vậy [10]. Bản luận án này tìm cách từ một khái niệm của đạo hàm IAD [3, 8] phối hợp với một số các phương pháp đã biết như các phép biến đổi toán tử, phương pháp phần tử biên, hay 5
phương pháp rời rạc hóa bài toán biên [9] v.v… để vượt qua tính không trơn của bài toán và mục đích là tìm cách đi đến nhanh và chính xác nhất các thông số và đại lượng vật lý cần tìm sát với thực tế (ví dụ như tính thông lượng neutron trong lò phản ứng hạt nhân [20, 58, 77], hay bài toán nhiễu xạ của sóng trong các môi trường đàn hồi bị hổng một góc  cho tới nay vẫn chưa được nghiên cứu hoàn chỉnh). Chúng tôi muốn nhấn mạnh đến các phép tính lò phản ứng hạt nhân để đảm bảo điều kiện an toàn lò phản ứng hạt nhân [20, 77]. Khi xảy ra điều kiện không an toàn như sự cố (sự cố nhà máy điện nguyên tử Chernobyl, Ukraina, sự cố nhà máy điện hạt nhân Fukushima – Nhật bản), nhiệm vụ của người tính toán lò cần có một phương pháp tính nhanh nhất cho kết quả chính xác để đoán biết sự cố, và điều khiển lò ngay lập tức khắc phục sự cố ở miền có thông lượng cao để hệ số nhân hiệu dụng trở về ngưỡng an toàn cho phép Với các bài toán có phương trình và điều kiện biên liên tục, đủ trơn đã có nhiều phương pháp giải và được nhiều nhà toán học, vật lý lý thuyết và vật lý thực nghiệm khảo sát, đề xuất [138]. Đối với các bài toán cơ học và vật lý có biên phức tạp chứa đựng các điểm đứt gãy thì những phương pháp thông thường khó cho lời giải đảm bảo độ chính xác thậm chí không thể áp dụng được. Phương pháp sai phân là một trong những phương pháp có tính vạn năng [19, 25] cũng không phải lúc nào cũng cho kết quả khả quan tại các vùng kỳ dị hay đứt gãy của nghiệm đồng thời đòi hỏi việc phân vùng chia lưới luôn thay đổi. Điều này gây trở ngại cho việc sử dụng thuật toán trên máy tính. Trong bản luận văn này chúng tôi tập trung vào một số bài toán vật lý cơ bản như phương trình Wigner 1. (danh mục các công trình khoa học của tác giả đã công bố liên quan đến luận án) đặc trưng cho loại phương trình Elliptic, giải phương trình khuếch tán neutron trong lò phản ứng hạt nhân (còn được gọi là phương trình Boltzman) với nhiều nhóm năng lượng để tìm các đặc trưng neutron, trong đó có các đại lượng như thông lượng neutron, hệ số tới hạn, hệ số nhân hiệu dụng v.v… Cuối cùng, trên cơ sở bài toán nhiễu xạ của sóng trong các môi trường đàn hồi, 6
chúng tôi giải quyết bài toán nhiễu xạ sóng trong môi trường đàn hồi với biên cứng bị hổng một góc  được mô tả bởi phương trình vi tích phân một cách dễ dàng theo phương pháp IAD trong 5. (danh mục các công trình khoa học của tác giả đã công bố liên quan đến luận án). 2. Mục đích nghiên cứu. Nhằm đề xuất việc sử dụng phương pháp IAD (phương pháp đạo hàm trung bình tích phân) và một số phương pháp phối hợp như phương pháp lặp, phương pháp đạo hàm riêng và giá trị riêng để giải gần đúng (bằng số) cho các loại bài toán vật lý và cơ học cũng như kỹ thuật trong các trường hợp miền biên của hàm được xét chứa điểm vùng đứt gãy, kỳ dị. Với phương pháp đạo hàm trung bình tích phân cho phép xây dựng được một thuật toán nhất quán đối với bài toán cần giải, nhất thể hóa các khái niệm vi phân, đạo hàm cho toàn miền nhằm khắc phục các khó khăn vấp phải khi sử dụng các phương pháp khác. Để nâng cao độ chính xác của phương pháp IAD1 chúng tôi đã kết hợp với các phương pháp khác trong toán học tính toán như phương pháp Richarson, phương pháp tham số liên tục, phương pháp tham số bé, phương pháp xấp xỉ, phương pháp tích phân kỳ dị [10, 11, 12], …v.v. Mục tiêu chính của luận án là tìm nghiệm gần đúng của các phương trình vật lý toán có kỳ dị [6, 17] bằng cách sử dụng phương pháp IAD và các phương pháp kết hợp khác. Một số kết quả chính của luận án được ghi trong danh mục các công trình khoa học của tác giả đã công bố liên quan đến luận án. 3. Phương pháp nghiên cứu. Để giải quyết các vấn đề đặt ra trong luận án chúng tôi sử dụng các kiến thức cơ bản của toán học như phương pháp tính và các phương pháp giải gần đúng [12] …giải tích , giải tích hàm [31], giải tích phức [55], phương trình đạo hàm riêng 1 Ở Chương I, chúng tôi gọi tên phương pháp đạo hàm trung bình tích phân IAD (Intergrally Averaged Derivative) bao gồm định nghĩa và các phương pháp lặp (lặp trong và lặp ngoài), các phương pháp rời rạc hóa bài toán biên, phương pháp hàm riêng và trị riêng khi đưa phương trình về dạng ma trận theo cách đạo hàm trung bình tích phân. 7
[18], phương trình tích phân kỳ dị tuyến tính và không tuyến tính [6], cũng như các kiến thức cơ bản của vật lý lý thuyết [2, 4, 5, 58], Trên cơ sở phương trình khuếch tán neutron [77] với các điều kiện biên trong lõi lò phản ứng hạt nhân. Chúng tôi tiến hành tính toán thông lượng neutron với một vài dạng hình học đơn giản và so sánh với các phương pháp khác như phương pháp nodal và phương pháp Monte Carlo để đánh giá tính ưu việt của phương pháp IAD. chúng tôi dựa trên bài toán nhiễu xạ sóng trong môi trường đàn hồi bị hổng một góc  để giải quyết bài toán trong miền biên kỳ dị trong 3. (danh mục các công trình khoa học của tác giả đã công bố liên quan đến luận án). 4. Nội dung nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu. Với mục tiêu đã đề ra, luận án “Nghiên cứu một số bài toán vật lý và cơ học bằng phương pháp đạo hàm trung bình tích phân và phương pháp hỗn hợp” đã được xây dựng trên cơ sở phương pháp đạo hàm trung bình tích phân và phương pháp tích phân kỳ dị, được GS. TS Phan Văn Hạp đề xuất đã được chúng tôi áp dụng cụ thể cho việc tính thông lượng neutron bằng phương trình khuếch tán neutron đối với lò phản ứng hạt nhân hình cầu trong gần đúng hai nhóm neutron theo phương pháp IAD bằng cách đưa về bài toán ma trận của hàm riêng và trị riêng được công bố trong các bài báo trong danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án và đánh giá tính ưu việt của chúng so với phương pháp nodal và phương pháp Monte Carlo là các phương pháp mới trong tính toán lò phản ứng hạt nhân, và trên cơ sở bài toán nhiễu xạ sóng trong môi trường đàn hồi chúng tôi giải quyết được miền biên kỳ dị bằng cách đưa ra phương trình vi tích phân để giải bằng số trong 3.(danh mục các công trình khoa học của tác giả đã công bố liên quan đến luận án). 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án. Việc tính toán được kết quả dùng phương pháp IAD tính thông lượng neutron trong mô hình hạt nhân hình cầu và tính nhiễu xạ sóng trong môi trường đàn hồi có miền biên kỳ dị được chúng tôi áp dụng lần đầu tiên tính toán bằng phương pháp 8
IAD mang lại một kết quả tốt cho đóng góp vào cách tính mới trong tính toán lò phản ứng hạt nhân và bài toán nhiễu xạ. Với kết quả thu được của luận án chúng tôi nhận thấy đã đóng góp được một phần rất quan trọng vào một cách tiếp cận mới trong tính toán lò phản ứng hạt nhân, một vấn đề thời sự trong tính toán lò phản ứng hạt nhân. Cuối cùng áp dụng phương pháp IAD để giải bài toán nhiễu xạ sóng trong môi trường đàn hồi thuần nhất bị hổng một góc  . Ngoài việc đóng góp vào nghiên cứu khoa học trong tính toán nhiễu xạ, thông lượng neutron trong lò phản ứng hạt nhân. Một vấn đề khá thực tế trong điều kiện nước ta hiện nay đang gấp rút xây dựng 4 lò phản ứng hạt nhân cung cấp điện năng cho quốc gia. Việc nghiên cứu này đóng góp vào tính toán và thiết kế lò bảo đảm cho việc vận hành lò phản ứng hạt nhân và an toàn cho nó. 6. Cấu trúc luận án. Bản luận án này ngoài phần mở đầu, phần tài liệu tham khảo gồm có các chương chính sau đây Chương I. Phương pháp đạo hàm trung bình tính phân. Trong chương này chúng tôi giới thiệu phương pháp đạo hàm trung bình tích phân bao gồm định nghĩa và các phương pháp lặp (lặp trong và lặp ngoài), các phương pháp rời rạc hóa bài toán biên, phương pháp hàm riêng và trị riêng khi đưa phương trình về dạng ma trận do GS Phan Văn Hạp đề xuất và được công bố trong một số bài báo từ năm 1994 [8] và 2. (danh mục các công trình khoa học của tác giả đã công bố liên quan đến luận án) . Trước tiên chúng tôi định nghĩa đạo hàm trung bình tích phân và các tính chất của nó, sau đó một số bài toán lý thuyết có nghiệm không trơn được giải bằng cách sử dụng khái niệm đạo hàm trung bình tích phân cũng sẽ được trình bày ở đây. Trong chương này chúng tôi cũng đưa vào phương pháp tham số liên tục [21] và phương pháp tính gần đúng xấp xỉ để sử dụng cho các chương sau, khái niệm bài toán với các điều kiện biên khác nhau trong trường hợp một chiều và hai chiều. Dựa trên định nghĩa của đạo hàm trung bình tích phân, ta đưa các bài toán vi phân trên 9
miền (cả biên) có kỳ dị yếu hoặc các biên tham gia trong phương trình chỉ có đạo hàm theo nghĩa trung bình tích phân (không có đạo hàm theo nghĩa thông thường trên toàn miền) về một mô hình thống nhất, sau đó sử dụng phương pháp xấp xỉ thông thường để tìm nghiệm (kể cả việc xử lý số liệu ban đầu để trung bình hóa). Chương II. Áp dụng cho tính toán lò phản ứng hạt nhân được giải bằng phương pháp IAD. Trong chương II, chúng tôi trình bày cơ sở vật lý lò phản ứng hạt nhân, các điều kiện biên trong lò và phương trình khuếch tán trong lò phản ứng hạt nhân, áp dụng phương pháp IAD tính toán thông lượng lò và so sánh với các kết quả của các phương pháp khác như phương pháp nodal, phương pháp Monte Carlo. Kết quả đã được công bố trong các bài báo 1.- 8. (danh mục các công trình khoa học của tác giả đã công bố liên quan đến luận án). Chương III. Áp dụng phương pháp IAD cho bài toán nhiễu xạ sóng trong môi trường đàn hồi thuần nhất bị hổng một góc  . Trong chương này chúng tôi xây dựng bài toán nhiễu xạ sóng trong môi trường đàn hồi trong bài toán cơ học. Chúng tôi áp dụng phương pháp IAD để giải quyết bài toán biên có kỳ dị, băng phép biến hình bảo giác của hàm biến phức đưa bài toán về phương trình vi tích phân để giải. Kết quả công bố trong bài báo 3. (danh mục các công trình khoa học của tác giả đã công bố liên quan đến luận án). 7. Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài luận án. Tác giả đã hoàn thiện, cụ thể hóa việc áp dụng phương pháp IAD cho các bài toán được nêu trong luận án đồng thời chỉ rõ phạm vi ứng dụng của phương pháp cho nhiều lớp bài toán có cùng các đặc trưng của miền biên và độ kỳ dị. Các kết quả có thể mở rộng cho nhiều loại phương trình toán khác nhau trong cơ học và vật lý, trong thế giới vi mô và vĩ mô. Các kết quả nghiên cứu của luận án được công bố trong 08 công trình dưới dạng các bài báo và báo cáo khoa học đăng trên tạp chí và kỷ yếu hội nghị khoa học quốc tế và trong nước, trong đó có 5 bài báo đăng trên tạp chí quốc tế. Lò phản ứng hạt nhân là một hệ thống thiết bị công nghệ, trong đó phản ứng dây chuyền, phân hạch hạt nhân được kiểm soát và duy trì, từ đó năng lượng hạt 10
nhân dưới dạng nhiệt được lấy ra để sử dụng hữu ích, chẳng hạn như máy phát điện, tàu phá băng [58]. Trong thiết bị như thế, neutron gây ra phản ứng phân hạch hạt nhân với các hạt nhân nặng được gọi là nhiên liệu hạt nhân. Các thành phần nguyên liệu của một lò phản ứng bao gồm nhiên liệu, nước làm mát hệ thống, vật liệu cấu trúc, và các thiết bị kiểm soát phản ứng phân hạch. Nói chung, các vật liệu được sắp xếp rất không đồng nhất. Trong các bài toán này, chúng tôi chủ yếu quan tâm đến bài toán dừng, nghiên cứu bài toán tĩnh để xem xét đặc trưng và các tính chất của lò phản ứng hạt nhân. Các tính toán lò phản ứng hạt nhân nhằm xác định thừa số nhân neutron theo các cấu hình khác nhau của một lò phản ứng hạt nhân và phân bố thông lượng neutron (vì vậy suy ra phân bố công suất sinh ra) theo không gian và thời gian với các điều kiện biên khác nhau. Chúng tôi đã tạo nên một phương pháp IAD cho tính lò phản ứng hạt nhân mới dựa trên phương trình khuếch tán neutron mang tính nhất thể hóa. Chúng tôi đã điều chỉnh các thông lượng phản hồi trong cách tính lặp thông qua các hệ số được định nghĩa trong phương pháp IAD. Không mất nhiều thời gian tính toán, bộ nhớ máy tính và độ hội tụ tốt hơn. Chúng tôi đã chủ động phối hợp với một số phương pháp khác như phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp Monte-Carlo, phương pháp lặp nodal, phương pháp tiệm cận, phương pháp biến phân để tìm thông lượng chính xác hơn có ý nghĩa về mặt vật lý. Chúng tôi giải quyết các điều kiện biên kỳ dị và không kỳ dị như điều kiện thực tế đặt ra trong lò phản ứng và đưa ra được thông lượng và các đặc trưng khác của lò phản ứng hạt nhân. Phương pháp IAD còn cho phép xây dựng thông số đặc trưng hạt nhân như tiết diện tán xạ, phân hạch, hấp thụ, hệ số khuếch tán, quãng chạy tự do trung bình của neutron v.v… là các thông số quan trọng tại vị trí và nhóm năng lượng nào đó trong lõi lò dùng để tính thông lượng neutron. Qua phép tính toán về áp dụng phương pháp IAD để giải quyết bài toán nhiễu xạ sóng trong môi trường đàn hồi chúng tôi nêu lên được phương pháp IAD có thể áp dụng cho các bài toán nhiễu xạ bằng cách giải đơn giản, không cần nhiều tính toán lập trình cồng kềnh vẫn có thể cho được kết quả phù hợp thực tế. 11
CHƢƠNG 1. PHƢƠNG PHÁP ĐẠO HÀM TRUNG BÌNH TÍCH PHÂN Equation Section 1 Trong chương này luận án giới thiệu phương pháp đạo hàm trung bình tích phân bao gồm định nghĩa và các phương pháp lặp (lặp trong và lặp ngoài), các phương pháp rời rạc hóa bài toán biên, phương pháp hàm riêng và trị riêng khi đưa phương trình về dạng ma trận [9]. Nghiên cứu này sẽ định nghĩa đạo hàm trung bình tích phân và các tính chất của nó, sau đó giới thiệu một số bài toán lý thuyết có nghiệm không trơn được giải bằng cách sử dụng IAD. Phương pháp tham số liên tục và phương pháp tính gần đúng xấp xỉ, khái niệm bài toán với các điều kiện biên khác nhau trong trường hợp một chiều và hai chiều cũng được dẫn ra ở đây. Dựa trên định nghĩa của đạo hàm trung bình tích phân, ta đưa các bài toán vi phân trên miền (cả biên) có kỳ dị yếu hoặc các biên tham gia trong phương trình chỉ có đạo hàm theo nghĩa trung bình tích phân (không có đạo hàm theo nghĩa thông thường trên toàn miền) về một mô hình thống nhất, cos đạo hàm liên tục tại mọi diểm không trơn, sau đó sử dụng phương pháp xấp xỉ thông thường để tìm nghiệm, trong tính toán các số liệu đầu vào thường không tuyến tính và chúng tôi áp dụng phương pháp đạo hàm trung bình tích phân để xử lý các xử lý số liệu ban đầu để trung bình hóa [12] . 1.1. Đạo hàm trung bình tích phân Tên phương pháp đạo hàm trung bình tích phân IAD (Intergrally Averaged Derivative) là thuật ngữ được sử dụng trong luận án bao gồm định nghĩa và các phương pháp lặp (lặp trong và lặp ngoài), các phương pháp rời rạc hóa bài toán biên, phương pháp hàm riêng và trị riêng khi đưa phương trình về dạng ma trận theo cách đạo hàm trung bình tích phân đã được định nghĩa trong trang 6. 12
1.1.1. Định nghĩa Cho X là không gian hữu hạn chiều R n , hàm F và biến X là thực hoặc phức i) Xét F : X  X , x0  X , nếu h  X , tồn tại 1  F  x0  th   F  x0  lim  dt   F  x0 , h  (1.1)  0 2  t thì  F  x0 , h  được gọi là biến phân trung bình (theo tích phân) thứ nhất của hàm F tại x0 . ii) Nếu tại x0 ta có  F  x0 , h   Ah , trong đó A là ma trận vuông cấp  n  n  thì F được gọi là khả vi trung bình theo tích phân tại x0 , và viết F   x0 , h   Ah . Nhận xét:. Do mục đích nghiên cứu của luận án nên ở đây chỉ sử dụng đạo hàm trung bình tích phân theo định nghĩa trên. Ta có thể mở rộng định nghĩa trên bằng cách thay thế biểu thức trong i) bởi biểu thức 1  F  x0  th   F  x0  dt   F  x0 , h  ,  ,   0 2      lim (1.2)  0 t Phương pháp đạo hàm trung bình tích phân cũng cho phép xử lý các số liệu đầu vào cho các bài toán có số liệu đầu vào không tuyến tính hoặc rời rạc hóa, không trơn, chúng trở nên liên tục và không có điểm gián đoạn, đứt gãy. Nhất là những bài toán lượng tử vi mô trong tính toán lò phản ứng hạt nhân hoặc hệ lượng tử [41]. 1.1.2. Tính chất của đạo hàm trung bình tích phân i) Hiển nhiên ta có  F  G   x   F   x   G  x  0 0 0  F   x0     F   x0  (1.3)  F  G   x   F   z   G  x  0 0 0  z0  G  x0  13
ii) Nếu F có đạo hàm Gateaux tại x0 thì F’ cũng có đạo hàm trung bình tại đó và ta có F   x0   F   x0  . iii) Tồn tại hàm F có đạo hàm trung bình tại x0 , nhưng không có đạo hàm Gateaux tại đó. Ví dụ: F  x   x không có đạo hàm Gateaux tại x0  0 nhưng có đạo hàm trung bình tích phân tại đó. 1  F   0   lim  0 2  h sign tdt (1.4) iv) Hàm F có điểm góc tại x0 , nhưng có đạo hàm trung bình tại đó và ta có F   x0  0   F   x0  0  F   x0   (1.5) 2 f1  x  f2  x  x x0 Hình 1.1. Hàm F có điểm góc tại x0 . v) Hàm F không liên tục tại x0 , nhưng có đạo hàm trung bình tại đó và ta có f1  x  f2  x  x x0 Hình 1.2. Hàm F không liên tục tại x0 . vi) Hàm F có đạo hàm hữu hạn hai phía tại x0 thì có đạo hàm trung bình tại đó và ta cũng có 14
F   x0  0   F   x0  0  F   x0   (1.6) 2 Nhận xét: Các tính chất ii), iii), ) và iv) suy từ tính chất vi). Bây giờ chứng minh tính chất vi). Do gỉả thiết F có đạo hàm hai phía tại x0 nên dễ dàng suy ra hàm F  x0  th   F  x0  f t   t liên tục trong lân cận t  0 , suy ra 1  1 lim  0 2   f  t  dt  2 lim    f    f     0 1  F  x0   h   F  x0  F  x0   h   F  x0    lim    2  0     1 F  x0   h   F  x0  F  x0   h   F  x0    lim  lim  2   0   0   F   x0  0   F   x0  0   2 điều phải chứng minh. 1.2. Một số khái niệm bổ trợ Sau đây, để ngắn gọn ta sẽ gọi các phương pháp rời rạc hóa bài toán biên có sử dụng khái niệm đạo hàm trung bình tích phân là các phương pháp đạo hàm trung bình tích phân, gọi tắt là các phương pháp IAD (Integrally Average Derivative). Phương pháp này được áp dụng cho Chương 2 và Chương 3. Dựa trên định nghĩa của đạo hàm trung bình tích phân, ta đưa các bài toán vi phân trên miền (cả biên) có kỳ dị yếu hoặc các biên tham gia trong phương trình chỉ có đạo hàm theo nghĩa trung bình tích phân (không có đạo hàm theo nghĩa thông thường trên toàn miền) về một mô hình thống nhất, sau đó sử dụng phương pháp xấp xỉ thông thường để tìm nghiệm (kể cả việc xử lý số liệu ban đầu để trung bình hóa), phương pháp hàm riêng và trị riêng khi đưa phương trình về dạng ma trận, Trong đó dùng các phép 15
biến đổi Fourier, Laplace để tìm nghiệm. Phương pháp giải sử dụng định nghĩa đạo hàm trung bình tích phân vừa nêu được gọi chung là phương pháp IAD. 1.2.1. Nghiệm xấp xỉ Giả sử cần tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình L U   b trong miền  Equation Section 1(1.1) với các điều kiện biên S U   s Trên phần biên 1 (1.2) G U   g Trên phần biên  2 (1.3) trong đó  là miền được giải với biên 1 ,  2 1  2 Hình 1.3. Miền được giải với biên 1 ,  2 . L , F , G là các toán tử vi phân, b, s, g là các hàm đã cho. Giả sử U là nghiệm đúng của bài toán (1.1), (1.2), (1.3) mà ta không thể tìm được bằng phương pháp giải tích. Ta tìm nghiệm xấp xỉ U dưới dạng: n U   ii  0 (1.4) i 1 trong đó  i là các hệ số cần tìm; i  x  là hệ hàm đầy đủ, tức là thỏa mãn các điều kiện sau của hệ hàm cơ sở : i) Bộ các hàm i  x  là độc lập tuyến tính với mọi n. ii)   0, u, n sao cho 1 p     n  p     u    xii   0   dx      i 1     16