Luận văn: Một số định lý biến phân trong không gian có thứ tự

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

69
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn: Một số định lý biến phân trong không gian có thứ tự trình bày về định lý Knaster - Kuratowski - Mazurkiewicz trong không gian có thứ tự; bất đẳng thức Ky Fan, định lý điểm bất động Fan Browder; lát cắt liên tục của ánh xạ đa trị và phần tử tối đại trong không gian có thứ tự.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: Một số định lý biến phân trong không gian có thứ tự

Một số định lý biến phân trong không gian có thứ tự Trần Văn Toàn Chuyên ngành toán giải tích Trường ĐHSP Tp. HCM, 2006
1 Lời nói đầu Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự được phát triển mạnh mẽ từ giữa thế kỷ XX và được hoàn thiện, bổ sung cho đến hôm nay. Việc áp dụng quan hệ thứ tự vào nghiên cứu các phương trình toán tử tổng quát một mặt cho phép nghiên cứu sâu hơn các tính chất định tính của nghiệm như tính dương, tính lồi, tính đơn điệu,. . . , Mặt khác, nó cho phép giảm nhẹ điều kiện liên tục của các ánh xạ hoặc kiện lồi của các tập được xét. Do đó, lý thuyết của phương trình trong không gian có thứ tự được ứng dụng rộng rãi để nghiên cứu các phương trình xuất phát từ Vật lý, Hoá học, Sinh học, . . . Thế nhưng, việc ứng dụng lý thuyết này vào các bài toán biến phân lại rất hạn chế và mới chỉ mới bắt đầu trong những năm gần đây. Do đó, việc nghiên cứu ứng dụng quan hệ thứ tự vào bài toán biến phân là cần thiết và hứa hẹn nhiều kết quả mới thú vị. Mục đích của luận văn này là giới thiệu các dạng trong không gian có thứ tự của một số định lý cơ bản được dùng trong phương pháp biến phân. Đó là các định lý Knaster - Kuratowski - Mazurkiewicz, bất đẳng thức Ky Fan, định lý điểm cân bằng Nash. Đây là các kết quả được công bố trên các bài báo chuyên khảo gần đây. Qua các kết quả này, ta cũng thấy rằng, việc sử dụng quan hệ thứ tự đã cho phép làm giảm nhẹ điều kiện liên tục của ánh xạ và điều kiện lồi của các tập hợp. Luận văn được chia thành bốn chương: Chương 1. Định lý Knaster - Kuratowski - Mazurkiewicz trong không gian có thứ tự. Định lý KKM là một định lý rất cơ bản. Đã có nhiều kết quả quan trọng được chứng minh dựa trên định lý này, chẳng hạn bổ đề Sperner, định lý điểm bất động Brouwer, bất đẳng thức Ky Fan,. . . Kể từ khi Knaster, Kuratowski, Mazurkiewicz
2 chứng minh định lý, đã có nhiều sự tổng quát cho định lý KKM. Trong chương này, từ Định lý 2 trong [3], chúng ta chứng minh được định lý KKM trong không gian có thứ tự dựa trên khái niệm ánh xạ transfer closed valued. Chương 2. Bất đẳng thức Ky Fan, định lý điểm bất động Fan - Browder, điểm cân bằng Nash trong không gian có thứ tự. Từ Định lý KKM ở Chương 1, chúng ta chứng minh được bất đẳng thức Ky Fan, định lý điểm bất động Fan - Browder và định lý về sự tồn tại điểm cân bằng Nash trong không gian có thứ tự. Chương 3. Lát cắt liên tục của ánh xạ đa trị và phần tử tối đại trong không gian có thứ tự. Ở phần đầu của chương này, chúng tôi giới thiệu định lý về sự tồn tại lát cắt liên tục của ánh xạ đa trị. Tiếp theo là các định lý về sự tồn tại phần tử lớn nhất trong một quan hệ ưu tiên yếu và sự tồn tại phần tử tối đại trong một quan hệ ưu tiên ngặt. Chương 4. Ánh xạ đơn điệu tăng và bài toán cực trị. Trong chương này, chúng ta sẽ xem xét sự tồn tại của các điểm bất động bội bằng cách sử dụng các tập bất biến theo quỹ đạo giảm. Xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Bích Huy về sự hướng dẫn tận tâm của thầy. Cám ơn anh Nguyễn Thanh Vinh (Phòng Sau đại học, trường ĐHSP thành phố Hồ Chí Minh) đã giúp đỡ để tôi có được phần mềm soạn thảo cho luận văn. Cám ơn anh Phan Đào Việt Long (http://www.viettug. org) đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong việc định dạng luận văn này. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2006, Trần Văn Toàn.
3 Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. Định lý Knaster - Kuratowski-Mazurkiewicz trong không gian có thứ tự 5 1.1 Nửa dàn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Transfer closed valued. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Chương 2. Bất đẳng thức Ky Fan, định lý điểm bất động Fan - Browder, điểm cân bằng Nash trong không gian có thứ tự 17 2.1 Bất đẳng thức Ky Fan trong không gian có thứ tự. . . . 17 2.2 Định lý điểm bất động Fan - Browder trong không gian có thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Điểm cân bằng Nash trong không gian có thứ tự. . . . . 20 Chương 3. Lát cắt liên tục của ánh xạ đa trị và phần tử tối đại trong không gian Banach có thứ tự 23 3.1 Các định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Lát cắt liên tục và phần tử tối đại. . . . . . . . . . . . . 24 3.3 Ứng dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Chương 4. Ánh xạ tựa đơn điệu tăng và bài toán cực trị 32
4 4.1 Các khái niệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.2 Tập bất biến theo quỹ đạo giảm (Decreasing flow invari- ant set). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.3 Điểm bất động của các toán tử tựa đơn điệu tăng. . . . . 40 Tài liệu tham khảo 46
5 Chương 1 Định lý Knaster - Kuratowski-Mazurkiewicz trong không gian có thứ tự 1.1 Nửa dàn. Định nghĩa 1.1.1 Một nửa dàn là một tập có thứ tự một phần X, với thứ tự ký hiệu bởi ≤, mà trong đó mọi cặp (x, x0 ) của các phần tử có một cận trên nhỏ nhất, ký hiệu x ∨ x0 . Ta thấy rằng mọi tập con A hữu hạn, khác rỗng của X đều có một cận trên nhỏ nhất, ký hiệu là sup A. Trong một tập hợp có thứ tự (X, ≤), hai phần tử bất kỳ x và x0 không phải lúc nào cũng có thể so sánh với nhau được, nhưng trong trường hợp mà x ≤ x0 , thì tập [x, x0 ] = {y ∈ X : x ≤ y ≤ x0 } được gọi là khoảng có thứ tự. Bây giờ ta giả sử rằng (X, ≤) là một nửa dàn và A ⊆ X là một tập S con hữu hạn, khác rỗng của X. Khi đó ∆(A) = a∈A [a, sup A] được định nghĩa tốt (vì A hữu hạn, khác rỗng, nên tồn tại sup A và hiển nhiên a ≤ sup A). Hơn nữa, ∆(A) có các tính chất sau: (a) A ⊆ ∆(A), (b) Nếu A ⊆ A0 , thì ∆(A) ⊆ ∆(A0 ).
6 Tính chất (a) hiển nhiên đúng. Tính chất (b) có được với chú ý [ [ [a, sup A] ⊆ [a, sup A0 ]. a∈A a∈A0 Định nghĩa 1.1.2 Một nửa dàn tôpô, hoặc, chính xác hơn, một sup - nửa dàn tôpô là một không gian tôpô có thứ tự X sao cho nó là một nửa dàn với toán tử sup (tức là hàm X × X → X, (x, x0 ) 7→ x ∨ x0 ) liên tục. Định nghĩa 1.1.3 Ta nói rằng tập con E ⊆ X là tập ∆−lồi, nếu với mọi tập con hữu hạn, khác rỗng A ⊆ E, ta có ∆(A) ⊆ E. Với mọi tập D ⊂ X, ta ký hiệu F (D) để chỉ họ các tập con hữu hạn S của D, ta có ∆(D) = A∈F (D) ∆(A). Ví dụ 1.1.1 Cho X = {(x, 1) : 0 ≤ x < 1} ∪ {(x, y) : 0 ≤ y ≤ 1, x ≥ 1, y ≥ x − 1} ⊂ R2 . Thứ tự trong R2 được định nghĩa như sau: với (a, b), (c, d) ∈ R2 ,   c − a ≥ 0, (a, b) ≤ (c, d) ⇔ d − b ≥ 0, d − b ≤ c − a.  Khi đó, X là ∆−lồi. Định lý 1.1.1 (Brown, 1965) Nếu S là một nửa nhóm tôpô luỹ đẳng liên thông đường với phần tử zero, thì S là một đồng luân tầm thường. Phần tử x0 ∈ S được gọi là phần tử zero nếu x.x0 = x0 với mọi x ∈ S. Một nửa dàn tôpô có thể xem như là nửa nhóm tôpô luỹ đẳng, giao hoán có thứ tự với phép toán (x, x) 7→ x ∨ x0 . Bổ đề 1.1.1 Cho X là nửa dàn tôpô liên thông đường với phần tử x ∈ X sao cho x ≤ x với mỗi x ∈ X. Khi đó, với mọi n ∈ N và mọi hàm liên tục g : ∂∆n −→ X, tồn tại một hàm liên tục f : ∆n −→ X mà thu hẹp của f trên ∂∆n là g.
7 Pn Ở đây ∆n = (t0 , t1 , . . . , tn ) ∈ Rn+1 : t i=0 i = 1 là đơn hình n chiều Qn+ và ∂∆n = {(t0 , . . . , tn ) ∈ ∆n : i=0 ti = 0} là biên của nó. Chứng minh. Ta chứng minh rằng, nếu S n là mặt cầu trong không gian Euclide n−chiều và g : S n −→ X là một hàm liên tục, thì g có một sự mở rộng liên tục f : Dn+1 −→ X, với Dn+1 là quả cầu đơn vị đóng trong Rn+1 . Tất cả các đồng luân nhóm của X là tầm thường (xem Định lý 1.1.1). Điều này có nghĩa là nếu µ0 ∈ S n và x0 ∈ X, và nếu g : S n −→ X liên tục thoả g(µ0 ) = x0 , thì tồn tại một hàm liên tục H : S n × [0, 1] −→ X thoả: • H(µ, 1) = g(µ), ∀µ ∈ S n , • H(µ, 0) = x0 , ∀µ ∈ S n , • H(µ0 , t) = x0 , ∀t ∈ [0, 1]. Để ý rằng H(µ, t) = tg(µ) + (1 − t)x0 . Giả sử g : S n −→ X liên tục thoả g(µ0 ) = x0 . Đặt f : Dn+1 −→ X xác định bởi   x0 , nếu q = 0; f (q) = q H , kqk , nếu q 6= 0. kqk Ta sẽ chứng minh f|S n = g, tức f (q) = g(q), ∀q ∈ S n . Nếu q = 0, thì f (0) = x0 = g(0) (vì 0 ∈ S n ). Nếu q 6= 0, ta có q f (q) = H , kqk kqk q = kqk g + (1 − kqk)x0 kqk q = kqk x0 + x0 − kqk x0 vì kqk = 1 = x0 = g(q), ∀q ∈ S n .
8 Vậy f liên tục và f|S n = g. Lý luận này không phụ thuộc vào việc chọn µ0 ∈ S n và x0 ∈ X, cũng như việc chọn g(µ0 ) = x0 , vì X là liên thông đường. Định lý 1.1.2 Cho X là một nửa dàn tôpô với các khoảng liên thông đường và {Ri : i = 0, . . . , n} là một họ các tập con đóng của X. Giả sử tồn tại các điểm x0 , . . . , xn của X sao cho với mọi họ {i0 , . . . , ik } của k S n T các chỉ số thì ta có ∆ ({xi0 , . . . , xik }) ⊂ Rij . Khi đó Ri 6= ∅. j=0 i=0 Chứng minh. Trước hết, ta có xi ∈ Ri , ∀i. Đặt k X ∆J = t ∈ ∆n : tij = 1 , J = {i0 , . . . , ik }. j=0 Ta có k [ ∆ ({xi0 , . . . , xik }) = [xij , x], với x = sup xij j=0 j=0,k là một nửa dàn tôpô liên thông đường với phần tử lớn nhất là x. (vì TS k x∈ [xij , x]) j=0 Với mỗi cặp chỉ số {i0 , i1 }, ta có ánh xạ ∆{i0 } ∪ ∆{i1 } → ∆ ({xi0 , xi1 }) đặt tương ứng cho đỉnh thứ ij của ∆n đối với xij . Ta có ∆{i0 } ∪ ∆{i1 } = ∂∆{i0 ,i1 } . Thật vậy, theo định nghĩa của ∆J , ta có ∆{i0 } = {t ∈ ∆n : ti0 = 1} và ∆{i1 } = {t ∈ ∆n : ti1 = 1} . Do đó ∆{i0 }∪{i1 } = t ∈ ∆n : ti0 = 1 hoặc ti1 = 1 .
9 Mặt khác ∂∆{i0 ,i1 } = {t ∈ ∆n : ti0 + ti1 = 1, ti0 ti1 = 0} ti0 = 1 ti0 = 0 = t ∈ ∆n : hoặc ti1 = 0 ti1 = 1 Từ đó, ta có ∆{i0 } ∪ ∆{i1 } = ∂∆{i0 ,i1 } . Do đó, theo Bổ đề 1.1.1, tồn tại một hàm liên tục f{i0 ,i1 } : ∆{i0 ,i1 } → ∆ ({xi0 , xi1 }) . Hàm này biến đỉnh ik của ∆n thành xk . Đặt |J| là lực lượng của tập J. Hàm f 1 : S ∆J → X thu được bằng |J|=2 cách đặt f|J1 = fJ là liên tục và thoả f 1 (∆J ) ⊆ ∆ ({xj : j ∈ J}) , với 1 ≤ |J| ≤ 2. (ở trường hợp trên J = {i0 , i1 }), ta có f 1 (∆J ) = f{i0 ,i1 } ({i0 , i1 }) ⊆ ∆ ({xi0 , xi1 }) , (f 1 liên tục). Giả sử ta có hàm liên tục f k−1 : S ∆J −→ X thoả |J|=k f k−1 (∆J ) ⊆ ∆ ({xj : j ∈ J}) , 1 ≤ |J| ≤ k. Đặt Jb = {i0 , i1 , . . . , ik } là tập hợp gồm k + 1 chỉ số. Khi đó [ ∂∆Jb = ∆J |J|=k J⊆Jb và [ n o k−1 f ∂∆Jb ⊆ ∆ ({xj : j ∈ J}) ⊆ ∆ xj : j ∈ J . b |J|=k J⊆Jb Theo Bổ đề 1.1.1, hàm n o k−1 f : ∂∆Jb → ∆ xj : j ∈ J b
10 có thể được thác triển thành một hàm liên tục n o k−1 fJb : ∆Jb → ∆ xj : j ∈ J b . Nếu Jb1 , Jb2 là các tập con gồm k + 1 chỉ số sao cho ∆Jb1 ∩ ∆Jb2 6= ∅, thì tồn tại một tập hợp J có lực lượng tối đa k phần tử sao cho ∆Jb1 ∩ ∆Jb2 ⊆ ∆J và vì vậy k−1 k−1 k−1 fJ| b Jb ∩Jb = f|Jb ∩Jb = fJb |Jb ∩Jb . 1 2 1 2 2 1 2 Bằng cách chọn f|kJb = fJk−1 b , ta có một hàm liên tục [ fk : ∆J −→ X |J|≤k+1 sao cho f k (∆J ) ⊆ ∆ ({xj : j ∈ J}) , với 1 ≤ |J| ≤ k + 1. Sau một số hữu hạn bước, ta được hàm liên tục f : ∆n −→ X thoả f (∆J ) ⊆ ∆ ({xj : j ∈ J}) , ∀J ⊆ {0, . . . , n} . Đặt Fi = f −1 (Ri ), i = 0, . . . , n. Đây là những tập con đóng của ∆n (do S Ri đóng và f liên tục) thoả ∆J ⊆ j∈J Fj với mỗi tập chỉ số J. Do đó, theo bổ đề KKM, tồn tại một điểm µ ∈ ni=0 Fi . Khi đó T f (µ) ∈ ni=0 Ri . T Bằng cách chứng minh tương tự như Định lý 1.1.2, ta có Định lý sau Định lý 1.1.3 Cho X là nửa dàn tôpô với các khoảng liên thông đường và {Ui : i = 0, . . . , n} là một họ các tập con mở của X. Giả sử tồn tại các điểm x0 , . . . , xn của X sao cho với mọi họ {i0 , . . . , ik } của các chỉ k Uij , khi đó ni=0 Ui 6= ∅. S T số thì ta có ∆ ({xi0 , ..., xik }) ⊂ j=0 Định lý 1.1.4 Cho X là một nửa dàn tôpô với các khoảng liên thông đường, X0 ⊆ X là một tập con khác rỗng của X, và R ⊆ X0 × X là một quan hệ hai ngôi thoả (i) Với mỗi x ∈ X0 , tập R(x) = {y ∈ X : (x, y) ∈ R} khác rỗng và là tập đóng trong R(X0 );
11 (ii) Tồn tại x0 ∈ X0 sao cho tập R(x0 ) là compắc; (iii) Với mọi tập con hữu hạn khác rỗng A ⊆ X0 thì ta có [ [ [x; sup A] ⊆ R(x). x∈A x∈A T Khi đó tập x∈X0 R(x) khác rỗng. Chứng minh. Gọi A là tập con hữu hạn của X. Theo Định lý 1.1.2 T thì x∈A R(x) 6= ∅ (hàm f xây dựng trong Định lý 1.1.2 nhận các giá trị trong x∈A [x; sup A], và do đó trong R(X0 ), ∀x ∈ A, tập f −1 (R(x)) S là một tập con đóng của đơn hình). Họ {R(x) : x ∈ X0 } có tính giao hữu hạn, mỗi tập của họ là một tập T đóng và R(x0 ) là compắc, vì vậy x∈X0 R(x) 6= ∅. 1.2 Transfer closed valued. Cho X là một tập hợp khác rỗng và Y là một không gian tôpô. Đặt 2Y là họ tất cả các tập con của Y . Định nghĩa 1.2.1 Ánh xạ G : X −→ 2Y được gọi là transfer closed valued (viết tắt là t.c.v.), nếu với mỗi x ∈ X và y ∈ / G(x), thì tồn tại x ∈ X và một lân cận mở N (y) của y trong Y sao cho y 0 ∈ 0 / G(x0 ), ∀y 0 ∈ N (y). Dễ thấy, nếu ánh xạ G : X −→ 2Y là transfer closed valued, thì với / G(x) suy ra tồn tại x0 ∈ X sao cho y ∈ mỗi x ∈ X và y ∈ / G (x0 ). Mệnh đề 1.2.1 Cho X, Y là hai không gian tôpô, ánh xạ G : X −→ 2Y T T là transfer closed valued khi và chỉ khi G(x) = G(x). x∈X x∈X Chứng minh. T T Điều kiện cần. Ta cần chứng minh G(x) = G(x), nếu G là x∈X x∈X transfer closed valued.
12 T T Hiển nhiên ta có G(x) ⊃ G(x). x∈X x∈X T T Vì vậy ta chỉ cần chứng minh G(x) ⊂ G(x). x∈X x∈X T T Giả sử trái lại, tồn tại y ∈ G(x) nhưng y ∈ / G(x). x∈X x∈X Khi đó y ∈/ G(z) với mọi z ∈ X. Vì G là t.c.v. nên tồn tại z 0 ∈ X sao / G(z 0 ), và do đó y ∈ T cho y ∈ / G(x). Điều này mâu thuẫn. x∈X Điều kiện đủ T T Giả sử G(x) = G(x). Ta cần chứng minh G là transfer closed x∈X x∈X valued. G(x), nên tồn tại x0 ∈ X T T Nếu y ∈ / G(x), thì y ∈ / G(x) = x∈X x∈X sao cho y ∈/ G(x0 ). Do đó, tồn tại lân cận mở N (y) của y sao cho N (y) ∩ G(x ) = ∅ hay ∀y 0 ∈ N (y) thì y 0 ∈ 0 / G(x0 ). Vậy G là t.c.v. trên X. Định nghĩa 1.2.2 Cho X, Y là hai không gian tôpô, ánh xạ T : X −→ 2Y được gọi là có tính giao địa phương, nếu với mỗi x ∈ X, T (x) 6= ∅, T tồn tại một lân cận mở N (x) của x trong X sao cho T (z) 6= ∅. z∈N (x) Mệnh đề 1.2.2 T : X −→ 2Y có tính giao địa phương khi và chỉ khi X\T −1 là t.c.v., tức là [ [ T −1 y = int T −1 y . y∈Y y∈Y Chứng minh. Giả sử T có tính giao địa phương, ta cần chứng minh [ [ −1 int T −1 y . T y= y∈Y y∈Y Hiển nhiên ta có [ [ −1 T −1 y . int T y ⊂ y∈Y y∈Y
13 Vì vậy ta chỉ cần chứng minh [ [ T −1 y ⊂ int T −1 y . y∈Y y∈Y T −1 y , khi đó x ∈ T −1 y (với một y nào đó của S Lấy x tuỳ ý thuộc y∈Y Y ). Do vậy y ∈ T (x) hay T (x) 6= ∅. Do T có tính giao địa phương, nên T tồn tại một lân cận N (x) của x trong X sao cho T (z) 6= ∅. z∈N (x) Do đó, tồn tại y ∈ T (z), ∀z ∈ N (x). Hay z ∈ T −1 (y), ∀z ∈ N (x). Nên N (x) ⊂ T −1 y Suy ra [ −1 x ∈ intT (y) ⊂ intT −1 (y) . y∈Y Như vậy ta có [ [ T −1 y ⊂ int T −1 y . y∈Y y∈Y Điều kiện cần của Định lý được chứng minh. Điều kiện đủ. Lấy tuỳ ý x ∈ X, T (x) 6= ∅, ta có S −1 int T −1 y S x∈ T y= y∈Y y∈Y ⇒ ∃y0 ∈ Y sao cho x ∈ int T −1 y0 ⇒ ∃N (x) ⊂ T −1 y0 . T ⇒ y0 ∈ T (x0 ) x0 ∈N (x) T ⇒ T (x0 ) 6= ∅. x0 ∈N (x) Vậy T có tính giao địa phương. Định lý 1.2.1 Cho X là một nửa dàn tôpô với các khoảng liên thông đường, X0 ⊂ X là một tập con khác rỗng của X, và R ⊂ X0 × X là một quan hệ hai ngôi sao cho (i) G : X0 −→ 2X là t.c.v., ở đây G(x) = {y ∈ X : (x, y) ∈ R} với mọi x ∈ X0 ;
14 (ii) Tồn tại x0 ∈ X0 sao cho G(x0 ) là compắc; (iii) Với mọi tập con hữu hạn khác rỗng A ⊆ X0 , [ [ [x, sup A] ⊆ G(x). x∈A x∈A T Khi đó x∈X0 G(x) 6= ∅. Chứng minh. Từ các giả thiết (i) và (ii) của Định lý ta suy ra G(x) đóng trong R(X0 ) và G(x) khác rỗng. Từ (iii), ta có [ [ [ [x, sup A] ⊆ G(x) ⊆ G(x). x∈A x∈A x∈A T Tập G(x) thoả tất cả các điều kiện của Định lý 1.1.4, nên G(x) 6= ∅. x∈X0 T T T Mà x∈X0 G(x) = x∈X0 G(x). Do đó x∈X0 G(x) 6= ∅. Định lý 1.2.1 được chứng minh. Định nghĩa 1.2.3 Cho X là một nửa dàn tôpô hoặc là một tập con ∆− lồi của một nửa dàn tôpô. Hàm số f : X −→ (−∞, +∞) gọi là ∆− tựa lõm, nếu với mọi tập con hữu hạn khác rỗng A = {x1 , x2 , . . . , xn } ⊆ X, ∀y ∈ ∆ (A), thì f (y) ≥ min {f (x1 ) , f (x2 ) , . . . , f (xn )} . Từ định nghĩa trên ta suy ra f : X −→ (−∞, +∞) là ∆−tựa lõm nếu và chỉ nếu tập {y ∈ X : f (y) > λ} hoặc {y ∈ X : f (y) ≥ λ} là tập ∆−lồi, ∀λ ∈ (−∞, +∞). Ví dụ 1.2.1 Cho X = {(x, 1) : 0 ≤ x ≤ 1} ∪ {(1, y) : 0 ≤ y ≤ 1} ⊂ R2 . Thứ tự trên R2 được xác định như sau: 2 a ≤ c, (a, b), (c, d) ∈ R , (a, b) ≤ (c, d) ⇔ b ≤ d. Gọi f là hàm số xác định trên X bởi f (z) = f (x, y) = x2 − y 2 , ∀z = (x, y) ∈ X. Khi đó, f là ∆−tựa lõm.
15 Chứng minh. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, gọi M (1, 0), N (1, 1), P (0, 1). Khi đó, tập X chính là chính là đường gấp khúc M N P . ∀(a, b) ∈ X thì (a, b) ≤ (1, 1). Do đó sup X = (1, 1). Giả sử A = {z1 , z2 , . . . , zn } là tập con hữu hạn, khác rỗng của X (mỗi phần tử zi , (i = 1, n) của A là một điểm nằm trên đường gấp khúc M N P ). Toạ độ zi có dạng zi = (1, y) : 0 ≤ y ≤ 1 hoặc zi = (x, 1) : 0 ≤ x ≤ 1. Trường hợp 1) zi = (1, yi ), ∀i = 1, n. Khi đó sup A = (1, a), a = sup yi . Nếu z = (x, y) ∈ ∆(A), thì tồn tại j thoả (1, yj ) ≤ z ≤ (1, a), nên f (z) = 1 − y 2 ≥ 1 − a2 = f (zi0 ), với i0 là chỉ số mà a = yi0 . Trường hợp 2) Tồn tại i1 sao cho zi1 = (xi1 , 1). Nếu z = (x, y) ∈ ∆(A), thì tồn tại i sao cho z ≥ zi . Ta có f (z) = x2 − 1 ≥ f (zi ) z ≥ zi = (xi , 1) ⇒ z ≥ zi = (1, yi ) f (z) = 1 − y 2 ≥ x2i1 − 1 = f (zi ) Vậy f là ∆−tựa lõm. Định nghĩa 1.2.4 Cho X, Y là hai không gian tôpô, ϕ (x, y) : X ×Y → (−∞, +∞) được gọi là strongly path transfer lower semicontinuous (viết tắt SPT l.s.c.) đối với x, nếu với mỗi (x, y) ∈ X × Y và với mọi > 0, thì tồn tại một lân cận mở N (x) của x trong X và tồn tại y 0 ∈ Y sao cho với mọi x0 ∈ N (x), ta có ϕ (x, y) ≤ ϕ x0 , y 0 + . Định nghĩa trên tương đương định nghĩa sau: Cho X, Y là hai không gian tôpô, ϕ (x, y) : X × Y → (−∞, +∞) được gọi là strongly path transfer lower semicontinuous đối với x, nếu ∀(x, y) ∈ X × Y , tồn tại lân cận N (x) của x trong X và tồn tại y 0 ∈ Y sao cho với mọi x0 ∈ N (x), thì ϕ (x, y) ≤ lim 0 inf ϕ x, y 0 . x →x Như vậy, nếu ϕ là nửa liên tục dưới, thì ϕ là strongly path transfer lower semicontinuous. Điều ngược lại không đúng. Ví dụ 1.2.2 Cho X = [0, 1], Y = [0, 1] và ϕ (x, y) xác định trên X × Y
16 bởi  1  , nếu x = y;  2 ϕ (x, y) = 1, nếu y = 0, x 6= 0;   0, các trường hợp còn lại. Khi đó ϕ (x, y) không là l.s.c. trên X × Y nhưng là SPT l.s.c. đối với x. Thật vậy ∀(x, y) ∈ X × Y thì 0 ≤ ϕ (x, y) ≤ 1. • ∀(x, y) ∈ X × Y, x 6= 0, x 6= 1, ∀ > 0 tồn tại lân cận N (x) = (x − δ, x + δ) của x trong X, chọn y 0 = 0, vì ϕ(x0 , y 0 ) = 1, nên ϕ(x, y) < ϕ(x0 , y 0 ) + , ∀x0 ∈ N (x). • Với điểm (0, y), xét lân cận N (0) = [0, δ) và chọn y0 = 0 thì với mọi x0 ∈ N (0), ta có ( 1 , nếu y = 0; ϕ(0, y) = 2 0, nếu y 6= 0, ( 1 , nếu x0 = 0; ϕ(x0 , 0) = 2 1, nếu x0 6= 0. nên ϕ(0, y) < ϕ(x0 , y0 ) + ε. • Với điểm (1, y), xét lân cận N (1) = (1 − δ, 1], chọn y0 = 0 thì ∀x0 ∈ N (1), ta có ( 1 , nếu y = 1; ϕ(1, y) = 2 0, nếu 0 ≤ y < 1. ϕ(x0 , y0 ) = ϕ(x0 , 0) = 1, nên ϕ(1, y) < ϕ(x0 , y0 ) + ε. • ϕ không là l.s.c vì 1 (x, y) ∈ X × Y : ϕ (x, y) > = {(x, y) : y = 0, x 6= 0} 2 không là tập mở trong X × Y .
17 Chương 2 Bất đẳng thức Ky Fan, định lý điểm bất động Fan - Browder, điểm cân bằng Nash trong không gian có thứ tự 2.1 Bất đẳng thức Ky Fan trong không gian có thứ tự. Từ Định lý 1.2.1, ta thu được bất đẳng thức Ky Fan tổng quát sau: Định lý 2.1.1 Cho X là một nửa dàn tôpô với các khoảng liên thông đường, f : X × X −→ (−∞, +∞) thoả: (i) Với mọi x ∈ X, f (x, x) ≤ 0; (ii) f (x, y) là SPT l.s.c. đối với y; (iii) Tồn tại x0 ∈ X sao cho {y ∈ X : f (x0 , y) ≤ 0} là tập compắc; (iv) Với mọi y ∈ X, x 7→ f (x, y) là ∆−tựa lõm. Khi đó, ∃ y ∗ ∈ X sao cho f (x, y ∗ ) ≤ 0, ∀x ∈ X. Chứng minh. Đặt W (x) = {y ∈ X : f (x, y) ≤ 0}, W = {(x, y) ∈ X × X : f (x, y) ≤ 0}. Xét tuỳ ý x ∈ X, y0 ∈ / W (x), tức là f (x, y0 ) > 0, 0 < < f (x, y0 ).
18 Do f (x, y) là SPT l.s.c. đối với y, nên với mọi (được chọn ở trên), tồn tại một lân cận N (y0 ) của y0 trong X, tồn tại x0 ∈ X sao cho f (x, y0 ) < f (x0 , y 0 ) + , ∀y 0 ∈ N (y0 ). hay f (x0 , y 0 ) > f (x, y0 ) − , ∀y 0 ∈ / W (x0 ). Như vậy, ∀x ∈ X, y 0 ∈ / W (x) ta suy được ∃x0 ∈ X, y 0 ∈ / W (x0 ). Vậy W (x) là t.c.v. Bây giờ, ta chứng minh mọi tập con hữu hạn của A của X, [ A = {x1 , x2 , . . . , xn } thì ∆ (A) ⊂ W (x) . x∈A S S Giả sử trái lại ∆ (A) 6⊂ W (x) . Khi đó ∃ y0 ∈ ∆ (A) = [x, sup A] S x∈A x∈A sao cho y0 ∈ / W (x). x∈A Suy ra y0 ∈ / W (xi ), ∀xi ∈ A ⇒ f (xi , y0 ) > 0, ∀i = 1, n. Do (iv), với mọi y ∈ X, x 7→ f (x, y) là ∆− tựa lõm, nên với A = {x1 , x2 , . . . , xn } ⊆ X, y0 ∈ ∆(A), ta có f (x0 , y0 ) ≥ min {f (x1 , y0 ), f (x2 , y0 ), . . . , f (xn , y0 )} > 0. Điều này mâu thuẫn với giả thiết (i) của Định lý. S Vậy ta có ∆ (A) ⊂ W (x) . x∈A T Hàm W thoả tất cả các điều kiện của Định lý 1.2.1, nên W (x) 6= ∅. x∈X Lấy y ∗ ∈ W (x), thì y ∗ ∈ W (x), ∀x ∈ X. T x∈X Vậy f (x, y ∗ ) ≤ 0, ∀x ∈ X. Định lý 2.1.1 được chứng minh.
19 2.2 Định lý điểm bất động Fan - Browder trong không gian có thứ tự Từ Định lý 2.1.1 ta có được định lý điểm bất động Fan - Browder tổng quát sau. Định lý 2.2.1 Cho X là một nửa dàn tôpô với các khoảng liên thông đường và F : X −→ X là ánh xạ với tập giá trị là tập ∆−lồi đóng, khác rỗng; F có tính giao địa phương. Nếu tồn tại x0 ∈ X sao cho X\F −1 (x0 ) là compắc, thì F có một điểm bất động1 . Chứng minh. Đặt f : X × X −→ (−∞, +∞) , 1, nếu x ∈ F (y); f (x, y) = 0, nếu x ∈ / F (y). Ta chứng minh định lý bằng phản chứng. Giả sử trái lại F không có điểm bất động. Khi đó, ∀x ∈ X, x ∈ / F (x). Ta có f (x, x) = 0. Với mọi y ∈ X, λ ∈ (−∞, +∞) , tập   X, nếu λ < 0; A = {x ∈ X : f (x, y) > λ} = F (y), nếu 0 ≤ λ < 1; ∅, nếu λ ≥ 1  là tập ∆−lồi (do X, F (y), ∅ là những tập ∆−lồi), vì vậy f (·, y) là ∆−tựa lõm. Vì F có tính giao địa phương, nên với (x, y) ∈ X × X, F (y) 6= ∅, tồn T tại một lân cận N (y) của y trong X sao cho F (u) 6= ∅. u∈N (y) Với mọi > 0, lấy x0 ∈ F (u), khi đó x0 ∈ F (y 0 ), ∀y 0 ∈ N (y). T u∈N (y) Suy ra f (x0 , y 0 ) = 1 và f (x, y) < 1 + = f (x0 , y 0 ) + . Vậy f (x, y) là SPT l.s.c. theo biến y. Ngoài ra / F −1 (x0 )} = X\F −1 (x0 ) {y ∈ X : f (x0 , y) ≤ 0} = {y ∈ X : y ∈ là tập compắc. 1 x∗ ∈ X gọi là điểm bất động của ánh xạ F , nếu x∗ ∈ F (x∗ ).