Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Ảnh hưởng của phonon giam cầm liên hiệu ứng radio - điện trong dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn (cơ chế tán xạ điện tử - phonon quang)

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:70

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài có cấu trúc gồm 3 chương dây lượng tử và lý thuyết lượng tử về hiệu ứng radio - điện trong bán dẫn khối; hiệu ứng radio điện trong dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn dưới ảnh hưởng của phonon quang giam cầm (tán xạ điện tử - phonon quang); tính toán số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết cho dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn của GaAs/GaAsAl.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Ảnh hưởng của phonon giam cầm liên hiệu ứng radio - điện trong dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn (cơ chế tán xạ điện tử - phonon quang)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ---------------------------- TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -------------------------------- NGUYỄN THỊ KIM LAN NGUYỄN THỊ KIM LAN ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM LÊN HIỆU ỨNG RADIO ĐIỆN TRONG DÂY L ƢỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT VỚI THẾ CAO VÔ HẠN ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM LÊN (CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON QUANG) HIỆU ỨNG RADIO ĐIỆN TRONG DÂY L ƢỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT VỚI THẾ CAO VÔ HẠN (CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON QUANG) LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2015 Hà Nội – 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS. Lê Thái Hưng, Trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN, người đã trực tiếp chỉ bảo tận tình, hướng dẫn tôi hoàn thành NGUYỄN THỊ KIM LAN luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Quỹ phát triển khoa học và công nghệ Quốc gia NAFOSTED (Number 103.01 – 2015.22) đã tài trợ cho tôi hoàn thành luận văn này. ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM LÊN Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành nhất tới tất cả các thầy, cô, tập HIỆU thể cán bộỨNG Bộ mônRADIO ĐIỆN Vật lý lý thuyết và vậtTRONG lý toán; cácDÂY thầy, côLtrong ƢỢNG Khoa TỬ Vật lý, HÌNH trường Đại CHỮ học Khoa học NHẬT Tự Nhiên VỚI THẾ đã truyền CAO đạt cho VÔ kiến tôi những HẠNthức chuyên ngành vô cùng quý báu. (CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON QUANG) Tôi cũng không quên gửi lời cảm ơn đến gia đình; các anh, chị, bạn bè học viên đã đồng hành, giúp đỡ tôi trong quá trình tìm tài liệu, trao đổi kiến thức cũng như truyền đạt những kinh nghiệm giúp tôi có thể hoàn thành luận văn một Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán cách tốt nhất. Mã số : 60440103 Hà Nội, 12/2015 Học viên LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Nguyễn Thị Kim Lan Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. LÊ THÁI HƢNG Hà Nội – 2015
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1 Chƣơng 1: Dây lƣợng tử và lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng radio điện trong bán dẫn khối ..............................................................................................................4 1.1. Dây lượng tử .......................................................................................................4 1.2. Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng radio điện trong bán dẫn khối ..........................5 Chƣơng 2: Hiệu ứng radio điện trong dây lƣợng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn dƣới ảnh hƣởng của phonon quang giam cầm.........................................11 2.1. Hamiltonion của điện tử - phonon quang giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn ..............................................................................11 2.2. Phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật ....13 2.3. Biểu thức mật độ dòng radio-điện toàn phần qua dây lượng tử hình chữ nhật 28 2.4. Biểu thức giải tích cho cường độ trường radio - điện trong dây lượng tử hình chữ nhật ............................................................................................................45 Chƣơng 3: Tính toán số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết cho dây lƣợng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn của GaAs/GaAsAl ...................................................55 3.1. Sự phụ thuộc của thành phần E0x vào tần số Ω của bức xạ ..............................56 3.2. Sự phụ thuộc của thành phần E0x vào tần số ω của trường điện từ phân cực thẳng .................................................................................................................57 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................59 PHỤ LỤC ..................................................................................................................61
DANH MỤC BẢNG BIỂU Trang Bảng 3.1. Các tham số vật liệu..................................................................................54 DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 3.1. Sự phụ thuộc của thành phần E0x vào tần số  …………..………….....55 Hình 3.2. Sự phụ thuộc của thành phần E0x vào tần số ω……………...…….…….56
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Thành tựu của khoa học Vật lý cuối những năm 80 của thế kỷ 20 được đặc trưng bởi sự chuyển hướng đối tượng nghiên cứu chính, từ các vật liệu bán dẫn khối (bán dẫn có cấu trúc 3 chiều) sang bán dẫn thấp chiều. Việc chuyển từ hệ vật liệu có cấu trúc 3 chiều sang hệ vật liệu có cấu trúc thấp chiều đã làm thay đổi đáng kể cả về mặt định tính cũng như định lượng các tính chất vật lý của vật liệu như tính chất quang, tính chất động (tán xạ điện tử - phonon, tán xạ điện tử - tạp chất, tán xạ bề mặt,…). Đồng thời, cấu trúc thấp chiều làm xuất hiện nhiều đặc tính mới ưu việt hơn mà cấu trúc 3 chiều không có. Với ý nghĩa khoa học cũng như các ứng dụng của hệ thấp chiều trong đời sống ở trên đã giải thích lí do tại sao các hệ bán dẫn thấp chiều đã và đang là xu hướng nghiên cứu chính của các nhà vật lý trong nước và thế giới [14], [15], [19], [20], [22]. Tùy theo trường điện thế phụ mà các bán dẫn thấp chiều có thể là bán dẫn 2 chiều (giếng lượng tử, hố lượng tử, siêu mạng hợp phần, siêu mạng pha tạp, màng mỏng,…), hoặc bán dẫn 1 chiều (dây lượng tử: hình trụ, hình chữ nhật,…), hoặc bán dẫn 0 chiều (chấm lượng tử, điểm lượng tử,…). Ở bán dẫn khối, các điện tử có thể chuyển động trong toàn mạng tinh thể (cấu trúc 3 chiều), nhưng ở các hệ thấp chiều chuyển động của điện tử sẽ bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một hoặc hai hoặc ba trục tọa độ. Phổ năng lượng của các hạt tải bị gián đoạn theo các phương giới hạn này. Sự lượng tử hóa phổ năng lượng của các hạt tải dẫn đến sự thay đổi cơ bản các tính chất của vật liệu như hàm phân bố, mật độ trạng thái, mật độ dòng, tương tác điện tử- phonon,… điều này đã được các nhà vật lý rất quan tâm. Đặc biệt thời gian gần đây các tính chất và hiệu ứng vật lý trong dây lượng tử đã được các nhà nghiên cứu rất chú trọng [16], [17], [18], [21]. Gần đây, hiệu ứng radio - điện trong bán dẫn thấp chiều được quan tâm nghiên cứu nhiều bằng nhiều phương pháp khác nhau [5], [7], [11], [12], [13]. Bài toán về ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng radio điện trong bán dẫn hai chiều đã được nghiên cứu bằng phương pháp phương trình động lượng tử trong các công 1
trình [5], [7], [12]. Tuy nhiên đối với hệ bán dẫn một chiều thì mới chỉ có các công trình nghiên cứu về sự ảnh hưởng của điện tử giam cầm [11], [13], mà chưa có các công trình nghiên cứu về sự ảnh hưởng của phonon giam cầm. Vì vậy, trong luận văn này, tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Ảnh hƣởng của phonon giam cầm liên hiệu ứng radio - điện trong dây lƣợng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn (cơ chế tán xạ điện tử -phonon quang)”. 2. Phƣơng pháp nghiên cứu Đối với bài toán về hiệu ứng radio - điện trong dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn, chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử. Đây là phương pháp được sử dụng rộng rãi khi nghiên cứu các hệ bán dẫn thấp chiều, đạt hiệu quả cao và cho kết quả có ý nghĩa khoa học nhất định. Từ Hamilton của hệ điện tử - phonon quang giam cầm trong biểu diễn lượng tử hóa lần hai ta xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn, sau đó tính mật độ dòng hạt tải, cuối cùng suy ra biểu thức giải tích của cường độ trường radio - điện. Ngoài ra còn sử dụng chương trình Matlab để tính toán số và vẽ đồ thị sự phụ thuộc của cường độ trường radio - điện vào tần số của bức xạ laser và tần số sóng điện từ phân cực thẳng. 3. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết thúc, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn có 3 chương, cụ thể: Chương 1: Dây lượng tử và lý thuyết lượng tử về hiệu ứng radio - điện trong bán dẫn khối. Chương 2: Hiệu ứng radio điện trong dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn dưới ảnh hưởng của phonon quang giam cầm (tán xạ điện tử - phonon quang). Chương 3: Tính toán số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết cho dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn của GaAs/GaAsAl. Các kết quả chính của luận văn chứa đựng trong chương 2 và chương 3, trong đó đáng lưu ý là đã thu được biểu thức giải tích của trường radio - điện trong dây 2
lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn (cơ chế tán xạ điện tử – phonon quang) có kể đến ảnh hưởng của phonon giam cầm. Các kết quả thu được đã chứng tỏ ảnh hưởng đáng kể của phonon giam cầm lên hiệu ứng radio điện trong dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn (cơ chế tán xạ điện tử - phonon quang). Đồng thời luận văn cũng đã thực hiện việc tính số và vẽ đồ thị cho dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn của GaAs/GaAsAl để làm rõ hơn về hiệu ứng radio-điện trong dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn khi có kể đến sự giam cầm phonon. Các kết quả thu được trong luận văn là mới và có giá trị khoa học, góp phần vào phát triển lý thuyết về hiệu ứng radio – điện trong bán dẫn thấp chiều nói chung và trong dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn nói riêng. 3
Chƣơng 1 DÂY LƢỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG RADIO ĐIỆN TRONG BÁN DẪN KHỐI 1.1. Dây lƣợng tử 1.1.1. Tổng quan về dây lượng tử Dây lượng tử (quantum wires) thuộc hệ cấu trúc bán dẫn một chiều. Dây lượng tử có thể được chế tạo nhờ kĩ thuật lithography (điêu khắc) và photething (quang khắc) từ các lớp giếng lượng tử, hoặc được chế tạo nhờ phương pháp epitaxy chùm phân tử hoặc hết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ, một cách chế tạo khác là sử dụng các cổng (gates) trên một transistor hiệu ứng trường (bằng cách này có thể tạo ra các kênh thấp chiều hơn trên hệ khí điện tử hai chiều). Bằng các kỹ thuật này, chúng ta đã chế tạo được các dây lượng tử có các tính chất vật lý khá tốt với các hình dạng khác nhau như: dây lượng tử hình trụ, dây lượng tử hình chữ nhật,… mỗi dây lượng tử được đặc trưng bởi một thế giam giữ khác nhau. Trong dây lượng tử chuyển động của điện tử bị giới hạn theo hai chiều giới hạn của dây (chọn là trục x và trục y) và nó chỉ có thể chuyển động tự do theo chiều còn lại (trục z, trong một số bài toán chiều này thường được gọi là vô hạn) vì vậy nên hệ điện tử trong trường hợp này còn được gọi là khí điện tử chuẩn một chiều. Trong dây lượng tử phổ năng lượng trở nên gián đoạn và lượng tử theo hai chiều. Bài toán tìm phổ năng lượng và hàm sóng điện tử trong dây lượng tử sẽ được giải quyết dễ dàng thông qua việc giải phương trình Schrodinger một điện tử cho hệ một chiều: (1.1) Trong đó: : là thế năng tương tác giữa các điện tử; : là thế năng giam giữ các điện tử do sự giảm kích thước; m: là khối lượng hiệu dụng của điện tử. 1.1.2. Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật Giả sử hố thế giam giữ cao vô hạn: 4
0 khi 0  x  L x ; 0  y  L y  V (1.2)  khi x < 0  x > L x ; y < 0  y > L y  Hàm sóng và phổ năng lượng của dây lượng tử hình chữ nhật thu được trực tiếp từ việc giải phương trình Shrodinger: 1 ikz 2  nπx  2  nπy  0  x  L x ; 0  y  L y   n,l,k  e sin   sin   khi  (1.3)  L     Lz Lx  x  L L y  y   x < 0 x > L x ; y < 0 y > L y h 2 2 h 2  π 2 n 2 π 2l2    ur  n,l p  p    2  (1.4) 2m 2m  L2x L y  Trong đó: n,l = 1, 2, 3,… biểu thị sự lượng tử hóa phổ năng lượng theo chiều x và y. là các véc tơ sóng của điện tử. Lx, Ly, Lz là kích thước dây lượng tử theo chiều x, y, z. 1.2. Lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng radio điện trong bán dẫn khối Hiệu ứng radio điện liên quan đến việc các hạt tải tự do của sóng điện từ mang theo cả năng lượng và xung lượng lan truyền trong vật liệu. Do đó các electron được sinh ra với sự chuyển động có định hướng và hướng này xuất hiện một hiệu điện thế trong điều kiện mạch hở. Ta khảo sát hệ hạt tải của bán dẫn khối đặt trong: +) Một trường sóng điện từ phân cực thẳng với vector: ur ur E  t   E  e  i t  e i t  ur r ur (1.5) H  t    n , E  t   Với tần số ℏω ≪  ( với  là năng lượng trung bình của hạt tải) trong điện ur ur trường không đổi E 0 ( có tác dụng định hướng chuyển động của hạt tải theo E 0 ). r r +) Một trường bức xạ laser: F(t) = Fsin  t được xem như một trường sóng điện từ cao tần phân cực tuyến tính với Ωτ ≫1 (τ: thời gian hồi phục đặc trưng). Dưới sự xuất hiện của 2 trường bức xạ có tần số ω và Ω sẽ làm cho chuyển động định hướng của hạt tải theo E0 sẽ bị bất đẳng hướng. Kết quả là xuất hiện các 5
cường độ điện trường E0x, E0y, E0z là các thành phần của vector cường độ điện ur trường không đổi E 0 theo các trục trong điều kiện phụ thuộc vào tham số của hố ur lượng tử: phổ năng lượng và các giá trị ω, Ω, E . Đó chính là các hiệu ứng radio điện. Bây giờ ta thành lập biểu thức giải tích về cường độ điện trường E0x, E0y, E0z   r thông qua việc thiết lập phương trình động lượng tử cho hàm phân bố hạt tải f p, t trong bán dẫn khối:      r r  f p , t  ur ur ur r f p , t   eE 0  eE  t   H  p , h  t   , r (1.6) t  p             r r r r r = 2  M  q   J 2 a , q  f p + q , t - f p , t    p+q r r r  l r q l  l   p + Trong đó: ur r r2 eH r H(t) r e.F p H  ; ht = ; a ;  pr  mc H m 2 2m (1.7) r + Với: p là xung lượng chính tắc của hạt; Jl (x) là hàm Bessel của đối số thực; m là khối lượng hiệu dụng của điện tử; M(q) được xác định bởi cơ chế tán xạ của hạt tải. Ta giả thiết: k l ≪ l ( l là quãng đường tự do trung bình của hạt tải) nên ta có thể ur ur bỏ qua các số hạng k l trong các đối số của E  x, t  ; H  x, t  . Chúng ta chỉ xét sóng laser ở mức xấp xỉ tuyến tính theo cường độ của nó nên ta chỉ   r r 2 lấy các số hạng với l  0;  1 và chỉ tính đến các số hạng tỉ lệ với a,q trong biểu   r r 2 a,q thức khai triển của hàm Besel. Tức là: J 02  1; J 2±1 = (1.8) 4 Hàm phân bố hạt tải được tìm dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phần đối   r xứng và phản đối xứng: f pr  t  = f 0 + f p, t (1.9) +) f 0 là hàm số phân bố cân bằng của hạt tải xét trong trường hợp khí điện tử không suy biến thì ta có phân bố Boltzman: 6
 r     f 0 = f 0  pr  n0* exp  p   (1.10)  kB     f   r ur ur +) Phần phản đối xứng: f1 p, t  PX  t  0 (1.11)  pr Ta viết dạng khai triển theo thời gian:    r r r r f p, t = f10  p  + f1 p eit  f1*  p  eit (1.12) ur ur  f  r f p   PX 0 (1.13) Với : 1  pr ur uur  f  r f10 p  PX 0 0 (1.14)  pr Từ (1.11) và (1.12) ta có: ur uur ur ur X  t  = X0 + Xe i t  X *ei t (1.15) Theo định nghĩa: mật độ dòng bằng tích tenxơ độ dẫn và cường độ điện trường Ji  t    jk E k  t  (1.16) Ở thời điểm t = 0 thì:   r  ur ur * r ur * J  t = 0    R + R d   J1 + J1 (1.17) 0 r  ur     r r J1   R   d    1  i       Q     S    d  (1.18) 0 0 H Trong đó:      ur ur r R    Q    S   1  i H    ur e2 n ur Q E    F  (1.19) m r S  e n ij    F   Aij     F  X j  F  (1.20) e    ur X j  F    E (1.21) m 1  i H    Trong đó: 7
n: Mật độ hạt tải 2   : Năng lượng hạt tải: ij       ij  a i 0a 0 j  ; Aij  3     ij εF: Năng lượng Fecmi τ: Thời gian hồi phục khi không có mặt trường bức xạ laser i; j = 1, 2, 3,… λ, A: Các ma trận phụ thuộc vào từng cơ chế tán xạ, cụ thể trong trường hợp tán xạ trên phonon quang ở nhiệt độ cao (k0T≫ℏω0) với ω0 là tần số của phonon quang thì: 1   2 e 2 F2       F    ;    F  m 3 Suy ra: r      e2 n ur  e    ur   J1    E  F   i j  F  ij  F       e n        A        E  d   0 1  i      m  m  1  i          e2 n   F       F   ur  1   A E (1.22) m 1  i   F   1  i     1  i   F   r * e2 n   F       F   ur J1 1   A E (1.23) m 1  i   F   1  i     1  i   F   Vậy ta được: r r r* J  t = 0  = J1 + J 1 = e2 n    F       1  i  2     F    F  1  i  2     F   ur  1   A  2E m 1   2 2   F   1   2 2  F  1   2 2  F    Mặt khác ta có: r ur ur J  t = 0    E  t = 0    .2E Suy ra: e2 n   F       1  i  2     F    F  1  i  2     F    ij    1   A  m 1   2 2  F   1   2 2  F  1   2 2  F    8
Lấy trung bình theo thời gian của biểu thức mật độ dòng toàn phần: r r r r J tot = J 0 + J = J 0 t t t Và xét trường hợp mạch hở theo tất cả các hướng, ta được: r r J tot = 0  J 0  0 r ur Trong đó: J 0   R 0   d   ur r r r    2     Q    , h    S, h        uur uu r      d     Q0    S0     H   Re  H  2  1    2 2      1  i         uur  1       A   F   E 0  2 e n   uuur     F   1  i   ()  F   2    F  [1  i   ()  F  ] E w  2 2  m     F 1   () A  2     1    2 2   F  1    2 2   F     F   Hay uur 1       A   F   E 0  uuur   1  i  2           2    1  i  2          E S      F 1   2      A   w F F F  1     F  2 2 1     F  2 2    F  uy ra: ur uur E 0         A    F    0 E 1.24  uuur  1  i  2     F    2  F  1  i  2     F    E w     F 1      2 A   1   2 2   F  1   2 2  F     F  Giải phương trình trên bằng phương pháp lặp và gần đúng tuyến tính theo β với A,λ~β, ta thu được: ur  1  i  2      F   E 0      F  1       A  F        2   1    2 2   F  uuur  2   F  1  i  2     F    E w A   1   2 2   F      F  9
  2    1  i       F   2    1       A  F         F  1   2 2  F  (1.25)    F  1  i       F    uuur 2 A  Ew 1   2 2   F   ur   W ur Với: E w   e nc Trong đó: ∝ là hệ số hấp thụ;  là chỉ số khúc xạ; W là năng thông trung bình ur của sóng điện từ; c là vận tốc ánh sáng trong chân không;  là vector sóng của phonon. r ur ur Để đơn giản ta chọn trục: Oz // n; Ox // E; Oy //H . Khi đó các vector thành phần của vector cường độ điện trường không đổi theo các trục Ox, Oy, Oz được cho bởi:     1        F      F  1   2  F   2 2  E0 x = Ew    A zx     F [1     F  ] 1     F  2 2 zx 2 2    (1.26) E0 y = E w     zy    F  Azy  (1.27) E 0 z   E w 1      zz     F  A zz   2    1   2     F    2  F  1   2  F     1       A xx      F      F  1   2 2  F   xx 1   2 2  F     (1.28) 10
Chƣơng 2 HIỆU ỨNG RADIO ĐIỆN TRONG DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT VỚI THẾ CAO VÔ HẠN DƢỚI ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON QUANG GIAM CẦM 2.1. Hamiltonion của điện tử - phonon quang giam cầm trong dây lƣợng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn Khảo sát hệ hạt tải của dây lượng tử hình chữ nhật đặt trong một trường sóng điện từ phân cực thẳng với các vector sóng: ur ur E  t  = E  e it  eit  ur r ur H  t  =  n, E  t   r r Xét một trường bức xạ laser: F(t) = Fsin  t được xem như một trường sóng điện từ cao tần phân cực tuyến tính với Ωτ ≫1. Giả thiết rằng các vector sóng điện từ thỏa mãn: [ (t),0,0] ; [0, , 0] Khi đó sóng điện từ truyền theo trục Oz. Dưới sự xuất hiện của hai trường bức xạ có tần số ω và Ω sẽ làm cho chuyển động định hướng của hạt tải bị ảnh hưởng làm xuất hiện các điện trường E0x, E0y, E0z trong điều kiện mạch hở. Ta xem xét hệ “hạt tải + hiệu ứng” được đặt trong một trường sóng điện từ phân cực thẳng, một điện trường không đổi 0 và trong một trường leser (t). Khi đó Hamiltonion của hệ điện tử - phonon trong dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn khi có mặt các trường trên là: H = H0 + U (2.1) H0 là năng lượng của các điện tử giam cầm và phonon quang giam cầm không tương tác: r e ur   r H0   r n,l  p   hc A  t   a n,l,p a n,l,pr  uur hm,k,quur b m,k,q      uur b  uur m,k,q  n,l,p m,k,q  U là năng lượng tương tác giữa điện tử giam cầm và phonon quang giam cầm: 11
U  r uur n,n',l,l',p  ,q  Cqm,k r  I m,k  n,n',l,l' a n,l,p r  q r    a n,l,pr bm,k,quur  bm,k,  uur q   Trong đó: r a n,l,pr ;a n,l,pr : Toán tử sinh, hủy điện tử ở trạng thái n,l, p  .   a r n,l,p   ;a n',l',p' ur    a ur n',l',p'  ;a n,l,p r     r ur n,n' l,l' p  ,p'  a  r ;a  ur   a r ;a ur   0  n,l,p  n',l',p'   n,l,p  n',l',p'  uur b m,k,qr , b m,k,qr : Toán tử sinh hủy phonon ở trạng thái m, k,q    .  b uuur ; b  uuur    b uuur ; b  uuur    r ur  m,m' k,k'  m,k,q m',k ',q '   m',k',q ' m,k,q   q  ,q'  b  r ; b  ur    b r ; b ur   0  m,k,q m',k',q'   m,k,q  m',k ',q'  r p  : Xung lượng của điện tử. Cm,k,qr : hệ số tương tác điện tử - phonon. Xét tương tác điện tử - phonon quang thì:  2 2 e2 hL 0  1 1  C      0 V  q 2   q 2 m,k      0  r m,k,q  Trong đó: V là thể tích chuẩn hóa (thường chọn V  1 ); hL 0 là năng lượng của phonon quang; e là điện tích hiệu dụng của điện tử;  0 là hằng số điện; χ 0 là hằng số điện môi tĩnh; χ  là hằng số điện môi cao tần. q 2  q 2  q 2m,k  q 2z + q 2m,k ; q 2m,k  q 2x + q 2y là thừa số dạng đặc trưng: r r n,l  q z    2   2 Im,k 2 16Pm,k /q m,k 1,3,5,... Trong đó: 2 Lx Ly 2  n x   n ' x   l y   l ' y   m x   k y  Pm,k   dx  dy L cos   cos   cos   cos   cos   cos   0 Lx 0 y  Lx   Lx   Ly   Ly   Lx   Ly  ur A  t  : Thế vectơ của trường sóng điện từ mạnh 12
r r r r 1  At r cF0 F  t  = F0 sin   t     A t  cos   t  c t   n,l,pr : Năng lượng của điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật.  2.2. Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong dây lƣợng tử hình chữ nhật Trong mục này chúng tôi sẽ xây dựng biểu thức giải tích cho hàm phân bố của điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật khi kể đến ảnh hưởng của phonon giam cầm theo sơ đồ sau: xuất phát từ phương trình động lượng tử tổng quát cho hàm phân bố điện tử, chúng tôi thiết lập và tìm nghiệm của phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử khi kể đến ảnh hưởng của phonon giam cầm, sau đó thay ngược trở lại phương trình động lượng tử tổng quát và bổ sung thành phần của điện từ trường để tìm nghiệm cho phương trình này (chính là biểu thức của hàm phân bố điện tử). Phương trình động lượng tử tổng quát cho toán tử số hạt (hay hàm phân bố điện tử) f n,l,pr  t   a n,l,p  r a r n,l,p có dạng:    t  f n,l,pr  t  ih   a n,l,pr a n,l,pr , H   a n,l,p  r a r , H + U  t     t   n,l,p  0  t  r e ur   r  a n,l,pr a n,l,pr , r  n,l  p   A  t   a n,l,p a n,l,pr  uur hm,k,quur b m,k,q  uur b uur    m,k,q     n,l,p  hc   m,k,q       r uur n,n',l,l',p  ,q  Cqm,k r  I mn,n',l,l' ,k a n,l,pr r  q     a n,l,pr b m,k,quur  b m,k, q  uur    Sh1 t + Sh 2 t + Sh 3 t  2.2  t Thực hiện tính 3 số hạng trong (2.2) ta được: Số hạng thứ nhất:   ur e ur   ur  Sh1 t  a n,l,pr a n,l,pr , uur  n',l'  p '  A  t   a n',l',p' a n',l',p'ur     n',l',p '  hc     t Ta xét: 13
   ur e ur   ur   n,l,p n,l,p ur n',l'   a r a r ,  p'  A  t   n',l',p' n',l',p'   a a u r  n',l',p'  hc    ur e ur    r ur    ur  n',l'  p'  A  t   a n,l,p a n,l,pr ,a n',l',p'  ur a  n',l',p'  hc      n',l',p'   ur e ur    r ur a r a r    ur  n',l'  p'  A  t   a n,l,p a n,l,pr a n',l',p'  ur a ur  a  ur a   n',l',p'   hc      n',l',p' n',l',p' n',l',p' n,l,p  n,l,p    ur e ur    r    n',l'  p'  A  t   a n,l,p a n',l',p'ur  n,n'l,l' pr ,p'ur  a n',l',p'  ur a r   r ur   0 ur n',l',p'  hc        n,l,p  n,n',l,l' p  ,p'  Vậy: Sh1 =0 (2.3) t Số hạng thứ hai: thực hiện tính toán tương tự như đối với số hạng thứ nhất ta được:   Sh 2  a n,l,pr a n,l,pr , r hm,k,qr b m,k,q + r b r  0 (2.4)   t     m,k,q  m,k,q  t Số hạng thứ ba:   Sh 3 t   a n,l,pur a n,l,pur ,  Cqm,k   r  I nm,k 1 ,n 2 ,l1 ,l 2 n 2 ,l2 ,p'  q  a  uuur uur a uuur b m,k,qr  b m,k,-q n1 ,l1 ,p'   r      n1 ,n 2ur,l1 ,lr 2 m,k,p' ,q   t Ta xét:     ur ur m,k m,k r  a n,l,p a n,l,p ,  Cq I n1 ,n 2 ,l1 ,l2 a n2 ,l2 ,p'uuur uuqr a n1 ,l1 ,p'uuur b m,k,q  b m,k,-q  r  r     n1 ,n 2ur,l1 ,lr2 m,k,p' ,q     n1 ,n 2ur,l1 ,lr 2 Cqm,k r  Im,k   r   n1 ,n 2 ,l1 ,l2 a n,l,p a n,l,p ,a n ,l ,p' r 2 2  uur  uur a q  n1 1   ,l uuur ,p'  b r  b r   m,k,q m,k,q  m,k,p' ,q  14
  n1 ,n 2ur,l1 ,lr 2 Cqm,k r  Im,k   r n1 ,n 2 ,l1 ,l2  a n,l,p a n,l,p  a  r  n ,l uuur uur a ,p' 2 2   q  n ,l uuur  a ,p' 1 1   n ,l uuur uur a ,p' 2 2   q  n ,l uuur a ,p' 1 1   ur n,l,p  a n,l,pur  bm,k,qr  bm,k,      r q     m,k,p' ,q    n1 ,n 2ur,l1 ,lr 2 Cqm,k r  Im,k  ur  n1 ,n 2 ,l1 ,l2 a n,l,p a n ,l ,p'  n,n 2 ,l,l 2  p uur  1 1 ur  uur  ,p'  q  ur  a uuur uur n 2 ,l2 ,p'  q an,l,pr  n,n1 ,l,l1 upr  uur  ,p' b r m,k,q    bm,k, r q   m,k,p' ,q    n1 ,n 2uur,l1 ,lr2 Cqm,k r  I nm,k 1 ,n 2 ,l1 ,l 2 a n,l,pr a n ,l ,pr  1 1  q  r b r m,k,q    b m,k, r q   m,k,p ' ,q    n1 ,n 2ur,l1 ,lr 2 Cqm,k r  Inm,k 1 ,n 2 ,l1 ,l 2 a n r 2 ,l 2 ,p   q  r    a n,l,pr b m,k,qr  b m,k, r q    m,k,p' ,q    nur1 ,l1r,m,k Cqm,k r  Im,k   n1 ,n 2 ,l1 ,l2 a n,l,p a n ,l ,p r r  1 1 r  q  b r m,k,q    bm,k, r q  a n ,l ,pr   1 1  q  r    a n,l,pr bm,k,qr  bm,k, r q    p' ,q  Chuyển n2, l2 thành n1, l1 sau đó lại chuyển n1 thành n’ và l1 thành l’ ta được:   r Sh 3 t   n',l',m,k Cqm,k r  I m,k n,n',l,l'  a n,l,p  a n',l',p  q  b m,k,q   r r r t   a n,l,p r a r n',l',p   q  r  bm,k, r q  t  ur r p' ,q   a n',l',pr r a n,l,pr b m,k,qr   a n',l',p r r  a n,l,pr b m,k, r   q    t  q   q  t  m,k   Sh 3 t   r Cqm,kr  I n,n',l,l'    a n,l,pr  a n',l',pr  qr  b m,k,qr  t  a n',l',puur uur  q a n,l,pr b m,k, qr   t  n',l',m,k,q  (2.5)  a n',l',pr r   q a n,l,pr b m,k,qr   t   a n,l,p r a r n',l',p r  q b m,k, qr   t  Thay (2.3), (2.4), (2.5) vào (2.2) ta được: f n,l,pr  t  ih t    r n',l ',m,k,q  Cqm,k r I  m,k  n,n',l,l' f n',l',p r r r r   q  ,n,l,p  ,q   t   f n,l,p  r r r r t  ,n',l',p q ,m,k,  q     q,n,l,p ,m,k,  q   f n,l,pr r r  ,n',l',p  q  ,m,k,q  r  t   fn',l',p  r r r  r   (2.6) Với: f n ,l ,pr ,n 1 1 1 r 2 ,l2 ,p 2 ,m,k,q  r t  a n ,l ,pr a n 1 1 1 r 2 ,l 2 ,p 2 bm,k,qr  t Vậy xuất phát từ phương trình động lượng tử tổng quát cho hàm phân bố điện tử, sử dụng các biểu thức của Hamiltonian và thực hiện các biến đổi đại số toán tử [3], [4] chúng tôi đã thu được biểu thức (2.6) như trên. Để tìm nghiệm của biểu thức 15
(2.6) trước hết phải tính f n ,l ,pr ,n 1 1 1 r 2 ,l 2 ,p 2 ,m,k,q  r t ,bằng cách xây dựng và tìm nghiệm phương trình động lượng tử cho f n ,l ,pr ,n 1 1 1 r 2 ,l 2 ,p 2 ,m,k,q  r  t  , ta được:  f n ,l ,pr ,n r r t ih 1 1 1 2 ,l 2 ,p 2 ,m,k,q   a n ,l ,pr a n ,l ,pr b m,k,qr , H   t  11 1 2 2 2   t  r e ur   r  a +n ,l ,pr a n ,l ,pr b m,k,qr , r  n,l  p   A  t   a n,l,p a n,l,pr  uur hm,k,quur b m,k,q  uur b uur    m,k,q   1 1 1 2 2 2  n,l,p  h c   m,k,q      r n,n',l,l',p  ,q  uur Cqm,k r  aI m,kr n,l,p  b  uur  b n,n',l,l' a n,l,p m,k,q  r  uur  m,k,  q   r  q    sht1 t + sht 2 t + sht 3 t  2.7  t Tính lần lượt 3 số hạng trong (2.7) như sau:  r e ur   r  ) sht1 t  a n ,l ,pr a n ,l ,pr b m,k,qr , r  n,l  p   A  t   a n,l,p a n,l,pr    1 1 1 2 2 2  n,l,p  hc     t r e ur   + r r a r      p  A  t   a n ,l ,p a n ,l ,pr bm,k,qr ,a n,l,p  n,l,p   r n,l,p  n,l   h c   1 1 1 2 2 2    t Ta xét riêng: a  r a r b r ,a r a r     n1 ,l1 ,p1 n 2 ,l2 ,p2 m,k,q  n,l,p  n,l,p      a +n ,l ,pr a n r r a r a r a r a b m,k,qr a n,l,p + r a r b m,k,qr  1 1 1 2 ,l 2 ,p 2  n,l,p  n,l,p n,l,p n ,l ,p n    1 1 1 2 ,l 2 ,p 2  1 1 1   a +n ,l ,pr  n,n 2 ,l,l2  pr r 2 ,p    a n,l,p r a  n r 2 ,l 2 ,p 2 a r n,l,p  b m,k,qr      a n,l,pr  n,n1 ,l,l1 pr ,pr  a n+ ,l ,pr a n,l,pr 1  1 1 1  a r n 2 ,l 2 ,p 2 b m,k,qr   a + r a r n1 ,l1 ,p1 n,l,p  bm,k,qr  n,n2 ,l,l2  pr r a  r an r bm,k,qr  n,n1 ,l,l1 pr ,pr  2 ,p  n,l,p  2 ,l 2 ,p 2  1  Suy ra:  r e ur  r e ur   + r sht1 t   n 2 ,l2  p 2  A  t     n1 ,l1  p1  A  t    a n ,l ,p a n ,l ,pr b m,k,qr   hc   hc  1 1 1 2 2 2  t h2  r 2  2 2  2 2  Mà:  n,l,pr   p   2 n  2 l   2m  Lx Ly  r e ur  r e ur  he r   r ur Nên:  n 2 ,l2  p2  A(t)    n1 ,l1  p1  A  t     n ,l ,pr   n ,l ,pr  p 2  p1 A  t   hc   hc  2 2 2 1 1 1 mc 16