Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến và ứng dụng

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

122
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trên cơ sở các tài liệu về phương trình vi phân luận văn trình bày một số kết quả về tính ổn định, tiệm cận, ổn định mũ của các hệ với thời gian liên tục sau đó dựa vào các tính chất ổn định đó xây dựng một số ứng dụng giải bài toán ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC NGUYỄN DUY KHÁNH BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát HÀ NỘI- 2015
Mục lục Mở đầu 2 Các kí hiệu dùng trong luận văn 4 Lời cảm ơn 5 1 Cơ sở toán học 6 1.1 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Lý thuyết ổn định Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Các khái niệm về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Một số tiêu chuẩn cơ bản về tính ổn định . . . . . . 11 1.3 Bài toán ổn định hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến và ứng dụng 22 2.1 Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến . . . . . . . . . 23 2.2 Ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến . . . . . 37 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 1
Lời mở đầu Trong thực tiễn, nhiều bài toán đề cập các vấn đề kĩ thuật, điều khiển thường liên quan đến các hệ động lực mô tả bởi các phương trình toán học với thời gian liên tục dạng x(t) ˙ = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0, trong đó x(t) là biến trạng thái mô tả đối tượng đầu ra, u(t) là biến điều khiển mô tả đối tượng đầu vào của hệ thống. Những dữ liệu đầu vào có tác động quan trọng có thể làm ảnh hưởng đến sự vận hành đầu ra của hệ thống. Như vậy ta có thể hiểu một hệ thống điều khiển là một mô hình toán học được mô tả bởi phương trình toán học biểu thị sự liên hệ vào ra. Một trong những mục đích chính của bài toán điều khiển hệ thống là tìm điều khiển đầu vào sao cho đầu ra có những tính chất mà ta mong muốn. Trong đó, tính ổn định là một trong những tính chất quan trọng của lý thuyết định tính các hệ động lực và được sử dụng nhiều trong các lĩnh vực cơ học, vật lý toán, kĩ thuật, kinh tế... Nói một cách hình tượng, một hệ thống được gọi là ổn định tại trạng thái cân bằng nào đó nếu các nhiễu nhỏ của các dữ liệu đầu vào của hệ thống không làm cho hệ thống thay đổi nhiều so với trạng thái cân bằng đó. Sự nghiên cứu bài toán ổn định hệ thống được bắt đầu từ thế kỉ thứ XIX bởi nhà toán học V. Lyapunov và đến nay đã không thể thiếu trong lý thuyết phương trình vi phân và ứng dụng. Lyapunov đã xây dựng nền móng cho lý thuyết ổn định, đặc biệt là đưa ra hai phương pháp nghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình vi phân thường. Đó là phương pháp số mũ Lyapunov và phương pháp hàm Lyapunov. Trong giai đoạn 1953–1962, việc áp dụng phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của các hệ động 2
lực đã nhận được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu bởi những ứng dụng hữu hiệu của nó trong hệ thống dẫn đường hàng không vũ trụ mà không thể giải quyết được bằng các phương pháp khác. Từ đó đến nay lý thuyết ổn định Lyapunov vẫn đang là một lý thuyết phát triển rất sôi động của Toán học và trở thành một bộ phận nghiên cứu không thể thiếu trong lý thuyết hệ thống và ứng dụng. Đến những năm 60 của thế kỉ XX, cùng với sự phát triển của lý thuyết điều khiển, người ta cũng bắt đầu nghiên cứu tính ổn định của các hệ điều khiển hay còn gọi là bài toán ổn định hóa các hệ điều khiển. Vì vậy, việc nghiên cứu tính ổn định và tính ổn định hóa của các hệ phương trình vi phân và điều khiển bằng cả hai phương pháp do Lyapunov đề xuất, đặc biệt là phương pháp hàm Lyapunov đã và đang trở thành một hướng nghiên cứu thời sự thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu trong nước và quốc tế. Trên cơ sở các tài liệu về phương trình vi phân luận văn trình bày một số kết quả về tính ổn định, tiệm cận, ổn định mũ của các hệ với thời gian liên tục sau đó dựa vào các tính chất ổn định đó xây dựng một số ứng dụng giải bài toán ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến. Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Cơ sở toán học Trong chương này, tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về hệ phương trình vi phân, các lý thuyết ổn định của các hệ tuyến tính, phi tuyến bằng phương pháp hàm Lyapunov, đặc biệt là một số tiêu chuẩn cơ bản về tính ổn định, đồng thời đưa ra những khái niệm đầu tiên về bài toán ổn định hóa. Chương 2: Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến và ứng dụng Trong chương này, tôi trình bày một số định lý quan trọng về tính ổn định của hệ phương trình vi phân phi tuyến, từ đó xây dựng một số ứng dụng giải bài toán ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến. 3
Các kí hiệu dùng trong luận văn - R+ : Tập các số thực dương. - Rn : Không gian véctơ thực n chiều với tích vô hướng h., .i và chuẩn Euclide k.k. - Rn×m : Không gian các ma trận thực có số chiều n × m. - AT : Ma trận chuyển vị của A. - A−1 : là ma trận nghịch đảo của ma trận A. - I : Ma trận đơn vị cấp n. - λmin (A): Giá trị riêng nhỏ nhất của ma trận đối xứng A. - λ(A): Tập các giá trị riêng của A. 4
Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát. Thầy đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo trong suốt thời gian qua. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, các cô khoa Toán - Cơ - Tin, khoa sau đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội đã trang bị kiến thức và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Mặc dù bản thân đã cố gắng rất nhiều nhưng vì thời gian thực hiện không nhiều, kiến thức và trình độ còn hạn chế nên luận văn của tôi không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. Hà Nội, ngày 27 tháng 10 năm 2015 Học viên Nguyễn Duy Khánh 5
Chương 1 Cơ sở toán học Trong chương này, tôi trình bày những kiến thức cơ sở về hệ phương trình vi phân, nghiệm của hệ phương trình vi phân, các khái niệm về tính ổn định của hệ phương trình vi phân, phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của các hệ phi tuyến, đưa ra một số tiêu chuẩn cơ bản về tính ổn định của hệ tuyến tính, đồng thời trình bày những khái niệm đầu tiên về bài toán ổn định hóa. Nội dung chương này được trình bày dựa trên các tài liệu ([2], [4], [5], [6]). 1.1 Hệ phương trình vi phân Xét phương trình vi phân x(t) ˙ = f (t, x(t)), t ∈ I = [t0 , t0 + b] , (1.1) x(t0 ) = x0 , x ∈ Rn , t0 ≥ 0, trong đó f (t, x(t)) : I × D 7→ Rn , D = {x ∈ Rn : ||x − x0 || ≤ a} . Nghiệm x(t) của phương trình (1.1) là hàm x(t) khả vi liên tục thỏa mãn: a) (t, x(t)) ∈ I × D, b) x(t) thỏa mãn phương trình vi phân (1.1). Giả sử hàm f (t, x(t)) liên tục trên I × D, khi đó nghiệm x(t) cho bởi dạng tích phân: Z t x(t) = x0 + f (s, x(s))ds. t0 6
Định lý 1.1.1 (Tồn tại nghiệm địa phương). Xét hệ phương trình vi phân (1.1) trong đó giả sử hàm f (t, x) : I × D 7→ Rn là liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x, tức là ∃K > 0 : ||f (t, x1 ) − f (t, x2 )|| ≤ K||x1 − x2 ||, ∀t ≥ 0. Khi đó với mỗi (t0 , x0 ) ∈ I × D ta luôn tìm được số d > 0 sao cho hệ (1.1) luôn có nghiệm duy nhất trong khoảng [t0 − d, t0 + d]. Định lý 1.1.2 (Tồn tại nghiệm toàn cục). Giả sử f (t, x) : R+ × Rn → Rn là hàm liên tục theo t và thỏa mãn các điều kiện sau: ∃M0 , M1 sao cho ||f (t, x)| | ≤ M0 + M1 ||x| |, ∀t ∈ R+ , x ∈ Rn , ∃M2 sao cho kf (t, x1 ) − f (t, x2 )k ≤ M2 kx1 − x2 k, ∀t ∈ R+ , x ∈ Rn . Khi đó hệ (1.1) luôn tồn tại nghiệm duy nhất trên [0; +∞) Đối với hệ tuyến tính x(t) ˙ = Ax(t) + g(t), t ≥ 0, (1.2) x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, trong đó A là ma trận hằng số, g(t) : [0; ∞) 7→ Rn là hàm khả tích thì hệ (1.2) luôn có nghiệm duy nhất cho bởi công thức Cauchy sau: Z t x(t) = eA(t−t0 ) x0 + eA(t−t0 ) g(s)d(s). t0 Đối với không dừng x(t) ˙ = A(t)x(t) + g(t), t ≥ 0, (1.3) x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, trong đó A(t) là hàm đo được hoặc liên tục theo t và ||A(t)|| ≤ m(t), với m(t) là hàm khả tích và g(t) cũng là hàm khả tích thì hệ (1.3) cũng có nghiệm duy nhất. Tuy nhiên, nghiệm của hệ này không biểu diễn theo công thức Cauchy như hệ tuyến tính mà thông qua ma trận nghiệm cơ bản Φ(t, s) của hệ thuần nhất x(t) ˙ = A(t)x(t), (1.4) 7
nghiệm của hệ (1.3) được cho bởi Z t x(t) = Φ(t, t0 )x0 + Φ(t, s)g(s)d(s), (1.5) t0 trong đó Φ(t, s) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ (1.4) thỏa mãn hệ phương trình ma trận d ( Φ(t, s) = A(t)Φ(t, s), t ≥ s, (1.6) dt Φ(t, t) = I. 1.2 Lý thuyết ổn định Lyapunov Trong phần này, luận văn trình bày một số khái niệm, định lý cơ bản về tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến, và nghiên cứu về tính ổn định của chúng bằng phương pháp hàm Lyapunov đồng thời đưa ra một số tiêu chuẩn đánh giá tính ổn định của hệ tuyến tính. 1.2.1 Các khái niệm về ổn định Xét một hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân x˙ = f (t, x(t)), t ≥ 0, (1.7) x(t0 ) = x0 , x ∈ Rn , t0 ≥ 0, trong đó x(t) ∈ Rn là véctơ trạng thái của hệ f (t, x(t)) : R+ × Rn → Rn . Giả sử hàm f (t, x(t)) là hàm thỏa mãn các điều kiện sao cho nghiệm của bài toán Cauchy (1.7) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0 luôn có nghiệm. Khi đó dạng tích phân của nghiệm được cho bởi công thức Z t x(t) = x0 + f (s, x(s))ds. t0 Định nghĩa 1.2.1. Nghiệm không của hệ (1.7) được gọi là ổn định nếu với mọi số ε > 0, t0 ≥ 0, tồn tại δ = δ(t0 , ε) > 0 sao cho x(t0 ) = x0 thỏa mãn ||x0 || < δ thì ||x(t)|| < ε, ∀t ≥ t0 . Định nghĩa 1.2.2. Nghiệm không của hệ (1.7) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định và tồn tại một số δ > 0 sao cho ||x0 || < δ thì lim ||x(t)|| = 0. x→∞ 8
Định nghĩa 1.2.3. Nghiệm không của hệ (1.7) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại các hằng số α > 0, K > 0 sao cho mọi nghiệm của hệ (1.7) với x(t0 ) = x0 thỏa mãn ||x(t)|| ≤ K.e−α(t−t0 ) ||x0 ||, ∀t ≥ t0 . Để ngắn gọn thay vì nói hệ (1.7) là ổn định ta nói nghiệm 0 của hệ là ổn định. Ví dụ 1.2.1. Xét tính ổn định của phương trình vi phân x(t) ˙ = ax(t), t ≥ 0, với x(t0 ) = x0 . Ta có nghiệm x(t) của phương trình trên cho bởi x(t) = eat x0 , t ≥ 0. Nếu a < 0 hệ đã cho ổn định tiệm cận và ổn định mũ. Nếu a = 0 thì hệ là ổn định. 1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov Trong phần này, đối với các hệ trong không gian thực chúng ta sẽ nghiên cứu tính ổn định của chúng bằng phương phương pháp hàm Lyapunov (phương pháp thứ 2 Lyapunov) là một phương pháp được áp dụng nhiều trong việc nghiên cứu định tính các hệ phương trình vi phân nhất là các hệ phi tuyến. Xét hệ phương trình vi phân phi tuyến dừng x(t) ˙ = f (x(t)), f (0) = 0, t ∈ R+ . (1.8) Xét hàm số V (x) : Rn → R được gọi là xác định dương nếu a) V (x) ≥ 0 với mọi x ∈ Rn . b) V (x) = 0 khi và chỉ khi x = 0. Định nghĩa 1.2.4. Hàm V (x) : D ⊆ Rn → R, D là lân cận mở tùy ý của 0, gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.8) nếu 9
a) V (x) là hàm khả vi liên tục trên D. b) V (x) là hàm xác định dương. ∂V c) Df V (x) : = f (x) ≤ 0, ∀x ∈ D. ∂x Hàm V (x) gọi là hàm Lyapunov chặt nếu nó là hàm Lyapunov và thêm vào đó bất đẳng thức trong điều kiện (c) là thực sự âm với mọi x nằm ngoài lân cận 0 nào đó, chính xác hơn: d) ∃c > 0 : Df V (x) < 0, x ∈ D \ {0}. Bằng cách lựa chọn hàm Lyapunov, ta có định lý sau. Định lý 1.2.1. Nếu hệ (1.8) có hàm Lyapunov thì ổn định. Hơn nữa, nếu hàm Lyapunov đó là chặt thì hệ là ổn định tiệm cận. Ví dụ 1.2.2. Xét tính ổn định của hệ phương trình vi phân x˙ 1 = −x22 x1 , x˙ 2 = x21 x2 . Lấy hàm V (x) = x21 + x22 . Ta có V (x) khả vi liên tục trên R, xác định dương với mọi x thuộc R. Vì V˙ (x) = 2x1 x˙ 1 + 2x2 x˙ 2 = −2x21 x22 + 2x21 x22 = 0. Vậy nghiệm 0 là ổn định. Ví dụ 1.2.3. Xét tính ổn định của hệ phương trình vi phân sau  x˙ 1 = −2x2 + x2 x3 − x31 x˙ 2 = x1 − x1 x3 − x32 x˙ 3 = x1 x2 − x33 .  Xét V (x) = x21 + 2x22 + x23 , V (x) thỏa mãn V (x) ≥ 0, V (x) khả vi liên tục. Ta có V˙ (x) = 2x1 x˙ 1 x2 + 4x2 x˙ 2 + 2x3 x˙ 3 = −4x1 x2 + 2x1 x2 x3 − 2x41 + 4x1 x2 − 4x1 x2 x3 − 4x42 + 2x1 x2 x3 − 2x43 , = −2(x41 + 2x42 + x43 ) < 0. 10
Vậy nghiệm 0 của hệ ổn định tiệm cận. Đối với hệ tuyến tính không dừng (1.7) thì hàm Lyapunov được định nghĩa tương tự cho hàm hai biến V (t, x). Trước hết ta xét lớp hàm K là tập các hàm tăng chặt a(.) : R+ → R+ với a(0) = 0. Hàm V (t, x) : R+ × D → R gọi là hàm Lyapunov nếu: a) V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa ∃a(.) ∈ K : V (t, x) ≥ a(||x||), ∀(t, x) ∈ R+ × D. ∂V ∂V b) Df V (t, x) = + f (t, x) ≤ 0, ∀(t, x) ∈ R+ × D. ∂t ∂x Nếu hàm Lyapunov thỏa mãn thêm điều kiện c) ∃ a(.) ∈ K : V (t, x) ≤ a(||x||), ∀ (t, x) ∈ R+ × D. d) ∃ γ(.) ∈ K : Df V (t, x) ≤ −γ(||x||), ∀ t ∈ R+ , x ∈ D \ {0}. thì ta gọi là hàm Lyapunov chặt. Định lý 1.2.2. Nếu hệ phi tuyến không dừng (1.7) có hàm Lyapunov thì hệ là ổn định. Nếu hàm là chặt thì hệ ổn định tiệm cận. 1.2.3 Một số tiêu chuẩn cơ bản về tính ổn định Xét hệ tuyến tính x(t) ˙ = Ax(t), t ≥ 0, (1.9) trong đó A là ma trận cấp n × n. Nghiệm của hệ (1.9) với trạng thái ban đầu x(t0 ) = x0 cho bởi công thức Cauchy: x(t) = eA(t−t0 ) x0 , t ≥ t0 . Định lý 1.2.3 (Công thức Sylvester). Cho A là ma trận n × n chiều với các giá trị riêng λ1 ; λ2 ; . . . ; λn khác nhau. Cho f (λ) là hàm đa thức bậc n có dạng n X f (λ) = Ck λk . k=0 11
Khi đó X f (A) = Zk f (λk ) trong đó Zk được xác định bởi (A − λ1 I) . . . (A − λk−1 I)(A − λk+1 I) . . . (A − λn I) Zk = (1.10) (λk − λ1 ) . . . (λk − λk−1 )(λk − λk+1 ) . . . (λk − λn ) Định lý dưới đây cho một tiêu chuẩn đầu tiên về tính ổn định của hệ (1.9), thường gọi là tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov. Định lý 1.2.4. Hệ (1.9) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi phần thực của tất cả các giá trị riêng của A là âm, tức là Reλ < 0, với mọi λ ∈ λ(A). Chứng minh. Từ lý thuyết ma trận và theo công thức sylvester áp dụng cho f (λ) = eλ , ta có q t X e At = (Zk1 + Zk2 t + ... + Zkαk tαk −1 )eλk , k=1 trong đó λk là giá trị riêng của A, αk là chỉ số mũ bội của các λk trong phương trình đa thức đặc trưng của A, Zki là các ma trận hằng số xác định bởi hệ (1.10). Do đó, ta có đánh giá sau q X X αk q X X αk At i−1 Reλk t ||e || ≤ t e ||Zki || = ti−1 eReλk t ||Zhi ||. k=1 i=1 k=1 i=1 Vì Reλk < 0 nên ||x(t)|| → 0 khi t → +∞. Ngược lại nếu hệ là ổn định mũ, khi đó mọi nghiệm x(t), x(t0 ) = x0 của hệ (1.9) thỏa mãn điều kiện ||x(t)|| ≤ µ||x0 ||e−δ(t−t0 ) , (1.11) với µ > 0, δ > 0 nào đó. Bây giờ, ta giả sử phản chứng rằng có một λ0 ∈ λ (A) sao cho Reλ0 . Khi đó với véc tơ riêng x0 ứng với λ0 này ta có Ax0 = λ0 x0 , và khi đó nghiệm của hệ ứng với x0 (t) = x0 là x0 (0) = x0 eλ0 t, khi đó ta có ||x0 (t)|| = ||x0 ||eReλ0 t . 12
Vậy nghiệm x0 (t) này tiến tới +∞ khi t → ∞, mâu thuẫn với điều kiện (1.11). Định lý được chứng minh. Ví dụ 1.2.4. Xét tính ổn định của hệ x˙1 = −x1 + 3x2 ( 1 x˙2 = x1 − 2x2 4 Ta có phương trình đặc trưng
−1 − λ 3
1
=0