Luận văn: Đối tượng và phương pháp trong toán học cổ điển

ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP TRONG TOÁN<br /> HỌC CỔ ĐIỂN.<br /> <br /> MỤC LỤC<br /> MỞ ĐẦU.................................................................................................................................... 1<br /> CHƯƠNG I. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN. ............................... 2<br /> 1.1. Sự khởi sinh của các tư tưởng tiền Toán học. ................................................................ 5<br /> 1.2. Tư tưởng chứng minh. ..................................................................................................... 8<br /> 1.3. Các tiên đề và định nghĩa. .............................................................................................. 10<br /> 1.4. Hình học, từ Euclid đến Hilbert .................................................................................... 13<br /> 1.5. Số và đại lượng................................................................................................................ 18<br /> CHƯƠNG II. MỘT SỐ TƯ TƯỞNG TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH......................... 25<br /> 2.1. Tư tưởng về xấp xỉ. .......................................................................................................... 25<br /> 2.2. Những tiến bộ trong đại số.............................................................................................. 29<br /> 2.3. Phương pháp tọa độ ........................................................................................................ 32<br /> 2.4. Quan điểm về giới hạn và phép tính vô cùng bé. .......................................................... 38<br /> KẾT LUẬN ............................................................................................................................. 49<br /> DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................... 50<br /> <br /> MỞ ĐẦU<br /> David Hilbert, một trong những nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời đại, có<br /> nói đại ý rằng, Toán học cũng giống như nhạc cổ điển: vừa đơn giản vừa đẹp.<br /> Cũng như trong âm nhạc, vẻ đẹp của toán học cổ điển còn mãi với thời gian.<br /> Ngày nay, đọc lại những trang “Cơ sở” của Euclid, ta vẫn ngạc nhiên thán phục<br /> trước sự chặt chẽ của lập luận, sự trong sáng của tư duy trong một công trình<br /> được viết đã hai ngàn năm.<br /> Tìm hiểu về đối tượng và phương pháp của toán học cổ điển là sự trở về<br /> với cội nguồn của những ý tưởng, những phương pháp toán học mà ta được học<br /> trong nhà trường. Hiểu được cội nguồn của nó, ta sẽ hiểu rõ hơn, sâu hơn, và sẽ<br /> có thể đi xa hơn. Sự hiểu biết đó cũng sẽ giúp ích rất nhiều cho những người làm<br /> công tác giảng dạy toán học ở nhà trường.<br /> Vì những lẽ đó, chúng tôi chọn đề tài cho luận văn này là “Đối tượng và<br /> phương pháp trong toán học cổ điển”.<br /> Tất nhiên, không thể đề cập đến toàn bộ vấn đề rộng lớn như tên gọi của<br /> luận văn. Chúng tôi chỉ tập trung trình bày ở đây một số vấn đề sau:<br /> -<br /> <br /> Sự xuất hiện của ý tưởng về “chứng minh”<br /> <br /> -<br /> <br /> Phương pháp tiên đề.<br /> <br /> -<br /> <br /> Phương pháp tọa độ<br /> <br /> -<br /> <br /> Ý tưởng về xấp xỉ<br /> <br /> -<br /> <br /> Đại lượng vô cùng bé.<br /> <br /> Nội dung của luận văn được viết dựa vào các tài liệu liệt kê trong phần Tài<br /> liệu tham khảo, đặc biệt là cuốn sách ”Mathematics – the music of reason” của<br /> J. Dieudonné.<br /> <br /> 1<br /> <br /> Thang Long University Libraty<br /> <br /> CHƯƠNG I. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN.<br /> <br /> Vào thời văn minh cổ đại, nhằm đáp ứng các nhu cầu trong cuộc sống<br /> hàng ngày và xây dựng quy trình tính toán số học và các phép đo lường không<br /> gian, từ thế kỷ thứ 6 trước Công nguyên, người Hy Lạp, bằng cách phân tích<br /> chuỗi suy luận ẩn sau những qui trình đó, đã tạo ra một phương thức tư duy<br /> hoàn toàn mới. Trong chương này, chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ những khía cạnh<br /> thiết yếu trong toán học Hy Lạp và sự phát triển đến mức không ngờ, đặc biệt<br /> hiệu quả, mà nó mang lại cho các nhà toán học vào giữa thời kỳ phục hưng cho<br /> đến cuối thế kỷ thứ 18.<br /> Chúng ta sẽ chỉ tập trung vào 2 nền tảng đặc trưng của Toán học Hy Lạp.<br /> 1) Ý tưởng về chứng minh: bằng một chuỗi suy luận lô gic xuất phát từ<br /> những mệnh đề, định đề, tiên đề chưa được chứng minh. Cần phải nhấn<br /> mạnh rằng ý tưởng này chỉ có thể trở thành hiện thực nhờ vào kỹ năng<br /> suy luận logic bởi những người đã được nuôi dưỡng từ những trường phái<br /> Triết học Hy Lạp. Một ví dụ nổi bật là nguyên tắc “chứng minh phản<br /> chứng”, một phương pháp đã được các nhà logic học làm sâu sắc thêm và<br /> đã trở thành một trong những trụ cột của lập luận toán học.<br /> 2) Những đối tượng mà các nhà toán học cùng quan tâm đều mang những<br /> tên gọi thường được sử dụng trong các tính toán thực tế như: số, hình học<br /> và độ lớn. Tuy nhiên, ngay từ thời của Plato, các nhà toán học đã lưu ý<br /> rằng dưới những tên gọi đó, họ đang lập luận về những thực thể hoàn toàn<br /> khác, những thực thể phi vật chất, nhận được “bằng cách trừu tượng” từ<br /> đối tượng cảm nhận bởi giác quan của chúng ta, nhưng chúng chỉ là hình<br /> ảnh của những đối tượng đó.<br /> Như sẽ chỉ ra trong mục 1.3, phần nói về lược đồ trong hình học, sự khác<br /> nhau đến mức nào của những tính chất được gán bởi các tiên đề cho các đối<br /> <br /> 2<br /> <br /> tượng “trìu tượng” của hình học với những “hình ảnh” của chúng, và những khó<br /> khăn phát sinh trong việc tìm kiếm một từ phù hợp để định nghĩa những đối<br /> tượng này . Để có thể hiểu rõ hơn về những ý tưởng này, chúng ta sẽ không<br /> dừng lại ở đây để theo dõi chi tiết thăng trầm lịch sử của những khái niệm. Thay<br /> vào đó, chúng ta sẽ trình bày những ý tưởng mà Pasch và Hilbert đã thực hiện<br /> vào cuối thế kỷ thứ 19. Hai nhà toán học này đã khắc phục những thiếu sót<br /> nhưng vẫn giữ nguyên phương pháp tiên đề Euclid trong tinh thần ban đầu của<br /> nó. Họ đã xóa bỏ vĩnh viễn những khó khăn, bằng cách nêu rõ chính các tiên đề<br /> xác định các đối tượng toán học.<br /> Cũng tương tự như vậy, mục 1.4 được dành để trình bày các đối tượng<br /> toán học mà “hình ảnh” của chúng là các số và những đại lượng của các thực thể<br /> thông qua nhận thức bằng cảm quan của chúng ta. Đặc tính “trừu tượng” của<br /> toàn bộ các con số đã luôn hiện hữu trong Toán học Hy lạp, và sự trình bày của<br /> Euclid về quan hệ chia hết của các số và số nguyên tố vẫn còn thích hợp trong<br /> việc giảng dạy ngày nay. Mặc dù vậy, không giống như trong hình học, các con<br /> số không được đặt trong dạng lý thuyết tiên đề .<br /> Ngược lại, việc khám phá ra đại lượng vô ước đã mang lại một cuộc<br /> khủng hoảng trong quan niệm của các nhà Toán học Hy Lạp về phép đo độ lớn.<br /> Có vẻ như trên thực tế những người theo trường phái Pytagore trước kia đã luôn<br /> chấp nhận rằng khi một đơn vị được chọn cho một loại đại lượng, thì mọi đại<br /> lượng cùng loại là “thông ước” với đơn vị này –có thể gọi đó là một số hữu tỷ.<br /> Để vượt qua những khó khăn này, người Hy Lạp đã tạo ra những đối tượng<br /> Toán học mới, cụ thể là tỷ số giữa các đại lượng cùng một loại. Các tỷ số này<br /> được định nghĩa một cách tiên đề sao cho tỷ số giữa các đại lượng cùng loại với<br /> một đơn vị đã chọn cho chúng lập nên một phần của cái mà ta gọi là tập các số<br /> thực dương. Phần này chứa các số hữu tỷ và một số số vô tỷ, tuy nhiên nó chưa<br /> cho phép chỉ ra rõ được hết các phần tử chứa trong đó.<br /> <br /> 3<br /> <br /> Thang Long University Libraty<br /> <br /> Chắc chắn vì lý do triết học, nên các nhà toán học của trường Plato đã<br /> quan sát thấy những điều cấm kỵ trong việc vận dụng ba loại độ lớn hình học là:<br /> chiều dài, diện tích và thể tích. Ví dụ, bạn không thể cộng các số chiều dài với<br /> số đo diện tích, và tích của số đo hai chiều dài lại là số đo một diện tích (hoặc<br /> tích của ba chiều dài là số đo một thể tích), chứ không phải là số đo chiều dài.<br /> Mặc dù hình học có thể tự thích nghi với những hạn chế trên, nhưng những hạn<br /> chế đó đã làm cho không thể thực hiện các phép tính đại số như chúng ta vẫn<br /> thực hiện ở các số thực. Phải đến Descartes mới ngăn việc thực hiện những phép<br /> toán như vậy, mặc dù có một số các nhà toán học đã đề nghị việc này từ hàng<br /> thế kỷ trước. Từ thời kỳ này trở đi “tỷ số” giữa các đại lượng cùng một loại<br /> được đồng nhất với các số thực, mà không cần thiết phải chỉ rõ loại cần được<br /> xem xét.<br /> Trong mục 2.2 và 2.3, chúng ta sẽ chỉ ra, cùng với việc phát minh ra các<br /> ký hiệu thuận tiện vào thời Trung cổ và thời kỳ Phục hưng, cuộc cải cách này đã<br /> tạo nên không chỉ sự phát triển của đại số, mà còn tạo ra phát minh về phương<br /> pháp toạ độ, một mặt cho ta một mô hình đại số của hình học Euclid, mặt khác<br /> hiện thực hóa một tư tưởng chung về hàm thực của một biến số thực, một ý<br /> tưởng vẫn chưa được người Hy Lạp biết đến.<br /> Cuối cùng trong mục 2.1 và 2.4 chúng ta giới thiệu về hai trong những tư<br /> tương cơ bản nhất của toán học, là xấp xỉ và giới hạn, cái này suy ra từ cái kia.<br /> Các nhà toán học Hy Lạp thường giải quyết các vấn đề đại số bằng hình học<br /> “dựng hình”; Ví dụ như Euclid đã đưa ra việc xây dựng căn bậc hai của một “tỷ<br /> số” bằng giao điểm của một đường tròn và một đường thẳng, và tương tự như<br /> vậy Menaechmus đã xây dựng căn bậc ba bằng giao điểm của hai đường conic.<br /> Tuy nhiên chúng ta cũng nhận thấy một tư tưởng khác của Euclid về việc xác<br /> định số đo diện tích của hình phẳng không là đa giác: ông đặt hình phẳng này<br /> vào giữa hai dãy hình đa giác, mà hiệu diện tích của chúng dần đến không. Ý<br /> tưởng này đã được Acimet sử dụng lặp đi lặp lại, được tổng quát hóa vào thế kỷ<br /> <br /> 4<br /> <br />