Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Cấu trúc vùng năng lượng của siêu mạng Graphene hai lớp

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:67

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong luận văn này sử dụng phương pháp Transfer(T) matrix quen thuộc, chúng tôi bước đầu tìm hiểu cấu trúc năng lượng của siêu mạng graphene hai lớp ( bilayer graphene) với thế tĩnh điện tuần hoàn dạng Kronig-Penney. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Cấu trúc vùng năng lượng của siêu mạng Graphene hai lớp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LƢU THỊ PHƢỢNG CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƢỢNG CỦA SIÊU MẠNG GRAPHENE HAI LỚP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------------- LƢU THỊ PHƢỢNG CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƢỢNG CỦA SIÊU MẠNG GRAPHENE HAI LỚP Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán Mã số : 60.44.01.03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Văn Liễn HÀ NỘI, 2015
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào. Tác giả luận văn Lƣu Thị Phƣợng i
LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, ngoài sự nỗ lực cố gắng của bản thân, tôi luôn nhận được sự quan tâm, giúp đỡ tạo điều kiện từ gia đình, thầy cô và bạn bè. Xin được lưu vào trang đầu tiên của luận văn sự tri ân và lời cảm ơn chân thành nhất. Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn và sự kính trọng tới thầy, GS.TSKH Nguyễn Văn Liễn, người đã trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Thầy đã tận tình hướng dẫn và tạo cho tôi những điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu khoa học. Đặc biệt tôi xin cảm ơn bạn Phạm Công Huy, bạn đã trực tiếp hướng dẫn tôi phần tính toán của luận văn và kiểm tra lại các kết quả tính toán đó. Tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật Lý trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đaị học Quốc Gia Hà Nội, thầy cô phòng sau đại học,…những người đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt các kiến thức về vật lý và xác nhận các thủ tục hành chính trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng tôi xin cảm ơn bố mẹ, chồng và em trai luôn nhắc nhở động viên và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi có thể học tập. Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2015 Tác giả Lƣu Thị Phƣợng ii
MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN .............................................................................................. i LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................. ii DANH SÁCH HÌNH VẼ ................................................................................. iv LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1 CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN ...................................................................................... 4 1.1.Cấu trúc vùng năng lượng .................................................................................. 4 1.2.Phương trình Dirac . ........................................................................................... 7 1.3.Giả spinor và Chirality. .................................................................................... 12 1.4. Truyền dẫn ballistic. ........................................................................................ 14 1.4.1.Chui ngầm Klein ........................................................................................ 14 1.4.2 Giới hạn độ dẫn lượng tử ........................................................................... 17 1.5. Hiệu ứng Hall lượng tử khác thường............................................................... 19 1.6. Một số cấu trúc nano graphene........................................................................ 22 1.7. Ứng dụng Graphene. ....................................................................................... 22 CHƢƠNG 2. CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƢỢNG CỦA GRAPHENEHAI LỚP .. 27 2.1. Cấu trúc tinh thể .............................................................................................. 27 2.2.Cấu trúc vùng năng lượng ................................................................................ 28 2.3. Sự khác biệt giữa graphene đơn lớp và graphene hai lớp ............................... 32 CHƢƠNG 3. CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƢỢNG CỦA SIÊU MẠNG GRAPHENE HAI LỚP: KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN ....................................... 38 3.1. Siêu mạng bán dẫn........................................................................................... 38 3.2. Phương pháp T-ma trận. .................................................................................. 40 3.3. Siêu mạng Graphene hai lớp ........................................................................... 43 3.4.Cấu trúc vùng năng lượng của siêu mạng Graphene hai lớp............................ 47 3.4.1. Mô hình thế điện dạng Kronig- Penney. ................................................... 47 3.4.2. Kết quả và thảo luận: ................................................................................ 50 KẾT LUẬN ............................................................................................................... 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 59 iii
DANH SÁCH HÌNH VẼ Hình 1.1. Các vecto cơ sở của vùng Brillouin của Graphene ...................................... 7 Hình 1.2.(a) Cơ chế truyền dẫn khuếch tán và (b) cơ chế truyền dẫn ballistic. ........ 14 Hình 1.3. Mô hình chui ngầm Klein .......................................................................... 15 Hình 1.4: Hệ số truyền qua phụ thuộc vào độ rộng bờ thế: đường màu đỏ ứng với mẫu graphene đơn lớp, đường màu xanh đậm ứng với mẫu graphene hai lớp và đường màu xanh lá cây ứng với bán dẫn thông thường có vùng cấm. ...................... 16 Hình 1.5. Độ dẫn suất tổng quát phụ thuộc vào tỉ số W/L. Đường liền nét biểu diễn độ dẫn theo công thức (1.4.43) , các điểm hình tròn và hình vuông là số liệu thực nghiệm tương ứng của nhóm Miao( 2007) và nhóm Danneau (2008). ..................... 19 Hình 1.6. Hiệu ứng Hall lượng tử cho (a) hệ bán dẫn hai chiều thông thường (b) graphene đơn lớp, (c) graphene hai lớp, (d) graphene đơn lớp ở nhiệt độ T= 4K, B=14 T. ...................................................................................................................... 21 Hình 2.1 : Cấu trúc tinh thể Graphene đơn lớp và Graphene hai lớp ..................... 27 Hình 2.2 : Cấu trúc vùng năng lượng của graphene đơn lớp ................................... 33 Hình 2.3. (a) Cấu trúc vùng năng lượng của graphene hai lớp .................................. 34 Hình 2.3 (b): Cấu trúc vùng năng lượng của Graphene hai lớp không đối xứng. ..... 34 Hình 2.4.Sự xuất hiện khe vùng khi có điện trường ngoài trong lớp kép graphene. . 36 Hình 3.1.Mô hình thế điện Kronig- Penney cho graphene hai lớp. ........................... 44 Hình 3.2. Hệ thức tán sắc với 3 siêu mạng khác nhau cho ta thấy mối liên hệ giữa E với kx, ky. .................................................................................................................... 46 Hình 3.3.Mô hình siêu mạng điện .............................................................................. 47 Hình 3.4. Cấu trúc vùng của siêu mạng điện Graphene trong không gian 3D với: ... 48 Hình 3.5. Vận tốc nhóm phụ thuộc vào góc tới trong trường hợp độ lớn tĩnh điện đặt vào là khác nhau:   4 (đường chấm gạch),   8 (đường liền đỏ),   18 (đường gạch xanh)50 iv
LỜI MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn luận văn Công nghệ bán dẫn hiện đại với transistor truyền thống đã phát triển hết sức mạnh mẽ trong nửa cuối thế kỷ 20. Bằng chứng cho sự phát triển đó chính là định luật Moore với sự tăng theo hàm mũ của mật độ transistor trên chip điện tử silicon. Tuy nhiên, mật độ transistor sẽ đạt đến giới hạn mà tại đó các nguyên lý hoạt động của transistor cổ điển không còn đúng nữa, đó chính là vấn đề mà các nhà vật lý và công nghệ lo ngại khi tiếp tục giảm kích thước của „bóng bán dẫn‟. Carbon, nguyên tố cơ bản của sự sống, với những tính chất độc đáo của nó được kỳ vọng là vật liệu cơ sở cho nền công nghệ trong tương lai. Nhiều người tin rằng, carbon có thể thay thế silic, công nghệ bán dẫn truyền thống sẽ được thay thế bằng công nghệ nano dựa trên nguyên tắc hoàn toàn mới. Các cấu trúc nano của nguyên tố carbon như quả cầu Fullerenes C60 (Fullerenes carbon ball C60 ), ống nano carbon (carbon nanotube), dải nano carbon ( carbon nanoribbon ), đã và đang được nghiên cứu sôi nổi trong lĩnh vực vật lý nano, mấy thập kỷ qua. Mà, Graphene có thể xem là cơ sở cấu thành các cấu trúc đó. Graphene có nhiều tính chất đặc biệt so với các vật liệu thông thường. Thứ nhất, ở năng lượng thấp các electron biểu hiện như những hạt tương đối tính không khối lượng, mặc dù vận tốc của nó chỉ khoảng 1/300 lần vận tốc ánh sáng. Hàm sóng của electron có cấu trúc spinor hai thành phần và hướng của spinor có liên quan đến hướng của xung lượng là nguyên nhân tính chirality. Thứ hai, khả năng truyền dẫn đặc biệt tốt của Graphene. Độ linh động của electron trong Graphene ( tiêu chí để xác định một vật liệu dẫn điện tốt) có thể đạt tới 𝟏𝟎𝟓 𝒄𝒎𝟐 /𝑽𝒔 cao hơn hẳn so với độ linh động của electron trong silicon ( cỡ 𝟏𝟑𝟓𝟎 𝒄𝒎𝟐 /𝑽𝒔) hay GaAs( cỡ 𝟖𝟔𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐 /𝑽𝒔). Ngoài ra, graphene là vật liệu dẫn cực mỏng, trong suốt, rất bền về mặt cơ học, dẫn nhiệt rất tốt. Do đó, Graphene được kỳ vọng sẽ thay thế cho các vật liệu bán dẫn thông thường trong nhiều ứng dụng, từ sản xuất bộ vi xử lý tốc độ cao đến cảm biến sinh học. 1
Việc nghiên cứu ứng dụng graphene được bắt đầu bằng nghiên cứu tính chất electron trong các cấu trúc khác nhau của Graphene : carbon nanoribbon, quantum dot, p-n junction, hay siêu mạng...Thông thường người ta chế tạo siêu mạng bằng cách điều chỉnh thế gian cầm đối với electron bằng công nghệ tương tự như công nghệ hút bám nguyên tử trên một bề mặt Graphene. Ngày nay công nghệ hiện đại hơn được sử dụng đó là kính hiển vi quét đường ngầm STM để quan sát cấu trúc bề mặt của vật rắn với độ phân giải lên tới cấp độ nguyên tử, người ta có thể đặt vào và điều chỉnh tạp chất hợp lý để tạo ra những cấu trúc siêu mạng như ý muốn, với độ chính xác cực cao. Bên cạnh đó, có một phương pháp đơn giản đã từng làm là tạo ra những điện áp địa phương ( tức là đặt vào những điện áp không đổi với một chu kỳ tuần hoàn nào đó), do vậy đối với electron thế là tuần hoàn như một siêu mạng. Ngoài ra, một phương pháp rất độc đáo cũng được sử dụng, đó là ban đầu người ta tạo một lớp chất nền có hình dạng như một thế siêu mạng muốn tạo thành. Sau đó, người ta cấy lên trên những bề mặt này những lớp graphene bằng cách này cũng tạo ra được siêu mạng graphene. Ngày nay, người ta sử dụng kính hiển vi quét đường ngầm STM để điều chỉnh tạp chất trong graphene được đặt lên trên một lớp chất tạo nền và có thể đạt được cấu trúc siêu mạng như mong muốn. Với công nghệ này, người ta có thể tạo được các siêu mạng graphene có chu kỳ nhỏ hơn 5nm. Mô hình siêu mạng phổ biến hay được quan tâm nhất là mô hình thế Kronig- Penney ( tức là mô hình thế gồm các bờ thế vuông góc sắp xếp tuần hoàn theo một phương nào đó). Với mô hình Kronig- Penny cho siêu mạng điện Bai và Zhang [6] đã khảo sát sự phụ thuộc hệ số truyền qua vào góc tới và năng lượng tới của hạt, đồng thời đã tính độ dẫn của hệ. Nhóm của Abedbour cũng đã tính độ dẫn của hệ siêu mạng mất trật tự graphene. Nhóm của Park đã chỉ ra rằng với mô hình Kronig- Penney vận tốc nhóm có tính dị hướng cao do tính chirality. Trong khi vận tốc nhóm theo phương tuần hoàn của thế vẫn không đổi( bằng vận tốc Fermi), thì vận tốc nhóm xét theo phương vuông góc với nó nhỏ hơn vận tốc Fermi. Với một siêu mạng graphene sử dụng thế có dạng hàm sin, Brey và Fertig [10] chỉ ra rằng tính chirality dẫn tới điều đặc biệt là sự xuất hiện những trạng thái năng lượng không trong phương trình Dirac, đây chính là sự xuất 2
hiện thêm của nhiều điểm Dirac nằm đối xứng qua điểm Dirac chính theo phương xung lượng ngang. Ngoài ra siêu mạng còn có thể tạo thành bằng các bờ thế từ. Siêu mạng từ graphene có thể được cấu thành bằng cách áp các thanh sắt từ lên bề mặt tấm graphene theo một phương nhất định tạo thành một thế tuần hoàn. Trong luận văn này sử dụng phương pháp Transfer (T) matrix quen thuộc, chúng tôi bước đầu tìm hiểu cấu trúc năng lượng của siêu mạng graphene hai lớp ( bilayer graphene) với thế tĩnh điện tuần hoàn dạng Kronig- Penney. Vì vậy tôi chọn tên luận văn: “Cấu trúc vùng năng lượng của siêu mạng Graphene hai lớp”. 2. Mục tiêu luận văn Tìm hiểu các tính chất vật lý của graphenevà bước đầu học cách tính toán cấu trúc vùng năng lượng của siêu mạng Graphene hai lớp. 3. Phƣơng pháp nghiên cứu của luận văn Luận văn chủ yếu sử dụng lý thuyết bloch kết hợp với phương pháp T-ma trận . 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu của luận văn -Đối tượng nghiên cứu : Graphene hai lớp dưới tác dụng của thế tĩnh điện tuần hoàn dạng Kronig- Penney. - Phạm vi nghiên cứu : Cấu trúc vùng năng lượng của siêu mạng Graphene hai lớp. 5. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn chia làm 3 chương: Chương 1: Tổng quan các tính chất điện tử của Graphene đơn lớp Chương 2: Cấu trúc vùng năng lượng của Graphene hai lớp Chương 3: Trình bày kết quả và thảo luận về cấu trúc vùng năng lượng của siêu mạng Graphene 2 lớp với thế điện dạng Kronig - Penney. 3
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN CÁC TÍNH CHẤT ĐIỆN TỬ CƠ BẢN CỦA GRAPHENE ĐƠN LỚP Để làm rõ hơn các tính chất đặc biệt của graphene được giới thiệu ở phần mở đầu, đồng thời làm cơ sở cho những tính toán và giải thích các hiện tượng vật lý ở trong siêu mạng graphene sẽ trình bày ở phần tiếp theo, tôi xin giới thiệu một vài đặc trưng cơ bản nhất của graphene như cấu trúc vùng năng lượng và các tính chất điện tử. 1.1. Cấu trúc vùng năng lƣợng Cấu trúc vùng năng lượng của Graphene được tính toán bằng phương pháp gần đúng liên kết mạnh và so sánh kết quả nhận được với phương pháp ab- initio. Hàm sóng của electron trong gần đúng liên kết mạnh được viết dưới dạng: 𝑀 𝛹𝑗 𝑘, 𝑟 = 𝑚 =1 𝛹𝑗 ,𝑚 𝑘 𝜙𝑚 (𝑘, 𝑟)(1.1.1) 𝛹𝑗 ,𝑚 là hệ số khai triển. Có M dãy năng lượng khác nhau và năng lượng của trạng thái điện tử E của dãy thứ j được tính : 𝐸𝑗 𝑘 = 𝛹𝑗 𝐻 𝛹𝑗 / 𝛹𝑗 𝛹𝑗 Dưới dạng đơn giản nhất, năng lượng 𝐸𝑗 với hệ số khai triển 𝛹𝑗 tạo thành : 𝐻𝛹𝑗 = 𝐸𝑗 𝑆𝛹𝑗 Trong đó: 𝛹𝑗 là vecto cột, 𝛹𝑗𝑇 = (𝛹𝑗 1 , 𝛹𝑗 2 , … , 𝛹𝑗𝑀 ) (1.1.2) Ma trận tích phân chuyển đổi H và ma trận tích phân chéo S là MxM với các nhân tố được xác định như sau : 𝐻𝑚 𝑚 ′ = 𝜙𝑚 𝐻 𝜙𝑚′ 𝑆𝑚𝑚 ′ = 𝜙𝑚 𝜙𝑚′ (1.1.3) Dãy năng lượng 𝐸𝑗 được xác định bởi phương trình giá trị riêng suy rộng (1.1.2) bằng cách giải phương trình : 𝑑𝑒𝑡 𝐻 − 𝐸𝑗 𝑆 = 0 (1.1.4) Ở đây „det‟ được gọi là định thức của ma trận. Các yếu tố ma trận sẽ được tính trực tiếp theo định nghĩa : 1 𝑁 𝐻𝐴𝐴 = 𝑖=1 𝜙𝐴 (𝑟 − 𝑅𝐴,𝑖 ) 𝐻 𝜙𝐴 (𝑟 − 𝑅𝐴,𝑖 ) (1.1.5) 𝑁 4
Đặt tham số 𝜖𝐴 = 𝜙𝐴 (𝑟 − 𝑅𝐴,𝑖 ) 𝐻 𝜙𝐴 (𝑟 − 𝑅𝐴,𝑖 ) . Đây được coi như phép tổng của các tham số 𝜖𝐴 . 𝜖𝐴 mang giá trị như nhau trong mỗi ô đơn vị. Do đó nguyên tố ma trận có thể có thể được diễn đạt là H AA =.є A Tương tự như vậy, ma trận chéo H BB đối với orbital ở vị trí B được viết là H BB  є B . Trong khi với Graphene tinh khiết є A = є B khi hai mạng con giống nhau. Việc tính toán những phần tử chéo trong ma trận tích phân chéo S thì phương trình (1.1.4) được thực hiện theo cách tương tự như đối với ma trận H với nghịch đảo của một orbital với phần tử đơn vị của nó.  j (r  R j , i )  j (r  R j , i )  1 Do đó : SBB  S AA  1 . Phần tử ngoài đường chéo góc H AB của ma trận tích phân chuyển đổi H mô tả khả năng di chuyển linh hoạt giữa những orbital ở các vị trí A và B. Thay hàm Bloch 1 𝑁 𝑖𝑘 .𝑅𝑚 .𝑖 𝜙𝑚 𝑘, 𝑟 = 𝑖=1 𝑒 𝜙𝑚 𝑟 − 𝑅𝑚 ,𝑖 vào ma trận (1.1.3) tạo ra phép toán của 𝑁 những vị trí tại A và những phép toán của những vị trí tại B. Ta giả sử những vị trí phát sinh từ sự linh hoạt giữa các điểm lân cận . Nếu ta xem xét vị trí A được cho trước sau đó tính toán khả năng di chuyển đến 3 vị trí gần B nhất , kí hiệu l= 1, 2, 3: 1 N 3 ik .1 H AB   e x A (r  RA,i )  B (r  RA,i  l ) N i 1 l 1 Ở đây, 1 là vị trí của 3 nguyên tử B gần nhất so với nguyên tử A cho trước a a a a a 1  (0, ), 2  ( , ), 3  ( , ). 3 2 2 3 2 2 3 Phép toán đối với 3 vị trí gần điểm B nhất thì giống hệt điểm A , tham số này được tính như sau:  0   A (r  RA,i )  B (r  RA,i  1 ) (1.1.6) với  0  0 . Do đó phần tử ma trận được viết lại thành : H AB   0 . f (k ); 5
3 f (k )   eik .1 (1.1.7) l 1 Phần tử ma trận ngoài đường chéo góc còn lại được tính: H BA  H AB *   0 f * (k ). Hàm f (k ) chỉ sự dịch chuyển của điểm gần nhất ,phương trình (7) được viết :  ik y a / 2 3 f (k )  e  2e ik y a / 3 cos( k x a / 2) (1.1.8) k  (k x , k y ) là vecto sóng . Việc tính toán những phần tử ngoài đường chéo góc của ma trận tích phân chéo S tương tự như ma trận H. Hàm số s0  A (r  RA,i ) B (r  RB,l mô tả các khả năng của các phần tử chéo có thể >0 hoặc < 0 giữa các orbital trên những vị trí lân cận. Khi đó S AB  SBA *  s0 f (k ) Tập hợp các phần tử ma trận , các ma trận tích phân H m và S m của Graphene đơn lớp được viết như sau : 𝜖𝐴 −𝛾0 𝑓(𝑘) 𝐻𝑚 = (1.1.9) −𝛾0∗ (𝑘) 𝜖𝐵  1 s0 f (k )  Sm    (1.1.10) *  s0 f (k ) 1  Năng lượng tương ứng được xác định bằng cách giải phương trình (4) . Ví dụ đối với Graphene tinh khiết є A = є B =0 , ta có :   0 f (k ) Ef  (1.1.11) 1  s0 f (k )  0  3.033eV , s0  0.129 Ở phương trình (1.1.8) f (k )  0 tại góc của vùng Brillouin, hai trong số chúng không tương đương nhau. 6
Hình 1.1. Các vecto cơ sở của vùng Brillouin của Graphene 4 Ví dụ : góc K  , K  với vecto sóng K   ( ,0) được kí hiệu trong bảng 3a 1(b). Những vị trí như vậy được gọi là điểm lồi và lõm K và ta sẽ sử dụng chỉ số lõm   1 để phân biệt những điểm K . Tại những điểm này , các kết quả của phương trình (15) có cùng mức năng lượng, đánh dấu điểm chéo nhau và năng lượng vùng cấm bằng 0 giữa vùng hoá trị và vùng dẫn. Ma trận chuyển đổi H m gần giống với phương trình Dirac- Hamilton ở lân cận của điểm K, mô tả các hạt không có khối lượng với mối tương quan về độ tán sắc dài. Các điểm này đặc biệt quan trọng vì mức fermi được đặt gần chúng trong lớp Graphene tinh khiết. 1.2. Phƣơng trình Dirac a) Phương trình tựa Dirac Thực tế trong các bài toán truyền dẫn, ta chỉ quan tâm đến các electron gần bề mặt Fermi, như thông thường, ta sẽ dùng phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng. Kết quả phép gần đúng khối lượng hiệu dụng đối với Graphene chính là phương trình tựa Dirac hai chiều cho electron trong mạng Graphene. Sử dụng khai triển K.P tại lân cận điểm K. Bằng cách viết hàm song đầy đủ (là tích của hàm vỏ và hàm lõi), thay vào phuwogn trìng Schr𝑜dinger, khai triển và giữ lại hạng bậc nhất của k sẽ thu được phương trình tựa Dirac cho electron trong Graphene. Việc này đã được DI Vincenzo và Mele thực hiện năm 1984 [9]. Ở đây tôi tóm tắt lập luận nguyên văn của các tác giả để rút ra phương tình tựa Dirac hai chiều. 7
“… Khi không có thế tạp, khai triển gần đúng khối lượng hiệu dụng tương đương với khai triển K.P tại lân cận điểm K . Trong lý thuyết khai triển K.P hàm song của electron tại vector song k  K  k được cho bởi: r 𝛹(𝐾, 𝑟) = 𝑓1 (𝐾 )𝑒 k , 1 ( K , r )  f 2 ( K ) 𝑒 k , 𝑖 𝑖 r Thế  vào phương trình Schrodinger, giữ lại số hạng cáp một của k và lấy EF =0 ta đượpc phương trình trị riêng: f 1 (K )  P 11 P 12 f 1 (K ) = E (K ) (1.2.12) K f 2 (K ) m P 21 P 22 f 2 (K ) Trong đó P ij =   *i (K, r ) p  j(K, r )d r . Có thể chỉ ra bằng lý thuyết nhóm hoặc trực tiếp từ phương trình gần đúng liên kết mạnh, rằng ma trận của toán tử xung lượng có dạng: 0 e −𝑖 e 𝑦 p 0 (1.2.13) e +𝑖 e 𝑦 Trong đó e x , e y là vector đơn vị của mặt phẳng, p la hệ số liên quan đến cấu trúc vùng của Graphene. Từ đó có ta có thể chéo hóa dễ dàng ma trận trên và thu được: E (K ) =±𝑃‫ ׀‬k ‫( ׀‬2.1) với P  (2 / m) p . Như vậy thực chất của kết quả của phép khai triển K.P là thay thế câu trúc vùng Graphene bằng hệ thức tán sắc hình nón tại mặt Fermi. Khi đặt trường ngoài liên hệ, đối xứng tịnh tiến nói chung bị phá vỡ va trạng thái lượng tử của electron không còn được đặc trưng bởi k . Do đó chúng ta sẽ dùng đến một sự mở rộng nhỏ của hàm thử:  ( k , r ) = 𝑑 k f 1 (K ) 𝑒 𝑖 k , r  1 (K, r )+ 𝑑 k 2 (K ) 𝑒 𝑖 k, r 2 (K, r ) (1.2.14) 8
Đặt hàm thủ vào phương trình Schrodinger ta đi đến phương trình tích phân: f 1 (K )  f1 ( K )    P 0 𝐾𝑥 −𝑖𝐾𝑦 + 𝑑 K ‟U( K - K ‟)   =E  f 1 ( K )  ( 1.2.15) 𝐾𝑥 +𝑖𝐾𝑦 0 f 2 (K )   f (K )   f 2 (K )   2    Trong đó : U (q)   dz  ( z )  d qe i q rU (r ) chính là biến đổi Fourier của thế tạp U( r ) lấy trung bình theo trục Oz. Để rút ra phương trình này chúng ta đã áp dụng gần đúng tiêu chuẩn của lý thuyết khối lượng hiệu dụng là thế tạp biến thiên chậm so với khoảng cách đặc trưng của ô mạng. Để hoàn tất việc rút ra phương trình Dirac ta thực hiện biến đổi Fourier phương tình trên, kết quả là phương trình tích phân chuyển thành phương trình vi phân:   0 i 𝑃 x y 𝐹1 (𝑟) 𝐹 (𝑟) = 𝐸 − 𝑈(𝑟) ( 1 ) (1.2.16) 𝑖   𝐹2 (𝑟) 𝐹2 (𝑟) +𝑖 0 𝑥 y Và phương trình sóng trong biêủ diễn tọa độ là:  (r )  𝐹1 (𝑟)  1 (𝐾, 𝑟) + 𝐹2 (𝑟) 2 ( K , r ) (1.2.17) Phương trình sóng có dạng tích của hàm vỏ (envelope- function) biến đổi chậm và hàm Bloch như quen thuộc trong vật lý chất rắn….” Hàm sóng thu được ở trên chính là nghiệm của phương trình tựa Dirac ( sở dĩ gọi là phương trình tựa Dirac vì trong phương trình vo là vận tốc Fermi, có giá trị v0 106). Hai trạng thái của electron trên hai mạng thành phần đóng vai trò là thành phần Spin và tên gọi giả Spin (pseudo-spin)( gọi là giả spin vì chúng không liên quan đến spin thật của electron). Khi các điểm Dirac bị tách suy biến như đề cập đến trước đây, tức là có một khe năng lượng nhỏ giữa vùng dẫn và cùng hóa trị, như đã nói việc hiệu chỉnh phương trình tựa Dirac chỉ đơn giản là thêm vào số hạng khối lượng nghỉ 9
của electron. Kết quả là ta có dạng đầy đủ của phương trình Dirac sẽ được sử dụng như sau: HD = (1.2.18) Trong đó   ( x ,  y ) , z là các ma trận Pauli quen thuộc trong cơ học lượng tử. Một vấn đề khác cần nói đến là trong Graphene ta có một mặt Fermi sáu điểm với hai điểm không tương đương K và K‟. Khai triển K.P tại điểm K và K‟ là tương đương nhau, qua một phép biến đổi biểu diên, điểm này có thể biến đổi thành điểm kia. b) Lời giải với thế không đổi trên từng đọan Thông thường trong các bài toán ta chỉ xét trường hợp là electron chỉ chịu tác dụng của thế không đổi trên từng đoạn. Khi đó phương trình Dirac sẽ có lời giải giải tích đơn giản. Như đã nói ở trên ,phương trình Dirac có dạng: H D ( x, y) = (1.2.19) 0 1 0  i 1 0    ( x ,  y ) và  x   ,  y   ,  z    1 0 i 0   0  1  1  Ta viết lại hàm sóng dưới dạng hai thành phần spinnor     và thay vào  2  phương trình trên ta được:   2 2    0   i        m 02  U ( x, y ) 1  E1   x y     x     0 (i 1  1 )   m 02  U ( x, y ) 2  E2 y  (1.2.20) Hay       i  2  1  0  E  U ( x, y )  m 02 1   x y    x y  1  0    i      1 E  U ( x, y )  m 2  0 2  (1.2.21) 10
Đặt   E /  0 ,  0  mv02 /  0 , u( x, y)  U ( x, y) /  0 (2.8) (thực chất đây là một phép đổi đơn vị), đồng thời rút thế  2 từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất trong hệ ta có:           i  1    u ( x, y )   0 1 1   i    x y    u ( x, y )   0   x y   (1.2.22)  1     2    i  1     u ( x , y )   0   x y  Quay trở lại trường hợp riêng của ta: thế u(x,y) không đổi dọc theo trục Oy, khi đó nghiệm có thể tìm dưới dạng hàm riêng của xung lượng theo trục Oy: = ta có phương trình cho :         i  ik y  1    u ( x, y )   0 1 1   i  ik y   x    u ( x, y )   0   x    i    2     k y  1     u ( x, y)   0   x  (1.2.23) Mặt khác ta xét Phương trình trên từng đoạn không đổi của thế trên trục Ox, khi đó phương trình đơn giản thu về: )   2 2   x  2 2   2  k y   1  (  u n )   0  1  0      i       k y  1   2   u n   0   x  (1.2.24) Đặt k n  (  u n ) 2   02  k y2 ta có:   2 1   k n2 1  0 x 2   2  i       k y  1    u n   0   x  (1.2.25) Phuơng trình cho ta 1 đơn giản là phương trình kiểu dao động điều hòa, nghiệm tổng quát được cho duới dạng: 1  An e ik x  Bn e ik x n n (1.2.26) Và do đó: 11
2  1   un   0  (k n  ik y ) An e ikn x  (k n  ik y ) Bn e ikn x  (1.2.27) Trong trường hợp các giá trị ,un, o là thực, ta có thể đơn giản hóa công thức bằng cách đặt các tham số mới: (1.2.28) Như vậy: 2= (1.2.29) Vậy nghiệm đầy đủ là hàm song spinor 2 thành phần: 1= (1.2.30) 2= (1.2.31) 1.3. Giả spinor và Chirality Trong giới hạn liên tục và gần đúng khối lượng hiệu dụng, Hamiltonian cho electron trong graphene ở lân cận điểm K và K‟:   0 k x  ik y    H k (k )   F     F p   H KT ' (k ) (1.3.32)  k x  ik y 0   Trong đó   ( x ,  y ) là các ma trận Pauli. Hamilton này có dạng giống với Hamiltonian Dirac hai chiều cho hạt không khối lượng . Do đó hàm sóng của điện tử trong graphene có cấu trúc spinor hai thành phần, với điểm K  i  / 2  1  e k    , K (k )  2   e k  i  / 2 (1.3.33) Còn với điểm K‟ i  / 2  1  e k     , K ' (k )   i k / 2  2  e  (1.3.34) 12
Dấu  tương ứng với năng lượng E   F k cho vùng dẫn và vùng hóa trị và kx  k  arctan( ) ky  Tuy nhiên cần lưu ý   ( x ,  y ) không phải đặc trưng cho spin thật mà nó chỉ xuất hiện một cách đơn thuần khi tính đến sự đóng góp của hai mạng con nên   được gọi là giả spin. Hai thành phần trên và dưới của hàm sóng liên quan đến biên độ xác suất tìm thấy hạt ở một trong hai mạng con tương ứng, do đó hàm sóng được gọi là các giả spinor. Một đặc trưng thú vị của graphene đó là hướng của các giả spin có liên quan tới xung lượng của hạt. Điều này có nghĩa là hàm sóng của các electron trong graphene ở lân cận điểm Dirac có tính chirality hay helicity (tính chất cho biết hình chiếu của toán tử spin dọc theo hướng của xung lượng. Toán tử đặc trưng cho tính chất này là toán tử helicity    p h  .  p (1.3.35)    Theo định nghĩa này thì các trạng thái  K (r ), K ' (r ) cũng là vector riêng của toán tử h    h K (r )   K (r )    h K ' (r )   K ' (r )  Do đó, toán tử h chỉ có hai trị riêng là  1 , điều này có nghĩa: Trong các trạng thái riêng của năng lượng ở lân cận điểm Dirac, giả spin thì song song hoặc đối song với xung lượng. Ở lân cận điểm K,electron có helicity dương và lỗ trống có helicity âm, dấu helicity ngược lại khi electron electron ở gần K‟. Tính chất này thể hiện tính đối xứng giữa electron và lỗ trống tương tự như đối xứng liên hợp điện tích trong điện động lực học lượng tử. Bản chất chirality của electron trong graphene là nguồn gốc cho hàng loạt các hiện tượng thú vị thể hiện sự khác biệt so với các electron trong vật liệu thông thường. Ở đây chúng tôi xin nêu ra hai hiện tượng đặc trưng nhất của tính chirality là chui ngầm Klein và hiệu ứng Hall lượng tử trong graphene. 13
1.4. Truyền dẫn ballistic Trong các hệ nano, quãng đường tự do trung bình l e (quãng đường trung bình electron di chuyển được mà chưa bị va chạm) là một tham số rất quan trọng. Khi kích thước của hệ L nhỏ hơn l e , electron có thể chuyển động hết chiều dài của hệ mà moomen động lượng của nó vẫn giữ nguyên. Chuyển động như vậy gọi là truyền dẫn ballistic, ngược lại được gọi là truyền dẫn khuếch tán. Với graphene , l e có thể rất lớn (cỡ 1 m ) nên cơ chế ballistic đóng vai trò quan trọng. 1.4.1. Chui ngầm Klein Hình 1.2.(a) Cơ chế truyền dẫn khuếch tán và (b) cơ chế truyền dẫn ballistic Hiện tượng chui ngầm Klein được đề xuất năm 1929 bởi O.Klein dựa trên phương trình Dirac. Chui ngầm là hiện tượng electron chuyển động vào miền có bờ thế rất cao so với năng lượng của electron), mà theo quan điểm cơ học cổ điển lẽ ra phải là miền cấm đối với electron. Trong cơ học lượng tử, chui ngầm lượng tử là quá trình mà hàm sóng của hạt không tương đối tính có thể lọt vào vùng cấm cổ điển với xác suất truyền qua giảm theo hàm e mũ theo chiều cao và độ rộng của bờ thế. Đối với hạt Dirac, xác suất truyền qua phụ thuộc rất yếu vào chiều cao bờ thế và  1 khi bờ thế cao vô hạn. Điều này có thể giải thích dựa trên tính chất của phương trình Dirac là phương trình nhận cả trạng thái năng lượng âm (electron) và trạng thái năng lượng dương (lỗ trống). Do đó với một bờ thế bất 14