Luận văn: Một số vấn đề về modun extending và modun lifting trong phạm trù M

Chia sẻ: Paradise_12 Paradise_12 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:40

Thêm vào BST

Báo xấu

85
lượt xem 17
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Magento là một hệ thống thương mại điện tử giàu tính năng được xây dựng trên nền tảng công nghệ Mã Nguồn Mỡ (OS) nhằm cung cấp cho thương mại trực tuyến một khả năng linh hoạt chưa từng có cùng với việc kiểm soát giao diện,nội dung, mở rộng chức năng cực kỳ thân thiện.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: Một số vấn đề về modun extending và modun lifting trong phạm trù M

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG………………….. LUẬN VĂN Một số vấn đề về modun extending và modun lifting trong phạm trù M
1 M CL C Trang M c l c ........................................................... 1 M đ u ............................................................2 Chương I. Ki n th c chu n b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.1 Ph m trù σ [M ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.2 Môđun Noether và môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.3 Môđun đ u (uniform) và chi u uniform, môđun lõm (hollow) và chi u hollow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Môđun n i x và môđun x nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 Bù giao và bù c ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 Căn và đ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Chương II. M t s tính ch t c a môđun extending và môđun lifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1 Môđun extending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Môđun lifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Chương III. Kh o sát môđun M có m i môđun h u h n sinh trong ph m trù σ [M ] là extending ho c lifting . . . . . . . . . . 28 3.1 Môđun M có m i môđun h u h n sinh trong ph m trù σ [M ] là extending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 nh M có m i môđun h u h n sinh trong 3.2 Môđun t a x ph m trù σ [M ] là lifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2 M ĐU Môđun extending (hay còn đư c g i là CS-môđun) là m t d ng t ng quát hóa c a môđun n i x đư c nghiên c u r ng rãi trong vài ch c năm tr l i đây. Cùng v i môđun extending, ngư i ta còn nghiên c u môđun lifting, m t tính ch t đ i ng u c a extending và là m t tính ch t có quan h g n v i tính ch t x nh. Tuy nhiên trong khi m i môđun M đ u có bao n i x thì chưa ch c ph x nh c a nó đã t n t i. Xét m t khía c nh khác, đ i v i môđun con N c a m t môđun M , bù giao c a N trong M luôn t n t i theo B đ Zorn nhưng chưa ch c đã t n t i bù c ng c a N trong M . Đi u này ch c ch n s t o ra s không đ i x ng trong quan h đ i ng u gi a môđun extending và môđun lifting. Các k t qu liên quan đ n môđun lifting đư c các nhóm nhà toán h c Nh t, n Đ , Th Nhĩ Kỳ đi sâu nghiên c u. Các tính ch t extending và lifting trên môđun đư c s d ng đ đ c trưng hay kh o sát m t s l p vành g n v i các l p vành Noether ho c Artin. Quan tâm đ n l p các môđun này, chúng tôi ch n đ tài nghiên c u "M t s v n đ v môđun extending và môđun lifting trong ph m trù σ (M )". N i dung chính c a lu n văn đư c trình bày trong 3 chương Chương I. Ki n th c chu n b Trong chương này, chúng tôi trình bày sơ lư c v các ki n th c cơ s liên quan đ n n i dung c a lu n văn, các đ nh nghĩa và các tính ch t... Chương II. M t s tính ch t c a môđun extending và môđun lifting Trong chương này, chúng tôi trình bày m t s tính ch t c a môđun extending và môđun lifting. Trên cơ s các tính ch t c a môđun extend- ing, chúng tôi xét xem môđun lifting có hay không các tính ch t đ i ng u tương ng. Chương III. Kh o sát môđun M có m i môđun h u h n sinh trong ph m trù σ [M ] là extending ho c lifting.
3 Trong chương này, chúng tôi kh o sát môđun M có tính ch t m i môđun h u h n sinh trong ph m trù σ [M ] là extending và kh o sát nh M mà m i môđun h u h n sinh trong σ [M ] là lifting. môđun t a x M c dù tác gi đã r t c g ng trong h c t p và nghiên c u khoa h c cũng như c n th n trong khâu ch b n, song do ít nhi u h n ch v th i gian và trình đ hi u bi t nên trong quá trình th c hi n lu n văn không th tránh kh i nh ng thi u sót. Tác gi r t mong nh n đư c s ch b o c a quý th y cô và nh ng đóng góp c a b n đ c đ lu n văn đư c hoàn thi n hơn. Quy Nhơn, 3-2008
4 Chương I KI N TH C CHU N B Trong su t lu n văn này, các vành đư c xét là vành k t h p có đơn v , thư ng kí hi u b i R. Các môđun là R-môđun ph i Unita, đư c g i đơn gi n là R-môđun. 1.1 Ph m trù σ [M ] 1.1.1 Đ nh nghĩa. M t R-môđun N đư c g i là M -sinh n u nó là nh đ ng c u c a m t t ng tr c ti p các b n sao c a M . 1.1.2 Đ nh nghĩa. Ph m trù σ [M ] là ph m trù con đ y c a ph m trù các R-môđun mà các v t c a nó là các R-môđun đ ng c u v i môđun con c a môđun M -sinh. 1.2 Môđun Noether và môđun Artin 1.2.1 Đ nh nghĩa. (i) M t R-môđun M đư c g i là Noether n u m i t p con không r ng các môđun con c a nó đ u có ph n t t i đ i. (ii) M t R-môđun M đư c g i là Artin n u m i t p con không r ng các môđun con c a nó đ u có ph n t t i ti u. 1.2.2 Đ nh lý. [1, tr 99-100] (i) Gi s A là môđun con c a M . Các đi u sau là tương đương: (1) M Noether; (2) A và M/A Noether; (3) M i chu i tăng A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ ... nh ng môđun con c a M đ u d ng. (ii) Gi s A là môđun con c a M , các đi u sau là tương đương: (1) M Artin; (2) A và M/A Artin;
5 (3) M i chu i gi m A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ ... nh ng môđun con c a M đ u d ng. 1.3 Môđun đ u (uniform) và chi u uniform, môđun lõm (hollow) và chi u hollow 1.3.1 Đ nh nghĩa. (i) Môđun con A c a M đư c g i là c t y u (hay l n) trong M n u v i m i môđun con khác không B c a M ta đ u có A ∩ B = 0 (M t cách tương đương, n u A ∩ B = 0 thì B = 0). Khi đó ta cũng nói M là m r ng c t y u c a A, kí hi u A ⊂∗ M . (ii) Môđun con A c a M đư c g i là đ i c t y u (hay bé) trong M n u v i m i môđun con E = M ta đ u có A + E = M (M t cách tương đương, n u A + E = M thì E = M ). Khi đó ta kí hi u A ⊂o M . 1.3.2 Tính ch t. [1, tr 51-53] (i) Cho A, B, C là các môđun con c a M. Khi đó: (1) N u A ⊂ B ⊂ C thì A ⊂∗ M kéo theo B ⊂∗ C . (2) N u A ⊂∗ M và B ⊂∗ M thì A ∩ B ⊂∗ M . (3) N u ϕ : M → N là đ ng c u môđun và A ⊂∗ N thì ϕ−1 (A) ⊂∗ M . (ii) Cho A, B, C là các môđun con c a M. Khi đó: (1) N u A ⊂ B ⊂ C thì B ⊂o C kéo theo A ⊂o M . (2) N u A ⊂o M và B ⊂o M thì A + B ⊂o M . (3) N u ϕ : M → N là đ ng c u môđun và A ⊂o M thì ϕ(A) ⊂o N . 1.3.3 Đ nh nghĩa. (i) M t R-môđun con K c a M đư c g i là đóng (closed) trong M n u nó không có m r ng c t y u th c s trong M . (ii) Cho L ⊂ M , L đư c g i là đ i đóng (coclosed) trong M n u L không có môđun con th c s K sao cho L/K ⊂o M/K . 1.3.4 Đ nh nghĩa. (i) Môđun M khác không đư c g i là môđun đ u (uniform) n u m i môđun con khác không c a nó đ u c t y u trong M . (ii) Môđun M đư c g i là môđun lõm (hollow) n u m i môđun th c
6 s c a nó đ u đ i c t y u trong M . 1.3.5 Đ nh nghĩa. (i) Môđun M đư c g i là có chi u uniform h u h n (haychi u Goldie h u h n) n u t n t i s nguyên dương n và các n môđun con đ u U1 , ..., Un sao cho ⊕ Ui là c t y u trong M. i=1 n m N u M có chi u uniform h u h n và ⊕ Ui ⊂∗ M , ⊕ Vj ⊂∗ M v i i=1 j =1 Ui , Vj là các môđun con đ u c a M thì m = n. Ngư i ta g i n là chi u uniform c a M và kí hi u u. dim(M ) = n. N u M = 0, ta vi t u dim(M ) = 0, n u M không có chi u uniform h u h n ta vi t u dim(M ) = ∞. (ii) Môđun M đư c g i là có chi u hollow h u h n n u t n t i s n nguyên dương n và các môđun con H1 , ..., Hn sao cho Hi là đ i c t i=1 y u trong M và M/Hi là lõm v i m i 1 ≤ i ≤ n. n m Hi ⊂o M , Kj ⊂o M v i N u M có chi u hollow h u h n và i=1 j =1 Hi , Kj là các môđun con c a M sao cho M/Hi và M/Kj là lõm v i m i 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m thì m = n. Ngư i ta g i n là chi u hollow c a M và kí hi u h. dim(M ) = n. N u M = 0 ta vi t h. dim(M ) = 0, n u M không có chi u hollow h u h n ta vi t h. dim(M ) = ∞. 1.4 Môđun n i x và môđun x nh 1.4.1 Đ nh nghĩa. (i) M t R-môđun M đư c g i là n i x n u v i m i đ ng c u f : A → M và v i m i đơn c u g : A → B c a nh ng môđun trên R t n t i m t đ ng c u h : B → M sao cho h.g = f , nghĩa 1.4.1 i là bi u đ sau giao hoán g A B 0 f h M
M 7 (ii) M t R-môđun M đư c g i là x nh n u v i m i đ ng c u f .4.1 ii→ B và v i m i toàn c u g : A → B c a nh ng môđun trên R 1:M t n t i m t đ ng c u h : M → A sao cho g.h = f , nghĩa là bi u đ sau giao hoán M h f B A 0 g 1.4.2 Đ nh nghĩa. (i) M t R-môđun M đư c g i là N-n i x n u v i m i đ ng c u f : A → M và v i m i đơn c u g : A → N v i A là m t môđun trên R đ u t n t i m t đ ng c u h : N → M sao cho h.g = f , nghĩa là bi u đ sau giao hoán g N A 0 f h M (ii) M t R-môđun M đư c g i là N-x nh n u v i m i đ ng c u f : M → B và v i m i toàn c u g : N → B v i B là m t môđun trên R Ng đ u t n t i m t đ ng c u 0 : M →N sao cho g.h = f , nghĩa là bi u đ h B sau giao hoán f h M M h f N B 0 g 1.4.3 Đ nh nghĩa. (i) M t R-môđun M đư c g i là t a n i x (hay t n i x ) n u nó là M -n i x . (ii) M t R-môđun M đư c g i là t a x nh (hay t x nh) n u nó là M -x nh.
L L/K 0 p 8 L1 / K 1.4.4 M nh đ . M i môđun t a h i x M th a mãn các tính ch t n sau: 0 L/K L p (C1 ) M i môđun con c a M là c t y u trong m t h ng t c a M. (C2 ) N u môđun con A c a M đ ng c u v i m t h ng t c a M thì A T là m t h ng t c a M. q Ch ng minh. (C1 ) G i N là m t môđun con c a M , trư c h t ta ch ng minh f (M ) ⊂ M v i mLi fπ∈ EndSoc( L) trong đó E (M ) là bao đóng 0 L / (E (M )) n i x c a M. Đ t X = {x ∈ M |f (x) ∈ M } ⊂ M . Xét bi u đ i M X 0 ϕ f M f E (M ) Đ t ϕ = f |X , vì M t a n i x nên t n t i đ ng c u f : M → M sao M cho ϕ = f .i. Khi đó, ta có f (M ) ⊂ M . Gi s x ∈ M ∩ (f − f )(M )f t n t i , U M 0 p f y ∈ M sao cho x = (f − f )(y ) = f (y ) − f (y ), suy ra f (y ) = p + f (y ) ∈ M , x g B đó y M XA ∈/. do π 0 U /V Ta có x = f (y ) − f (y ) = f (y ) − f (y ) = 0 nên M ∩ (f − f )(M ) = 0. Vì M ⊂∗ E (M ), M ∩ (f − f )(M ) = 0 nên (f − f )(M ) = 0 hay f (M ) = f (M ) mà f (M ) ⊂ M cho nên f (M ) ⊂ M . Ta có E (M ) = E1 ⊕ E2 v i E1 = E (N ). Vì f (M ) ⊂ M v i m i f ∈ End(E (M )) nên M = M ∩ E1 ⊕ M ∩ E2 . G i U là môđun con khác không c a M ∩ E1 , ta có U là môđun con c a E1 , mà N ⊂∗ E1 nên N ∩ U = 0, do đó N ⊂∗ M ∩ E1 . V y, (C1 ) đã đư c ch ng minh. (C2 ) Gi s A ⊆ M và A M v i M là m t h ng t tr c ti p c a M , khi đó t n t i đơn c u f : M → M sao cho Imf = A. Vì M là t a n i x , M là h ng t tr c ti p c a M nên M là M -n i x , suy ra t n
9 t i đ ng c u g : M → M sao cho g.f = idM . Ta có: M = Imf ⊕ Kerg = A ⊕ Kerg hay A là h ng t tr c ti p c a M . Đ i ng u v i các tính ch t (C1 ), (C2 ) ta có các tính ch t sau: (D1 ) V i m i môđun con A c a M , t n t i s phân tích M = M1 ⊕ M2 sao cho M1 ⊆ A và A ∩ M2 ⊂o M . (D2 ) N u A là môđun con c a M sao cho M/A đ ng c u v i m t h ng t tr c ti p c a M thì A là m t h ng t tr c ti p c a M . nh có tính ch t (D2 ). 1.4.5 M nh đ . M i môđun t a x nh, A ⊆ M và M/A Ch ng minh. Gi s M là môđun t x Mvi M là m t h ng t tr c ti p c a M . Khi đó t n t i toàn c u f : M → M sao cho Kerf = A. Vì M là t a x nh, M là h ng t tr c ti p c a nh, suy ra t n t i đ ng c u g : M → M sao cho M nên M là M -x f.g = idM . Ta có M = Kerf ⊕ Img = A ⊕ Img hay A là h ng t tr c ti p c a M. 1.4.6 Nh n xét. Như đã bi t, m i môđun t a n i x đ u có (C1 ) và (C2 ). Trong khi đó, không ph i m i môđun t a x nh đ u có (D1 ). nh nhưng không có tính ch t (D1 ). Th t Ch ng h n Z-môđun Z là x v y, vì Z-môđun Z là t do nên theo [1, tr 64] ZZ là x nh. Xét A là môđun con khác không c a Z, A = mZ v i M ∈ N∗ . Vì Z không phân tích đư c nên Z có s phân tích duy nh t Z = Z ⊕ 0. G i B là môđun con c a Z, B = nZ, v i n ∈ N∗ , n > 1 sao cho (m; n) = 1. Ta có A + B = mZ + nZ = Z nhưng nZ = Z Do đó A ∩ Z = A không đ i c t y u trong Z hay ZZ không có tính ch t (D1 ).
10 1.5 Bù giao và bù c ng 1.5.1 Đ nh nghĩa. (i) Cho A là môđun con b t kì c a M . M t môđun con B c a M đư c g i là bù giao c a A trong M, n u B là môđun con t i đ i trong t p các môđun con C c a M tho mãn C ∩ A = 0. M t môđun con K c a M đư c g i là bù giao trong M, n u nó là bù giao c a môđun con nào đó c a M . (ii) Cho A là môđun con b t kì c a M . M t môđun con B c a M đư c g i là bù c ng c a A trong M, n u B là môđun con t i ti u trong t p các môđun con P c a M th a mãn A + P = M . M t môđun con L c a M đư c g i là bù c ng n u nó là bù c ng c a m t môđun con nào đó c a M . Ta nói môđun M có tính bù c ng n u v i b t kỳ hai môđun con A, B c a M mà A + B = M thì B ch a bù c ng c a A. 1.5.2 Nh n xét. i) Cho A là môđun con c a M . Vì t p các môđun con C ⊆ M v i C ∩ A = 0 là khác r ng và s p th t theo quan h bao hàm nên theo b đ Zorn, m i môđun con A ⊆ M đ u có bù giao trong M . Tuy nhiên bù c ng c a A trong M chưa ch c đã t n t i. ii) N u M có tính bù c ng thì m i môđun con c a M đ u có bù c ng. 1.5.3 M nh đ . Cho A và B là các môđun con c a M . B là bù c ng c a A n u và ch n u M = A + B và A ∩ B ⊂o B . Ch ng minh. Gi s B là bù c ng c a A và D là môđun con c a B sao cho A ∩ B + D = B . Khi đó M = A + B = A + A ∩ B + D = A + D. Do tính t i ti u c a B nên B = D hay A ∩ B ⊂o B . Ngư c l i, gi s M = A + B và P là môđun con c a B tho mãn A + P = M . Khi đó, ta có B = B ∩ (A + P ) = A ∩ B + P , mà A ∩ B ⊂o B nên P = B hay B là môđun t i ti u c a M tho mãn A + B = M . V y B là bù c ng c a A.
11 1.6 Căn và đ 1.6.1 Đ nh nghĩa. (i) Ta g i giao c a t t c các môđun con t i đ i c a MR là căn Jacobson (hay đơn gi n là căn) c a môđun MR và kí hi u b i Rad(MR ). N u MR không có môđun con t i đ i thì ta quy ư c Rad(MR ) = MR . (ii) Ta g i t ng c a t t c các môđun con đơn c a MR là đ c a môđun MR và kí hi u b i Soc(MR ). N u MR không có môđun con đơn thì ta quy ư c Soc(MR ) = 0. 1.6.2 Đ nh lý [1, tr 125]. Đ i v i môđun MR ta có: (i) Rad (MR ) = B , trong đó B ch y kh p t p các môđun con đ i c t y u c a MR . (ii) Soc (MR ) = C , trong đó C ch y kh p t p các môđun con c t y u c a MR .
12 Chương II M TS TÍNH CH T C A MÔĐUN EXTENDING VÀ MÔĐUN LIFTING Trong chương này, trư c h t chúng tôi trình bày đ nh nghĩa và m t s tính ch t c a môđun extending: các đi u ki n tương đương, m i quan h gi a môđun extending và môđun đ u, t ng tr c ti p c a các môđun extending... Trên cơ s các tính ch t c a môđun extending, chúng tôi xét xem môđun lifting có hay không các tính ch t đ i ng u tương ng, n u không có thì c n b sung thêm các đi u ki n gì đ đ t đư c tính ch t y... 2.1 Môđun extending 2.1.1 Đ nh nghĩa. M t R-môđun M đư c g i là môđun extending (hay CS-môđun) n u m i môđun con c a M là c t y u trong m t h ng t tr c ti p c a M . 2.1.2 Đ nh lý. Cho M là m t R-môđun. Khi đó, các đi u ki n sau là tương đương: (1) M là extending; (2) M i môđun con N c a M đ u có s phân tích M = M1 ⊕ M2 sao cho N ⊆ M1 và N + M2 ⊂∗ M ; (3) M i môđun con đóng c a M là m t h ng t tr c ti p c a nó. Ch ng minh. (1) ⇒ (2) Gi s N là m t môđun con c a M . Vì M là extending nên N c t y u trong m t h ng t M1 c a M . Do đó, ta có s phân tích M = M1 ⊕ M2 sao cho N ⊂∗ M1 , mà M2 ⊂∗ M2 nên N + M2 ⊂∗ M . (2) ⇒ (3) Gi s N là m t môđun con đóng c a M , ta có s phân tích M = M1 ⊕ M2 sao cho N ⊆ M1 và N + M2 ⊂∗ M . G i U là m t
13 môđun con c a M1 tho mãn N ∩ U = 0, ta có U ⊆ M và (N + M2 ) ∩ U = N ∩ U + M2 ∩ U = 0. Vì N + M2 ⊂∗ M nên U = 0, suy ra N ⊂∗ M1 . Mà N là môđun con đóng c a M nên N = M1 hay N là m t h ng t c a M . (3) ⇒ (1) Gi s N là m t môđun con c a M . G i B là t p h p các m r ng c t y u c a N trong M . Vì N ∈ B nên B khác r ng, m t khác m i b ph n s p th t theo quan h bao hàm c a B đ u có c n trên nên theo b đ Zorn, B có ph n t t i đ i là M1 . G i K là m t m r ng c t y u c a M1 , ta có N ⊂∗ M1 , M1 ⊂∗ K nên N ⊂∗ K hay K ∈ B . Do tính t i đ i c a M1 trong B nên K = M1 hay M1 là môđun con đóng c a M , vì v y M1 là m t h ng t tr c ti p c a M do đó M là extending. 2.1.3 H qu . M t R-môđun M không phân tích đư c là extending n u và ch n u M là môđun đ u. Ch ng minh. G i N là m t môđun con khác không c a M . Vì M là môđun extending nên có s phân tích M = M1 ⊕ M2 sao cho N ⊂∗ M1 . Mà M không phân tích đư c và M1 = 0 nên M1 = M , hay M là môđun đ u. Ngư c l i, g i N là m t môđun con c a M . N u N = 0 thì N ⊂∗ N = 0 là h ng t tr c ti p c a M . N u N = 0 thì vì M đ u nên N ⊂∗ M . V y, M là extending. 2.1.4 Đ nh lý. N u M là môđun extending và M = M1 ⊕ M2 thì M1 , M2 là các môđun extending. Ch ng minh. G i A là m t môđun con đóng c a M1 , trư c h t ta ch ng minh A đóng trong M . Gi s A ⊂∗ B v i B là môđun con nào đó c a M . Xét phép chi u p : M = M1 ⊕ M2 → M1 . Ta có A = p(A) ⊂∗ p(B ) ⊆ M1 ,
14 mà A đóng trong M1 nên A = p(B ) ⊆ B và do đó (1 − p)(B ) ⊆ B . Vì (1 − p)(B ) ∩ p(B ) = (1 − p)(B ) ∩ A = 0 và A ⊂∗ M1 nên (1 − p)(B ) = 0, do đó B = p(B ) ⊆ M1 . M t khác, A đóng trong M1 nên A = B hay A đóng trong M . Vì M là extending nên theo 2.1.2, A là h ng t tr c ti p c a M , ta có s phân tích M = A ⊕ D v i D là m t môđun con c a M . Khi đó, M1 = (A ⊕ D) ∩ M1 = A ⊕ D ∩ M1 hay A là h ng t tr c ti p c a M1 . V y M1 là extending. 2.1.5 Đ nh lý. Cho M = M1 ⊕ M2 v i M1 , M2 là các môđun extend- ing. Khi đó M là extending n u và ch n u m i môđun con đóng K ⊂ M v i K ∩ M1 = 0 ho c K ∩ M2 = 0 là m t h ng t tr c ti p c a M . Ch ng minh. Đi u ki n c n là hi n nhiên theo 2.1.2. Ngư c l i, gi s m i môđun con đóng K c a M v i K ∩ M1 = 0 ho c K ∩ M2 = 0 là m t h ng t tr c ti p c a M . Cho L là môđun con đóng c a M , t n t i bù giao H trong L sao cho L ∩ M2 ⊂∗ H . Ta có H đóng trong M và H ∩ M1 = 0 nên H là h ng t tr c ti p c a M , ta có th vi t M = H ⊕ H v i H là m t môđun con c a M . Khi đó, L = L ∩ (H ⊕ H ) = H ⊕ (L ∩ H ) nên L ∩ H đóng trong M . Ta có (L ∩ H ) ∩ M2 = 0 nên theo gi thi t L ∩ H là m t h ng t tr c ti p c a M nên L ∩ H cũng là h ng t tr c ti p c a H . V y L là h ng t tr c ti p c a M hay M là môđun extending. 2.1.6 M nh đ . Cho M = M1 ⊕ M2 v i M1 , M2 là các môđun ex- tending. N u M1 là M2 -n i x và M2 là M1 -n i x thì M là extending. Ch ng minh. Gi s M = M1 ⊕ M2 , M1 là M2 -n i x , M2 là M1 -n i x và M1 , M2 là các môđun extending. Ta ch ng minh M extending b ng cách áp d ng đ nh lý 2.1.5.
15 G i K ⊂ M là m t môđun con đóng c a M và K ∩ M1 = 0. Gi s πi : M → Mi , i = 1, 2 là các phép chi u chính t c. Xét bi u đ sau α K M2 0 β f M1 trong đó, α = π2 |K và β = π1 |K . Theo gi thi t M1 là M2 -n i x nên t n t i f : M2 → M1 sao cho f.α = β . Đ t M = {f (m) + m|m ∈ M2 }, khi đó ta có M là môđun con c a M , hơn n a M = M1 ⊕ M và K ⊂ M . Th t v y n u x ∈ K , x = x1 + x2 v i x1 ∈ M1 , x2 ∈ M2 thì x1 = π1 (x) = β (x) = f (α(x)); α(x) = π2 (x) = x2 , do đó x = f (x2 ) + x2 ∈ M , cho nên K ⊂ M Ta có M M2 , vì v y M là extending. B i gi thi t K đóng trong M nên K đóng trong M . Th thì K là m t h ng t tr c ti p c a M kéo theo K là m t h ng t tr c ti p c a M . Tương t ch ng minh đư c n u H đóng trong M và H ∩ M2 = 0 thì H là m t h ng t tr c ti p c a M . Bây gi áp d ng đ nh lý 2.1.5 ta có M là extending. 2.1.7 M nh đ . Cho M là R-môđun có chi u uniform h u h n. N u n M là môđun extending thì M = ⊕ Mi , v i Mi là các môđun đ u và i=1 n = u. dim(M ). Ch ng minh. Trư c h t ta ch ng minh n u R-môđun M có chi u k k uniform h u h n và M = ⊕ Mi thì u. dim(M ) = u. dim(Mi ). i=1 i=1 Th t v y, v i m i 1 ≤ i ≤ k ta có u. dim(Mi ) ≤ u. dim(M ). N u t n t i i0 , 1 ≤ i0 ≤ k sao cho u. dim(Mi0 ) = ∞ thì u. dim(M ) = ∞, mâu
16 thu n, do đó u. dim(Mi ) = ni < ∞ v i m i 1 ≤ i ≤ k . V i m i 1 ≤ i ≤ k ni t n t i các môđun con đ u Ui1 , ..., Uini sao cho ∩ Uij ⊂∗ Mi . j =1 Khi đó t n t i phép nhúng ni fi : ⊕ Uij → Mi j =1 Đ t f = (f1 , ..., fk ), ta có phép nhúng ni k k f: ⊕ ⊕ Uij → M = ⊕ Mi , i=1 j =1 i=1 k do đó u. dim(M ) = u. dim(Mi ). i=1 Ta ch ng minh đ nh lý b ng phương pháp quy n p theo n = u. dim(M ). N u u. dim(M ) = 1 thì M không phân tích đư c, mà M extending nên theo 2.1.3, M là môđun đ u. Cho n ≥ 1, gi s đi u c n ch ng minh là đúng v i m i R-môđun có s chi u nh hơn ho c b ng n. Gi s u. dim(M ) = n + 1, vì M là môđun extending không đ u nên có s phân tích M = M1 ⊕ M2 v i M1 , M2 là các môđun con khác không c a M . Ta có: u. dim(M ) = u. dim(M1 ) + u. dim(M2 ) = n + 1. Đ t u1 = u. dim(M1 ) và u2 = u. dim(M2 ), suy ra u1 ≤ n và u2 ≤ n u1 u2 nên M1 , M2 có th đư c vi t M1 = ⊕ Ui , M2 = ⊕ Vj , v i Ui , Vj là i=1 j =1 các môđun đ u v i m i 1 ≤ i ≤ u1 , 1 ≤ j ≤ u2 . V y ta đã có đi u ph i ch ng minh. 2.1.8 M nh đ . Cho M là môđun chu i v i chu i h p thành duy nh t 0 ⊂ U ⊂ V ⊂ M . Khi đó M ⊕ (U/V ) không extending. Ch ng minh. Vì M là môđun chu i và U/V là môđun đơn nên chúng có các vành t đ ng c u đ a phương. Đ t X = M ⊕ (U/V ), xét bi u đ
M f E (M ) 17 M f U M 0 p p g /A 0 U /V trong đó, p : U → U/V là phép chi u chính t c, f : U → M là phép nhúng. Trư c h t ta ch ng minh p có th đư c m r ng thành m t đ ng c u g : M → U/V . Đt N = {x − p(x)|x ∈ U } ⊆ M ⊕ (U/V ) U là môđun con đ u c a X . Vì X = M ⊕ (U/V ) Khi đó, N và U ⊆ M nên N ∩ (U/V ) = 0, do đó t n t i h ng t tr c ti p K c a X sao cho N ⊂∗ K . Theo đ nh lý Krull-Schmidt [2, 12.9] ta có X = K ⊕ M hay X = K ⊕ (U/V )). Gi s X = K ⊕ M , khi đó p(x) = 0 v i m i x = 0 hay p đơn c u, mâu thu n. V y X = K ⊕ (U/V ). Xét π : X = K ⊕ (U/V ) → U/V là phép chi u chính t c. Khi đó t n t i g = π |M : M → U/V là m r ng c a p. Vì U/V là đơn nên Kerg = M ho c Kerg = U , mâu thu n. V y X không extending. 2.2 Môđun lifting 2.2.1 Đ nh nghĩa. Cho M là m t R-môđun, M đư c g i là môđun lifting n u v i m i môđun con A c a M , t n t i h ng t tr c ti p X c a M sao cho X ⊆ A và A/X ⊂o M/X . 2.2.2 Đ nh lý. Cho M là m t R-môđun. Khi đó các đi u ki n sau là tương đương: (1) M là lifting; (2) M có tính ch t (D1 ), nghĩa là v i m i môđun con N c a M đ u có s phân tích M = M1 ⊕ M2 sao cho M1 ⊆ N và N ∩ M2 ⊂o M ; (3) V i m i môđun con N c a M đ u có th vi t đư c dư i d ng N = N1 ⊕ N2 , trong đó N1 là m t h ng t tr c ti p c a M và N2 ⊂o M ;
18 (4) M có tính bù c ng và m i môđun con đ i đóng c a M là m t h ng t c a M; (5) M có tính bù c ng và m i môđun con bù c ng c a M là m t h ng t c a M. Ch ng minh. (1) ⇒ (2) Gi s N là m t môđun con c a M . Vì M là lifting nên có s phân tích M = M1 ⊕ M2 sao cho M1 ⊆ N, N/M1 ⊂o M/M1 . N ∩ M2 nên N ∩ M2 ⊂o M2 và N/M1 = (M1 ⊕ N ∩ M2 )/M1 Vì M/M1 M2 , do đó N ∩ M2 ⊂o M . (2) ⇒ (3) V i m i môđun con N c a M đ u có s phân tích M = M1 ⊕M2 sao cho M1 ⊆ N và N ∩M2 ⊂o M , do đó N = M1 ⊕N ∩M2 . Đ t N1 = M1 , N2 = N ∩ M2 ta có (3). (3) ⇒ (4) Gi s M = K + L v i K , L là các môđun con c a M , ta s ch ng minh r ng K ch a bù c ng c a L. Vì K là môđun con c a M nên K có th đư c vi t K = N ⊕ H , trong đó N là m t h ng t tr c ti p c a M và H ⊂o M , khi đó M = L + N . Cũng theo (3) ta có L ∩ N = N1 ⊕ S v i S ⊂o M và N1 là m t h ng t tr c ti p c a M , t c là M = N1 ⊕ P1 , v i P1 là môđun con c a M . Th thì S ⊂o N và N = N1 ⊕ N2 v i N2 = N ∩ P1 . Ta ch ra N2 là m t bù c ng c a N1 + S trong N . Gi s X là môđun con c a N2 sao cho N = X + N1 + S . Vì S ⊂o N nên N = X + N1 , l i có N2 là m t bù c ng c a N1 trong N suy ra X = N2 , do đó N2 là m t bù c ng c a N1 + S = L ∩ N trong N . Khi đó ta có M = L + N = L + (L ∩ N ) + N2 = L + N2 . Hơn n a L ∩ N2 = (L ∩ N ) ∩ N2 ⊂o N2 nên theo 1.5.3, N2 là bù c ng c a L hay M có tính bù c ng. G i N là môđun con đ i đóng c a M , ta có s phân tích N = N1 ⊕ N2 , trong đó N1 là m t h ng t tr c ti p c a M và N2 ⊂o M . Gi s N1 = N ,
19 vì N là đ i đóng nên t n t i môđun con P c a M sao cho N + P = M và N1 + P = M . Ta có M = N + P = N1 + N2 + P, mà N2 ⊂o M nên N1 + L = M , mâu thu n. V y N1 = N hay N là m t h ng t tr c ti p c a M . (4) ⇒ (5) Gi s N là môđun con bù c ng c a M , khi đó t n t i môđun con L c a M sao cho N là môđun con t i ti u th a mãn N + L = M . V i m i môđun con K ⊆ N sao cho N/K ⊂o M/K , vì N + L = M nên K + L = M . Do tính t i ti u c a N ta có K = N hay N là môđun con đ i đóng c a M . (5) ⇒ (1) Gi s A là m t môđun con c a M , vì M có tính bù c ng nên A có bù c ng là B , theo (4), B là h ng t tr c ti p c a M . G i M1 là bù c ng c a B trong M , ta có M1 ⊆ A và M1 là m t h ng t tr c ti p c a M . Đ t M = M1 ⊕ M2 , ta có A/M1 = (M1 ⊕ A ∩ M2 )/M1 A ∩ M2 và A = (M1 + B ) ∩ A = M1 + A ∩ B . Vì B là bù c ng c a A trong M nên A + B = M và A ∩ B ⊂o B , mà B là h ng t tr c ti p c a M suy ra A ∩ B ⊂o M . Xét phép chi u p : M = M1 ⊕ M2 → M2 , vì A ∩ B ⊂o B nên p(A ∩ B ) ⊂o p(M ) = M2 . M t khác p(A ∩ B ) = p(M1 + A ∩ B ) = p(A) = A ∩ M2 , cho nên A ∩ M2 ⊂o M2 hay A/M1 ⊂o M/M1 . V y, M là lifting. 2.2.3 H qu . M t R-môđun M không phân tích đư c là lifting n u và ch n u M là lõm. Ch ng minh. G i N là m t môđun con th c s c a M , vì M là lifting