Luận văn: Cộng mômen trong cơ học lượng tử

Chia sẻ: Dao Van Tuan | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

153
lượt xem 36
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nghiên cứu quy tắc cộng mômen xung lượng quỹ đạo, mômen cơ học riêngcủa một hạt với hai bậc tự do, mômen xung lượng của hệ hai hạt không tương tác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: Cộng mômen trong cơ học lượng tử

Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö. A. Më §Çu 1. Lý do chän ®Ò tµi. Nh chóng ta ®∙ biÕt “vËt lÝ h¹t c¬ b¶n” lµ mét chuyªn ngµnh hÑp cña m«n vËt lÝ, trong ®ã ®i s©u vµo nghiªn cøu tÝnh chÊt, c¸c quy luËt t¬ng t¸c cña h¹t c¬ b¶n vµ ph¶n h¹t cña chóng. Khi ®i s©u vµo thÕ giíi h¹t c¬ b¶n tøc lµ ta ®∙ nãi tíi thÕ giíi h¹t vi m«. V× vËy lÝ thuyÕt cæ ®iÓn sÏ bÞ thay thÕ bëi lÝ thuyÕt lîng tö vµ ®îc dïng nh mét c«ng cô kh¸ tèt ®Ó nghiªn cøu h¹t c¬ b¶n. Theo gi¶ thiÕt cña Borh vÒ lîng tö hãa quü ®¹o th× m«men xung lîng cña ®iÖn tö chuyÓn ®éng quanh h¹t nh©n chØ cã thÓ nhËn c¸c gi¸ trÞ gi¸n ®o¹n lµ mét béi sè nguyªn cña h . Trong phÇn luËn v¨n nµy ta sÏ thÊy gi¶ thiÕt cña Borh lµ hÖ qu¶ cña c¸c tiªn ®Ò cña c¬ häc lîng tö. §Ó thÊy râ ®iÒu ®ã ta nghiªn cøu lÝ thuyÕt lîng tö vÒ m«men xung lîng. Trong ®ã ®Ó h×nh dung mét c¸ch cô thÓ vÒ trÞ riªng cña to¸n tö m«men xung lîng ta cã thÓ tr×nh bµy mét c¸ch th« s¬ trªn h×nh vÏ. Nhng c¸ch tr×nh bµy trªn h×nh vÏ chØ ®Ó hiÓu mét c¸ch trùc quan, kh«ng thÓ coi lµ c¸ch biÓu diÔn chÝnh x¸c vÒ m«men xung lîng. V× vËy ®Ó hiÓu mét c¸ch chÝnh x¸c vÒ m«men xung lîng ta ®i xÐt hÖ hai 1 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng32A LÝ
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö. h¹t, bá qua t¬ng t¸c gi÷a chóng lµm thay ®æi m«men xung lîng th× m«men xung lîng cña hÖ b»ng tæng m«men xung lîng cña tõng h¹t. Vµ ®Ó ®i ®Õn ®îc ®iÒu ®ã ta dïng quy t¾c céng m«men xung lîng, céng m«men spin nãi riªng vµ céng m«men nãi chung. Tuy nhiªn, trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ lÜnh héi phÇn lÝ thuyÕt nãi chung vµ vËt lÝ lîng tö nãi riªng th× viÖc gi¶i bµi tËp vËt lÝ gi÷ vai trß quan träng bëi lÏ chØ cã thÓ gi¶i bµi tËp khi ®∙ hiÓu cÆn kÏ phÇn lÝ thuyÕt vÒ chóng. V× nh÷ng lý do trªn ®©y, t«i ®∙ chän ®Ò tµi “Céng m«men trong c¬ häc lîng tö”. Sau ®ã ¸p dông gi¶i mét sè bµi tËp vÒ céng m«men. 2. Môc ®Ých vµ nhiÖm vô nghiªn cøu Nghiªn cøu quy t¾c céng m«men xung lîng quü ®¹o, m«men c¬ häc riªngcña mét h¹t víi hai bËc tù do, m«men xung lîng cña hÖ hai h¹t kh«ng t¬ng t¸c. 3. §èi tîng vµ ph¹m vi nghiªn cøu T×m hiÓu vÒ m«men xung lîng quü ®¹o, m«men c¬ häc riªng, m«men xung lîng toµn phÇn, céng m«men xung lîng cña c¸c h¹t. Dïng cho hÖ h¹t kh«ng t¬ng t¸c. 2 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng32A LÝ
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö. 4. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu Dïng ph¬ng ph¸p to¸n cho vËt lÝ: To¸n tö, gi¶i ph¬ng tr×nh hµm riªng vµ trÞ riªng. Ch¬ng 1: Céng m«men xung lîng 1.1 M«men xung lîng 1.1.1 To¸n tö m«men xung lîng Theo c¬ häc cæ ®iÓn mét h¹t chuyÓn ®éng trªn quü ®¹o víi xung lîng p , b¸n kÝnh vect¬ r , sÏ cã m«men xung lîng L = r ∧ p . Nh vËy to¸n tö m«men xung l ˆˆˆ ˆ îng cña h¹t L = r ∧ p . Hay: L = −iL(r ∧ ∇) vµ c¸c to¸n tö h×nh chiÕu m«men xung lîng cña h¹t cã d¹ng : 3 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng32A LÝ
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö. ∂ ∂ Lx = yp z − zp y = −iL y − z  ˆ / ˆˆ ˆˆ ∂ ∂y  z  ∂ ∂ ˆ L y = zp x − xp z = −iL z − x  ˆˆ ˆˆ ∂ ∂z  x  ∂ ∂ Lz = xp y − yp x = −iL x − y  ˆ ˆˆ ˆˆ ∂ ∂x  y  Cßn to¸n tö b×nh ph¬ng m«men xung lîng : ˆ ˆ ˆ ˆ L2 = L2x + L2y + L2z Sau ®©y ta nªu lªn mét vµi hÖ thøc giao ho¸n gi÷a c¸c to¸n tö m«men xung lîng víi nhau vµ gi÷a b×nh ph¬ng m«en xung lîng víi chóng: ˆˆ ˆˆˆ ˆ ˆˆ ˆ [ Lx , Ly ] = iLLz ;[ Ly , Lz ] = iLLx ;[ Lz , Lx ] = iLLy ˆˆ ˆˆ ˆˆ [ L2 , Lx ] = [ L2 , Ly ] = [ L2 , Lz ] = 0 §Ó thuËn tiÖn ngêi ta ®a vµo c¸c to¸n tö: ˆ ˆ ˆ L± = Lx ± iL y C¸c to¸n tö nµy tu©n theo c¸c hÖ thøc sau: ˆˆ ˆ [ L+ , L− ] = 22Lz ˆ ˆ [ Lz , L− ] = ±2L± ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ L2 = L+ L− + L2z − 2Lz = L− L+ + L2z + 2Lz 1.1.2 TrÞ riªng cña to¸n tö m«men xung lîng 4 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng32A LÝ
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö. a. TrÞ riªng cña to¸n tö h×nh chiÕu m«men xung lîng lªn ph¬ng Oz §Ó thuËn tiÖn ta dïng täa ®é cÇu. Trong täa ®é ∂ ˆ cÇu Lz = −i= ∂ϕ Gäi ψ lµ hµm riªng t¬ng øng víi trÞ riªng Lz ˆ cña to¸n tö Lz Th× ph¬ng tr×nh cho hµm riªng vµ trÞ riªng: ˆ Lzψ = Lzψ Gi¶i ph¬ng tr×nh nµy ta t×m ®îc thµnh phÇn phô i  thuéc vµo ϕ cña ψ cã d¹ng: ψ ( ϕ ) = exp Lzϕ  i  VËy ψ ( r ,θ ,ϕ ) lµ mét h»ng sè nh©n víi hµm mò trªn, h»ng sè nµy nãi chung cã thÓ phô thuéc vµo c¸c täa ®é r & θ i  ψ ( r ,θ ,ϕ ) = C( r ,θ ) exp Lzϕ  C  Chó ý r»ng khi ϕ thay ®æi 2π th× l¹i trë vÒ ®iÓm cò. Muèn cho ψ lµ mét hµm ®¬n trÞ th× ψ ( ϕ ) = ψ ( ϕ + 2π ) . 5 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng32A LÝ
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö. BiÕn ®æi ®¬n gi¶n ta thu ®îc Lz = mî víi m = 0; ± 1;±2;.... ˆ Tõ ®ã suy ra r»ng trÞ riªng cña Lz lµ mét sè nguyªn lÇn n . b. TrÞ riªng cña b×nh ph¬ng m«men xung lîng ˆ ˆ ˆ ˆ V× hiÖu L2 − L2z = L2x + L2y b»ng to¸n tö cña mét ®¹i l îng vËt lÝ d¬ng x¸c ®Þnh Lx + Ly ≥ 0 . Cho nªn øng víi 2 2 mçi gi¸ trÞ cho tríc cña b×nh ph¬ng m«men xung lîng L2 th× tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ riªng kh¶ dÜ Lz ph¶i tháa m∙n bÊt ®¼ng thøc: L2 − L2z ≥ 0 ⇔ − L2 ≤ Lz ≤ L2 Nh vËy, c¸c gi¸ trÞ kh¶ dÜ cña Lz bÞ giíi h¹n bëi cËn trªn vµ cËn díi. Ta kÝ hiÖu l lµ sè nguyªn t¬ng øng víi gi¸ trÞ lín nhÊt cña ( Lz ) max = l¬ . Do ®ã: ψ 0 ,ψ ±1 ,...ψ ±l = 0 , cßn ψ ± ( l +1) = 0 ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ Tõ [ Lz , L± ] = Lz L± − L± Lz = ±[ L± ˆˆ ˆˆ ˆ Nªn Lz L± = L± Lz ± ˆ L± T¸c dông Lz L± lªn ψ m ta ®îc Lz L±ψ m = L± Lzψ m ± ˆ L±ψ m ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ 6 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng32A LÝ
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö. Hay: Lz L ± ψ m = L± ( mˆ ψ m ) ± ˆ L±ψ = ( m ± 1) ˆ L±ψ m ˆˆ ˆ ˆ ˆ víi ψ m lµ hµm øng víi gi¸ trÞ riªng m cña Lz ˆ ˆ Tõ ®©y suy ra r»ng L±ψ m lµ hµm riªng t¬ng øng víi trÞ riªng ( m ± 1) ) cña to¸n tö Lz . ˆ V× ψ m lµ hµm riªng øng víi trÞ riªng m cña Lz , ˆ cho nªn: Lzψ m = mψψ m ; Lzψ m ±1 = ( m ± 1) ψψ m ±1 ˆ ˆ ˆ Bëi vËy: L±ψ m =ψ m ±1 ˆ NÕu m = l th× L+ψ l = ψ l +1 = 0 (V× tr¹ng th¸i øng víi m > l lµ kh«ng cã) T¸c dông L2 lªn ψ l ta cã : ˆ L2ψ l = L− L+ψ l + L2zψ l + ˆ Lzψ l = 0 + l 2 ˆ 2ψ l + lˆ 2ψ l = l ( l + 1) ˆ 2ψ l ˆ ˆˆ ˆ ˆ Nh vËy trÞ riªng cña to¸n tö b×nh ph¬ng m«men xung lîng lµ l(l+1) 2 2 , víi l lµ c¸c gi¸ trÞ nguyªn d¬ng, kÓ c¶ gi¸ trÞ 0. Víi mét gi¸ trÞ cña l ®∙ cho th× m cã nhiÒu gi¸ trÞ. Nh trªn ®∙ nãi l lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña m, mÆt kh¸c hai híng gi÷a trôc cña z lµ t¬ng ®¬ng nhau vÒ mÆt vËt lÝ nªn víi mçi gi¸ trÞ cña 7 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng32A LÝ
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö. l l¹i cã mét gi¸ trÞ kh¸c tr¸i dÊu. Nh vËy m cã thÓ cã c¸c gi¸ trÞ nguyªn tõ +l ®Õn l : m = +l, l1, l2,...,l tÊt c¶ cã (2l+1) gi¸ trÞ. 1.1.3 PhÐp céng m«men xung lîng. §Ó h×nh dung mét c¸ch cô thÓ vÒ trÞ riªng cña to¸n tö m«men xung lîng ta cã thÓ tr×nh bµy mét c¸ch th« s¬ trªn h×nh vÏ: z 2 O 6 2 8 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng32A LÝ
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö. Vect¬ m«men xung lîng cã ®é dµi : L = l (l + 1)î . H×nh chiÕu cña vect¬ nµy lªn trôc z cã ®é lín ®¹i sè lµ : L z= m = víi m = +l; l1;…;l. Nh vËy L kh«ng thÓ ®Þnh híng tïy ý trong kh«ng gian, nã chØ cã thÓ ®Þnh híng nh thÕ nµo ®Ó h×nh chiÕu cã gi¸ trÞ nh trªn. VÝ dô : H×nh vÏ trªn cña L øng víi l = 2 L = l ( l + 1) ) = 6) Lz = 0;±) ;±2) Trªn mÆt ph¼ng h×nh vÏ L chØ cã thÓ cã 5 c¸ch ®Þnh híng kh¸c nhau (ë nöa bªn ph¶i cña trôc z). NÕu ta quay h×nh vÏ quanh trôc z th× ®îc c¸c híng cã thÓ cã cña L trong kh«ng gian. B©y giê, ta xÐt hÖ gåm hai h¹t cã m«men xung l îng lÇn lît lµ L1 ; L2 NÕu ta bá qua t¬ng t¸c cña hai h¹t lµm thay ®æi m«men xung lîng th× m«men xung lîng cña hÖ L = L1 + L2 . NÕu biÕt sè lîng tö l1, m1, l2, m2 x¸c ®Þnh m«men xung lîng L1 ; L2 th× ta cã thÓ suy ra c¸c sè lîng tö l, m x¸c ®Þnh m«men xung lîng L . C¸ch suy ra c¸c sè lîng tö l, m gäi lµ phÐp céng m«men xung lîng trong c¬ häc lîng tö. 9 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng32A LÝ
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö. Ta cã : Lz = L1z+ L2z Hay: m= = m1= + m2 = ⇔ m = m1 + m2 Mµ gi¸ trÞ cùc ®¹i cña m1 lµ l1 ; cña m2 lµ l2. Nªn gi¸ trÞ cùc ®¹i cña m lµ (l1+l2). Ta cã thÓ hiÓu mét c¸ch th« s¬ r»ng ®©y lµ trêng hîp L1 ; L2 cïng h íng. Trêng hîp hai vect¬ Êy ngîc híng th× l = l1 − l 2 . Cßn trêng hîp kh¸c l cã gi¸ trÞ nguyªn trong kho¶ng gi÷a hai gi¸ trÞ trªn. Tøc lµ : l = l1 + l2 ; l1 + l2 1 ; ....; l1 − l 2 . 1.2 Lý thuyÕt lîng tö vÒ m«men xung lîng. 1.2.1 Lîng tö hãa m«men xung lîng. Quy t¾c lîng tö hãa m«men xung lîng :To¸n tö ˆ b×nh ph¬ng m«men xung lîng toµn phÇn J 2 cña h¹t vi m« cã trÞ riªng lµ j( j +1 ) 2 2 . Trong ®ã j lµ sè kh«ng ©m nguyªn hoÆc b¸n nguyªn. To¸n tö h×nh chiÕu cña m«men xung lîng toµn phÇn lªn trôc z cã gi¸ trÞ riªng lµ Jz = mj .Víi : mj = +j; j1;...; j. Cã tÊt c¶ ( 2j + 1 ) gi¸ trÞ. 10 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng32A LÝ
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö. TËp hîp (2j + 1) hµm sãng øng víi (2j + 1) trÞ ˆ riªng kh¸c nhau cña J z vµ víi cïng mét trÞ riªng ˆ j( j +1 ) 2 2 cña J 2 ®îc gäi lµ mét ®a tuyÕn. 1.2.2 Quy t¾c céng m«men xung lîng. XÐt mét hÖ gåm hai h¹t vµ gäi c¸c to¸n tö m«men ˆˆ xung lîng cña chóng lµ J (1) , J ( 2 ) . Gi¶ sö gi÷a hai h¹t kh«ng cã t¬ng t¸c. Khi ®ã h¹t thø i (i =1, 2) Cã thÓ ®îc diÔn t¶ b»ng (2ji +1) hµm sãng ψ j µ víi (i ) ii c¸c gi¸ trÞ x¸c ®Þnh cña c¸c b×nh ph¬ng m«men xung lîng vµ h×nh chiÕu cña nã lªn trôc Oz: ˆ J 2 ( i )ψ (j iµ = ji ( ji + 1)ψ2ψ (j iµ ) ) ii i i ˆ (i ) J z ψ (j iµ) = µ i ψψ (j iµ) ii i i Víi : µ i = − ji ,− ji + 1,...., + ji . Tøc lµ : µ i ≤ ji HÖ hai h¹t nh vËy ®îc m« t¶ b»ng (2j1 + 1) (2j2 + 1) tÝch trùc tiÕp cña hai hµm sãng ψ j µ ψ j µ . (1) ( 2) 11 2 2 Trong nhiÒu trêng hîp ngêi ta l¹i quan t©m ®Õn m«men xung lîng toµn phÇn cña hÖ. To¸n tö m«men xung lîng toµn phÇn vµ h×nh chiÕu cña nã lªn trôc Oz lµ: 11 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng32A LÝ
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö. ˆˆ ˆ J = J (1) + J ( 2 ) ˆ ˆ (1) ˆ ( 2 ) J z = J z +J z B×nh ph¬ng m«men xung lîng toµn phÇn vµ h×nh chiÕu cña nã lªn trôc Oz cã trÞ riªng lµ j( j+1) 2 2 vµ µv víi µ ≤ j . VÊn ®Ò ®Æt ra lµ j b»ng bao nhiªu vµ c¸c hµm riªng t¬ng øng cã d¹ng nh thÕ nµo? Tríc hÕt, ta thÊy r»ng tÝch ψ j µ ψ j µ lµ hµm (1) ( 2) 11 2 2 riªng cña J z øng víi trÞ riªng: µ = ( µ1 + µ 2 ) ) ˆ ˆ V× : J zψ (j1µ ψ (j 2µ) = ( J z (1) + J z ( 2 ) ) ψ j µ ψ j µ ˆ ˆ (1) ( 2) ) 11 2 2 11 2 2 ˆ = ψ (j 2µ ( J z(1)ψ (j1µ ) + ) ) 2 2 1 1 ˆ ψ (j1µ ( J z( 2 )ψ (j 2µ ) ) ) 11 2 2 = ( µ1 + µ 2 ) ) ψ j µ ψ j µ (1) ( 2) 11 2 2 Nhng c¸c tÝch ψ j µ ψ j µ l¹i kh«ng ph¶i lµ hµm (1) ( 2) 11 2 2 ˆ ˆˆ riªng cña J 2 . V× sù cã mÆt cña 2 J (1) J ( 2 ) lµm cho ˆ J 2ψ (j1µ) ψ (j 2µ) ≠ cosnt ψ j µ ψ j µ (1) ( 2) 11 2 2 11 2 2 12 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng32A LÝ
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö. Tuy nhiªn tõ c¸c tÝch ψ j µ ψ j µ cã thÓ lËp ®îc tæ (1) ( 2) 11 2 2 ˆˆ hîp tuyÕn tÝnh ®ång thêi lµ hµm riªng cña J 2 , J z , kÝ hiÖu lµ φ j j jµ 12 J 2 φ j j jµ = j( j+1) 2 2 φ j j ˆ jµ 12 12 J z φ j j jµ = µ φ j j ˆ jµ 12 12 V× gi¸ trÞ lín nhÊt cña µ1 , µ 2 lµ j1, j2 nªn µ max = j1 + j2 khi vµ chØ khi { µ1 = j 1 , µ 2 = j2 } . Hµm sãng hai h¹t t¬ng øng duy nhÊt lµ ψ j j ψ j j . §ã còng chÝnh lµ (1) ( 2) 11 22 tr¹ng th¸i øng víi gi¸ trÞ m«men xung lîng toµn phÇn j = µ max = j1 + j 2 . VËy φ j j = ψ j j ψ j j . (1) ( 2) 1 2 j1 + j 2 j1 + j 2 11 22 Gi¸ trÞ tiÕp theo cña µ lµ µ max − 1 = j1 + j2 − 1 , khi {µ = j 1 , µ 2 = j2 − 1} , hoÆc { µ1 = j 1 −1, µ 2 = j 2 } . Hµm sãng hai h¹t 1 t¬ng øng lµ ψ j j ψ j , hoÆc ψ j j −1ψ j j . Tõ hai hµm nµy, (1) ( 2) (1) ( 2) 2 j 2 −1 11 11 22 cã thÓ lËp hai tæ hîp ®éc lËp tuyÕn tÝnh, mét tæ hîp cho j = j1 + j 2 , øng víi hµm sãng φ j j , cßn tæ hîp 1 2 j1 + j 2 j1 + j 2 −1 kia cho j= j1 + j2 − 1, øng víi hµm sãng φj j . 1 2 j1 + j 2 −1 j1 + j 2 −1 Ta quy íc r»ng j1 ≥ j2. . Cø mçi lÇn gi¶m ®i mét ®¬n vÞ l¹i xuÊt hiÖn thªm hµm sãng míi cho tíi khi µ = j1 − j2 . Gi¸ trÞ nµy cña µ cã thÓ nhËn ®îc trong 13 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng32A LÝ
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö. (2j2 +1) trêng hîp { µ1 , µ 2 } = { j1 ,− j 2 } ; { j1 − 1,− j 2 + 1} ;……..; {j − 2 j2 , j 2 } , øng víi (2j2 +1) hµm sãng hai h¹t ψ (j1j) ψ (j 2− j ; ) 1 11 2 2 ψ (j1j) −1ψ (j 2−) j +1 ;....; ψ (j1j) − 2 j ψ (j 2j) . 11 2 2 11 2 22 Tõ (2j2 +1) hµm sãng nµy cã thÓ lËp (2j2 +1) tæ hîp ®éc lËp tuyÕn tÝnh cho j = j1 + j 2 , j1 + j2 − 1 ,...,j1 j2 lÇn lît øng víi φ j j ,φ j j ,…, 1 2 j1 + j 2 j1 − j 2 1 2 j1 + j 2 −1 j1 − j 2 φj j . 1 2 j1 − j 2 j1 − j 2 Víi c¸c gi¸ trÞ tiÕp theo cña µ mµ j 2 − j1 ≤ µ
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö. ψ (j1− j ψ (j 2j) −1 . Tõ 2j2 hµm sãng nµy cã thÓ lËp 2j2 tæ hîp ) 1 1 22 ®éc lËp tuyÕn tÝnh cho j = j1 + j 2 ,..., j1 j2+1, lÇn lît øng víi φ j j ,φ j j ,…, φ j j 1 2 j1 + j 2 j 2 − j1 −1 1 2 j1 + j 2 −1 j 2 − j1 −1 1 2 j1 − j 2 +1 j 2 − j1 −1 B¾t ®Çu tõ gi¸ trÞ µ = j 2 − j1 − 1 mçi lÇn µ gi¶m ®i mét ®¬n vÞ th× sè tr¹ng th¸i còng gi¶m ®i 1 cho tíi khi µ = − j1 − j 2 , øng víi mét tr¹ng th¸i duy nhÊt {µ = − j 1 , µ 2 = − j 2 } . VËy φ j j = ψ j − j ψ j − j . (1) ( 2) 1 2 j1 + j 2 − j1 − j 2 1 1 1 2 2 Khi j 2 ≥ j1. , c¸c lËp luËn ë trªn vÉn ®óng , ta chØ cÇn lµm phÐp ho¸n vÞ j1 ↔ j2 Tãm l¹i, víi j1, j2 cho tríc ,tõ c¸c tÝch ψ j µ ψ j µ (1) ( 2) 11 2 2 , ta cã thÓ lËp ®îc c¸c tæ hîp ®éc lËp tuyÕn tÝnh lµ c¸c hµm sãng φ j j jµ cña c¸c tr¹ng th¸i riªng cña hÖ 12 hai h¹t cã m«men xung lîng toµn phÇn J vµ h×nh chiÕu cña nã Jz. J = j ( j + 1) ) ; Jz = µ Víi − j ≤ µ ≤ j , j lÊy c¸c gi¸ trÞ c¸ch nhau mét ®¬n vÞ mµ gi¸ trÞ lín nhÊt lµ (j1 + j2), cßn gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ j1 − j 2 j = j1 + j2 ; j 1 + j2 − 1;...; j1 − j 2 15 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng32A LÝ
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö. Víi mçi gi¸ trÞ cña j cã (2j+1) tr¹ng th¸i, øng víi c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña µ ∈ [ j1 − j2 , j1 + j2 ] . Sè c¸c hµm víi tÊt c¶ gi¸ trÞ kh¶ dÜ cña j lµ: j = j1 + j 2 ∑ (2 j + 1) = ( 2 j + 1) ( 2 j2 + 1) 1 j = j1 − j2 chÝnh b»ng sè c¸c tÝch ψ j µ ψ j µ víi gi¸ trÞ kh¶ dÜ cña (1) ( 2) 11 2 2 µ1 , µ 2 . jµ C¸c hÖ sè C j µ j µ quy íc lµ thùc trong c¸c tæ hîp 112 2 tuyÕn tÝnh : φ j j jµ = µ =∑ µ j µ j µ ψ j µ ψ j µ C jµ (1) ( 2) 112 2 µ+ 12 11 2 2 1 2 jµ C¸c hÖ sè C j µ j µ gäi lµ hÖ sè ClebshGordan, c¸c 112 2 hÖ sè nµy x¸c ®Þnh phÇn ®ãng gãp cña c¸c hµm kh¸c nhau ψ j µ ψ j µ . Vµ c¸c hÖ sè nµy cho bëi b¶ng riªng. (1) ( 2) 11 2 2 C¸c kÕt qu¶ trªn ®©y gäi lµ quy t¾c céng m«men xung lîng. C¸c lËp luËn trªn còng cã thÓ ¸p dông cho hµm sãng mét h¹t víi hai bËc tù do kh¸c nhau : bËc tù do chuyÓn ®éng quü ®¹o víi m«men xung lîng quü ®¹o vµ ˆ ˆ ˆ bËc tù do spin. B©y giê, L ®ãng vai trß cña J (1) , S 16 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng32A LÝ
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö. ˆˆˆ ˆ ®ãng vai trß cña J ( 2 ) vµ : J = L + S lµ to¸n tö m«men xung lîng toµn phÇn cña h¹t cã spin. Trong trêng hîp h¹t cã spin 1/2 vµ ë tr¹ng th¸i cã l ≠ 0 th× j = l +1/2 hoÆc l 1/2. NÕu hÖ vËt lÝ gåm nhiÒu h¹t vi m« cïng chuyÓn ®éng trong trêng xuyªn t©m th× m«men xung lîng toµn ˆ phÇn J cña c¶ hÖ sÏ ®îc hîp thµnh tïy theo c¸c d¹ng t¬ng t¸c. Trong trêng hîp t¬ng t¸c spinquü ®¹o cña mçi h¹t m¹nh h¬n so víi t¬ng gi÷a c¸c h¹t víi ˆ ˆ nhau th×: J = ∑ J i víi J i = L i + S i ˆˆˆ i =1 ˆ ˆ NÕu ngîc l¹i th× : J = L + S víi L = ∑ Li , ˆ ˆ ˆ i =1 ˆ ˆ S = ∑ Si . i =1 1.3 Bµi tËp Bµi 1: X¸c ®Þnh nh÷ng gi¸ trÞ cã thÓ cã cña m«men tõ cña nguyªn tö ë tr¹ng th¸i 3 D ? Bµi gi¶i: ( ) ( ) e e e e Ta cã m«men tõ : M = L+ S = L + 2S = J +S 2m m 2m 2m 17 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng32A LÝ
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö. ˆˆ  ( ) e  JS eˆˆ ˆ ˆˆ ˆ  2 + 1 J = GJ To¸n tö m«men tõ : M = J +S = J  ˆ 2m 2m   ˆ 2 ˆ2 ˆ 2 ˆ = e  J − L + S + 1 . Do ®ã tri riªng cña G   ˆ Víi : G 2m   ˆ2 2J   e lµ :G =g. 2m j ( j + 1) + s ( s + 1) − l (l + 1) trong ®ã: g = +1 2 j ( j + 1) VËy trÞ riªng cña to¸n tö m«men tõ lµ: e M = g.µ B . j ( j + 1) víi: µ B = lµ 2m Mannhªt«n Bo Theo gi¶ thiÕt tr¹ng th¸i cña nguyªn tö lµ 3 D nªn 2s + 1=3 vµ l = 2 Hay: s =1; l = 2. Vµ theo quy t¾c céng m«men ta cã: j = l +s; l +s1;l s = 3; 2; 1. 8 µB Víi j =3 th× M1 = 3 18 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng32A LÝ
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö. 7 µB Víi j =2 th× M2= 6 1 µB Víi j =1 th× M3 = 2 Bµi 2: M«men tõ cña nguyªn tö ë tr¹ng th¸i 4 D, 5 F b»ng 0. X¸c ®Þnh m«men cña nã trong c¸c tr¹ng th¸i ®ã? Bµi gi¶i: Theo bµi 1 ta cã c«ng thøc tÝnh m«men tõ cña nguyªn tö : M = g. µ B . j ( j + 1) = 0 (1) j ( j + 1) + s ( s + 1) − l (l + 1) trong ®ã : g = +1 2 j ( j + 1) 3 +) Víi nguyªn tö ë tr¹ng th¸i 4 D th× s = ; l = 2. 2 1 Thay vµo (1) ta ®îc: j = 2 3 VËy m«men xung lîng toµn phÇn : J = î 2 +) Víi nguyªn tö ë tr¹ng th¸i 5 F th× s = 2, l = 3. T¬ng tù trªn ta t×m ®îc J = 6î 19 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng32A LÝ
Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö. Bµi 3: H∙y chØ ra c¸c tr¹ng th¸i cã thÓ cã cña m«men toµn phÇn trong c¸c tr¹ng th¸i 1S ,3P, 4D ? Bµi gi¶i: +) Tr¹ng th¸i 1 S cã nghÜa lµ s = 0, l = 0 . M«men xung lîng toµn phÇn : J = j ( j + 1)î , víi j = l + s,l + s1,…, l − s = 0 VËy ta cã tr¹ng th¸i 1 S 0 . +) Tr¹ng th¸i 3 P cã nghÜa lµ s = 1, l = 1. t¬ng tù trªn cã j = 0, 1, 2 VËy ta cã tr¹ng th¸i kh¶ dÜ : 3 P0 , 3 P1 , 3 P2 , +) T¬ng tù trªn: Tr¹ng th¸i 4 D cã c¸c tr¹ng 4 4 4 4 th¸i kh¶ dÜ: D1 , D 3 , D5 , D7 2 2 2 2 Bµi 4: Cã thÓ tån t¹i nh÷ng tr¹ng th¸i nµo ®èi víi hai electron sau: a) ns vµ n’s c) ns vµ n’d b) ns vµ n’p d) np vµ n’p Bµi gi¶i: 20 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng32A LÝ