Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Bổ đề đạo hàm Logarit và ứng dụng

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

62
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn này trình bày được một số kiến thức cơ sở lý thuyết Nevanlinna, trong đó đặc biệt là bổ đề đạo hàm logarit và ứng dụng của nó trong việc chứng minh định lý cơ bản thứ hai. Nội dung của luận văn gồm 2 chương.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Bổ đề đạo hàm Logarit và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phùng Thị Thúy BỔ ĐỀ ĐẠO HÀM LOGARIT VÀ ỨNG DỤNG Ngành: Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn: Hà Nội - 2010
LỜI GIỚI THIỆU Lý thuyết Nevanlinna là lý thuyết phân bố giá trị toán học, với mục đích chính là thiết lập định lí cơ bản thứ nhất và định lí cơ bản thứ hai đối với ánh xạ phân hình. Lý thuyết này đã thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà Toán học hiện nay. Các kết quả và công cụ của lý thuyết này được áp dụng rộng rãi vào nhiều ngành của Toán học như: giải tích phức Hyperbolic, xấp xỉ Diophantine,. . . Một trong những công cụ chính của lý thuyết Nevanlinna là bổ đề đạo hàm Logarit. Bổ đề đạo hàm logarit được xây dựng và chứng minh bởi nhiều nhà toán học như Bloch’s, T.Ochiai, W. Cherry,... Kết quả của bổ đề này được ứng dụng để mở rộng nhiều phần khác của lý thuyết này như chứng minh định lý cơ bản thứ hai, một trong hai định lý quan trọng nhất trong lý thuyết này. Vì vậy, tôi đã chọn đề tài: ”Bổ đề đạo hàm Logarit và ứng dụng”. Mục đích của luận văn này trình bày được một số kiến thức cơ sở lý thuyết Nevanlinna, trong đó đặc biệt là bổ đề đạo hàm logarit và ứng dụng của nó trong việc chứng minh định lý cơ bản thứ hai. Nội dung của luận văn gồm 2 chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Trong chương này trình bày một số kiến thức cơ bản và hai định lý cơ bản trong lý thuyết Nevanlinna, bổ đề đạo hàm Logarit. Chương này cung cấp cho ta những cơ sở đầu tiên để mở rộng lý thuyết Nevanlinna trong chiều cao hơn.
Chương 2. Bổ đề đạo hàm Logarit cho trường hợp nhiều biến. Trong chương này, chúng ta mở rộng bổ đề đạo hàm Logarit cho trường hợp nhiều biến và trình bày ứng dụng của nó cho việc chứng minh định lý cơ bản thứ hai. Sau đó, chúng ta chứng minh bổ đề đạo hàm logarit cho vi phân jet của dạng logarit, được viết dựa theo nội dung của bài báo "On holomorphic jet bundles" của W. Stoll được đăng tại tạp chí AG. math (2000). Để hoàn thành luận văn này, lời đầu tiên trong luận văn tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Đình Sang người thầy đã tận tình dạy bảo, hướng dẫn tôi trong quá trình học tập và làm luận văn. Và tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Ninh Văn Thu người đã trực tiếp giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi cũng bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy cô khoa Toán - Cơ - Tin học, quý thầy cô phòng Sau đại học – Trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và hoàn thành luận văn này.
Mục lục Lời giới thiệu 2 Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1 1.1. CÁC HÀM CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. Hàm đếm N (r, f ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2. Hàm xấp xỉ m(r, f ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3. Hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ NHẤT . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1. Bổ đề Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2. Định lý Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3. Định lý cơ bản thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.4. Bất đẳng thức Nevanlinna . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. BỔ ĐỀ ĐẠO HÀM LOGARIT . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1. Bổ đề Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2. Bổ đề đạo hàm Logarit . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.3. Định lý cơ bản thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 2. BỔ ĐỀ ĐẠO HÀM LOGARIT CHO TRƯỜNG HỢP NHIỀU BIẾN 20 2.1. CÔNG THỨC JENSEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.1. Một số định nghĩa cơ bản . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.2. Công thức Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2. BỔ ĐỀ ĐẠO HÀM LOGARIT . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.1. Bổ đề đạo hàm Logarit . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3. ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4. PHÂN THỚ JET CHỈNH HÌNH . . . . . . . . . . . . . 34 2.4.1. Một số khái niệm cơ bản về phân thớ jet . . . . . 35 2.4.2. Bổ đề đạo hàm logarit cho vi phân jet kì dị . . . 36 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. CÁC HÀM CƠ BẢN Trong phần này, chúng ta trình bày một số khái niệm cơ bản về hàm đếm, hàm xấp xỉ và hàm đặc trưng. Cho f là hàm phân hình trên hình tròn tâm O, bán kính R, 0 < R < ∞, r < R, ở đây hàm phân hình h(z) được hiểu là thương , trong đó h(z), g(z) là hai hàm chỉnh hình và g(z) g(z) ̸= 0. 1.1.1. Hàm đếm N (r, f ) Hàm đếm của f được định nghĩa bởi ∫r dt N (r, f ) = n (0, f ) log r + [n (t, f ) − n (0, f )] . t 0 Trong đó, n (t, f ) là số cực điểm của f kể cả trên bội trên {|z| ∈ C : |z| 6 t}. Với mỗi a ∈ C hàm đếm các a– điểm được định nghĩa bởi ( ) 1 Nf (r, a) = N r, . f −a Nếu a = 0 thì nó đếm các 0-điểm ∑
r
Nf (r, 0) = ord+ 0 (f ) . log r + (ord+ z f ). log
, z z∈D(r),z̸=0 z f = max{0; ordz f } là cấp triệt tiêu của f và là số bội của trong đó ord+ 0−điểm tại z. 1
1.1.2. Hàm xấp xỉ m(r, f ) Trước hết ta định nghĩa   log x nếu x ≥ 1 log+ (x) = max{log x, 0} = (1.1)  0 nếu 0 < x < 1. Khi đó hàm log + , có tính chất sau đây 1. log+ (xy) ≤ log+ (x) + log+ (y), 2. log+ (x + y) ≤ log+ (x) + log+ (y) + log 2, ( ) 1 3. log(x) = log+ (x) − log+ , x ( ) 1 4. | log(x)| = log+ (x) + log+ x Hàm xấp xỉ của f được định nghĩa bởi ∫2π
( )
dθ m (r, f ) = log+
f reiθ
. 2π 0 Giá trị m(r, f ) là độ lớn trung bình của log |f (z)| trên |z| = r. Với a ∈ C bất kì, hàm xấp xỉ tại a-điểm mf (r, a) được xác định bởi ( ) ∫2π 1 1 dθ mf (r, a) = m r, = log+ . f −a |f (reiθ ) − a| 2π 0 Chú ý rằng, m(r, f ) đặc trưng cho độ tăng của f khi z → ∞. 1.1.3. Hàm đặc trưng Hàm đặc trưng của f được định nghĩa bởi T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ). 2
Hàm đặc trưng đóng một vai trò rất quan trọng trọng lý thuyết Nevan- linna. Ví dụ 1. Nếu f = const thì T (r, f ) = O(1). P (z) 2. Nếu f = thì T (r, f ) = O(log r). Q(z) 3. Nếu f = ez thì T (r, f ) = r + O(1). 1.2. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ NHẤT Với a ∈ C, r > 0, kí hiệu ∆(a, r) = {z ∈ C; |z − a| < r} là hình tròn tâm a bán kính r. Khi a=0 ta viết ∆(r) = ∆(0, r). Giả sử φ(z) = φ(x, y) là hàm khả vi. Ta nhắc lại một số kí hiệu ( ) ∂φ 1 ∂φ 1 ∂φ = + , ∂z 2 ∂x i ∂y ( ) ∂φ 1 ∂φ 1 ∂φ = − , ∂z 2 ∂x i ∂y dz = dx + idy, dz = dx − idy, ∂φ ∂φ ∂φ = dz, ∂φ = dz, ∂z ∂z ( ) i ( ) 1 ∂φ ∂φ dc φ = ∂φ − ∂φ = dy − dx , 4π 4π ∂x ∂y i dφ = ∂φ + ∂φ, ddc φ = ∂∂φ, 2π ∂ 2φ ∂∂φ = dz ∧ dz. ∂z∂z Trong hệ tọa độ cực z = reiθ , dc được biểu diễn dưới dạng ( ) 1 ∂φ 1 ∂φ dc φ = r dθ − dr . 4π ∂r r ∂θ 3
Giả sử φ(z) là hàm thực xác định trên C, với tập các điểm kì dị của φ được kí hiệu bởi Z = {av }v∈I là tập rời rạc. Trong một lân cận U (av ) của av hàm φ có biểu diễn φ(z) = λv log |z − av | + ψv (z), trong đó ψv ∈ C 2 (U (av )) và λv ∈ R. Trước khi chứng minh định lý cơ bản thứ nhất ta cần phải chứng minh bổ đề và định lý sau. 1.2.1. Bổ đề Jensen Bổ đề 1. Giả sử φ(z) xây dựng như trên. Thế thì với 0 ≤ s < r nếu φ(0) ̸= ±∞ và với 0 < s < r ta có   ∫ ∫ ∫r ∫ ∫r 1 1 dt i dt  ∑  φ(z)dθ − φ(z)dθ = 2 ∂∂φ + λv . 2π 2π t 2π t |z|=r |z|=s s ∆(t) s |av |